Desde el vértice opuesto) y divide el producto resultante por dos. En forma se ve así:

S = ½ * a * h,

dónde:
S es el área del triángulo,
a es la longitud de su lado,
h es la altura bajada a este lado.

La longitud del lado y la altura deben presentarse en las mismas unidades. En este caso, el área del triángulo resultará en las unidades "" correspondientes.

Ejemplo.
En uno de los lados de un triángulo escaleno de 20 cm de largo, se baja una perpendicular desde el vértice opuesto de 10 cm de largo.
Se requiere el área del triángulo.
Solución.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si conoce las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo escaleno y el ángulo entre ellos, utilice la fórmula:

S = ½ * a * b * senγ,

donde: a, b son las longitudes de dos lados arbitrarios y γ es el ángulo entre ellos.

En la práctica, por ejemplo, al medir terrenos, el uso de las fórmulas anteriores a veces es difícil, ya que requiere construcciones adicionales y la medición de ángulos.

Si conoce las longitudes de los tres lados de un triángulo escaleno, utilice la fórmula de Heron:

S = √(p(pa)(p-b)(pc)),

a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo,
ð – semiperímetro: p = (a+b+c)/2.

Si, además de las longitudes de todos los lados, se conoce el radio del círculo inscrito en el triángulo, utilice la siguiente fórmula compacta:

donde: r es el radio de la circunferencia inscrita (p es el semiperímetro).

Para calcular el área de un triángulo escaleno de la circunferencia circunscrita y la longitud de sus lados, utiliza la fórmula:

donde: R es el radio del círculo circunscrito.

Si se conoce la longitud de uno de los lados del triángulo y tres ángulos (en principio, dos son suficientes; el valor del tercero se calcula a partir de la igualdad de la suma de los tres ángulos del triángulo: 180º), entonces use la formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

donde α es el valor del ángulo opuesto al lado a;
β, γ son los valores de los dos ángulos restantes del triángulo.

La necesidad de encontrar varios elementos, incluyendo el área triángulo, apareció muchos siglos antes de nuestra era entre los astrónomos Antigua Grecia. Cuadrado triángulo se puede calcular diferentes caminos utilizando diferentes fórmulas. El método de cálculo depende de qué elementos triángulo conocido.

Instrucción

Si de la condición conocemos los valores de los dos lados b, c y el ángulo formado por ellos?, entonces el área triángulo ABC se encuentra mediante la fórmula:
S = (bcsen?)/2.

Si de la condición conocemos los valores de los dos lados a, b y el ángulo que no forman ellos?, entonces el área triángulo ABC se encuentra de la siguiente manera:
¿Encontrar el ángulo?, ¿pecado? = bsin? / a, más adelante en la tabla determinamos el ángulo en sí.
¿Encontrar un ángulo? = 180°-?-?.
Encuentre el área misma S = (¿absin?)/2.

Si de la condición conocemos los valores de solo tres lados triángulo a, b y c, entonces el área triángulo ABC se encuentra mediante la fórmula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , donde p es el semiperímetro p = (a+b+c)/2

Si a partir de la condición del problema conocemos la altura triángulo h y el lado al que se baja esta altura, entonces el área triángulo ABC por fórmula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Si conocemos los valores de los lados triángulo a, b, c y el radio de la circunscrita cerca de la dada triángulo R, entonces el área de este triángulo ABC está determinado por la fórmula:
S = abc/4R.
Si se conocen los tres lados a, b, c y el radio de los inscritos, entonces el área triángulo ABC se encuentra mediante la fórmula:
S = pr, donde p es el semiperímetro, p = (a+b+c)/2.

Si ABC es equilátero, entonces el área se encuentra mediante la fórmula:
S = (a^2v3)/4.
Si el triángulo ABC es isósceles, entonces el área está determinada por la fórmula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, donde c es triángulo.
Si el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, entonces el área está determinada por la fórmula:
S = ab/2, donde a y b son catetos triángulo.
Si el triángulo ABC es un triángulo isósceles rectángulo, entonces el área está determinada por la fórmula:
S = c^2/4 = a^2/2, donde c es la hipotenusa triángulo, a=b - pierna.

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Fuentes:

• como medir el area de un triangulo

Consejo 3: Cómo encontrar el área de un triángulo si conoces el ángulo

Saber solo un parámetro (el valor del ángulo) no es suficiente para encontrar el área tres cuadrado . Si hay dimensiones adicionales, entonces para determinar el área, puede elegir una de las fórmulas en las que el valor del ángulo también se usa como una de las variables conocidas. Algunas de las fórmulas más utilizadas se enumeran a continuación.

