Ako je ugao oštar onda koeficijent. Jednadžba tangente na graf funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019.)

U prethodnom poglavlju je pokazano da, izborom određenog koordinatnog sistema na ravni, možemo analitički izraziti geometrijska svojstva koja karakterišu tačke razmatrane prave jednadžbom između trenutnih koordinata. Tako dobijamo jednačinu prave. U ovom poglavlju će se razmatrati jednačine pravih linija.

Da biste formulirali jednadžbu ravne linije u kartezijanskim koordinatama, morate nekako postaviti uvjete koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne osi.

Prvo uvodimo pojam nagiba prave linije, koja je jedna od veličina koje karakterišu položaj prave na ravni.

Nazovimo ugao nagiba prave prema osi Ox ugao za koji se osa Ox mora zarotirati tako da se poklopi sa datom linijom (ili ispadne paralelna s njom). Kao i obično, ugao ćemo uzeti u obzir uzimajući u obzir znak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija ose Ox za ugao od 180 ° ponovo kombinirati s ravnom linijom, kut nagiba ravne linije prema osi može se odabrati dvosmisleno (do višekratnika ).

Tangenta ovog ugla je jednoznačno određena (jer se promenom ugla u ne menja njegova tangenta).

Tangenta ugla nagiba prave linije prema x-osi naziva se nagib prave linije.

Nagib karakteriše pravac prave (ovde ne pravimo razliku između dva međusobno suprotna smera prave). Ako je nagib ravan nula, tada je prava paralelna sa x-osi. S pozitivnim nagibom, kut nagiba prave linije prema x-osi bit će oštar (ovdje smatramo najmanjim pozitivna vrijednost ugao nagiba) (Sl. 39); u ovom slučaju, što je veći nagib, veći je ugao njegovog nagiba prema osi Ox. Ako je nagib negativan, tada će ugao nagiba prave linije prema x-osi biti tup (slika 40). Imajte na umu da prava linija okomita na x-osu nema nagib (tangenta ugla ne postoji).

Prava y = f (x) bit će tangentna na graf prikazan na slici u tački x0 ako prolazi kroz tačku s koordinatama (x0; f (x0)) i ima nagib f "(x0). Pronađite takav koeficijent, znajući karakteristike tangente, nije teško.

Trebaće ti

• - matematički priručnik;
• - jednostavna olovka;
• - sveska;
• - kutomjer;
• - kompas;
• - olovka.

Uputstvo

Ako vrijednost f‘(x0) ne postoji, onda ili nema tangente, ili prolazi okomito. S obzirom na to, prisustvo derivacije funkcije u tački x0 je zbog postojanja nevertikalne tangente koja je u kontaktu sa grafikom funkcije u tački (x0, f(x0)). U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak f "(x0). Dakle, postaje jasno geometrijskog smisla derivat - proračun nagiba tangente.

Nacrtajte dodatne tangente koje bi bile u kontaktu sa grafom funkcije u tačkama x1, x2 i x3, a uglove formirane od ovih tangenta označite sa osom apscise (takav ugao se računa u pozitivnom smeru od ose do tangente linija). Na primjer, ugao, odnosno, α1, će biti oštar, drugi (α2) je tup, a treći (α3) je nula, jer je tangentna linija paralelna sa OX osom. U ovom slučaju, tangens tupog ugla je negativan, tangens oštrog ugla je pozitivan, a za tg0 rezultat je nula.

Bilješka

Pravilno odredite ugao koji formira tangenta. Da biste to učinili, koristite kutomjer.

Koristan savjet

Dvije kose prave će biti paralelne ako su njihovi nagibi međusobno jednaki; okomito ako je proizvod nagiba ovih tangenta -1.

Izvori:

• Tangenta na graf funkcije

Kosinus se, kao i sinus, naziva "direktnim" trigonometrijskim funkcijama. Tangenta (zajedno sa kotangensom) se dodaje drugom paru koji se naziva "derivati". Postoji nekoliko definicija ovih funkcija koje omogućavaju pronalaženje tangente zadane pomoću poznata vrijednost kosinus iste vrijednosti.

