Zapremina pravilne šestougaone piramide je 6 strana. Piramida

Piramide su: trouglaste, četvorougaone itd., zavisno od osnove - trougao, četvorougao itd.
Piramida se naziva ispravnom (Sl. 286b) ako je, prvo, njena osnova pravilan mnogougao, i, drugo, visina prolazi kroz centar ovog poligona.
Inače, piramida se naziva nepravilna (Sl. 286, c). U pravilnoj piramidi sve su bočne ivice jednake jedna drugoj (kao nagnute sa jednakim projekcijama). Dakle, sve bočne strane pravilne piramide su jednaki jednakokraki trouglovi.
Analiza elemenata pravilne šestougaone piramide i njihov prikaz na složenom crtežu (Sl.287).

a) Složeni crtež pravilne šestougaone piramide. Osnova piramide nalazi se na ravni P 1 ; dvije strane osnove piramide su paralelne sa ravninom projekcija P 2 .
b) Osnova ABCDEF - šestougao koji se nalazi u ravni projekcija P 1 .
c) Bočno lice ASF - trougao koji se nalazi u ravni u opštem položaju.
d) Bočna strana FSE - trougao koji se nalazi u ravnini profila.
e) Ivica SE je segment u opštem položaju.
f) Ivica SA - frontalni segment.
g) Vrh S piramide je tačka u prostoru.
Na (sl.288 i sl.289) prikazani su primjeri sekvencijalnih grafičkih operacija pri izvođenju složenog crteža i vizualnih slika (aksonometrija) piramida.

Dato:
1. Baza se nalazi na ravni P 1.
2. Jedna od stranica baze je paralelna sa x 12 osi.
I. Integrisani crtež.
I, a. Dizajniramo osnovu piramide - poligon, prema ovom uslovu, koji leži u ravni P 1 .
Dizajniramo vrh - tačku koja se nalazi u prostoru. Visina tačke S jednaka je visini piramide. Horizontalna projekcija S 1 tačke S će biti u centru projekcije osnove piramide (prema uslovu).
I, b. Dizajniramo ivice piramide - segmente; da bismo to učinili, povezujemo direktne projekcije vrhova baze ABCDE sa odgovarajućim projekcijama vrha piramide S. Frontalne projekcije S 2 C 2 i S 2 D 2 ivica piramide prikazane su isprekidanim linijama, kao nevidljive, zatvorene plohama piramide (SBA i SAE).
I, c. Zadana je horizontalna projekcija K 1 tačke K na bočnu stranu SBA, potrebno je pronaći njenu frontalnu projekciju. Da bismo to učinili, povučemo pomoćnu liniju S 1 F 1 kroz tačke S 1 i K 1, pronađemo njenu frontalnu projekciju i na njoj, koristeći vertikalnu liniju komunikacije, odredimo mjesto željene frontalne projekcije K 2 tačke K.
II. Razvoj površine piramide je ravna figura koja se sastoji od bočnih strana - identičnih jednakokračnih trokuta, čija je jedna strana jednaka strani osnove, a druge dvije - bočnim ivicama, a od pravilnog poligona - baza.
Prirodne dimenzije stranica baze otkrivaju se na njenoj horizontalnoj projekciji. Prirodne dimenzije rebara na projekcijama nisu otkrivene.
Hipotenuza S 2 ¯A 2 (Sl.288, 1 , b) pravougaonog trougla S 2 O 2 ¯A 2, u kojem je veliki krak jednak visini S 2 O 2 piramide, a mali jednak horizontalnoj projekciji ivice S 1 A 1 je prirodna veličina ivice piramide. Sweep bi trebao biti izgrađen sljedećim redoslijedom:
a) iz proizvoljne tačke S (vrh) povučemo luk poluprečnika R jednak ivici piramide;
b) na nacrtanom luku odvojiti pet tetiva veličine R 1 jednake strani osnove;
c) spojite tačke D, C, B, A, E, D u seriju jedna s drugom i sa tačkom S pravim linijama dobijamo pet jednakokrakih jednakih trouglova, koji čine razvoj bočne plohe ove piramide, isječenih uz rub SD ;
d) na bilo koje lice pričvršćujemo osnovu piramide - petougao, koristeći metodu triangulacije, na primjer, na lice DSE.
Tačka K se prenosi na zamah pomoću pomoćne prave linije koristeći veličinu B 1 F 1 uzetu na horizontalnoj projekciji i veličinu A 2 K 2 uzetu na stvarnu veličinu rebra.
III. Vizuelni prikaz piramide u izometriji.
III, a. Osnovu piramide prikazujemo koristeći koordinate prema (Sl.288, 1 , a).
Prikazujemo vrh piramide, koristeći koordinate (Sl.288, 1 , a).
III, b. Prikazujemo bočne ivice piramide, povezujući vrh sa vrhovima baze. Rub S"D" i stranice osnovice C"D" i D"E" prikazane su isprekidanim linijama, kao nevidljive, zatvorene plohama piramide C"S"B", B"S"A" i A"S"E".
III, e. Odredimo tačku na površini piramide K, koristeći dimenzije y F i x K. Za dimetričnu sliku piramide treba slijediti isti niz.
Slika nepravilne trouglaste piramide.

