La razón de coseno a seno. Identidades trigonométricas básicas
Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.
En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,
y en tal
y en tal 
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales hermosos nombres por sus lados.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!
Bueno, discutimos los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas que involucran triángulo rectángulo. Pitágoras lo demostró en perfecto tiempos inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes la conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.
Asi que, Teorema de pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?
Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos. 
¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está relacionada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.
¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:
Ahora debería ser fácil:
| El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma cuadrados de piernas. |
Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se prueba, lea los siguientes niveles de teoría, y ahora avancemos... hacia el bosque oscuro... ¡de la trigonometría! A terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!
Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y
Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?
¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?
Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:
Resumen
Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.
 |
Teorema de pitágoras: |
El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos
Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora vamos a conectar los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Correctamente, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Por supuesto, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.
Pongamos todo junto ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría
Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:
Seno ángulo agudo igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.
Y una vez más, todo esto en forma de plato:
¡Es muy cómodo!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos
I. En dos piernas
II. Por cateto e hipotenusa
tercero Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo
a) 
b) 
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:
ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.
¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?
Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos
I. Esquina aguda
II. en dos piernas
tercero Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por que es esto entonces?
Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces sucedió que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.
¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen
Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias del punto a todos tres picos los triangulos son iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?
Así que empecemos con este "además...".
Miremos yo.
¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora vamos a dibujarlo juntos:
¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.
Teorema de pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos piernas:
- a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos:
- una esquina afilada: o
- de la proporcionalidad de los dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice ángulo recto, es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de los catéteres:
Seno el ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón opuesto catéter a la hipotenusa.
Se denota como sigue: sen α.
Coseno El ángulo agudo α de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
Se denota como sigue: cos α.
Tangente El ángulo agudo α es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Se denota como sigue: tg α.
Cotangente El ángulo agudo α es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.
Se designa como sigue: ctg α.
El seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo dependen únicamente de la magnitud del ángulo.
Normas:
Principal identidades trigonométricas en un triángulo rectángulo:
(α - ángulo agudo opuesto a la pierna b y adyacente a la pierna a . Lado Con - hipotenusa. β - el segundo ángulo agudo).
b | sen 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
pecado |
A medida que aumenta el ángulo agudoseno yaumento de tg α, ycos α disminuye.
Para cualquier ángulo agudo α:
sen (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sen α
ejemplo explicativo:
Sea un triángulo rectángulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ángulo A = 30º.
Halla el seno del ángulo A y el coseno del ángulo B.
Solución .
1) Primero, encontramos el valor del ángulo B. Aquí todo es simple: dado que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es 90º, entonces el ángulo B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Calcula el seno A. Sabemos que el seno es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. Para el ángulo A, el cateto opuesto es el lado BC. Asi que:
aC 3 1
sen A = -- = - = -
AB 6 2
3) Ahora calculamos cos B. Sabemos que el coseno es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa. Para el ángulo B, el cateto adyacente es del mismo lado BC. Esto significa que nuevamente necesitamos dividir BC en AB, es decir, realizar las mismas acciones que cuando calculamos el seno del ángulo A:
aC 3 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2
El resultado es:
sen A = cos B = 1/2.
sen 30º = cos 60º = 1/2.
De esto se sigue que en un triángulo rectángulo el seno de un ángulo agudo es igual al coseno de otro ángulo agudo, y viceversa. Esto es exactamente lo que significan nuestras dos fórmulas:
sen (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sen α
Comprobémoslo de nuevo:
1) Sea α = 60º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del seno, obtenemos:
sen (90º - 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.
2) Sea α = 30º. Sustituyendo el valor de α en la fórmula del coseno, obtenemos:
cos (90° - 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30°.
(Para más información sobre trigonometría, consulte la sección de Álgebra)
Conferencia: Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo arbitrario
Seno, coseno de un ángulo arbitrario
Para entender lo que es funciones trigonométricas, nos convertimos en un círculo con un radio unidad. círculo dado está centrado en el origen en el plano de coordenadas. Para determinar las funciones dadas, usaremos el radio vector O, que comienza en el centro del círculo, y el punto R es un punto en el círculo. Este radio vector forma un ángulo alfa con el eje OH. Como el círculo tiene un radio igual a uno, entonces O = R = 1.
Si desde el punto R dejar caer una perpendicular sobre el eje OH, entonces obtenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a uno.
Si el vector del radio se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, entonces esta dirección se llama negativo, pero si se mueve en sentido antihorario - positivo.
El seno de un ángulo O, es la ordenada del punto R vectores en un círculo.
Es decir, para obtener el valor del seno de un ángulo dado alfa, es necesario determinar la coordenada A en la superficie.
Cómo valor dado¿fue recibido? Como sabemos que el seno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, obtenemos que
Y desde R=1, después sen(α) = y 0 .
En el círculo unitario, el valor de la ordenada no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa que
Sinus acepta valor positivo en el primer y segundo cuartos del círculo unitario, y negativo en el tercero y cuarto.
Coseno de un ángulo círculo dado formado por el radio vector O, es la abscisa del punto R vectores en un círculo.
