Formula presjeka linija. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni. Međusobni raspored linija. Ugao između linija

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Zdravo dragi čitaoče!

Nastavljamo sa upoznavanjem geometrijskih algoritama. U prošloj lekciji smo pronašli jednačinu prave u koordinatama dvije tačke. Imamo jednačinu oblika:

Danas ćemo napisati funkciju koja će, koristeći jednačine dvije prave, pronaći koordinate njihove točke presjeka (ako ih ima). Za provjeru jednakosti realnih brojeva koristit ćemo specijalnu funkciju RealEq().

Tačke na ravni su opisane parom realnih brojeva. Kada koristite realni tip, bolje je organizirati operacije poređenja sa posebnim funkcijama.

Razlog je poznat: ne postoji relacija reda na tipu Real u Pascal programskom sistemu, pa je bolje ne koristiti zapise oblika a = b, gdje su a i b realni brojevi.
Danas ćemo predstaviti funkciju RealEq() za implementaciju “=” (strogo jednake) operacije:

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Zadatak. Date su jednadžbe dvije prave: i . Pronađite njihovu tačku preseka.

Odluka. Očigledno rješenje je riješiti sistem jednadžbi linija: Hajde da prepišemo ovaj sistem malo drugačije:
(1)

Uvodimo notaciju: , , . Ovdje je D determinanta sistema, a predstavljaju determinante dobijene zamjenom stupca koeficijenata za odgovarajuću nepoznatu kolonom slobodnih članova. Ako je , tada je sistem (1) određen, odnosno ima jedinstveno rješenje. Ovo rješenje se može naći pomoću sljedećih formula: , , koje se nazivaju Cramerove formule. Dozvolite mi da vas podsjetim kako se izračunava determinanta drugog reda. Odrednica razlikuje dvije dijagonale: glavnu i sekundarnu. Glavna dijagonala se sastoji od elemenata uzetih u smjeru od gornjeg lijevog ugla determinante prema donjem desnom kutu. Bočna dijagonala - od gornjeg desnog do donjeg lijevog. Determinanta drugog reda jednaka je umnošku elemenata glavne dijagonale minus proizvod elemenata sekundarne dijagonale.

Kod koristi funkciju RealEq() za provjeru jednakosti. Proračuni preko realnih brojeva se vrše sa tačnošću do _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(preciznost proračuna) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Sastavili smo program pomoću kojeg možete, znajući jednačine pravih, pronaći koordinate njihove točke presjeka.

Neka su date dvije prave i potrebno je pronaći njihovu točku presjeka. Budući da ova tačka pripada svakoj od dvije zadate prave, njene koordinate moraju zadovoljiti i jednadžbu prve linije i jednačinu druge linije.

Dakle, da bi se pronašle koordinate tačke preseka dve prave, treba rešiti sistem jednačina

Primjer 1. Naći tačku presjeka pravih i

Odluka. Rešavanjem sistema jednačina naći ćemo koordinate željene tačke preseka

Tačka raskrsnice M ima koordinate

Hajde da pokažemo kako da konstruišemo pravu liniju iz njene jednačine. Da biste nacrtali pravu, dovoljno je poznavati dvije njene tačke. Da bismo nacrtali svaku od ovih tačaka, dajemo proizvoljnu vrijednost jednoj od njenih koordinata, a zatim iz jednačine nalazimo odgovarajuću vrijednost druge koordinate.

Ako u opštoj jednadžbi prave, oba koeficijenta na trenutnim koordinatama nisu jednaka nuli, tada je za konstruisanje ove prave linije najbolje pronaći tačke njenog preseka sa koordinatnim osama.

Primjer 2. Konstruirajte pravu liniju.

Odluka. Pronađite tačku preseka ove prave sa x-osom. Da bismo to učinili, zajedno rješavamo njihove jednadžbe:

i dobijamo. Tako je pronađena tačka M (3; 0) presjeka ove prave sa osom apscise (sl. 40).

Tada zajednički rješavamo jednadžbu date prave i jednadžbu y-ose

nalazimo tačku preseka prave sa y-osom. Konačno, konstruišemo pravu iz njene dve tačke M i

1. Da biste pronašli koordinate presječne točke grafova funkcija, trebate izjednačiti obje funkcije jednu s drugom, premjestiti sve članove koji sadrže $ x $ na lijevu stranu, a ostatak na desnu stranu i pronaći korijene rezultirajućeg jednačina.
2. Drugi način je sastaviti sistem jednačina i riješiti ga zamjenom jedne funkcije drugom
3. Treća metoda uključuje grafičku konstrukciju funkcija i vizualnu definiciju točke presjeka.

