Tässä on kulmaliikemäärä suhteessa pyörimisakseliin, eli projektio kulmamomentin akselille, joka on määritelty suhteessa johonkin akseliin kuuluvaan pisteeseen (ks. luento 2). - tämä on ulkoisten voimien momentti suhteessa pyörimisakseliin, eli syntyvän ulkoisten voimien momentin projektio akselille, joka on määritelty suhteessa johonkin akseliin kuuluvaan pisteeseen, ja tämän pisteen valinta akselilla , kuten c:n tapauksessa, ei ole väliä. Todellakin (kuva 3.4), missä on jäykään kappaleeseen kohdistetun voiman komponentti, joka on kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden, on voiman olake suhteessa akseliin.

Riisi. 3.4.

Koska ( on kappaleen hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin), niin sen sijaan voimme kirjoittaa

(3.8)

Vektori on aina suunnattu pyörimisakselia pitkin, ja se on akselin suuntaisen voimamomentin vektorin komponentti.

Siinä tapauksessa saamme vastaavasti ja kulmamomentti akselin ympäri säilyy. Samaan aikaan itse vektori L, määritelty suhteessa johonkin pyörimisakselin pisteeseen, voi vaihdella. Esimerkki tällaisesta liikkeestä on esitetty kuvassa. 3.5.

Riisi. 3.5.

Pisteeseen A saranoitu tanko AB pyörii inertialla pystyakselin ympäri siten, että akselin ja tangon välinen kulma pysyy vakiona. Momenttivektori L, suhteessa pisteeseen A liikkuu kartiomaista pintaa pitkin puoliavautumiskulmalla, mutta projektio L Pystyakselilla pysyy vakiona, koska painovoima tämän akselin ympärillä on nolla.

Pyörivän kappaleen kineettinen energia ja ulkoisten voimien työ (pyörimisakseli on paikallaan).

Kappaleen i:nnen hiukkasen nopeus

(3.11)

missä on hiukkasen etäisyys pyörimisakselista Kineettinen energia

(3.12)

kuten kulmanopeus kaikkien pisteiden kierto on sama.

Mukaisesti mekaanisen energian muutoksen laki järjestelmässä kaikkien ulkoisten voimien perustyö on yhtä suuri kuin kehon liike-energian lisäys:

jätetään pois se, että hiomakivikiekko pyörii hitaudella kulmanopeudella ja pysäytetään se painamalla esinettä kiekon reunaa vasten vakiovoimalla. Tässä tapauksessa levyyn vaikuttaa vakiosuuruinen voima, joka on suunnattu kohtisuoraan sen akseliin nähden. Tämän voiman työ

missä on sähkömoottorin ankkurin kanssa teroitettu levyn hitausmomentti.

Kommentti. Jos voimat ovat sellaiset, etteivät ne tuota työtä.

vapaat akselit. Vapaan pyörimisen vakaus.

Kun runko pyörii kiinteän akselin ympäri, laakerit pitävät tätä akselia vakioasennossa. Kun mekanismien epätasapainoiset osat pyörivät, akselit (akselit) kokevat tietyn dynaamisen kuormituksen, tärinää, tärinää ja mekanismit voivat romahtaa.

Jos jäykkää kappaletta kierretään mielivaltaisen akselin ympäri, liitettynä jäykästi runkoon ja akseli vapautetaan laakereista, sen suunta avaruudessa yleisesti ottaen muuttuu. Jotta kappaleen mielivaltainen pyörimisakseli pysyisi suuntansa muuttumattomana, siihen on kohdistettava tiettyjä voimia. Tuloksena olevat tilanteet on esitetty kuvassa. 3.6.

Riisi. 3.6.

Massiivista homogeenista tankoa AB käytetään tässä pyörivänä kappaleena, joka on kiinnitetty riittävän joustavaan akseliin (kuvattu kaksinkertaisilla katkoviivoilla). Akselin joustavuus mahdollistaa sen kokemien dynaamisten kuormien visualisoinnin. Kaikissa tapauksissa pyörimisakseli on pystysuora, liitetty jäykästi tankoon ja kiinnitetty laakereihin; sauva kierretään tämän akselin ympäri ja jätetään itselleen.

Kuvassa esitetyssä tapauksessa 3.6a, tangon pisteen B pyörimisakseli on pääakseli, muttei keskimmäinen, akseli taipuu, akselin sivulta sen pyörimisen varmistava voima vaikuttaa tankoon (NISO:ssa tangon kanssa tämä voima tasapainottaa keskipakoinertiavoimaa). Tangon sivulta akseliin vaikuttaa voima, jota tasapainottavat laakerien puolelta tulevat voimat.

Kuvan Fig tapauksessa 3.6b, pyörimisakseli kulkee tangon massakeskipisteen läpi ja on sille keskeinen, mutta ei pääakseli. Kulmamomentti massakeskipisteen O ympärillä ei säily ja kuvaa kartiomaista pintaa. Akseli muotoutuu (katkeutuu) monimutkaisesti, tankoon vaikuttavat voimat akselin puolelta ja jonka momentti antaa lisäyksen (tankoon liittyvässä NISO:ssa kimmovoimien momentti kompensoi tangon yhteen ja toiseen puolikkaaseen vaikuttavat keskipakovoimat). Tangon sivulta voimat vaikuttavat akseliin ja suuntautuvat voimien ja Voimien momentin vastakkaiseen suuntaan ja tasapainotetaan laakereissa syntyvien voimien momentilla.

Ja vain siinä tapauksessa, että pyörimisakseli osuu yhteen rungon päähitausakselin kanssa (kuva 3.6c), kierrettynä ja itselleen jätetyllä sauvalla ei ole vaikutusta laakereihin. Tällaisia ​​akseleita kutsutaan vapaiksi akseleiksi, koska jos laakerit irrotetaan, ne säilyttävät suuntansa avaruudessa ennallaan.

