Siin on nurkimpulss pöörlemistelje suhtes, st nurkimpulsi projektsioon teljele, mis on määratletud mõne telje juurde kuuluva punkti suhtes (vt loeng 2). - see on välisjõudude moment pöörlemistelje suhtes, st tekkiva välisjõudude momendi projektsioon teljele, mis on määratletud mõne teljele kuuluva punkti suhtes, ja selle punkti valik teljel. , nagu c puhul, ei oma tähtsust. Tõepoolest (joonis 3.4), kus on jäigale kehale rakendatava jõu komponent, mis on risti pöörlemisteljega, on jõu õlg telje suhtes.

Riis. 3.4.

Kuna ( on keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes), siis võime selle asemel kirjutada

(3.8)

Vektor on alati suunatud piki pöörlemistelge ja on jõumomendi vektori komponent piki telge.

Sel juhul saame vastavalt ja nurkmoment telje ümber säilib. Samas vektor ise L, mis on määratletud pöördetelje mõne punkti suhtes, võib varieeruda. Sellise liikumise näide on näidatud joonisel fig. 3.5.

Riis. 3.5.

Punktis A liigendiga ühendatud varras AB pöörleb inertsi teel ümber vertikaaltelje nii, et telje ja varda vaheline nurk jääb konstantseks. Momendi vektor L, punkti A suhtes liigub poolavamise nurgaga kooniline pinda aga projektsioon L vertikaalteljel jääb konstantseks, kuna gravitatsioonimoment selle telje ümber on null.

Pöörleva keha kineetiline energia ja välisjõudude töö (pöörlemistelg on paigal).

Keha i-nda osakese kiirus

(3.11)

kus on osakese kaugus pöörlemisteljest Kineetiline energia

(3.12)

nagu nurkkiirus kõigi punktide pöörlemine on sama.

Kooskõlas mehaanilise energia muutumise seadus Süsteemi kohaselt on kõigi välisjõudude elementaarne töö võrdne keha kineetilise energia juurdekasvuga:

jätame vahele, et jahvatatud kiviketas pöörleb inertsi teel nurkkiirusega ja peatame selle, surudes konstantse jõuga mingit eset vastu ketta serva. Sel juhul mõjub kettale konstantse suurusega jõud, mis on suunatud selle teljega risti. Selle jõu töö

kus on koos elektrimootori armatuuriga teritatud ketta inertsimoment.

kommenteerida. Kui jõud on sellised, et nad tööd ei tooda.

vabad teljed. Vaba pöörlemise stabiilsus.

Kui keha pöörleb ümber fikseeritud telje, hoiavad seda telge konstantses asendis laagrid. Mehhanismide tasakaalustamata osade pöörlemisel tekivad teljed (võllid) teatud dünaamiline koormus Tekib vibratsioon, raputamine ja mehhanismid võivad kokku kukkuda.

Kui jäik keha keerutatakse ümber suvalise telje, mis on kehaga jäigalt ühendatud ja telg vabastatakse laagritest, siis selle suund ruumis üldiselt muutub. Selleks, et keha suvaline pöörlemistelg hoiaks oma suunda muutumatuna, tuleb sellele rakendada teatud jõud. Sellest tulenevad olukorrad on näidatud joonisel fig. 3.6.

Riis. 3.6.

Pöörleva kehana kasutatakse siin massiivset homogeenset varda AB, mis on kinnitatud piisavalt elastse telje külge (kujutatud kahekordsete katkendjoontega). Telje elastsus võimaldab visualiseerida dünaamilisi koormusi, mida see kogeb. Kõigil juhtudel on pöörlemistelg vertikaalne, vardaga jäigalt ühendatud ja laagritesse kinnitatud; varras keeratakse ümber selle telje ja jäetakse endale.

Joonisel fig näidatud juhul. 3.6a, varda punkti B jaoks on pöörlemistelg peamine, kuid mitte keskne, telg paindub, telje küljelt mõjub vardale jõud, mis tagab selle pöörlemise (seotud NISO-s vardaga tasakaalustab see jõud tsentrifugaalinertsjõudu). Varda küljelt mõjub teljele jõud, mida tasakaalustavad laagrite küljelt lähtuvad jõud.

Joonise fig. 3.6b, pöörlemistelg läbib varda massikeskme ja on selle jaoks keskne, kuid mitte peamine. Massikeskme O nurkimpulss ei säili ja kirjeldab koonuspinda. Telg deformeerub (murdub) kompleksselt, vardale mõjuvad jõud telje küljelt ja mille moment annab juurdekasvu (Vardaga seotud NISO-s kompenseerib elastsusjõudude moment varda ühele ja teisele poolele mõjuvad tsentrifugaalsed inertsjõud). Varda küljelt mõjuvad jõud teljele ja on suunatud jõududele ja jõudude momendile vastassuunas ning on tasakaalustatud laagrites tekkivate ja jõudude momendiga.

Ja ainult juhul, kui pöörlemistelg langeb kokku kere peamise keskse inertsteljega (joonis 3.6c), ei oma keerdumata ja endale jäetud varras laagritele mingit mõju. Selliseid telgi nimetatakse vabatelgedeks, sest laagrite eemaldamisel hoiavad nad oma suunda ruumis muutumatuna.

