Escribe la ecuación de una recta a partir de los puntos. Ecuación general de una línea recta: descripción, ejemplos, resolución de problemas.

Se dan dos puntos METRO(X 1 ,A 1) y norte(X 2,y 2). Encontremos la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.

Como esta recta pasa por el punto METRO, entonces de acuerdo con la fórmula (1.13) su ecuación tiene la forma

A – Y 1 = k(x-x 1),

Dónde k es la pendiente desconocida.

El valor de este coeficiente se determina a partir de la condición de que la recta deseada pase por el punto norte, lo que significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación (1.13)

Y 2 – Y 1 = k(X 2 – X 1),

A partir de aquí se puede encontrar la pendiente de esta línea:

,

O después de la conversión

(1.14)

La fórmula (1.14) define Ecuación de una recta que pasa por dos puntos METRO(X 1, Y 1) y norte(X 2, Y 2).

En el caso particular de que los puntos METRO(A, 0), norte(0, B), PERO ¹ 0, B¹ 0, se encuentran en los ejes de coordenadas, la ecuación (1.14) toma una forma más simple

Ecuación (1.15) llamó Ecuación de una recta en segmentos, aquí PERO y B denote segmentos cortados por una línea recta en los ejes (Figura 1.6).

Figura 1.6

Ejemplo 1.10. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos METRO(1, 2) y B(3, –1).

. De acuerdo con (1.14), la ecuación de la recta deseada tiene la forma

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Pasando todos los términos al lado izquierdo, finalmente obtenemos la ecuación deseada

3X + 2Y – 7 = 0.

Ejemplo 1.11. Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto METRO(2, 1) y el punto de intersección de las rectas X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Encontramos las coordenadas del punto de intersección de las líneas resolviendo estas ecuaciones juntas

Si sumamos estas ecuaciones término por término, obtenemos 2 X+ 1 = 0, de donde . Sustituyendo el valor encontrado en cualquier ecuación, encontramos el valor de la ordenada A:

Ahora escribamos la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2, 1) y :

o .

Por lo tanto o -5( Y – 1) = X – 2.

Finalmente, obtenemos la ecuación de la recta deseada en la forma X + 5Y – 7 = 0.

Ejemplo 1.12. Hallar la ecuación de una recta que pasa por puntos METRO(2.1) y norte(2,3).

Usando la fórmula (1.14), obtenemos la ecuación

No tiene sentido porque el segundo denominador es cero. De la condición del problema se puede ver que las abscisas de ambos puntos tienen el mismo valor. Por lo tanto, la línea requerida es paralela al eje OY y su ecuación es: X = 2.

Comentario . Si, al escribir la ecuación de una línea recta de acuerdo con la fórmula (1.14), uno de los denominadores resulta ser igual a cero, entonces se puede obtener la ecuación deseada igualando el numerador correspondiente a cero.

Consideremos otras formas de establecer una línea recta en un plano.

1. Sea un vector distinto de cero perpendicular a una línea dada L, y el punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea (Figura 1.7).

Figura 1.7

Denotar METRO(X, Y) un punto arbitrario en la línea L. Vectores y Ortogonal. Usando las condiciones de ortogonalidad para estos vectores, obtenemos o PERO(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Hemos obtenido la ecuación de una recta que pasa por un punto METRO 0 es perpendicular al vector . Este vector se llama Vector normal a una línea recta L. La ecuación resultante se puede reescribir como

Vaya + Wu + DE= 0, donde DE = –(PEROX 0 + Por 0), (1.16),

Dónde PERO y A son las coordenadas del vector normal.

Obtenemos la ecuación general de una recta en forma paramétrica.

2. Una línea en un plano se puede definir de la siguiente manera: sea un vector distinto de cero paralelo a una línea dada L y punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea. Nuevamente, tome un punto arbitrario METRO(X, y) en línea recta (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectores y colineal

Escribamos la condición de colinealidad de estos vectores: , donde T es un número arbitrario, llamado parámetro. Escribamos esta igualdad en coordenadas:

Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones paramétricas Directo. Excluyamos de estas ecuaciones el parámetro T:

Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma

. (1.18)

La ecuación resultante se llama La ecuación canónica de una recta.. Llamada vectorial Dirección vectorial recta .

