Iz suprotnog vrha) i podijelite rezultirajući proizvod sa dva. U formi to izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

gdje:
S je površina trougla,
a je dužina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Dužina i visina strane moraju biti prikazane u istim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se pokazati u odgovarajućim jedinicama "".

Primjer.
Na jednoj od stranica razmjernog trokuta dužine 20 cm, spuštena je okomica iz suprotnog vrha dužine 10 cm.
Površina trokuta je potrebna.
Odluka.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako znate dužine bilo koje dvije strane skalenskog trokuta i ugao između njih, onda koristite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b dužine dvije proizvoljne strane, a γ ugao između njih.

U praksi, na primjer, prilikom mjerenja zemljišne parcele, upotreba gornjih formula je ponekad teška, jer zahtijeva dodatne konstrukcije i mjerenje uglova.

Ako znate dužine sve tri strane skalenskog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c su dužine stranica trokuta,
r – poluperimetar: p = (a+b+c)/2.

Ako je, pored dužina svih strana, poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, onda koristite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r poluprečnik upisane kružnice (p je poluperimetar).

Da biste izračunali površinu skalenskog trokuta opisanog kruga i dužinu njegovih stranica, koristite formulu:

gdje je: R polumjer opisane kružnice.

Ako je poznata dužina jedne od stranica trokuta i tri ugla (u principu su dovoljna dva - vrijednost treće se izračunava iz jednakosti zbira tri ugla trokuta - 180º), tada koristite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost ugla nasuprot strani a;
β, γ su vrijednosti preostala dva ugla trokuta.

Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trougao, pojavio se mnogo vekova pre naše ere među astronomima Ancient Greece. Square trougao može se izračunati Različiti putevi koristeći različite formule. Metoda proračuna zavisi od toga koji elementi trougao poznato.

Uputstvo

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica b, c i ugla koji oni formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica a, b i ugla koji oni ne formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje ugla?, grijeh? = bsin? / a, dalje u tabeli određujemo sam ugao.
Pronalaženje ugla? = 180°-?-?.
Pronađite samu površinu S = (apsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti samo tri strane trougao a, b i c, zatim površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , gdje je p poluperimetar p = (a+b+c)/2

Ako iz uslova zadatka znamo visinu trougao h i stranu na koju se ta visina spušta, zatim površinu trougao ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo vrijednosti strana trougao a, b, c i poluprečnik opisanog u blizini datog trougao R, zatim područje ovoga trougao ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri strane a, b, c i poluprečnik upisanog, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluperimetar, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostranična, tada se površina nalazi po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokraki, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje je c trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni trokut, tada se površina određuje po formuli:
S = ab/2, gdje su a i b noge trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokraki trokut, tada se površina određuje po formuli:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trougao, a=b - noga.

Povezani video zapisi

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trougla

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako znate ugao

Poznavanje samo jednog parametra (vrijednosti ugla) nije dovoljno za pronalaženje površine tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje površine možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost ugla također koristi kao jedna od poznatih varijabli. Nekoliko najčešće korištenih formula su navedene u nastavku.

Uputstvo

Ako, pored ugla (γ) koji formiraju dvije strane tre kvadrat , tada su poznate i dužine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure se mogu definisati kao polovina proizvoda dužina stranica i sinusa ovog poznatog ugla: S=½×A×B×sin(γ).

Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su pogodni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, uglove ili dimenzije. Formule su predstavljene u obliku slike, ovdje su objašnjenja za primjenu ili opravdanje njihove ispravnosti. Takođe, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (jednakokraki, pravougaoni, jednakostranični), možete koristiti formule u nastavku, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute sa ovim svojstvima:

• "Formule za površinu jednakostraničnog trougla"

Formule površine trougla

Objašnjenja za formule:
a, b, c- dužine stranica trougla čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- poluprečnik opisane kružnice oko trougla
h- visina trougla, spuštena na stranu
str- poluperimetar trokuta, 1/2 zbira njegovih strana (perimetar)
α - ugao suprotnoj strani a trougla
β - ugao suprotnoj strani b trougla
γ - ugao suprotnoj strani c trougla
h a, h b , h c- visina trougla, spuštena na stranu a, b, c

Imajte na umu da gornja oznaka odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog geometrijskog problema bilo lakše vizualno zamijeniti u prava mjesta formule ispravne vrijednosti.