On toinen asia, onko tämä pyöriminen vakaa pieniin häiriöihin nähden, joita tapahtuu aina todellisissa olosuhteissa. Kokeet osoittavat, että pyöriminen suurimman ja pienimmän hitausmomentin omaavien pääakselien ympäri on vakaata ja pyöriminen akselin ympäri, jonka hitausmomentin väliarvo on epävakaa. Tämä voidaan varmistaa heittämällä ylös suuntaissärmiön muotoinen kappale, joka on kierretty yhden kolmesta keskenään kohtisuorasta pääakselista (kuva 3.7). Akseli AA" vastaa suurinta, akseli BB" - keskiarvoa ja akseli CC" - suuntaissärmiön pienintä hitausmomenttia. melko vakaa. Yritykset saada kappale pyörimään akselin BB ympäri "ei johda menestykseen - keho liikkuu monimutkaisesti, kaatuen lennossa.

- jäykkä runko - Euler-kulmat

Katso myös:

Työ ja voima jäykän rungon pyöriessä.

Etsitään ilmaus työlle kehon pyörimisen aikana. Olkoon voima kohdistettu pisteeseen, joka sijaitsee etäisyyden päässä akselista - voiman suunnan ja sädevektorin välinen kulma. Koska runko on ehdottoman jäykkä, tämän voiman työ on yhtä suuri kuin koko kehon kääntämiseen käytetty työ. Kun kappale pyörii äärettömän pienen kulman läpi, kohdistamispiste ohittaa reitin ja työ on yhtä suuri kuin voiman projektio siirtymäsuuntaan siirtymän suuruudella:

Voimamomentin moduuli on yhtä suuri kuin:

niin saamme seuraavan kaavan työn laskemiseksi:

Siten työ jäykän kappaleen pyörimisen aikana on yhtä suuri kuin vaikuttavan voiman momentin ja kiertokulman tulo.

Pyörivän kappaleen kineettinen energia.

Hitausmomentti mat.t. nimeltään fyysistä arvo on numeerisesti yhtä suuri kuin maton massan tulo.t. tämän pisteen etäisyyden neliöllä pyörimisakseliin W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i jäykän kappaleen hitausmomentti on yhtä suuri kuin kaiken mat.t I=S i m i r 2 i jäykän kappaleen hitausmomenttia kutsutaan. fyysinen arvo on yhtä suuri kuin mat.t.n tuotteiden summa. näiden pisteiden ja akselin välisten etäisyyksien neliöillä. W i -I i W 2 / 2 W k \u003d IW 2 / 2

W k \u003d S i W ki hitausmomentti pyörivän liikkeen yavl aikana. massan analogi translaatioliikkeessä. I = mR2/2

21. Ei-inertiaaliset vertailujärjestelmät. Hitausvoimat. Vastaavuusperiaate. Liikeyhtälö ei-inertiaalisissa viitekehyksessä.

Ei-inertiaalinen viitekehys- mielivaltainen viitejärjestelmä, joka ei ole inertiaalinen. Esimerkkejä ei-inertiaalisista vertailukehyksistä: kehys, joka liikkuu suorassa linjassa vakiokiihtyvyydellä, sekä pyörivä kehys.

Kun tarkastellaan kappaleen liikeyhtälöitä ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä, on otettava huomioon lisäinertiavoimat. Newtonin lait pätevät vain inertiaalisissa viitekehyksessä. Liikeyhtälön löytämiseksi ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä on tarpeen tuntea voimien ja kiihtyvyyksien muunnoslait siirtyessä inertiaalisesta kehyksestä mihin tahansa ei-inertiaan.

Klassinen mekaniikka olettaa seuraavat kaksi periaatetta:

aika on absoluuttinen, toisin sanoen kahden tapahtuman väliset aikavälit ovat samat kaikissa mielivaltaisesti liikkuvissa viitekehyksessä;

avaruus on absoluuttinen, eli minkä tahansa kahden materiaalipisteen välinen etäisyys on sama kaikissa mielivaltaisesti liikkuvissa vertailukehyksissä.

Nämä kaksi periaatetta mahdollistavat aineellisen pisteen liikeyhtälön kirjoittamisen mihin tahansa ei-inertiaan viitekehykseen, jossa Newtonin ensimmäinen laki ei täyty.

Aineellisen pisteen suhteellisen liikkeen dynamiikan perusyhtälö on muotoa:

missä on kehon massa, on kappaleen kiihtyvyys suhteessa ei-inertiaaliseen vertailukehykseen, on kaikkien kehoon vaikuttavien ulkoisten voimien summa, on kehon kannettava kiihtyvyys, on kehon Coriolis-kiihtyvyys kehon.

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa Newtonin toisen lain tutussa muodossa ottamalla käyttöön kuvitteellisia inertiavoimia:

Kannettava hitausvoima

Coriolis-voima

hitausvoima- fiktiivinen voima, joka voidaan ottaa käyttöön ei-inertiaalisessa viitekehyksessä siten, että sen mekaniikan lait ovat yhtäpitäviä inertiakehysten lakien kanssa.

Matemaattisissa laskelmissa tämän voiman käyttöönotto tapahtuu muuntamalla yhtälö

F 1 +F 2 +…F n = ma muotoon

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Missä F i on todellinen voima ja -ma on "hitausvoima".

Hitausvoimia ovat seuraavat:

yksinkertainen hitausvoima;

keskipakovoima, joka selittää kappaleiden taipumuksen lentää pois keskustasta pyörivissä vertailukehyksissä;

Coriolis-voima, joka selittää kappaleiden taipumuksen poiketa säteestä säteittäisen liikkeen aikana pyörivissä vertailukehyksissä;

Yleisen suhteellisuusteorian näkökulmasta painovoimat missä tahansa kohdassa ovat hitausvoimat tietyssä Einsteinin kaarevan avaruuden pisteessä

Keskipakoisvoima- hitausvoima, joka tuodaan pyörivässä (ei-inertiaalisessa) vertailukehyksessä (Newtonin lakien soveltamiseksi, laskettuna vain inertiaalisille FR:ille) ja joka on suunnattu pyörimisakselilta (tästä nimi).

Painovoima- ja hitausvoimien vastaavuusperiaate- Albert Einsteinin käyttämä heuristinen periaate johtaessaan yleistä suhteellisuusteoriaa. Yksi hänen esityksensä vaihtoehdoista: "Painovoiman vuorovaikutusvoimat ovat verrannollisia kehon painovoimamassaan, kun taas hitausvoimat ovat verrannollisia kehon inertiamassaan. Jos inertia- ja gravitaatiomassat ovat yhtä suuret, on mahdotonta erottaa, mikä voima vaikuttaa tiettyyn kappaleeseen - gravitaatio- vai inertiavoima.

Einsteinin muotoilu

Historiallisesti Einstein muotoili suhteellisuusperiaatteen seuraavasti:

Kaikki gravitaatiokentän ilmiöt tapahtuvat täsmälleen samalla tavalla kuin vastaavassa inertiavoimien kentässä, jos näiden kenttien vahvuudet ovat samat ja järjestelmän kappaleiden alkuolosuhteet ovat samat.

22. Galileon suhteellisuusperiaate. Galilealaiset muunnokset. Klassinen nopeuden yhteenlaskulause. Newtonin lakien muuttumattomuus inertiaalisissa viitekehyksessä.

Galileon suhteellisuusperiaate- tämä on klassisen mekaniikan inertiavertailujärjestelmien fyysisen tasa-arvon periaate, joka ilmenee siinä, että mekaniikan lait ovat samat kaikissa sellaisissa järjestelmissä.

Matemaattisesti Galileon suhteellisuusperiaate ilmaisee mekaniikan yhtälöiden invarianssia (vakiota) suhteessa liikkuvien pisteiden (ja ajan) koordinaattien muunnoksiin siirtyessä inertiakehyksestä toiseen - Galileon muunnoksia.
Olkoon kaksi inertiaalista viitekehystä, joista toista, S, sovimme pitämään lepäävänä; toinen järjestelmä, S", liikkuu S:n suhteen vakionopeudella u kuvan osoittamalla tavalla. Silloin Galilean muunnokset materiaalipisteen koordinaateille järjestelmissä S ja S" ovat muotoa:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(pohjustetut suureet viittaavat S-kehykseen, pohjustetut suureet viittaavat S-kehykseen.) Näin ollen aika klassisessa mekaniikassa, samoin kuin kiinteiden pisteiden välinen etäisyys, katsotaan kaikissa viitekehyksessä samana.
Galileon muunnosten perusteella voidaan saada pisteen nopeuksien ja sen kiihtyvyyksien välinen suhde molemmissa järjestelmissä:
v" = v - u, (2)
a" = a.
Klassisessa mekaniikassa materiaalipisteen liike määräytyy Newtonin toisen lain mukaan:
F = ma, (3)
missä m on pisteen massa ja F on kaikkien siihen kohdistettujen voimien resultantti.
Tässä tapauksessa voimat (ja massat) ovat invariantteja klassisessa mekaniikassa, eli suureita, jotka eivät muutu siirryttäessä viitekehyksestä toiseen.
Siksi yhtälö (3) ei muutu Galilean muunnoksissa.
Tämä on matemaattinen ilmaus Galilean suhteellisuusperiaatteesta.

GALILEON MUUTOKSET.

Kinematiikassa kaikki vertailukehykset ovat keskenään samanarvoisia ja liike voidaan kuvata missä tahansa niistä. Liikkeiden tutkimuksessa joskus on tarpeen siirtyä yhdestä vertailujärjestelmästä (koordinaattijärjestelmällä OXYZ) toiseen - (О`Х`У`Z`). Tarkastellaan tilannetta, jossa toinen vertailukehys liikkuu ensimmäiseen nähden tasaisesti ja suoraviivaisesti nopeudella V=const.

Matemaattisen kuvauksen helpottamiseksi oletetaan, että vastaavat koordinaattiakselit ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa, että nopeus on suunnattu X-akselia pitkin ja että alkuhetkellä (t=0) molempien järjestelmien origot ovat yhteneväiset keskenään. Klassisessa fysiikassa reilua oletusta, suunnilleen samaa ajankulkua molemmissa järjestelmissä, voidaan kirjoittaa jonkin pisteen A(x, y, z) ja A (x`, y) koordinaatteja yhdistävät suhteet. `, z`) molemmissa järjestelmissä. Tällaista siirtymistä vertailujärjestelmästä toiseen kutsutaan Galilean muunnokseksi:

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Kiihtyvyys molemmissa järjestelmissä on sama (V=const). Galileon muutosten syvä merkitys selkiytyy dynamiikassa. Galileon nopeuksien muunnos heijastaa klassisessa fysiikassa tapahtuvaa siirtymien riippumattomuuden periaatetta.

Nopeuksien lisäys SRT:ssä

Klassinen nopeuksien summauslaki ei voi olla pätevä, koska se on ristiriidassa sen väitteen kanssa, joka koskee valonnopeuden vakioisuutta tyhjiössä. Jos juna liikkuu suurella nopeudella v ja valoaalto etenee autossa junan suuntaan, niin sen nopeus suhteessa maapalloon on paikallaan c, mutta ei v+c.