Comentario . Es fácil ver que si es el vector normal a la recta L, entonces su vector director puede ser el vector , ya que , es decir .

Ejemplo 1.13. Escribe la ecuación de una recta que pasa por un punto METRO 0(1, 1) paralelo a la línea 3 X + 2A– 8 = 0.

Solución . El vector es el vector normal a las líneas dadas y deseadas. Usemos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto METRO 0 con un vector normal dado 3( X –1) + 2(A– 1) = 0 o 3 X + 2 años- 5 \u003d 0. Obtuvimos la ecuación de la línea recta deseada.

Deje que la línea recta pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

dónde k - Coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

A partir de aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 \u003d x 2, entonces la línea recta que pasa por los puntos M 1 (x 1, y I) y M 2 (x 2, y 2) es paralela al eje y. su ecuacion es x = x 1 .

Si y 2 \u003d y I, entonces la ecuación de la línea recta se puede escribir como y \u003d y 1, la línea recta M 1 M 2 es paralela al eje x.

Ecuación de una recta en segmentos

Deje que la línea recta se cruce con el eje Ox en el punto M 1 (a; 0), y el eje Oy, en el punto M 2 (0; b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
. Esta ecuación se llama la ecuación de una recta en segmentos, porque los números a y b indican qué segmentos corta la línea recta en los ejes de coordenadas.

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por Punto dado Mo (x O; y o) es perpendicular al vector distinto de cero dado n = (A; B).

Tome un punto arbitrario M(x; y) en la línea recta y considere el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

El vector n = (A; B) perpendicular a la recta se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C \u003d -Ax o - Vu o - miembro libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de una recta(ver Fig. 2).

Figura 1 Figura 2

Ecuaciones canónicas de la línea recta

,

Dónde
son las coordenadas del punto por el que pasa la recta, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto dado, que se llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen, la ecuación se verá así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados y , que se llaman focos, es un valor constante
, mayor que la distancia entre los focos
.

La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y cuyo origen está en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a la longitud del semieje mayor; b es la longitud del semieje menor (Fig. 2).

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Hay infinitas líneas que se pueden trazar a través de cualquier punto.

A través de dos puntos no coincidentes, sólo hay una línea recta.

Dos rectas no coincidentes en el plano se intersecan en un solo punto o son

paralelo (sigue del anterior).

Hay tres opciones en el espacio 3D. posición relativa dos rectas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas rectas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Directo línea- curva algebraica de primer orden: en el sistema de coordenadas cartesianas, una línea recta

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

ecuación general directo.

Definición. Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden

Ah + Wu + C = 0,

y constante un, b no es igual a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de línea recta. Dependiendo de los valores de las constantes un, b y DE Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- la recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Por + C = 0)- recta paralela al eje Vaya

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- recta paralela al eje UNED

. segundo = do = 0, un ≠ 0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B ≠ 0- la recta coincide con el eje Vaya

La ecuación de una línea recta se puede representar en diversas formas dependiendo de cualquiera dado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta por un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto UN(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Compongamos en A \u003d 3 y B \u003d -1 la ecuación de la línea recta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar el coeficiente C

sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante, obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto

C = -1. Total: la ecuación deseada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dados dos puntos en el espacio METRO 1 (x 1 , y 1 , z 1) y M2 (x2, y2, z2), después ecuación de línea recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. Sobre el

plano, la ecuación de una línea recta escrita arriba se simplifica:

si X 1 ≠ X 2 y x = x 1, si x1 = x2 .

Fracción = k llamó factor de pendiente directo.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula anterior, obtenemos:

Ecuación de una recta por un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de una recta Ah + Wu + C = 0 llevar a la forma:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

La ecuación de una línea recta en un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta a través del vector normal, puede ingresar la tarea

una recta que pasa por un punto y un vector director de una recta.

Definición. Todo vector distinto de cero (a 1 , a 2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamó vector director de la recta.

Ah + Wu + C = 0.

Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta de vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada de la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

los coeficientes deben satisfacer las condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de una recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.

a x=1, y=2 obtenemos C/ A = -3, es decir. ecuación deseada:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la recta Ah + Wu + C = 0 C≠0, entonces, dividiendo por -C, obtenemos:

o donde

sentido geométrico coeficientes en que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Vaya, a b- la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje UNED.

