Prije proučavanja pitanja o ovoj geometrijskoj figuri i njenim svojstvima, potrebno je razumjeti neke pojmove. Kada osoba čuje za piramidu, zamišlja ogromne zgrade u Egiptu. Ovako izgledaju najjednostavniji. Ali dešavaju se različite vrste i oblike, što znači da će formula za proračun za geometrijske oblike biti drugačija.

Piramida - geometrijska figura, koji označava i predstavlja više lica. U stvari, ovo je isti poliedar, u čijoj osnovi leži poligon, a na stranama trokuta koji se spajaju u jednoj tački - vrhu. Figura je dva glavna tipa:

• ispravan;
• skraćeno.

U prvom slučaju, baza je pravilan poligon. Ovdje su sve bočne površine jednake između sebe i same figure zadovoljit će oko perfekcioniste.

U drugom slučaju, postoje dvije baze - velika na samom dnu i mala između vrha, ponavljajući oblik glavne. Drugim riječima, skraćena piramida je poliedar čiji je presjek formiran paralelno s bazom.

Uslovi i oznake

Osnovni pojmovi:

• Pravilan (jednakostranični) trougao Figura sa tri identična ugla i jednakim stranicama. U ovom slučaju svi uglovi su 60 stepeni. Figura je najjednostavniji od pravilnih poliedara. Ako ova figura leži u osnovi, onda će se takav poliedar zvati pravilnim trokutastim. Ako je osnova kvadrat, piramida će se zvati pravilna četvorougaona piramida.
• Vertex- najviša tačka na kojoj se ivice spajaju. Visinu vrha formira prava linija koja izlazi od vrha do osnove piramide.
• rub je jedna od ravni poligona. Može biti u obliku trokuta u slučaju trokutaste piramide ili u obliku trapeza za krnje piramide.
• presjek- ravna figura nastala kao rezultat seciranja. Ne treba se brkati sa odeljkom, jer deo takođe pokazuje šta se nalazi iza sekcije.
• Apothem- segment povučen od vrha piramide do njene osnove. To je također visina lica gdje je druga tačka visine. Ova definicija vrijedi samo za pravilan poliedar. Na primjer - ako nije skraćena piramida, tada će lice biti trokut. U ovom slučaju, visina ovog trokuta će postati apotema.

Formule površine

Pronađite površinu bočne površine piramide bilo koji tip se može izvesti na nekoliko načina. Ako figura nije simetrična i predstavlja poligon s različitim stranama, tada je u ovom slučaju lakše izračunati ukupne površine površine kroz skup svih površina. Drugim riječima, potrebno je izračunati površinu svakog lica i sabrati ih.

Ovisno o tome koji su parametri poznati, mogu biti potrebne formule za izračunavanje kvadrata, trapeza, proizvoljnog četverougla itd. Same formule različitim prilikama takođe će biti drugačiji.

U slučaju pravilne figure, pronalaženje područja je mnogo lakše. Dovoljno je znati samo nekoliko ključnih parametara. U većini slučajeva, proračuni su potrebni upravo za takve brojke. Stoga će odgovarajuće formule biti navedene u nastavku. U suprotnom, morali biste sve slikati na nekoliko stranica, što će samo zbuniti i zbuniti.

Osnovna formula za proračun bočna površina ispravna piramidaće izgledati ovako:

S \u003d ½ Pa (P je perimetar baze i apotema)

Razmotrimo jedan od primjera. Poliedar ima osnovu sa segmentima A1, A2, A3, A4, A5 i svi su jednaki 10 cm. Neka je apotema jednaka 5 cm. Prvo treba pronaći obim. Budući da je svih pet lica baze ista, može se pronaći na sljedeći način: P = 5 * 10 = 50 cm. Zatim primjenjujemo osnovnu formulu: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm na kvadrat .

