Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Täna hakkame õppima geomeetriaga seotud algoritme. Fakt on see, et arvutiteaduses on arvutusgeomeetriaga seotud olümpiaadiülesandeid väga palju ja selliste ülesannete lahendamine tekitab sageli raskusi.

Mõnes õppetükis käsitleme mitmeid elementaarseid alamülesandeid, millel põhineb enamiku arvutusgeomeetria ülesannete lahendamine.

Selles õppetükis kirjutame programmi sirgjoone võrrandi leidmine antud läbimine kaks punkti. Geomeetriliste ülesannete lahendamiseks vajame mõningaid teadmisi arvutusgeomeetriast. Osa tunnist pühendame nende tundmaõppimisele.

Teave arvutusgeomeetriast

Arvutusgeomeetria on arvutiteaduse haru, mis uurib geomeetriliste ülesannete lahendamise algoritme.

Selliste ülesannete lähteandmeteks võib olla punktide kogum tasapinnal, segmentide komplekt, hulknurk (antud näiteks selle tippude loendiga päripäeva) jne.

Tulemuseks võib olla kas vastus mõnele küsimusele (nt kas punkt kuulub lõiku, kas kaks lõiku ristuvad, ...) või mõni geomeetriline objekt (näiteks väikseim antud punkte ühendav kumer hulknurk, lõigu pindala hulknurk jne).

Arvutusgeomeetria ülesandeid käsitleme ainult tasapinnal ja ainult Descartes'i koordinaatsüsteemis.

Vektorid ja koordinaadid

Arvutusgeomeetria meetodite rakendamiseks on vaja geomeetrilisi kujutisi tõlkida arvude keelde. Eeldame, et tasapinnal on antud Descartes'i koordinaatsüsteem, milles pöörlemissuunda vastupäeva nimetatakse positiivseks.

Nüüd saavad geomeetrilised objektid analüütilise väljenduse. Niisiis, punkti määramiseks piisab selle koordinaatide määramisest: arvude paar (x; y). Lõigu saab määrata selle otste koordinaatide määramisega, sirge saab määrata selle punktide paari koordinaatidega.

Kuid peamine tööriist probleemide lahendamisel on vektorid. Seetõttu tuletan teile meelde mõningat teavet nende kohta.

Joonelõik AB, millel on mõte AGA peetakse algust (rakenduspunkti) ja punkti AT- lõppu nimetatakse vektoriks AB ja tähistage kas , või paksus kirjas väiketähtedega, Näiteks a .

Vektori pikkuse (st vastava segmendi pikkuse) tähistamiseks kasutame mooduli sümbolit (näiteks ).

Suvalisel vektoril on koordinaadid, võrdsed erinevused selle lõpu ja alguse vastavad koordinaadid:

,

punktid siin A ja B on koordinaadid vastavalt.

Arvutuste tegemiseks kasutame kontseptsiooni orienteeritud nurk, see tähendab nurk, mis võtab arvesse vektorite suhtelist asukohta.

Orienteeritud nurk vektorite vahel a ja b positiivne, kui pöörlemine on vektorist eemal a vektorile b tehakse positiivses suunas (vastupäeva) ja teisel juhul negatiivses suunas. Vaata joonist 1a, joont 1b. Öeldakse ka, et vektorite paar a ja b positiivselt (negatiivselt) orienteeritud.

Seega sõltub orienteeritud nurga väärtus vektorite loendamise järjekorrast ja võib võtta väärtusi intervallis .

Paljud arvutusgeomeetria probleemid kasutavad vektorite vektori (kalduvus- või pseudoskalaarkorrutise) mõistet.

Vektorite a ja b vektorkorrutis on nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutis:

.

Vektorite korrutis koordinaatides:

Parempoolne avaldis on teist järku determinant:

Erinevalt analüütilises geomeetrias antud definitsioonist on see skalaar.

Ristkorrutise märk määrab vektorite asukoha üksteise suhtes:

a ja b positiivselt orienteeritud.

Kui väärtus on , siis vektorite paar a ja b negatiivselt orienteeritud.

Nullist erineva vektorite ristkorrutis on null siis ja ainult siis, kui need on kollineaarsed ( ). See tähendab, et need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel.

Vaatleme mõnda lihtsat ülesannet, mis on vajalikud keerukamate lahendamiseks.

Määratleme sirge võrrandi kahe punkti koordinaatide järgi.

Kaht erinevat punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud nende koordinaatidega.

Olgu sirgel antud kaks mittekattuvat punkti: koordinaatidega (x1;y1) ja koordinaatidega (x2; y2). Vastavalt sellele on vektoril, mille algus on punktis ja mille lõpp on punktis, koordinaadid (x2-x1, y2-y1). Kui P(x, y) on suvaline punkt meie sirgel, siis on vektori koordinaadid (x-x1, y - y1).

Ristkorrutise abil saab vektorite kollineaarsuse tingimuse kirjutada järgmiselt:

Need. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1) (x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Kirjutame viimase võrrandi ümber järgmiselt:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Niisiis, sirge saab anda võrrandiga kujul (1).

Ülesanne 1. Antakse kahe punkti koordinaadid. Leidke selle esitus kujul ax + by + c = 0.

Selles tunnis tutvusime mõne arvutusgeomeetria infoga. Lahendasime sirge võrrandi leidmise ülesande kahe punkti koordinaatide järgi.

Järgmises tunnis kirjutame programmi, et leida meie võrranditega antud kahe sirge lõikepunkt.

Olgu antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1) ja M 2 (x 2, y 2). Kirjutame sirgjoone võrrandi kujul (5), kus k seni teadmata koefitsient:

Alates punktist M 2 kuulub antud reale, siis vastavad selle koordinaadid võrrandile (5): . Siit väljendades ja asendades selle võrrandiga (5), saame soovitud võrrandi:

Kui a Selle võrrandi saab hõlpsamini meeldejääval kujul ümber kirjutada:

(6)

Näide. Kirjutage punkte M 1 (1,2) ja M 2 (-2,3) läbiva sirge võrrand.

Otsus. . Kasutades proportsiooni omadust ja tehes vajalikud teisendused, saame sirge üldvõrrandi:

Nurk kahe joone vahel

Mõelge kahele reale l 1 ja l 2:

l 1: , , ja

l 2: , ,

φ on nendevaheline nurk (). Joonisel 4 on näidatud: .

Siit , või

Valemi (7) abil saab määrata ühe joontevahelise nurga. Teine nurk on .

Näide. Kaks sirget on antud võrranditega y=2x+3 ja y=-3x+2. leidke nende joonte vaheline nurk.

Otsus. Võrranditest on näha, et k 1 \u003d 2 ja k 2 \u003d-3. asendades need väärtused valemiga (7), leiame

. Nii et nende joonte vaheline nurk on .

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused

Kui sirge l 1 ja l 2 on siis paralleelsed φ=0 ja tgφ=0. valemist (7) järeldub, et Kust k 2 \u003d k 1. Seega on kahe sirge paralleelsuse tingimuseks nende nõlvade võrdsus.

Kui sirge l 1 ja l 2 siis risti φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Seega on kahe sirge risti asetsemise tingimuseks, et nende kalded on suuruselt vastastikused ja märgilt vastassuunalised.

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

Koordinaate x 1 ja y 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirgjoone võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on risti antud sirgega.

Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.

Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.

Näide. Kolmnurga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Leiame külje AB võrrandi: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3a + 3 = 0;

Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b.

k= . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad see võrrand: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.

Kaugus punktist sirgeni määratakse punktist joonele langenud risti pikkuse järgi.

Kui joon on paralleelne projektsioonitasandiga (h | | P 1), siis selleks, et määrata kaugus punktist AGA sirgeks h punktist on vaja langetada risti AGA horisontaalsele h.

Kaaluge rohkem keeruline näide kui liin on hõivatud üldine seisukoht. Olgu vaja määrata kaugus punktist M sirgeks aüldine seisukoht.

Määratlege ülesanne paralleelsete joonte vahelised kaugused lahendatud sarnaselt eelmisega. Ühel sirgel võetakse punkt ja sellelt tõmmatakse risti teisele sirgele. Perpendikulaari pikkus võrdub paralleelsete joonte vahelise kaugusega.

Teise järgu kõver on sirge, mis on määratletud teise astme võrrandiga kehtivate Descartes'i koordinaatide suhtes. Üldjuhul Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

kus A, B, C, D, E, F on reaalarvud ja vähemalt üks arvudest A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Ring

Ringi keskpunkt- see on punktide asukoht tasapinnal, mis on võrdsel kaugusel tasandi punktist C (a, b).

Ring on antud järgmise võrrandiga:

Kus x, y on ringi suvalise punkti koordinaadid, R on ringi raadius.