Ejemplo. La ecuación general de una recta está dada x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta línea recta en segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Ah + Wu + C = 0 dividir por número , Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysenφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0.

R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea,

a φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Vaya.

Ejemplo. Dada la ecuación general de una recta 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir diferentes tipos ecuaciones

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos:

La ecuación de esta recta con pendiente: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Cabe señalar que no toda línea recta se puede representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralela a los ejes o pasando por el origen.

Ángulo entre rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y \u003d k 1 x + segundo 1, y \u003d k 2 x + segundo 2, entonces el ángulo agudo entre estas líneas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k1 = k2. Dos las lineas rectas son perpendiculares,

si k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Directo Ah + Wu + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 son paralelos cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. si tambien С 1 \u003d λС, entonces las rectas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado es perpendicular a una recta dada.

Definición. Una recta que pasa por un punto M 1 (x 1, y 1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

La distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ah + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. Deja que el punto M 1 (x 1, y 1)- la base de la perpendicular caída desde el punto METRO para una dada

directo. Entonces la distancia entre los puntos METRO y METRO 1:

(1)

Coordenadas x1 y 1 se puede encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

entonces, resolviendo, obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido probado.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos. En el artículo" " Te prometí analizar la segunda forma de resolver los problemas presentados para encontrar la derivada, con una función gráfica dada y una tangente a esta gráfica. Exploraremos este método en , ¡No te pierdas! Por qué¿Siguiente?

El hecho es que allí se utilizará la fórmula de la ecuación de una línea recta. Por supuesto, uno podría simplemente mostrar esta fórmula y recomendarle que la aprenda. Pero es mejor explicar de dónde viene (cómo se deriva). ¡Es necesario! Si lo olvida, restáurelo rápidamenteno será difícil. Todo se detalla a continuación. Entonces, tenemos dos puntos A en el plano de coordenadas(x 1; y 1) y B (x 2; y 2), se traza una línea recta por los puntos indicados:

Aquí está la fórmula directa:

*Es decir, al sustituir las coordenadas específicas de los puntos, obtenemos una ecuación de la forma y=kx+b.

** Si esta fórmula simplemente se “memoriza”, entonces existe una alta probabilidad de confundirse con los índices cuando X. Además, los índices se pueden denotar de diferentes maneras, por ejemplo:

Por eso es importante entender el significado.

Ahora la derivación de esta fórmula. ¡Todo es muy simple!

Los triángulos ABE y ACF son semejantes en esquina filosa(el primer signo de similitud triángulos rectángulos). De esto se deduce que las proporciones de los elementos correspondientes son iguales, es decir:

Ahora simplemente expresamos estos segmentos en términos de la diferencia en las coordenadas de los puntos:

Por supuesto, no habrá ningún error si escribe las relaciones de los elementos en un orden diferente (lo principal es mantener la correspondencia):

El resultado es la misma ecuación de una línea recta. ¡Es todo!

Es decir, no importa cómo se designen los puntos (y sus coordenadas), al comprender esta fórmula, siempre encontrará la ecuación de una línea recta.

La fórmula se puede deducir a partir de las propiedades de los vectores, pero el principio de derivación será el mismo, ya que hablaremos de la proporcionalidad de sus coordenadas. En este caso, funciona la misma similitud de los triángulos rectángulos. En mi opinión, la conclusión descrita anteriormente es más comprensible)).

Ver salida a través de coordenadas vectoriales >>>

Sea una línea recta construida en el plano de coordenadas que pasa por dos puntos dados A (x 1; y 1) y B (x 2; y 2). Marquemos un punto arbitrario C en la recta de coordenadas ( X; y). También denotamos dos vectores:

Se sabe que para los vectores que se encuentran en líneas paralelas (o en una línea), sus coordenadas correspondientes son proporcionales, es decir:

- escribimos la igualdad de los cocientes de las coordenadas correspondientes:

Considere un ejemplo:

Halla la ecuación de una recta que pasa por dos puntos de coordenadas (2;5) y (7:3).