Tarkastellaan kahta vertailujärjestelmää.

Järjestelmässä K 0 keho liikkuu nopeudella v yksi . Mitä tulee järjestelmään K se liikkuu nopeudella v 2. SRT:n nopeuksien yhteenlaskulain mukaan:

Jos v<<c ja v 1 << c, niin termi voidaan jättää huomiotta, ja sitten saadaan klassinen nopeuksien yhteenlaskulaki: v 2 = v 1 + v.

klo v 1 = c nopeus v 2 on yhtä suuri c, kuten suhteellisuusteorian toinen postulaatti vaatii:

klo v 1 = c ja klo v = c nopeus v 2 vastaa taas nopeutta c.

Lisäyslain merkittävä ominaisuus on se, että millä tahansa nopeudella v 1 ja v(ei enempää c), tuloksena oleva nopeus v 2 ei ylitä c. Todellisten kappaleiden liikenopeus on suurempi kuin valon nopeus, se on mahdotonta.

Nopeuksien lisäys

Kun tarkastellaan monimutkaista liikettä (eli kun piste tai kappale liikkuu yhdessä vertailukehyksessä ja se liikkuu suhteessa toiseen), herää kysymys nopeuksien suhteesta kahdessa vertailukehyksessä.

klassinen mekaniikka

Klassisessa mekaniikassa pisteen absoluuttinen nopeus on yhtä suuri kuin sen suhteellisten ja translaationopeuksien vektorisumma:

Selkeällä kielellä: Kappaleen nopeus suhteessa kiinteään vertailukehykseen on yhtä suuri kuin tämän kappaleen nopeuden vektorisumma suhteessa liikkuvaan vertailukehykseen ja liikkuvimman vertailukehyksen nopeus suhteessa kiinteään kehykseen.

Kineettinen energia- arvo on additiivinen. Siksi mielivaltaisella tavalla liikkuvan kappaleen liike-energia on yhtä suuri kuin kaikkien kineettisten energioiden summa. P aineelliset pisteet, joihin tämä keho voidaan jakaa henkisesti: Jos keho pyörii kiinteän akselin z ympäri kulmanopeudella 1 m I 1 ...
(FYSIIKKA. MEKANIIKKA)

Pyörivän jäykän kappaleen kineettinen energia

Satunnaisesti liikkuvan kappaleen liike-energia on yhtä suuri kuin kaikkien kineettisten energioiden summa P ainepisteet (hiukkaset), joihin tämä kappale voidaan jakaa henkisesti (kuva 6.8) Jos kappale pyörii kiinteän akselin Oz ympäri kulmanopeudella ω, niin minkä tahansa /-nnen hiukkasen lineaarinopeus, ...
(KLASSINEN JA RELATIVISTINEN MEKANIIKKA)

Riisi. 6.4 Sellainen kehon liike, jossa mitkä tahansa kaksi sen pistettä (MUTTA ja AT kuvassa 6.4) paikallaan pysymistä kutsutaan pyörimiseksi kiinteän akselin ympäri. Voidaan osoittaa, että tässä tapauksessa mikä tahansa kappaleen piste, joka sijaitsee pisteitä yhdistävällä suoralla Voi W. Akseli,...
(TEOREETTINEN MEKANIIKKA.)

Kehon pyöriminen kiinteän akselin ympäri

Anna kiinteän rungon ajoissa sk teki äärettömän pienen kierron kulman s/f läpi suhteessa kiinteään akseliin annetussa vertailukehyksessä. Tämä kiertokulma c/cp mittaa kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen asennon muutosta. Analogisesti c/r:n kanssa kutsumme c/f:n kulmasiirtymää....
(FYSIIKKA: MEKANIIKKA, SÄHKÖ JA MAGNETISMI)

Translaatio- ja pyörimisliikkeen välinen analogia

Tätä analogiaa käsiteltiin edellä ja se johtuu translaatio- ja pyörimisliikkeiden perusyhtälöiden samankaltaisuudesta. Aivan kuten kiihtyvyyden antaa nopeuden aikaderivaata ja siirtymän toinen derivaatta, niin kulmakiihtyvyyden antaa kulmanopeuden aikaderivaata ja kulmasiirtymän toinen derivaatta....
(FYSIIKKA)

Kääntyvä ja pyörivä liike

Translaatioliike Translaatioliike on sellainen jäykän kappaleen liike, jossa mikä tahansa tähän kappaleeseen piirretty suora liikkuu pysyen samansuuntaisena alkuperäisen asemansa kanssa. Translaatioliikkeen ominaisuudet määritetään seuraavalla lauseella: kappaleen translaatioliikkeessä ...
(SOVELLETTU MEKANIIKKA)

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka voi pyöriä avaruudessa kiinteän pyörimisakselin ympäri.

Oletetaan, että F i on ulkoinen voima, joka kohdistuu johonkin perusmassaan ∆m i jäykkä runko ja aiheuttaa pyörimisen. Alkuainemassa siirtyy lyhyessä ajassa ja siksi työ tehdään voimalla

missä a on voiman suunnan ja siirtymän välinen kulma. Mutta tasavertainen F t ovat massaliikkeen liikeradan tangentin voiman projektiot ja arvo. Siten

On helppo nähdä, että tulo on voimamomentti tietyn pyörimisakselin ympäri z ja vaikuttaa kehon elementtiin D m i. Siksi voiman tekemä työ tulee olemaan

Yhteenvetona kehon kaikkiin elementteihin kohdistettujen voimien momenttien työ, saadaan alkeellisen pienelle energialle, joka kuluu kehon alkeellisen pieneen kiertoon d j:

, (2.4.27)

missä on kaikkien jäykkään kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien tuloksena saatu momentti suhteessa annettuun pyörimisakseliin z.

