Siinus on positiivne. trigonomeetriline ring. Trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtused
Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mil Achilleus selle distantsi läbib, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.
See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kõik nad pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad ka praegu, et jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse kohta teadusringkond seni pole olnud võimalik ... küsimuse uurimisse kaasati matemaatilist analüüsi, hulgateooriat, uusi füüsikalisi ja filosoofilisi käsitlusi; ükski neist ei saanud probleemile üldtunnustatud lahendust ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.
Matemaatika seisukohalt näitas Zenon oma apoorias selgelt üleminekut väärtuselt väärtusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendamist. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute rakendamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooriale rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsist vastastikusele konstantsed ajaühikud. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aja aeglustumine, kuni see peatub täielikult hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus enam kilpkonnast mööduda.
Kui pöörame harjunud loogikat, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Selle tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus ületab lõpmatult kiiresti kilpkonna".
Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele väärtustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:
Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajaintervalli jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.
See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Aga ei ole täielik lahendus Probleemid. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.
Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:
Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, on ta alati puhkab.
Selles apoorias loogiline paradoks sellest saab üle väga lihtsalt - piisab selgitusest, et igal ajahetkel puhkab lendav nool erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel tehtud fotot, kuid nende abil ei saa kaugust määrata. Auto kauguse määramiseks vajate korraga kahte erinevatest ruumipunktidest tehtud fotot, kuid nende järgi liikumise fakti kindlaks teha ei saa (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, abiks on trigonomeetria). Millele ma tahan keskenduda Erilist tähelepanu, on see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.
Kolmapäeval, 4. juulil 2018
Väga hästi on Vikipeedias kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Me vaatame.
Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Sarnane absurdiloogika tundlikud olendid ei saa kunagi aru. See on kõnelevate papagoide ja treenitud ahvide tase, kus mõistus puudub sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.
Kunagi olid silla ehitanud insenerid silla katsetuste ajal silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.
Ükskõik, kuidas matemaatikud end lause "mind me, I'm in the house" taha peituvad, õigemini "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.
Õppisime matemaatikat väga hästi ja nüüd istume kassas ja maksame palka. Siin tuleb meie juurde matemaatik oma raha pärast. Loeme talle kogu summa kokku ja laotame selle oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitame matemaatikat, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.
Esiteks hakkab toimima saadikute loogika: "teiste puhul võid seda rakendada, minu puhul mitte!" Lisaks hakatakse tagama, et sama nimiväärtusega pangatähtedel on erinevad pangatähtede numbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada identseteks elementideks. Noh, me arvestame palka müntides - müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik füüsikat kramplikult meenutama: erinevad mündid saadaval erinev summa mustus, kristallstruktuur ja iga mündi aatomipaigutus on ainulaadne...
Ja nüüd on mul kõige rohkem huvi Küsi: kus on piir, millest kaugemal muutuvad multihulka elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus pole siin lähedalgi.
Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindala on sama, mis tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui arvestada samade staadionide nimesid, saame palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt korraga nii hulk kui ka multikomplekt. Kui õige? Ja siin võtab matemaatik-šamaan-shuller varrukast välja trumpässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.
Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".
Pühapäev, 18. märts 2018
Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga selleks on nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.
Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida lehekülg "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Arvud on ju graafilised sümbolid, millega me numbreid kirjutame ja matemaatika keeles kõlab ülesanne nii: "Leia suvalist arvu tähistavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hakkama elementaarselt.
Mõelgem välja, mida ja kuidas me etteantud arvu numbrite summa leidmiseks teeme. Ja nii, oletame, et meil on number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.
1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.
2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks eraldi numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.
3. Teisendage üksikud graafilised märgid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.
4. Liitke saadud arvud kokku. Nüüd on see matemaatika.
Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on matemaatikute kasutatavad šamaanide "lõike- ja õmbluskursused". Kuid see pole veel kõik.
Matemaatika seisukohalt pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Seega on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. Koos suur hulk 12345 Ma ei taha oma pead petta, mõelge numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.
Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, nagu ristküliku pindala leidmine meetrites ja sentimeetrites annaks teile täiesti erinevad tulemused.
Null kõigis numbrisüsteemides näeb välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et . Küsimus matemaatikutele: kuidas tähistatakse matemaatikas seda, mis pole arv? Mis, matemaatikute jaoks pole muud kui numbrid olemas? Šamaanidele võin seda lubada, aga teadlastele mitte. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.
Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega viivad erinevaid tulemusi pärast nende võrdlemist pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.
Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise toimingu tulemus ei sõltu arvu väärtusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.
Oeh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on labor hingede määramatu pühaduse uurimiseks taevasse tõusmisel! Nimbus peal ja nool üles. Mis tualett veel?
Naine... Halo peal ja nool alla on isane.
Kui teie silme ees vilgub selline disainikunstiteos mitu korda päevas,
Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:
Isiklikult pingutan enda kallal, et näha kakaval inimesel miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitme pildi koosseis: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei pea seda tüdrukut rumalaks, kes füüsikat ei tunne. Tal on lihtsalt stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.
1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus". kuueteistkümnendsüsteem arvestus. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.
Võimaldab luua mitmeid iseloomulikke tulemusi - siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadused. Selles artiklis vaatleme kolme peamist omadust. Esimene neist tähistab nurga α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märke, olenevalt sellest, millise koordinaadi veerandnurk on α. Järgmisena käsitleme perioodilisuse omadust, mis määrab nurga α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste muutumatuse, kui see nurk muutub täisarvu pöörete võrra. Kolmas omadus väljendab seost vastasnurkade α ja −α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste vahel.
Kui olete huvitatud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi funktsioonide omadustest, saate neid uurida artikli vastavas jaotises.
Leheküljel navigeerimine.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märgid neljandikku
Selle lõigu all on väljend "koordinaatide kvartali I, II, III ja IV nurk". Selgitame, mis need nurgad on.
Võtame ühikringi, märgime sellele alguspunkti A(1, 0) ja pöörame seda ümber punkti O nurga α võrra, samas eeldame, et jõuame punkti A 1 (x, y) .
Nad ütlevad seda nurk α on koordinaatveerandi nurk I , II , III , IV kui punkt A 1 asub vastavalt I, II, III, IV kvartalis; kui nurk α on selline, et punkt A 1 asub ühelgi koordinaatsirgetest Ox või Oy , siis see nurk ei kuulu ühelegi neljast veerandist.
Selguse huvides esitame graafilise illustratsiooni. Allolevatel joonistel on kujutatud pöördenurgad 30 , -210 , 585 ja -45 kraadi, mis on vastavalt koordinaatveerandi nurgad I , II , III ja IV.
nurgad 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … kraadid ei kuulu ühegi koordinaatveerandi alla.
Nüüd selgitame välja, millistel märkidel on pöördenurga α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangens väärtused, sõltuvalt sellest, milline veerandnurk on α.
Siinuse ja koosinuse puhul on seda lihtne teha.
Definitsiooni järgi on nurga α siinus punkti A 1 ordinaat. On ilmne, et I ja II koordinaatveerandis on see positiivne ning III ja IV kvartalis negatiivne. Seega on nurga α siinus I ja II veerandis plussmärgiga ning III ja VI veerandis miinusmärk.
Nurga α koosinus on omakorda punkti A 1 abstsiss. I ja IV kvartalis on see positiivne ning II ja III kvartalis negatiivne. Seetõttu on nurga α koosinuse väärtused I ja IV kvartalis positiivsed ning II ja III kvartalis negatiivsed.
Märkide määramiseks puutuja ja kotangensi veerandi järgi peate meeles pidama nende määratlusi: puutuja on punkti A 1 ordinaadi ja abstsissi suhe ning kotangens on punkti A 1 abstsissi ja ordinaadi suhe. Siis alates numbrijagamise reeglid samade ja erinevate märkidega, järeldub, et puutujal ja kotangensil on plussmärk, kui punkti A 1 abstsiss- ja ordinaatmärgid on samad, ning miinusmärk, kui punkti A 1 abstsiss- ja ordinaatmärgid on erinevad. Seetõttu on nurga puutujal ja kotangensil I ja III koordinaatveerandis + märk ning II ja IV kvartalis miinusmärk.
