El área de un paralelogramo si se conocen los lados. Perímetro y área de un paralelogramo

Tarea 4.

Una de las diagonales de un paralelogramo de longitud 4√6 forma un ángulo de 60° con la base, y la segunda diagonal forma un ángulo de 45° con la misma base. Encuentra la segunda diagonal.

Solución.

1. AO = 2√6.

2. Aplicar el teorema del seno al triángulo AOD.

AO/sen D = OD/sen A.

2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o.

OD = (2√6sen 60 o) / sen 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Respuesta: 12.

Tarea 5.

Para un paralelogramo con lados 5√2 y 7√2, el ángulo menor entre las diagonales es igual al ángulo menor del paralelogramo. Encuentra la suma de las longitudes de las diagonales.

Solución.

Sean d 1, d 2 las diagonales del paralelogramo, y sea φ el ángulo entre las diagonales y el ángulo menor del paralelogramo.

1. Contemos dos diferentes
caminos de su área.

S ABCD \u003d AB AD sen A \u003d 5√2 7√2 sen f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Obtenemos la igualdad 5√2 7√2 sen f = 1/2d 1 d 2 sen f o

2 5√2 7√2 = re 1 re 2 ;

2. Usando la razón entre los lados y las diagonales del paralelogramo, escribimos la igualdad

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2 .

re 1 2 + re 2 2 = 296.

3. Hagamos un sistema:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(re 1 + re 2 = 140.

Multiplica la segunda ecuación del sistema por 2 y súmala a la primera.

Obtenemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Por lo tanto, Id 1 + d 2 I = 24.

Como d 1, d 2 son las longitudes de las diagonales del paralelogramo, entonces d 1 + d 2 = 24.

Respuesta: 24.

Tarea 6.

Los lados del paralelogramo son 4 y 6. El ángulo agudo entre las diagonales es 45 o. Encuentra el área del paralelogramo.

Solución.

1. Del triángulo AOB, usando el teorema del coseno, escribimos la relación entre el lado del paralelogramo y las diagonales.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

re 1 2/4 + re 2 2/4 - 2 (re 1/2) (re 2/2)√2/2 = 16.

re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √2 = 64.

2. De manera similar, escribimos la relación para el triángulo AOD.

Tomamos en cuenta que<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obtenemos la ecuación d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Tenemos un sistema
(re 1 2 + re 2 2 - re 1 re 2 √2 = 64,
(re 1 2 + re 2 2 + re 1 re 2 √2 = 144.

Restando la primera de la segunda ecuación, obtenemos 2d 1 d 2 √2 = 80 o

re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Nota: En este problema y en el anterior, no es necesario resolver el sistema por completo, previendo que en este problema necesitamos el producto de diagonales para calcular el área.

Respuesta: 10.

Tarea 7.

El área del paralelogramo es 96 y sus lados son 8 y 15. Halla el cuadrado de la diagonal menor.

Solución.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Hagamos una sustitución en la fórmula.

Obtenemos 96 = 8 15 sin VAD. Por tanto sen VAD = 4/5.

2. Encuentra cos MAL. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 MAL = 1. cos 2 MAL = 9/25.

Según la condición del problema, encontramos la longitud de la diagonal menor. La diagonal BD será menor si el ángulo BAD es agudo. Entonces cos MALO = 3/5.

3. Del triángulo ABD, usando el teorema del coseno, encontramos el cuadrado de la diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos MALO.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Respuesta: 145.

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Paralelogramo Se llama cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos entre sí. Las tareas principales en la escuela sobre este tema son calcular el área de un paralelogramo, su perímetro, altura, diagonales. Estas cantidades y fórmulas para su cálculo se darán a continuación.

Propiedades del paralelogramo

Los lados opuestos de un paralelogramo y los ángulos opuestos son iguales entre sí:
AB=CD, BC=AD,

Las diagonales de un paralelogramo en el punto de intersección se dividen en dos partes iguales:

AO=OC, OB=DO.

Los ángulos adyacentes a cada lado (ángulos adyacentes) suman 180 grados.

Cada una de las diagonales de un paralelogramo lo divide en dos triángulos de igual área y dimensiones geométricas.

Otra propiedad notable que se usa a menudo para resolver problemas es que la suma de los cuadrados de las diagonales en un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados:

AC^2+BD^2=2*(AB^2+BC^2) .

Las principales características de los paralelogramos:

1. Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares es un paralelogramo.
2. Un cuadrilátero con lados opuestos iguales es un paralelogramo.
3. Un cuadrilátero con lados opuestos iguales y paralelos es un paralelogramo.
4. Si las diagonales del cuadrilátero en el punto de intersección se dividen por la mitad, entonces este es un paralelogramo.
5. Un cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son iguales en pares es un paralelogramo

Bisectrices de un paralelogramo

Las bisectrices de ángulos opuestos en un paralelogramo pueden ser paralelas o coincidir.