Ringjoone võrrandi märk

1. Terminit x, y ei ole

2. Koefitsiendid x 2 ja y 2 juures on võrdsed

Ellips

Ellips nimetatakse punktide asukohta tasapinnal, mille kummagi kauguste summat selle tasandi kahest etteantud punktist nimetatakse fookusteks (konstantseks väärtuseks).

Ellipsi kanooniline võrrand:

X ja y kuuluvad ellipsi alla.

a on ellipsi suurem pooltelg

b on ellipsi väike pooltelg

Ellipsil on 2 sümmeetriatelge OX ja OY. Ellipsi sümmeetriateljed on selle teljed, nende lõikepunktiks on ellipsi keskpunkt. Telge, millel fookused asuvad, nimetatakse fookustelg. Ellipsi ja telgede lõikepunkt on ellipsi tipp.

Kokkusurumise (venitamise) suhe: ε = c/a- ekstsentrilisus (iseloomustab ellipsi kuju), mida väiksem see on, seda vähem pikeneb ellips piki fookustelge.

Kui ellipsi keskpunktid ei asu keskpunktis С(α, β)

Hüperbool

Hüperbool mida nimetatakse tasandi punktide asukohaks, vahekauguste absoluutväärtus, millest igaüks selle tasandi kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on nullist erinev konstantne väärtus.

Hüperbooli kanooniline võrrand

Hüperboolil on 2 sümmeetriatelge:

a - reaalne sümmeetria pooltelg

b - kujuteldav sümmeetria pooltelg

Hüperbooli asümptoodid:

Parabool

parabool on punktide asukoht antud punktist F võrdsel kaugusel asuval tasapinnal, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgest, mida nimetatakse otsejooneks.

Kanooniline parabooli võrrand:

Y 2 \u003d 2px, kus p on kaugus fookusest suunani (parabooli parameeter)

Kui parabooli tipp on C (α, β), siis parabooli võrrand (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Kui y-teljeks võetakse fookustelg, on parabooli võrrand järgmisel kujul: x 2 \u003d 2qy

Tasapinna sirgjoone võrrand.
Suunavektor on sirge. Normaalvektor

Tasapinna sirgjoon on üks lihtsamaid geomeetrilisi kujundeid, mis on teile tuttav juba algklassidest ja täna õpime sellega toime tulema analüütilise geomeetria meetodite abil. Materjali valdamiseks on vaja ehitada sirgjoont; teada, milline võrrand määratleb sirge, eelkõige alguspunkti läbiva sirge ja koordinaattelgedega paralleelsed sirged. Selle teabe leiate juhendist. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused, lõin selle matani jaoks, kuid lineaarfunktsiooni jaotis osutus väga edukaks ja üksikasjalikuks. Seega, kallid teekannud, soojendage end kõigepealt seal. Lisaks peab sul olema põhiteadmised umbes vektorid vastasel juhul jääb materjalist arusaamine puudulik.

Selles õppetükis vaatleme viise, kuidas saate tasapinnal sirgjoone võrrandit kirjutada. Soovitan mitte jätta tähelepanuta praktilisi näiteid (isegi kui see tundub väga lihtne), kuna varustan neid elementaarsete ja olulised faktid, tehnilisi meetodeid, mida vajatakse tulevikus, sealhulgas teistes kõrgema matemaatika osades.

• Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?
• Kuidas ?
• Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?
• Kuidas kirjutada sirge võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

ja alustame:

Joone võrrand kaldega

Tuntud sirgjoone võrrandi "kooli" vormi nimetatakse sirgjoone võrrand koos kaldetegur . Näiteks kui võrrandiga on antud sirge, siis selle kalle: . Kaaluge geomeetriline tähendus antud koefitsient ja kuidas selle väärtus mõjutab liini asukohta:

Geomeetria käigus on tõestatud, et sirgjoone kalle on nurga puutuja positiivse telje suuna vahelja antud rida: , ja nurk keeratakse lahti vastupäeva.

Et joonist mitte segamini ajada, tõmbasin nurgad ainult kahele sirgele. Mõelge "punasele" sirgele ja selle kallele. Vastavalt ülaltoodule: (nurk "alfa" on tähistatud rohelise kaarega). "Sinise" sirge kaldega puhul kehtib võrdsus (nurk "beeta" on tähistatud pruuni kaarega). Ja kui nurga puutuja on teada, siis vajadusel on seda lihtne leida ja nurk kasutades pöördfunktsiooni - arctangens. Nagu öeldakse, trigonomeetriline tabel või kalkulaator käes. Seega kalle iseloomustab sirge kalde astet x-telje suhtes.