Tõepoolest, näiteks esimesel veerandil on nii punkti A 1 abstsiss x kui ka ordinaat y positiivsed, siis nii jagatis x/y kui ka jagatis y/x on positiivsed, seetõttu on puutujal ja kotangensil + märgid . Ja abstsissi teises veerandis on x negatiivne ja y-ordinaat on positiivne, seega on nii x / y kui ka y / x negatiivsed, mistõttu puutujal ja kotangensil on miinusmärk.
Liigume edasi siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi järgmise omaduse juurde.
Perioodilisuse omadus
Nüüd analüüsime võib-olla nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi kõige ilmsemat omadust. See koosneb järgmisest: kui nurk muutub täisarvu täispöörete võrra, siis selle nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ei muutu.
See on arusaadav: kui nurk muutub täisarvu pöörete võrra, jõuame alati ühikuringi alguspunktist A punkti A 1, seetõttu jäävad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused muutumatuks, kuna punkti A 1 koordinaadid on muutumatud.
Valemite abil saab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vaadeldava omaduse kirjutada järgmiselt: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , kus α on pöördenurk radiaanides, z on suvaline , mille absoluutväärtus näitab täispöörete arvu, mille võrra nurk α muutub, ja number z näitab pöörde suunda.
Kui pöördenurk α on antud kraadides, kirjutatakse need valemid ümber järgmiselt: sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα, ctg(α+360° z)=ctgα.
Toome näiteid selle vara kasutamisest. Näiteks, 
, nagu 
, a 
. Siin on veel üks näide: või .
Seda omadust koos redutseerimisvalemitega kasutatakse väga sageli "suurte" nurkade siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste arvutamisel.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vaadeldavat omadust nimetatakse mõnikord perioodilisuse omaduseks.
Vastandnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadused
Olgu А 1 punkt, mis saadakse algpunkti А(1, 0) ümber punkti O nurga α võrra pööramisel ja punkt А 2 on punkti А nurga võrra pööramise tulemus. −α vastupidine nurgale α .
Vastandnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadus põhineb üsna ilmsel faktil: eespool mainitud punktid A 1 ja A 2 kas langevad kokku (at) või asuvad sümmeetriliselt telje Ox ümber. See tähendab, et kui punktil A 1 on koordinaadid (x, y) , siis punktil A 2 on koordinaadid (x, −y) . Siit kirjutame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide järgi üles võrrandid ja.
Neid võrreldes jõuame suheteni vormi α ja −α vastasnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide vahel.
Seda peetakse omaduseks valemite kujul.
Toome näiteid selle vara kasutamisest. Näiteks võrdsused ja 
.
Jääb vaid märkida, et siinuste, koosinuste, puutujate ja vastasnurkade kotangentide omadust, nagu eelmist omadust, kasutatakse sageli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste arvutamisel ning see võimaldab teil täielikult pääseda. negatiivsete nurkade alt.
Bibliograafia.
- Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. trükk- M .: Valgustus, 2004.- 384 lk.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Mitmekesine. Mõned neist käsitlevad seda, millistes neljandikes on koosinus positiivne ja negatiivne, millistes on siinus positiivne ja negatiivne. Kõik osutub lihtsaks, kui tead, kuidas arvutada nende funktsioonide väärtusi erinevate nurkade all ja tunned funktsioonide graafikule joonistamise põhimõtet.
Mis on koosinuse väärtused
Kui arvestada, siis on meil järgmine kuvasuhe, mis selle määrab: nurga koosinus a on külgneva jala BC ja hüpotenuusi AB suhe (joonis 1): cos a= BC/AB.