Teine asi on see, kas see pöörlemine on stabiilne väikeste häirete suhtes, mis toimuvad alati reaalsetes tingimustes. Katsed näitavad, et pöörlemine ümber peamiste kesktelgede suurima ja väikseima inertsmomendiga on stabiilne ning pöörlemine ümber inertsmomendi vahepealse väärtusega telje on ebastabiilne. Seda saab kontrollida, visates üles rööptahuka kujulise keha, mis on keerdumata ümber ühe kolmest üksteisega risti olevast põhiteljest (joonis 3.7). Telg AA" vastab suurimale, telg BB" - keskmisele ja telg CC" - rööptahuka väikseimale inertsimomendile. üsna stabiilne. Katsed panna keha ümber telje BB pöörlema ​​"edu ei too. - keha liigub kompleksselt, lendu kukkudes.

- jäik korpus - Euleri nurgad

Vaata ka:

Töö ja jõud jäiga keha pöörlemisel.

Leiame väljendi töö kohta keha pöörlemise ajal. Olgu jõud rakendatud punktis, mis asub teljest eemal – jõu suuna ja raadiuse vektori vaheline nurk . Kuna keha on absoluutselt jäik, on selle jõu töö võrdne kogu keha pööramiseks kulutatud tööga. Kui keha pöörleb läbi lõpmata väikese nurga, läbib rakenduspunkt tee ja töö on võrdne nihkesuunalise jõu projektsiooni korrutisega nihke suuruse järgi:

Jõumomendi moodul on võrdne:

siis saame töö arvutamiseks järgmise valemi:

Seega on jäiga keha pöörlemise ajal tehtav töö võrdne mõjuva jõu momendi ja pöördenurga korrutisega.

Pöörleva keha kineetiline energia.

Inertsimoment mat.t. helistas füüsiline väärtus on arvuliselt võrdne mati massi korrutisega.t. selle punkti kauguse ruudu võrra pöörlemisteljest W ki \u003d m i V 2 i / 2 V i -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i jäiga keha inertsimoment on võrdne kogu mat.t I=S i m i r 2 i jäiga keha inertsmomendiks nimetatakse. füüsikaline väärtus, mis võrdub mat.t. korrutiste summaga. nende punktide ja telje vahelise kauguse ruutude järgi. W i -I i W 2 / 2 W k \u003d IW 2 /2

W k \u003d S i W ki inertsimoment pöörleva liikumise ajal yavl. massi analoog translatsioonilises liikumises. I = mR2/2

21. Mitteinertsiaalsed tugisüsteemid. Inertsjõud. Samaväärsuse põhimõte. Liikumisvõrrand mitteinertsiaalsetes tugisüsteemides.

Mitteinertsiaalne tugiraamistik- suvaline võrdlussüsteem, mis ei ole inertsiaalne. Mitteinertsiaalsete tugiraamide näited: pideva kiirendusega sirgjooneliselt liikuv kaader, samuti pöörlev kaader.

Keha liikumisvõrrandite käsitlemisel mitteinertsiaalses tugisüsteemis on vaja arvestada täiendavate inertsiaalsete jõududega. Newtoni seadused kehtivad ainult inertsiaalsetes tugisüsteemides. Liikumisvõrrandi leidmiseks mitteinertsiaalses tugiraamistikus on vaja teada jõudude ja kiirenduste teisenemise seadusi üleminekul inertsiaalsest raamist mis tahes mitteinertsiaalsesse.

Klassikaline mehaanika postuleerib kaks järgmist põhimõtet:

aeg on absoluutne, st mis tahes kahe sündmuse vahelised ajaintervallid on kõigis suvaliselt liikuvates võrdlusraamides ühesugused;

ruum on absoluutne, see tähendab, et mis tahes kahe materiaalse punkti vaheline kaugus on kõigis suvaliselt liikuvates tugiraamides sama.

Need kaks põhimõtet võimaldavad üles kirjutada materiaalse punkti liikumisvõrrandi mis tahes mitteinertsiaalse tugiraamistiku suhtes, milles Newtoni esimene seadus ei kehti.

Materiaalse punkti suhtelise liikumise dünaamika põhivõrrand on järgmine:

kus on keha mass, on keha kiirendus mitteinertsiaalse tugiraamistiku suhtes, on kõigi kehale mõjuvate välisjõudude summa, on keha kaasaskantav kiirendus, on keha Coriolise kiirendus keha.

Selle võrrandi saab kirjutada Newtoni teise seaduse tuttaval kujul, võttes kasutusele fiktiivsed inertsiaalsed jõud:

Kaasaskantav inertsjõud

Coriolise jõud

inertsi jõud- fiktiivne jõud, mida saab sisse viia mitteinertsiaalses tugiraamistikus nii, et selles olevad mehaanikaseadused langevad kokku inertsiaalsete raamide seadustega.

Matemaatilistes arvutustes toimub selle jõu sisseviimine võrrandi teisendamise teel

F 1 +F 2 +…F n = ma vormile

F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Kus F i on tegelik jõud ja –ma on "inertsjõud".

Inertsjõudude hulgas on järgmised:

lihtne inertsjõud;

tsentrifugaaljõud, mis seletab kehade kalduvust tsentrist eemale lennata pöörlevates tugisüsteemides;

Coriolise jõud, mis selgitab kehade kalduvust raadiusest kõrvale kalduda pöörlevates tugikaadrites radiaalse liikumise ajal;

Üldrelatiivsusteooria seisukohalt gravitatsioonijõud mis tahes punktis on inertsjõud Einsteini kõvera ruumi antud punktis

Tsentrifugaaljõud- inertsjõud, mis sisestatakse pöörlevas (mitteinertsiaalses) tugisüsteemis (Newtoni seaduste rakendamiseks, arvutatuna ainult inertsiaalsete FR-de jaoks) ja mis on suunatud pöörlemisteljelt (sellest ka nimi).

Raskus- ja inertsijõudude võrdväärsuse põhimõte- heuristiline põhimõte, mida Albert Einstein kasutas üldise relatiivsusteooria tuletamisel. Üks tema ettekande variantidest: „Gravitatsioonilised vastasmõjujõud on võrdelised keha gravitatsioonimassiga, inertsjõud aga keha inertsiaalmassiga. Kui inerts- ja gravitatsioonimass on võrdsed, siis on võimatu eristada, milline jõud antud kehale mõjub – gravitatsiooni- või inertsiaaljõud.

Einsteini sõnastus

Ajalooliselt sõnastas Einstein relatiivsusprintsiibi järgmiselt:

Kõik nähtused gravitatsiooniväljas toimuvad täpselt samamoodi nagu vastavas inertsiaalsete jõudude väljas, kui nende väljade tugevused langevad kokku ja lähtetingimused süsteemi kehadele on samad.

22. Galilei relatiivsusprintsiip. Galilei teisendused. Klassikaline kiiruse liitmise teoreem. Newtoni seaduste muutumatus inertsiaalsetes tugisüsteemides.

Galilei relatiivsusprintsiip- see on klassikalise mehaanika inertsiaalsete referentssüsteemide füüsikalise võrdsuse printsiip, mis väljendub selles, et mehaanika seadused on kõigis sellistes süsteemides ühesugused.

Matemaatiliselt väljendab Galilei relatiivsusprintsiip mehaanika võrrandite muutumatust (invariantsust) liikuvate punktide (ja aja) koordinaatide teisenduste suhtes, liikudes ühest inertsiaalkaadrist teise – Galilei teisendusi.
Olgu kaks inertsiaalset tugiraamistikku, millest ühte, S, oleme nõus pidama puhkeks; teine ​​süsteem S", liigub S suhtes konstantse kiirusega u, nagu on näidatud joonisel. Siis on Galilei teisendused süsteemide S ja S" materiaalse punkti koordinaatide jaoks kujul:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(praimitud suurused viitavad S-kaadrile, krundimata suurused viitavad S-le.) Seega peetakse aega klassikalises mehaanikas ja ka kaugust mis tahes fikseeritud punktide vahel kõigis võrdlusraamides.
Galileo teisendustest võib leida seose punkti kiiruste ja selle kiirenduste vahel mõlemas süsteemis:
v" = v - u, (2)
a" = a.
Klassikalises mehaanikas määratakse materiaalse punkti liikumine Newtoni teise seadusega:
F = ma, (3)
kus m on punkti mass ja F on kõigi sellele rakendatud jõudude resultant.
Sel juhul on jõud (ja massid) klassikalises mehaanikas invariandid, st suurused, mis ühest tugiraamistikust teise liikudes ei muutu.
Seetõttu ei muutu võrrand (3) Galilei teisenduste korral.
See on Galilei relatiivsusprintsiibi matemaatiline väljend.

GALILEO MUUDMISED.

Kinemaatikas on kõik tugiraamid üksteisega võrdsed ja liikumist saab kirjeldada ükskõik millises neist. Liikumiste uurimisel on mõnikord vaja liikuda ühest võrdlussüsteemist (koordinaadisüsteemiga OXYZ) teise - (О`Х`У`Z`). Vaatleme juhtumit, kui teine ​​tugiraam liigub esimese suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt kiirusega V=const.

Matemaatilise kirjeldamise hõlbustamiseks eeldame, et vastavad koordinaatteljed on üksteisega paralleelsed, kiirus on suunatud piki X-telge ja et alghetkel (t=0) kattuvad mõlema süsteemi alguspunktid üksteisega. Kasutades klassikalises füüsikas õiglast eeldust, et mõlemas süsteemis kulgeb umbes sama ajavool, on võimalik üles kirjutada mingi punkti A(x, y, z) ja A (x`, y) koordinaate ühendavad seosed. `, z`) mõlemas süsteemis. Sellist üleminekut ühest võrdlussüsteemist teise nimetatakse Galilei teisenduseks:

OXYZ O`X`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Kiirendus mõlemas süsteemis on sama (V=const). Galileo teisenduste sügav tähendus selgub dünaamikas. Galileo kiiruste teisendus peegeldab nihkete sõltumatuse põhimõtet, mis toimub klassikalises füüsikas.

Kiiruste lisamine SRT-s

Klassikaline kiiruste liitmise seadus ei saa kehtida, sest see on vastuolus väitega valguse kiiruse püsivuse kohta vaakumis. Kui rong liigub suure kiirusega v ja valguslaine levib vagunis rongi suunas, siis on selle kiirus Maa suhtes paigal c, kuid mitte v+c.

Vaatleme kahte võrdlussüsteemi.

Süsteemis K 0 keha liigub kiirusega vüks . Mis puutub süsteemi K see liigub kiirusega v 2. Vastavalt SRT kiiruste liitmise seadusele:

Kui a v<<c ja v 1 << c, siis võib termini tähelepanuta jätta ja siis saame kiiruste liitmise klassikalise seaduse: v 2 = v 1 + v.

Kell v 1 = c kiirust v 2 võrdub c, nagu nõuab relatiivsusteooria teine ​​postulaat:

Kell v 1 = c ja kell v = c kiirust v 2 võrdub jälle kiirusega c.

Liitmisseaduse märkimisväärne omadus on see, et igal kiirusel v 1 ja v(mitte rohkem c), tulemuseks olev kiirus v 2 ei ületa c. Päriskehade liikumiskiirus on suurem kui valguse kiirus, see on võimatu.

Kiiruste lisamine

Kui mõelda keerulisele liikumisele (st kui punkt või keha liigub ühes tugiraamistikus ja see liigub teise suhtes), tekib küsimus kiiruste seose kohta kahes tugiraamis.

klassikaline mehaanika

Klassikalises mehaanikas võrdub punkti absoluutne kiirus selle suhtelise ja translatsioonikiiruse vektori summaga:

Lihtsas keeles: Keha kiirus fikseeritud tugiraami suhtes on võrdne selle keha kiiruse vektorsummaga liikuva tugiraami suhtes ja kõige liikuvama tugiraami kiiruse vektorisummaga fikseeritud kaadri suhtes.

Kineetiline energia- väärtus on aditiivne. Seetõttu on suvaliselt liikuva keha kineetiline energia võrdne kõigi keha kineetilise energia summaga. P materiaalsed punktid, milleks saab selle keha mõtteliselt jagada: Kui keha pöörleb ümber fikseeritud telje z nurkkiirusega 1 m I 1 ...
(FÜÜSIKA. MEHAANIKA)

Pöörleva jäiga keha kineetiline energia

Suvaliselt liikuva keha kineetiline energia on võrdne kõigi keha kineetiliste energiate summaga. P materiaalsed punktid (osakesed), milleks saab selle keha mõtteliselt jagada (joon. 6.8) Kui keha pöörleb ümber fikseeritud telje Oz nurkkiirusega ω, siis suvalise /-nda osakese joonkiirus, ...
(KLASSIKALINE JA RELATIVISTILINE MEHAANIKA)

Riis. 6.4 Selline keha liikumine, mille suvalised kaks punkti (AGA ja AT joonisel fig. 6.4) paigal püsimist nimetatakse pöörlemiseks ümber fikseeritud telje. Võib näidata, et antud juhul keha mis tahes punkt, mis asub punkte ühendaval sirgel Oh W. Telg,...
(TEOREETILINE MEHAANIKA.)

Keha pöörlemine ümber fikseeritud telje

Laske tahke keha õigeks ajaks ck tegi antud tugiraamistikus fikseeritud telje suhtes lõpmatult väikese pöörde läbi nurga s/f. See pöördenurk c/cp on ümber fikseeritud telje pöörleva keha asendi muutuse mõõt. Analoogiliselt c/r-ga nimetame c/f nurknihkeks....
(FÜÜSIKA: MEHAANIKA, ELEKTER JA MAGNETISM)

Translatsiooni- ja pöörleva liikumise vaheline analoogia

Seda analoogiat käsitleti eespool ja see tuleneb translatsiooni- ja pöörlemisliikumise põhivõrrandite sarnasusest. Nii nagu kiirenduse annab kiiruse ajatuletis ja nihke teine ​​tuletis, nii annab nurkkiirenduse nurkkiiruse ajatuletis ja nurknihke teine ​​tuletis....
(FÜÜSIKA)

Translatsiooniline ja pöörlev liikumine

Translatsiooniline liikumine Translatsiooniline liikumine on jäiga keha selline liikumine, mille käigus mis tahes sellesse kehasse tõmmatud sirgjoon liigub, jäädes paralleelseks oma algse asukohaga. Translatsioonilise liikumise omadused määratakse järgmise teoreemiga: keha translatsioonilises liikumises ...
(RAKENDATUD MEHAANIKA)

Mõelge jäigale kehale, mis suudab pöörlema ​​ümber ruumis fikseeritud pöörlemistelje.

Oletame, et F i on mingile elementaarmassile rakenduv välisjõud ∆m i jäik keha ja põhjustab pöörlemist. Lühikese aja jooksul liigub elementaarmass kohale ja seetõttu tehakse tööd jõuga

kus a on jõu suuna ja nihke vaheline nurk. Aga võrdub F t on massi liikumise trajektoori puutujale avalduva jõu projektsioonid ja väärtus. Seega

On lihtne näha, et korrutis on jõumoment antud pöörlemistelje ümber z ja toimides kehaelemendile D m i. Seetõttu jõu tehtud töö saab olema

Kõigile kehaelementidele rakendatavate jõudude momentide töö kokkuvõttes saame elementaarselt väikese energia jaoks, mis kulub keha elementaarselt väikesele pöörlemisele. d j:

, (2.4.27)

kus on kõigi jäigale kehale mõjuvate välisjõudude moment antud pöörlemistelje suhtes z.

Töötage piiratud aja jooksul t

. (2.4.28)

Ruumi nurkimpulsi ja isotroopia jäävuse seadus

Nurkmomendi jäävuse seadus on pöörleva liikumise dünaamika põhiseaduse tagajärg. Süsteemis alates P interakteeruvad osakesed (kehad), kõigi sisejõudude vektorsumma ja seega ka jõudude momentide summa on võrdne nulliga ja momentide diferentsiaalvõrrandil on selline kuju

kus – kogu süsteemi nurkimpulss on välisjõudude tekkiv moment.

Kui süsteem on suletud

kust see järgneb

millega on võimalik

Nurkmomendi jäävuse seadus: Osakeste (kehade) suletud süsteemi nurkimment jääb muutumatuks.

Nurkmomendi jäävuse seadus on ruumi isotroopia omaduse tagajärg, mis väljendub selles, et suletud süsteemi füüsikalised omadused ja liikumisseadused ei sõltu koordinaattelgede suundade valikust. inertsiaalsed tugisüsteemid.

Suletud süsteemis on kolm füüsikalist suurust: energia, hoog ja nurkmoment(mis on koordinaatide ja kiiruste funktsioonid) säilivad. Selliseid funktsioone nimetatakse liikumisintegraalid. Süsteemis alates P seal on 6 osakest n–1 liikumisintegraali, kuid ainult kolmel neist on liiteomadus - energia, impulss ja nurkimpulss.

Güroskoopiline efekt

Nimetatakse massiivset sümmeetrilist keha, mis pöörleb suure nurkkiirusega ümber sümmeetriatelje güroskoop.

Güroskoop, mis on pöörlema ​​pandud, kipub hoidma oma telje suunda ruumis muutumatuna, mis on ilming nurkimpulsi jäävuse seadus. Güroskoop on seda stabiilsem, seda suurem on pöörlemise nurkkiirus ja seda suurem on güroskoobi inertsimoment pöörlemistelje suhtes.

Kui aga pöörlevale güroskoobile rakendatakse paar jõudu, mis kipuvad seda pöörama ümber güroskoopi pöörlemisteljega risti oleva telje, hakkab see pöörlema, kuid ainult ümber kolmanda telje, mis on risti esimesega. kaks (joonis 21). Seda efekti nimetatakse güroskoopiline efekt. Tekkivat liikumist nimetatakse pretsessiooniliseks liikumiseks või pretsessioon.

Iga keha, mis pöörleb ümber mingi telje, pretsesseerub, kui sellele mõjub pöörlemisteljega risti olev jõud.

Presssioonilise liikumise näide on laste mänguasja käitumine, mida nimetatakse vurruks või topiks. Maa pretsesseerib ka Kuu gravitatsioonivälja mõjul. Maale Kuu küljelt mõjuvate jõudude momendi määrab Maa geomeetriline kuju - sfäärilise sümmeetria puudumine, s.o. oma "lamandusega".

Güroskoop*

Vaatleme pretsessioonilist liikumist üksikasjalikumalt. Selline liikumine on teostatud massiivse ketta abil vertikaalne telg, mille ümber see pöörleb. Plaadil on nurkimment, mis on suunatud piki ketta pöörlemistelge (joonis 22).

Güroskoobi juures, mille põhielemendiks on ketas D, pöörleb kiirusega ümber horisontaalne teljed OO"Punkti suhtes tekib pöördemoment C ja nurkimpulss on suunatud piki ketta pöörlemistelge D.

Güroskoobi telg on punktis hingedega C. Seade on varustatud vastukaaluga K. Kui vastukaal on paigaldatud nii, et punkt C on süsteemi massikese ( m on güroskoobi mass; m 0 - vastukaalu mass To; varda mass on tühine), siis kirjutame ilma hõõrdumiseta:

see tähendab, et süsteemile mõjuvate jõudude tekkiv moment on null.

Siis kehtib nurkimpulsi jäävuse seadus:

Teisisõnu, antud juhul const; kus J on güroskoobi inertsimoment, on güroskoobi sisemine nurkkiirus.

Kuna ketta inertsmoment oma sümmeetriatelje suhtes on konstantne väärtus, jääb ka nurkkiiruse vektor nii suuruselt kui ka suunalt konstantseks.

Vektor on suunatud piki pöörlemistelge vastavalt parempoolse kruvi reeglile. Seega hoiab vaba güroskoobi telg oma positsiooni ruumis muutumatuna.