Sel juhul on võimalikud järgmised juhtumid:

1) Kui kalle on negatiivne: , siis joon jämedalt öeldes läheb ülalt alla. Näited on joonisel "sinised" ja "karmiinpunased" sirgjooned.

2) Kui kalle on positiivne: , siis joon läheb alt üles. Näideteks on "must" ja "punane" sirgjoon joonisel.

3) Kui kalle on võrdne nulliga: , siis saab võrrand kuju ja vastav sirge on paralleelne teljega. Näiteks on "kollane" joon.

4) Teljega paralleelsete sirgjoonte perekonna puhul (joonisel pole näidet, välja arvatud telg ise) on kalle ei eksisteeri (90 kraadi puutuja pole määratletud).

Mida suurem on kaldemoodul, seda järsemaks läheb joondiagramm.

Mõelge näiteks kahele sirgjoonele. Siin on sirgel järsem kalle. Tuletan meelde, et moodul võimaldab märki ignoreerida, meid huvitab ainult absoluutväärtused nurkkoefitsiendid.

Sirge on omakorda järsem kui sirged. .

Vastupidi: mida väiksem on kaldemoodul, seda lamedam on sirgjoon.

Sirgete joonte jaoks ebavõrdsus on tõsi, seega on sirgjoon rohkem kui varikatus. Laste liumägi, et mitte istutada sinikaid ja muhke.

Miks seda vaja on?

Pikendage oma piina Ülaltoodud faktide teadmine võimaldab teil kohe näha oma vigu, eriti graafikuid joonistades - kui joonisel selgus, et midagi on selgelt valesti. On soovitav, et sa kohe oli selge, et näiteks sirge on väga järsk ja läheb alt üles ja sirge on väga tasane, telje lähedal ja läheb ülevalt alla.

Geomeetrilistes ülesannetes esineb sageli mitu sirgjoont, mistõttu on mugav neid kuidagi tähistada.

Märge: sirgjooned on tähistatud väikestega ladina tähtedega: . Populaarne valik on sama tähe tähistamine loomulike alaindeksitega. Näiteks võib viit rida, mida just vaatlesime, tähistada .

Kuna iga sirge on üheselt määratud kahe punktiga, saab seda tähistada järgmiste punktidega: jne. Tähistus viitab ilmselgelt sellele, et punktid kuuluvad joonele.

Aeg veidi lõdvestuda:

Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?

Kui on teada punkt, mis kuulub kindlale sirgele, ja selle sirge kalle, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Näide 1

Koostage kaldega sirge võrrand, kui on teada, et punkt kuulub sellele sirgele.

Otsus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi . Sel juhul:

Vastus:

Uurimine elementaarselt sooritatud. Esiteks vaatame saadud võrrandit ja veendume, et meie kalle on omal kohal. Teiseks peavad punkti koordinaadid täitma antud võrrandit. Ühendame need võrrandisse:

Saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et punkt rahuldab saadud võrrandit.

Järeldus: võrrand leiti õigesti.

Keerulisem näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Kirjutage sirge võrrand, kui on teada, et selle kaldenurk telje positiivse suuna suhtes on , ja punkt kuulub sellele sirgele.

Kui teil on probleeme, lugege uuesti teoreetiline materjal. Täpsemalt, asjalikumalt, tunnen puudust paljudest tõestustest.

helises viimane kutse, lõpuball on vaibunud ja väljaspool väravaid kodukool me ootame tegelikult analüütilist geomeetriat. Naljad on läbi... Võib-olla see alles algab =)

Nostalgiliselt vehime käepidemega tuttavale ja tutvume sirge üldvõrrandiga. Kuna analüütilises geomeetrias on kasutusel just see:

Sirge üldvõrrandil on vorm: , kus on mõned numbrid. Samal ajal koefitsiendid samaaegselt ei ole võrdsed nulliga, kuna võrrand kaotab oma tähenduse.

Riietume ülikonda ja seome kaldega võrrandi. Esiteks liigutame kõik terminid vasakule küljele:

Termin "x" tuleb asetada esikohale:

Põhimõtteliselt on võrrandil juba vorm , kuid matemaatilise etiketi reeglite kohaselt peab esimese liikme koefitsient (antud juhul ) olema positiivne. Märkide muutumine:

Mäleta seda tehniline omadus! Teeme esimese koefitsiendi (kõige sagedamini ) positiivseks!

Analüütilises geomeetrias antakse sirge võrrand peaaegu alati sisse üldine vorm. Noh, vajadusel on lihtne viia kaldega “kooli” vormi (erandiks on y-teljega paralleelsed sirged).