Instrucción

Si además del ángulo (γ) formado por los dos lados tres cuadrado , también se conocen las longitudes de estos lados (A y B), entonces cuadrado Las figuras (S) se pueden definir como la mitad del producto de las longitudes de los lados y el seno de este ángulo conocido: S=½×A×B×sin(γ).

Área de un triángulo - fórmulas y ejemplos de resolución de problemas

Debajo están fórmulas para encontrar el área de un triángulo arbitrario los cuales son adecuados para hallar el área de cualquier triángulo, independientemente de sus propiedades, ángulos o dimensiones. Las fórmulas se presentan en forma de imagen, aquí hay explicaciones para la aplicación o justificación de su corrección. Además, en una figura separada, se muestra la correspondencia de los símbolos de letras en las fórmulas y los símbolos gráficos en el dibujo.

Nota . Si el triángulo tiene propiedades especiales (isósceles, rectangular, equilátero), puede usar las fórmulas a continuación, así como también fórmulas especiales que son verdaderas solo para triángulos con estas propiedades:

• "Fórmulas para el área de un triángulo equilátero"

Fórmulas del área del triángulo

Explicaciones de fórmulas.:
a B C- las longitudes de los lados del triángulo cuya área queremos encontrar
r- el radio de la circunferencia inscrita en el triangulo
R- el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo
h- la altura del triángulo, bajada hacia un lado
pags- semiperímetro de un triángulo, 1/2 de la suma de sus lados (perímetro)
α - el ángulo opuesto al lado a del triángulo
β - el ángulo opuesto al lado b del triángulo
γ - el ángulo opuesto al lado c del triángulo
h a, h b , h C- la altura del triángulo, bajada al lado a, b, c

Tenga en cuenta que la notación anterior corresponde a la figura anterior, por lo que al resolver un problema de geometría real, sería más fácil para usted sustituir visualmente en lugares correctos fórmulas valores correctos.

• el area del triangulo es la mitad del producto de la altura de un triangulo por la longitud del lado sobre el cual se baja esta altura(Fórmula 1). La corrección de esta fórmula se puede entender lógicamente. La altura bajada a la base dividirá un triángulo arbitrario en dos rectangulares. Si completamos cada uno de ellos a un rectángulo de dimensiones b y h, entonces, obviamente, el área de estos triángulos será igual exactamente a la mitad del área del rectángulo (Spr = bh)
• el area del triangulo es la mitad del producto de sus dos lados por el seno del ángulo entre ellos(Fórmula 2) (vea un ejemplo de cómo resolver un problema usando esta fórmula a continuación). A pesar de que parece diferente al anterior, se puede transformar fácilmente en él. Si bajamos la altura del ángulo B al lado b, resulta que el producto del lado a por el seno del ángulo γ, según las propiedades del seno en un triángulo rectángulo, es igual a la altura del triángulo trazado por nosotros, lo que nos dará la fórmula anterior
• El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar mediante trabajar la mitad del radio de un círculo inscrito en él por la suma de las longitudes de todos sus lados(Fórmula 3), en otras palabras, debes multiplicar el medio perímetro del triángulo por el radio del círculo inscrito (es más fácil de recordar de esta manera)
• El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar dividiendo el producto de todos sus lados por 4 radios del círculo circunscrito a su alrededor (Fórmula 4)
• La fórmula 5 es encontrar el área de un triángulo en función de las longitudes de sus lados y su semiperímetro (la mitad de la suma de todos sus lados)
• fórmula de garza(6) es una representación de la misma fórmula sin usar el concepto de semiperímetro, solo a través de las longitudes de los lados
• El área de un triángulo arbitrario es igual al producto del cuadrado del lado del triángulo y los senos de los ángulos adyacentes a este lado dividido por el doble seno del ángulo opuesto a este lado (Fórmula 7)
• El área de un triángulo arbitrario se puede encontrar como el producto de dos cuadrados de un círculo circunscrito a él y los senos de cada uno de sus ángulos. (Fórmula 8)
• Si se conoce la longitud de un lado y la magnitud de los dos ángulos adyacentes, entonces el área del triángulo se puede encontrar como el cuadrado de este lado, dividido por la doble suma de las cotangentes de estos ángulos (Fórmula 9)
• Si solo se conoce la longitud de cada una de las alturas de un triángulo (Fórmula 10), entonces el área de dicho triángulo es inversamente proporcional a las longitudes de estas alturas, como por la fórmula de Heron.
• La fórmula 11 le permite calcular area de un triangulo segun las coordenadas de sus vertices, que se dan como valores (x;y) para cada uno de los vértices. Tenga en cuenta que el valor resultante debe tomarse módulo, ya que las coordenadas de los vértices individuales (o incluso todos) pueden estar en el área de valores negativos

