Trabajo de investigación "fórmula pico". Fórmula pico en el curso escolar de planimetría

Starkova Kristina, estudiante de grado 8B

El artículo considera el teorema de Pick y su demostración.

Se consideran los problemas de encontrar el área de los polígonos.

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Avance:

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN GENERAL Y PROFESIONAL

ADMINISTRACIÓN DEL DISTRITO MUNICIPIO DE TCHAIKOVSKY

REGIÓN PERMANENTE

VI JORNADAS MUNICIPALES DE INVESTIGACIÓN
ESTUDIANTES

Institución Educativa General Autónoma Municipal

"Escuela Secundaria No. 11"

SECCIÓN: MATEMÁTICAS

Aplicación de la fórmula de Pick

Estudiante de la clase 8 "B"

Escuela secundaria MAOU №11Tchaikovsky

Líder: Batueva L, N.,

Profesor de matemáticas MAOU escuela secundaria №11

Chaikovski

año 2012

I. Introducción……………………………………………………. 2

II. Fórmula pico

2.1.Rejillas.Nudos……………………………………………….4

2.2.Triangulación de un polígono…………………………5

2.3. Prueba del teorema de Pick…………………………6

2.4 Estudiar las áreas de polígonos…………9

2.5. Conclusión……………………………………………………..12

III Problemas geométricos con contenido práctico ... 13

IV. Conclusión………………………………………………..14

V. Lista de literatura utilizada………………………..16

1. Introducción

La pasión por las matemáticas a menudo comienza pensando en un problema. Entonces, al estudiar el tema "Áreas de polígonos", surgió la pregunta de si había tareas que fueran diferentes de las tareas consideradas en los libros de texto de geometría. Estas son tareas en papel cuadriculado. Teníamos preguntas: ¿cuál es la peculiaridad de tales tareas, hay alguna métodos especiales y técnicas para resolver problemas en papel cuadriculado. Ver tales tareas en control y medición. UTILIZAR materiales y GIA, decidieron investigar definitivamente las tareas en papel cuadriculado relacionadas con encontrar el área de la figura representada.

Empecé a estudiar la literatura, los recursos de Internet sobre este tema. ¿Parecería que lo que es fascinante se puede encontrar en un plano cuadriculado, es decir, en una hoja de papel interminable dibujada en cuadrados idénticos? No juzgues apresuradamente. Resulta que las tareas asociadas con el papel cuadriculado son bastante diversas. Aprendí a calcular las áreas de polígonos dibujados en una hoja de papel cuadriculada. Para muchas tareas en papel en una jaula no existe una regla general para resolver, métodos y técnicas específicas. Esta es su propiedad que determina su valor para el desarrollo de un habilidad de aprendizaje o habilidad, pero en general la capacidad de pensar, reflexionar, analizar, buscar analogías, es decir, estas tareas desarrollan habilidades de pensamiento en su sentido más amplio.

Definimos:

Objeto de estudio: tareas en papel cuadriculado

Tema de estudio: problemas para calcular el área de un polígono en papel cuadriculado, métodos y técnicas para resolverlos.

Métodos de búsqueda: modelización, comparación, generalización, analogía, estudio de recursos literarios y de Internet, análisis y clasificación de la información.

1. Propósito del estudio:Derivar y probar fórmulas para calcular las áreas de formas geométricas usando la fórmula Peak

Para lograr este objetivo, proponemos resolver los siguientes Tareas:

1. Seleccione la literatura necesaria
2. Seleccione material para la investigación, elija la información principal, interesante y comprensible
3. Analizar y organizar la información recibida.
4. Encontrar varios métodos y técnicas para resolver problemas en papel cuadriculado
5. Crear una presentación electrónica del trabajo para presentar el material recopilado a los compañeros de clase.

una variedad de tareas en papel en una caja, su "entretenimiento", falta de reglas generales y los métodos de solución causan dificultades a los escolares en su consideración

1. Hipótesis:. El área de la figura calculada por la fórmula de Pick es igual al área de la figura calculada por la fórmula de planimetría.

Al resolver problemas en papel cuadriculado, necesitamos imaginación geométrica e información geométrica bastante simple que todos conozcan.