Küsigem endalt, mida piisav kas oskate sirgjoont ehitada? Kaks punkti. Aga selle lapsepõlve juhtumi kohta hiljem, nüüd jääb noolte reegel. Igal sirgel on täpselt määratletud kalle, millega on lihtne "kohaneda" vektor.

Vektorit, mis on joonega paralleelne, nimetatakse selle sirge suunavektoriks.. Ilmselgelt on igal sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja kõik need on kollineaarsed (kaassuunatud või mitte – vahet pole).

Suunavektorit tähistan järgmiselt: .

Kuid sirge ehitamiseks ühest vektorist ei piisa, vektor on vaba ega ole kinnitatud ühegi tasandi punktiga. Seetõttu on lisaks vaja teada mõnda punkti, mis joonele kuulub.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja suunavektor?

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge suunav vektor, siis saab selle sirge võrrandi koostada valemiga:

Mõnikord nimetatakse seda sirge kanooniline võrrand .

Mida teha millal üks koordinaatidest on null, vaatleme allpool praktilisi näiteid. Muide, pange tähele - mõlemad korraga koordinaadid ei saa olla nullid, kuna nullvektor ei määra konkreetset suunda.

Näide 3

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

Otsus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi. Sel juhul:

Kasutades proportsiooni omadusi, vabaneme murdosadest:

Ja me viime võrrandi üldine vaade:

Vastus:

Selliste näidete joonistamine pole reeglina vajalik, kuid mõistmise huvides:

Joonisel näeme alguspunkti, algset suunavektorit (seda saab edasi lükata igast tasapinna punktist) ja konstrueeritud joont. Muide, paljudel juhtudel on sirgjoone ehitamine kõige mugavam kaldevõrrandi abil. Meie võrrandit on lihtne vormile teisendada ja sirge joone loomiseks võtke probleemideta üles veel üks punkt.

Nagu lõigu alguses märgitud, on sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja need kõik on kollineaarsed. Näiteks joonistasin kolm sellist vektorit: . Ükskõik millise suunavektori me valime, on tulemuseks alati sama sirge võrrand.

Koostame sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori järgi:

Proportsioonide jagamine:

Jagage mõlemad pooled -2-ga ja saage tuttav võrrand:

Soovijad saavad samamoodi vektoreid testida või mõni muu kollineaarne vektor.

Nüüd lahendame pöördülesande:

Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?

Väga lihtne:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge suunavektor.

Näited sirgjoonte suunavektorite leidmiseks:

See väide võimaldab meil leida lõpmatust hulgast ainult ühe suunavektori, kuid me ei vaja rohkem. Kuigi mõnel juhul on soovitatav suunavektorite koordinaate vähendada:

Seega määrab võrrand sirge, mis on teljega paralleelne, ja saadud juhtimisvektori koordinaadid jagatakse mugavalt -2-ga, saades juhtimisvektoriks täpselt baasvektori. Loogiliselt.

Samamoodi defineerib võrrand teljega paralleelse sirge ja jagades vektori koordinaadid 5-ga, saame suunavektoriks ort.

Nüüd teostame kontrolli näide 3. Näide tõusis üles, nii et tuletan teile meelde, et selles lõime sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori abil

Esiteks, vastavalt sirgjoone võrrandile taastame selle suunava vektori: - kõik on korras, saime algse vektori (mõnel juhul võib see osutuda algvektoriga kollineaarseks ja seda on tavaliselt vastavate koordinaatide proportsionaalsuse järgi lihtne näha).

Teiseks, peavad punkti koordinaadid täitma võrrandit . Asendame need võrrandisse:

Õige võrdsus on saavutatud, millega oleme väga rahul.

Järeldus: Töö on õigesti tehtud.

Näide 4

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

See on tee-seda-ise näide. Lahendus ja vastus tunni lõpus. Väga soovitav on teha kontroll just vaadeldud algoritmi järgi. Proovige alati (võimaluse korral) mustandit kontrollida. Rumal on teha vigu seal, kus neid saab 100% vältida.

Kui üks suunavektori koordinaatidest on null, on seda väga lihtne teha:

Näide 5

Otsus: valem on kehtetu, kuna paremal pool olev nimetaja on null. Väljapääs on olemas! Kasutades proportsiooni omadusi, kirjutame valemi ümber kujul , ja ülejäänud veeretatakse mööda sügavat roopa:

Vastus:

Uurimine:

1) Taastage sirge suunavektor:
– saadud vektor on kollineaarne algse suunavektoriga.