Ispravna bočna površina trouglasta piramida najlakše izračunati. Formula izgleda ovako:

S =½* ab *3, gdje je a apotema, b je faseta baze. Faktor tri ovdje znači broj lica baze, a prvi dio je površina bočne površine. Razmotrimo primjer. Dat je lik sa apotemom od 5 cm i osnovnom pločom od 8 cm. Računamo: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na kvadrat.

Bočna površina krnje piramide malo je teže izračunati. Formula izgleda ovako: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, gdje su p_01 i p_02 perimetri baza i apotema. Razmotrimo primjer. Pretpostavimo da su za četverokutnu figuru dimenzije stranica baza 3 i 6 cm, apotema je 4 cm.

Ovdje, za početak, trebali biste pronaći perimetre baza: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Ostaje da zamenimo vrednosti u glavnu formulu i dobijemo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na kvadrat.

Dakle, moguće je pronaći bočnu površinu pravilne piramide bilo koje složenosti. Pazite da ne zbunite ove kalkulacije sa ukupne površine ceo poliedar. A ako to i dalje trebate učiniti, dovoljno je izračunati površinu najveće baze poliedra i dodati je površini bočne površine poliedra.

Video

Za konsolidaciju informacija o tome kako pronaći površinu bočne površine različitih piramida, ovaj će vam videozapis pomoći.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Površina piramide. U ovom članku ćemo s vama razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je osnova pravilan poligon, vrh piramide je projektovan u centar ovog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokraki trokut.Visina ovog trougla, povučena iz vrha pravilne piramide, naziva se apotema, SF je apotema:

U tipu problema koji je prikazan u nastavku, potrebno je pronaći površinu cijele piramide ili površinu njene bočne površine. Blog je već razmatrao nekoliko problema sa pravilnim piramidama, gde se postavljalo pitanje o pronalaženju elemenata (visina, osnovna ivica, bočna ivica), .

AT USE zadatke, u pravilu se razmatraju pravilne trouglaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio probleme sa pravilnim petougaonim i sedmougaonim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - morate pronaći zbir površine osnove piramide i površine njene bočne površine:

Razmotrite zadatke:

Stranice baze su ispravne četvorougaona piramida su 72, bočne ivice su 164. Pronađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočna površina se sastoji od četiri trougla jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Površina stranice piramide može se izračunati pomoću:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice baze su ispravne heksagonalna piramida su 22, bočne ivice su 61. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Osnova pravilne šestougaone piramide je pravilan šestougao.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest površina jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Nađite površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:

Dakle, površina bočne površine je:

Odgovor: 3240

*U gore predstavljenim problemima, površina bočne strane se može naći pomoću drugačije formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Nađi površinu pravilne četvorougaone piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina baze je 36, jer je kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina se sastoji od četiri lica, koja su jednakih trouglova. Da biste pronašli površinu takvog trokuta, morate znati njegovu osnovu i visinu (apotemu):

* Površina trokuta jednaka je polovini umnoška osnove i visine povučene ovoj osnovici.

Baza je poznata, jednaka je šest. Hajde da nađemo visinu. Razmislite pravougaonog trougla(naglašeno žutom):

Jedna noga je jednaka 4, pošto je ovo visina piramide, druga je jednaka 3, pošto je pola bazna rebra. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

Dakle, površina bočne površine piramide je:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide su 10, bočne ivice su 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide su 10, bočne ivice su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi osnova je ortogonalna projekcija bočne površine, dakle:

P- perimetar osnove, l- apotema piramide

*Ova formula se zasniva na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako se ove formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.

- Ovo je poliedarska figura, u čijoj osnovi leži poligon, a preostala lica su predstavljena trouglovima sa zajedničkim vrhom.

Ako je osnova kvadrat, tada se naziva piramida četvorougaona, ako je trokut trouglasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na osnovu. Također se koristi za izračunavanje površine apothem je visina bočne strane spuštene od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina njenih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda proračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide se izračunava kroz perimetar baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.

Neka je data piramida sa osnovom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Nađite površinu bočne površine piramide.
Nađimo perimetar. Pošto su sve strane baze jednake, tada će obim petougla biti jednak:
Sada možete pronaći bočnu površinu piramide:

Površina pravilne trouglaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od osnove koja sadrži pravilan trokut i tri bočne površine jednake površine.
Formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide može se izračunati Različiti putevi. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračunavanje kroz perimetar i apotemu, ili možete pronaći površinu jednog lica i pomnožiti je sa tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i dužinu baze. Razmotrimo primjer izračunavanja bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Zadata je piramida sa apotemom a = 4 cm i osnovnom površinom b = 2 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Prvo pronađite površinu jedne od bočnih strana. U ovom slučaju to će biti:
Zamijenite vrijednosti u formuli:
Kako su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbiru površina triju strana. odnosno:

Područje skraćene piramide

Truncated Piramida je poliedar formiran od piramide i njenog presjeka paralelnog s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide je vrlo jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbira opsega baza i apoteme:

Ukratko o glavnom

Površina (2019.)

Površina prizme

Bilo da postoji a opšta formula? Ne, generalno, ne. Vi samo trebate pronaći područja bočnih strana i sumirati ih.

Formula se može napisati za ravna prizma:

Gdje je obim baze.

Ali ipak mnogo lakše u svakom konkretan slučaj zbrojite sve oblasti nego zapamtite dodatne formule. Na primjer, razmotrimo puna površina pravilna heksagonalna prizma.

Sve bočne strane su pravokutnici. Sredstva.

Ovo je već uzeto u obzir prilikom izračunavanja zapremine.

Tako dobijamo:

Površina piramide

Za piramidu važi i opšte pravilo:

Sada izračunajmo površinu najpopularnijih piramida.

Površina pravilne trouglaste piramide

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moram da nađem i.

Prisjetite se sada toga

Ovo je površina pravokutnog trougla.

I prisjetimo se kako pronaći ovo područje. Koristimo formulu površine:

Imamo "" - ovo, i "" - ovo takođe, eh.

Sad hajde da nađemo.

Koristeći osnovnu formulu površine i Pitagorinu teoremu, nalazimo

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda je formula:

Površina pravilne četvorougaone piramide

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

U osnovi je kvadrat, i stoga.

Ostaje pronaći područje bočne strane

Površina pravilne šesterokutne piramide.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica.

Kako pronaći? Šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta prilikom izračunavanja površine pravilne trokutaste piramide, ovdje koristimo pronađenu formulu.

Pa, već smo dva puta tražili područje bočne strane

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješna isporuka Jedinstveni državni ispit, za prijem u institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rešenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 999 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se otvoriti odmah.

U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka sa rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve nivoe složenosti." Svakako je dovoljno da se uhvatite u koštac sa rješavanjem problema na bilo koju temu.

Zapravo, ovo je mnogo više od samo simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.

Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Tipični geometrijski problemi u ravni i u trodimenzionalnom prostoru su problemi određivanja površina površina različite figure. U ovom članku predstavljamo formulu za površinu bočne površine pravilne četverokutne piramide.

Šta je piramida?

Hajde da damo strogu geometrijsku definiciju piramide. Pretpostavimo da postoji neki poligon sa n strana i n uglova. Biramo proizvoljnu tačku u prostoru koja neće biti u ravni navedenog n-ugla i povezujemo je sa svakim vrhom poligona. Dobićemo figuru koja ima neki volumen, a koja se zove n-gonalna piramida. Na primjer, na slici ispod pokažimo kako izgleda petougaona piramida.

Dva važna elementa svake piramide su njena osnova (n-ugao) i vrh. Ovi elementi su međusobno povezani sa n trouglova, koji generalno nisu jednaki jedan drugom. Okomito spušteno od vrha do baze naziva se visina figure. Ako siječe bazu u geometrijskom centru (poklapa se sa centrom mase poligona), tada se takva piramida naziva prava linija. Ako je, pored ovog uslova, osnova pravilan poligon, onda se cijela piramida naziva pravilnom. Na slici ispod prikazano je kako izgledaju pravilne piramide sa trouglastim, četverouglastim, peterokutnim i šesterokutnim osnovama.

Površina piramide

Prije nego što pređemo na pitanje površine bočne površine pravilne četverokutne piramide, treba se detaljnije zadržati na konceptu same površine.

Kao što je gore spomenuto i prikazano na slikama, svaka piramida je formirana skupom lica ili stranica. Jedna strana je baza, a n strana su trouglovi. Površina cijele figure je zbir površina svake njene strane.

Pogodno je proučavati površinu na primjeru figure koja se odvija. Skeniranje za pravilnu četvorougaonu piramidu prikazano je na slikama ispod.

Vidimo da je njegova površina jednaka zbroju četiri površine identičnih jednakokračnih trokuta i površine kvadrata.

Ukupna površina svih trokuta koji čine stranice figure naziva se površina bočne površine. Zatim ćemo pokazati kako to izračunati za pravilnu četverokutnu piramidu.

Bočna površina pravougaone pravilne piramide

Da bismo izračunali bočnu površinu navedene figure, ponovo se okrećemo gore navedenom potezu. Pretpostavimo da znamo stranu kvadratne baze. Označimo ga simbolom a. Može se vidjeti da svaki od četiri identična trougla ima osnovu dužine a. Da biste izračunali njihovu ukupnu površinu, morate znati ovu vrijednost za jedan trokut. Iz kursa geometrije poznato je da je površina trokuta S t jednaka umnošku osnove i visine, koju treba podijeliti na pola. tj.:

Gdje je h b visina jednakokračnog trougla povučena do osnove a. Za piramidu, ova visina je apotema. Sada ostaje da se dobijeni izraz pomnoži sa 4 da dobijete površinu S b bočne površine za dotičnu piramidu:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Ova formula sadrži dva parametra: apotemu i stranu baze. Ako je ovo drugo poznato u većini uslova problema, onda se prvo mora izračunati znajući druge veličine. Evo formula za izračunavanje apoteme h b za dva slučaja:

• kada je poznata dužina bočnog rebra;
• kada je poznata visina piramide.

Ako dužinu bočne ivice (stranicu jednakokračnog trokuta) označimo simbolom L, tada je apotema h b određena formulom:

h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).

Ovaj izraz je rezultat primjene Pitagorine teoreme za trokut bočne površine.

Ako je visina h piramide poznata, onda se apotema h b može izračunati na sljedeći način:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Također nije teško dobiti ovaj izraz ako uzmemo u obzir pravokutni trokut unutar piramide koju čine katete h i a / 2 i hipotenuza h b.

Pokazat ćemo kako primijeniti ove formule rješavanjem dvije zanimljivih zadataka.

Problem sa poznatom površinom

Poznato je da je površina bočne površine četverokutnika 108 cm 2 . Potrebno je izračunati vrijednost dužine njene apoteme h bi ako je visina piramide 7 cm.

Zapisujemo formulu za površinu S b bočne površine kroz visinu. Imamo:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Ovdje smo jednostavno zamijenili odgovarajuću formulu apoteme u izraz za S b . Kvadirajmo obje strane jednadžbe:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

Da bismo pronašli vrijednost a, vršimo promjenu varijabli:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Zamijenite sada poznate vrednosti i riješi kvadratnu jednačinu:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Napisali smo samo pozitivan korijen ove jednačine. Tada će stranice osnove piramide biti jednake:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Da biste dobili dužinu apoteme, samo koristite formulu:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) = √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Bočna površina Keopsove piramide

Odredimo vrijednost bočne površine za najveći Egipatska piramida. Poznato je da u njegovoj osnovi leži kvadrat sa dužinom stranice od 230.363 metara. Visina konstrukcije je prvobitno bila 146,5 metara. Zamijenimo ove brojeve u odgovarajuću formulu za S b , dobićemo:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a = 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Pronađena vrijednost je nešto veća od površine 17 fudbalskih terena.