Slučaj dvije linearne funkcije

Razmotrimo dvije linearne funkcije $ f(x) = k_1 x+m_1 $ i $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Ove funkcije se nazivaju direktne. Njihovo sastavljanje je dovoljno jednostavno, samo trebate uzeti bilo koje dvije vrijednosti $x_1$ i $x_2$ i pronaći $f(x_1)$ i $(x_2)$. Zatim ponovite isto sa funkcijom $ g(x) $. Zatim vizualno pronađite koordinate presječne točke grafova funkcija.

Trebali biste znati da linearne funkcije imaju samo jednu točku presjeka i to samo kada je $ k_1 \neq k_2 $. Inače, u slučaju $ k_1=k_2 $, funkcije su paralelne jedna s drugom, pošto je $ k $ faktor nagiba. Ako je $ k_1 \neq k_2 $, ali $ m_1=m_2 $, tada će tačka preseka biti $ M(0;m) $. Ovo pravilo je poželjno zapamtiti za ubrzano rješavanje problema.

Slučaj dvije nelinearne funkcije

U dvodimenzionalnom prostoru, dvije prave se seku samo u jednoj tački, datoj koordinatama (x, y). Pošto obe prave prolaze kroz tačku njihovog preseka, koordinate (x, y) moraju zadovoljiti obe jednačine koje opisuju ove prave. Uz neke napredne vještine, možete pronaći točke presjeka parabola i drugih kvadratnih krivulja.

Koraci

Tačka preseka dve prave

Zapišite jednačinu svake linije, izolujući varijablu "y" na lijevoj strani jednačine. Ostale članove jednačine treba staviti na desnu stranu jednačine. Možda će jednačina koja vam je data umjesto "y" sadržavati varijablu f (x) ili g (x); u ovom slučaju izolirati takvu varijablu. Da biste izolovali varijablu, izvršite odgovarajuće matematičke operacije na obje strane jednačine.

• Ako vam jednačine pravih nisu date, na osnovu vama poznatih informacija.
• Primjer. Date prave linije opisane jednadžbama i y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Da biste izolovali "y" u drugoj jednačini, dodajte broj 12 na obje strane jednačine:

1. Tražite presek obe prave, odnosno tačku čije (x, y) koordinate zadovoljavaju obe jednačine. Pošto je varijabla "y" na lijevoj strani svake jednačine, izrazi na desnoj strani svake jednačine se mogu izjednačiti. Zapišite novu jednačinu.

   • Primjer. As y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) i y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), tada možemo napisati sljedeću jednakost: .

2. Pronađite vrijednost varijable "x". Nova jednačina sadrži samo jednu varijablu "x". Da biste pronašli "x", izolirajte ovu varijablu na lijevoj strani jednačine radeći odgovarajuću matematiku na obje strane jednačine. Trebali biste završiti s jednačinom kao što je x = __ (ako to ne možete učiniti, pogledajte ovaj odjeljak).

   • Primjer. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Dodati 2x (\displaystyle 2x) na svaku stranu jednačine:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Oduzmi 3 sa svake strane jednačine:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Podijelite svaku stranu jednačine sa 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Koristite pronađenu vrijednost varijable "x" da izračunate vrijednost varijable "y". Da biste to učinili, zamijenite pronađenu vrijednost "x" u jednadžbi (bilo koju) pravu liniju.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) i y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Provjerite odgovor. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost "x" u drugu jednačinu prave i pronađite vrijednost "y". Ako dobijete različite "y" vrijednosti, provjerite da li su vaši proračuni tačni.

   • primjer: x = 3 (\displaystyle x=3) i y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dobili ste istu "y" vrijednost, tako da nema grešaka u vašim proračunima.

5. Zapišite koordinate (x, y). Izračunavanjem vrijednosti "x" i "y" pronašli ste koordinate tačke preseka dve prave. Zapišite koordinate točke presjeka u obliku (x, y).

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) i y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dakle, dvije prave se sijeku u tački s koordinatama (3,6).

6. Proračuni u posebnim slučajevima. U nekim slučajevima, vrijednost varijable "x" se ne može pronaći. Ali to ne znači da ste pogriješili. Poseban slučaj se javlja kada je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

   • Ako su dvije prave paralelne, one se ne sijeku. U ovom slučaju, varijabla "x" će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u besmislenu jednakost (na primjer, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). U tom slučaju u odgovoru zapišite da se prave ne seku ili da nema rješenja.
   • Ako obje jednačine opisuju jednu pravu liniju, tada će postojati beskonačan broj presječnih tačaka. U ovom slučaju, varijabla "x" će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u strogu jednakost (na primjer, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). U tom slučaju napišite u svom odgovoru da se te dvije linije poklapaju.