Nota. Los siguientes son ejemplos de resolución de problemas de geometría para hallar el área de un triángulo. Si necesita resolver un problema de geometría, similar al que no está aquí, escríbalo en el foro. En soluciones, en lugar del símbolo " Raíz cuadrada" se puede utilizar la función sqrt(), en la que sqrt es el símbolo de la raíz cuadrada y la expresión radical se indica entre paréntesis.A veces, el símbolo se puede usar para expresiones radicales simples. √

Una tarea. Hallar el area dados dos lados y el angulo entre ellos

Los lados del triángulo miden 5 y 6 cm, el ángulo entre ellos es de 60 grados. Hallar el area de un triangulo.

Solución.

Para resolver este problema, usamos la fórmula número dos de la parte teórica de la lección.
El área de un triángulo se puede encontrar a través de las longitudes de dos lados y el seno del ángulo entre ellos y será igual a
S=1/2 ab sen γ

Como tenemos todos los datos necesarios para la solución (según la fórmula), solo podemos sustituir los valores del enunciado del problema en la fórmula:
S=1/2*5*6*sen60

En la tabla de valores funciones trigonométricas encuentre y sustituya en la expresión el valor del seno 60 grados. Será igual a la raíz de tres por dos.
S = 15 √3 / 2

Responder: 7.5 √3 (dependiendo de los requisitos del profesor, probablemente sea posible dejar 15 √3/2)

Una tarea. Hallar el area de un triangulo equilatero

Halla el área de un triángulo equilátero de 3 cm de lado.

Solución .

El área de un triángulo se puede encontrar usando la fórmula de Heron:

S = 1/4 raíz cuadrada((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Dado que a \u003d b \u003d c, la fórmula para el área de un triángulo equilátero tomará la forma:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Responder: 9 √3 / 4.

Una tarea. Cambio de área al cambiar la longitud de los lados

¿Cuántas veces aumentará el área de un triángulo si se cuadriplican los lados?

Solución.

Dado que las dimensiones de los lados del triángulo son desconocidas para nosotros, para resolver el problema supondremos que las longitudes de los lados son respectivamente iguales a números arbitrarios a, b, c. Luego, para responder a la pregunta del problema, encontramos el área de este triángulo, y luego encontramos el área de un triángulo cuyos lados son cuatro veces más grandes. La razón de las áreas de estos triángulos nos dará la respuesta al problema.

A continuación, damos una explicación textual de la solución del problema por pasos. Sin embargo, al final, la misma solución se presenta en una forma gráfica que es más conveniente para la percepción. Aquellos que lo deseen pueden desplegar inmediatamente la solución.

Para resolver, usamos la fórmula de Heron (ver arriba en la parte teórica de la lección). Se parece a esto:

S = 1/4 raíz cuadrada((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ver la primera línea de la imagen de abajo)

Las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario están dadas por las variables a, b, c.
Si los lados aumentan 4 veces, entonces el área del nuevo triángulo c será:

S 2 = 1/4 raíz cuadrada((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ver la segunda línea en la imagen de abajo)

Como puede ver, 4 es un factor común que se puede quitar entre paréntesis de las cuatro expresiones de acuerdo con reglas generales matemáticas.
Después

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - en la tercera línea de la imagen
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - cuarta linea

Del número 256 se extrae perfectamente la raíz cuadrada, por lo que la sacaremos de debajo de la raíz
S 2 = 16 * 1/4 raíz cuadrada((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ver la quinta línea de la figura a continuación)

Para responder a la pregunta planteada en el problema, basta con que dividamos el área del triángulo resultante por el área del original.
Determinamos las proporciones de área dividiendo las expresiones entre sí y reduciendo la fracción resultante.