Työskentele rajallisen ajan t

. (2.4.28)

Avaruuden liikemäärän ja isotropian säilymislaki

Liikemäärän säilymislaki on seurausta pyörivän liikkeen dynamiikan peruslaista. Järjestelmässä alkaen P vuorovaikutuksessa olevat hiukkaset (kappaleet), kaikkien sisäisten voimien ja siten voimien momenttien vektorisumma on yhtä suuri kuin nolla, ja momenttien differentiaaliyhtälö on muotoa

missä – koko järjestelmän kokonaiskulmaliikemäärä on ulkoisten voimien tuloksena oleva momentti.

Jos järjestelmä on suljettu

mistä se seuraa

mikä on mahdollista

Liikemäärän säilymislaki: Suljetun hiukkasjärjestelmän (kappaleiden) kulmaliikemäärä pysyy vakiona.

Liikemäärän säilymislaki on seurausta avaruuden isotropian ominaisuudesta, joka ilmenee siinä, että suljetun järjestelmän fysikaaliset ominaisuudet ja liikelait eivät riipu koordinaattiakselien suunnan valinnasta. inertiaaliset viitekehykset.

Suljetussa järjestelmässä on kolme fyysistä määrää: energiaa, vauhtia ja kulmamomentti(jotka ovat koordinaattien ja nopeuksien funktioita) säilyvät. Tällaisia ​​toimintoja kutsutaan liikeintegraalit. Järjestelmässä alkaen P siinä on 6 hiukkasta n–1 liikeintegraalia, mutta vain kolmella niistä on additiivisuusominaisuus - energia, liikemäärä ja kulmamomentti.

Gyroskooppinen vaikutus

Massiivista symmetristä kappaletta, joka pyörii suurella kulmanopeudella symmetria-akselin ympäri, kutsutaan gyroskooppi.

Pyörimään asetettu gyroskooppi pyrkii pitämään akselinsa suunnan muuttumattomana avaruudessa, mikä on ilmentymä liikemäärän säilymislaki. Gyroskooppi on vakaampi, sitä suurempi on pyörimiskulma ja sitä suurempi on gyroskoopin hitausmomentti suhteessa pyörimisakseliin.

Jos kuitenkin pyörivään gyroskooppiin kohdistetaan pari voimaa, jotka pyrkivät pyörittämään sitä akselin ympäri, joka on kohtisuorassa gyroskoopin pyörimisakseliin nähden, se alkaa pyöriä, mutta vain kolmannen akselin ympäri, kohtisuorassa ensimmäiseen nähden. kaksi (kuva 21). Tätä vaikutusta kutsutaan gyroskooppinen vaikutus. Tuloksena olevaa liikettä kutsutaan precessioliikkeeksi tai precessio.

Jokainen kappale, joka pyörii jonkin akselin ympäri, precessoituu, jos siihen vaikuttaa pyörimisakseliin nähden kohtisuorassa oleva voimamomentti.

Esimerkki precessiaalisesta liikkeestä on lasten lelun käyttäytyminen, jota kutsutaan kehruuksi tai toppiksi. Maa Precessoi myös Kuun gravitaatiokentän vaikutuksesta. Maahan Kuun puolelta vaikuttavien voimien hetken määrää Maan geometrinen muoto - pallosymmetrian puuttuminen, ts. hänen "litteytymisensä" kanssa.

Gyroskooppi*

Tarkastellaanpa precessioliikettä tarkemmin. Tällainen liike toteutetaan massiivisella levyllä pystysuora akseli, jonka ympäri se pyörii. Kiekossa on kiekon pyörimisakselia pitkin suunnattu kulmamomentti (kuva 22).

Gyroskoopissa, jonka pääelementti on levy D, pyörii nopeudella ympäri vaakasuoraan kirveet OO"pisteessä tulee olemaan vääntömomentti C ja kulmamomentti on suunnattu kiekon pyörimisakselia pitkin D.

Gyroskoopin akseli on saranoitu pisteessä C. Laite on varustettu vastapainolla K. Jos vastapaino on asennettu niin, että piste C on järjestelmän massakeskus ( m on gyroskoopin massa; m 0 - vastapainomassa Vastaanottaja; tangon massa on merkityksetön), kirjoitamme ilman kitkaa:

eli järjestelmään vaikuttavien voimien tuloksena saatava momentti on nolla.

Silloin liikemäärän säilymislaki pätee:

Toisin sanoen tässä tapauksessa const; missä J on gyroskoopin hitausmomentti, on gyroskoopin sisäinen kulmanopeus.

Koska kiekon hitausmomentti symmetria-akselinsa ympäri on vakioarvo, myös kulmanopeusvektori pysyy vakiona sekä suuruudeltaan että suunnaltaan.

Vektori on suunnattu pyörimisakselia pitkin oikeanpuoleisen ruuvin säännön mukaisesti. Näin ollen vapaan gyroskoopin akseli säilyttää asemansa avaruudessa muuttumattomana.

