Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čije je jedno lice poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočne strane ) (Sl. 15). Piramida se zove ispravan , ako mu je osnova pravilan poligon i vrh piramide je projektovan u centar osnove (slika 16). Zove se trouglasta piramida u kojoj su sve ivice jednake tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva strana bočne strane koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravni baze. Sva bočna rebra ispravna piramida su jednake jedna drugoj, sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothema . dijagonalni presjek Presjek piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Bočna površina piramida se naziva zbir površina svih bočnih strana. području puna površina je zbir površina svih bočnih strana i baze.

Teoreme

1. Ako su u piramidi sve bočne ivice jednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar opisane kružnice u blizini osnove.

2. Ako u piramidi sve bočne ivice imaju jednake dužine, tada se vrh piramide projektuje u centar opisane kružnice blizu osnove.

3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kruga upisanog u bazu.

Za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide, formula je tačna:

gdje V- zapremina;

S main- bazna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu su tačne sljedeće formule:

gdje str- perimetar osnove;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S main- bazna površina;

V je zapremina pravilne piramide.

krnje piramide nazivamo dio piramide zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide (slika 17). Ispravna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide.

Temelji skraćena piramida - slični poligoni. Bočne strane - trapez. Visina skraćena piramida naziva se rastojanje između njenih osnova. Dijagonala Skraćena piramida je segment koji povezuje njene vrhove koji ne leže na istoj površini. dijagonalni presjek Presjek skraćene piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Za skraćenu piramidu važe formule:

(4)

gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je bočna površina;

H- visina;

V je zapremina krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu vrijedi sljedeća formula:

gdje str 1 , str 2 - perimetri osnove;

h a- apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1 Desno trouglasta piramida diedarski ugao u osnovi je 60º. Naći tangentu ugla nagiba bočne ivice prema ravni osnove.

Odluka. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je pravilna, što znači da je osnova jednakostranični trougao, a sve bočne strane jednake jednakokračne trokute. Diedarski ugao u osnovi je ugao nagiba bočne strane piramide prema ravni osnove. Linearni ugao će biti ugao a između dvije okomice: tj. Vrh piramide se projektuje u centar trougla (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokut ABC). Ugao nagiba bočnog rebra (npr SB) je ugao između samog ruba i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebra SB ovaj ugao će biti ugao SBD. Da biste pronašli tangentu, morate znati noge SO i OB. Neka je dužina segmenta BD je 3 a. dot O linijski segment BD je podijeljen na dijelove: i Od nalazimo SO: Od nalazimo:

odgovor:

Primjer 2 Nađite zapreminu pravilne skraćene četvorougaone piramide ako su dijagonale njenih osnova cm i cm, a visina 4 cm.

Odluka. Da bismo pronašli zapreminu krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli površine baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice osnovica su 2 cm, odnosno 8 cm.To znači površine osnova i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo zapreminu krnje piramide:

odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Nađite površinu bočne strane pravilne trouglaste krnje piramide čije su stranice osnova 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Odluka. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati osnove i visinu. Osnove su date uslovom, samo visina ostaje nepoznata. Nađi ga odakle ALI 1 E okomito iz tačke ALI 1 na ravni donje baze, A 1 D- okomito od ALI 1 on AC. ALI 1 E\u003d 2 cm, jer je ovo visina piramide. Za pronalaženje DE napravićemo dodatni crtež, na kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Dot O- projekcija centara gornje i donje baze. budući da (vidi sliku 20) i S druge strane uredu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinoj teoremi iz

Bočna površina lica:

odgovor:

Primjer 4 U osnovi piramide leži jednakokraki trapez, čije su osnove a i b (a> b). Svaka bočna strana formira ugao jednak ravni osnove piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Odluka. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak je zbiru površina i površine trapeza A B C D.

Upotrijebimo tvrdnju da ako su sva lica piramide podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh projektuje u središte kruga upisanog u bazu. Dot O- projekcija temena S u osnovi piramide. Trougao SOD je ortogonalna projekcija trougla CSD na osnovnu ravan. Prema teoremi o površini ortogonalne projekcije ravne figure, dobijamo:

Slično, to znači Dakle, problem se sveo na pronalaženje površine trapeza A B C D. Nacrtajte trapez A B C D odvojeno (sl. 22). Dot O je centar kružnice upisane u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, onda ili Po Pitagorinoj teoremi imamo

Definicija

Piramida je poliedar sastavljen od poligona \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trokuta sa zajedničkim vrhom \(P\) (koji ne leži u ravni poligona) i suprotnim stranama koje se poklapaju sa stranicama poligon.
Oznaka: \(PA_1A_2...A_n\) .
Primjer: pentagonalna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trokuti \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) itd. pozvao bočne strane piramide, segmenti \(PA_1, PA_2\) itd. - bočna rebra, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – osnovu, tačka \(P\) – samit.

Visina Piramide su okomite spuštene sa vrha piramide na ravan osnove.

Zove se piramida sa trouglom u osnovi tetraedar.

Piramida se zove ispravan, ako je njegova osnova pravilan poligon i ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

\((a)\) bočne ivice piramide su jednake;

\((b)\) visina piramide prolazi kroz centar opisane kružnice blizu baze;

\((c)\) bočna rebra su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglom.

\((d)\) bočne strane su nagnute prema ravni osnove pod istim uglom.

pravilni tetraedar je trouglasta piramida, čije su sve strane jednake jednakostranične trokute.

Teorema

Uslovi \((a), (b), (c), (d)\) su ekvivalentni.

Dokaz

Nacrtajte visinu piramide \(PH\) . Neka je \(\alpha\) ravan osnove piramide.

1) Dokažimo da \((a)\) implicira \((b)\) . Neka \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Jer \(PH\perp \alpha\) , tada je \(PH\) okomit na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni, tako da su trouglovi pravokutni. Dakle, ovi trokuti su jednaki u zajedničkom kraku \(PH\) i hipotenuzi \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Dakle \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znači da su tačke \(A_1, A_2, ..., A_n\) na istoj udaljenosti od tačke \(H\) , dakle, leže na istoj kružnici poluprečnika \(A_1H\) . Ovaj krug je, po definiciji, opisan oko poligona \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokažimo da \((b)\) implicira \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravougaona i jednaka u dva kraka. Dakle, i njihovi uglovi su jednaki, dakle, \(\ugao PA_1H=\ugao PA_2H=...=\ugao PA_nH\).

3) Dokažimo da \((c)\) implicira \((a)\) .

Slično prvoj tački, trouglovi \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravougaone i uz nogu i oštar ugao. To znači da su i njihove hipotenuze jednake, odnosno \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokažimo da \((b)\) implicira \((d)\) .

Jer u pravilnom poligonu, centri opisane i upisane kružnice se poklapaju (općenito govoreći, ova tačka se naziva središte pravilnog poligona), tada je \(H\) centar upisane kružnice. Nacrtajmo okomite iz tačke \(H\) na stranice baze: \(HK_1, HK_2\), itd. Ovo su radijusi upisane kružnice (po definiciji). Zatim, prema TTP-u, (\(PH\) je okomita na ravan, \(HK_1, HK_2\), itd. su projekcije okomite na stranice) koso \(PK_1, PK_2\), itd. okomito na stranice \(A_1A_2, A_2A_3\), itd. respektivno. Dakle, po definiciji \(\ugao PK_1H, \ugao PK_2H\) jednak uglovima između bočnih strana i baze. Jer trokuti \(PK_1H, PK_2H, ...\) su jednaki (kao pravougaoni na dvije krake), zatim uglovi \(\ugao PK_1H, \ugao PK_2H, ...\) su jednaki.

5) Dokažimo da \((d)\) implicira \((b)\) .

Slično četvrtoj tački, trokuti \(PK_1H, PK_2H, ...\) su jednaki (kao pravougaoni duž kraka i oštri ugao), što znači da su segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) su jednaki. Dakle, po definiciji, \(H\) je centar kružnice upisane u bazu. Ali pošto za pravilne poligone, centri upisanog i opisanog kruga se poklapaju, tada je \(H\) centar opisane kružnice. Chtd.

Posljedica

Bočne strane pravilne piramide su jednaki jednakokraki trouglovi.

Definicija

Visina bočne strane pravilne piramide, povučena iz njenog vrha, naziva se apothema.
Apoteme svih bočnih strana pravilne piramide jednake su jedna drugoj i također su medijane i simetrale.

Važne napomene

1. Visina pravilne trouglaste piramide pada do tačke preseka visina (ili simetrala, ili medijana) osnove (osnova je pravilan trougao).

2. Visina pravilne četvorougaone piramide pada do tačke preseka dijagonala osnove (osnova je kvadrat).

3. Visina ispravna heksagonalna piramida pada do tačke preseka dijagonala baze (osnova je pravilan šestougao).

4. Visina piramide je okomita na bilo koju pravu liniju koja leži u osnovi.

Definicija

Piramida se zove pravougaona ako je jedan od njegovih bočnih rubova okomit na ravan baze.

Važne napomene

1. Za pravougaonu piramidu, ivica okomita na osnovu je visina piramide. To jest, \(SR\) je visina.

2. Jer \(SR\) okomito na bilo koju pravu od baze, dakle \(\trokut SRM, \trokut SRP\) su pravougli trouglovi.

3. Trokuti \(\trokut SRN, \trokut SRK\) takođe su pravougaone.
Odnosno, svaki trokut formiran od ove ivice i dijagonale koja izlazi iz vrha ove ivice, koja leži u osnovi, bit će pravokutna.

\[(\Large(\text(Zapremina i površina piramide)))\]

Teorema

Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze i visine piramide: \

Posljedice

Neka je \(a\) stranica baze, \(h\) visina piramide.

1. Zapremina pravilne trouglaste piramide je \(V_(\text(pravougli trokut pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Zapremina pravilne četvorougaone piramide je \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Zapremina pravilne šestougaone piramide je \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Zapremina pravilnog tetraedra je \(V_(\text(desno tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška perimetra osnove i apoteme.

\[(\Veliki(\text(Skrnja piramida)))\]

Definicija

Razmotrimo proizvoljnu piramidu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Povučemo ravan paralelnu sa osnovom piramide kroz određenu tačku koja leži na bočnoj ivici piramide. Ova ravan će podijeliti piramidu na dva poliedra, od kojih je jedan piramida (\(PB_1B_2...B_n\) ), a drugi se zove krnje piramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Skraćena piramida ima dvije osnove - poligone \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\), koje su međusobno slične.

Visina skraćene piramide je okomica povučena iz neke tačke gornje osnove na ravan donje osnove.

Važne napomene

1. Sve bočne strane krnje piramide su trapezi.

2. Segment koji povezuje centre osnova pravilne krnje piramide (tj. piramide dobijene presjekom pravilne piramide) je visina.

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi oni se izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za ispit.

Zamislite ravan, poligon koja leži u njemu i tačka S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativno ime trouglasta piramida - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "pravilnog tetraedra". U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama osnove, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica ivica su jednake. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je centar P poligona sa visinskom bazom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotem piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Nastavnik matematike o njegovoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike imenuje prvi od njih apothemic, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula zapremine piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koje dvije rubove koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo baze visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u osnovi piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: imajte na umu da su sve stavke ujedinjene jednim zajedničko vlasništvo: na ovaj ili onaj način, bočna lica učestvuju svuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trouglovi jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem opisane kružnice blizu osnove piramide, ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Nastavljamo sa razmatranjem zadataka uključenih u ispit iz matematike. Već smo proučavali probleme u kojima je zadan uslov i potrebno je pronaći rastojanje između dve date tačke ili ugao.

Piramida je poliedar čija je osnova poligon, druge strane su trouglovi i imaju zajednički vrh.

Pravilna piramida je piramida u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a njen vrh je projektovan u centar osnove.

Pravilna četvorougaona piramida - osnova je kvadrat.Vrh piramide je projektovan u tački preseka dijagonala osnove (kvadrata).

ML - apotema
∠MLO - diedarski ugao u osnovi piramide
∠MCO - ugao između bočne ivice i ravni osnove piramide

U ovom članku ćemo razmotriti zadatke za rješavanje ispravne piramide. Potrebno je pronaći bilo koji element, bočnu površinu, zapreminu, visinu. Naravno, morate znati Pitagorinu teoremu, formulu za površinu bočne površine piramide, formulu za pronalaženje volumena piramide.

U članku Predstavljene su formule koje su neophodne za rješavanje problema u stereometriji. Dakle, zadaci su:

SABCD dot O- centar bazeS vrh, SO = 51, AC= 136. Pronađite bočnu ivicuSC.

U ovom slučaju, baza je kvadrat. To znači da su dijagonale AC i BD jednake, da se sijeku i dijele popola u tački sjecišta. Imajte na umu da u pravilnoj piramidi visina spuštena sa njenog vrha prolazi kroz centar osnove piramide. Dakle, SO je visina i trokutSOCpravougaona. Zatim po Pitagorinoj teoremi:

Kako uzeti korijen velikog broja.

Odgovor: 85

Odlučite sami:

Desno četvorougaona piramida SABCD dot O- centar baze S vrh, SO = 4, AC= 6. Pronađite bočnu ivicu SC.

U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD dot O- centar baze S vrh, SC = 5, AC= 6. Odredite dužinu segmenta SO.

U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD dot O- centar baze S vrh, SO = 4, SC= 5. Odredite dužinu segmenta AC.

SABC R- sredina rebra BC, S- vrh. To je poznato AB= 7, i SR= 16. Nađi površinu bočne površine.

Površina bočne površine pravilne trokutaste piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme (apotema je visina bočne strane pravilne piramide, povučena s njenog vrha):

Ili možete reći ovo: površina bočne površine piramide jednaka je zbiru površina triju bočnih lica. Bočne strane pravilne trouglaste piramide su trouglovi jednake površine. U ovom slučaju:

Odgovor: 168

Odlučite sami:

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC R- sredina rebra BC, S- vrh. To je poznato AB= 1, i SR= 2. Nađite površinu bočne površine.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC R- sredina rebra BC, S- vrh. To je poznato AB= 1, a bočna površina je 3. Odredite dužinu segmenta SR.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC L- sredina rebra BC, S- vrh. To je poznato SL= 2, a bočna površina je 3. Odredite dužinu segmenta AB.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC M. Površina trougla ABC je 25, zapremina piramide je 100. Pronađite dužinu segmenta GOSPOĐA.

Osnova piramide je jednakostranični trougao. Dakle Mje centar baze, iGOSPOĐA- visina pravilne piramideSABC. Volumen piramide SABC jednako: pregledati rješenje

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC medijane baze se seku u tački M. Površina trougla ABC je 3, GOSPOĐA= 1. Naći zapreminu piramide.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC medijane baze se seku u tački M. Zapremina piramide je 1, GOSPOĐA= 1. Nađite površinu trokuta ABC.

Hajde da završimo sa ovim. Kao što vidite, zadaci se rješavaju u jednom ili dva koraka. Ubuduće ćemo sa vama razmatrati i druge probleme iz ovog dela, gde se daju tela revolucije, ne propustite!

Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.