Uputstvo

Oduzmite kvocijent od jedinice kosinusom datog ugla podignutom na vrijednost i izvucite kvadratni korijen iz rezultata - to će biti vrijednost tangente iz ugla, izražena njegovim kosinusom: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Istovremeno, obratite pažnju na činjenicu da je u formuli kosinus u nazivniku razlomka. Nemogućnost dijeljenja sa nulom isključuje upotrebu ovog izraza za uglove jednake 90°, kao i razliku od ove vrijednosti za višekratnike od 180° (270°, 450°, -90°, itd.).

Postoji također alternativni način izračunavanje tangente iz poznate vrijednosti kosinusa. Može se koristiti ako nema ograničenja za korištenje drugih . Da biste implementirali ovu metodu, prvo odredite vrijednost ugla iz poznate vrijednosti kosinusa - to se može učiniti pomoću funkcije arkkosinusa. Zatim jednostavno izračunajte tangentu za ugao rezultirajuće vrijednosti. Općenito, ovaj algoritam se može napisati na sljedeći način: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Postoji još jedna egzotična opcija koja koristi definiciju kosinusa i tangente kroz oštre uglove pravokutnog trokuta. Kosinus u ovoj definiciji odgovara omjeru dužine kraka uz razmatrani kut i dužine hipotenuze. Znajući vrijednost kosinusa, možete odabrati dužine ove dvije strane koje mu odgovaraju. Na primjer, ako je cos(α)=0,5, onda se susjedni može uzeti jednakim 10 cm, a hipotenuza - 20 cm. Konkretni brojevi ovdje nisu bitni - dobit ćete iste i ispravne sa svim vrijednostima koje imaju iste. Zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, odredite dužinu nedostajuće strane - suprotne noge. Ona će biti jednaka kvadratni korijen iz razlike između dužina hipotenuze na kvadrat i poznatog kraka: √(20²-10²)=√300. Po definiciji, tangenta odgovara omjeru dužina suprotnih i susjednih krakova (√300/10) - izračunajte je i dobijete vrijednost tangente pronađenu koristeći klasičnu definiciju kosinusa.

Izvori:

• kosinus kroz tangentnu formulu

Jedan od trigonometrijske funkcije, najčešće se označava slovima tg, iako se nalaze i oznake tan. Najlakši način je predstaviti tangentu kao omjer sinusa ugao na njegov kosinus. Ovo je neparna periodična, a ne kontinuirana funkcija, čiji svaki ciklus jednak je broju Pi, a tačka prekida odgovara polovini tog broja.

U matematici, jedan od parametara koji opisuje položaj prave linije na dekartskoj koordinatnoj ravni je nagib ove prave linije. Ovaj parametar karakterizira nagib prave linije prema x-osi. Da biste razumjeli kako pronaći nagib, prvo se prisjetite opšteg oblika jednadžbe prave linije u XY koordinatnom sistemu.

Općenito, bilo koja linija se može predstaviti izrazom ax+by=c, gdje su a, b i c proizvoljni realni brojevi, ali nužno a 2 + b 2 ≠ 0.

Uz pomoć jednostavnih transformacija, ovakva jednadžba se može dovesti do oblika y=kx+d, u kojem su k i d realni brojevi. Broj k je nagib, a jednačina ove prave se zove jednačina sa nagibom. Ispostavilo se da da biste pronašli nagib, samo trebate dovesti originalnu jednadžbu u gornji oblik. Za bolje razumijevanje, razmotrite konkretan primjer:

Zadatak: Pronađite nagib prave date jednadžbom 36x - 18y = 108

Rješenje: Transformirajmo originalnu jednačinu.

Odgovor: Željeni nagib ove linije je 2.

Ako smo tokom transformacije jednadžbe dobili izraz tipa x = const i kao rezultat toga ne možemo predstaviti y kao funkciju od x, onda imamo posla s ravnom linijom koja je paralelna osi X. Nagib od takva prava je jednaka beskonačnosti.