Ni siquiera puedes construir la línea en sí. Aplicamos la fórmula:

Es importante que capte la correspondencia al elaborar la relación. No puedes equivocarte si escribes:

Respuesta: y=-2/5x+29/5 vamos y=-0.4x+5.8

Para asegurarse de que la ecuación resultante se encuentra correctamente, asegúrese de verificarla: sustituya las coordenadas de datos en la condición de los puntos. Debe obtener igualdades correctas.

Eso es todo. Espero que el material te haya sido de utilidad.

Atentamente, Alejandro.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

Este artículo continúa con el tema de la ecuación de una línea recta en un plano: considere este tipo de ecuación como la ecuación general de una línea recta. Definamos un teorema y demos su demostración; Averigüemos qué es una ecuación general incompleta de una línea recta y cómo hacer transiciones de una ecuación general a otros tipos de ecuaciones de una línea recta. Consolidaremos toda la teoría con ilustraciones y resolución de problemas prácticos.

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Sea un sistema de coordenadas rectangular O x y dado en el plano.

Teorema 1

Cualquier ecuación de primer grado, que tenga la forma A x + B y + C \u003d 0, donde A, B, C son algunos números reales (A y B no son iguales a cero al mismo tiempo) define una línea recta en un sistema de coordenadas rectangulares en el plano. A su vez, cualquier línea en un sistema de coordenadas rectangulares en el plano está determinada por una ecuación que tiene la forma A x + B y + C = 0 para un determinado conjunto de valores A, B, C.

Prueba

Este teorema consta de dos puntos, probaremos cada uno de ellos.

1. Probemos que la ecuación A x + B y + C = 0 define una línea en el plano.

Sea un punto M 0 (x 0 , y 0) cuyas coordenadas correspondan a la ecuación A x + B y + C = 0 . Así: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Reste de los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones A x + B y + C \u003d 0 los lados izquierdo y derecho de la ecuación A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, obtenemos una nueva ecuación que se parece a A (x - x 0) + segundo (y - y 0) = 0 . Es equivalente a A x + B y + C = 0 .

La ecuación resultante A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 es una condición necesaria y suficiente para la perpendicularidad de los vectores n → = (A, B) y M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Así, el conjunto de puntos M (x, y) define en un sistema de coordenadas rectangulares una recta perpendicular a la dirección del vector n → = (A, B) . Podemos suponer que esto no es así, pero entonces los vectores n → = (A, B) y M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) no serían perpendiculares, y la igualdad A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 no sería cierto.

Por lo tanto, la ecuación A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 define alguna línea en un sistema de coordenadas rectangulares en el plano y, por lo tanto, la ecuación equivalente A x + B y + C \u003d 0 define la misma linea Así hemos probado la primera parte del teorema.

1. Probemos que cualquier línea recta en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano puede estar dada por una ecuación de primer grado A x + B y + C = 0 .

Fijemos una línea recta a en un sistema de coordenadas rectangulares en el plano; punto M 0 (x 0 , y 0) por donde pasa esta recta, así como el vector normal de esta recta n → = (A , B) .

Que exista también algún punto M (x, y) - un punto flotante de la línea. En este caso, los vectores n → = (A , B) y M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) son perpendiculares entre sí, y su producto escalar es cero:

norte → , METRO 0 METRO → = A (x - x 0) + segundo (y - y 0) = 0

Reescribamos la ecuación A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , definamos C: C = - A x 0 - B y 0 y finalmente obtengamos la ecuación A x + B y + C = 0 .

Entonces, hemos probado la segunda parte del teorema, y ​​hemos probado todo el teorema como un todo.

Definición 1

Una ecuación que parece A x + B y + C = 0 - esto es ecuación general de una recta en un plano en un sistema de coordenadas rectangularesO x y .

Con base en el teorema probado, podemos concluir que una línea recta dada en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares fijo y su ecuación general están indisolublemente unidas. En otras palabras, la línea original corresponde a su ecuación general; la ecuación general de una recta corresponde a una recta dada.

También se sigue de la demostración del teorema que los coeficientes A y B para las variables x e y son las coordenadas del vector normal de la recta, el cual viene dado por la ecuación general de la recta A x + B y + C = 0 .

Considere un ejemplo específico de la ecuación general de una línea recta.