Sama kolmnurga abil saate leida nurga siinuse, puutuja ja kotangensi. Siinus on jala vastasnurga AC ja hüpotenuusi AB suhe. Nurga puutuja leitakse, kui soovitud nurga siinus jagada sama nurga koosinusega; asendades siinuse ja koosinuse leidmiseks vastavad valemid, saame, et tg a\u003d AC / BC. Kootangens puutujaga pöördfunktsioonina leitakse järgmiselt: ctg a= BC/AC.
See tähendab, et samade nurga väärtuste puhul leiti, et täisnurkses kolmnurgas on kuvasuhe alati sama. Näib, et sai selgeks, kust need väärtused pärinevad, kuid miks saadakse negatiivsed numbrid?
Selleks peate arvestama kolmnurka Descartes'i koordinaatsüsteemis, kus on nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi.
Selge kvartalite kohta, kus on kumb
Mis on Descartes'i koordinaadid? Kui me räägime kahemõõtmelisest ruumist, siis on meil kaks suunatud sirget, mis lõikuvad punktis O - see on abstsisstelg (Ox) ja ordinaattelg (Oy). Punktist O sirge suunas on positiivsed arvud ja sisse tagakülg- negatiivne. Lõppkokkuvõttes sõltub sellest otseselt, millistes kvartalites on koosinus positiivne ja millistes negatiivne.
Esimene veerand
Kui asetatakse täisnurkne kolmnurk esimeses kvartalis (0 o kuni 90 o), kus x- ja y-telgedel on positiivsed väärtused(segmendid AO ja VO asuvad telgedel, kus väärtustel on "+" märk), siis on nii siinusel kui koosinusel ka positiivsed väärtused ja neile omistatakse väärtus plussmärgiga. Aga mis juhtub, kui nihutada kolmnurk teisele veerandile (90 o-lt 180 o-le)?
Teine veerand
Näeme, et piki y-telge sai AO jalg vastu negatiivne tähendus. Nurga koosinus a nüüd on see pool miinuse suhtes ja seetõttu muutub selle lõppväärtus negatiivseks. Selgub, et millises veerandis on koosinus positiivne, sõltub kolmnurga paigutusest Descartes'i koordinaatsüsteemis. Ja sel juhul saab nurga koosinus negatiivse väärtuse. Aga siinuse puhul pole midagi muutunud, sest selle märgi määramiseks on vaja OB poolt, mis jäi antud juhul plussmärgiga. Teeme kokkuvõtte kahest esimesest kvartalist.
Et teada saada, millistel veeranditel on koosinus positiivne ja millistes negatiivne (nagu ka siinus ja muud trigonomeetrilised funktsioonid), tuleb vaadata, milline märk on määratud ühele või teisele jalale. Nurga koosinuse jaoks a AO jalg on oluline, siinuse jaoks - OB.
Esimene veerand on seni saanud ainsaks vastuseks küsimusele: “Millistel veeranditel on siinus ja koosinus korraga positiivne?”. Vaatame edasi, kas nende kahe funktsiooni märgis on rohkem kokkulangevusi.
Teisel veerandil hakkas AO jalg olema negatiivse väärtusega, mis tähendab, et koosinus muutus negatiivseks. Siinuse jaoks salvestatakse positiivne väärtus.
kolmas kvartal
Nüüd on mõlemad jalad AO ja OB muutunud negatiivseks. Tuletage meelde koosinuse ja siinuse suhted:
Cos a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB-l on antud koordinaatsüsteemis alati positiivne märk, kuna see ei ole suunatud kummalegi telgedega määratletud küljele. Aga jalad on muutunud negatiivseks, mis tähendab, et mõlema funktsiooni tulemus on ka negatiivne, sest kui sooritada korrutamis- või jagamistehte arvudega, mille hulgas üks ja ainult üks on miinusmärgiga, siis on ka tulemus selle märgiga .
Tulemus selles etapis:
1) Millises kvartalis on koosinus positiivne? Esimeses kolmest.
2) Millises veerandis on siinus positiivne? Esimeses ja teises kolmest.