Za linije koje su izražene jednačinom kao što je y = const, nagib je nula. Ovo je tipično za prave linije paralelne sa x-osom. Na primjer:

Zadatak: Pronađite nagib prave date jednadžbom 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rješenje: Originalnu jednačinu dovodimo u opći oblik

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Nemoguće je izraziti y iz rezultirajućeg izraza, stoga je nagib ove prave linije jednak beskonačnosti, a sama prava linija će biti paralelna s Y osom.

geometrijskog smisla

Za bolje razumijevanje, pogledajmo sliku:

Na slici vidimo graf funkcije tipa y = kx. Da pojednostavimo, uzimamo koeficijent c = 0. U trouglu OAB, odnos stranice BA prema AO će biti jednak nagibu k. Istovremeno, odnos VA/AO je tangent oštrog ugla α in pravougaonog trougla OAV. Ispada da je nagib prave jednak tangentu ugla koji ta prava čini sa x-osom koordinatne mreže.

Rješavajući problem kako pronaći nagib prave linije, nalazimo tangentu ugla između nje i x-ose koordinatne mreže. Granični slučajevi, kada je prava koja se razmatra paralelna sa koordinatnim osa, potvrđuju gore navedeno. Zaista, za pravu liniju opisanu jednadžbom y=const, ugao između nje i x-ose jednak je nuli. Tangens nultog ugla je takođe nula i nagib je takođe nula.

Za prave linije okomite na x-osu i opisane jednačinom x=const, ugao između njih i x-ose je 90 stepeni. Tangenta pravi ugao jednak je beskonačnosti, a nagib sličnih pravih je jednak beskonačnosti, što potvrđuje gore napisano.

Tangent Slope

Uobičajen zadatak koji se često sreće u praksi je i pronalaženje nagiba tangente na graf funkcije u nekoj tački. Tangenta je prava linija, stoga je koncept nagiba također primjenjiv na nju.

Da bismo shvatili kako pronaći nagib tangente, morat ćemo se prisjetiti koncepta derivacije. Derivat bilo koje funkcije u nekom trenutku je konstanta, numerički jednaka tangenti ugao koji se formira između tangente u navedenoj tački na grafik ove funkcije i ose apscise. Ispada da da bismo odredili nagib tangente u tački x 0, moramo izračunati vrijednost derivacije originalne funkcije u ovoj tački k \u003d f "(x 0). Razmotrimo primjer:

Zadatak: Naći nagib prave tangente na funkciju y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.

Rješenje: Pronađite izvod originalne funkcije u općem obliku

y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Odgovor: Željeni nagib u tački x = 0,1 je 4,831

Nastavak teme jednačine prave na ravni zasnovan je na proučavanju prave linije iz časova algebre. Ovaj članak daje generalizirane informacije na temu jednačine prave linije s nagibom. Razmotrite definicije, dobijete samu jednačinu, otkrijte odnos sa drugim vrstama jednačina. O svemu će se raspravljati na primjerima rješavanja problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije pisanja takve jednačine potrebno je definirati ugao nagiba prave linije prema Ox osi sa njihovim nagibom. Pretpostavimo da je na ravni dat Dekartov koordinatni sistem O x.

Definicija 1

Ugao nagiba prave linije prema osi O x, koji se nalazi u Dekartovom koordinatnom sistemu O x y na ravni, ovo je ugao koji se meri od pozitivnog smera O x do prave linije u smeru suprotnom od kazaljke na satu.

Kada je prava paralelna sa Ox ili se u njoj dogodi koincidencija, ugao nagiba je 0. Tada je ugao nagiba date prave α definisan na intervalu [ 0 , π) .

Definicija 2

Nagib prave linije je tangenta nagiba date prave.

Standardna notacija je k. Iz definicije dobijamo da je k = t g α . Kada je prava paralelna sa Ox, kaže se da nagib ne postoji jer ide u beskonačnost.

Nagib je pozitivan kada se graf funkcije povećava i obrnuto. Na slici su prikazane različite varijacije položaja pravog ugla u odnosu na koordinatni sistem sa vrednošću koeficijenta.

Za pronalaženje ovog ugla potrebno je primijeniti definiciju koeficijenta nagiba i izračunati tangens ugla nagiba u ravnini.

Odluka

Iz uslova imamo da je α = 120°. Po definiciji, morate izračunati nagib. Nađimo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3 .

odgovor: k = - 3 .