Sea dada la ecuación 2 x + 3 y - 2 = 0, que corresponde a una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular dado. El vector normal de esta recta es el vector n → = (2 , 3) ​​. Dibuja una línea recta dada en el dibujo.

También se puede argumentar lo siguiente: la recta que vemos en el dibujo está determinada por la ecuación general 2 x + 3 y - 2 = 0, ya que las coordenadas de todos los puntos de una recta dada corresponden a esta ecuación.

Podemos obtener la ecuación λ A x + λ B y + λ C = 0 multiplicando ambos lados de la ecuación general en línea recta por el número λ, no cero. La ecuación resultante es equivalente a la ecuación general original, por lo tanto, describirá la misma línea en el plano.

Definición 2

Ecuación general completa de una recta- tal ecuación general de la línea A x + B y + C \u003d 0, en la que los números A, B, C no son cero. De lo contrario, la ecuación es incompleto.

Analicemos todas las variaciones de la ecuación general incompleta de la línea recta.

1. Cuando A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, la ecuación general se convierte en B y + C \u003d 0. Tal ecuación general incompleta define una línea recta en el sistema de coordenadas rectangulares O x y que es paralela al eje O x, ya que para cualquier valor real de x, la variable y tomará el valor - C B . En otras palabras, la ecuación general de la línea A x + B y + C \u003d 0, cuando A \u003d 0, B ≠ 0, define el lugar geométrico de los puntos (x, y) cuyas coordenadas son iguales al mismo número - C B .
2. Si A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, la ecuación general se convierte en y \u003d 0. Tal ecuación incompleta define el eje x O x .
3. Cuando A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, obtenemos una ecuación general incompleta A x + C \u003d 0, que define una línea recta paralela al eje y.
4. Sea A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, entonces la ecuación general incompleta tomará la forma x \u003d 0, y esta es la ecuación de la línea de coordenadas O y.
5. Finalmente, cuando A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, la ecuación general incompleta toma la forma A x + B y \u003d 0. Y esta ecuación describe una línea recta que pasa por el origen. En efecto, el par de números (0 , 0) corresponde a la igualdad A x + B y = 0 , ya que A · 0 + B · 0 = 0 .

Ilustremos gráficamente todos los tipos anteriores de la ecuación general incompleta de una línea recta.

Ejemplo 1

Se sabe que la recta dada es paralela al eje y y pasa por el punto 2 7 , - 11 . Es necesario escribir la ecuación general de una recta dada.

Solución

Una línea recta paralela al eje y está dada por una ecuación de la forma A x + C \u003d 0, en la que A ≠ 0. La condición también especifica las coordenadas del punto por el que pasa la línea, y las coordenadas de este punto corresponden a las condiciones de la ecuación general incompleta A x + C = 0 , es decir la igualdad es correcta:

A 2 7 + C = 0

Es posible determinar C a partir de él dando a A algún valor distinto de cero, por ejemplo, A = 7 . En este caso, obtenemos: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Conocemos los coeficientes A y C, los sustituimos en la ecuación A x + C = 0 y obtenemos la ecuación requerida de la recta: 7 x - 2 = 0

Responder: 7 x - 2 = 0

Ejemplo 2

El dibujo muestra una línea recta, es necesario escribir su ecuación.

Solución

El dibujo dado nos permite tomar fácilmente los datos iniciales para resolver el problema. Vemos en el dibujo que la recta dada es paralela al eje Ox y pasa por el punto (0, 3).

La línea recta, que es paralela a la abscisa, está determinada por la ecuación general incompleta B y + С = 0. Encuentre los valores de B y C. Las coordenadas del punto (0, 3), dado que la línea recta dada lo atraviesa, satisfarán la ecuación de la línea recta B y + С = 0, entonces la igualdad es válida: В · 3 + С = 0. Pongamos B a algún valor distinto de cero. Digamos B \u003d 1, en este caso, de la igualdad B · 3 + C \u003d 0 podemos encontrar C: C \u003d - 3. Usamos valores conocidos B y C, obtenemos la ecuación requerida de la línea: y - 3 = 0.

Responder: y - 3 = 0 .