II. Fórmula pico

2.1 Celosías Nudos.

Consideremos en el plano dos familias de rectas paralelas que dividen el plano en cuadrados iguales; el conjunto de todos los puntos de intersección de estas rectas se llama red de puntos o simplemente red, y los puntos mismos se llaman nodos de red.

Nodos internos de un polígono - rojo.

Nudos en las caras de un polígono - azul.

Para estimar el área de un polígono en papel cuadriculado, basta con calcular cuántas celdas cubre este polígono (tomamos el área de la celda como una unidad). Más precisamente, si S es el área del polígono, B es el número de celdas que se encuentran completamente dentro del polígono y G es el número de celdas que tienen al menos un punto en común con el interior del polígono.

Consideraremos solo tales polígonos, cuyos vértices se encuentran en los nodos del papel cuadriculado, en aquellos donde se cruzan las líneas de la cuadrícula.

El área de cualquier triángulo dibujado en papel cuadriculado se puede calcular fácilmente representándolo como la suma o diferencia de las áreas de triángulos rectángulos y rectángulos cuyos lados siguen las líneas de cuadrícula que pasan por los vértices del triángulo dibujado.

2.2 Triangulación de un polígono

Cualquier polígono con vértices en los nodos de la cuadrícula se puede triangular, dividir en triángulos "simples".

Deje que algún polígono y algún conjunto finito se den en el plano A puntos que se encuentran dentro del polígono y en su límite (además, todos los vértices del polígono pertenecen al conjunto A ).

Triangulación con vértices A se llama partición polígono dado en triángulos con vértices en el conjunto A tal que cada punto en A sirve de vértice para cada uno de aquellos triángulos de triangulación a los que pertenece este punto (es decir, puntos desde A no caer dentro ni sobre los lados de los triángulos, fig. 1.37).

Arroz. 1.37

Teorema 2. a) Cualquier n -gon se puede cortar por diagonales en triángulos, y el número de triángulos será igual a norte – 2 (esta partición es una triangulación con vértices en vértices n-gon).

Considere un polígono entero simple no degenerado (es decir, está conectado; dos de sus puntos pueden estar conectados por una curva continua que está completamente contenida en él, y todos sus vértices tienen coordenadas enteras, su límite es una polilínea conectada sin autointersecciones, y tiene un área distinta de cero).

Para calcular el área de dicho polígono, puede usar el siguiente teorema:

2.3. Demostración del teorema de Pick.

Sea B el número de puntos enteros dentro del polígono, Ã el número de puntos enteros en su límite,- su área. Después Fórmula de Pick: S=V+G2-1

Ejemplo. Para el polígono de la figura B=23 (puntos amarillos), D=7, (puntos azules, ¡no olvidemos los vértices!), entoncesunidades cuadradas.

Primero, tenga en cuenta que la fórmula de Pick es verdadera para el cuadrado unitario. En efecto, en este caso tenemos B=0, D=4 y.

Considere un rectángulo con lados que se encuentran en las líneas de celosía. Sean iguales las longitudes de sus lados y . Tenemos en este caso, B=(a-1)(b-1), G=2a+2b, luego por la fórmula Pick,

Considere ahora un triángulo rectángulo con catetos sobre los ejes de coordenadas. Tal triángulo se obtiene de un rectángulo con lados y , considerado en el caso anterior, cortándolo en diagonal. Que se acuesten en diagonal.puntos enteros. entonces por esto caso B \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 +c-1 y obtenemos eso4) Ahora considere un triángulo arbitrario. Se puede obtener cortando varios triángulos rectángulos y, posiblemente, un rectángulo de un rectángulo (ver imágenes). Dado que la fórmula de Pick es válida tanto para un rectángulo como para un triángulo rectángulo, obtenemos que también lo será para un triángulo arbitrario.