Ako je ugaoni koeficijent poznat, ali je potrebno pronaći ugao nagiba prema x-osi, tada treba uzeti u obzir vrijednost kutnog koeficijenta. Ako je k > 0, tada je pravi ugao oštar i nalazi se po formuli α = a r c t g k . Ako je k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Primjer 2

Odrediti ugao nagiba date prave na O x sa nagibom jednakim 3.

Odluka

Iz uslova imamo da je nagib pozitivan, što znači da je ugao nagiba prema O x manji od 90 stepeni. Proračuni se vrše prema formuli α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Odgovor: α = a r c t g 3 .

Primjer 3

Odrediti ugao nagiba prave linije prema O x osi, ako je nagib = - 1 3 .

Odluka

Ako uzmemo slovo k kao oznaku nagiba, onda je α ugao nagiba na datu pravu liniju u pozitivnom smjeru O x. Dakle, k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

odgovor: 5 pi 6 .

Jednadžba oblika y \u003d k x + b, gdje je k nagib, a b neki realni broj, naziva se jednadžba ravne linije s nagibom. Jednačina je tipična za svaku pravu liniju koja nije paralelna sa O y osom.

Ako detaljno razmotrimo pravu liniju na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu, koja je data jednačinom sa nagibom koji izgleda kao y = k · x + b . U ovom slučaju, to znači da koordinate bilo koje tačke na pravoj odgovaraju jednačini. Ako zamijenimo koordinate tačke M, M 1 (x 1, y 1), u jednadžbu y = k x + b, tada će u ovom slučaju prava proći kroz ovu tačku, inače tačka ne pripada linija.

Primjer 4

Zadana je prava linija s nagibom y = 1 3 x - 1 . Izračunajte da li tačke M 1 (3 , 0) i M 2 (2 , - 2) pripadaju datoj pravoj.

Odluka

Potrebno je zamijeniti koordinate tačke M 1 (3, 0) u datu jednačinu, tada se dobija 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Jednakost je tačna, pa tačka pripada pravoj.

Ako zamijenimo koordinate tačke M 2 (2, - 2), dobijamo netačnu jednakost oblika - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Možemo zaključiti da tačka M 2 ne pripada pravoj.

odgovor: M 1 pripada liniji, ali M 2 ne.

Poznato je da je prava linija definisana jednačinom y = k · x + b koja prolazi kroz M 1 (0 , b) , zamjena je dala jednakost oblika b = k · 0 + b ⇔ b = b . Iz ovoga možemo zaključiti da jednačina prave linije sa nagibom y = k · x + b na ravni definiše pravu liniju koja prolazi kroz tačku 0, b. Formira ugao α sa pozitivnim smerom ose O x, gde je k = t g α .

Razmotrimo, na primjer, ravnu liniju definiranu korištenjem nagiba date oblikom y = 3 · x - 1 . Dobijamo da će prava prolaziti kroz tačku sa koordinatom 0, - 1 sa nagibom od α = a r c t g 3 = π 3 radijana duž pozitivnog smjera ose O x. Iz ovoga se vidi da je koeficijent 3.

Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku

Potrebno je riješiti zadatak gdje je potrebno dobiti jednačinu prave linije sa datim nagibom koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) .

Jednakost y 1 = k · x + b može se smatrati validnom, jer prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1) . Za uklanjanje broja b potrebno je oduzeti jednačinu sa koeficijentom nagiba s lijeve i desne strane. Iz ovoga slijedi da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ova jednakost se naziva jednačina prave linije sa datim nagibom k, koja prolazi kroz koordinate tačke M 1 (x 1, y 1) .

Primjer 5

Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 sa koordinatama (4, - 1), sa nagibom jednakim - 2.

Odluka

Po uslovu imamo da je x 1 = 4, y 1 = - 1, k = 2. Odavde će se jednačina prave linije napisati na ovaj način y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

odgovor: y = - 2 x + 7 .

Primjer 6

Napišite jednadžbu ravne linije s nagibom koja prolazi kroz tačku M 1 s koordinatama (3, 5) paralelnim s pravom linijom y = 2 x - 2.