Ecuación general de una recta que pasa por un punto dado del plano

Deje que la línea dada pase por el punto M 0 (x 0, y 0), entonces sus coordenadas corresponden a la ecuación general de la línea, es decir la igualdad es verdadera: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Reste los lados izquierdo y derecho de esta ecuación de los lados izquierdo y derecho de la general ecuación completa directo. Obtenemos: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, esta ecuación es equivalente a la general original, pasa por el punto M 0 (x 0, y 0) y tiene un vector normal n → \u003d (A, B) .

El resultado que hemos obtenido permite escribir la ecuación general de una recta para coordenadas conocidas del vector normal de la recta y las coordenadas de un punto determinado de esta recta.

Ejemplo 3

Dado un punto M 0 (- 3, 4) por el que pasa la recta, y el vector normal de esta recta norte → = (1 , - 2) . Es necesario escribir la ecuación de una recta dada.

Solución

Las condiciones iniciales nos permiten obtener los datos necesarios para compilar la ecuación: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Después:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

El problema podría haberse resuelto de otra manera. La ecuación general de una línea recta tiene la forma A x + B y + C = 0 . El vector normal dado le permite obtener los valores de los coeficientes A y B , luego:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Ahora encuentra el valor de C usando dado por la condición punto problemático M 0 (- 3 , 4) por donde pasa la línea. Las coordenadas de este punto corresponden a la ecuación x - 2 · y + C = 0 , es decir - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Por lo tanto, C = 11. La ecuación de línea recta requerida toma la forma: x - 2 · y + 11 = 0 .

Responder: x - 2 y + 11 = 0 .

Ejemplo 4

Dada una recta 2 3 x - y - 1 2 = 0 y un punto M 0 que se encuentra sobre esta recta. Solo se conoce la abscisa de este punto, y es igual a - 3. Es necesario determinar la ordenada del punto dado.

Solución

Establezcamos la designación de las coordenadas del punto M 0 como x 0 y y 0 . Los datos iniciales indican que x 0 \u003d - 3. Dado que el punto pertenece a una línea dada, entonces sus coordenadas corresponden a la ecuación general de esta línea. Entonces se cumplirá la siguiente igualdad:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Defina y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Responder: - 5 2

Transición de la ecuación general de una recta a otro tipo de ecuaciones de una recta y viceversa

Como sabemos, existen varios tipos de la ecuación de una misma recta en el plano. La elección del tipo de ecuación depende de las condiciones del problema; es posible elegir el que sea más conveniente para su solución. Aquí es donde la habilidad de convertir una ecuación de un tipo en una ecuación de otro tipo resulta muy útil.

Primero, considere la transición de la ecuación general de la forma A x + B y + C = 0 a la ecuación canónica x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Si A ≠ 0, entonces trasladamos el término B y al lado derecho de la ecuación general. En el lado izquierdo, quitamos A entre paréntesis. Como resultado, obtenemos: A x + C A = - B y .

Esta igualdad se puede escribir como una proporción: x + C A - B = y A .

Si B ≠ 0, dejamos solo el término A x en el lado izquierdo de la ecuación general, transferimos los demás al lado derecho, obtenemos: A x \u003d - B y - C. Sacamos - B de los paréntesis, luego: A x \u003d - B y + C B.

Reescribamos la igualdad como una proporción: x - B = y + C B A .

Por supuesto, no hay necesidad de memorizar las fórmulas resultantes. Basta con conocer el algoritmo de acciones durante la transición de la ecuación general a la canónica.

Ejemplo 5

Se da la ecuación general de la recta 3 y - 4 = 0. Necesita ser convertida a una ecuación canónica.

Solución

Escribimos la ecuación original como 3 y - 4 = 0 . A continuación, actuamos según el algoritmo: el término 0 x permanece en el lado izquierdo; y en el lado derecho sacamos - 3 entre paréntesis; obtenemos: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Escribamos la igualdad resultante como una proporción: x - 3 = y - 4 3 0 . Así, hemos obtenido una ecuación de la forma canónica.

Respuesta: x - 3 = y - 4 3 0.

Para convertir la ecuación general de una línea recta en paramétricas, primero se pasa a forma canónica, y luego la transición de la ecuación canónica de la línea recta a las ecuaciones paramétricas.

Ejemplo 6

La línea recta viene dada por la ecuación 2 x - 5 y - 1 = 0 . Escribe las ecuaciones paramétricas de esta línea.