Queda por dar el último paso: pasar de los triángulos a los polígonos. Cualquier polígono se puede dividir en triángulos (por ejemplo, por diagonales). Por lo tanto, solo necesitamos demostrar que al agregar cualquier triángulo a un polígono arbitrario, la fórmula de Pick sigue siendo cierta. Deja que el polígono y triangulo tener un lado común. Supongamos que paraLa fórmula de Pick es válida, probaremos que será cierta para el polígono obtenido de agregando Desde y tienen un lado común, entonces todos los puntos enteros que se encuentran en este lado, a excepción de dos vértices, se convierten en puntos interiores del nuevo polígono. Los vértices serán puntos límite. Denotemos el número puntos comunes mediante y obtiene B=MT=BM+BT+c-2 - el número de puntos enteros internos del nuevo polígono, Г=Г(М)+Г(T)-2(s-2)-2 - el número de puntos límite del nuevo polígono. De estas igualdades obtenemos: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2 . Como hemos supuesto que el teorema es cierto para y para por separado, entonces S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Así queda demostrada la fórmula de Pick.

2.4 Estudio de áreas de polígonos.

2) En papel cuadriculado con celdas de 1 cm x 1 cm se representa triángulo Halla su área en centímetros cuadrados.
Imagen	Según la fórmula de la geometría	Según la fórmula de Pick
	S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ​​∙ 1=1.5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S=V+G2-1 G=3; V=0. S=0+3/2-1=0,5

3) Se representa un cuadrado en papel cuadriculado con celdas que miden 1 cm x 1 cm. Encuentra su área en centímetros cuadrados.
Imagen	Según la fórmula de la geometría	Según la fórmula de Pick
	S=a∙b KMNE cuadrados=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ​​∙ 3=4.5 Str.AND=Str.BMC=4.5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S=V+G2-1 profundidad = 14, ancho = 19. S=18+14/2-1=24

4) En papel cuadriculado con celdas de 1 cm x 1 cm se representa
Imagen	Según la fórmula de la geometría	Según la fórmula de Pick
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3.5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2.5 S5=a²=1²=1 Sq.= a²=7²=49 S=49-3.5-7-2-2.5-1=32cm²	S=V+G2-1 D=5, V=31. S=31+ 42 -1=32cm²
5) Sobre papel cuadriculado con celdas de 1 cm x 1 cm cuatro cuadrados. Encuentra su área en centímetros cuadrados.
	S = un segundo a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 cm 2	S=V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36cm 2
6) En papel cuadriculado con celdas de 1 cm x 1 cm se representa cuatro cuadrados. encuentra su area en centimetros cuadrados
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S=4,5+18+4,5=27 cm²	S=V+G2-1 profundidad = 18, ancho = 28. S=28+ 182 -1=36cm²
7) En papel cuadriculado con celdas de 1 cm x 1 cm se representa cuatro cuadrados. encuentra su area en centimetros cuadrados
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4.5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Sq.=9²=81cm² S=81-4.5-18-4.5-18=36cm²	S=V+G2-1 profundidad = 18, ancho = 28. S=28+ 182 -1=36cm²

8) En papel cuadriculado con celdas de 1 cm x 1 cm se representa cuatro cuadrados. encuentra su area en centimetros cuadrados
Imagen	Según la fórmula de la geometría	Según la fórmula de Pick
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm²	S= G+V2-1 profundidad = 16; ancho = 17. S=17+ 162 -1=24 cm²

Conclusión

1. Comparando los resultados en las tablas y demostrando el teorema de Pick, llegué a la conclusión de que el área de la figura calculada con la fórmula de Pick es igual al área de la figura calculada con la fórmula de planimetría derivada.

Así que mi hipótesis resultó ser correcta.

III.Problemas geométricos de contenido práctico.

La fórmula Pick también nos ayudará a resolver problemas geométricos con contenido práctico.

Tarea 9 . Encuentra el área bosque(en m²), representado en un plano con una cuadrícula de 1 × 1 (cm) en una escala de 1 cm - 200 m (Fig. 10)

Solución.

Arroz. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S = 40.000 10,5 = 420.000 (m²)

Respuesta: 420.000 m²

Tarea 10 . Encuentre el área del campo (en m²) representado en un plano con una cuadrícula cuadrada de 1 × 1 (cm) en una escala de 1 cm - 200 m (Fig. 11)

Solución. Encontremos S el área del cuadrilátero representado en papel cuadriculado usando la fórmula Peak: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Arroz. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40 000 8 = 320 000 (m²)

Respuesta: 320.000 m²

Conclusión

En el proceso de investigación, estudié referencia, literatura científica popular, aprendí a trabajar en el programa Notebook. Descubrí que

El problema de encontrar el área de un polígono con vértices en los nodos de la cuadrícula inspiró al matemático austriaco Pick en 1899 para demostrar la maravillosa fórmula de Pick.