Instrucción

Fiestas y las esquinas se consideran elementos básicos a. Un triángulo está completamente definido por cualquiera de sus siguientes elementos básicos: ya sea tres lados, o un lado y dos ángulos, o dos lados y un ángulo entre ellos. por la existencia triángulo definida por tres lados a, b, c, es necesario y suficiente que las desigualdades, llamadas desigualdades triángulo:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Para construir triángulo en tres lados a, b, c, es necesario desde el punto C del segmento CB=a cómo dibujar un círculo de radio b con un compás. Luego, de manera similar, dibuja un círculo desde el punto B con un radio igual al lado c. Su punto de intersección A es el tercer vértice de la deseada triángulo ABC, donde AB=c, CB=a, CA=b - lados triángulo. El problema tiene , si los lados a, b, c, satisfacen las desigualdades triángulo especificado en el paso 1.

El área de S construida de esta manera triángulo ABC con partidos conocidos a, b, c, se calcula mediante la fórmula de Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
donde a, b, c son lados triángulo, p es el semiperímetro.
p = (a+b+c)/2

Si el triángulo es equilátero, es decir, todos sus lados son iguales (a=b=c). triángulo calculado por la fórmula:
S=(a^2v3)/4

Si el triángulo es rectángulo, es decir, uno de sus ángulos es de 90°, y los lados que lo forman son catetos, el tercer lado es la hipotenusa. En este caso cuadrado es igual al producto de los catetos dividido por dos.
S=ab/2

Encontrar cuadrado triángulo, puede usar una de las muchas fórmulas. Elija la fórmula dependiendo de qué datos ya se conocen.

Necesitará

• conocimiento de fórmulas para encontrar el área de un triángulo

Instrucción

Si conoce el valor de uno de los lados y el valor de la altura bajada a este lado desde la esquina opuesta, entonces puede encontrar el área usando lo siguiente: S = a*h/2, donde S es el área de ​​el triángulo, a es uno de los lados del triángulo, y h - altura, al lado a.

Existe una forma conocida de determinar el área de un triángulo si se conocen tres de sus lados. Ella es la fórmula de Heron. Para simplificar su registro, se introduce un valor intermedio: un semiperímetro: p \u003d (a + b + c) / 2, donde a, b, c - . Entonces la fórmula de Heron es la siguiente: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ exponenciación.

Supón que conoces uno de los lados de un triángulo y tres ángulos. Entonces es fácil encontrar el área del triángulo: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), donde β es el ángulo opuesto al lado a, y α y γ son ángulos adyacentes al lado.

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Nota

La fórmula más general que es adecuada para todos los casos es la fórmula de Heron.

Fuentes:

Consejo 3: Cómo encontrar el área de un triángulo dados tres lados

Encontrar el área de un triángulo es una de las tareas más comunes planimetría escolar. Conocer los tres lados de un triángulo es suficiente para determinar el área de cualquier triángulo. En casos especiales y triángulos equiláteros, basta saber las longitudes de dos y un lado, respectivamente.

Necesitará

• longitudes de los lados de los triángulos, fórmula de Heron, teorema del coseno

Instrucción

La fórmula de Heron para el área de un triángulo es la siguiente: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Si pintas el semiperímetro p, obtienes: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (raíz cuadrada((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

También puede derivar una fórmula para el área de un triángulo a partir de consideraciones, por ejemplo, aplicando el teorema del coseno.

Por la ley de los cosenos, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Usando la notación presentada, estos también pueden tener la forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Por lo tanto, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

El área de un triángulo también se encuentra mediante la fórmula S = a*c*sin(ABC)/2 a través de dos lados y el ángulo entre ellos. El seno del ángulo ABC se puede expresar en términos de él usando la fórmula básica identidad trigonométrica: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Sustituyendo el seno en la fórmula del área y pintándolo, puedes llegar a la fórmula del área del triángulo ABC.

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Para trabajo de reparación puede ser necesario medir cuadrado paredes Es más fácil calcular la cantidad requerida de pintura o papel tapiz. Para las mediciones, lo mejor es utilizar una cinta métrica o una cinta de centímetros. Las medidas deben tomarse después paredes han sido alineados.

Necesitará

• -ruleta;
• -escalera.

Instrucción

Para contar cuadrado paredes, necesitas saber altura exacta techos, así como para medir la longitud a lo largo del piso. Esto se hace de la siguiente manera: tome un centímetro, colóquelo sobre el zócalo. Por lo general, un centímetro no es suficiente para toda la longitud, así que fíjelo en la esquina y luego desenróllelo hasta la longitud máxima. En este punto, haga una marca con un lápiz, anote el resultado y realice más mediciones de la misma manera, comenzando desde ultimo punto medición.

Techos estándar en típicos: 2 metros 80 centímetros, 3 metros y 3 metros 20 centímetros, según la casa. Si la casa se construyó antes de los años 50, lo más probable es que la altura real sea ligeramente inferior a la indicada. si estas calculando cuadrado para trabajos de reparación, entonces un pequeño margen no hará daño; considere según el estándar. Si aún necesita saber la altura real, tome medidas. El principio es similar a medir la longitud, pero necesitará una escalera de mano.

Multiplica las cifras resultantes - esto es cuadrado su paredes. Cierto, para trabajos de pintura o para ello es necesario restar cuadrado aberturas de puertas y ventanas. Para hacer esto, coloque un centímetro a lo largo de la abertura. si un estamos hablando sobre la puerta que posteriormente va a cambiar, luego realice con el marco de la puerta quitado, considerando solo cuadrado la apertura misma. El área de la ventana se calcula a lo largo del perímetro de su marco. Después cuadrado ventana y puerta calculadas, reste el resultado del área total de la habitación obtenida.

Tenga en cuenta que las medidas de la longitud y el ancho de la habitación se realizan juntas, es más fácil fijar un centímetro o una cinta métrica y, en consecuencia, obtener un resultado más preciso. Tome la misma medida varias veces para asegurarse de que los números que obtenga sean precisos.

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Encontrar el volumen de un triángulo es de hecho una tarea no trivial. El hecho es que un triángulo es una figura bidimensional, es decir, se encuentra completamente en un plano, lo que significa que simplemente no tiene volumen. Por supuesto, no se puede encontrar algo que no existe. ¡Pero no nos rindamos! Podemos hacer la siguiente suposición: el volumen de una figura bidimensional, esta es su área. Estamos buscando el área del triángulo.

Necesitará

• hoja de papel, lápiz, regla, calculadora

Instrucción

Dibuja en una hoja de papel con una regla y un lápiz. Al examinar cuidadosamente el triángulo, puede asegurarse de que realmente no tiene, ya que está dibujado en un plano. Etiquete los lados del triángulo: que un lado sea el lado "a", el otro lado "b" y el tercer lado "c". Etiqueta los vértices del triángulo con las letras "A", "B" y "C".

Mide cualquier lado del triángulo con una regla y anota el resultado. Después de eso, restaure la perpendicular al lado medido desde el vértice opuesto, tal perpendicular será la altura del triángulo. En el caso que se muestra en la figura, la perpendicular "h" se restituye al lado "c" desde el vértice "A". Mida la altura resultante con una regla y registre el resultado de la medición.

Puede suceder que le resulte difícil restaurar la perpendicular exacta. En este caso, debe utilizar una fórmula diferente. Mide todos los lados del triángulo con una regla. Después de eso, calcule la mitad del perímetro del triángulo "p" sumando las longitudes resultantes de los lados y dividiendo su suma por la mitad. Teniendo a tu disposición el valor del semiperímetro, puedes utilizar la fórmula de Heron. Para hacer esto, necesitas sacar la raíz cuadrada de lo siguiente: p(p-a)(p-b)(p-c).

Has obtenido el área deseada del triángulo. El problema de encontrar el volumen de un triángulo no se ha resuelto, pero como se mencionó anteriormente, el volumen tampoco. Puede encontrar volumen que es esencialmente un triángulo en el mundo 3D. Si imaginamos que nuestro triángulo original se ha convertido en una pirámide tridimensional, entonces el volumen de dicha pirámide será el producto de la longitud de su base y el área del triángulo que recibimos.

Nota

Los cálculos serán más precisos cuanto más cuidadosamente tome las medidas.

Fuentes:

• Calculadora general - Portal de referencia
• volumen triangular en 2019

Los tres puntos que definen de manera única un triángulo en el sistema de coordenadas cartesianas son sus vértices. Conociendo su posición relativa a cada uno de los ejes de coordenadas, puede calcular cualquier parámetro de esta figura plana, incluido el limitado por su perímetro. cuadrado. Esto se puede hacer de varias maneras.

Instrucción

Usa la fórmula de Heron para calcular el área triángulo. Se trata de las dimensiones de los tres lados de la figura, así que empieza con los cálculos. La longitud de cada lado debe ser igual a la raíz de la suma de los cuadrados de las longitudes de sus proyecciones en los ejes de coordenadas. Si denotamos las coordenadas A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) y C(X₃,Y₃,Z₃), las longitudes de sus lados se pueden expresar de la siguiente manera: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Para simplificar los cálculos, ingrese una variable auxiliar: el semiperímetro (P). A partir de eso, esto es la mitad de la suma de las longitudes de todos los lados: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Como recordará del plan de estudios de la escuela en geometría, un triángulo es una figura formada por tres segmentos conectados por tres puntos que no se encuentran en una línea recta. El triángulo forma tres ángulos, de ahí el nombre de la figura. La definición puede ser diferente. Un triángulo también se puede llamar un polígono con tres esquinas, la respuesta será igual de cierta. Los triángulos se dividen según el número de lados iguales y el tamaño de los ángulos en las figuras. Por lo tanto, distinga triángulos como isósceles, equilátero y escaleno, así como rectangulares, de ángulo agudo y de ángulo obtuso, respectivamente.

Hay muchas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Elija cómo encontrar el área de un triángulo, es decir. qué fórmula usar, solo tú. Pero vale la pena señalar solo algunas de las notaciones que se usan en muchas fórmulas para calcular el área de un triángulo. Así que recuerda:

S es el área del triángulo,

a, b, c son los lados del triángulo,

h es la altura del triángulo,

R es el radio del círculo circunscrito,

p es el semiperímetro.

Estas son las notaciones básicas que pueden ser útiles si se ha olvidado por completo del curso de geometría. Las opciones más comprensibles y no complicadas para calcular el área desconocida y misteriosa del triángulo se darán a continuación. No es difícil y te vendrá bien tanto para las necesidades de tu hogar como para ayudar a tus hijos. Recordemos cómo calcular el área de un triángulo tan fácil como desgranar peras:

En nuestro caso, el área del triángulo es: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm cuadrados. Recuerda que el área se mide en centímetros cuadrados (sqcm).

Triángulo rectángulo y su área.

Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo igual a 90 grados (por lo tanto, se llama triángulo rectángulo). Un ángulo recto está formado por dos rectas perpendiculares (en el caso de un triángulo, dos segmentos perpendiculares). En un triángulo rectángulo, solo puede haber un ángulo recto, porque la suma de todos los ángulos de cualquier triángulo es 180 grados. Resulta que otros 2 ángulos deberían dividir los 90 grados restantes entre ellos, por ejemplo, 70 y 20, 45 y 45, etc. Entonces, recordaste lo principal, queda por descubrir cómo encontrar el área. triángulo rectángulo. Imagina que tenemos un triángulo rectángulo de este tipo frente a nosotros y necesitamos encontrar su área S.

1. La forma más fácil de determinar el área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:

En nuestro caso, el área de un triángulo rectángulo es: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm cuadrados.

En principio, ya no es necesario verificar el área de un triángulo de otras formas, ya que en la vida cotidiana será útil y solo este ayudará. Pero también hay opciones para medir el área de un triángulo a través de ángulos agudos.

2. Para otros métodos de cálculo, debe tener una tabla de cosenos, senos y tangentes. Juzgue usted mismo, aquí hay algunas opciones para calcular las áreas de un triángulo rectángulo que aún puede usar:

Decidimos usar la primera fórmula y con pequeños borrones (dibujamos en un cuaderno y usamos viejo gobernante y un transportador), pero obtuvimos el cálculo correcto:

S \u003d (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1.2). Obtuvimos tales resultados 3.6=3.7, pero teniendo en cuenta el cambio de celda, podemos perdonar este matiz.

Triángulo isósceles y su área.

Si se enfrenta a la tarea de calcular la fórmula de un triángulo isósceles, entonces la forma más fácil es usar la principal y, como se considera, la fórmula clásica para el área de un triángulo.