Kui vastukaaluks To lisa veel üks massiga m 1 , siis süsteemi massikese nihkub ja punkti suhtes ilmub pöördemoment C. Momendi võrrandi järgi . Selle pöördemomendi toimel saab nurkmomendi vektor juurdekasvu, mis langeb kokku vektoriga:

Gravitatsioonivektorid ja on suunatud vertikaalselt allapoole. Seetõttu vektorid , ja , asuvad horisontaaltasandil. Mõne aja pärast muutub güroskoobi nurkimment väärtuse võrra ja muutub võrdseks

Seega muudab vektor oma suunda ruumis, jäädes kogu aeg horisontaaltasapinnale. Arvestades, et güroskoobi nurkmomendi vektor on suunatud piki pöörlemistelge, on vektori pöörlemine mingi nurga võrra da ajal dt tähendab pöörlemistelje pööramist sama nurga all. Selle tulemusena hakkab güroskoobi sümmeetriatelg pöörlema ​​ümber fikseeritud vertikaaltelje BB"nurkkiirusega:

Sellist liikumist nimetatakse regulaarne pretsessioon, ja väärtus on pretsessiooni nurkkiirus. Kui alghetkel telg OO"Güroskoopi ei paigaldata horisontaalselt, siis pretsessiooni ajal kirjeldab see vertikaaltelje suhtes ruumis koonust. Hõõrdejõudude olemasolu toob kaasa asjaolu, et güroskoobi telje kaldenurk muutub pidevalt. Seda liikumist nimetatakse nn. nutatsioon.

Selgitame välja güroskoobi pretsessiooni nurkkiiruse sõltuvuse süsteemi põhiparameetritest. Projekteerime võrdsuse (123) horisontaalteljele, mis on risti OO"

Geomeetrilistel kaalutlustel (vt joonis 22) väikeste pöördenurkade korral , siis , ja pretsessiooni nurkkiirus väljendatakse:

See tähendab, et kui güroskoobile rakendatakse pidevat välist jõudu, hakkab see pöörlema ​​ümber kolmanda telje, mis ei lange kokku rootori peateljega.

Presessioon, mille suurus on võrdeline mõjuva jõu suurusega, hoiab seadet vertikaalsuunas orienteeritud ning toetuspinna suhtes saab mõõta kaldenurka. Kui seade on tsentrifuugitud, kipub see vastu pidama nurkmomendist tingitud orientatsiooni muutustele. Seda efekti tuntakse füüsikas ka güroskoopilise inertsi nime all. Välise mõju lõppemisel lõpeb pretsessioon hetkega, kuid rootor jätkab pöörlemist.

Kettale mõjub gravitatsioon, mis tekitab toetuspunkti ümber jõumomendi O. See hetk on suunatud risti ketta pöörlemisteljega ja on võrdne

kus l 0- kaugus ketta raskuskeskmest tugipunktini O.

Pöörlemisliikumise dünaamika põhiseaduse alusel põhjustab jõumoment ajavahemikus dt nurkmomendi muutus

Vektorid ja on suunatud piki üht sirget ja on pöörlemisteljega risti.

Jooniselt fig. 22 näitab, et vektori lõpp ajas dt kolida nurka

Asendades sellesse seosesse väärtused L, dl ja M, saame

. (2.4.43)

Seega vektori otsa nihke nurkkiirus :

ja ketta pöörlemistelje ülemine ots kirjeldab horisontaaltasandil ringi (joonis 21). Sellist keha liikumist nimetatakse pretsessionaalne ja mõju ise güroskoopiline efekt.

TAHKE KEHA DEFORMATSIOONID

Reaalsed kehad ei ole absoluutselt elastsed, seetõttu tuleb tegelike probleemide käsitlemisel arvestada võimalusega muuta nende kuju liikumisprotsessis, st arvestada deformatsioonidega. Deformatsioon- see on tahkete kehade kuju ja suuruse muutus välisjõudude mõjul.

Plastiline deformatsioon- see on deformatsioon, mis püsib kehas pärast välisjõudude toime lõppemist. Deformatsiooni nimetatakse elastne, kui pärast välisjõudude toime lõppemist taastub keha oma esialgse suuruse ja kujuga.

Igat tüüpi deformatsioone (pinge, surve, painutamine, väände, nihke) saab taandada samaaegselt esinevateks pinge- (või surve-) ja nihkedeformatsioonideks.

Pingeσ on füüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne elastsusjõuga keha ristlõikepinna ühiku kohta (mõõdetuna Pa):

Kui jõud on suunatud piki normaalset pinnale, siis pinge normaalne, kui - tangentsiaalselt, siis pinge tangentsiaalne.

Suhteline deformatsioon- kvantitatiivne mõõt, mis iseloomustab deformatsiooni astet ja on määratud absoluutse deformatsiooni suhtega Δ x algväärtusele x keha kuju või suurust iseloomustavad: .

- suhteline pikkuse muutusl varras(pikisuunaline deformatsioon) ε:

- suhteline põikpinge (kokkusurumine)ε', kus d- varda läbimõõt.

Deformatsioonidel ε ja ε' on alati erinevad märgid: ε' = −με kus μ on positiivne koefitsient, mis sõltub materjali omadustest ja mida nimetatakse Poissoni suhe.