Las bisectrices de ángulos adyacentes (adyacentes al mismo lado) se intersecan en ángulos rectos (perpendiculares).

altura del paralelogramo

altura del paralelogramo- este es un segmento que se dibuja desde un ángulo perpendicular a la base. De esto se deduce que se pueden dibujar dos alturas desde cada ángulo.

fórmula del área del paralelogramo

área del paralelogramo es igual al producto de un lado por la altura dibujada sobre él. La fórmula del área es la siguiente

La segunda fórmula no es menos popular en los cálculos y se define de la siguiente manera: el área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos.

Con base en las fórmulas anteriores, sabrá cómo calcular el área de un paralelogramo.

perímetro del paralelogramo

La fórmula para calcular el perímetro de un paralelogramo es

es decir, el perímetro es el doble de la suma de los lados. Las tareas en un paralelogramo se considerarán en materiales vecinos, pero por ahora, estudie las fórmulas. La mayoría de las tareas para calcular los lados, las diagonales de un paralelogramo son bastante simples y se reducen a conocer el teorema del seno y el teorema de Pitágoras.

Nota. Esto es parte de la lección con problemas de geometría (sección de paralelogramo). Si necesita resolver un problema de geometría, que no está aquí, escríbalo en el foro. Para denotar la acción de extraer una raíz cuadrada en la resolución de problemas, se usa el símbolo √ o sqrt (), y la expresión radical se indica entre paréntesis.

Material teórico

Explicaciones a las fórmulas para encontrar el área de un paralelogramo:

1. El área de un paralelogramo es igual al producto de la longitud de uno de sus lados por la altura de ese lado.
2. El área de un paralelogramo es igual al producto de sus dos lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos
3. El área de un paralelogramo es igual a la mitad del producto de sus diagonales por el seno del ángulo entre ellas

Problemas para hallar el área de un paralelogramo

Solución.
Denotemos la altura menor del paralelogramo ABCD, bajado desde el punto B hasta la base mayor AD como BK.
Halla el valor del cateto de un triángulo rectángulo ABK formado por una altura menor, un lado menor y una parte de una base mayor. Según el teorema de Pitágoras:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AC=1

Prolonguemos la base superior del paralelogramo BC y dejemos caer sobre él la altura AN desde su base inferior. AN = BK como lados del rectángulo ANBK. En el triángulo rectángulo resultante ANC encontramos el cateto NC.
AN 2 + NC 2 = CA 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Ahora encontremos la base mayor BC del paralelogramo ABCD.
BC=NC-NB
Tomamos en cuenta que NB = AK como los lados del rectángulo, entonces
BC=12 - 1=11

El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura a esta base.
S = ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Responder: 99 cm2.

Una tarea

Solución.
Dejemos caer una DK perpendicular más sobre la diagonal AC.
En consecuencia, los triángulos AOB y DKC, COB y AKD son congruentes por pares. Uno de los lados es el lado opuesto del paralelogramo, uno de los ángulos es recto, ya que es perpendicular a la diagonal, y uno de los ángulos restantes es una cruz interna que se encuentra entre los lados paralelos del paralelogramo y la secante. de la diagonal

Así, el área del paralelogramo es igual al área de los triángulos indicados. Eso es
Espaciado = 2S AOB +2S BOC

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos. Dónde
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Responder: 56 cm2.

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Como en la geometría euclidiana, el punto y la línea son los elementos principales de la teoría de los planos, por lo que el paralelogramo es una de las figuras clave de los cuadriláteros convexos. De él, como hilos de una pelota, fluyen los conceptos de "rectángulo", "cuadrado", "rombo" y otras cantidades geométricas.

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Definición de un paralelogramo

cuadrilátero convexo, formado por segmentos, cada par de los cuales es paralelo, se conoce en geometría como paralelogramo.

El aspecto de un paralelogramo clásico es un cuadrilátero ABCD. Los lados se llaman bases (AB, BC, CD y AD), la perpendicular trazada desde cualquier vértice al lado opuesto de este vértice se llama altura (BE y BF), las rectas AC y BD son las diagonales.

¡Atención! Cuadrado, rombo y rectángulo son casos especiales de paralelogramo.

Lados y ángulos: características de proporción

Propiedades clave, en general, predeterminado por la propia designación, se prueban por el teorema. Estas características son las siguientes:

1. Los lados que son opuestos son idénticos en pares.
2. Los ángulos que son opuestos entre sí son iguales en pares.

Prueba: considere ∆ABC y ∆ADC, que se obtienen dividiendo el cuadrilátero ABCD por la línea AC. ∠BCA=∠CAD y ∠BAC=∠ACD, ya que AC les es común (ángulos verticales para BC||AD y AB||CD, respectivamente). De esto se sigue: ∆ABC = ∆ADC (el segundo criterio para la igualdad de triángulos).

Los segmentos AB y BC en ∆ABC corresponden por pares a las rectas CD y AD en ∆ADC, lo que significa que son idénticas: AB = CD, BC = AD. Por lo tanto, ∠B corresponde a ∠D y son iguales. Dado que ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, que también son idénticos en pares, entonces ∠A = ∠C. La propiedad ha sido probada.