Neljas kvartal (270 o kuni 360 o)
Siin omandab AO jalg jällegi plussmärgi ja seega ka koosinuse.
Siinuse jaoks on asi endiselt "negatiivne", sest sääre OB jäi algpunktist O alla.
leiud
Selleks, et mõista, millistes kvartalites on koosinus positiivne, negatiivne jne, peate meeles pidama koosinuse arvutamise suhet: nurgaga külgnev jalg, jagatud hüpotenuusiga. Mõned õpetajad soovitavad seda meeles pidada: k (osine) \u003d (k) nurk. Kui mäletate seda "pettust", saate automaatselt aru, et siinus on vastandi ja jala nurga suhe hüpotenuusi suhtes.
Päris raske on meeles pidada, millistel veeranditel on koosinus positiivne ja milline negatiivne. Trigonomeetrilisi funktsioone on palju ja neil kõigil on oma väärtused. Kuid ikkagi selle tulemusena: siinuse positiivsed väärtused - 1, 2 veerandit (0 o kuni 180 o); koosinuse 1 jaoks 4 veerandit (0 o kuni 90 o ja 270 o kuni 360 o). Ülejäänud kvartalites on funktsioonide väärtused miinusega.
Võib-olla on kellelgi vastavalt funktsiooni kujutisele lihtsam meelde jätta, kus on milline märk.
Siinuse puhul on näha, et nullist 180 o-ni on hari sin (x) väärtuste joone kohal, mis tähendab, et funktsioon on siin positiivne. Koosinuse puhul on see sama: millises veerandis on koosinus positiivne (foto 7) ja millises negatiivne, seda saab näha, liigutades joont cos (x) teljest üles ja alla. Selle tulemusena võime siinuse märgi määramiseks meeles pidada kahte võimalust, koosinusfunktsioone:
1. Mõeldud ringi järgi, mille raadius on võrdne ühega (kuigi tegelikult pole vahet, milline on ringi raadius, aga õpikutes on see näide kõige sagedamini toodud, nii on lihtsam tajuda, kuid samas, kui te ei täpsusta, et sellel pole tähtsust, võivad lapsed segadusse sattuda).
2. Vastavalt pildile funktsiooni sõltuvusest (x)-st argumendist x endast, nagu viimasel joonisel.
Kasutades esimest meetodit, saate ARU, millest märk täpselt sõltub, ja me selgitasime seda üksikasjalikult ülal. Nendele andmetele tuginev joonis 7 visualiseerib saadud funktsiooni ja selle märgi liikmesust parimal võimalikul viisil.
See artikkel käsitleb kolme peamist omadust trigonomeetrilised funktsioonid: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.
Esimene omadus on funktsiooni märk, olenevalt sellest, millisesse ühikuringi veerandisse nurk α kuulub. Teine omadus on perioodilisus. Selle omaduse järgi ei muuda tigonomeetriline funktsioon oma väärtust, kui nurk muutub täisarvu pöörete võrra. Kolmas omadus määrab, kuidas funktsioonide sin, cos, tg, ctg väärtused muutuvad vastasnurkade α ja - α korral.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sageli võite matemaatilises tekstis või ülesande kontekstis leida fraasi: "esimese, teise, kolmanda või neljanda koordinaatveerandi nurk". Mis see on?
Vaatame ühikuringi. See on jagatud neljaks kvartaliks. Märgime ringile alguspunkti A 0 (1, 0) ja pöörates seda ümber punkti O nurga α võrra, jõuame punkti A 1 (x, y) . Sõltuvalt sellest, millises veerandis punkt A 1 (x, y) asub, nimetatakse nurka α vastavalt esimese, teise, kolmanda ja neljanda kvadrandi nurgaks.
Selguse huvides anname illustratsiooni.
Nurk α = 30° asub esimeses kvadrandis. Nurk – 210° on teine veerandnurk. Nurk 585° on kolmanda veerandi nurk. Nurk - 45° on neljanda kvartali nurk.
Sel juhul ei kuulu nurgad ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° ühegi kvartali alla, kuna need asuvad koordinaattelgedel.