Como resultado de mi trabajo, amplié mis conocimientos sobre la resolución de problemas en papel cuadriculado, determiné por mí mismo la clasificación de los problemas en estudio y me convencí de su diversidad.

Aprendí a calcular las áreas de polígonos dibujados en una hoja cuadriculada. Las tareas consideradas tienen nivel diferente dificultades - de simple a Olimpiada. Todos pueden encontrar entre ellos tareas de un nivel de complejidad factible, a partir de las cuales será posible pasar a resolver otras más difíciles.

Llegué a la conclusión de que el tema que me interesaba es bastante multifacético, las tareas en papel cuadriculado son diversas, los métodos y técnicas para resolverlas también son diversos. Por lo tanto, nuestro I decidió continuar trabajando en esta dirección.

Literatura

1. Geometría sobre papel cuadriculado. Pequeña MSU MEHMAT.

2. Zharkovskaya N. M., Riss E. A.. Geometría de papel a cuadros. Fórmula de Pick // Matemáticas, 2009, nº 17, p. 24-25.

3. Tareas banco abierto tareas en matemáticas FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov.Polígonos sobre celosías.M.MTsNMO, 2006.

5. Estudios temáticos.etudes.ru

6. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S.B. Kadomtsev y otros. Geometría. 7-9 clases. M. Ilustración, 2010

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
Versión completa el trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF

Introducción

Soy un estudiante de sexto grado. Empecé a estudiar geometría desde el año pasado, porque estudio en la escuela usando el libro de texto “Matemáticas. Aritmética. Geometría” editado por E.A. Bunimovich, L. V. Kuznetsova, S. S. Mineva y otros.

Mi mayor atención fue atraída por los temas "Cuadrados de figuras", "Compilación de fórmulas". Noté que las áreas de las mismas figuras se pueden encontrar diferentes caminos. En la vida cotidiana, a menudo nos enfrentamos al problema de encontrar el área. Por ejemplo, encuentre el área del piso a pintar. Es curioso, después de todo, para comprar la cantidad necesaria de papel tapiz para la renovación, debe saber el tamaño de la habitación, es decir. área de la pared. Calcular el área de un cuadrado, un rectángulo y un triángulo rectángulo no me causó ninguna dificultad.

Intrigado por este tema, comencé a buscar material adicional en Internet. Como resultado de la búsqueda, encontré la fórmula Pick: esta es una fórmula para calcular el área de un polígono dibujado en papel cuadriculado. Calcular el área con esta fórmula me pareció accesible a cualquier estudiante. Por eso decidí trabajo de investigación.

Relevancia del tema:

Este tema es una adición y profundización del estudio del curso de geometría.

Estudiar este tema te ayudará a prepararte mejor para las olimpiadas y los exámenes.

Objetivo:

Familiarícese con la fórmula Pick.

Domina las técnicas de resolución de problemas geométricos mediante la fórmula Pick.

Sistematizar y generalizar materiales teóricos y prácticos.

Investigar objetivos:

Comprobar la eficacia y conveniencia de aplicar la fórmula en la resolución de problemas.

Aprenda a aplicar la fórmula Pick a problemas de diversa complejidad.

Compara problemas resueltos con la fórmula de Pick y la forma tradicional.

Parte principal

1.1. referencia histórica

Georg Alexander Pick es un matemático austriaco nacido el 10 de agosto de 1859. Él era niño superdotado, fue instruido por su padre, quien dirigía un instituto privado. A los 16, Georg se graduó de la escuela secundaria e ingresó a la Universidad de Viena. A la edad de 20 años recibió el derecho de enseñar física y matemáticas. La fórmula para determinar el área de una red de polígonos le dio fama mundial. Publicó su fórmula en un artículo en 1899. Se hizo popular cuando el científico polaco Hugo Steinhaus la incluyó en 1969 en una publicación de dibujos matemáticos.