Jos vastapainoksi Vastaanottaja lisää vielä yksi massan kanssa m 1, silloin järjestelmän massakeskipiste siirtyy ja vääntömomentti tulee näkyviin suhteessa pisteeseen C. Momenttiyhtälön mukaan . Tämän vääntömomentin vaikutuksesta kulmamomenttivektori saa lisäyksen, joka on samassa suunnassa vektorin kanssa:

Painovoimavektorit ja on suunnattu pystysuunnassa alaspäin. Siksi vektorit , ja , sijaitsevat vaakatasossa. Hetken kuluttua gyroskoopin kulmamomentti muuttuu arvon verran ja tulee yhtä suureksi

Siten vektori muuttaa suuntaansa avaruudessa pysyen koko ajan vaakatasossa. Ottaen huomioon, että gyroskoopin kulmamomenttivektori on suunnattu pyörimisakselia pitkin, vektorin pyöriminen jonkin kulman verran da aikana dt tarkoittaa pyörimisakselin kiertämistä samalla kulmalla. Tämän seurauksena gyroskoopin symmetria-akseli alkaa pyöriä kiinteän pystyakselin ympäri BB" kulmanopeudella:

Tällaista liikettä kutsutaan säännöllinen precessio, ja arvo on precession kulmanopeus. Jos alkuhetkellä akseli OO"Gyroskooppia ei asenneta vaakasuoraan, niin precession aikana se kuvaa kartiota avaruudessa suhteessa pystyakseliin. Kitkavoimien läsnäolo johtaa siihen, että gyroskoopin akselin kaltevuuskulma muuttuu jatkuvasti. Tämä liike on ns. nutaatio.

Selvitetään gyroskoopin precession kulmanopeuden riippuvuus järjestelmän pääparametreista. Projisoidaan yhtäläisyys (123) vaaka-akselille, joka on kohtisuorassa OO:ta vastaan"

Geometrisista syistä (katso kuva 22) pienillä kiertokulmilla , niin , ja precession kulmanopeus ilmaistaan:

Tämä tarkoittaa, että jos gyroskooppiin kohdistetaan jatkuva ulkoinen voima, se alkaa pyöriä kolmannen akselin ympäri, joka ei ole sama kuin roottorin pääkiertoakselin suunta.

Precessio, jonka suuruus on verrannollinen vaikuttavan voiman suuruuteen, pitää laitteen pystysuunnassa ja kaltevuuskulma suhteessa tukipintaan voidaan mitata. Kerran kehrätty laite pyrkii vastustamaan suuntausmuutoksia kulmamomentin vuoksi. Tämä vaikutus tunnetaan fysiikassa myös gyroskooppisena inertiana. Jos ulkoinen vaikutus lakkaa, precessio päättyy välittömästi, mutta roottori jatkaa pyörimistä.

Painovoima vaikuttaa levyyn, mikä aiheuttaa momentin voiman tukipisteen ympärillä O. Tämä hetki on ohjattu kohtisuorassa levyn pyörimisakseliin nähden ja on yhtä suuri kuin

missä l 0- etäisyys levyn painopisteestä tukipisteeseen O.

Pyörimisliikkeen dynamiikan peruslain perusteella voimamomentti aiheuttaa tietyllä aikavälillä dt kulmamomentin muutos

Vektorit ja on suunnattu yhtä suoraa pitkin ja ovat kohtisuorassa kiertoakseliin nähden.

Kuvasta 22 osoittaa, että vektorin loppu ajassa dt siirry nurkkaan

Korvaamalla tähän suhteeseen arvot L, dl ja M, saamme

. (2.4.43)

Täten, vektorin pään siirtymän kulmanopeus :

ja kiekon pyörimisakselin yläpää kuvaa ympyrää vaakatasossa (kuva 21). Sellaista kehon liikettä kutsutaan precessionaalinen ja itse vaikutus gyroskooppinen vaikutus.

KIINTEÄN RUUNAN MUOTOMUODOT

Todelliset kappaleet eivät ole ehdottoman elastisia, joten todellisia ongelmia tarkasteltaessa on otettava huomioon mahdollisuus muuttaa niiden muotoa liikkeen aikana, eli muodonmuutokset. Muodonmuutos- tämä on muutos kiinteiden kappaleiden muodossa ja koossa ulkoisten voimien vaikutuksesta.

Muovin väsähtäminen- tämä on muodonmuutos, joka säilyy kehossa ulkoisten voimien toiminnan päättymisen jälkeen. Deformaatiota kutsutaan elastinen, jos ulkoisten voimien toiminnan päätyttyä keho palaa alkuperäiseen kokoonsa ja muotoonsa.

Kaiken tyyppiset muodonmuutokset (jännitys, puristus, taivutus, vääntö, leikkaus) voidaan vähentää samanaikaisesti esiintyviksi jännitys- (tai puristus-) ja leikkausmuodonmuutoksiksi.

Jänniteσ on fysikaalinen suure, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin kimmovoima kappaleen leikkauspinta-alayksikköä kohden (mitattuna Pa):

Jos voima suuntautuu normaalia pitkin pintaan, niin jännitys normaali, jos - tangentiaalisesti, niin jännite tangentiaalinen.

Suhteellinen muodonmuutos- kvantitatiivinen mitta, joka kuvaa muodonmuutosastetta ja joka määräytyy absoluuttisen muodonmuutossuhteen Δ perusteella x alkuperäiseen arvoon x jotka kuvaavat kehon muotoa tai kokoa: .

- suhteellinen pituusmuutosl sauva(pitkittäinen muodonmuutos) ε:

- suhteellinen poikittaisjännitys (puristus)ε', missä d- tangon halkaisija.

Muodonmuutoksilla ε ja ε' on aina eri etumerkit: ε' = −με missä μ on materiaalin ominaisuuksista riippuva positiivinen kerroin ja ns. poissonin luku.

Pienillä muodonmuutoksilla suhteellinen muodonmuutos ε on verrannollinen jännitykseen σ:

missä E- suhteellisuuskerroin (kimmomoduuli), joka on numeerisesti yhtä suuri kuin jännitys, joka esiintyy yksikköä vastaavalla suhteellisella jännityksellä.