Nüüd kaaluge siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märke, olenevalt sellest, millises veerandis nurk asub.
Siinuse märkide määramiseks neljandikkudes tuletage meelde määratlus. Siinus on punkti A 1 (x , y) ordinaat. Jooniselt on näha, et esimeses ja teises kvartalis on see positiivne ning kolmandas ja neljakordses negatiivne.
Koosinus on punkti A abstsiss 1 (x, y) . Vastavalt sellele määrame ringil koosinuse märgid. Koosinus on esimeses ja neljandas kvartalis positiivne ning teises ja kolmandas kvartalis negatiivne.
Puutuja ja kotangensi märkide määramiseks kvartalite kaupa tuletame meelde ka nende trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi. Tangens – punkti ordinaadi ja abstsissi suhe. See tähendab, et vastavalt erinevate märkidega arvude jagamise reeglile, kui ordinaadil ja abstsissil on samad märgid, on ringi puutuja märk positiivne ning kui ordinaat ja abstsiss on erinevad märgid- negatiivne. Samamoodi määratakse kotangensi märgid neljandikku.
Oluline meeles pidada!
- Nurga α siinusel on 1. ja 2. veerandil plussmärk, 3. ja 4. veerandil miinusmärk.
- Nurga α koosinusel on 1. ja 4. veerandis plussmärk, 2. ja 3. veerandis miinusmärk.
- Nurga α puutuja 1. ja 3. veerandis on plussmärgiga, 2. ja 4. veerandis miinusmärk.
- Nurga α kotangens on 1. ja 3. veerandis plussmärgiga, 2. ja 4. veerandis miinusmärk.
Perioodilisuse omadus
Perioodilisuse omadus on trigonomeetriliste funktsioonide üks ilmsemaid omadusi.
Perioodilisuse omadus
Kui nurk muutub täisarvu täispöörete võrra, jäävad antud nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused muutumatuks.
Tõepoolest, nurga muutmisel täisarvu pöörete võrra jõuame alati ühikuringi alguspunktist A samade koordinaatidega punkti A 1. Sellest lähtuvalt ei muutu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused.
Matemaatiliselt antud vara on kirjutatud nii:
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Mis on selle omaduse praktiline rakendus? Perioodilisuse omadust, nagu ka redutseerimisvalemeid, kasutatakse sageli siinuste, koosinuste, puutujate ja suurte nurkade kotangentide väärtuste arvutamiseks.
Toome näiteid.
sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Vaatame uuesti ühikuringi.
Punkt A 1 (x, y) saadakse alguspunkti A 0 (1, 0) pööramisel ümber ringi keskpunkti nurga α võrra. Punkt A 2 (x, - y) on alguspunkti pööramise tulemus nurga - α võrra.
Punktid A 1 ja A 2 on sümmeetrilised x-telje suhtes. Juhul, kui α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° punktid A 1 ja A 2 langevad kokku. Olgu ühel punktil koordinaadid (x , y) ja teisel - (x , - y) . Tuletage meelde siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi definitsioonid ja kirjutage:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
See eeldab vastasnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadusi.
Vastandnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadus
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Selle omaduse järgi võrdsused
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Vaadeldavat omadust kasutatakse sageli praktiliste ülesannete lahendamisel juhtudel, kui trigonomeetriliste funktsioonide argumentides on vaja vabaneda nurkade negatiivsetest märkidest.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Nurkade loendamine trigonomeetrilisel ringil.
Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
See on peaaegu sama, mis eelmises õppetükis. Seal on teljed, ring, nurk, kõik on lõug-hiina. Lisatud veerandinumbrid (suure ruudu nurkades) – esimesest neljandani. Ja siis äkki kes ei tea? Nagu näete, on kvartalid (neid nimetatakse ka ilus sõna"kvadrandid") on nummerdatud käigu vastu päripäeva. Lisatud nurkade väärtused telgedele. Kõik on selge, ei mingeid särisusi.
