Mis on kaldenurga puutuja. Funktsiooni tuletis. Tuletise geomeetriline tähendus

Teemale "Puutaja nurgakoefitsient kaldenurga puutujana" antakse tunnistuse eksamil mitu ülesannet korraga. Olenevalt seisundist võidakse koolilõpetajalt nõuda nii täieliku kui ka lühikese vastuse esitamist. Ettevalmistamisel eksami sooritamine matemaatikas peaks õpilane kindlasti kordama ülesandeid, milles peate arvutama kalle puutuja.

Selle tegemine aitab teid haridusportaal"Školkovo". Meie eksperdid on koostanud ja esitanud teoreetilise ja praktilise materjali võimalikult kättesaadavalt. Olles sellega tutvunud, saavad mis tahes koolitustasemega lõpetajad edukalt lahendada tuletistega seotud probleeme, mille puhul on vaja leida puutuja kalde puutuja.

Põhilised hetked

Sellistele ülesannetele õige ja ratsionaalse lahenduse leidmiseks eksamil peate meeles pidama põhimääratlus: tuletis on funktsiooni muutumise kiirus; see on võrdne funktsiooni graafikule teatud punktis tõmmatud puutuja kalde puutujaga. Sama oluline on joonise lõpetamine. See võimaldab teil leida õige otsus KASUTAGE tuletisel ülesandeid, mille puhul on vaja arvutada puutuja kalde puutuja. Selguse huvides on kõige parem joonistada graafik OXY tasapinnal.

Kui olete tuletise teema põhimaterjaliga juba tutvunud ja olete valmis asuma lahendama puutuja kaldenurga puutuja arvutamise ülesandeid, mis on sarnased KASUTADA ülesandeid saate seda teha võrgus. Iga ülesande juurde, näiteks ülesanded teemal "Tuletise seos keha kiiruse ja kiirendusega", panime kirja õige vastuse ja lahendusalgoritmi. Sel juhul saavad õpilased harjutada ülesannete täitmist. erinevad tasemed raskusi. Vajadusel saab harjutuse salvestada jaotisesse "Lemmikud", et hiljem saaksite otsust õpetajaga arutada.

Õppige võtma funktsioonide tuletisi. Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud punktis, mis asub selle funktsiooni graafikul. Sel juhul võib graafik olla kas sirge või kõverjooneline. See tähendab, et tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud ajahetkel. Pea meeles üldreeglid mille jaoks tuletised võetakse, ja alles siis jätkake järgmise sammuga.

• Loe artiklit.
• Kuidas võtta kõige lihtsamad tuletised, näiteks tuletis eksponentsiaalvõrrand, kirjeldatud. Järgmistes etappides esitatud arvutused põhinevad seal kirjeldatud meetoditel.

Õppige eristama probleeme, mille puhul tuleb kalle arvutada funktsiooni tuletise kaudu.Ülesannetes ei soovitata alati leida funktsiooni tõusu või tuletist. Näiteks võidakse teil paluda leida funktsiooni muutumise kiirus punktis A(x, y). Samuti võidakse teil paluda leida puutuja kalle punktis A(x, y). Mõlemal juhul on vaja võtta funktsiooni tuletis.

Kaldetegur on sirge. Käesolevas artiklis käsitleme matemaatika eksamil sisalduva koordinaattasandiga seotud ülesandeid. Need on ülesanded:

- sirge kalde määramine, kui on teada kaks punkti, mida see läbib;
- kahe tasapinna sirge lõikepunkti abstsissi või ordinaadi määramine.

Selles jaotises kirjeldati, mis on punkti abstsiss ja ordinaat. Selles oleme juba käsitlenud mitmeid koordinaattasandiga seotud probleeme. Mida tuleb seda tüüpi ülesannete puhul mõista? Natuke teooriat.

Koordinaattasandil sirgjoone võrrand on järgmine:

kus k – see on sirgjoone kalle.

Järgmine hetk! Sirge kalle on võrdne sirge kalde puutujaga. See on nurk antud sirge ja telje vaheloh.

See on vahemikus 0 kuni 180 kraadi.

See tähendab, et kui me taandame sirgjoone võrrandi vormiks y = kx + b, siis edasi saame alati määrata koefitsiendi k (kaldekordaja).

Samuti, kui saame tingimuse põhjal määrata sirge kalde puutuja, siis leiame seeläbi selle kalde.

Järgmine teoreetiline hetk!Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand.Valem näeb välja selline:

Mõelge probleemidele (sarnaselt nendele, mis pärinevad avatud pankülesanded):

Leidke koordinaatidega (–6; 0) ja (0; 6) punkte läbiva sirge kalle.

Selles ülesandes on kõige ratsionaalsem viis selle lahendamiseks leida x-telje ja antud sirge vahelise nurga puutuja. On teada, et see on võrdne nurkkoefitsiendiga. Vaatleme täisnurkset kolmnurka, mille moodustavad sirgjoon ning x- ja y-telg:

Nurga puutuja in täisnurkne kolmnurk on vastasjala ja külgneva jala suhe:

* Mõlemad jalad on võrdsed kuuega (need on nende pikkused).

Muidugi, see ülesanne saab lahendada kahte etteantud punkti läbiva sirge võrrandi leidmise valemi abil. Kuid see on pikem lahendustee.

Vastus: 1

Leidke koordinaatidega (5;0) ja (0;5) punkte läbiva sirge kalle.

Meie punktidel on koordinaadid (5;0) ja (0;5). Tähendab,

Toome valemi vormi y = kx + b

Saime selle nurgakoefitsiendi k = – 1.

Vastus: -1

Otse a läbib punkte koordinaatidega (0;6) ja (8;0). Otse b läbib punkti koordinaatidega (0;10) ja on paralleelne sirgega a b teljega härg.

Selles ülesandes saate leida sirgjoone võrrandi a, määrake selle kalle. Sirgjoon b kalle on sama, kuna need on paralleelsed. Järgmisena leiate sirgjoone võrrandi b. Ja seejärel, asendades selle väärtusega y = 0, leidke abstsiss. AGA!

Sel juhul on kolmnurga sarnasuse omadust lihtsam kasutada.

Antud (paralleelsete) koordinaatide sirgetest moodustatud täisnurksed kolmnurgad on sarnased, mis tähendab, et nende külgede suhted on võrdsed.

Soovitud abstsiss on 40/3.

Vastus: 40/3

Otse a läbib punkte koordinaatidega (0;8) ja (–12;0). Otse b läbib punkti koordinaatidega (0; -12) ja on paralleelne sirgega a. Leidke sirge lõikepunkti abstsiss b teljega härg.

Selle ülesande jaoks on kõige ratsionaalsem viis selle lahendamiseks kasutada kolmnurkade sarnasuse omadust. Aga me lahendame selle teistmoodi.

Me teame punkte, mida joon läbib a. Võime kirjutada sirge võrrandi. Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandi valem on järgmine:

Tingimuse järgi on punktidel koordinaadid (0;8) ja (–12;0). Tähendab,

Tuletame meelde y = kx + b:

Sain selle nurga kätte k = 2/3.

*Nurgakoefitsiendi saab leida nurga puutuja kaudu täisnurkses kolmnurgas jalgadega 8 ja 12.

Teame, et paralleelsete joonte kalded on võrdsed. Seega on punkti (0;-12) läbiva sirge võrrandil järgmine kuju:

Leia väärtus b saame asendada abstsissi ja ordineerida võrrandisse:

Nii et rida näeb välja selline:

Nüüd, et leida joone ja x-telje lõikepunkti soovitud abstsiss, peate asendama y \u003d 0:

Vastus: 18

Leia telje lõikepunkti ordinaat oi ja punkti B(10;12) läbiv sirgjoon ning alguspunkti ja punkti A(10;24) läbiv paralleeljoon.

Leiame koordinaatidega (0;0) ja (10;24) punkte läbiva sirge võrrandi.

Kaht antud punkti läbiva sirge võrrandi valem on järgmine:

Meie punktidel on koordinaadid (0;0) ja (10;24). Tähendab,

Tuletame meelde y = kx + b

Paralleelsete joonte kalded on võrdsed. Seega on punkti B (10; 12) läbiva sirge võrrandil järgmine kuju:

Tähendus b leiame, asendades punkti B (10; 12) koordinaadid selles võrrandis:

Saime sirgjoone võrrandi:

Selle sirge ja telje lõikepunkti ordinaat leidmiseks OU tuleb leitud võrrandisse asendada X= 0:

* Lihtsaim lahendus. Paralleeltõlke abil nihutame seda joont mööda telge allapoole OU punktini (10;12). Nihe toimub 12 ühiku võrra, see tähendab, et punkt A(10;24) "läbi" punkti B(10;12) ja punkt O(0;0) "läbi" punkti (0;–12). Nii et saadud joon lõikub teljega OU punktis (0;–12).

Soovitud ordinaat on -12.

Vastus: -12

Leidke võrrandiga antud sirge lõikepunkti ordinaat

3x + 2a = 6, teljega Oy.

Antud sirge ja telje lõikepunkti koordinaat OU on kujul (0; juures). Asendage võrrandis abstsiss X= 0 ja leidke ordinaat:

Sirge ja telje lõikepunkti ordinaat OU võrdub 3.

