Formule za konveksne figure u stereometriji. Zapremina krnje piramide je Zapremina i površina bočne i pune površine konusa

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da riješite prvi dio za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 1. O paralelnim pravima)))\)
\(\bullet\) Dvije prave u prostoru su paralelne ako leže u istoj ravni i ne sijeku se.
\(\bullet\) Postoji samo jedna ravan koja prolazi kroz dvije paralelne prave.
\(\bullet\) Ako jedna od dvije paralelne prave siječe ravan, onda i druga prava siječe ovu ravan.
\(\bullet\) Ako je prava \(a\) paralelna pravoj \(b\) , koja je zauzvrat paralelna pravoj \(c\) , tada \(a\paralela c\) .
\(\bullet\) Neka se ravni \(\alpha\) i \(\beta\) sijeku duž prave \(a\) , ravni \(\beta\) i \(\pi\) se sijeku duž prava \(b \) , ravni \(\pi\) i \(\alpha\) seku se duž prave \(p\) . Onda ako je \(a\paralelno b\) , onda \(p\paralelno a\) (ili \(p\paralelno b\) ):

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 2. O paralelizmu prave i ravni)))\)
\(\bullet\) Postoje tri vrste međusobnog rasporeda prave i ravni:
1. prava ima dvije zajedničke tačke sa ravninom (tj. leži u ravni);
2. prava ima tačno jednu zajedničku tačku sa ravninom (tj. seče ravan);
3. prava nema zajedničkih tačaka sa ravninom (odnosno, paralelna je sa ravninom).
\(\bullet\) Ako je prava \(a\) , koja ne leži u ravni \(\pi\) , paralelna nekoj pravoj \(p\) , koja leži u ravni \(\pi\) , tada paralelna je sa datom ravninom.

\(\bullet\) Neka prava \(p\) bude paralelna ravni \(\mu\) . Ako ravan \(\pi\) prolazi kroz pravu \(p\) i siječe ravan \(\mu\) , tada je linija presjeka ravni \(\pi\) i \(\mu\) je prava \(m\) - paralelna pravoj \(p\) .

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 3. O paralelnim ravnima)))\)
\(\bullet\) Ako dvije ravni nemaju zajedničke tačke, nazivaju se paralelne ravni.
\(\bullet\) Ako su dvije prave koje se seku iz jedne ravni paralelne sa dvije prave koje se seku iz druge ravni, tada će te ravni biti paralelne.

\(\bullet\) Ako se dvije paralelne ravni \(\alpha\) i \(\beta\) sijeku trećom ravni \(\gamma\) , tada su i linije presjeka ravnina paralelne: \[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

\(\bullet\) Segmenti paralelnih pravih zatvorenih između paralelnih ravni jednaki su: \[\alpha\parallel \beta, \ a\parallel b \Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2\]

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 4. O linijama koje se seku)))\)
\(\bullet\) Dvije prave u prostoru nazivaju se ukrštanjem ako ne leže u istoj ravni.
\(\bullet\) Znak:
Neka prava \(l\) leži u ravni \(\lambda\) . Ako prava \(s\) siječe ravan \(\lambda\) u tački \(S\) koja ne leži na pravoj \(l\) , tada prave \(l\) i \(s\) presecati.

\(\metak\) algoritam za pronalaženje ugla između kosih linija \(a\) i \(b\):

Korak 2. U ravni \(\pi\) pronađite ugao između pravih \(a\) i \(p\) (\(p\paralelno b\) ). Ugao između njih bit će jednak kutu između kosih linija \(a\) i \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 5. O okomitosti prave i ravni)))\)
\(\bullet\) Prava se kaže da je okomita na ravan ako je okomita na bilo koju pravu u toj ravni.
\(\bullet\) Ako su dvije prave okomite na ravan, onda su paralelne.
\(\bullet\) Znak: ako je prava okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u datoj ravni, onda je ona okomita na ovu ravan.

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 6. O udaljenostima)))\)
\(\bullet\) Da biste pronašli rastojanje između paralelnih pravih, morate ispustiti okomicu iz bilo koje tačke jedne prave na drugu pravu. Dužina okomice je udaljenost između ovih linija.
\(\bullet\) Da biste pronašli rastojanje između ravni i prave paralelne s njom, morate spustiti okomitu na ovu ravan iz bilo koje tačke na pravoj. Dužina okomice je udaljenost između ove prave i ravnine.
\(\bullet\) Da biste pronašli rastojanje između paralelnih ravnina, morate spustiti okomicu na drugu ravan iz bilo koje tačke jedne ravni. Dužina ove okomice je rastojanje između paralelnih ravnina.
\(\metak\) algoritam za pronalaženje udaljenosti između kosih linija \(a\) i \(b\):
Korak 1. Kroz jednu od dvije prave koje se seku \(a\) nacrtajte ravan \(\pi\) paralelnu drugoj pravoj \(b\) . Kako to učiniti: povucite ravan \(\beta\) kroz pravu \(b\) tako da siječe pravu \(a\) u tački \(P\) ; povući pravu kroz tačku \(P\) \(p\paralelno b\) ; tada je ravan koja prolazi kroz \(a\) i \(p\) ravan \(\pi\) .
Korak 2. Pronađite udaljenost od bilo koje tačke prave \(b\) do ravni \(\pi\) . Ovo rastojanje je rastojanje između kosih linija \(a\) i \(b\) .

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 7. O teoremi o tri okomite (TTP))))\)
\(\bullet\) Neka je \(AH\) okomita na ravan \(\beta\) . Neka je \(AB, BH\) kosa i njena projekcija na ravan \(\beta\) . Tada će prava \(x\) u ravni \(\beta\) biti okomita na kosu ako i samo ako je okomita na projekciju: \[\početi(poravnano) &1. AH\perp \beta, \AB\perp x\quad \Rightarrow\quad BH\perp x\\ &2. AH\perp \beta, \ BH\perp x\quad\Rightarrow\quad AB\perp x\end(poravnano)\]

Imajte na umu da prava \(x\) ne mora prolaziti kroz tačku \(B\) . Ako ne prolazi kroz tačku \(B\) , tada se konstruiše prava \(x"\) koja prolazi kroz tačku \(B\) i paralelna je sa \(x\). Ako je, na primjer, \( x"\perp BH\ ) , onda je i \(x\perp BH\) .

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 8. O uglu između prave i ravni, kao i o uglu između ravni)))\)
\(\bullet\) Ugao između kose prave i ravni je ugao između ove prave i njene projekcije na datu ravan. Dakle, ovaj ugao uzima vrijednosti iz intervala \((0^\circ;90^\circ)\) .
Ako prava leži u ravni, onda se ugao između njih smatra jednakim \(0^\circ\) . Ako je prava okomita na ravan, tada je, na osnovu definicije, ugao između njih \(90^\circ\) .
\(\bullet\) Da biste pronašli ugao između kose prave i ravni, potrebno je označiti neku tačku \(A\) na ovoj pravoj i nacrtati okomitu \(AH\) na ravan. Ako je \(B\) tačka presjeka prave sa ravninom, tada je \(\ugao ABH\) željeni ugao.

\(\bullet\) Da biste pronašli ugao između ravni \(\alpha\) i \(\beta\) , možete koristiti sljedeći algoritam:
Označite proizvoljnu tačku \(A\) u ravni \(\alpha\) .
Nacrtajte \(AH\perp h\) , gdje je \(h\) linija presjeka ravnina.
Nacrtajte \(AB\) okomito na ravan \(\beta\) .
Tada je \(AB\) okomita na ravan \(\beta\) , \(AH\) je koso, pa je \(HB\) projekcija. Zatim pomoću TTP \(HB\perp h\) .
Dakle, \(\ugao AHB\) je linearni ugao diedralnog ugla između ravnina. Stepen mjera ovog ugla je mjera stepena ugla između ravnina.

Imajte na umu da imamo pravougli trougao \(\trougao AHB\) (\(\ugao B=90^\circ\) ). U pravilu je iz njega zgodno pronaći \(\ugao AHB\).

\((\color(red)(\textbf(Činjenica 9. O okomitosti ravni)))\)
\(\bullet\) Znak: ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, onda je ona okomita na ovu ravan. \

\(\bullet\) Imajte na umu da budući da se beskonačan broj ravnina može povući kroz pravu \(a\), postoji beskonačan broj ravni okomitih na \(\beta\) (i prolaze kroz \(a\) ).