• Površina trougla je polovina proizvoda visine trokuta i dužine stranice na koju se ta visina spušta(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logički. Visina spuštena na bazu podijelit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika dimenzija b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovini površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trougla je polovina proizvoda njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Ako s ugla B spustimo visinu na stranicu b, ispada da je proizvod stranice a i sinusa ugla γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog pomoću nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trougla kroz rad polovina poluprečnika kružnice upisane u nju zbirom dužina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polovicu perimetra trokuta polumjerom upisane kružnice (na ovaj način je lakše zapamtiti)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći dijeljenjem proizvoda svih njegovih strana sa 4 poluprečnika kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu dužina njegovih stranica i njegovog poluperimetra (pola zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz dužine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa uglova koji su susjedni ovoj strani podijeljenog dvostrukim sinusom ugla suprotnog od ove stranice (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se naći kao proizvod dva kvadrata kružnice koja je opisana oko njega i sinusa svakog od njegovih uglova. (Formula 8)
• Ako su poznate dužina jedne stranice i veličina dvaju ugla koja su joj susjedna, tada se površina trokuta može naći kao kvadrat ove stranice, podijeljen dvostrukim zbrojem kotangensa ovih uglovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo dužina svake od visina trokuta (formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna dužinama ovih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućava da izračunate površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su date kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se rezultirajuća vrijednost mora uzeti po modulu, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličnog kojem ovdje nema - pišite o tome na forumu. U rješenjima umjesto simbola " Kvadratni korijen" može se koristiti funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Pronađite površinu za koju su date dvije stranice i ugao između njih

Stranice trougla su 5 i 6 cm, a ugao između njih je 60 stepeni. Pronađite površinu trougla.

Odluka.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se naći kroz dužine dvije stranice i sinus ugla između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Pošto imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), možemo samo zamijeniti vrijednosti iz iskaza problema u formulu:
S=1/2*5*6*sin60

U tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije pronaći i zamijeniti u izraz vrijednost sinusa 60 stepeni. To će biti jednako korijenu od tri po dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (u zavisnosti od zahteva nastavnika, verovatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Nađite površinu jednakostraničnog trougla

Nađite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Odluka.

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta imat će oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine prilikom promjene dužine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetvorostruče?

Odluka.

Pošto su nam dimenzije stranica trougla nepoznate, da bismo riješili problem pretpostavit ćemo da su dužine stranica respektivno jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trouglova će nam dati odgovor na problem.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je predstavljeno u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teorijskom dijelu lekcije). izgleda ovako:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi red slike ispod)

Dužine stranica proizvoljnog trougla date su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju za 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada iz sva četiri izraza prema opšta pravila matematike.
Onda

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - na trećem redu slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 kvadratni korijen je savršeno izvučen, pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte peti red slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, dovoljno je da podijelimo površinu rezultirajućeg trokuta površinom prvobitnog.
Određujemo omjere površina tako što podijelimo izraze jedan na drugi i smanjimo rezultujući razlomak.

Uputstvo

Zabave a uglovi se smatraju osnovnim elementima a. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od njegovih sljedećih osnovnih elemenata: ili tri strane, ili jedna stranica i dva ugla, ili dvije stranice i ugao između njih. Za postojanje trougao definisan sa tri strane a, b, c, potrebno je i dovoljno da nejednakosti, koje se nazivaju nejednakosti trougao:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Za gradnju trougao na tri strane a, b, c, potrebno je iz tačke C segmenta CB=a šestarom nacrtati krug poluprečnika b. Zatim, na sličan način, nacrtajte kružnicu iz tačke B sa poluprečnikom jednakim strani c. Njihova tačka preseka A je treći vrh željenog trougao ABC, gdje je AB=c, CB=a, CA=b - strane trougao. Problem ima , Ako strane a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trougao navedeno u koraku 1.

Ovako konstruisana površina S trougao ABC sa poznate stranke a, b, c, izračunava se Heronovom formulom:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c stranice trougao, p je poluperimetar.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, to jest, sve su mu stranice jednake (a=b=c). trougao izračunato po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravougao, odnosno jedan od njegovih uglova je 90°, a stranice koje ga tvore su kraci, treća stranica je hipotenuza. U ovom slučaju kvadrat jednak je proizvodu nogu podijeljen sa dva.
S=ab/2

Naći kvadrat trougao, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebaće ti

• poznavanje formula za pronalaženje površine trokuta

Uputstvo

Ako znate vrijednost jedne od strana i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz suprotnog ugla, tada možete pronaći površinu koristeći sljedeće: S = a*h/2, gdje je S površina ​​trougao, a je jedna od stranica trougla, a h - visina, na stranu a.

Poznat je način da se odredi površina trokuta ako su poznate tri njegove stranice. Ona je Heronova formula. Da bi se pojednostavilo njegovo snimanje, uvodi se srednja vrijednost - poluperimetar: p \u003d (a + b + c) / 2, gdje je a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ eksponencijacija.

Pretpostavimo da znate jednu od stranica trougla i tri ugla. Tada je lako pronaći površinu trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β ugao suprotne strane a, a α i γ su uglovi susjedni strani.

Povezani video zapisi

Bilješka

Najopštija formula koja je prikladna za sve slučajeve je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta s tri strane

Pronalaženje površine trokuta jedan je od najčešćih zadataka školske planimetrije. Poznavanje tri strane trokuta dovoljno je da se odredi površina bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima i jednakostraničnim trouglovima dovoljno je znati dužine dvije, odnosno jedne stranice.

Trebaće ti

• dužine stranica trouglova, Heronova formula, kosinusni teorem

Uputstvo

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako obojite poluperimetar p, dobijate: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Također možete izvesti formulu za površinu trokuta iz razmatranja, na primjer, primjenom teoreme kosinusa.

Po zakonu kosinusa, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedenu notaciju, oni također mogu biti u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dakle, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta se također nalazi po formuli S = a*c*sin(ABC)/2 kroz dvije stranice i ugao između njih. Sinus ugla ABC se može izraziti preko njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Zamjenom sinusa u formulu za površinu i slikanjem možemo doći do formule za površinu trokuta ABC.

Povezani video zapisi

Za radovi na popravci možda treba izmjeriti kvadrat zidovi. Lakše je izračunati potrebnu količinu boje ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti metar ili centimetarsku traku. Merenja treba izvršiti nakon toga zidovi su usklađeni.

Trebaće ti

• -rulet;
• -merdevine.

Uputstvo

Brojati kvadrat zidove, morate znati tacna visina plafona, kao i za mjerenje dužine duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar, položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu dužinu, pa ga pričvrstite u kut, a zatim ga odmotajte do maksimalne dužine. U ovom trenutku označite olovkom, zapišite rezultat i izvršite dalje mjerenje na isti način, počevši od posljednja tačka mjerenje.

Standardni stropovi u tipičnom - 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih godina, najvjerovatnije je stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulišete kvadrat za popravke, onda mala marža neće škoditi - razmotrite na osnovu standarda. Ako još trebate znati pravu visinu - izmjerite. Princip je sličan mjerenju dužine, ali će vam trebati ljestve.

Pomnožite rezultirajuće brojke - to je kvadrat vaše zidovi. Istina, za farbanje ili za radove potrebno je oduzeti kvadrat otvori za vrata i prozore. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako a mi pričamo o vratima koja ćete naknadno promijeniti, a zatim obavite sa uklonjenim okvirom vrata, uzimajući samo u obzir kvadrat samog otvaranja. Površina prozora se izračunava duž perimetra njegovog okvira. Poslije kvadrat Izračunati prozore i vrata, oduzmite rezultat od ukupne površine dobijene prostorije.

Imajte na umu da se mjerenja dužine i širine prostorije provode zajedno, lakše je popraviti centimetar ili traku i, shodno tome, dobiti točniji rezultat. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete tačni.

Povezani video zapisi

Pronalaženje zapremine trougla je zaista netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži u potpunosti u jednoj ravni, što znači da jednostavno nema volumen. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali nemojmo odustati! Možemo napraviti sljedeću pretpostavku - volumen dvodimenzionalne figure, ovo je njena površina. Tražimo površinu trougla.

Trebaće ti

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

Uputstvo

Nacrtajte na listu papira ravnalom i olovkom. Pažljivim ispitivanjem trougla možete se uvjeriti da ga zaista nema, jer je nacrtan na ravni. Označite stranice trougla: neka jedna strana bude strana "a", druga strana "b", a treća strana "c". Označite vrhove trougla slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga vratite okomicu na izmjerenu stranu iz suprotnog vrha, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomita "h" se vraća na stranu "c" iz vrha "A". Izmjerite rezultujuću visinu ravnalom i zabilježite rezultat mjerenja.

Može se dogoditi da vam bude teško vratiti tačnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve strane trougla pomoću ravnala. Nakon toga izračunajte polovinu perimetra trokuta "p" tako što ćete sabrati rezultirajuće dužine stranica i podijeliti njihov zbir na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, morate uzeti kvadratni korijen sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste željenu površinu trokuta. Problem nalaženja zapremine trougla nije rešen, ali kao što je već pomenuto, zapremina nije . Možete pronaći volumen koji je u suštini trougao u 3D svijetu. Ako zamislimo da je naš izvorni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti proizvod dužine njene osnove i površine trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Izračuni će biti precizniji što pažljivije budete vršili mjerenja.

Izvori:

• Kalkulator sve-svima - Referentni portal
• volumen trougla u 2019

Tri tačke koje jedinstveno definišu trougao u Dekartovom koordinatnom sistemu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osa, možete izračunati bilo koje parametre ove ravne figure, uključujući i onaj ograničen njegovim perimetrom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

Uputstvo

Koristite Heronovu formulu za izračunavanje površine trougao. Uključuje dimenzije tri strane figure, pa počnite proračune sa. Dužina svake strane mora biti jednaka korijenu zbira kvadrata dužina njenih projekcija na koordinatne ose. Ako označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y₃,Z₃), dužine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Da biste pojednostavili proračune, unesite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Od toga je ovo polovina zbira dužina svih strana: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-)) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Kao što se možda sjećate iz školskog programa iz geometrije, trokut je figura formirana od tri segmenta povezana sa tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Trougao formira tri ugla, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trougao se može nazvati i poligonom sa tri ugla, odgovor će biti jednako tačan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini uglova na slikama. Dakle, razlikuju takve trokute kao što su jednakokračni, jednakostrani i razmjerni, kao i pravokutni, oštrokutni i tupokutni.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke oznake koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. pa zapamti:

S je površina trougla,

a, b, c su stranice trougla,

h je visina trokuta,

R je poluprečnik opisane kružnice,

p je poluperimetar.

Ovdje su osnovne oznake koje mogu biti korisne ako ste potpuno zaboravili kurs geometrije. Najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznate i tajanstvene površine trokuta bit će navedene u nastavku. Nije teško i dobro će vam doći i za potrebe vašeg domaćinstva i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako izračunati površinu trokuta lako kao ljuštenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 sq. cm. Zapamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravougli trokut i njegova površina.

Pravougli trougao je trougao čiji je jedan ugao jednak 90 stepeni (zbog toga se naziva pravougli trougao). Pravi ugao čine dvije okomite prave (u slučaju trougla, dva okomita segmenta). U pravouglom trouglu može postojati samo jedan pravi ugao, jer zbir svih uglova bilo kojeg trougla je 180 stepeni. Ispada da bi 2 druga ugla trebala podijeliti preostalih 90 stupnjeva između sebe, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje da saznate kako pronaći područje pravougaonog trougla. Zamislite da pred sobom imamo takav pravougaoni trougao, a trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U principu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo će ovaj pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre uglove.

2. Za druge metode izračunavanja, morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangenta. Procijenite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trougla koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo da koristimo prvu formulu i sa malim mrljama (crtali smo u svesku i koristili stari vladar i kutomjer), ali smo dobili pravi proračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokraki trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokračnog trokuta, tada je najlakši način da koristite glavnu i, kako se smatra klasičnom formulom za površinu trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznat ćemo o kakvoj se figuri radi. Jednakokraki trougao je trougao čije su dve stranice iste dužine. Ove dvije strane se zovu stranice, a treća strana se zove baza. Ne brkajte jednakokraki trougao sa jednakostraničnim, tj. jednakostranični trougao sa sve tri strane jednake. U takvom trokutu nema posebnih sklonosti uglovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, uglovi u osnovi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od ugla između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate:

Trokut je takva geometrijska figura koja se sastoji od tri prave linije koje se spajaju u tačkama koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Tačke veze linija su vrhovi trougla, koji su označeni sa latiničnim slovima(na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trougla nazivaju se segmenti, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Postoje sljedeće vrste trouglova:

• Pravougaona.
• tupo.
• Acute-angled.
• Svestran.
• Equilateral.
• Jednakokraki.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula površine trokuta za dužinu i visinu

S=a*h/2,
gdje je a dužina stranice trougla čija se površina nalazi, h je dužina visine povučene do osnove.

Heronova formula

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluperimetar trougla, a,b,c je dužina svake strane trougla. Poluperimetar trougla može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta u smislu ugla i dužine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
gdje b,c je dužina stranica trokuta, sin (α) je sinus ugla između dvije stranice.

Formula za površinu trokuta daje polumjer upisane kružnice i tri strane

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trougla čija se površina nalazi, r je poluprečnik kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom kružnice opisane oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje je a,b,c dužina svake strane trougla, R je polumjer opisane kružnice oko trougla.

Formula za površinu trokuta u kartezijanskim koordinatama tačaka

Kartezijanske koordinate tačaka su koordinate u sistemu xOy, gdje je x apscisa, a y ordinata. Dekartov koordinatni sistem xOy na ravni naziva se međusobno okomite numeričke ose Ox i Oy sa zajedničkom referentnom tačkom u tački O. Ako su koordinate tačaka na ovoj ravni date u obliku A (x1, y1), B (x2 , y2) i C (x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobija iz unakrsnog proizvoda dva vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta

Pravougli trougao je trougao koji ima jedan ugao od 90 stepeni. Trougao može imati samo jedan takav ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije noge

S=a*b/2,
gdje je a,b dužina nogu. Noge se nazivaju strane koje se nalaze uz pravi ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta s obzirom na hipotenuzu i oštar ugao

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trougla, a sin(α) je sinus ugla pod kojim se prave a, b seku.

Formula za površinu pravokutnog trokuta po kraku i suprotnom kutu

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b katete trougla, tg(β) je tangenta ugla pod kojim su katete a, b spojene.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla

Jednakokraki trougao je onaj koji ima dvije jednake stranice. Ove strane se zovu stranice, a druga strana je baza. Možete koristiti jednu od sljedećih formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnova trougla, h visina trougla spuštenog na osnovu.

Formula jednakokračnog trougla na bočnoj strani i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnova trougla, a vrijednost jedne od stranica jednakokračnog trougla.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve strane jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a dužina stranice jednakostraničnog trougla.

Gore navedene formule će vam omogućiti da izračunate potrebnu površinu trokuta. Važno je zapamtiti da se za izračunavanje razmaka trokuta mora uzeti u obzir vrsta trokuta i dostupni podaci koji se mogu koristiti za proračun.