Dato:
1. Baza se nalazi na ravni P 1.
2. Strana BC baze je okomita na os X.
I. Integrisani crtež
I, a. Dizajniramo bazu piramide - jednakokraki trokut koji leži u ravnini P 1, a vrh S - tačku koja se nalazi u prostoru, čija je visina jednaka visini piramide.
I, b. Dizajniramo rubove piramide - segmente, za koje pravimo povezujemo istoimene projekcije vrhova osnove sa istoimenim projekcijama vrha piramide. Horizontalnu projekciju stranice osnove aviona prikazujemo isprekidanom linijom, kao nevidljivu, zatvorenu sa dva lica piramide ABS, ACS.
I, c. Na čeonoj projekciji A 2 C 2 S 2 bočne strane data je projekcija D 2 tačke D. Potrebno je pronaći njegovu horizontalnu projekciju. Da bismo to učinili, kroz tačku D 2 povučemo pomoćnu ravnu liniju paralelnu osi x 12 - frontalnu projekciju horizontale, zatim pronađemo njenu horizontalnu projekciju i na njoj, koristeći vertikalnu liniju komunikacije, odredimo lokaciju željenu horizontalnu projekciju D 1 tačke D.
II. Izgradnja piramidalnog zamaha.
U horizontalnoj projekciji otkrivaju se prirodne dimenzije stranica baze. Prirodna veličina rebra AS otkriva se u frontalnoj projekciji; u projekcijama nema prirodne veličine rebara BS i CS, veličina ovih rebara se otkriva rotacijom oko i ose, okomito na ravninu P 1 koja prolazi kroz vrh piramide S. Nova frontalna projekcija ¯C 2 S 2 je prirodna vrijednost ivice CS .
Redoslijed izgradnje razvoja površine piramide:
a) nacrtati jednakokraki trokut - lice CSB, čija je osnova jednaka stranici osnove piramide CB, i strane- prirodna veličina rebra SC;
b) stranicama SC i SB konstruisanog trougla dodamo dva trokuta - stranice piramide CSA i BSA, i osnovici CB konstruisanog trougla - osnovu CBA piramide, kao rezultat dobijamo potpunu odvijanje površine ove piramide.
Tačka D se prenosi na razvoj sljedećim redoslijedom: prvo nacrtajte vodoravnu liniju na razvoju bočne strane ASC koristeći R 1 dimenziju, a zatim odredite lokaciju točke D na horizontalnoj liniji koristeći R 2 dimenziju .
III. Vizuelni prikaz piramide i frontalna dimetrijska projekcija
III, a. Prikazujemo bazu A "B" C i vrh S" piramide, koristeći koordinate prema (

Proračun volumena prostornih figura jedan je od važnih zadataka stereometrije. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje određivanja volumena takvog poliedra kao što je piramida, a također ćemo dati pravilan heksagonalni.

Piramida heksagonalna

Za početak, razmotrimo koja je brojka, o čemu će biti riječi u članku.

Neka imamo proizvoljan šestougao čije stranice nisu nužno jednake jedna drugoj. Pretpostavimo i da smo odabrali tačku u prostoru koja nije u ravni heksagona. Povezivanjem svih uglova potonjeg s odabranom točkom, dobivamo piramidu. Dvije različite piramide koje imaju šesterokutnu osnovu prikazane su na donjoj slici.

Vidi se da se pored šesterokuta figura sastoji od šest trouglova čija se tačka spajanja naziva vrh. Razlika između prikazanih piramida je u tome što visina h desne ne siječe šesterokutnu osnovu u njenom geometrijskom središtu, dok visina lijeve figure pada tačno u ovo središte. Zahvaljujući ovom kriteriju, lijeva piramida nazvana je ravna, a desna - nagnuta.

Budući da osnovu lijeve figure na slici čini šesterokut s jednakim stranicama i uglovima, naziva se ispravnim. Dalje u članku ćemo govoriti samo o ovoj piramidi.

Za izračunavanje volumena proizvoljne piramide vrijedi sljedeća formula:

Ovdje je h dužina visine figure, S o je površina njene osnove. Koristimo ovaj izraz da odredimo zapreminu pravilne šestougaone piramide.

Budući da je figura koja se razmatra zasnovana na jednakostraničnom šesterokutu, sljedeći opći izraz za n-ugao može se koristiti za izračunavanje njegove površine:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Ovdje je n cijeli broj jednak broju strana (uglova) poligona, a je dužina njegove stranice, kotangens funkcija se izračunava pomoću odgovarajućih tablica.

Primjenom izraza za n = 6 dobijamo:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Sada ostaje da zamijenimo ovaj izraz opšta formula za volumen V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Dakle, da bi se izračunao volumen piramide koja se razmatra, potrebno je znati njena dva linearna parametra: dužinu stranice baze i visinu figure.

Primjer rješenja problema

Pokažimo kako se dobijeni izraz za V 6 može koristiti za rješavanje sljedećeg problema.

Poznato je da je ispravna zapremina 100 cm 3. Potrebno je odrediti stranu osnove i visinu figure, ako se zna da su one međusobno povezane sljedećom jednakošću:

Pošto su samo a i h uključeni u formulu za zapreminu, bilo koji od ovih parametara se može zameniti u nju, izražen kroz drugi. Na primjer, zamijenimo a, dobijemo:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Da biste pronašli vrijednost visine figure, potrebno je iz volumena uzeti korijen trećeg stepena, koji odgovara dimenziji dužine. Zamenimo zapreminu V 6 piramide iz uslova zadatka, dobićemo visinu:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Budući da je stranica baze, u skladu sa uslovom problema, dvostruko veća od pronađene vrijednosti, dobijamo vrijednost za nju:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volumen šesterokutne piramide može se pronaći ne samo kroz visinu figure i vrijednost stranice njene osnove. Dovoljno je poznavati dva različita linearna parametra piramide da biste je izračunali, na primjer, apotemu i dužinu bočne ivice.

Crtež je prvi i veoma važan korak u rješavanju geometrijskog problema. Kakav bi trebao biti crtež pravilne piramide?

Prvo se prisjetimo svojstva paralelnog dizajna:

- paralelni segmenti figure su prikazani kao paralelni segmenti;

- sačuvan je odnos dužina segmenata paralelnih pravih i segmenata jedne prave.

Crtež pravilne trouglaste piramide

Prvo nacrtajte bazu. Budući da uglovi i omjeri dužina neparalelnih segmenata nisu sačuvani u paralelnom dizajnu, pravilni trokut u osnovi piramide predstavljen je proizvoljnim trouglom.

Centar jednakostraničnog trougla je tačka preseka medijana trougla. Budući da su medijane u točki presjeka podijeljene u omjeru 2: 1, računajući od vrha, mentalno povezujemo vrh baze sa sredinom suprotne strane, otprilike ga podijelimo na tri dijela i stavimo tačku na udaljenost od 2 dijela od vrha. Nacrtajte okomitu od ove tačke prema gore. Ovo je visina piramide. Okomicu crtamo toliko dugo da bočni rub ne pokriva sliku visine.

ispravan crtež četvorougaona piramida

Crtanje pravilne četvorougaone piramide takođe počinje od osnove. Pošto je paralelizam segmenata očuvan, ali veličine uglova nisu, kvadrat u osnovi se prikazuje kao paralelogram. Poželjno oštar ugao učinite ovaj paralelogram manjim, tada su bočne strane veće. Središte kvadrata je presjek njegovih dijagonala. Crtamo dijagonale, od točke presjeka vraćamo okomicu. Ova okomica je visina piramide. Odabiremo dužinu okomice tako da se bočne ivice ne spajaju jedna s drugom.

Crtež pravilne šestougaone piramide

Pošto paralelna projekcija čuva paralelizam segmenata, osnova pravilne šestougaone piramide - pravilni šestougao - se prikazuje kao šestougao čije su suprotne strane paralelne i jednake. Središte pravilnog šestougla je presjek njegovih dijagonala. Da ne bismo zatrpali crtež, ne crtamo dijagonale, već otprilike nalazimo ovu tačku. Iz njega vraćamo okomicu - visinu piramide - tako da se bočne ivice ne spajaju jedna s drugom.

Datum: 19.01.2015

Ako trebaš instrukcija korak po korak kako napraviti piramidu, onda tražim našu lekciju. Prije svega, procijenite da li se vaša piramida odvija na isti način kao na slici 1.

Ako ste ga okrenuli za 90 stepeni, onda se ivica označena na slici kao "poznate realne vrednosti" u vašem slučaju može naći na projekciji profila, koju ćete morati da napravite. U mom slučaju to nije potrebno, već imamo sve potrebne količine za izgradnju. Važno je ne zaboraviti da su na ovom crtežu samo rubovi SA i SD na frontalnoj projekciji prikazani u punoj veličini. Svi ostali su projektovani sa izobličenjem dužine. Osim toga, u pogledu odozgo, sve strane šesterokuta su također projektovane u punoj veličini. Na osnovu ovoga, počnimo.

1. Za veću ljepotu, nacrtajmo prvu liniju vodoravno (slika 1). Zatim ćemo nacrtati široki luk poluprečnika R=a, tj. sa radijusom jednakim dužini bočne ivice piramide. Dobijamo tačku A. Od nje šestarom napravimo zarez na luku, poluprečnika r \u003d b (dužina stranice osnove piramide). Idemo na tačku B. Već imamo prvo lice piramide!

2. Od tačke B pravimo još jedan zarez istog poluprečnika - dobijamo tačku C i spajajući je sa tačkama B i S dobijamo drugu bočnu stranu piramide (slika 2).

3. Ponavljajući ove korake potreban broj puta (sve zavisi od toga koliko lica ima vaša piramida) dobićemo takvu lepezu (slika 3). Pravilnom konstrukcijom trebali biste dobiti sve točke baze, a ekstremne treba ponoviti.

4. Ovo nije uvijek potrebno, ali je ipak neophodno: dodajte bazu piramide razvoju bočne površine. Vjerujem da svi koji su čitali do sada znaju kako nacrtati petougao od šest-osam (kako nacrtati petougao detaljno je opisano u lekciji) Poteškoća je u tome što se figura mora nacrtati u pravo mjesto i pod pravim uglom. Nacrtajte os kroz sredinu bilo kojeg lica. Od tačke preseka sa linijom osnove crtamo rastojanje m, kao što je prikazano na slici 4.


Crtajući okomicu kroz ovu tačku, dobijamo ose budućeg šesterokuta. Iz rezultirajućeg centra crtamo krug, kao što ste radili prilikom izrade pogleda odozgo. Imajte na umu da krug mora proći kroz dvije točke bočne strane (u mom slučaju, to su F i A)

5. Slika 5 prikazuje konačni rasklopljeni prikaz heksagonalne prizme.


Ovim je završena konstrukcija zamaha piramide. Izgradite svoje poteze, naučite pronaći rješenja, budite korozivni i nikada ne odustajte. Hvala što ste svratili. Ne zaboravite da nas preporučite svojim prijateljima :) Sve najbolje!

ili zapišite naš broj telefona i recite prijateljima o nama - neko vjerovatno traži način da napravi crteže

ili napravite bilješku o našim lekcijama na svojoj stranici ili blogu - i neko drugi će moći savladati crtanje.