Da bi se ispit iz matematike na adekvatan način riješio, prije svega, potrebno je proučiti teorijski materijal koji uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena na lak i razumljiv način za učenike bilo kojeg nivoa pripremljenosti, zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno učiti teoriju u matematici, ne samo za one koji polažu ispit?

1. Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog materijala iz matematike korisno je za svakoga ko želi dobiti odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. To je upravo ono što se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Zato što razvija intelekt. Proučavajući priručne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, čovjek uči da razmišlja i razmišlja logično, da pravilno i jasno formuliše misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije, izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.

Neke definicije:

1. Poliedar je geometrijsko tijelo ograničeno konačnim brojem ravnih poligona, od kojih bilo koja dva, koji imaju zajedničku stranu, ne leže u istoj ravni. U ovom slučaju, sami poligoni se nazivaju lica, njihove stranice su ivice poliedra, a njihovi vrhovi su vrhovi poliedra.
2. Figura koju čine sve strane poliedra naziva se njegova površina ( puna površina), a zbir površina svih njegovih lica je (puna) površina.
3. je poliedar sa šest lica jednakih kvadrata. Stranice kvadrata se nazivaju ivicama kocke, a vrhovi se nazivaju vrhovima kocke.
4. je poliedar koji ima šest lica i svaka od njih je paralelogram. Stranice paralelograma zovu se ivice paralelopipeda, a njihovi vrhovi se nazivaju vrhovi paralelopipeda. Zovu se dvije strane paralelepipeda suprotno, ako nemaju zajedničku ivicu, nazivaju se oni koji imaju zajedničku ivicu povezani. Ponekad se razlikuju i nazivaju bilo koje dvije suprotne strane paralelepipeda osnove, zatim ostala lica bočne strane, a njihove stranice, koje spajaju vrhove baza paralelepipeda, su njegove bočna rebra.
5. Desni paralelepiped- ovo je paralelepiped čije su bočne strane pravokutnici. je paralelepiped čija su lica sva pravougaonici. Imajte na umu da je svaki kvadar kvadar, ali nije svaki kvadar kvadar.
6. suprotno. Segment prave koji spaja suprotne vrhove paralelepipeda naziva se dijagonala paralelepiped. Paralelepiped ima samo četiri dijagonale.
7. prizma ( n-ugalj) je poliedar čije su dvije strane jednake n-gons, i ostalo n lica su paralelogrami. Jednako n-gonovi se zovu osnove, i paralelogrami bočne strane prizme- ovo je takva prizma, u kojoj su bočne strane pravokutnici. tacno n- karbonska prizma- ovo je prizma, u kojoj su sve bočne strane pravokutnici, a osnove pravilne n-gons.
8. Zove se zbroj površina bočnih strana prizme njegove bočne površine(označeno S strana). Zove se zbir površina svih strana prizme površina prizme(označeno S pun).
9. piramida ( n-ugalj)- ovo je poliedar, koji ima jedno lice - neko n-gon, i ostalo n lica - trokuti sa zajedničkim vrhom; n-gon se zove osnovu; nazivaju se trouglovi koji imaju zajednički vrh bočne strane, a njihov zajednički vrh se zove vrh piramide. Stranice lica piramide nazivaju se njenim rebra, a ivice koje se susreću na vrhu se nazivaju bočno.
10. Zove se zbroj površina bočnih strana piramide bočna površina piramide(označeno S strana). Zove se zbir površina svih strana piramide površina piramide(površina je označena S pun).
11. tacnon- piramida uglja- ovo je takva piramida čija je osnova ispravna n-gon, a sve bočne ivice su međusobno jednake. Bočne strane pravilne piramide su jednakokraki trouglovi koji su međusobno jednaki.
12. Trouglasta piramida se zove tetraedar ako su mu sva lica podudarni pravilni trouglovi. Tetraedar je poseban slučaj pravilne trouglaste piramide (tj. neće svaka pravilna trouglasta piramida biti tetraedar).

Aksiomi stereometrije:

1. Kroz bilo koje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, postoji samo jedna ravan.
2. Ako dvije tačke prave leže u ravni, onda sve tačke prave leže u toj ravni.
3. Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu na kojoj leže sve zajedničke tačke ovih ravni.

Posljedice iz aksioma stereometrije:

• Teorema 1. Postoji samo jedna ravan kroz pravu i tačka nije na njoj.
• Teorema 2. Postoji samo jedna ravan kroz dve prave koje se seku.
• Teorema 3. Postoji samo jedna ravan kroz dvije paralelne prave.

Konstrukcija presjeka u stereometriji

Za rješavanje problema u stereometriji, hitno je potrebno biti u stanju izgraditi presjeke poliedara (na primjer, piramida, paralelepiped, kocka, prizma) na crtežu određenom ravninom. Dajemo nekoliko definicija koje objašnjavaju šta je odjeljak:

• reznu ravninu Piramida (prizma, paralelepiped, kocka) je takva ravan na kojoj se na obje strane nalaze tačke ove piramide (prizma, paralelepiped, kocka).
• poprečni presek piramide(prizma, paralelepiped, kocka) je lik koji se sastoji od svih tačaka koje su zajedničke piramidi (prizma, paralelepiped, kocka) i reznoj ravni.
• Sečna ravan siječe lica piramide (paralelepiped, prizma, kocka) duž segmenata, dakle odjeljak je mnogokut koji leži u sekantnoj ravni, čije su stranice označeni segmenti.

Da bi se konstruisao presek piramide (prizma, paralelepiped, kocka), moguće je i potrebno konstruisati tačke preseka presečne ravni sa ivicama piramide (prizma, paralelepiped, kocka) i spojiti svake dve od njih koje leže u jedno lice. Imajte na umu da redosled konstruisanja vrhova i stranica preseka nije bitan. Konstrukcija presjeka poliedara zasniva se na dva zadatka za konstrukciju:

1. Linije preseka dve ravni.

Konstruisati pravu duž koje se seku neke dve ravni α i β (na primjer, sekantna ravnina i ravnina lica poliedra), trebate izgraditi njihove dvije zajedničke tačke, tada je prava koja prolazi kroz ove tačke linija presjeka ravnina α i β .

1. Tačke preseka prave i ravni.

Konstruisati tačku preseka prave l i avion α nacrtati tačku preseka linije l i direktno l 1, duž koje se ravan seče α i bilo koju ravan koja sadrži pravu l.

Međusobni raspored pravih linija i ravni u stereometriji

definicija: U toku rješavanja zadataka iz stereometrije nazivaju se dvije prave u prostoru paralelno ako leže u istoj ravni i ne seku se. Ako je ravno a i b, ili AB i CD su paralelne, pišemo:

Nekoliko teorema:

• Teorema 1. Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, postoji samo jedna prava paralelna datoj pravoj.
• Teorema 2. Ako jedna od dvije paralelne prave siječe datu ravan, onda druga prava siječe ovu ravan.
• Teorema 3(znak paralelnih pravih). Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne jedna s drugom.
• Teorema 4(u tački preseka dijagonala paralelepipeda). Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele tu tačku.

Postoje tri slučaja međusobnog rasporeda prave i ravni u stereometriji:

• Prava leži u ravni (svaka tačka prave leži u ravni).
• Prava i ravan se sijeku (imaju jednu zajedničku tačku).
• Prava i ravan nemaju jednu zajedničku tačku.

definicija: Prava i ravan se nazivaju paralelno ako nemaju zajedničke tačke. Ako je ravno a paralelno sa ravninom β , zatim pišu:

Teoreme:

• Teorema 1(znak paralelnosti prave i ravni). Ako je prava koja ne leži u datoj ravni paralelna nekoj pravoj koja leži u ovoj ravni, onda je ona paralelna datoj ravni.
• Teorema 2. Ako avion (na slici - α ) prolazi kroz pravu liniju (na slici - With), paralelno sa drugom ravninom (na slici - β ), i siječe ovu ravan, zatim liniju presjeka ravnina (na slici - d) je paralelna sa datom pravom:

Ako dvije različite prave leže u istoj ravni, onda se ili seku ili su paralelne. Međutim, u prostoru (tj. u stereometriji) moguć je i treći slučaj, kada ne postoji ravan u kojoj se nalaze dvije prave (u ovom slučaju niti se seku niti su paralelne).

definicija: Dvije linije se pozivaju ukrštanje, ako nema ravni u kojoj oboje leže.

Teoreme:

• Teorema 1(znak linija koje se seku). Ako jedna od dvije prave leži u određenoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji, tada su ove prave nagnute.
• Teorema 2. Kroz svaku od dvije prave koje se sijeku prolazi jedna ravan paralelna drugoj pravoj.

Sada uvodimo koncept ugla između kosih linija. Neka a i b O u prostoru i povucite prave linije kroz njega. a 1 i b 1 paralelno sa pravim linijama a i b respektivno. Ugao između kosih linija a i b naziva se ugao između konstruisanih linija koje se seku a 1 i b 1 .

Međutim, u praksi je poenta Očešće birajte tako da pripada jednoj od pravih linija. Ovo je obično ne samo elementarno zgodnije, već je i racionalnije i ispravnije u smislu konstruisanja crteža i rješavanja problema. Stoga, za ugao između kosih linija, dajemo sljedeću definiciju:

definicija: Neka a i b su dvije linije koje se seku. Uzmite proizvoljnu tačku O na jednom od njih (u našem slučaju na pravoj liniji b) i kroz njega povuci liniju paralelnu sa drugom od njih (u našem slučaju a 1 paralela a). Ugao između kosih linija a i b je ugao između konstruisane linije i linije koja sadrži tačku O(u našem slučaju, ovo je ugao β između pravih linija a 1 i b).

definicija: Dvije linije se pozivaju međusobno okomite(okomito) ako je ugao između njih 90°. Prave koje se ukrštaju mogu biti okomite, kao i prave koje leže i seku u istoj ravni. Ako je ravno a okomito na liniju b, zatim pišu:

definicija: Zovu se dva aviona paralelno, ako se ne seku, tj. nemaju zajedničkih tačaka. Ako dva aviona α i β paralelno, zatim, kao i obično, napišite:

Teoreme:

• Teorema 1(znak paralelnih ravni). Ako su dvije prave jedne ravni koje se seku paralelne sa dvije prave druge ravni, onda su te ravni paralelne.
• Teorema 2(o svojstvu suprotnih strana paralelepipeda). Suprotne strane paralelepipeda leže u paralelnim ravnima.
• Teorema 3(na linijama preseka dve paralelne ravni trećom ravni). Ako se dvije paralelne ravni sijeku trećom, tada su njihove linije ukrštanja paralelne jedna s drugom.
• Teorema 4. Segmenti paralelnih pravih koji se nalaze između paralelnih ravni su jednaki.
• Teorema 5(o postojanju jedinstvene ravni paralelne datoj ravni i koja prolazi kroz tačku izvan nje). Kroz tačku koja ne leži u datoj ravni, postoji samo jedna ravan paralelna datoj.

definicija: Prava koja seče ravan kaže se da je okomita na ravan ako je okomita na svaku pravu u toj ravni. Ako je ravno a okomito na ravan β , a zatim napišite, kao i obično:

Teoreme:

• Teorema 1. Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na treću pravu, onda je i druga prava okomita na ovu pravu.
• Teorema 2. Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na ravan, onda je i druga prava okomita na tu ravan.
• Teorema 3(o paralelnosti pravih okomitih na ravan). Ako su dvije prave okomite na istu ravan, onda su paralelne.
• Teorema 4(znak okomitosti prave i ravni). Ako je prava okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ravni, onda je ona okomita na tu ravan.
• Teorema 5(o ravni koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu pravu). Kroz bilo koju tačku u prostoru postoji samo jedna ravan okomita na datu pravu.
• Teorema 6(o pravoj liniji koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu ravan). Kroz bilo koju tačku u prostoru postoji samo jedna prava okomita na datu ravan.
• Teorema 7(na svojstvu dijagonale pravougaonog paralelepipeda). Kvadrat dužine dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata dužina njegova tri ivica koji imaju zajednički vrh:

Posljedica: Sve četiri dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jedna drugoj.

Teorema o tri okomice

Pusti poentu ALI ne leži ravno α . Hajdemo kroz tačku ALI prava prava okomita na ravan α , i označiti slovom O tačka preseka ove prave sa ravninom α . Okomita povučena iz tačke ALI u avion α , naziva se segment JSC, tačka O naziva se osnova okomice. Ako a JSC- okomito na ravan α , a M je proizvoljna tačka ove ravni, različita od tačke O, zatim segment AM naziva se nagib povučen iz tačke ALI u avion α , i poenta M- nagnuta baza. Segment linije OM- ortogonalna projekcija (ili, ukratko, projekcija) kosa AM u avion α . Sada predstavljamo teoremu koja igra važnu ulogu u rješavanju mnogih problema.

Teorema 1 (o tri okomite): Prava linija povučena u ravni i okomita na projekciju nagnute ravni na ovu ravan je također okomita na samu nagnutu ravan. Vrijedi i obrnuto:

Teorema 2 (o tri okomite): Prava linija povučena u ravni i okomita na nagnutu je također okomita na svoju projekciju na ovu ravan. Ove teoreme, za notaciju sa gornjeg crteža, mogu se ukratko formulirati na sljedeći način:

Teorema: Ako se iz jedne tačke, uzete izvan ravni, povuče okomita i dvije kose prave na ovu ravninu, tada:

• dvije kose, koje imaju jednake projekcije, jednake su;
• od dva nagnuta, veća je ona čija je projekcija veća.

Definicije udaljenosti po objektima u prostoru:

• Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice povučene od te tačke do te ravni.
• Udaljenost između paralelnih ravni je udaljenost od proizvoljne tačke jedne od paralelnih ravnina do druge ravni.
• Udaljenost između prave i ravni paralelne s njom je udaljenost od proizvoljne tačke na pravoj do ravni.
• Udaljenost između kosih linija je udaljenost od jedne od nagnutih linija do ravnine koja prolazi kroz drugu liniju i paralelna je s prvom linijom.

definicija: U stereometriji, ortogonalna projekcija prave linije a u avion α naziva se projekcija ove prave na ravan α ako je prava linija koja definira smjer dizajna okomita na ravan α .

komentar: Kao što možete vidjeti iz prethodne definicije, postoji mnogo projekcija. Druge (osim ortogonalne) projekcije prave linije na ravan mogu se konstruisati ako prava linija koja određuje pravac projekcije nije okomita na ravan. Međutim, to je ortogonalna projekcija prave linije na ravan na koju ćemo se susresti u problemima u budućnosti. A ortogonalnu projekciju ćemo nazvati jednostavno projekcijom (kao na crtežu).

definicija: Ugao između prave linije koja nije okomita na ravan i ove ravni je ugao između prave i njene ortogonalne projekcije na datu ravan (ugao AOA’ na crtežu iznad).

Teorema: Ugao između prave i ravni je najmanji od svih uglova koje data prava formira sa linijama koje leže u datoj ravni i prolaze kroz tačku preseka prave i ravni.

definicije:

• diedarski ugao Figurom se naziva figura koju čine dvije poluravnine sa zajedničkom graničnom linijom i dijelom prostora kojem te poluravnine služe kao granica.
• Linearni diedarski ugao Ugao se naziva, čije su stranice zrake sa zajedničkim ishodištem na ivici diedralnog ugla, koje su nacrtane u njegovim stranama okomito na ivicu.

Dakle, linearni ugao diedarskog ugla je ugao formiran presekom diedarskog ugla sa ravninom koja je okomita na njegovu ivicu. Svi linearni uglovi diedarskog ugla su međusobno jednaki. Mera stepena diedarskog ugla je stepenska mera njegovog linearnog ugla.

Diedarski ugao naziva se pravi (oštar, tup) ako mu je stepen stepena 90° (manji od 90°, veći od 90°). Ubuduće, pri rješavanju zadataka iz stereometrije, pod diedarskim uglom uvijek ćemo razumjeti onaj linearni ugao, čija mjera stepena zadovoljava uslov:

definicije:

• Diedarski ugao na ivici poliedra je diedarski ugao čija ivica sadrži ivicu poliedra, a lica diedarskog ugla sadrže površine poliedra koje se seku duž date ivice poliedra.
• Ugao između ravnina koje se seku je ugao između pravih linija povučenih u ovim ravnima okomito na njihovu liniju preseka kroz neke od njenih tačaka.
• Za dvije ravni se kaže da su okomite ako je ugao između njih 90°.

Teoreme:

• Teorema 1(znak okomitosti ravnina). Ako jedna od dvije ravni prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite.
• Teorema 2. Prava koja leži u jednoj od dvije okomite ravni i okomita na pravu u kojoj se sijeku okomita je na drugu ravan.

Simetrija figura

definicije:

1. bodova M i M 1 su pozvani simetrično oko tačke O , ako O je sredina segmenta MM 1 .
2. bodova M i M 1 su pozvani simetrično oko prave linije l ako je ravno l MM 1 i okomito na njega.
3. bodova M i M 1 su pozvani simetrično u odnosu na ravan α ako je avion α prolazi kroz sredinu segmenta MM 1 i okomita je na ovaj segment.
4. Dot O(ravno l, avion α ) se zove centar (osa, ravan) simetrije figure, ako je svaka tačka figure simetrična u odnosu na tačku O(ravno l, avion α ) do neke tačke iste figure.
5. Konveksni poliedar se naziva u pravu, ako su sva njegova lica pravilni poligoni jednaki jedan drugom i isti broj ivica konvergira na svakom vrhu.

Prizma

definicije:

1. Prizma- poliedar, čija su dva lica jednaki poligoni koji leže u paralelnim ravnima, a preostale strane su paralelogrami koji imaju zajedničke stranice sa ovim poligonima.
2. osnova - to su dva lica koja su jednaki poligoni koji leže u paralelnim ravnima. Na crtežu je: ABCDE i KLMNP.
3. Bočne strane- sva lica osim baza. Svaka bočna strana je nužno paralelogram. Na crtežu je: ABLK, BCML, CDNM, DEPN i EAKP.
4. Bočna površina- spoj bočnih strana.
5. Puna površina- spoj baza i bočne površine.
6. Bočna rebra su zajedničke strane bočnih strana. Na crtežu je: AK, BL, CM, DN i EP.
7. Visina- segment koji povezuje osnove prizme i okomit na njih. Na crtežu, npr. KR.
8. Dijagonala- segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istom licu. Na crtežu, npr. BP.
9. Dijagonalna ravan je ravan koja prolazi kroz bočnu ivicu prizme i dijagonalu baze. Druga definicija: dijagonalne ravni- ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice prizme koje ne pripadaju istoj površini.
10. Dijagonalni presjek- presek prizme i dijagonalne ravni. U presjeku se formira paralelogram, uključujući, ponekad, njegove posebne slučajeve - romb, pravougaonik, kvadrat. Na crtežu, npr. EBLP.
11. Okomit (ortogonalni) presjek- presek prizme i ravni okomite na njenu bočnu ivicu.

Svojstva i formule za prizmu:

• Osnove prizme su jednaki poligoni.
• Bočne strane prizme su paralelogrami.
• Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.
• Volumen prizme jednak umnošku njegove visine i površine osnove:

gdje: S baza - površina baze (na crtežu, npr. ABCDE), h- visina (na crtežu je MN).

• Ukupna površina prizme jednak je zbiru površine njegove bočne površine i dvostruke površine baze:

• Okomit presjek je okomit na sve bočne ivice prizme (na donjem crtežu, okomiti presjek je A 2 B 2 C 2 D 2 E 2).
• Uglovi okomitog presjeka su linearni uglovi diedarskih uglova na odgovarajućim bočnim ivicama.
• Okomit (ortogonalni) presjek je okomit na sve bočne strane.
• Volumen nagnute prizme jednak je umnošku površine okomitog presjeka i dužine bočnog rebra:

gdje: S sec - površina okomitog presjeka, l- dužina bočnog rebra (na donjem crtežu, npr. aa 1 ili BB 1 i tako dalje).

• Bočna površina proizvoljne prizme jednak je proizvodu obima okomitog presjeka i dužine bočne ivice:

gdje: P sec - obim okomitog presjeka, l je dužina bočne ivice.

Vrste prizmi u stereometriji:

• Ako bočne ivice nisu okomite na bazu, onda se takva prizma naziva koso(na slici iznad). Osnove takve prizme, kao i obično, nalaze se u paralelnim ravninama, bočne ivice nisu okomite na ove ravnine, već paralelne jedna s drugom. Bočne strane su paralelogrami.
• - prizma u kojoj su sve bočne ivice okomite na osnovu. U pravoj prizmi, bočne ivice su visine. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici. A površina i perimetar baze jednaki su površini i perimetru okomitog presjeka (za ravnu prizmu, općenito govoreći, cijeli okomiti presjek je ista figura kao baza). Dakle, površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i dužine bočne ivice (ili, u ovom slučaju, visine prizme):

gdje: P baza - obim osnove ravne prizme, l- dužina bočne ivice, jednaka u pravoj prizmi visini ( h). Zapremina ravne prizme nalazi se po općoj formuli: V = S glavni ∙ h = S glavni ∙ l.

• Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon (odnosno onaj u kojem su sve strane i svi uglovi međusobno jednaki), a bočne ivice su okomite na ravni baze. Primjeri ispravnih prizmi:

Svojstva ispravne prizme:

1. Osnove pravilne prizme su pravilni poligoni.
2. Bočne strane pravilne prizme su jednaki pravokutnici.
3. Bočne ivice pravilne prizme jednake su jedna drugoj.
4. Ispravna prizma je ravna.

Definicija: paralelepiped - To je prizma čije su osnove paralelogrami. U ovoj definiciji, ključna riječ je "prizma". Dakle, paralelepiped je poseban slučaj prizme, koji se od opšteg slučaja razlikuje samo po tome što mu osnova nije proizvoljni poligon, već paralelogram. Stoga, sva gornja svojstva, formule i definicije u vezi s prizmom ostaju relevantne za paralelepiped. Međutim, postoji nekoliko dodatnih svojstava karakterističnih za paralelepiped.

Ostala svojstva i definicije:

• Zovu se dvije strane paralelepipeda koje nemaju zajedničku ivicu suprotno, i imaju zajedničku ivicu - povezani.
• Zovu se dva vrha paralelepipeda koji ne pripadaju istom licu suprotno.
• Segment prave koji povezuje suprotne vrhove se zove dijagonala paralelepiped.
• Paralelepiped ima šest lica i sve su paralelogrami.
• Suprotne strane paralelepipeda su jednake i paralelne u parovima.
• Paralelepiped ima četiri dijagonale; svi se seku u jednoj tački, a svaki od njih je tom tačkom prepolovljen.
• Ako su četiri bočne strane paralelepipeda pravokutnici (a osnovice proizvoljni paralelogrami), onda se naziva direktno(u ovom slučaju, kao i kod prave prizme, sve bočne ivice su okomite na baze). Sva svojstva i formule za ravnu prizmu su relevantne za pravi paralelepiped.
• Paralelepiped se zove koso ako nisu sve njegove bočne strane pravokutnici.
• Zapremina pravog ili kosog okvira izračunava se po opštoj formuli za zapreminu prizme, tj. jednak je umnošku površine osnove paralelepipeda i njegove visine ( V = S glavni ∙ h).
• Pravi paralelepiped, u kojem su svih šest lica pravougaonici (tj., osim bočnih, osnove su i pravokutnici), naziva se pravougaona. Za kvadar su relevantna sva svojstva kvadra, kao i:
  • d i njegova rebra a, b, c povezano omjerom:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

• • Iz opće formule za volumen prizme može se dobiti sljedeća formula za zapremina kvadra:

• Zove se pravougaoni paralelepiped čija su sva lica jednaka kvadrata kocka. Između ostalog, kocka je pravilna četverougaona prizma i općenito pravilan poliedar. Za kocku vrijede sva svojstva pravokutnog paralelepipeda i svojstva pravilnih prizmi, kao i:
  • Apsolutno sve ivice kocke su jednake jedna drugoj.
  • kocka dijagonala d i dužina njegove ivice a povezano omjerom:

• Iz formule za volumen pravokutnog paralelepipeda može se dobiti sljedeća formula za zapremina kocke:

Piramida

definicije:

• Piramida je poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi sa zajedničkim vrhom. Prema broju uglova baze, piramide su trouglaste, četvorougaone i tako dalje. Na slici su prikazani primjeri: četverokutne i šesterokutne piramide.

• Baza je poligon kojem ne pripada vrh piramide. Na crtežu je osnova BCDE.
• Lica koja nisu osnova se nazivaju bočno. Na crtežu je: ABC, ACD, ADE i AEB.
• Zajednički vrh bočnih strana se zove vrh piramide(upravo vrh cijele piramide, a ne samo vrh, kao svi drugi vrhovi). Na crtežu A.
• Rubovi koji spajaju vrh piramide sa vrhom baze nazivaju se bočno. Na crtežu je: AB, AC, AD i AE.
• Označavajući piramidu, prvo nazivaju njen vrh, a zatim - vrhove baze. Za piramidu sa crteža, oznaka će biti sljedeća: ABCDE.

• Visinapiramide naziva se okomica povučena od vrha piramide do njene osnove. Dužina ove okomice je označena slovom H. Na crtežu je visina AG. Bilješka: samo ako je piramida pravilna četvorougaona piramida (kao na crtežu), visina piramide pada na dijagonalu osnove. U drugim slučajevima to nije slučaj. U opštem slučaju, za proizvoljnu piramidu, tačka preseka visine i baze može biti bilo gde.
• apotema - visina bočne ivice ispravan piramida izvučena sa njenog vrha. Na crtežu, npr. AF.
• Dijagonalni presjek piramide- presek piramide, koji prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu osnove. Na crtežu, npr. ACE.

Još jedan stereometrijski crtež sa simbolima za bolje pamćenje(na slici ispravna trouglasta piramida):

Ako sve bočne ivice ( SA, SB, SC, SD na donjem crtežu) piramide su jednake, tada:

• Krug se može opisati blizu osnove piramide, a vrh piramide je projektovan u njeno središte (tačka O). Drugim riječima, visina (linija SO), spušten sa vrha takve piramide na podnožje ( A B C D), pada u centar opisane kružnice oko baze, tj. u tački presjeka okomitih sredina baze.
• Bočna rebra formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom (na donjem crtežu, to su uglovi SAO, SBO, SCO, SDO).

Bitan: Vrijedi i suprotno, to jest, ako bočne ivice formiraju jednake kutove s ravninom osnove, ili ako se krug može opisati u blizini osnove piramide, a vrh piramide se projektuje u njeno središte, tada sve strane ivice piramide su jednake.

Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom (uglovi DMN, DKN, DLN na donjem crtežu su jednaki), tada:

• U podnožje piramide može biti upisan krug, a vrh piramide je projektovan u njeno središte (tačka N). Drugim riječima, visina (linija DN), spušten sa vrha takve piramide na osnovu, pada u centar kruga upisanog u osnovu, tj. do tačke preseka simetrala baze.
• Visine bočnih strana (apotema) su jednake. Na crtežu ispod DK, DL, DM- jednake apoteme.
• Bočna površina takve piramide jednak polovini umnoška opsega osnove i visine bočne strane (apoteme).

gdje: P- perimetar osnove, a- dužina apotema.

Bitan: Vrijedi i suprotno, to jest, ako se krug može upisati u bazu piramide, a vrh piramide se projektuje u njeno središte, tada su sve bočne strane nagnute prema ravni osnove pod istim uglom i visine bočnih strana (apotema) su jednake.

Ispravna piramida

definicija: Piramida se zove ispravan, ako je njegova osnova pravilan poligon, a vrh je projektovan u centar baze. Tada ima sljedeća svojstva:

• Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake.
• Sve bočne strane pravilne piramide su nagnute prema ravni osnove pod jednim uglom.

Važna napomena: Kao što vidite, pravilne piramide su jedne od onih piramida koje uključuju svojstva koja su gore opisana. Zaista, ako je osnova pravilne piramide pravilan poligon, tada se središte njenih upisanih i opisanih krugova poklapa, a vrh pravilne piramide se projektuje upravo u ovo središte (po definiciji). Međutim, važno je to razumjeti ne samo tačno piramide mogu imati gore navedena svojstva.

• U pravilnoj piramidi, sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi.
• U bilo kojoj pravilnoj piramidi možete i upisati sferu i opisati sferu oko nje.
• Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška perimetra osnove i apoteme.

Formule za zapreminu i površinu piramide

Teorema(o zapremini piramida jednakih visina i jednakih površina baza). Dvije piramide koje imaju jednake visine i jednake površine osnova imaju jednake zapremine (naravno, vjerovatno već znate formulu za zapreminu piramide, pa, ili je vidite nekoliko redaka ispod, i ova izjava vam se čini očigledna, ali u stvari, prosuđujući "na oko", onda ova teorema nije tako očigledna (vidi sliku ispod). Usput, ovo se odnosi i na druge poliedre i geometrijske figure: njihov izgled je varljiv, dakle, zaista - u matematici treba vjerovati samo formulama i ispravnim proračunima).

• zapremina piramide može se izračunati pomoću formule:

gdje: S baza je površina osnove piramide, h je visina piramide.

• Bočna površina piramide jednak je zbiru površina bočnih strana. Za površinu bočne površine piramide, formalno se može napisati sljedeća stereometrijska formula:

gdje: S strana - bočna površina, S 1 , S 2 , S 3 - područja bočnih strana.

• Puna površina piramide jednak zbroju površine bočne površine i površine baze:

definicije:

• - najjednostavniji poliedar čija su lica četiri trougla, drugim riječima, trokutna piramida. Za tetraedar, bilo koja njegova strana može poslužiti kao osnova. Ukupno, tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 ivica.
• Tetraedar se zove u pravu ako su mu sva lica jednakostranični trouglovi. Za pravilan tetraedar:
  1. Sve ivice pravilnog tetraedra su jednake.
  2. Sve strane pravilnog tetraedra su jednake jedna drugoj.
  3. Perimetri, površine, visine i svi ostali elementi svih lica su međusobno jednaki.

Na crtežu je prikazan pravilan tetraedar, dok su trouglovi ABC, ADC, CBD, loše su jednaki. Iz opštih formula za zapreminu i površine piramide, kao i znanja iz planimetrije, nije teško dobiti formule za zapremina i površina pravilnog tetraedra(a- dužina rebra):

definicija: Prilikom rješavanja zadataka u stereometriji, piramida se naziva pravougaona, ako je jedan od bočnih rubova piramide okomit na bazu. U ovom slučaju, ova ivica je visina piramide. Ispod su primjeri trokutastih i peterokutnih pravokutnih piramida. Slika na lijevoj strani SA je ivica koja je ujedno i visina.

Krnja piramida

Definicije i svojstva:

• krnje piramide naziva se poliedar zatvoren između osnove piramide i rezne ravni paralelne njenoj osnovi.
• Naziva se i figura dobijena na presjeku rezne ravnine i originalne piramide osnovu krnje piramide. Dakle, skraćena piramida na crtežu ima dvije osnove: ABC i A 1 B 1 C 1 .
• Bočne strane krnje piramide su trapezi. Na crtežu, npr. aa 1 B1B.
• Bočni rubovi skraćene piramide nazivaju se dijelovi ivica originalne piramide, zatvoreni između baza. Na crtežu, npr. aa 1 .
• Visina skraćene piramide je okomica (ili dužina ove okomice) povučena iz neke tačke u ravni jedne osnove do ravni druge osnove.
• Skraćena piramida se zove ispravan, ako se radi o poliedru koji je odsječen ravninom koja je paralelna bazi ispravan piramide.
• Osnove pravilne skraćene piramide su pravilni poligoni.
• Bočne strane pravilne skraćene piramide su jednakokraki trapezi.
• apothem pravilna skraćena piramida naziva se visina njenog bočnog lica.
• Površina bočne površine krnje piramide je zbir površina svih njenih bočnih strana.

Formule za skraćenu piramidu

Zapremina krnje piramide je:

gdje: S 1 i S 2 - osnovne površine, h je visina krnje piramide. Međutim, u praksi je prikladnije tražiti volumen skraćene piramide na sljedeći način: možete dovršiti skraćenu piramidu do piramide, protežući bočne rubove do sjecišta. Tada se zapremina krnje piramide može naći kao razlika između volumena cijele piramide i završenog dijela. Bočna površina se također može naći kao razlika između bočnih površina cijele piramide i završenog dijela. Bočna površina pravilne skraćene piramide jednak je poluproizvodu zbira opsega njegovih baza i apoteme:

gdje: P 1 i P 2 - osnovni perimetri ispravan krnja piramida, a- dužina apotema. Ukupna površina bilo koje skraćene piramide očito se nalazi kao zbir površina baza i bočne površine:

Piramida i lopta (sfera)

Teorema: Oko piramide opišite obim kada u osnovi piramide leži upisani poligon (tj. poligon oko kojeg se može opisati sfera). Ovaj uslov je neophodan i dovoljan. Centar sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih.

Napomena: Iz ove teoreme slijedi da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide. Međutim, lista piramida u blizini kojih se sfera može opisati nije ograničena na ove vrste piramida. Na crtežu desno, u visini SH treba izabrati tačku O, jednako udaljen od svih vrhova piramide: SO = OB = OS = OD = OA. Onda poenta O je centar opisane sfere.

Teorema: Možeš u piramidi upisati sferu kada se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.

komentar: Očigledno niste razumeli šta ste pročitali u gornjem redu. Međutim, važno je to zapamtiti svaka pravilna piramida je ona u koju se može upisati sfera. Istovremeno, lista piramida u koje se sfera može upisati nije iscrpljena ispravnim.

Definicija: Simetralna ravan dijeli diedarski ugao na pola, a svaka tačka simetralne ravni jednako je udaljena od lica koja formiraju diedarski ugao. Figura na desnoj ravni γ je simetrala ravan diedarskog ugla koji formiraju ravnine α i β .

Stereometrijski crtež ispod prikazuje loptu upisanu u piramidu (ili piramidu opisanu u blizini lopte), dok je tačka O je centar upisane sfere. Ova tačka O jednako udaljen od svih strana lopte, na primjer:

OM = OO 1

piramida i konus

U stereometriji konus se naziva upisanim u piramidu, ako im se vrhovi poklapaju, a njegova baza je upisana u bazu piramide. Štaviše, konus je moguće upisati u piramidu samo kada su apoteme piramide jednake jedna drugoj (nužan i dovoljan uslov).

Konus se naziva upisanim u blizini piramide kada im se vrhovi poklapaju, a njegova osnova je opisana blizu osnove piramide. Štaviše, konus je moguće opisati u blizini piramide samo kada su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj (nužan i dovoljan uslov).

Važna imovina:

piramida i cilindar

Za cilindar se kaže da je upisan u piramidu, ako se jedna od njegovih osnova poklapa sa kružnicom ravni upisane u presjek piramide, paralelna osnovici, a druga baza pripada osnovici piramide.

Za cilindar se kaže da je opisan u blizini piramide, ako vrh piramide pripada jednoj od njenih baza, a njena druga baza je opisana blizu osnove piramide. Štaviše, cilindar u blizini piramide moguće je opisati samo kada postoji upisani poligon u osnovi piramide (neophodan i dovoljan uslov).

Sfera i lopta

definicije:

1. Sfera- zatvorena površina, lokus tačaka u prostoru jednako udaljenih od date tačke, tzv centar sfere. Sfera je također tijelo okretanja koje nastaje rotacijom polukruga oko svog prečnika. poluprečnik sfere naziva se segment koji povezuje centar sfere sa bilo kojom tačkom sfere.
2. Chordoy sfera je segment koji spaja dvije tačke na sferi.
3. prečnika sfera se naziva tetiva koja prolazi kroz njeno središte. Središte sfere dijeli bilo koji njen prečnik na dva jednaka segmenta. Bilo koji prečnik sfere sa radijusom R je 2 R.
4. Lopta- geometrijsko tijelo; skup svih tačaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od određene udaljenosti od određenog centra. Ova udaljenost se zove polumjer lopte. Lopta se formira rotacijom polukruga oko svog fiksnog prečnika. Bilješka: površina (ili granica) sfere naziva se sfera. Moguće je dati sljedeću definiciju lopte: geometrijsko tijelo se naziva lopta, koja se sastoji od sfere i dijela prostora omeđenog tom sferom.
5. Radijus, akord i prečnika lopta se nazivaju poluprečnik, tetiva i prečnik sfere, koja je granica ove lopte.
6. Razlika između lopte i kugle je slična razlici između kruga i kruga. Krug je prava, a krug su takođe sve tačke unutar ove prave. Sfera je školjka, a lopta su takođe sve tačke unutar ove ljuske.
7. Zove se ravan koja prolazi kroz centar sfere (kuglice). dijametralnu ravninu.
8. Presjek kugle (kuglice) dijametralnom ravninom naziva se veliki krug (veliki krug).

Teoreme:

• Teorema 1(na preseku sfere ravninom). Presjek kugle ravninom je krug. Imajte na umu da tvrdnja teoreme ostaje istinita čak i ako ravan prolazi kroz centar sfere.
• Teorema 2(na preseku sfere ravninom). Presjek lopte ravninom je kružnica, a osnova okomice povučene iz središta lopte u ravninu presjeka je centar kružnice dobijene u presjeku.

Najveći krug, od onih koji se mogu dobiti u presjeku date lopte ravninom, leži u presjeku koji prolazi kroz centar lopte O. To se zove veliki krug. Njegov radijus je jednak poluprečniku sfere. Bilo koja dva velika kruga seku se u prečniku lopte AB. Ovaj prečnik je ujedno i prečnik velikih krugova koji se sijeku. Kroz dvije tačke sferne površine koje se nalaze na krajevima istog prečnika (na sl. A i B), možete nacrtati beskonačan broj velikih krugova. Na primjer, kroz polove Zemlje može se povući beskonačan broj meridijana.

definicije:

1. Tangentna ravan na sferu naziva se ravan koja ima samo jednu zajedničku tačku sa sferom, a njihova zajednička tačka se naziva dodirna tačka ravnine i sfere.
2. Tangentna ravan na loptu naziva se tangentna ravan na sferu, koja je granica ove lopte.
3. Svaka prava koja leži u tangentnoj ravni sfere (kuglice) i prolazi kroz tačku dodira naziva se tangenta na pravu liniju na kuglu (loptu). Po definiciji, tangentna ravan ima samo jednu zajedničku tačku sa sferom, dakle, tangentna linija takođe ima samo jednu zajedničku tačku sa sferom - tačku dodira.

Teoreme:

• Teorema 1(znak tangentne ravni na sferu). Ravan okomita na poluprečnik sfere i koja prolazi kroz njen kraj koji leži na sferi dodiruje sferu.
• Teorema 2(o svojstvu tangentne ravni na sferu). Tangentna ravan na sferu je okomita na poluprečnik povučen do tačke dodira.

Poliedri i sfera

definicija: U stereometriji se naziva poliedar (kao što je piramida ili prizma). upisano u obim ako svi njegovi vrhovi leže na sferi. U ovom slučaju, sfera se naziva opisana u blizini poliedra (piramide, prizme). Slično: poliedar se zove upisan u loptu ako svi njegovi vrhovi leže na granici ove lopte. U ovom slučaju se kaže da je lopta upisana blizu poliedra.

Važno svojstvo: Centar sfere opisane oko poliedra nalazi se na udaljenosti jednakoj poluprečniku R sfere, iz svakog vrha poliedra. Evo primjera poliedara upisanih u sferu:

definicija: Poliedar se zove opisano o sferi (lopti), ako se kugla (lopta) dodirne sve lica poliedra. U ovom slučaju, sfera i lopta se nazivaju upisanim u poliedar.

Važno: Centar sfere upisane u poliedar nalazi se na udaljenosti jednakoj poluprečniku r sfere, iz svake ravnine koja sadrži lica poliedra. Evo primjera poliedara opisanih u blizini sfere:

Zapremina i površina sfere

Teoreme:

• Teorema 1(o površini sfere). Površina sfere je:

gdje: R je poluprečnik sfere.

• Teorema 2(o zapremini lopte). Zapremina sfere poluprečnika R izračunato po formuli:

Segment lopte, sloj, sektor

U stereometriji segment lopte naziva se dio lopte odsječen reznom ravninom. U ovom slučaju, omjer između visine, polumjera osnove segmenta i polumjera lopte:

gdje: h− visina segmenta, r− polumjer osnove segmenta, R− polumjer kugle. Površina osnove sfernog segmenta:

Površina vanjske površine sfernog segmenta:

Puna površina segmenta lopte:

Volumen segmenta lopte:

U stereometriji sferni sloj Zove se dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravni. Površina vanjske površine sfernog sloja:

gdje: h je visina sfernog sloja, R− polumjer kugle. Puna površina sfernog sloja:

gdje: h je visina sfernog sloja, R− radijus lopte, r 1 , r 2 su poluprečnici osnova sfernog sloja, S 1 , S 2 su površine ovih baza. Zapremina sfernog sloja najjednostavnije se nalazi kao razlika između volumena dva sferna segmenta.

U stereometriji lopta sektor naziva se dio lopte, koji se sastoji od sfernog segmenta i konusa s vrhom u centru lopte i osnovom koja se poklapa sa bazom sfernog segmenta. Ovdje se pretpostavlja da je segment lopte manji od polovine lopte. Puna površina sfernog sektora:

gdje: h je visina odgovarajućeg sfernog segmenta, r je polumjer osnove sfernog segmenta (ili konusa), R− polumjer kugle. Volumen sfernog sektora izračunava se po formuli:

definicije:

1. U nekoj ravni, razmotrite krug sa centrom O i radijus R. Kroz svaku tačku kružnice povlačimo pravu okomitu na ravan kružnice. Cilindrična površina naziva se figura koju čine ove linije, a nazivaju se i same linije formirajući cilindričnu površinu. Svi generatori cilindrične površine su međusobno paralelni, jer su okomiti na ravan kružnice.

1. Pravi kružni cilindar ili jednostavno cilindar naziva se geometrijsko tijelo omeđeno cilindričnom površinom i dvije paralelne ravni koje su okomite na generatore cilindrične površine. Neformalno, cilindar možete zamisliti kao ravnu prizmu sa krugom u osnovi. To će pomoći da se lako razumiju i, ako je potrebno, izvedu formule za volumen i površinu bočne površine cilindra.
2. Bočna površina cilindra dio cilindrične površine koji se nalazi između reznih ravnina koje su okomite na njenu generatricu naziva se, a dijelovi (krugovi) odsječeni cilindričnom površinom na paralelnim ravninama nazivaju se baze cilindara. Osnove cilindra su dva jednaka kruga.
3. Generator cilindra naziva se segment (ili dužina ovog segmenta) generatrise cilindrične površine, koji se nalazi između paralelnih ravnina u kojima leže osnove cilindra. Svi generatori cilindra su paralelni i jednaki jedan drugom, a takođe i okomiti na baze.
4. Osa cilindra naziva se segment koji povezuje središta kružnica koje su osnove cilindra.
5. visina cilindra naziva se okomica (ili dužina ove okomice), povučena iz neke tačke u ravni jedne baze cilindra u ravninu druge baze. U cilindru visina je jednaka generatrisi.
6. Radijus cilindra naziva se poluprečnik njegovih baza.
7. Cilindar se zove equilateral ako je njegova visina jednaka prečniku osnove.
8. Cilindar se može dobiti okretanjem pravougaonika oko jedne od njegovih strana za 360°.
9. Ako je rezna ravnina paralelna s osi cilindra, tada je presjek cilindra pravougaonik, čije su dvije strane generatori, a druge dvije su tetive osnova cilindra.
10. Aksijalni presjek Cilindar je presjek cilindra ravninom koja prolazi kroz njegovu osu. Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik čije su dvije stranice generatori cilindra, a druge dvije su prečnici njegovih baza.
11. Ako je rezna ravnina okomita na os cilindra, tada se formira krug u presjeku jednakom bazama. Na donjem crtežu: lijevo - aksijalni presjek; u sredini - presjek paralelan s osi cilindra; desno - dio paralelan s bazom cilindra.

Cilindar i prizma

Za prizmu se kaže da je upisana u cilindar ako su njegove osnove upisane u osnovice cilindra. U ovom slučaju se kaže da je cilindar opisan oko prizme. Visina prizme i visina cilindra u ovom slučaju će biti jednake. Sve bočne ivice prizme će pripadati bočnoj površini cilindra i poklapati se sa njegovim generatorima. Pošto pod cilindrom podrazumijevamo samo pravi cilindar, u takav cilindar može se upisati i samo ravna prizma. primjeri:

Kaže se da je prizma opisana oko cilindra, ako su njegove baze opisane u blizini osnova cilindra. U ovom slučaju se kaže da je cilindar upisan u prizmu. Visina prizme i visina cilindra u ovom slučaju će također biti jednake. Sve bočne ivice prizme će biti paralelne sa generatrisom cilindra. Kako pod cilindrom podrazumijevamo samo ravan cilindar, takav se cilindar može upisati samo u pravu prizmu. primjeri:

Cilindar i sfera

Kugla (kugla) se naziva upisana u cilindar ako dodirne osnove cilindra i svaki njegov generator. U ovom slučaju, cilindar se naziva opisanim oko kugle (loptice). Kugla se može upisati u cilindar samo ako je jednakostranični cilindar, tj. njegov osnovni prečnik i visina su jednaki. Središte upisane sfere biće sredina ose cilindra, a poluprečnik ove sfere će se poklopiti sa poluprečnikom cilindra. primjer:

Za cilindar se kaže da je upisan u sferu, ako su krugovi baza cilindra dijelovi sfere. Za cilindar se kaže da je upisan u sferu ako su osnove cilindra dijelovi sfere. U ovom slučaju, kugla (sfera) se naziva upisana u blizini cilindra. Sfera se može opisati oko bilo kojeg cilindra. Središte opisane sfere također će biti sredina ose cilindra. primjer:

Na osnovu Pitagorine teoreme, lako je dokazati sljedeću formulu koja se odnosi na polumjer opisane sfere ( R), visina cilindra ( h) i radijus cilindra ( r):

Zapremina i površina bočne i pune površine cilindra

Teorema 1(o površini bočne površine cilindra): Površina bočne površine cilindra jednaka je umnošku obima njegove osnove i visine:

gdje: R je poluprečnik osnove cilindra, h- njegova visoka. Ova formula se lako izvodi (ili dokazuje) na osnovu formule za bočnu površinu ravne prizme.

Puna površina cilindra, kao i obično u stereometriji, je zbir površina bočne površine i dvije baze. Površina svake baze cilindra (tj. samo površina kruga) izračunava se po formuli:

Dakle, ukupna površina cilindra S pun cilindar se izračunava po formuli:

Teorema 2(o zapremini cilindra): Zapremina cilindra jednaka je proizvodu površine osnove i visine:

gdje: R i h su poluprečnik i visina cilindra, respektivno. Ova formula se takođe lako izvodi (dokazuje) na osnovu formule za zapreminu prizme.

Teorema 3(Arhimed): Zapremina kugle je jedan i po puta manja od zapremine cilindra opisanog oko nje, a površina takve lopte je jedan i po puta manja od ukupne površine isti cilindar:

Kornet

definicije:

1. Konus (tačnije, kružni konus) naziva se tijelo, koje se sastoji od kruga (tzv konus baza), tačka koja ne leži u ravni ove kružnice (tzv vrh konusa) i sve moguće segmente koji povezuju vrh konusa sa tačkama baze. Neformalno, konus možete percipirati kao pravilnu piramidu, koja ima krug u osnovi. To će pomoći da se lako razumiju, i ako je potrebno, izvedu formule za volumen i površinu bočne površine stošca.

1. Segmenti (ili njihove dužine) koji povezuju vrh konusa sa tačkama kružnice baze nazivaju se formiranje konusa. Svi generatori pravog kružnog konusa su međusobno jednaki.
2. Površina konusa sastoji se od osnove stošca (krug) i bočne površine (sastavljene od svih mogućih generatora).
3. Unija generatora konusa se zove generatrisa (ili bočna) površina konusa. Generator konusa je konusna površina.
4. Konus se zove direktno ako je prava koja povezuje vrh stošca sa središtem osnove okomita na ravan baze. U nastavku ćemo razmotriti samo desni konus, nazivajući ga jednostavno konusom radi kratkoće.
5. Vizuelno, pravi kružni konus se može zamisliti kao tijelo koje se dobije rotacijom pravokutnog trokuta oko svoje noge kao ose. U ovom slučaju, bočna površina stošca nastaje rotacijom hipotenuze, a baza se formira rotacijom kraka, koji nije os.
6. radijus konusa naziva poluprečnik njegove osnove.
7. visina konusa nazvana okomom (ili njenom dužinom), spuštena od vrha do ravni baze. Za pravi konus, osnova visine poklapa se sa centrom baze. Osa pravog kružnog konusa je prava linija koja sadrži njegovu visinu, tj. prava linija koja prolazi kroz centar baze i vrha.
8. Ako rezna ravnina prolazi kroz os konusa, tada je presjek jednakokraki trokut, čija je osnova promjer osnove konusa, a stranice su generatriksa konusa. Takav rez se zove aksijalni.

1. Ako rezna ravnina prolazi kroz unutrašnju tačku visine stošca i okomita je na nju, tada je presjek stošca kružnica čiji je centar točka presjeka visine i ove ravni.
2. visina ( h), radijus ( R) i dužina generatrikse ( l) pravog kružnog konusa zadovoljavaju očiglednu relaciju:

Zapremina i površina bočne i pune površine konusa

Teorema 1(na području bočne površine stošca). Površina bočne površine stošca jednaka je umnošku polovine obima baze i generatrikse:

gdje: R je poluprečnik osnove stošca, l je dužina generatrise konusa. Ova formula se lako izvodi (ili dokazuje) na osnovu formule za bočnu površinu pravilne piramide.

Puna površina konusa je zbir bočne površine i površine baze. Površina osnove stošca (tj. samo površina kruga) je: S baza = πR 2. Dakle, ukupna površina konusa S pun konus se izračunava po formuli:

Teorema 2(na volumenu konusa). Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini površine osnove pomnožene sa visinom:

gdje: R je poluprečnik osnove stošca, h- njegova visoka. Ova formula se takođe lako izvodi (dokazuje) na osnovu formule za zapreminu piramide.

definicije:

1. Ravan paralelna sa osnovom konusa i koja siječe konus odsijeca od njega manji konus. Ostalo se zove skraćeni konus.

1. Osnova prvobitnog konusa i kružnica dobijena u presjeku ovog konusa ravninom nazivaju se osnove, i segment koji povezuje njihove centre - visina krnjeg konusa.
2. Prava linija koja prolazi kroz visinu krnjeg stošca (tj. kroz središta njegovih osnova) je njegova osa.
3. Dio bočne površine stošca koji omeđuje krnji konus naziva se njegov bočna površina, a segmenti generatrikse stošca koji se nalaze između osnova krnjeg stošca nazivaju se njegovim generiranje.
4. Svi generatori krnjeg konusa su međusobno jednaki.
5. Skraćeni konus se može dobiti rotiranjem pravougaonog trapeza za 360° oko njegove strane okomito na osnove.

Formule za skraćeni konus:

Zapremina krnjeg konusa jednaka je razlici između volumena punog konusa i konusa odsječenog ravninom koja je paralelna s osnovom konusa. Volumen skraćenog konusa izračunava se po formuli:

gdje: S 1 = π r 1 2 i S 2 = π r 2 2 - površine baza, h je visina skraćenog konusa, r 1 i r 2 - radijusi gornje i donje osnove skraćenog konusa. Međutim, u praksi je još zgodnije tražiti volumen krnjeg konusa kao razliku između volumena originalnog konusa i odsječenog dijela. Bočna površina krnjeg konusa može se naći i kao razlika između bočnih površina originalnog konusa i odsječenog dijela.

Zaista, površina bočne površine skraćenog konusa jednaka je razlici između površina bočnih površina punog konusa i konusa odsječenog ravninom koja je paralelna s osnovom konusa. Bočna površina krnjeg konusa izračunato po formuli:

gdje: P 1 = 2π r 1 i P 2 = 2π r 2 - perimetri osnova krnjeg konusa, l- dužina generatrise. Ukupna površina krnjeg konusa, očito, nalazi se kao zbir površina baza i bočne površine:

Imajte na umu da su formule za volumen i površinu bočne površine krnjeg konusa izvedene iz formula za slične karakteristike pravilne skraćene piramide.

Konus i sfera

Za konus se kaže da je upisan u sferu(lopta), ako njen vrh pripada sferi (granica lopte), a obim baze (sama baza) je presjek sfere (kuglice). U ovom slučaju, sfera (lopta) se naziva opisana u blizini konusa. Sfera se uvijek može opisati oko pravog kružnog konusa. Središte opisane sfere će ležati na pravoj liniji koja sadrži visinu stošca, a poluprečnik ove sfere će biti jednak poluprečniku kružnice opisane oko aksijalnog presjeka stošca (ovaj presjek je jednakokraki trokut) . primjeri:

Kugla (lopta) se naziva upisana u konus, ako kugla (lopta) dodiruje bazu stošca i svaki od njegovih generatora. U ovom slučaju, konus se naziva upisanim u blizini sfere (kuglice). Kugla se uvijek može upisati u pravi kružni konus. Njegov centar će ležati u visini konusa, a poluprečnik upisane sfere će biti jednak poluprečniku kružnice upisane u aksijalnom presjeku konusa (ovaj presjek je jednakokraki trokut). primjeri:

Konus i piramida

• Konus se naziva upisanim u piramidu (piramida je opisana u blizini konusa) ako je osnova konusa upisana u bazu piramide, a vrhovi konusa i piramide se poklapaju.
• Piramida se naziva upisana u konus (konus je opisan u blizini piramide) ako je njena osnova upisana u bazu konusa, a bočne ivice su generatori konusa.
• Visine takvih čunjeva i piramida jednake su jedna drugoj.

Bilješka: Više detalja o tome kako se u čvrstoj geometriji konus uklapa u piramidu ili je opisan u blizini piramide, već je razmotreno u

Kako se uspješno pripremiti za CT iz fizike i matematike?

Da bi bili uspješni pripremite se za CT u fizici i matematici, između ostalog, moraju biti ispunjena tri bitna uslova:

1. Proučite sve teme i ispunite sve date testove i zadatke materijali za obuku na toj web stranici. Da biste to učinili, ne trebate baš ništa, naime: svaki dan posvetiti tri do četiri sata pripremi za CT iz fizike i matematike, proučavanju teorije i rješavanju problema. Činjenica je da je CT ispit na kojem nije dovoljno samo poznavati fiziku ili matematiku, već morate biti u stanju brzo i bez grešaka riješiti veliki broj zadataka različitih tema i različite složenosti. Ovo poslednje se može naučiti samo rešavanjem hiljada problema.
2. naučiti sve formule i zakoni u fizici, i formule i metode u matematici. U stvari, i to je vrlo jednostavno učiniti, postoji samo oko 200 potrebnih formula u fizici, a još nešto manje u matematici. U svakom od ovih predmeta postoji desetak standardnih metoda za rješavanje problema osnovnog nivoa složenosti, koje se također mogu naučiti, te tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti veći dio digitalne transformacije u pravo vrijeme. Nakon toga ćete morati razmišljati samo o najtežim zadacima.
3. Posjetite sve tri faze probno testiranje u fizici i matematici. Svaki RT se može posjetiti dva puta kako bi se riješile obje opcije. Opet, na DT-u, pored sposobnosti brzog i efikasnog rješavanja problema, te poznavanja formula i metoda, potrebno je i znati pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage i što je najvažnije ispravno popuniti formular za odgovore, ne brkajući ni brojeve odgovora i problema, ni svoje ime. Takođe, tokom RT-a je važno da se naviknete na stil postavljanja pitanja u zadacima, što može izgledati vrlo neobično nespremnoj osobi na DT-u.

Uspješna, marljiva i odgovorna implementacija ove tri tačke omogućit će vam da na CT-u pokažete odličan rezultat, maksimum onoga za što ste sposobni.

Pronašli ste grešku?

Ako ste, kako vam se čini, pronašli grešku u materijalima za obuku, napišite o tome poštom. O grešci možete pisati i na društvenoj mreži (). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem je, po vašem mišljenju, došlo do greške. Također opišite koja je navodna greška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, greška će biti ili ispravljena, ili će Vam biti objašnjeno zašto nije greška.