Väikeste deformatsioonide korral on suhteline deformatsioon ε võrdeline pingega σ:

kus E- proportsionaalsuse koefitsient (elastsusmoodul), mis on arvuliselt võrdne pingega, mis tekib ühikuga võrdse suhtelise pinge korral.

Ühepoolse pinge (surve) korral nimetatakse elastsusmoodulit Youngi moodul. Youngi moodulit mõõdetakse Pa.

Olles üles kirjutanud , saame - Hooke'i seadus:

varda pikenemine elastse deformatsiooni all on võrdeline vardale mõjuva jõuga(siin k- elastsuskoefitsient). Hooke'i seadus kehtib ainult väikeste deformatsioonide korral.

Vastupidiselt kõvadustegurile k, mis on ainult keha omadus, Youngi moodul iseloomustab aine omadusi.

Iga keha puhul, alates teatud väärtusest, lakkab deformatsioon olemast elastne, muutudes plastiliseks. Plastilised materjalid on materjalid, mis ei vaju kokku elastsuspiiri oluliselt ületava pinge korral. Plastilisuse omaduse tõttu saab metalle (alumiinium, vask, teras) allutada mitmesugusele mehaanilisele töötlemisele: stantsimine, sepistamine, painutamine, venitamine. Deformatsiooni edasise suurenemisega materjal hävib.

Tõmbetugevus - maksimaalne pinge, mis tekib kehas enne selle hävitamist.

Surve- ja tõmbetugevuse piiride erinevus on seletatav molekulide ja aatomite vastastikmõju protsesside erinevusega tahketes ainetes nende protsesside käigus.

Youngi moodul ja Poissoni suhe iseloomustavad täielikult isotroopse materjali elastseid omadusi. Kõiki teisi elastsuskonstante saab väljendada E ja μ.

Paljud katsed näitavad, et väikeste deformatsioonide korral on pinge võrdeline suhtelise pikenemisega ε (lõik OA diagrammid) - Hooke'i seadus on täidetud.

Katse näitab, et väikesed deformatsioonid kaovad pärast koormuse eemaldamist täielikult (täheldatakse elastset deformatsiooni). Väikeste deformatsioonide korral on Hooke'i seadus täidetud. Nimetatakse maksimaalset pinget, mille juures Hooke'i seadus veel kehtib proportsionaalsuse piir σ p See vastab punktile AGA diagrammid.

Kui jätkate tõmbekoormuse suurendamist ja proportsionaalse piiri ületamist, muutub deformatsioon mittelineaarseks (joon ABCDEK). Väikeste mittelineaarsete deformatsioonide korral aga pärast koormuse eemaldamist keha kuju ja mõõtmed praktiliselt taastuvad (jaotis AB graafika). Nimetatakse maksimaalset pinget, mille juures ei esine märgatavaid jääkdeformatsioone elastsuse piir σ pakk. See vastab punktile AT diagrammid. Elastsuspiir ületab proportsionaalse piiri mitte rohkem kui 0,33%. Enamasti võib neid pidada võrdseteks.

Kui väliskoormus on selline, et kehas tekivad pinged, mis ületavad elastsuspiiri, siis deformatsiooni iseloom muutub (lõige BCDEK). Pärast koormuse eemaldamist näidis ei taastu oma eelmiste mõõtmete juurde, vaid jääb deformeeruma, ehkki väiksema pikenemisega kui koormuse all (plastiline deformatsioon).

Üle elastsuspiiri teatud punktile vastava pinge väärtuse juures Koos diagrammidel suureneb pikenemine peaaegu ilma koormust suurendamata (jaotis CD diagrammid on peaaegu horisontaalsed). Seda nähtust nimetatakse materjalivoog.

Koormuse edasise suurenemisega pinge tõuseb (punktist D), mille järel tekib proovi kõige vähem vastupidavasse kohta ahenemine (“kael”). Ristlõikepinna vähenemise tõttu (punkt E) edasiseks pikenemiseks on vaja vähem pinget, kuid lõpuks proov hävib (punkt To). Nimetatakse maksimaalset pinget, mida näidis võib purunemata taluda tõmbetugevus - σ pc (see vastab punktile E diagrammid). Selle väärtus sõltub suuresti materjali olemusest ja selle töötlemisest.

Kaaluge nihke deformatsioon. Selleks võtame ristkülikukujulise rööptahuka kujuga homogeense keha ja rakendame selle vastaspindadele nende tahkudega paralleelselt suunatud jõudu. Kui jõudude mõju jaotub ühtlaselt kogu vastava tahu pinnale S, siis tekib nende tahkudega paralleelses lõigus tangentsiaalne pinge

Väikeste deformatsioonide korral keha maht praktiliselt ei muutu ja deformatsioon seisneb selles, et rööptahuka "kihid" on üksteise suhtes nihutatud. Seetõttu nimetatakse seda deformatsiooni nihke deformatsioon.

Nihkedeformatsiooni korral pöörleb mis tahes sirgjoon, mis on algselt risti horisontaalsete kihtidega, teatud nurga all. See rahuldab suhet

,

kus - nihkemoodul, mis sõltub ainult keha materiaalsetest omadustest.

Nihkedeformatsioon viitab homogeensetele deformatsioonidele, st kui kõik keha lõpmata väikesed ruumalaelemendid deformeeruvad ühtemoodi.