   Problemi s kvadratnim funkcijama

   1. Definicija kvadratne funkcije. U kvadratnoj funkciji, jedna ili više varijabli imaju drugi stepen (ali ne viši), na primjer, x 2 (\displaystyle x^(2)) ili y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafovi kvadratnih funkcija su krive koje se ne mogu sijeku ili sijeku u jednoj ili dvije tačke. U ovom odeljku ćemo vam reći kako pronaći tačku ili tačke preseka kvadratnih krivulja.

   2. Prepišite svaku jednačinu izolacijom varijable "y" na lijevoj strani jednačine. Ostale članove jednačine treba staviti na desnu stranu jednačine.

      • Primjer. Pronađite tačku(e) preseka grafova x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) i
      • Izolirajte varijablu "y" na lijevoj strani jednačine:
      • i y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • U ovom primjeru, data vam je jedna kvadratna funkcija i jedna linearna funkcija. Zapamtite da ako su vam date dvije kvadratne funkcije, izračuni su isti kao u nastavku.

   3. Izjednačite izraze na desnoj strani svake jednačine. Pošto je varijabla "y" na lijevoj strani svake jednačine, izrazi na desnoj strani svake jednačine se mogu izjednačiti.

      • Primjer. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) i y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Prenesite sve članove rezultirajuće jednačine na njenu lijevu stranu, a na desnu upišite 0. Da biste to učinili, izvršite osnovne matematičke operacije. Ovo će vam omogućiti da riješite rezultirajuću jednačinu.

      • Primjer. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Oduzmi "x" sa obe strane jednačine:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Oduzmi 7 sa obe strane jednačine:

   5. Riješite kvadratnu jednačinu. Prenošenjem svih članova jednačine na njenu lijevu stranu, dobijate kvadratnu jednačinu. Može se riješiti na tri načina: korištenjem posebne formule i.

      • Primjer. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Kada se jednačina rastavlja na faktore, dobijate dva binoma, koji, kada se pomnože, daju originalnu jednačinu. U našem primjeru, prvi član x 2 (\displaystyle x^(2)) može se razložiti na x*x. Unesite sljedeći unos: (x)(x) = 0
      • U našem primjeru, presjek -6 se može faktorisati na sljedeći način: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • U našem primjeru, drugi član je x (ili 1x). Dodajte svaki par faktora presjeka (-6 u našem primjeru) dok ne dobijete 1. U našem primjeru, tačan par faktora presjeka su -2 i 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), kao − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Popunite praznine pronađenim parom brojeva: .

   6. Ne zaboravite na drugu tačku preseka dva grafikona. Ako problem riješite brzo i ne baš pažljivo, možete zaboraviti na drugu točku raskrsnice. Evo kako pronaći "x" koordinate dvije točke ukrštanja:

      • Primjer (faktoring). Ako je u jednadžbi (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jedan od izraza u zagradama će biti jednak 0, tada će cijela jednačina biti jednaka 0. Dakle, možemo je napisati ovako: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) i x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to jest, pronašli ste dva korijena jednačine).
      • Primjer (koristite formulu ili cijeli kvadrat). Kada koristite jednu od ovih metoda, kvadratni korijen će se pojaviti u procesu rješenja. Na primjer, jednadžba iz našeg primjera će poprimiti oblik x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Zapamtite da kada uzmete kvadratni korijen, dobit ćete dva rješenja. u našem slučaju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), i 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Dakle, zapišite dvije jednačine i pronađite dvije x vrijednosti.

   7. Grafovi se sijeku u jednoj tački ili se uopće ne sijeku. Takve situacije nastaju kada su ispunjeni sljedeći uslovi:

      • Ako se grafovi sijeku u jednoj tački, tada se kvadratna jednačina razlaže na jednake faktore, na primjer, (x-1) (x-1) = 0, a kvadratni korijen od 0 pojavljuje se u formuli ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). U ovom slučaju, jednačina ima samo jedno rješenje.
      • Ako se grafovi uopće ne sijeku, onda se jednadžba ne čini faktorima, a kvadratni korijen negativnog broja pojavljuje se u formuli (na primjer, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). U tom slučaju napišite u odgovoru da nema rješenja.

Okomita linija

Ovaj zadatak je vjerovatno jedan od najpopularnijih i najtraženijih u školskim udžbenicima. Zadaci zasnovani na ovoj temi su višestruki. Ovo je definicija tačke preseka dve prave, ovo je definicija jednadžbe prave linije koja prolazi kroz tačku na originalnoj liniji pod nekim uglom.