Yksipuolisen jännityksen (puristuksen) tapauksessa kutsutaan kimmomoduulia Youngin moduuli. Youngin moduuli mitataan Pa.

Kirjoitettuaan , saamme - Hooken laki:

tangon venymä elastisen muodonmuutoksen alaisena on verrannollinen tankoon vaikuttavaan voimaan(tässä k- joustokerroin). Hooken laki pätee vain pienille muodonmuutoksille.

Toisin kuin kovuustekijä k, joka on vain kehon ominaisuus, Youngin moduuli luonnehtii aineen ominaisuuksia.

Jokaisessa kappaleessa tietystä arvosta alkaen muodonmuutos lakkaa olemasta elastinen ja muuttuu muoviksi. Muovattavat materiaalit ovat materiaaleja, jotka eivät sortu jännitykseen, joka ylittää merkittävästi kimmorajan. Muovisuusominaisuuksien vuoksi metallit (alumiini, kupari, teräs) voidaan altistaa erilaisille mekaanisille prosessoinneille: meistäminen, takominen, taivutus, venytys. Kun muodonmuutos lisääntyy edelleen, materiaali tuhoutuu.

Vetolujuus - suurin jännitys, joka esiintyy kehossa ennen sen tuhoamista.

Puristus- ja vetolujuuden rajojen ero selittyy erolla kiinteiden aineiden molekyylien ja atomien vuorovaikutusprosesseissa näiden prosessien aikana.

Youngin moduuli ja Poissonin suhde kuvaavat täysin isotrooppisen materiaalin elastisia ominaisuuksia. Kaikki muut elastiset vakiot voidaan ilmaista termeillä E ja μ.

Lukuisat kokeet osoittavat, että pienillä jännityksillä jännitys on suoraan verrannollinen suhteelliseen venymään ε (leikkaus OA kaaviot) - Hooken laki täyttyy.

Koe osoittaa, että pienet muodonmuutokset häviävät kokonaan kuorman poistamisen jälkeen (havaitaan elastinen muodonmuutos). Pienille muodonmuutoksille Hooken laki täyttyy. Maksimijännitettä, jolla Hooken laki edelleen pätee, kutsutaan suhteellisuusraja σ p. Se vastaa pistettä MUTTA kaavioita.

Jos jatkat vetokuorman kasvattamista ja ylität suhteellisen rajan, muodonmuutos muuttuu epälineaariseksi (viiva ABCDEK). Pienillä epälineaarisilla muodonmuutoksilla kuitenkin kuorman poistamisen jälkeen rungon muoto ja mitat käytännössä palautuvat (kappale AB grafiikka). Maksimijännitystä, jossa ei ole havaittavia jäännösmuodonmuutoksia, kutsutaan elastisuusraja σ pakkaus. Se vastaa pointtia AT kaavioita. Kimmoraja ylittää suhteellisuusrajan enintään 0,33 %. Useimmissa tapauksissa niitä voidaan pitää tasavertaisina.

Jos ulkoinen kuormitus on sellainen, että runkoon syntyy kimmorajan ylittäviä jännityksiä, muodonmuutoksen luonne muuttuu (kappale BCDEK). Kuorman poistamisen jälkeen näyte ei palaa entisiin mittoihinsa, vaan pysyy muodoltaan, vaikkakin pienemmällä venymällä kuin kuormituksen alaisena (plastinen muodonmuutos).

Elastisuusrajan yli tietyllä pistettä vastaavalla jännitysarvolla Kanssa kaavioissa venymä kasvaa melkein lisäämättä kuormaa (kohta CD kaaviot ovat melkein vaakasuorat). Tätä ilmiötä kutsutaan materiaalivirta.

Kun kuormitus kasvaa edelleen, jännite kasvaa (pisteestä D), jonka jälkeen näytteen vähiten kestävään kohtaan ilmestyy kapeneminen ("niska"). Poikkileikkausalan pienenemisen vuoksi (piste E) lisää venymistä varten tarvitaan vähemmän jännitystä, mutta lopulta tapahtuu näytteen tuhoutuminen (kohta Vastaanottaja). Sitä kutsutaan maksimirasitukseksi, jonka näyte voi kestää rikkoutumatta Vetolujuus - σ pc (se vastaa pistettä E kaaviot). Sen arvo riippuu suuresti materiaalin luonteesta ja sen käsittelystä.

Harkitse leikkausmuodonmuutos. Tätä varten otamme homogeenisen kappaleen, jolla on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, ja kohdistamme sen vastakkaisiin pintoihin voimia, jotka on suunnattu yhdensuuntaisesti näiden pintojen kanssa. Jos voimien vaikutus jakautuu tasaisesti vastaavan pinnan koko pinnalle S, silloin missä tahansa näiden pintojen suuntaisissa leikkauksissa syntyy tangentiaalinen jännitys

Pienillä muodonmuutoksilla rungon tilavuus ei käytännössä muutu, ja muodonmuutos koostuu siitä, että suuntaissärmiön "kerrokset" siirtyvät suhteessa toisiinsa. Siksi tätä muodonmuutosta kutsutaan leikkausmuodonmuutos.

Leikkausmuodonmuutoksen aikana mikä tahansa suora viiva, joka on alun perin kohtisuorassa vaakasuuntaisiin kerroksiin nähden, pyörii jonkin kulman läpi. Tämä tyydyttää suhteen

,

missä - leikkausmoduuli, joka riippuu vain kehon materiaaliominaisuuksista.

Leikkausmuodonmuutoksilla tarkoitetaan homogeenisia muodonmuutoksia, eli kun kaikki kappaleen äärettömän pienet tilavuuselementit muuttuvat samalla tavalla.