2) Asendage võrrandi punkti koordinaadid:

Saavutatakse õige võrdsus

Järeldus: töö on õigesti tehtud

Tekib küsimus, miks peaks valemiga vaeva nägema, kui on olemas universaalne versioon, mis töötab nagunii? Põhjuseid on kaks. Esiteks murdosa valem palju parem meeles pidada. Ja teiseks, universaalse valemi puuduseks on see märkimisväärselt suurenenud segiajamise oht koordinaatide asendamisel.

Näide 6

Koostage sirge võrrand punkti ja suunavektoriga.

See on tee-seda-ise näide.

Tuleme tagasi üldlevinud kahe punkti juurde:

Kuidas kirjutada kahe punktiga sirge võrrandit?

Kui on teada kaks punkti, saab neid punkte läbiva sirge võrrandi koostada järgmise valemi abil:

Tegelikult on see omamoodi valem ja siin on põhjus: kui on teada kaks punkti, on vektor selle sirge suunavektor. Õppetunnis Mannekeenide vektorid kaalusime kõige lihtsam ülesanne– kuidas leida kahest punktist vektori koordinaate. Selle ülesande kohaselt on suunavektori koordinaadid:

Märge : punkte saab "vahetada" ja kasutada valemit . Selline otsus oleks võrdne.

Näide 7

Kirjutage kahest punktist sirge võrrand .

Otsus: Kasutage valemit:

Kammime nimetajaid:

Ja segage tekki:

Nüüd on aeg vabaneda murdarvud. Sel juhul peate mõlemad osad korrutama 6-ga:

Avage sulud ja tooge võrrand meelde:

Vastus:

Uurimine on ilmne - algpunktide koordinaadid peavad vastama saadud võrrandile:

1) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

2) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

Järeldus: sirgjoone võrrand on õige.

Kui a vähemalt üks punktidest ei rahulda võrrandit, otsige viga.

Väärib märkimist, et graafiline kontrollimine on sel juhul keeruline, kuna ehitada joon ja vaadata, kas punktid kuuluvad sellele. , mitte nii lihtne.

Märgin ära paar tehnilist punkti lahendusest. Võib-olla on selles probleemis kasulikum kasutada peegelvalemit ja samade punktide jaoks tee võrrand:

Murdeid on vähem. Soovi korral võid lahenduse lõpuni teha, tulemuseks peaks olema sama võrrand.

Teine punkt on vaadata lõplikku vastust ja vaadata, kas seda saab veelgi lihtsustada? Näiteks kui saadakse võrrand, siis on soovitatav seda kahe võrra vähendada: - võrrand seab sama sirge. See on aga juba jututeema sirgjoonte vastastikune paigutus.

Saanud vastuse Näites 7 kontrollisin igaks juhuks, kas võrrandi KÕIK koefitsiendid jaguvad 2, 3 või 7-ga. Kuigi enamasti tehakse selliseid taandusi lahendamise käigus.

Näide 8

Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand .

See on näide iseseisvast lahendusest, mis võimaldab teil lihtsalt arvutustehnikat paremini mõista ja välja töötada.

Sarnaselt eelmise lõiguga: kui valemis üks nimetajatest (suunavektori koordinaat) kaob, siis kirjutame selle ümber kujul . Ja jälle pange tähele, kui kohmetu ja segaduses ta välja nägi. Ma ei näe praktiliste näidete toomisel erilist mõtet, kuna oleme sellise probleemi juba tegelikult lahendanud (vt nr 5, 6).

Sirge normaalvektor (normaalvektor)

Mis on normaalne? Lihtsate sõnadega, normaalne on risti. See tähendab, et sirge normaalvektor on antud sirgega risti. On ilmne, et igal sirgel on neid lõpmatu arv (nagu ka suunavektoreid) ja kõik sirge normaalvektorid on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte - vahet pole).

Nendega tegelemine on veelgi lihtsam kui suunavektoritega:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge normaalvektor.

Kui suunavektori koordinaadid tuleb võrrandist ettevaatlikult “välja tõmmata”, siis võib normaalvektori koordinaadid lihtsalt “eemaldada”.

Normaalvektor on alati sirge suunavektoriga ortogonaalne. Kontrollime nende vektorite ortogonaalsust kasutades punktitoode:

Toon näiteid samade võrranditega nagu suunavektori puhul:

Kas on võimalik kirjutada sirge võrrandit, teades üht punkti ja normaalvektorit? Tundub, et see on võimalik. Kui normaalvektor on teada, määratakse ka kõige sirgema joone suund üheselt - see on "jäik struktuur", mille nurk on 90 kraadi.