Ovu temu ćemo pokriti koristeći u našim proračunima podatke dobijene korištenjem

Tu je razmatrana transformacija opšte jednačine prave, u jednačinu sa nagibom i obrnuto, i određivanje preostalih parametara prave linije prema datim uslovima.

Šta nam nedostaje da bismo riješili probleme kojima je ova stranica posvećena?

1. Formule za izračunavanje jednog od uglova između dve prave koje se seku.

Ako imamo dvije prave koje su date jednadžbama:

tada se jedan od uglova izračunava ovako:

2. Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku

Iz formule 1 možemo vidjeti dvije granične države

a) kada su tada i stoga ove dvije date prave paralelne (ili se poklapaju)

b) kada , Tada , I stoga su ove linije okomite, to jest, sijeku se pod pravim uglom.

Koji mogu biti početni podaci za rješavanje ovakvih problema, osim za datu pravu liniju?

Tačka na pravoj i ugao pod kojim je druga prava seče

Druga jednadžba linije

Koje zadatke bot može riješiti?

1. Date su dvije prave (eksplicitno ili implicitno, na primjer, sa dvije tačke). Izračunajte tačku preseka i uglove pod kojima se oni seku.

2. Date su jedna prava linija, tačka na pravoj liniji i jedan ugao. Odredite jednačinu prave koja seče datu liniju pod određenim uglom

Primjeri

Dvije prave su date jednadžbama. Nađite tačku preseka ovih pravih i uglove pod kojima se seku

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Dobijamo sljedeći rezultat

Jednadžba prvog reda

y = 2,2 x + (1,2)

Jednadžba drugog reda

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Ugao preseka dve prave (u stepenima)

-42.357454705937

Tačka preseka dve prave

x=-3,5

y=-6,5

Ne zaboravite da su parametri dva reda odvojeni zarezom, a parametri svakog reda tačkom i zarezom.

Prava prolazi kroz dvije tačke (1:-4) i (5:2). Naći jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku (-2:-8) i siječe prvobitnu liniju pod uglom od 30 stepeni.

Jedna prava nam je poznata, pošto su poznate dvije tačke kroz koje ona prolazi.

Ostaje odrediti jednadžbu druge ravne linije. Jedna tačka nam je poznata, a umjesto druge je naznačen ugao pod kojim prva prava seče drugu.

Čini se da je sve poznato, ali ovdje je najvažnije ne pogriješiti. Ne govorimo o uglu (30 stepeni) između x-ose i prave, već između prve i druge linije.

Za ovo objavljujemo ovako. Odredimo parametre prve linije i saznamo pod kojim uglom seče x-osu.

prava xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Opšta jednadžba Ax+By+C = 0

Koeficijent A = -6

Faktor B = 4

Koeficijent C = 22

Koeficijent a= 3,6666666666667

Koeficijent b = -5,5

Koeficijent k = 1,5

Ugao nagiba prema osi (u stepenima) f = 56,309932474019

Koeficijent p = 3,0508510792386

Koeficijent q = 2,5535900500422

Udaljenost između tačaka=7,211102550928

Vidimo da prva linija siječe osu pod uglom 56,309932474019 stepeni.

Izvorni podaci ne govore tačno kako druga linija seče prvu. Na kraju krajeva, moguće je nacrtati dvije linije koje zadovoljavaju uvjete, prva je rotirana za 30 stupnjeva u smjeru kazaljke na satu, a druga za 30 stupnjeva suprotno od kazaljke na satu.

Hajde da ih prebrojimo

Ako je druga linija rotirana za 30 stepeni U suprotnom smeru od kazaljke na satu, onda će druga linija imati stepen preseka sa x-osom 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 stepeni

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Parametri prave linije prema zadatim parametrima

Opšta jednadžba Ax+By+C = 0

Koeficijent A = 23,011106998916

Faktor B = -1,4840558255286

Koeficijent C = 34,149767393603

Jednačina prave linije u segmentima x/a+y/b = 1

Koeficijent a= -1,4840558255286

Koeficijent b = 23,011106998916

Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom y = kx + b

Koeficijent k = 15,505553499458

Ugao nagiba prema osi (u stepenima) f = 86,309932474019

Normalna jednačina prave x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Koeficijent p = -1,4809790664999

Koeficijent q = 3,0771888256405

Udaljenost između tačaka=23,058912962428

Udaljenost od tačke do prave li =

to jest, naša druga jednačina je y= 15.505553499458x+ 23.011106998916