Georg Pieck se educó en la Universidad de Viena y completó su doctorado en 1880. Después de recibir su doctorado, fue nombrado asistente de Ernest Mach en la Universidad Scherl-Ferdinand de Praga. Allí se convirtió en maestro. Permaneció en Praga hasta su retiro en 1927 y luego regresó a Viena.

Pick presidió el comité de la Universidad Alemana de Praga que nombró a Einstein profesor de física matemática en 1911.

Fue elegido miembro de la Academia Checa de Ciencias y Artes, pero fue expulsado tras la toma de Praga por los nazis.

Cuando los nazis entraron en Austria el 12 de marzo de 1938, regresó a Praga. En marzo de 1939, los nazis invadieron Checoslovaquia. El 13 de julio de 1942, Pick fue deportado al campo de Theresienstadt establecido por los nazis en el norte de Bohemia, donde murió dos semanas después a la edad de 82 años.

1.2. Investigación y prueba

Comencé mi trabajo de investigación haciéndome la pregunta: ¿Qué áreas de figuras puedo encontrar? Podría hacer una fórmula para calcular el área de varios triángulos y cuadriláteros. Pero, ¿qué pasa con los polígonos de cinco, seis y en general?

En el curso de la investigación en varios sitios, vi soluciones a problemas para calcular el área de cinco, seis y otros polígonos. La fórmula para resolver estos problemas se denominó fórmula de Pick. Ella se ve así :S =B+G/2-1, dónde A- el número de nodos que se encuentran dentro del polígono, GRAMO- el número de nodos que se encuentran en el borde del polígono. La peculiaridad de esta fórmula es que solo se puede aplicar a polígonos dibujados en papel cuadriculado.

Cualquier polígono de este tipo se puede dividir fácilmente en triángulos con vértices en los nodos de la red, que no contienen nodos ni en el interior ni en los lados. Se puede demostrar que las áreas de todos estos triángulos son iguales e iguales a la ½, y por lo tanto el área del polígono es igual a la mitad de su número t

Para encontrar este número, denotamos por n el número de lados del polígono, por A- el número de nodos en su interior, a través de GRAMO es el número de nodos en los lados, incluidos los vértices. La suma total de los ángulos de todos los triángulos es 180°. t

Ahora encontremos la suma de una manera diferente.

La suma de los ángulos con un vértice en cualquier nodo interno es 2.180°, es decir la suma total de los ángulos es 360°. A; la suma total de los ángulos en los nodos de los lados pero no en los vértices es ( Sr. n)180°, y la suma de los ángulos en los vértices del polígono será igual a ( G-2)180°. De este modo, T= 2.180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Expandiendo los paréntesis y dividiendo por 360°, obtenemos la fórmula para el área S de un polígono, conocida como fórmula de Pick.

2. Parte práctica

Decidí verificar esta fórmula en tareas de la colección OGE-2017. Tomé tareas para calcular el área de un triángulo, un cuadrilátero y un pentágono. Decidí comparar las respuestas, resolviendo de dos formas: 1) sumé las figuras a un rectángulo y resté el área de los triángulos rectángulos al área del rectángulo resultante; 2) aplicó la fórmula Peak.

S = 18-1.5-4.5 = 12 y S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 y S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7.5-12-4.5-4 = 49 y S = 43+14/2-1 = 49

Comparando los resultados, concluyo que ambas fórmulas dan la misma respuesta. Hallar el área de una figura usando la fórmula del Pico resultó ser más rápido y sencillo, porque hubo menos cálculos. La facilidad de decisión y el ahorro de tiempo en los cálculos me serán de utilidad en el futuro a la hora de aprobar la OGE.

Esto me impulsó a probar la posibilidad de aplicar la fórmula Pick a figuras más complejas.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9.5

S=4+16/2-1=1

Conclusión

La fórmula de Pick es fácil de entender y fácil de usar. Primero, es suficiente saber contar, dividir por 2, sumar y restar. En segundo lugar, puede encontrar el área y una figura compleja sin gastar mucho tiempo. En tercer lugar, esta fórmula funciona para cualquier polígono.