Odluka

Pod uslovom imamo da paralelne prave imaju podudarne uglove nagiba, pa su koeficijenti nagiba jednaki. Da pronađem nagib od zadata jednačina, potrebno je prisjetiti se njegove osnovne formule y = 2 x - 2, pa slijedi da je k = 2 . Sastavljamo jednačinu sa koeficijentom nagiba i dobijamo:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

odgovor: y = 2 x - 1 .

Prelazak sa jednadžbe prave linije sa nagibom na druge tipove jednačina prave linije i obrnuto

Takva jednadžba nije uvijek primjenjiva za rješavanje problema, jer ima ne baš zgodnu notaciju. Da biste to učinili, mora se predstaviti u drugom obliku. Na primjer, jednadžba oblika y = k · x + b ne dozvoljava vam da zapišete koordinate vektora smjera prave linije ili koordinate vektora normale. Da biste to učinili, morate naučiti kako predstaviti jednačine različite vrste.

Možemo dobiti kanonsku jednačinu prave linije u ravni koristeći jednadžbu ravne linije sa nagibom. Dobijamo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno je pomjeriti pojam b na lijevu stranu i podijeliti s izrazom dobijene nejednakosti. Tada dobijamo jednačinu oblika y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Jednačina prave linije sa nagibom postala je kanonska jednačina date prave linije.

Primjer 7

Dovedite jednačinu prave linije sa nagibom y = - 3 x + 12 u kanonski oblik.

Odluka

Računamo i predstavljamo u obliku kanonske jednadžbe prave linije. Dobijamo jednačinu oblika:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.

Opću jednačinu prave je najlakše dobiti iz y = k x + b, ali to zahtijeva transformacije: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Iz opšte jednačine prave linije se prelazi na jednačine drugog tipa.

Primjer 8

Zadata je jednačina prave linije oblika y = 1 7 x - 2. Saznajte da li je vektor sa koordinatama a → = (- 1 , 7) normalan pravolinijski vektor?

Odluka

Da bismo to riješili, potrebno je prijeći na drugi oblik ove jednadžbe, za to pišemo:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficijenti ispred varijabli su koordinate vektora normale prave linije. Zapišimo to ovako n → = 1 7 , - 1 , dakle 1 7 x - y - 2 = 0 . Jasno je da je vektor a → = (- 1, 7) kolinearan vektoru n → = 1 7 , - 1 , pošto imamo fer odnos a → = - 7 · n → . Slijedi da je originalni vektor a → = - 1 , 7 normalni vektor prave 1 7 x - y - 2 = 0 , što znači da se smatra normalnim vektorom za pravu y = 1 7 x - 2 .

odgovor: Je

Hajde da riješimo problem obrnuto od ovog.

Treba se preseliti iz opšti pogled jednadžba A x + B y + C = 0 , gdje je B ≠ 0, na jednadžbu nagiba. Da bismo to učinili, rješavamo jednačinu za y. Dobijamo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultat je jednačina sa nagibom jednakim - A B .

Primjer 9

Zadata je jednačina prave linije oblika 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dobiti jednadžbu date linije sa nagibom.

Odluka

Na osnovu uvjeta potrebno je riješiti za y, tada dobijamo jednačinu oblika:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .

Na sličan način rješava se jednadžba oblika x a + y b \u003d 1, koja se naziva jednadžba ravne linije u segmentima, ili kanonski oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Potrebno ga je riješiti s obzirom na y, tek tada dobijamo jednačinu sa nagibom:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanonska jednadžba se može svesti na oblik sa nagibom. Za ovo:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + 1

Primjer 10

Postoji ravna linija data jednadžbom x 2 + y - 3 = 1 . Dovesti u oblik jednačine sa nagibom.

Odluka.

Na osnovu uslova potrebno je transformisati, tada dobijamo jednačinu oblika _formula_. Obje strane jednačine treba pomnožiti sa -3 da se dobije tražena jednačina nagiba. Transformirajući, dobijamo:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

odgovor: y = 3 2 x - 3 .

Primjer 11

Jednadžba prave linije oblika x - 2 2 \u003d y + 1 5 dovodi se u oblik s nagibom.