Solución

Hagamos la transición de la ecuación general a la canónica:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Ahora tomemos ambas partes de la ecuación canónica resultante igual a λ, entonces:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Responder:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

La ecuación general se puede convertir a una ecuación de línea recta con pendiente y = k x + b, pero solo cuando B ≠ 0. Para la transición del lado izquierdo, dejamos el término B y , el resto se trasladan al lado derecho. Obtenemos: B y = - A x - C . Dividamos ambas partes de la igualdad resultante por B , que es diferente de cero: y = - A B x - C B .

Ejemplo 7

La ecuación general de una línea recta está dada: 2 x + 7 y = 0 . Necesitas convertir esa ecuación a una ecuación de pendiente.

Solución

Realicemos las acciones necesarias de acuerdo con el algoritmo:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Responder: y = - 2 7 x .

A partir de la ecuación general de una línea recta, basta con obtener simplemente una ecuación en segmentos de la forma x a + y b \u003d 1. Para hacer tal transición, transferimos el número C al lado derecho de la igualdad, dividimos ambas partes de la igualdad resultante por - С y, finalmente, transferimos los coeficientes de las variables x e y a los denominadores:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Ejemplo 8

Es necesario convertir la ecuación general de la recta x - 7 y + 1 2 = 0 en la ecuación de una recta en segmentos.

Solución

Movamos 1 2 al lado derecho: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Divide por -1/2 ambos lados de la ecuación: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Responder: X - 1 2 + y 1 14 = 1 .

En general, la transición inversa también es fácil: de otro tipo de ecuaciones a la general.

La ecuación de una línea recta en segmentos y la ecuación con una pendiente se pueden convertir fácilmente en una general simplemente reuniendo todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación:

x a + y segundo ⇔ 1 a x + 1 segundo y - 1 = 0 ⇔ A x + segundo y + C = 0 y = k x + segundo ⇔ y - k x - segundo = 0 ⇔ A x + segundo y + C = 0

La ecuación canónica se convierte a la general según el siguiente esquema:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Para pasar de lo paramétrico, primero se realiza la transición a lo canónico, y luego a lo general:

x = x 1 + un x λ y = y 1 + un y λ ⇔ x - x 1 un x = y - y 1 un y ⇔ UN x + segundo y + C = 0

Ejemplo 9

Se dan las ecuaciones paramétricas de la recta x = - 1 + 2 · λ y = 4. Es necesario anotar la ecuación general de esta recta.

Solución

Hagamos la transición de ecuaciones paramétricas a canónicas:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pasemos de canónico a general:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Responder: y - 4 = 0

Ejemplo 10

Se da la ecuación de una línea recta en segmentos x 3 + y 1 2 = 1. Es necesario hacer la transición a vista general ecuaciones

Solución:

Reescribamos la ecuación en la forma requerida:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Responder: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Trazar una ecuación general de una recta

Arriba dijimos que la ecuación general se puede escribir con coordenadas conocidas del vector normal y las coordenadas del punto por donde pasa la recta. Tal línea recta está definida por la ecuación A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . En el mismo lugar analizamos el ejemplo correspondiente.

Ahora echemos un vistazo a más ejemplos complejos, en el que primero es necesario determinar las coordenadas del vector normal.

Ejemplo 11

Dada una recta paralela a la recta 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . También se conoce el punto M 0 (4 , 1) por donde pasa la recta dada. Es necesario escribir la ecuación de una recta dada.

Solución

Las condiciones iniciales nos dicen que las rectas son paralelas, entonces, como vector normal de la recta cuya ecuación hay que escribir, tomamos el vector director de la recta n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Ahora conocemos todos los datos necesarios para componer la ecuación general de una recta:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Responder: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Ejemplo 12

La recta dada pasa por el origen perpendicular a la recta x - 2 3 = y + 4 5 . Es necesario escribir la ecuación general de una recta dada.

Solución

El vector normal de la recta dada será el vector director de la recta x - 2 3 = y + 4 5 .

Entonces n → = (3 , 5) . La recta pasa por el origen, es decir por el punto O (0, 0) . Compongamos la ecuación general de una recta dada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Responder: 3 x + 5 y = 0 .

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