La desventaja es que la fórmula de selección solo se aplica a figuras dibujadas en papel cuadriculado y los vértices se encuentran en los nodos de las celdas.

Estoy seguro de que al aprobar los exámenes finales, los problemas para calcular el área de las figuras no causarán dificultades. Después de todo, ya estoy familiarizado con la fórmula Pick.

Bibliografía

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. etc Matemáticas. Aritmética. Geometría. Grado 5: libro de texto. para educación general organizaciones con aplicación. a un electrón. carrier -3ª ed.-M.: Ilustración, 2014.- 223, p. : enfermo. - (Esferas).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. etc Matemáticas. Aritmética. Geometría. Grado 6: libro de texto. para educación general Organizaciones-5ª ed.-M.: Educación, 2016.-240s. : ill.- (Esferas).

Vasiliev N. B. Alrededor de la fórmula Pick. //Cuántica.- 1974.-№2. -p.39-43

Rassolov V. V. Problemas de planimetría. / 5ª ed., corregida. Y extra - M.: 2006.-640s.

IV Yaschenko, OGE. Matemáticas: opciones típicas del examen: O-39 36 opciones - M.: Editorial Educación Nacional, 2017. -240 p. - (OGE. FIPI-escuela).

"Resolveré el OGE": matemáticas. El sistema de entrenamiento de Dmitry Gushchin. OGE-2017: tareas, respuestas, soluciones [ recurso electrónico]. Modo de acceso: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Consultado el 02/04/2017)

Descripción bibliográfica: Tatyanenko A. A., Tatyanenko S. A. Cálculo de las áreas de figuras representadas en papel cuadriculado // Joven científico. - 2016. - N° 3..03.2019).



En preparación para el principal examen de Estado Me encontré con tareas en las que se requiere calcular el área de la figura representada en una hoja de papel a cuadros. Como regla general, estas tareas no causan grandes dificultades si la figura es un trapecio, un paralelogramo o un triángulo. Basta con conocer las fórmulas para calcular las áreas de estas figuras, contar el número de celdas y calcular el área. Si la figura es un polígono arbitrario, aquí se deben usar trucos especiales. me interesé este tema. Naturalmente, surgieron preguntas: ¿dónde en La vida cotidiana¿Puede haber problemas para calcular áreas en papel cuadriculado? ¿Qué tienen de especial tales tareas? ¿Existen otros métodos o una fórmula universal para calcular las áreas de formas geométricas representadas en papel cuadriculado?

El estudio de literatura especial y fuentes de Internet mostró que existe una fórmula universal que le permite calcular el área de la figura representada en la celda. Esta fórmula se llama fórmula de Pick. Sin embargo, en el marco del currículo escolar, esta fórmula no es considerada, a pesar de su facilidad de uso y obtención de resultados. Además, realicé una encuesta a amigos y compañeros de clase (en dos formas: en una conversación personal y en en las redes sociales), a la que asistieron 43 alumnos de colegios de la ciudad de Tobolsk. Esta encuesta mostró que solo una persona (un estudiante de grado 11) está familiarizada con la fórmula Peak para calcular áreas.

Sea dado un sistema de coordenadas rectangulares. En este sistema, considere un polígono que tiene coordenadas enteras. A literatura educativa Los puntos con coordenadas enteras se llaman nodos. Además, el polígono no tiene que ser convexo. Y que se requiera para determinar su área.

Los siguientes casos son posibles.

1. La figura es un triángulo, paralelogramo, trapezoide:

1) contando las celdas, necesita encontrar la altura, las diagonales o los lados que se requieren para calcular el área;

2) sustituir los valores encontrados en la fórmula del área.

Por ejemplo, desea calcular el área de la figura que se muestra en la Figura 1 con un tamaño de celda de 1 cm por 1 cm.

Arroz. 1. Triángulo

Solución. Contamos las celdas y encontramos: . Según la fórmula obtenemos: .

2 La figura es un polígono

Si la figura es un polígono, entonces es posible usar los siguientes métodos.