Odluka

Potrebno je izračunati izraz x - 2 2 = y + 1 5 kao proporciju. Dobijamo da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sada ga morate u potpunosti omogućiti, za ovo:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Odgovor: y = 5 2 x - 6 .

Za rješavanje takvih zadataka potrebno je dovesti parametarske jednadžbe prave linije x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ na kanonska jednačina ravnoj liniji, tek nakon toga možete preći na jednadžbu sa koeficijentom nagiba.

Primjer 12

Pronađite nagib prave ako je zadan parametarskim jednačinama x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Odluka

Morate prijeći sa parametarskog prikaza na nagib. Da bismo to uradili, nalazimo kanonsku jednačinu iz date parametarske:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Sada je potrebno riješiti ovu jednakost u odnosu na y da bi se dobila jednačina prave linije sa nagibom. Da bismo to učinili, pišemo na sljedeći način:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Iz toga slijedi da je nagib prave linije jednak 2. Ovo se piše kao k = 2.

odgovor: k = 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Na slici je prikazan ugao nagiba ravne linije i vrijednost koeficijenta nagiba za različite opcije za lokaciju ravne linije u odnosu na pravokutni koordinatni sistem.

Pronalaženje nagiba prave linije pod poznatim uglom nagiba prema osi Ox ne predstavlja nikakve poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je podsjetiti se na definiciju koeficijenta nagiba i izračunati tangens kuta nagiba.

Primjer.

Pronađite nagib linije ako je ugao njenog nagiba prema x-osi jednak .

Odluka.

Po uslovu. Zatim, po definiciji nagiba prave linije, izračunavamo .

odgovor:

Zadatak pronalaženja ugla nagiba prave linije prema x-osi sa poznatim nagibom je malo teži. Ovdje je potrebno uzeti u obzir predznak koeficijenta nagiba. Kada je ugao nagiba prave linije oštar i nalazi se kao . Kada je ugao nagiba prave linije tup i može se odrediti formulom .

Primjer.

Odredite ugao nagiba prave linije prema x-osi ako je njen nagib 3.

Odluka.

Budući da je, po uslovu, nagib pozitivan, ugao nagiba prave linije prema Ox osi je oštar. Računamo ga prema formuli.

odgovor:

Primjer.

Nagib prave linije je . Odrediti ugao nagiba prave linije prema osi Ox.

Odluka.

Označiti k je nagib prave linije, ugao nagiba ove prave linije prema pozitivnom smjeru ose Ox. As , tada koristimo formulu za pronalaženje ugla nagiba prave linije sljedećeg oblika . U njega zamjenjujemo podatke iz uslova: .

odgovor:

Jednačina prave linije sa nagibom.

Jednačina linije sa nagibom ima oblik , gdje je k nagib prave, b je neki realan broj. Jednačina prave linije sa nagibom može se koristiti za specifikaciju bilo koje prave linije koja nije paralelna sa Oy osi (za pravu liniju paralelnu sa y-osi, nagib nije definisan).

Pogledajmo značenje izraza: "prava na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu data je jednadžbom sa nagibom oblika". To znači da je jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, a ne koordinatama bilo koje druge tačke na ravni. Dakle, ako se dobije tačna jednakost zamjenom koordinata tačke, tada prava prolazi kroz ovu tačku. Inače, tačka ne leži na pravoj.

Primjer.

Prava linija je data jednadžbom s nagibom . Da li i tačke pripadaju ovoj pravoj?

Odluka.

Zamijenite koordinate tačke u originalnu jednadžbu prave linije sa nagibom: . Dobili smo tačnu jednakost, dakle, tačka M 1 leži na pravoj liniji.

Prilikom zamjene koordinata tačke dobijamo pogrešnu jednakost: . Dakle, tačka M 2 ne leži na pravoj liniji.

odgovor:

Dot M 1 pripada liniji, M 2 ne.

Treba napomenuti da prava linija, definisana jednadžbom prave linije sa nagibom , prolazi kroz tačku, budući da pri zamjeni njenih koordinata u jednačinu dobijamo tačnu jednakost: .

Dakle, jednačina prave linije sa nagibom određuje pravu liniju na ravni koja prolazi kroz tačku i formira ugao sa pozitivnim smerom ose apscise, i .