Ja lisas rohelise noole. Plussiga. Mida ta tähendab? Tuletan meelde, et nurga fikseeritud pool alati naelutatud positiivsele teljele OH. Seega, kui keerame nurga liikuva külje pluss nool, st. kasvavas kvartalis, nurk loetakse positiivseks. Näiteks on pildil positiivne nurk +60°.
Kui nurgad edasi lükata vastupidises suunas, päripäeva, nurk loetakse negatiivseks. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis), näete sinist noolt, millel on miinus. See on nurkade negatiivse lugemise suund. Näitena on näidatud negatiivne nurk (-60°). Ja näete ka, kuidas telgedel olevad numbrid on muutunud... Tõlkisin need ka negatiivseteks nurkadeks. Kvadrantide numeratsioon ei muutu.
Siin algavad tavaliselt esimesed arusaamatused. Kuidas nii!? Ja kui negatiivne nurk ringil langeb kokku positiivsega!? Ja üleüldse selgub, et sama liigutatava külje (või numbriringi punkti) asendit võib nimetada nii negatiivseks kui positiivseks nurgaks!?
Jah. Täpselt nii. Oletame, et 90-kraadine positiivne nurk võtab ringi täpselt sama positsiooni negatiivse nurgana miinus 270 kraadi. Positiivne nurk, näiteks +110° kraadi, kulub täpselt sama asendis, kuna negatiivne nurk on -250°.
Pole probleemi. Kõik on õige.) Nurga positiivse või negatiivse arvutuse valik sõltub ülesande olukorrast. Kui tingimus ei ütle midagi lihttekst nurga märgi kohta (näiteks "määrake väikseim positiivne nurk" jne), siis töötame väärtustega, mis on meile mugavad.
Erandiks (ja kuidas ilma nendeta ?!) on trigonomeetrilised ebavõrdsused, kuid seal saame selle triki selgeks.
Ja nüüd küsimus teile. Kuidas ma tean, et 110° nurga asend on sama, mis -250° nurga asend?
Annan vihje, et see on tingitud täiskäibest. 360°... Kas pole selge? Seejärel joonistame ringi. Joonistame paberile. Nurga märgistamine umbes 110°. Ja uskuda kui palju on jäänud täispöördeni. Ainult 250° on jäänud...
Sain aru? Ja nüüd - tähelepanu! Kui nurgad 110° ja -250° hõivavad ringi sama
positsioon, mis siis? Jah, asjaolu, et nurgad on 110 ° ja -250 ° täpselt sama
siinus, koosinus, puutuja ja kotangens!
Need. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja nii edasi. Nüüd on see tõesti oluline! Ja iseenesest - seal on palju ülesandeid, kus on vaja avaldisi lihtsustada, ja aluseks on hilisema reduktsioonivalemite ja muude trigonomeetria keerukuse väljatöötamine.
Muidugi võtsin 110 ° ja -250 ° juhuslikult, puhtalt näiteks. Kõik need võrdsused töötavad kõigi nurkade puhul, mis asuvad ringil sama positsiooniga. 60° ja -300°, -75° ja 285° jne. Märgin kohe, et nende paaride nurgad - mitmesugused. Kuid neil on trigonomeetrilised funktsioonid - sama.
Ma arvan, et saate aru, mis on negatiivsed nurgad. See on üsna lihtne. Vastupäeva on positiivne arv. Teel on see negatiivne. Kaaluge positiivset või negatiivset nurka oleneb meist endist. Meie soovist. No ja ülesandest muidugi veel... Loodan, et saate aru, kuidas trigonomeetrilistes funktsioonides liikuda negatiivsetest nurkadest positiivsetesse ja vastupidi. Joonista ring, ligikaudne nurk ja vaata, kui palju on puudu enne täispööret, s.t. kuni 360°.
Nurgad üle 360°.