Método de partición:

1) dividir el polígono en triángulos, rectángulos;

2) calcular las áreas de las figuras resultantes;

3) encontrar la suma de todas las áreas de las figuras obtenidas.

Por ejemplo, se requiere calcular el área de la figura que se muestra en la Figura 2 con un tamaño de celda de 1 cm por 1 cm utilizando el método de partición.

Arroz. 2. Polígono

Solución. Hay muchas formas de particionar. Descomponemos la figura en triángulos rectángulos y un rectángulo como se muestra en la Figura 3.

Arroz. 3. Polígono. método de partición

Las áreas de los triángulos son: , , , el área del rectángulo es . Sumando las áreas de todas las figuras obtenemos:

Método de construcción adicional

1) completar la figura a un rectángulo

2) encuentre las áreas de las figuras adicionales obtenidas y el área del rectángulo mismo

3) restar las áreas de todas las figuras "extra" del área del rectángulo.

Por ejemplo, se requiere calcular el área de la figura que se muestra en la Figura 2 con un tamaño de celda de 1 cm por 1 cm utilizando el método de construcción adicional.

Solución. Construyamos nuestra figura en un rectángulo como se muestra en la Figura 4.

Arroz. 4. Polígono. Método del complemento

el area del rectangulo grande es , un rectángulo ubicado dentro - , áreas de triángulos "extra" - , , entonces el área de la figura deseada es .

Cuando se calculan las áreas de los polígonos en papel cuadriculado, es posible usar otro método, que se llama la fórmula de Pick, por el nombre del científico que la descubrió.

Fórmula pico

Deje que el polígono dibujado en papel cuadriculado tenga solo vértices enteros. Los puntos para los que ambas coordenadas son números enteros se denominan nodos reticulares. Además, el polígono puede ser tanto convexo como no convexo.

El área de un polígono con vértices enteros es , donde B es el número de puntos enteros dentro del polígono y à es el número de puntos enteros en el límite del polígono.

Por ejemplo, para el polígono que se muestra en la Figura 5.

Arroz. 5. Nudos en la fórmula de Pick

Por ejemplo, desea calcular el área de la figura que se muestra en la Figura 2 con un tamaño de celda de 1 cm por 1 cm utilizando la fórmula Pick.

Arroz. 6. Polígono. Fórmula pico

Solución. De acuerdo con la Figura 6: V=9, G=10, luego de acuerdo con la fórmula Peak tenemos:

A continuación se muestran ejemplos de algunas tareas desarrolladas por el autor para calcular las áreas de figuras representadas en papel cuadriculado.

1 en jardín de infancia los niños hicieron aplicaciones para sus padres como regalo (Fig. 7). Encuentre el área de aplicación. El tamaño de cada celda es de 1cm 1cm.

Arroz. 7. Condición del problema 1

2. Una hectárea de abetos puede contener hasta 32 toneladas de polvo por año, pino - hasta 35 toneladas, olmo - hasta 43 toneladas, roble - hasta 50 toneladas Haya - hasta 68 toneladas Calcula cuántas toneladas de polvo que albergará un bosque de abetos en 5 años. El plano del bosque de abetos se muestra en la Figura 8 (escala 1 cm - 200 m).

Arroz. 8. Condición del problema 2

3. Los adornos de Khanty y Mansi están dominados por motivos geométricos. A menudo hay imágenes estilizadas de animales. La Figura 9 muestra un fragmento del ornamento Mansi "Orejas de liebre". Calcula el área de la parte sombreada del adorno.

Arroz. 9. Condición del problema 3

4. Se requiere pintar la pared del edificio de la fábrica (Fig. 10). Calcule la cantidad requerida de pintura a base de agua (en litros). Consumo de pintura: 1 litro por 7 m2. metros Escala 1cm - 5m.

Arroz. 10. Condición del problema 4

5. Polígono de estrella: una figura geométrica plana compuesta de rayos triangulares que emanan de centro común fusión en el punto de convergencia. atención especial merece estrella de cinco puntas- pentagrama. El pentagrama es un símbolo de perfección, inteligencia, sabiduría y belleza. Esta es la forma más simple de una estrella, que se puede representar con un solo trazo de la pluma, sin arrancarla nunca del papel y, al mismo tiempo, sin pasar dos veces por la misma línea. Dibuja una estrella de cinco puntas sin levantar el lápiz de una hoja de papel cuadriculado, de modo que todas las esquinas del polígono resultante estén en los nodos de la celda. Calcula el área de la figura resultante.

