Derivat množitelja. Derivat zbira i razlike funkcija. Derivat zbira jednak je zbiru izvoda

Ako slijedimo definiciju, tada je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitavog niza funkcija. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati ​​odavno izračunati i uneseni u tabelu. Takve funkcije je dovoljno lako zapamtiti, zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati ​​elementarnih funkcija:

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka funkcije f(x) i g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2+ sin x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda je derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednak umnošku derivata. Ali fige tebi! Derivat proizvoda se izračunava po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo složeniji, ali opća shema se ne mijenja od ovoga. Očigledno, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to nije neophodno, ali većina derivata se ne izračunavaju samostalno, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, saznati će se njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) i g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? Ali ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučiti na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

U brojniku i nazivniku svakog razlomka postoje elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Po tradiciji, brojilac činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispostavilo se f(x) = grijeh ( x 2+ln x) je složena funkcija. Ona također ima derivat, ali neće uspjeti pronaći ga prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', ako x je zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, situacija sa razumijevanjem ove formule je još tužnija nego s derivacijom količnika. Stoga je bolje i to objasniti konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobijamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga, vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo izvod kompleksne funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. onda:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje derivata sume.

odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Vrlo često na svojim časovima umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „moždani udar“. Na primjer, hod zbroja jednak je zbroju poteza. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje ovih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao konačni primjer, vratimo se na derivirani stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ko to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali šta ako postoji nešto lukavo ispod korijena? Opet će se pokazati složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vršimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Kalkulator izračunava izvode svih elementarnih funkcija, dajući detaljno rješenje. Varijabla diferencijacije se određuje automatski.

Derivat funkcije je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Takvi problemi doveli su do pojave derivacije, kao što je, na primjer, izračunavanje trenutne brzine tačke u trenutku vremena, ako je putanja poznata u zavisnosti od vremena, problem nalaženja tangente na funkciju u tački .

Najčešće se derivacija funkcije definira kao granica omjera prirasta funkcije i inkrementa argumenta, ako postoji.

Definicija. Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu točke . Tada se derivacija funkcije u tački naziva granica, ako postoji

Kako izračunati derivaciju funkcije?

Da biste naučili razlikovati funkcije, morate naučiti i razumjeti pravila diferencijacije i naučite kako koristiti tabela derivata.

Pravila diferencijacije

Neka i budu proizvoljne diferencibilne funkcije realne varijable i neka realna konstanta. Onda

je pravilo za razlikovanje proizvoda funkcija

je pravilo za diferenciranje kvocijentnih funkcija

0 visina=33 širina=370 style="vertical-align: -12px;"> — diferencijacija funkcije s promjenjivim eksponentom

- pravilo diferencijacije složene funkcije

je pravilo diferencijacije funkcije snage

Derivat funkcije na mreži

Naš kalkulator će brzo i precizno izračunati derivaciju bilo koje funkcije na mreži. Program neće pogriješiti prilikom izračunavanja derivata i pomoći će da se izbjegnu duga i zamorna izračunavanja. Online kalkulator će također biti koristan kada postoji potreba da provjerite ispravnost vašeg rješenja, a ako je pogrešno, brzo pronađete grešku.

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje izvedenice: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Odluka:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo razgovarati o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, pa budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvedenica.