Stepen mjera ugla. Radijanska mjera ugla. Pretvorite stepene u radijane i obrnuto

29.09.2019

U ovom članku ćemo uspostaviti odnos između osnovnih jedinica za mjerenje uglova - stepeni i radijana. Ova veza će nam na kraju omogućiti da izvršimo pretvaranje stupnjeva u radijane i obrnuto. Kako ovi procesi ne bi izazivali poteškoće, dobit ćemo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane i formulu za pretvaranje iz radijana u stupnjeve, nakon čega ćemo detaljno analizirati rješenja primjera.

Navigacija po stranici.

Odnos između stupnjeva i radijana

Veza između stepeni i radijana će se uspostaviti ako su poznati i stepen i radijanska mera ugla (stepen i radijanska mera ugla mogu se naći u odeljku).

Uzmimo centralni ugao, na osnovu prečnika kruga poluprečnika r . Možemo izračunati mjeru ovog ugla u radijanima: za to trebamo podijeliti dužinu luka s dužinom polumjera kruga. Ovaj ugao odgovara dužini luka, pola obim, tj. . Podijelivši ovu dužinu dužinom poluprečnika r, dobijamo radijansku mjeru ugla koji smo uzeli. Dakle, naš ugao je rad. S druge strane, ovaj ugao je proširen, jednak je 180 stepeni. Dakle, pi radijani je 180 stepeni.

Dakle, izražava se formulom π radijana = 180 stepeni, tj. .

Formule za pretvaranje stupnjeva u radijane i radijane u stupnjeve

Iz jednakosti oblika , koju smo dobili u prethodnom pasusu, lako je izvesti formule za pretvaranje radijana u stepeni i stepeni u radijane.

Podijelivši obje strane jednačine sa pi, dobijamo formulu koja izražava jedan radijan u stepenima: . Ova formula znači da je stepen stepena ugla od jednog radijana 180/π. Ako zamijenimo lijevi i desni dio jednakosti, zatim oba dijela podijelimo sa 180, onda ćemo dobiti formulu oblika . Izražava jedan stepen u radijanima.

Da bismo zadovoljili našu radoznalost, izračunavamo približnu vrijednost ugla od jednog radijana u stepenima i vrijednost ugla od jednog stepena u radijanima. Da biste to učinili, uzmite vrijednost broja pi točnu na deset tisućinki, zamijenite ga u formule i , i izvršite proračune. Imamo i . Dakle, jedan radijan je otprilike 57 stepeni, a jedan stepen je 0,0175 radijana.

Konačno, iz dobijenih relacija i pređimo na formule za pretvaranje radijana u stupnjeve i obrnuto, a također razmotrimo primjere primjene ovih formula.

Formula za pretvaranje radijana u stupnjeve izgleda kao: . Dakle, ako je vrijednost ugla u radijanima poznata, onda množenjem sa 180 i dijeljenjem sa pi, dobivamo vrijednost ovog ugla u stepenima.

Primjer.

Zadan ugao od 3,2 radijana. Koja je mjera ovog ugla u stepenima?

Odluka.

Koristimo formulu za pretvaranje iz radijana u stepene, imamo

odgovor:

Formula za pretvaranje stupnjeva u radijane ima oblik . Odnosno, ako je poznata vrijednost ugla u stepenima, onda množenjem sa pi i dijeljenjem sa 180 dobijamo vrijednost ovog ugla u radijanima. Razmotrimo primjer rješenja.

Uglovi se mjere u stepenima ili radijanima. Važno je razumjeti odnos između ovih mjernih jedinica. Razumijevanje ovog odnosa omogućava vam da radite s uglovima i napravite prijelaz iz stupnjeva u radijane i obrnuto. U ovom članku izvodimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane i radijane u stupnjeve, kao i analiziramo nekoliko primjera iz prakse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Odnos između stupnjeva i radijana

Da biste uspostavili odnos između stepeni i radijana, morate znati stepen i radijansku mjeru ugla. Na primjer, uzmimo centralni ugao koji se oslanja na prečnik kruga poluprečnika r. Da biste izračunali radijansku mjeru ovog ugla, trebate podijeliti dužinu luka s dužinom polumjera kruga. Razmatrani ugao odgovara dužini luka jednakoj polovini dužine kružnice π · r. Podijelite dužinu luka poluprečnikom i dobijete radijansku mjeru ugla: π · r r = π rad.

Dakle, ugao u pitanju je π radijana. S druge strane, to je pravi ugao jednak 180°. Dakle, 180° = π rad.

Odnos stupnjeva prema radijanima

Odnos između radijana i stupnjeva izražava se formulom

π radijana = 180°

Formule za pretvaranje radijana u stupnjeve i obrnuto

Iz gore dobivene formule mogu se izvesti druge formule za pretvaranje uglova iz radijana u stupnjeve i iz stupnjeva u radijane.

Izrazite jedan radijan u stepenima. Da bismo to učinili, podijelimo lijevi i desni dio polumjera sa pi.

1 rad \u003d 180 π ° - mjera stepena ugla u 1 radijanu je 180 π.

Takođe možete izraziti jedan stepen u radijanima.

1 ° = π 180 r a d

Možete napraviti približne proračune vrijednosti uglova u radijanima i obrnuto. Da bismo to učinili, uzimamo vrijednosti broja π do deset tisućinki i zamjenjujemo ih u rezultirajuće formule.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Dakle, u jednom radijanu ima oko 57 stepeni.

1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Jedan stepen sadrži 0,0175 radijana.

Formula za pretvaranje radijana u stupnjeve

x ra d = x 180 π °

Da biste pretvorili ugao iz radijana u stepene, pomnožite ugao u radijanima sa 180 i podijelite sa pi.

Primjeri pretvaranja stupnjeva u radijane i radijane u stupnjeve

Razmotrimo primjer.

Primjer 1: Pretvaranje iz radijana u stupnjeve

Neka je α = 3 , 2 rad. Morate znati stepen mjere ovog ugla.

Pogledajmo sliku. Vektor \(AB \) se "okrenuo" u odnosu na tačku \(A \) za određeni iznos. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početni položaj će biti ugao \(\alfa \).

Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, jedinice ugla, naravno!

Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.

Ugao u \(1()^\circ \) (jedan stepen) je centralni ugao u krugu zasnovan na kružnom luku koji je jednak \(\dfrac(1)(360) \) dijelu kružnice.

Dakle, cijeli krug je sastavljen od \(360 \) "komada" kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom \(360()^\circ \) .

To jest, gornja slika prikazuje ugao \(\beta \) jednak \(50()^\circ \) , to jest, ovaj ugao je zasnovan na kružnom luku veličine \(\dfrac(50)(360 ) \) obima.

Ugao u \(1 \) radijanima je centralni ugao u krugu, zasnovan na kružnom luku, čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice.

Dakle, slika prikazuje ugao \(\gamma \) jednak \(1 \) radijanu, odnosno ovaj ugao se zasniva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina \ (AB \) je jednako dužini \(BB" \) ili je poluprečnik \(r \) jednak dužini luka \(l \) ) Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:

\(l=\theta \cdot r \) , gdje je \(\theta \) centralni ugao u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao opisan krugom? Da, za to morate zapamtiti formulu za obim kruga. evo nje:

\(L=2\pi \cdot r\)

Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i dobijemo da je ugao opisan krugom \(2\pi \) . To jest, korelirajući vrijednost u stepenima i radijanima, dobijamo da je \(2\pi =360()^\circ \) . Prema tome, \(\pi =180()^\circ \) . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.

Trigonometrijske funkcije su elementarne funkcije čiji je argument injekcija. Via trigonometrijske funkcije opisuje odnos između stranaka i oštri uglovi u pravouglu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija su izuzetno raznolika. Tako se, na primjer, svaki periodični proces može predstaviti kao zbir trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Ove funkcije se često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.

Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangenta, kotangens, secant i kosekans. Za svaku od ovih funkcija postoji inverzna trigonometrijska funkcija.

Geometrijska definicija trigonometrijskih funkcija se zgodno uvodi pomoću jedinični krug. Na slici ispod prikazan je krug poluprečnika r= 1. Na kružnici je označena tačka M(x,y). Ugao između radijus vektora OM i pozitivan smjer ose Ox jednaki α .

sinus ugao α y bodova M(x,y) do radijusa r: sin α = y/r. Ukoliko r= 1, tada je sinus jednak ordinati tačke M(x,y).

kosinus ugao α x bodova M(x,y) do radijusa r: cos α = x/r = x

tangenta ugao α naziva se omjer ordinate y bodova M(x,y) do njegove apscise x:tan α = y/x, x ≠ 0

Kotangens ugao α naziva se odnos apscise x bodova M(x,y) na svoju ordinatu y: kat α = x/y, y ≠ 0

Secant ugao α je omjer radijusa r do apscise x bodova M(x,y):sec α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekans ugao α je omjer radijusa r na ordinatu y bodova M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

U jednom projekcijskom krugu x, y bodova M(x,y) i radijus r formiraju pravougaoni trougao u kojem x, y su noge i r− hipotenuza. Stoga su gornje definicije trigonometrijskih funkcija primijenjene na pravokutni trokut formulirane na sljedeći način: sinus ugao α je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. kosinus ugao α je omjer susjednog kraka i hipotenuze. tangenta ugao α zove suprotnu nogu susednoj. Kotangens ugao α nazivaju susjednu nogu suprotnoj.