* Süsteem on lahendamisel:

Vastus: 3

Leidke võrranditega antud sirgete lõikepunkti ordinaat

3x + 2a = 6 ja y = - x.

Kui on antud kaks sirget ja küsimus on nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmises, on nende võrrandite süsteem lahendatud:

Esimeses võrrandis asendame - X selle asemel juures:

Ordinaat on miinus kuus.

Vastus: – 6

Leidke koordinaatidega (–2; 0) ja (0; 2) punkte läbiva sirge kalle.

Leidke koordinaatidega (2;0) ja (0;2) punkte läbiva sirge kalle.

Sirge a läbib punkte koordinaatidega (0;4) ja (6;0). Sirg b läbib punkti koordinaatidega (0;8) ja on paralleelne sirgega a. Leidke sirge b ja x-telje lõikepunkti abstsiss.

Leia y-telje ja punkti B (6;4) läbiva sirge ning alguspunkti ja punkti A läbiva paralleelsirge (6;8) lõikepunkti ordinaat.

1. On vaja selgelt mõista, et sirge kalle on võrdne sirge kalde puutujaga. See aitab teil lahendada paljusid seda tüüpi probleeme.

2. Tuleb mõista kahte etteantud punkti läbiva sirge leidmise valemit. Selle abil saate alati leida sirge võrrandi, kui on antud selle kahe punkti koordinaadid.

3. Pidage meeles, et paralleelsete joonte kalded on võrdsed.

4. Nagu aru saate, on mõnes ülesandes mugav kasutada kolmnurkade sarnasuse märki. Probleemid lahendatakse praktiliselt suuliselt.

5. Graafiliselt saab lahendada ülesandeid, milles on antud kaks sirget ja milleks on vaja leida nende lõikepunkti abstsiss või ordinaat. See tähendab, et ehitage need koordinaattasandile (lahtris olevale lehele) ja määrake ristumispunkt visuaalselt. *Kuid see meetod ei ole alati rakendatav.

6. Ja viimane. Kui on antud sirge ja selle lõikumispunktide koordinaadid koordinaatide telgedega, siis on selliste ülesannete puhul mugav nurgakoefitsienti leida, leides moodustatud täisnurksest kolmnurgast nurga puutuja. Allpool on skemaatiliselt näidatud, kuidas seda kolmnurka tasapinnal erinevate joonte paigutuste korral "näha".

>> Joone kaldenurk 0 kuni 90 kraadi<<

>> Sirge nurk 90 kuni 180 kraadi<<

See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Sirge y \u003d f (x) puutub joonisel näidatud graafikuga punktis x0, kui see läbib punkti koordinaatidega (x0; f (x0)) ja selle kalle on f "(x0). Leidke selline koefitsient, teades puutuja omadusi, pole keeruline.

Sa vajad

• - matemaatika teatmeteos;
• - lihtne pliiats;
• - märkmik;
• - kraadiklaas;
• - kompass;
• - pastakas.

Juhend

Kui väärtust f‘(x0) ei eksisteeri, siis puutujat pole või see läheb vertikaalselt. Seda silmas pidades on funktsiooni tuletise olemasolu punktis x0 tingitud mittevertikaalse puutuja olemasolust, mis on kontaktis funktsiooni graafikuga punktis (x0, f(x0)). Sel juhul on puutuja kalle võrdne f "(x0). Seega saab selgeks tuletise geomeetriline tähendus - puutuja kalde arvutamine.

Joonistage täiendavad puutujad, mis puutuksid kokku funktsiooni graafikuga punktides x1, x2 ja x3, ning märkige ka nende puutujate moodustatud nurgad abstsissteljega (sellist nurka arvestatakse positiivses suunas teljest kuni puutuja joon). Näiteks nurk, st α1, on terav, teine ​​(α2) on nüri ja kolmas (α3) on null, kuna puutuja on paralleelne OX-teljega. Sel juhul on nürinurga puutuja negatiivne, teravnurga puutuja on positiivne ja tg0 korral on tulemus null.

Märge

Määrake puutuja poolt moodustatud nurk õigesti. Selleks kasutage kraadiklaasi.

Kasulikud nõuanded

Kaks kaldjoont on paralleelsed, kui nende kalded on üksteisega võrdsed; risti, kui nende puutujate nõlvade korrutis on -1.

Allikad:

• Funktsioonigraafiku puutuja

Koosinust, nagu siinust, nimetatakse "otsesteks" trigonomeetrilisteks funktsioonideks. Puutuja (koos kotangensiga) lisatakse teisele paarile, mida nimetatakse "tuletisteks". Nendel funktsioonidel on mitu definitsiooni, mis võimaldavad leida sama väärtuse teadaoleva väärtusega antud koosinuse puutuja.

