Znakovi srednje linije trapeza. Srednja linija trapeza

Koncept srednje linije trapeza

Prvo, prisjetimo se koja se figura zove trapez.

Definicija 1

Trapez je četverougao kod kojeg su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

U ovom slučaju, paralelne stranice nazivaju se osnovama trapeza, a ne paralelne - stranice trapeza.

Definicija 2

Srednja linija trapeza je segment koji spaja sredine stranica trapeza.

Teorema srednje linije trapeza

Sada uvodimo teoremu o srednjoj liniji trapeza i dokazujemo je vektorskom metodom.

Teorema 1

Srednja linija trapeza je paralelna sa bazama i jednaka je polovini njihovog zbira.

Dokaz.

Neka nam je dat trapez $ABCD$ sa bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).

Slika 1. Srednja linija trapeza

Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za sabiranje vektora. S jedne strane, to shvatamo

S druge strane

Sabiranjem posljednje dvije jednakosti dobijamo

Pošto su $M$ i $N$ sredine stranica trapeza, imamo

Dobijamo:

Shodno tome

Iz iste jednakosti (pošto su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerne i, prema tome, kolinearne), dobijamo da je $MN||AD$.

Teorema je dokazana.

Primjeri zadataka na konceptu srednje linije trapeza

Primjer 1

Stranice trapeza su $15\cm$ i $17\cm$ respektivno. Opseg trapeza je $52\cm$. Pronađite dužinu srednje linije trapeza.

Rješenje.

Označite srednju liniju trapeza sa $n$.

Zbir strana je

Prema tome, pošto je obim $52\ cm$, zbir baza je

Dakle, prema teoremi 1, dobijamo

odgovor:$10\cm$.

Primjer 2

Krajevi prečnika kružnice su $9$ cm odnosno $5$ cm od njegove tangente. Pronađite prečnik ove kružnice.

Rješenje.

Neka nam je dana kružnica sa centrom $O$ i prečnikom $AB$. Nacrtajte tangentu $l$ i konstruirajte udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtajmo poluprečnik $OH$ (slika 2).

Slika 2.

Pošto su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i pošto je $OH$ poluprečnik, onda je $OH\bot l$, dakle $OH | \levo|AD\right||BC$. Iz svega ovoga dobijamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova srednja linija. Prema teoremi 1, dobijamo

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili veze sa njim.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informišemo o tome jedinstvene ponude, promocije i drugi događaji i nadolazeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskom procedurom, u parnica, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Područje trapeza. Pozdrav! U ovoj publikaciji ćemo razmotriti ovu formulu. Zašto je tako i kako to razumeti? Ako postoji razumijevanje, onda ga ne morate učiti. Ako samo želite vidjeti ovu formulu i ono što je hitno, možete odmah pomaknuti stranicu))

Sada detaljno i po redu.

Trapez je četvorougao, dve strane ovog četvorougla su paralelne, druge dve nisu. One koje nisu paralelne su osnove trapeza. Druge dvije se zovu strane.

Ako su stranice jednake, tada se trapez naziva jednakokraki. Ako je jedna od stranica okomita na baze, tada se takav trapez naziva pravokutnim.

U klasičnom obliku, trapez je prikazan na sljedeći način - veća baza je na dnu, odnosno manja je na vrhu. Ali niko ne zabranjuje prikazivanje i obrnuto. Evo skica:

Sljedeći važan koncept.

Srednja linija trapeza je segment koji spaja sredine stranica. Srednja linija je paralelna osnovama trapeza i jednaka je njihovom poluzbiru.

Hajdemo sada dublje. Zašto tačno?

Zamislite trapez sa bazama a i b i sa srednjom linijom l, i izvedite neke dodatne konstrukcije: povucite ravne linije kroz osnove, a okomite kroz krajeve srednje linije dok se ne sijeku s osnovama:

*Slovne oznake vrhova i drugih tačaka se ne unose namjerno kako bi se izbjegle nepotrebne oznake.

Vidite, trokuti 1 i 2 su jednaki prema drugom znaku jednakosti trokuta, trokuti 3 i 4 su isti. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost elemenata, odnosno krakova (označeni su redom plavom, odnosno crvenom bojom).

Sada pažnja! Ako mentalno "odsječemo" plavi i crveni segment od donje baze, tada ćemo imati segment (ovo je strana pravokutnika) jednak srednjoj liniji. Dalje, ako odrezane plave i crvene segmente "zalijepimo" na gornju osnovu trapeza, tada ćemo također dobiti segment (ovo je i stranica pravokutnika) jednak srednjoj liniji trapeza.

Jasno? Ispada da će zbir baza biti jednak dvjema medijanama trapeza:

Pogledajte drugo objašnjenje

Uradimo sljedeće - izgradimo pravu liniju koja prolazi kroz donju bazu trapeza i pravu liniju koja će prolaziti kroz tačke A i B:

Dobijamo trouglove 1 i 2, jednaki su po strani i susjednim uglovima (drugi znak jednakosti trokuta). To znači da je rezultujući segment (na skici je označen plavom bojom) jednak gornjoj bazi trapeza.

Sada razmotrite trokut:

* Srednja linija ovog trapeza i srednja linija trougla se poklapaju.

Poznato je da je trokut jednak polovini osnovice paralelne s njim, odnosno:

Ok, razumijem. Sada o površini trapeza.

Formula površine trapeza:

Kažu: površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih osnova i visine.

Odnosno, ispada da je jednak proizvodu srednje linije i visine:

Verovatno ste već primetili da je ovo očigledno. Geometrijski, to se može izraziti na sljedeći način: ako mentalno odsiječemo trokute 2 i 4 od trapeza i stavimo ih na trokute 1 i 3, redom:

Tada dobijamo pravougaonik po površini jednaka površini naš trapez. Površina ovog pravokutnika bit će jednaka umnošku srednje linije i visine, odnosno možemo napisati:

Ali poenta ovdje nije u pisanju, naravno, već u razumijevanju.

Preuzmite (pogledajte) materijal članka u *pdf formatu

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

Četvorougao sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.

Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.

Srednja linija trapeza

Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.

Teorema:

Ako je prava koja siječe polovište jedne strane paralelna s osnovama trapeza, onda ona prepolovi drugu bočna strana trapezoid.

Teorema:

Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova

MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - strane

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.

Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.

Srednja linija trougla

Segment prave koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelna je sa trećom stranom i njena dužina je polovina dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe polovište jedne strane trougla paralelna s drugom stranom datog trougla, tada prepolovi treću stranu.

AM = MC i BN = NC =>

Primjena svojstava srednje linije trokuta i trapeza

Podjela segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Rješenje:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Povezujemo A 5 sa B i crtamo prave kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One sijeku AB na B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2

Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na još jedan broj jednakih dijelova, trebamo projektovati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.