Kuidas kirjutada sirge võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge normaalvektor, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Siin sujus kõik ilma murdude ja muude üllatusteta. Selline on meie normaalvektor. Armastan seda. Ja austus =)

Näide 9

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Otsus: Kasutage valemit:

Saadakse sirge üldvõrrand, kontrollime:

1) "Eemaldage" võrrandist normaalvektori koordinaadid: - jah, tõepoolest, algvektor saadakse tingimusest (või vektor peaks olema algvektoriga kollineaarne).

2) Kontrollige, kas punkt vastab võrrandile:

Tõeline võrdsus.

Kui oleme veendunud, et võrrand on õige, täidame ülesande teise, lihtsama osa. Tõmbame välja sirgjoone suunavektori:

Vastus:

Joonisel on olukord järgmine:

Koolituse jaoks sarnane ülesanne iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 10

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Tunni viimane osa on pühendatud vähem levinud, kuid ka olulistele tasapinnalise sirgjoone võrrandite tüüpidele

Segmentides sirgjoone võrrand.
Sirge võrrand parameetrilisel kujul

Segmentide sirgjoone võrrand on kujul , kus on nullist erinevad konstandid. Teatud tüüpi võrrandeid ei saa sellisel kujul esitada, näiteks otsest proportsionaalsust (kuna vaba liige on null ja paremale poole ei saa ühte).

See on piltlikult öeldes "tehnilist" tüüpi võrrand. Tavaline ülesanne on kujutada sirge üldvõrrandit sirgjoone võrrandina segmentides. Miks see mugav on? Sirge võrrand lõikudes võimaldab kiiresti leida sirge lõikepunktid koordinaattelgedega, mis on mõne kõrgema matemaatika ülesande puhul väga oluline.

Leidke sirge ja telje lõikepunkt. Lähtestame "y" ja võrrand võtab kuju . Soovitud punkt saadud automaatselt: .

Sama teljega on punkt, kus joon lõikub y-teljega.

Ruumi sirgjoone kanoonilised võrrandid on võrrandid, mis määratlevad sirge, mis läbib antud punkti kollineaarselt suunavektoriga.

Olgu antud punkt ja suunavektor. Suvaline punkt asub sirgel l ainult siis, kui vektorid ja on kollineaarsed, st nad vastavad tingimusele:

.

Ülaltoodud võrrandid on kanoonilised võrrandid otse.

Numbrid m , n ja lk on suunavektori projektsioonid koordinaattelgedele. Kuna vektor on nullist erinev, siis kõik arvud m , n ja lk ei saa olla samal ajal null. Kuid üks või kaks neist võivad olla null. Näiteks analüütilises geomeetrias on lubatud järgmised tähistused:

,

mis tähendab, et vektori projektsioonid telgedel Oy ja Oz on võrdsed nulliga. Seetõttu on nii vektor kui ka kanooniliste võrranditega antud sirge telgedega risti Oy ja Oz, st lennukid yOz .

Näide 1 Koostage tasandiga risti oleva ruumi sirgjoone võrrandid ja läbides selle tasandi ja telje lõikepunkti Oz .

Otsus. Leia antud tasandi lõikepunkt teljega Oz. Kuna mis tahes punkti teljel Oz, on koordinaadid , siis eeldades tasapinna antud võrrandis x=y= 0, saame 4 z- 8 = 0 või z= 2. Seetõttu antud tasandi lõikepunkt teljega Oz on koordinaadid (0; 0; 2) . Kuna soovitud sirge on tasapinnaga risti, on see paralleelne oma normaalvektoriga. Seetõttu võib normaalvektor olla sirge suunav vektor antud lennuk.

Nüüd kirjutame punkti läbiva sirge soovitud võrrandid A= (0; 0; 2) vektori suunas:

Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandid

Sirge saab määratleda kahe sellel asuva punktiga ja Sel juhul võib sirge suunav vektor olla vektor . Siis saavad sirge kanoonilised võrrandid kuju

.

Ülaltoodud võrrandid määratlevad sirge, mis läbib kahte antud punkti.

Näide 2 Kirjutage võrrand sirge ruumis läbib punkte ja .

Otsus. Kirjutame soovitud sirge võrrandid ülaltoodud kujul teoreetilises viites:

.

Kuna , siis on soovitud joon teljega risti Oy .

Sirge nagu tasandite lõikejoon

Ruumisirget saab defineerida kahe mitteparalleelse tasandi lõikejoonena ja punktide kogumina, mis rahuldab kahe lineaarvõrrandi süsteemi.

Nimetatakse ka süsteemi võrrandeid üldvõrrandid sirgjoon ruumis.

Näide 3 Koostage sirge kanoonilised võrrandid üldvõrranditega antud ruumis

Otsus. Sirge kanooniliste võrrandite või, mis on sama, kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi kirjutamiseks peate leidma sirge mis tahes kahe punkti koordinaadid. Need võivad olla näiteks sirge ja mis tahes kahe koordinaattasandi lõikepunktid yOz ja xOz .

Sirge ja tasapinna lõikepunkt yOz on abstsiss x= 0. Seega, eeldades selles võrrandisüsteemis x= 0 , saame kahe muutujaga süsteemi:

Tema otsus y = 2 , z= 6 koos x= 0 määrab punkti A(0; 2; 6) soovitud realt. Eeldusel siis antud võrrandisüsteemis y= 0, saame süsteemi

Tema otsus x = -2 , z= 0 koos y= 0 määrab punkti B(-2; 0; 0) sirge lõikekoht tasapinnaga xOz .

Nüüd kirjutame punkte läbiva sirge võrrandid A(0; 2; 6) ja B (-2; 0; 0) :

,

või pärast nimetajate jagamist -2-ga:

,

Laske sirgel läbida punkte M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2). Punkti M 1 läbiva sirge võrrand on kujul y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

kus k - siiani teadmata koefitsient.

Kuna sirge läbib punkti M 2 (x 2 y 2), peavad selle punkti koordinaadid vastama võrrandile (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Siit leiame Leitud väärtuse asendamise k võrrandisse (10.6) saame punkte M 1 ja M 2 läbiva sirge võrrandi:

Eeldatakse, et selles võrrandis x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kui x 1 \u003d x 2, siis on punkte M 1 (x 1, y I) ja M 2 (x 2, y 2) läbiv sirgjoon y-teljega paralleelne. Selle võrrand on x = x 1 .

Kui y 2 \u003d y I, siis saab sirgjoone võrrandi kirjutada kui y \u003d y 1, sirge M 1 M 2 on paralleelne x-teljega.

Segmentides sirgjoone võrrand

Olgu sirgjoon Ox teljega punktis M 1 (a; 0) ja Oy teljega punktis M 2 (0; b). Võrrand saab kujul:
need.
. Seda võrrandit nimetatakse sirgjoone võrrand lõikudes, sest numbrid a ja b näitavad, millised lõigud sirge koordinaattelgedel ära lõikab.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on risti antud vektoriga

Leiame sirge võrrandi, mis läbib antud punkti Mo (x O; y o), mis on risti antud nullist erineva vektoriga n = (A; B).

Võtame sirge suvalise punkti M(x; y) ja vaatleme vektorit M 0 M (x - x 0; y - y o) (vt joonis 1). Kuna vektorid n ja M o M on risti, on nende skalaarkorrutis võrdne nulliga: see tähendab,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Nimetatakse võrrand (10.8). sirge võrrand, mis läbib antud punkti, mis on risti antud vektoriga .

Sirgega risti olevat vektorit n = (A; B) nimetatakse normaalseks selle sirge normaalvektor .

Võrrandi (10.8) saab ümber kirjutada kujul Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kus A ja B on normaalvektori koordinaadid, C \u003d -Ax o - Vu o - vaba liige. Võrrand (10.9) on sirgjoone üldvõrrand(vt joonis 2).

Joon.1 Joon.2

Sirge kanoonilised võrrandid

,

Kus
on selle punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja
- suunavektor.

Teist järku ringi kõverad

Ringjoon on kõigi punktide hulk tasapinnal, mis on võrdsel kaugusel antud punktist, mida nimetatakse keskpunktiks.

Raadiusringi kanooniline võrrand R keskendunud punktile
:

Täpsemalt, kui panuse keskpunkt langeb kokku lähtepunktiga, näeb võrrand välja järgmine:

Ellips

Ellips on punktide kogum tasapinnal, kauguste summa neist igaühest kahe etteantud punktini ja , mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus
, suurem kui fookuste vaheline kaugus
.

Ellipsi kanoonilisel võrrandil, mille fookused asuvad Härg-teljel ja mille alguspunkt asub fookuste vahel keskel, on vorm
G de a suurema pooltelje pikkus; b on väiksema pooltelje pikkus (joonis 2).