Pero primero, antes de encontrar el área de un triángulo isósceles, averiguaremos qué tipo de figura es. Un triángulo isósceles es un triángulo cuyos dos lados tienen la misma longitud. Estos dos lados se llaman lados, el tercer lado se llama base. No confundas un triángulo isósceles con uno equilátero, es decir un triángulo equilátero con los tres lados iguales. En tal triángulo, no hay tendencias especiales a los ángulos, o más bien a su tamaño. Sin embargo, los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales, pero diferentes del ángulo entre los lados iguales. Entonces, ya conoce la primera y principal fórmula, queda por descubrir qué otras fórmulas se conocen para determinar el área de un triángulo isósceles:

Un triángulo es una figura geométrica de este tipo, que consta de tres líneas rectas que se conectan en puntos que no se encuentran en una línea recta. Los puntos de conexión de las líneas son los vértices del triángulo, que se denotan con letras latinas(por ejemplo, A, B, C). Las líneas rectas que conectan un triángulo se llaman segmentos, que también se denotan generalmente en letras latinas. Existen los siguientes tipos de triángulos:

• Rectangular.
• obtuso.
• De ángulo agudo.
• Versátil.
• Equilátero.
• Isósceles.

Fórmulas generales para calcular el área de un triángulo

fórmula del área del triángulo para longitud y altura

S=a*h/2,
donde a es la longitud del lado del triángulo cuya área se quiere hallar, h es la longitud de la altura trazada hasta la base.

fórmula de garza

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
donde √ es la raíz cuadrada, p es el semiperímetro del triángulo, a,b,c es la longitud de cada lado del triángulo. El semiperímetro de un triángulo se puede calcular con la fórmula p=(a+b+c)/2.

La fórmula para el área de un triángulo en términos del ángulo y la longitud del segmento.

S = (a*b*sen(α))/2,
dónde b, c es la longitud de los lados del triángulo, sen (α) es el seno del ángulo entre los dos lados.

La formula del area de un triangulo dado el radio de la circunferencia inscrita y tres lados

S=p*r,
donde p es el semiperímetro del triángulo cuya área se quiere encontrar, r es el radio del círculo inscrito en este triángulo.

La fórmula para el área de un triángulo dados tres lados y el radio de un círculo circunscrito alrededor de él

S= (a*b*c)/4*R,
donde a,b,c es la longitud de cada lado del triángulo, R es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.

La fórmula para el área de un triángulo en coordenadas cartesianas de puntos

Las coordenadas cartesianas de los puntos son coordenadas en el sistema xOy, donde x es la abscisa y y es la ordenada. El sistema de coordenadas cartesianas xOy en el plano se denomina ejes numéricos mutuamente perpendiculares Ox y Oy con un origen común en el punto O. Si las coordenadas de los puntos en este plano se dan en la forma A (x1, y1), B ( x2, y2) y C (x3, y3), entonces puedes calcular el área de un triángulo usando la siguiente fórmula, la cual se obtiene del producto cruz de dos vectores.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
donde || significa módulo.

Cómo encontrar el área de un triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados. Un triángulo sólo puede tener uno de esos ángulos.

La formula del area de un triangulo rectangulo de dos catetos

S=a*b/2,
donde a,b es la longitud de las piernas. Los catetos se llaman los lados adyacentes al ángulo recto.

La formula del area de un triangulo rectangulo dada la hipotenusa y el angulo agudo

S = a*b*sen(α)/ 2,
donde a, b son los catetos del triángulo, y sin(α) es el seno del ángulo en el que se cortan las líneas a, b.

La formula del area de un triangulo rectangulo por cateto y angulo opuesto

S = a*b/2*tg(β),
donde a, b son los catetos del triángulo, tg(β) es la tangente del ángulo en el que se conectan los catetos a, b.

Cómo calcular el área de un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales. Estos lados se llaman lados y el otro lado es la base. Puedes usar una de las siguientes fórmulas para calcular el área de un triángulo isósceles.

La fórmula básica para calcular el área de un triángulo isósceles

S=h*c/2,
donde c es la base del triángulo, h es la altura del triángulo bajado a la base.

Formula de un triangulo isosceles de lado lateral y base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
donde c es la base del triángulo, a es el valor de uno de los lados del triángulo isósceles.

Como sacar el area de un triangulo equilatero

Un triángulo equilátero es un triángulo en el que todos los lados son iguales. Para calcular el área de un triángulo equilátero, puedes usar la siguiente fórmula:
S = (√3*a*a)/4,
donde a es la longitud del lado de un triángulo equilátero.

Las fórmulas anteriores le permitirán calcular el área requerida del triángulo. Es importante recordar que para calcular el espaciado de los triángulos, debe tener en cuenta el tipo de triángulo y los datos disponibles que se pueden usar para el cálculo.