Käsitleme nurki, mis on suuremad kui 360 °. Ja selliseid asju juhtub? Neid on muidugi. Kuidas neid ringile joonistada? Pole probleemi! Oletame, et peame mõistma, millises kvartalis langeb 1000 ° nurk? Lihtsalt! Teeme ühe täispöörde vastupäeva (nurk anti meile positiivne!). Kerige 360° tagasi. Noh, lähme edasi! Veel üks pööre - see on juba osutunud 720 °. Kui palju on jäänud? 280°. Täispöördeks ei piisa ... Kuid nurk on üle 270 ° - ja see on piir kolmanda ja neljanda kvartali vahel. Seega langeb meie 1000° nurk neljandasse kvartalisse. Kõik.
Nagu näete, on see üsna lihtne. Tuletan veel kord meelde, et nurk 1000° ja nurk 280°, mille saime "lisa" täispöörete kõrvalejätmisega, on rangelt võttes mitmesugused nurgad. Kuid nende nurkade trigonomeetrilised funktsioonid täpselt sama! Need. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Kui ma oleksin siinus, siis ma ei märkaks nende kahe nurga erinevust...
Miks seda kõike vaja on? Miks me peame nurgad ühelt teisele tõlkima? Jah, kõik sama eest.) Väljendite lihtsustamiseks. Avaldiste lihtsustamine on tegelikult koolimatemaatika põhiülesanne. Noh, tee peal treenib pea.)
Noh, kas me harjutame?)
Vastame küsimustele. Esialgu lihtne.
1. Millisesse veerandisse langeb nurk -325°?
2. Millisesse veerandisse langeb nurk 3000°?
3. Millisesse kvartalisse langeb nurk -3000°?
Kas on probleem? Või ebakindlus? Läheme jaotisse 555, Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga. Seal, selle väga esimeses õppetunnis praktiline töö..." kõik on üksikasjalik ... Sisse selline ebakindluse küsimused ei peaks!
4. Mis on sin555° märk?
5. Mis on tg555° märk?
Määratud? Hästi! Kahtlus? See on vajalik § 555 ... Muide, seal saate teada, kuidas tõmmata trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti. Väga kasulik asi.
Ja nüüd targemad küsimused.
6. Vii avaldis sin777° väikseima positiivse nurga siinusse.
7. Vii avaldis cos777° suurima negatiivse nurga koosinusesse.
8. Teisenda avaldis cos(-777°) väikseima positiivse nurga koosinusseks.
9. Vii avaldis sin777° suurima negatiivse nurga siinusse.
Mis, küsimused 6-9 on hämmingus? Harjuge ära, eksamil selliseid sõnastusi pole... Olgu nii, ma tõlgin ära. Ainult sinu jaoks!
Sõnad "vähendada väljendit ..." tähendavad avaldise teisendamist nii, et selle väärtus muutuks pole muutunud a välimus muudetud vastavalt ülesandele. Seega peame ülesannetes 6 ja 9 saama siinuse, mille sees on väikseim positiivne nurk. Kõik muu ei oma tähtsust.
Annan vastused järjekorras (rikkudes meie reegleid). Aga mis teha, on ainult kaks märki ja ainult neli neljandikku ... Te ei haju valikutesse.
6. sin57°.
7.cos(-57°).
8.cos57°.
9.-sin(-57°)
Ma arvan, et vastused küsimustele 6-9 ajasid mõned inimesed segadusse. Eriti -sin (-57°), eks?) Tõepoolest, nurkade loendamise elementaarsetes reeglites on ruumi vigadele ... Sellepärast pidin tegema õppetunni: "Kuidas määrata funktsioonide märke ja anda nurki trigonomeetrilisel ringil?" Jaotises 555. Seal on sorteeritud ülesanded 4-9. Hästi sorteeritud, koos kõigi lõksudega. Ja nad on siin.)
Järgmises tunnis käsitleme salapäraseid radiaane ja arvu "Pi". Siit saate teada, kuidas lihtsalt ja õigesti teisendada kraadid radiaanideks ja vastupidi. Ja me oleme üllatunud, kui avastame selle saidi elementaarse teabe aitab juba mõne mittestandardse trigonomeetria mõistatuse lahendamiseks!
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.