Siiski on ebahomogeenseid deformatsioone - painutamine ja keeramine.

Võtame homogeense traadi, kinnitame selle ülemise otsa ja rakendame alumisele otsale keeramisjõudu, tekitades pöördemomendi M traadi pikitelje suhtes. Traat hakkab pöörlema ​​- selle alumise aluse iga raadius pöörleb ümber pikitelje nurga võrra. Seda deformatsiooni nimetatakse torsiooniks. Hooke'i seadus väändedeformatsiooni kohta on kirjutatud kujul

kus on antud juhtme konstantne väärtus, mida nimetatakse juhtmeks väändemoodul. Erinevalt eelmistest moodulitest sõltub see mitte ainult materjalist, vaid ka traadi geomeetrilistest mõõtmetest.

Rotary töö. Võimu hetk

Vaatleme tööd, mis tehakse materiaalse punkti pöörlemisel ümber ringi, mõjuva jõu projektsiooni mõjul nihkele (jõu tangentsiaalne komponent). Vastavalt punktile (3.1) ja joonisele fig. 4.4, üleminekul translatsioonilise liikumise parameetritelt pöörleva liikumise parameetritele (dS = Rdcp)

Siin võetakse jõu korrutisena kasutusele pöördetelje OOi ümber jõumomendi mõiste F s jõu õlal R:

Nagu on näha seosest (4.8), jõumoment pöörleval liikumisel on analoogne translatsioonilise liikumise jõuga, kuna mõlemad parameetrid korrutatuna analoogidega dcp ja dS anna tööd. Ilmselgelt tuleb jõumoment määrata ka vektoraalselt ja punkti O suhtes on selle definitsioon antud läbi vektorkorrutise ja omab kuju

Lõpuks: töö pöörlemise ajal võrdub jõumomendi ja nurknihke skalaarkorrutisega:

Kineetiline energia pöörleva liikumise ajal. Inertsimoment

Mõelge absoluutselt jäigale kehale, mis pöörleb ümber fikseeritud telje. Jagame mõtteliselt selle keha lõpmatult väikesteks tükkideks lõpmatult väikese suuruse ja massiga mi, m2, Shz..., mis asuvad teljest R b R 2 , R3 ... kaugusel. Leiame pöörleva keha kineetilise energia selle väikeste osade kineetiliste energiate summana

kus Y on jäiga keha inertsimoment antud telje suhtes OOj.

Translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kineetilise energia valemite võrdlusest on näha, et inertsmoment pöörleval liikumisel on analoogne translatsioonilise liikumise massiga. Valem (4.12) on mugav üksikutest materiaalsetest punktidest koosnevate süsteemide inertsmomendi arvutamiseks. Tahkete kehade inertsmomendi arvutamiseks saame integraali definitsiooni kasutades teisendada (4.12) kujule

On hästi näha, et inertsimoment sõltub telje valikust ja muutub selle paralleelse translatsiooni ja pöörlemisega. Esitame mõnede homogeensete kehade inertsimomentide väärtused.

Alates (4.12) on näha, et materiaalse punkti inertsimoment võrdub

kus t- punktmass;

R- kaugus pöörlemisteljest.

Inertsimomenti on lihtne arvutada õõnes õhukese seinaga silinder(või väikese kõrgusega silindri erijuhtum - õhuke rõngas) raadius R ümber sümmeetriatelje. Sellise keha kõigi punktide kaugus pöörlemisteljeni on sama, võrdne raadiusega ja selle saab välja võtta summa (4.12) märgi alt:

tahke silinder(või väikese kõrgusega silindri erijuhtum - ketas) raadius R inertsmomendi arvutamiseks sümmeetriatelje suhtes nõuab integraali (4.13) arvutamist. Mass on sel juhul keskmiselt kontsentreeritud mõnevõrra lähemale kui õõnessilindri puhul ja valem on sarnane (4.15), kuid selles ilmub koefitsient, mis on väiksem kui üks. Leiame selle koefitsiendi.

Olgu tahkel silindril tihedus R ja kõrgus h. Jaotame selle osadeks

õõnsad silindrid (õhukesed silindrilised pinnad) paks dr(joon. 4.5) kujutab sümmeetriateljega risti olevat projektsiooni). Sellise raadiusega õõnsa silindri maht G on võrdne pindala korrutis paksusega: kaal: ja hetk

inerts vastavalt (4.15): Kogumoment

Tahke silindri inerts saadakse õõnessilindrite inertsimomentide integreerimisel (summeerimisel):

. Arvestades, et tahke silindri mass on seotud

tiheduse valem t = 7iR 2 hj lõpuks on meil tahke silindri inertsimoment:

Samamoodi otsitud peenikese varda inertsimoment pikkus L ja massid t, kui pöörlemistelg on vardaga risti ja läbib selle keskosa. Jagame sellise varda vastavalt joonisele fig. 4.6

paksudeks tükkideks dl. Sellise tüki mass on dm = m dl/l, ja inertsimoment Pauluse järgi

Peenikese varda uus inertsimoment saadakse tükkide inertsimomentide integreerimisel (summeerimisel):