Kao primjer, nacrtajmo pravu liniju definiranu jednadžbom prave linije sa nagibom oblika . Ova linija prolazi kroz tačku i ima nagib radijana (60 stepeni) u pozitivnom smeru ose Ox. Njen nagib je .

Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku.

Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobićemo jednačinu prave linije sa datim nagibom k i koja prolazi kroz tačku .

Budući da linija prolazi kroz točku , tada je jednakost . Broj b nam je nepoznat. Da bismo ga se riješili, oduzimamo od lijevog i desnog dijela jednadžbe ravne linije s nagibom, redom, lijevi i desni dio posljednje jednakosti. Čineći to, dobijamo . Ova jednakost je jednadžba prave linije sa datim nagibom k koja prolazi kroz datu tačku.

Razmotrimo primjer.

Primjer.

Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku, nagib ove prave je -2.

Odluka.

Iz stanja koje imamo . Tada će jednadžba prave linije sa nagibom poprimiti oblik .

odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu prave ako je poznato da ona prolazi kroz tačku i da je ugao nagiba u pozitivnom smjeru ose Ox .

Odluka.

Prvo izračunamo nagib prave linije čiju jednačinu tražimo (takav problem smo riješili u prethodnom pasusu ovog članka). A-prioritet . Sada imamo sve podatke da zapišemo jednadžbu ravne linije sa nagibom:

odgovor:

Primjer.

Napišite jednačinu prave sa nagibom koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom.

Odluka.

Očigledno je da se uglovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox poklapaju (ako je potrebno, pogledajte članak paralelne linije), stoga su koeficijenti nagiba paralelnih linija jednaki. Tada je nagib prave linije, čiju jednačinu treba da dobijemo, jednak 2, pošto je nagib prave 2. Sada možemo sastaviti traženu jednačinu prave linije sa nagibom:

odgovor:

Prelazak sa jednadžbe prave linije sa koeficijentom nagiba na druge tipove jednačine prave i obrnuto.

Uz sve poznato, jednadžba ravne linije sa nagibom daleko je od uvijek zgodna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim slučajevima, probleme je lakše riješiti kada se jednačina prave linije prikaže u drugačijem obliku. Na primjer, jednadžba ravne linije s nagibom ne dozvoljava vam da odmah zapišete koordinate usmjeravajućeg vektora ravne linije ili koordinate vektora normale prave linije. Dakle, treba naučiti preći sa jednačine prave linije sa nagibom na druge tipove jednačine ove prave.

Iz jednadžbe prave linije sa nagibom lako je dobiti kanonsku jednačinu prave linije na ravni oblika . Da bismo to učinili, prenosimo pojam b s desne strane jednačine na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim podijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti nagibom k:. Ove radnje vode nas od jednadžbe prave linije sa nagibom do kanonske jednačine prave linije.

Primjer.

Dajte jednačinu prave linije sa nagibom kanonskom obliku.

Odluka.

Izvršimo potrebne transformacije: .

odgovor:

Primjer.

Prava linija je data jednadžbom prave linije sa nagibom . Da li je vektor normalan vektor ove prave?

Odluka.

Da bismo riješili ovaj problem, prijeđimo sa jednadžbe prave linije sa nagibom na opštu jednačinu ove prave: . Znamo da su koeficijenti ispred varijabli x i y u opštoj jednačini prave odgovarajuće koordinate vektora normale ove prave linije, odnosno vektora normale prave linije . Očigledno, vektor je kolinearan vektoru, budući da je relacija tačna (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, originalni vektor je također normalni vektor linije , i, prema tome, je normalni vektor i originalna linija .

odgovor:

Da, jeste.

A sada ćemo riješiti inverzni problem - problem dovođenja jednačine prave na ravni na jednadžbu ravne linije sa nagibom.

Iz opće pravolinijske jednačine , gdje , vrlo je lako prijeći na jednadžbu nagiba. Za ovo vam je potrebno opšta jednačina direktna rezolucija u odnosu na y . Istovremeno, dobijamo . Rezultirajuća jednakost je jednačina prave linije s nagibom jednakim .