Características de las diagonales de la figura

Caracteristica principal estas líneas de paralelogramo: el punto de intersección las biseca.

Demostración: sea m.E el punto de intersección de las diagonales AC y BD de la figura ABCD. Forman dos triángulos proporcionales: ∆ABE y ∆CDE.

AB=CD ya que son opuestos. Según rectas y secantes, ∠ABE = ∠CDE y ∠BAE = ∠DCE.

Según el segundo signo de igualdad, ∆ABE = ∆CDE. Esto significa que los elementos ∆ABE y ∆CDE son: AE = CE, BE = DE y, además, son partes proporcionales de AC y BD. La propiedad ha sido probada.

Características de las esquinas adyacentes.

En los lados adyacentes, la suma de los ángulos es 180°, ya que se encuentran en el mismo lado de las rectas paralelas y la secante. Para el cuadrilátero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propiedades de la bisectriz:

1. , caídos a un lado, son perpendiculares;
2. los vértices opuestos tienen bisectrices paralelas;
3. el triángulo obtenido al dibujar la bisectriz será isósceles.

Determinación de los rasgos característicos de un paralelogramo por el teorema

Las características de esta figura se derivan de su teorema principal, que dice lo siguiente: cuadrilátero se considera un paralelogramo en el caso de que sus diagonales se corten, y este punto las divida en segmentos iguales.

Demostración: Deje que las líneas AC y BD del cuadrilátero ABCD se intersequen en t.E. Como ∠AED = ∠BEC, y AE+CE=AC BE+DE=BD, entonces ∆AED = ∆BEC (por el primer signo de igualdad de triángulos). Es decir, ∠EAD = ∠ECB. También son los ángulos interiores de cruce de la secante AC para las rectas AD y BC. Así, por definición de paralelismo - AD || ANTES DE CRISTO. También se deriva una propiedad similar de las líneas BC y CD. El teorema ha sido probado.

Calcular el área de una figura

El área de esta figura. encontrado de varias maneras una de las más sencillas: multiplicar la altura por la base a la que se dibuja.

Prueba: Dibujar perpendiculares BE y CF desde los vértices B y C. ∆ABE y ∆DCF son iguales ya que AB = CD y BE = CF. ABCD es igual al rectángulo EBCF, ya que también se componen de cifras proporcionales: S ABE y S EBCD, así como S DCF y S EBCD. De ello se deduce que el área de esta figura geométrica es la misma que la de un rectángulo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Para determinar la fórmula general del área de un paralelogramo, denotamos la altura como media pensión, y el lado b. Respectivamente:

Otras formas de encontrar el área

Cálculos de área por los lados del paralelogramo y el ángulo, que forman, es el segundo método conocido.

,

Spr-ma - área;

a y b son sus lados

α - ángulo entre los segmentos a y b.

Este método está prácticamente basado en el primero, pero por si acaso se desconoce. siempre corta un triángulo rectángulo cuyos parámetros se encuentran por identidades trigonométricas, es decir, . Transformando la razón, obtenemos . En la ecuación del primer método, reemplazamos la altura con este producto y obtenemos una prueba de la validez de esta fórmula.

Por las diagonales de un paralelogramo y un ángulo, que crean cuando se cruzan, también puede encontrar el área.

Demostración: la intersección de AC y BD forma cuatro triángulos: ABE, BEC, CDE y AED. Su suma es igual al área de este cuadrilátero.

El área de cada uno de estos ∆ se puede encontrar a partir de la expresión , donde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dado que , se usa un solo valor del seno en los cálculos. Eso es . Dado que AE+CE=AC= d 1 y BE+DE=BD= d 2 , la fórmula del área se reduce a:

.

Aplicación en álgebra vectorial

Las características de las partes constituyentes de este cuadrilátero han encontrado aplicación en el álgebra vectorial, a saber: la suma de dos vectores. La regla del paralelogramo establece que Vectores de si dadoynoson colineales, entonces su suma será igual a la diagonal de esta figura, cuyas bases corresponden a estos vectores.

Prueba: desde un comienzo elegido arbitrariamente, eso es. - construimos vectores y . A continuación, construimos un paralelogramo OASV, donde los segmentos OA y OB son lados. Por lo tanto, el sistema operativo se encuentra en el vector o suma.

Fórmulas para calcular los parámetros de un paralelogramo

Las identidades se dan bajo las siguientes condiciones:

1. a y b, α - lados y el ángulo entre ellos;
2. d 1 y d 2 , γ - diagonales y en el punto de su intersección;
3. h a y h b - alturas rebajadas a los lados a y b;

Parámetro	Fórmula
Encontrar lados
a lo largo de las diagonales y el coseno del ángulo entre ellas
en diagonal y de lado
a través de la altura y el vértice opuesto
Hallar la longitud de las diagonales
en los lados y el tamaño de la parte superior entre ellos