Después de analizar la literatura matemática y analizar un gran número de ejemplos sobre el tema de investigación, llegué a la conclusión de que la elección del método para calcular el área de una figura en papel cuadriculado depende de la forma de la figura. Si la figura es un triángulo, un rectángulo, un paralelogramo o un trapezoide, entonces conviene utilizar las conocidas fórmulas para el cálculo de áreas. Si la figura es un polígono convexo, es posible usar tanto el método de partición como el método de suma (en la mayoría de los casos, el método de suma es más conveniente). Si la figura es un polígono no convexo o estrellado, entonces es más conveniente aplicar la fórmula Pick.

Dado que la fórmula de Pick es una fórmula universal para calcular áreas (si los vértices de un polígono están en los puntos de la red), puede usarse para cualquier forma. Sin embargo, si el polígono ocupa un área suficientemente grande (o las celdas son pequeñas), existe una alta probabilidad de cometer un error en el cálculo de los nodos de la red. En general, en el curso del estudio, llegué a la conclusión de que al resolver tales problemas en OGE es mejor utilice los métodos tradicionales (particiones o sumas) y compruebe el resultado mediante la fórmula Pick.

Literatura:

1. Vavilov VV, Ustinov AV Polígonos sobre celosías. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 p.
2. Vasiliev I. N. Alrededor de la fórmula Pick// Popular revista científica física y matemática "Kvant". - 1974. - No. 12. Modo de acceso: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Zharkovskaya N., Riss E. Geometría del papel cuadriculado. Fórmula pico. // El primero de septiembre. Matemáticas. - 2009. - Nº 23. - p.24,25.

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Libros

• Efecto meseta. Cómo superar el estancamiento y seguir adelante, Sullivan, B.
• Club matemático "Canguro". Número 8. Matemáticas en papel cuadriculado. El número está dedicado a varias tareas y juegos relacionados con una hoja de papel a cuadros. En particular, analiza detalladamente el cálculo del área de un polígono cuyos vértices se encuentran en...

Un polígono sin autointersecciones se llama polígono de celosía si todos sus vértices están en puntos con coordenadas enteras (en el sistema de coordenadas cartesianas).

teorema de pick

Fórmula

Deje que se dé algún polígono de celosía con área distinta de cero.

Denotemos su área por ; el número de puntos con coordenadas enteras que se encuentran estrictamente dentro del polígono; el número de puntos con coordenadas enteras que se encuentran a los lados del polígono.

Entonces la relación llamada fórmula de selección:

En particular, si se conocen los valores de I y B para algún polígono, entonces su área se puede calcular como , incluso sin conocer las coordenadas de sus vértices.

Esta relación fue descubierta y probada por el matemático austriaco Georg Alexander Pick en 1899.

Prueba

La demostración se realiza en varias etapas: desde las figuras más simples hasta los polígonos arbitrarios:

Generalización a dimensiones superiores

Desafortunadamente, esta simple y hermosa fórmula de Pick no se generaliza bien a dimensiones superiores.

Esto fue claramente demostrado por Reeve, quien propuso en 1957 considerar el tetraedro (ahora llamado Reeve tetraedro) con los siguientes vértices:

donde es cualquier número natural. Entonces este tetraedro, por cualquiera, no contiene en su interior ningún punto con coordenadas enteras, y en su límite sólo hay cuatro puntos , , y ningún otro. Por lo tanto, el volumen y el área de superficie de este tetraedro pueden ser diferentes, mientras que la cantidad de puntos dentro y en el borde no cambia; por tanto, la fórmula de Pick no permite generalizaciones ni siquiera al caso tridimensional.

Sin embargo, todavía hay alguna generalización similar a espacios de mayor dimensión, es Polinomios de Earhart(Polinomio de Ehrhart), pero son muy complejos y dependen no solo del número de puntos dentro y en el borde de la figura.