Es decir, para obtener el valor del coseno de un ángulo dado alfa, es necesario determinar la coordenada X en la superficie.
El coseno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa, obtenemos que
Y desde R=1, después cos(α) = x 0 .
En el círculo unitario, el valor de la abscisa no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa que
El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante del círculo unitario y negativo en el segundo y tercero.
tangenteángulo arbitrario se calcula la relación de seno a coseno.
Si consideramos un triángulo rectángulo, entonces esta es la relación entre el cateto opuesto y el adyacente. Si estamos hablando sobre el círculo unitario, entonces esta es la razón de la ordenada a la abscisa.
A juzgar por estas relaciones, se puede entender que la tangente no puede existir si el valor de la abscisa es cero, es decir, en un ángulo de 90 grados. La tangente puede tomar todos los demás valores.
La tangente es positiva en el primer y tercer cuarto del círculo unitario, y negativa en el segundo y cuarto.
Datos de referencia para tangente (tg x) y cotangente (ctg x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de tangentes y cotangentes, derivadas, integrales, desarrollos en serie. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.
Definición geométrica
|BD| - la longitud del arco de un círculo con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.
tangente ( tga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
cotangente ( ctga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .
Tangente
Dónde norte- entero.
A literatura occidental tangente se define como sigue:
.
;
;
.
Gráfica de la función tangente, y = tg x
Cotangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se ha adoptado la siguiente notación:
;
;
.
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x
Propiedades de tangente y cotangente
Periodicidad
Funciones y= tg x y y= control x son periódicas con periodo π.
Paridad
Las funciones tangente y cotangente son impares.
Dominios de definición y valores, ascendente, descendente
Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver la prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).
| y= tg x | y= control x | |
| Alcance y continuidad | ||
| Rango de valores | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| ascendente | - | |
| Descendente | - | |
| extremos | - | - |
| ceros, y= 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje y, x = 0 | y= 0 | - |
fórmulas
Expresiones en términos de seno y coseno
;
;
;
;
;
Fórmulas para tangente y cotangente de suma y diferencia
El resto de fórmulas son fáciles de obtener, por ejemplo
Producto de tangentes
La formula de la suma y diferencia de tangentes
Esta tabla muestra los valores de tangentes y cotangentes para algunos valores del argumento. 
Expresiones en términos de números complejos
Expresiones en términos de funciones hiperbólicas
;
;
Derivados
; .
.
Derivada de orden n con respecto a la variable x de la función:
.
Derivación de fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >
Integrales
Expansiones en serie
Para obtener la expansión de la tangente en potencias de x, necesitas tomar varios términos de la expansión en serie de potencia para funciones pecado x y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto da como resultado las siguientes fórmulas.
A .
a .
dónde segundo norte- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
dónde .
O según la fórmula de Laplace: 
funciones inversas
Las funciones inversas a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arcotangente, arctg
, dónde norte- entero.
Arco tangente, arcctg
, dónde norte- entero.
Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de Matemáticas para Investigadores e Ingenieros, 2012.
En este artículo, vamos a echar un vistazo completo a . Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.
Inmediatamente enumeramos las principales identidades trigonométricas, que analizaremos en este artículo. Las anotamos en una tabla, ya continuación damos la derivación de estas fórmulas y damos las explicaciones necesarias.
Navegación de página.
Relación entre el seno y el coseno de un ángulo
A veces no hablan de las principales identidades trigonométricas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola identidad trigonométrica básica tipo 
. La explicación de este hecho es bastante sencilla: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica básica después de dividir ambas partes por y respectivamente, y las igualdades 
y 
se derivan de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.
Es decir, es la igualdad la que tiene especial interés, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.
Antes de probar la identidad trigonométrica básica, damos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.
La identidad trigonométrica básica se usa muy a menudo en transformación de expresiones trigonométricas. Permite reemplazar la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo por uno. No menos a menudo, la identidad trigonométrica básica se usa en orden inverso: la unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y el coseno de cualquier ángulo.
Tangente y cotangente a través de seno y coseno
Identidades que conectan la tangente y la cotangente con el seno y el coseno de un ángulo de la forma y 
se siguen inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la razón de la ordenada a la abscisa, es decir, 
, y la cotangente es la razón de la abscisa a la ordenada, es decir, 
.
Debido a esta obviedad de las identidades y a menudo, las definiciones de tangente y cotangente no se dan a través de la razón de la abscisa y la ordenada, sino a través de la razón del seno y el coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón del seno al coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón del coseno al seno.
Para concluir este apartado, cabe señalar que las identidades y vale para todos los ángulos para los que las funciones trigonométricas en ellos tienen sentido. Entonces, la fórmula es válida para cualquier otra cosa que no sea (de lo contrario, el denominador será cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todo , diferente de , donde z es cualquiera .
Relación entre tangente y cotangente
Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que tiene lugar para cualquier ángulo que no sea , de lo contrario, la tangente o la cotangente no están definidas.
Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de donde 
. La prueba podría haberse realizado de una manera ligeramente diferente. Desde y , después 
.
Entonces, la tangente y la cotangente de un ángulo, en el que tienen sentido, es.