Juhend

Lahutage jagatis ühtsusest väärtuseni tõstetud antud nurga koosinusega ja eraldage tulemusest ruutjuur - see on nurga puutuja väärtus, väljendatuna selle koosinusega: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Samal ajal pöörake tähelepanu asjaolule, et valemis on koosinus murdosa nimetajas. Nulliga jagamise võimatus välistab selle avaldise kasutamise nurkade puhul, mis on võrdsed 90°, samuti selle väärtuse erinevuse 180° kordsete (270°, 450°, -90° jne) võrra.

Teadaoleva koosinusväärtuse põhjal puutuja arvutamiseks on alternatiivne viis. Seda saab kasutada, kui teiste kasutamisel ei ole piiranguid. Selle meetodi rakendamiseks määrake esmalt koosinuse teadaolevast väärtusest nurga väärtus – seda saab teha arkosinuse funktsiooni abil. Seejärel arvutage lihtsalt saadud väärtuse nurga puutuja. Üldiselt saab selle algoritmi kirjutada järgmiselt: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

On veel üks eksootiline variant, mis kasutab koosinuse ja puutuja määratlust täisnurkse kolmnurga teravnurkade kaudu. Koosinus selles määratluses vastab vaadeldava nurgaga külgneva jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhtele. Teades koosinuse väärtust, saad valida sellele vastavad nende kahe külje pikkused. Näiteks kui cos(α) = 0,5, siis võib külgnevat võtta võrdseks 10 cm ja hüpotenuusi - 20 cm. Konkreetsed numbrid ei oma siin tähtsust - saate sama ja õige kõigi samade väärtustega. Seejärel määrake Pythagorase teoreemi abil puuduva külje pikkus - vastasjalg. See võrdub ruutjuurega ruudukujulise hüpotenuusi ja teadaoleva jala pikkuste erinevusest: √(20²-10²)=√300. Definitsiooni järgi vastab puutuja vastas- ja külgnevate jalgade pikkuste suhtele (√300/10) – arvuta see välja ja saad leitud puutuja väärtuse klassikalise koosinuse definitsiooni abil.

Allikad:

• koosinus läbi puutuja valemi

Üks trigonomeetrilisi funktsioone, mida enamasti tähistatakse tähtedega tg, kuigi leidub ka tähistus tan. Lihtsaim viis on esitada puutuja siinuse suhtena nurk selle koosinusesse. See on paaritu perioodiline ja mitte pidev funktsioon, mille iga tsükkel on võrdne arvuga Pi ja murdepunkt vastab märgile poole sellest arvust.

Eelmises peatükis näidati, et valides tasapinnal kindla koordinaatsüsteemi, saame vaadeldava sirge punkte iseloomustavaid geomeetrilisi omadusi analüütiliselt väljendada jooksvate koordinaatide vahelise võrrandiga. Seega saame sirge võrrandi. Selles peatükis käsitletakse sirgjoonte võrrandeid.

Sirge võrrandi sõnastamiseks Descartes'i koordinaatides peate kuidagi määrama tingimused, mis määravad selle asukoha koordinaatide telgede suhtes.

Esmalt tutvustame sirge kalde mõistet, mis on üks sirge asendit tasapinnal iseloomustavatest suurustest.

Nimetagem sirge kaldenurka telje Ox suhtes nurgaks, mille võrra tuleb Ox-telge pöörata nii, et see ühtiks antud sirgega (või osutuks sellega paralleelseks). Nagu tavaliselt, arvestame nurka, võttes arvesse märki (märk määratakse pöörlemissuuna järgi: vastupäeva või päripäeva). Kuna Hrja telje täiendav pööramine 180° nurga võrra ühendab selle taas sirgjoonega, saab sirge kaldenurka telje suhtes valida mitmetähenduslikult (kuni kordne).

Selle nurga puutuja määratakse üheselt (kuna nurga muutmine väärtuseks ei muuda selle puutujat).

Sirge kaldenurga puutujat x-telje suhtes nimetatakse sirge kaldeks.

Kalle iseloomustab sirge suunda (siin me ei erista sirge kahte vastastikku vastandlikku suunda). Kui sirge kalle on null, siis on joon paralleelne x-teljega. Positiivse kalde korral on sirge kaldenurk Ox-telje suhtes terav (vaatame siin kaldenurga väikseimat positiivset väärtust) (joonis 39); sel juhul, mida suurem on kalle, seda suurem on selle kaldenurk härja telje suhtes. Kui kalle on negatiivne, on sirge kaldenurk x-telje suhtes nüri (joonis 40). Pange tähele, et x-teljega risti asetseval sirgel ei ole kallet (nurga puutujat ei eksisteeri).