On kuitenkin epähomogeenisia muodonmuutoksia - taivutus ja vääntäminen.

Otetaan homogeeninen lanka, kiinnitetään sen yläpää ja kohdistetaan vääntövoima alapäähän, jolloin syntyy vääntömomentti M suhteessa langan pituusakseliin. Lanka pyörii - sen alapohjan jokainen säde pyörii pituusakselin ympäri kulman verran. Tätä muodonmuutosta kutsutaan vääntövoimaksi. Hooken laki vääntömuodonmuutokselle on kirjoitettu muodossa

missä on tietyn johdon vakioarvo, jota kutsutaan sen vääntömoduuli. Toisin kuin aikaisemmissa moduuleissa, se ei riipu vain materiaalista, vaan myös langan geometrisista mitoista.

Rotary työ. Voiman hetki

Tarkastellaan työtä, joka tehdään materiaalipisteen pyöriessä ympyrän ympäri, kun vaikuttava voima projektio siirtyy (voiman tangentiaalinen komponentti). Kohdan (3.1) ja kuvan 1 mukaisesti. 4.4, siirtymällä translaatioliikkeen parametreista pyörivän liikkeen parametreihin (dS = Rdcp)

Tässä otetaan käyttöön käsite voimamomentti pyörimisakselin OOi ympärillä voiman tulona F s voiman R:llä:

Kuten suhteesta (4.8) voidaan nähdä, voimamomentti pyörivässä liikkeessä on analoginen voiman kanssa translaatioliikkeessä, koska molemmat parametrit kerrottuna analogeilla dcp ja dS antaa töitä. Ilmeisesti voimamomentti on määritettävä myös vektoriaalisesti, ja pisteen O suhteen sen määritelmä on annettu vektoritulon kautta ja sillä on muoto

Lopuksi: työ pyörimisliikkeen aikana on yhtä suuri kuin voimamomentin ja kulmasiirtymän skalaaritulo:

Kineettinen energia pyörivän liikkeen aikana. Hitausmomentti

Tarkastellaan ehdottoman jäykkää kappaletta, joka pyörii kiinteän akselin ympäri. Jaetaan tämä keho henkisesti äärettömän pieniksi paloiksi, joiden koko ja massa on äärettömän pieni mi, m2, Shz..., jotka sijaitsevat etäisyydellä R b R 2 , R3 ... akselista. Löydämme pyörivän kappaleen liike-energian sen pienten osien liike-energioiden summana

jossa Y on jäykän kappaleen hitausmomentti suhteessa annettuun akseliin OOj.

Translaatio- ja pyörimisliikkeiden kineettisen energian kaavojen vertailusta voidaan nähdä, että Hitausmomentti pyörivässä liikkeessä on analoginen translaatioliikkeen massan kanssa. Kaava (4.12) on kätevä yksittäisistä ainepisteistä koostuvien järjestelmien hitausmomentin laskemiseen. Kiinteiden kappaleiden hitausmomentin laskemiseksi integraalin määritelmää käyttäen voidaan muuntaa (4.12) muotoon

On helppo nähdä, että hitausmomentti riippuu akselin valinnasta ja muuttuu sen yhdensuuntaisen siirtymisen ja pyörimisen myötä. Esittelemme joidenkin homogeenisten kappaleiden hitausmomenttien arvot.

Kohdasta (4.12) nähdään, että aineellisen pisteen hitausmomentti on yhtä suuri

missä t- pistemassa;

R- etäisyys pyörimisakselista.

Hitausmomentti on helppo laskea ontto ohutseinäinen sylinteri(tai pienen korkeuden omaavan sylinterin erikoistapaus - ohut rengas) säde R symmetria-akselin ympäri. Tällaisen kappaleen kaikkien pisteiden etäisyys pyörimisakseliin on sama, yhtä suuri kuin säde ja voidaan ottaa pois summan merkin alta (4.12):

kiinteä sylinteri(tai pienen korkeuden omaavan sylinterin erikoistapaus - levy) säde R hitausmomentin laskemiseksi symmetria-akselin ympäri edellyttää integraalin (4.13) laskemista. Massa tässä tapauksessa keskimääräisesti keskittyy hieman lähemmäksi kuin onton sylinterin tapauksessa, ja kaava on samanlainen kuin (4.15), mutta siihen ilmestyy yhtä pienempi kerroin. Etsitään tämä kerroin.

Olkoon kiinteällä sylinterillä tiheys R ja korkeus h. Jaetaan se osiin

ontot sylinterit (ohuet sylinterimäiset pinnat) paksut DR(Kuva 4.5) esittää projektiota, joka on kohtisuorassa symmetria-akseliin nähden). Tällaisen säteen onton sylinterin tilavuus G on yhtä suuri kuin pinta-ala kerrottuna paksuudella: paino: ja hetken

hitaus (4.15): Kokonaismomentti

Kiinteän sylinterin hitaus saadaan integroimalla (summaamalla) onttojen sylinterien hitausmomentit:

. Ottaen huomioon, että kiinteän sylinterin massa on suhteessa

tiheyden kaava t = 7iR 2 hv meillä on vihdoin kiinteän sylinterin hitausmomentti:

Samoin haettu ohuen sauvan hitausmomentti pituus L ja massat t, jos pyörimisakseli on kohtisuorassa sauvaan nähden ja kulkee sen keskeltä. Halkaistaan ​​tällainen sauva kuvan 1 mukaisesti. 4.6

paksuiksi paloiksi dl. Tällaisen kappaleen massa on dm = m dl/l, ja hitausmomentti Paavalin mukaan

Ohuen sauvan uusi hitausmomentti saadaan integroimalla (summaamalla) kappaleiden hitausmomentit: