Šta je pravilna četvorougaona piramida. Glavna svojstva ispravne piramide

Učenici se susreću sa konceptom piramide mnogo prije nego što su počeli proučavati geometriju. Okrivljuju slavna velika egipatska čuda svijeta. Stoga, započevši proučavanje ovog divnog poliedra, većina studenata to već jasno zamišlja. Svi gore navedeni nišani su u ispravnom obliku. Šta desna piramida, i koja svojstva ima i o čemu će se dalje raspravljati.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji mnogo definicija piramide. Od davnina je veoma popularan.

Na primjer, Euklid ju je definirao kao čvrstu figuru, koja se sastoji od ravnina, koje se, počevši od jedne, konvergiraju u određenoj tački.

Heron je dao precizniju formulaciju. On je insistirao da je to cifra koja ima bazu i avione trouglovi, konvergirajući u jednoj tački.

Oslanjajući se na moderna interpretacija, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-ugla i k ravnih figura trokutastog oblika imaju jednu zajedničku tačku.

Pogledajmo izbliza, Od kojih se elemenata sastoji?

• k-ugao se smatra osnovom figure;
• 3-kutne figure strše kao strane bočnog dijela;
• gornji dio, iz kojeg potiču bočni elementi, naziva se vrh;
• svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
• ako se prava linija spusti od vrha do ravni figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo zatvoren u unutrašnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu na strani našeg poliedra, možete nacrtati okomicu, nazvanu apotema.

Broj ivica se izračunava pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana ima poliedar poput piramide može se odrediti izrazom k + 1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura čija je osnovna ravan k-ugao sa jednakim stranama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava koji su jedinstveni za nju. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide, koji ograničavaju bočne elemente, imaju jednake numeričke vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokraki trouglovi.
4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je centralna tačka uneto i opisano.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglom.
6. Sve bočne površine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljujući svim navedenim svojstvima, izvođenje proračuna elemenata je znatno pojednostavljeno. Na osnovu gore navedenih svojstava obraćamo pažnju na dva znaka:

1. U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati osnovu jednakih uglova.
2. Kada se opisuje kružnica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imat će istu dužinu i jednake uglove sa osnovom.

Kvadrat je baziran

Pravilna četvorougaona piramida - poliedar zasnovan na kvadratu.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Na ravni je prikazan kvadrat, ali su zasnovani na svim svojstvima pravilnog četvorougla.

Na primjer, ako je potrebno spojiti stranu kvadrata s njegovom dijagonalom, tada se koristi sljedeća formula: dijagonala je jednaka umnošku stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Na osnovu pravilnog trougla

tacno trouglasta piramida je poliedar čija je osnova pravilan trougao.

Ako je osnova pravilan trokut, a bočne ivice jednake su rubovima baze, onda je takav lik nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

• ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
• vrijednost svih unutrašnjih strana je također 60 stepeni;
• svako lice može poslužiti kao osnova;
• nacrtani unutar figure su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko tipova sekcija avion. Često u školski kurs geometrije rade sa dva:

• aksijalni;
• paralelna osnova.

Aksijalni presek se dobija presecanjem poliedra sa ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne ivice i osu. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Rezna ravnina je ograničena linijama presjeka sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! U pravilnoj piramidi, aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slučaju imamo u kontekstu figuru sličnu bazi.

Na primjer, ako je osnova kvadrat, tada će presjek paralelan s bazom također biti kvadrat, samo manje veličine.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste se znaci i svojstva sličnosti figura, na osnovu Talesove teoreme. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako se ravnina povuče paralelno s bazom, a ona odsiječe gornji dio poliedra, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se za osnove skraćenog poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokraki.

Da bi se odredila visina skraćenog poliedra, potrebno je ucrtati visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju rješavati u školskom predmetu geometrije su određivanje površine i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste površine:

• površina bočnih elemenata;
• cijelu površinu.

Iz samog naslova je jasno o čemu se radi. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate sabrati površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvući formulu za površinu bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog 3-ugla je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
2. Broj bočnih ravni zavisi od tipa k-ugla u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravni. Stoga je potrebno sabrati površine četiri cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a=POS, gdje je POS obim baze. A izraz 1/2 * Rosn je njegov poluperimetar.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka proizvodu poluperimetra osnove i apoteme: Sside = Rosn * L.

Square puna površina piramida se sastoji od zbira površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = Sside + Sbase.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Volumen pravilne piramide jednak je proizvodu površine osnovne ravni i visine podeljene sa tri: V=1/3*Sbase*H, gde je H visina poliedra.

Šta je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četvorougaone piramide

Trodimenzionalna figura koja se često pojavljuje u geometrijskim problemima je piramida. Najjednostavnija od svih figura ove klase je trokutasta. U ovom članku ćemo detaljno analizirati osnovne formule i svojstva ispravnog

Geometrijski prikazi figure

Prije nego što nastavimo s razmatranjem svojstava pravilne trokutaste piramide, pogledajmo pobliže koju figuru u pitanju.

Pretpostavimo da postoji proizvoljan trougao u trodimenzionalnom prostoru. Odaberemo bilo koju tačku u ovom prostoru koja ne leži u ravni trougla i povežemo je sa tri vrha trougla. Dobili smo trouglastu piramidu.

Sastoji se od 4 stranice, od kojih su sve trokuti. Tačke u kojima se susreću tri lica nazivaju se vrhovi. Brojka ih također ima četiri. Presječne linije dvije strane su ivice. Piramida koja se razmatra ima 6 rebara.Na slici ispod prikazan je primjer ove figure.

Pošto je lik formiran sa četiri strane, naziva se i tetraedar.

Ispravna piramida

Iznad je razmatrana proizvoljna figura s trokutastom bazom. Pretpostavimo sada da povučemo okomitu liniju od vrha piramide do njene osnove. Ovaj segment se naziva visina. Očigledno je da je moguće potrošiti 4 različite visine za figuru. Ako visina siječe trokutastu bazu u geometrijskom centru, tada se takva piramida naziva ravna piramida.

Prava piramida čija je osnova jednakostranični trougao naziva se pravilna piramida. Za nju su sva tri trokuta koja čine bočnu površinu figure jednakokračna i jednaka jedan drugom. Poseban slučaj pravilne piramide je situacija kada su sve četiri stranice jednakostrani identični trouglovi.

Razmotrite svojstva pravilne trokutaste piramide i dajte odgovarajuće formule za izračunavanje njenih parametara.

Osnovna strana, visina, bočni rub i apotema

Bilo koja dva od navedenih parametara jednoznačno određuju druge dvije karakteristike. Dajemo formule koje povezuju imenovane veličine.

Pretpostavimo da je stranica osnove pravilne trouglaste piramide a. Dužina njegove bočne ivice jednaka je b. Kolika će biti visina pravilne trouglaste piramide i njenog apotema?

Za visinu h dobijamo izraz:

Ova formula slijedi iz Pitagorine teoreme za koju su bočna ivica, visina i 2/3 visine osnove.

Apotem piramide je visina za bilo koji bočni trokut. Dužina apoteme a b je:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Iz ovih formula se može vidjeti da bez obzira na stranicu osnove trouglaste pravilne piramide i dužinu njenog bočnog ruba, apotema će uvijek biti više visine piramide.

Dvije predstavljene formule sadrže sve četiri linearne karakteristike dotična figura. Dakle, od poznata dva od njih, ostatak možete pronaći rješavanjem sistema iz zapisanih jednakosti.

volumen figure

Za apsolutno bilo koju piramidu (uključujući i nagnutu), vrijednost volumena prostora koji je njome ograničena može se odrediti poznavanjem visine figure i površine njene osnove. Odgovarajuća formula izgleda ovako:

Primjenjujući ovaj izraz na dotičnu figuru, dobijamo sljedeću formulu:

Gdje je visina pravilne trouglaste piramide h, a stranica osnove je a.

Nije teško dobiti formulu za zapreminu tetraedra, u kojoj su sve strane jednake jedna drugoj i predstavljaju jednakostranične trouglove. U ovom slučaju, volumen figure određuje se formulom:

To jest, jedinstveno je određena dužinom stranice a.

Površina

Nastavljamo da razmatramo svojstva trouglaste pravilne piramide. ukupne površine svih lica figure naziva se njena površina. Potonje je zgodno proučavati uzimajući u obzir odgovarajući razvoj. Na slici ispod je prikazano kako izgleda pravilna trouglasta piramida.

Pretpostavimo da znamo visinu h i stranu osnove a figure. Tada će površina njegove baze biti jednaka:

Svaki učenik može dobiti ovaj izraz ako se sjeti kako pronaći površinu trokuta, a također uzme u obzir da je visina jednakostraničnog trougla također simetrala i medijana.

Površina bočne površine koju čine tri identična jednakokračna trokuta je:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ova jednakost proizilazi iz izraza apoteme piramide u smislu visine i dužine osnove.

Ukupna površina figure je:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Imajte na umu da će za tetraedar, u kojem su sve četiri strane isti jednakostrani trokuti, površina S biti jednaka:

Svojstva pravilne skraćene trouglaste piramide

Ako je vrh razmatrane trokutaste piramide odsječen ravninom koja je paralelna s bazom, tada preostali Donji dio zvaće se krnja piramida.

U slučaju trokutaste osnove, kao rezultat opisane metode preseka, dobija se novi trougao, koji je takođe jednakostraničan, ali ima manju dužinu stranice od stranice osnove. Skraćena trouglasta piramida je prikazana ispod.

Vidimo da je ova figura već ograničena sa dvije trokutaste baze i tri jednakokraka trapeza.

Pretpostavimo da je visina rezultirajuće figure h, dužine stranica donje i gornje baze su a 1 i a 2, respektivno, a apotema (visina trapeza) jednaka je a b. Tada se površina krnje piramide može izračunati po formuli:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Ovdje je prvi pojam površina bočne površine, drugi pojam je površina trokutnih baza.

Volumen figure se izračunava na sljedeći način:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Da bi se nedvosmisleno odredile karakteristike krnje piramide, potrebno je poznavati njena tri parametra, što pokazuju gornje formule.

Trouglasta piramida je piramida zasnovana na trouglu. Visina ove piramide je okomita, koja se spušta od vrha piramide do njenih osnova.

Pronalaženje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Veoma jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trouglaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3)Sh, gdje je S površina baze, V je zapremina piramide, h njena visina. Iz ove formule izvedite formulu visine: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, trebate pomnožiti volumen piramide sa 3, a zatim podijeliti rezultirajuću vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V ) / S. Budući da je osnova trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegove stranice z, onda prema formuli površine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdje je h visina piramide, γ je ivica trougla; kut između stranica trokuta i samih dviju stranica, a zatim koristeći sljedeću formulu: S = (1/2)γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa ugla Q mora se vidjeti u tabeli sinusa koja se nalazi na internetu. Zatim zamjenjujemo vrijednost površine u formulu visine: h = (2S)/γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trouglasta piramida

Odredite visinu pravilne trouglaste piramide, tj. piramide u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi, znajući veličinu ivice γ. U ovom slučaju, rubovi piramide su stranice jednakostraničnih trokuta. Visina pravilne trouglaste piramide će biti: h = γ√(2/3), gdje je γ ivica jednakostraničnog trougla, h visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dati su samo dužina ivice (γ) i zapremina (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji je izražen u smislu dužine ivice. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 proizvoda dužine stranice ovog trokuta, na kvadrat kvadratnog korijena od 3. Umjesto površine baze u prethodnoj formuli zamjenjujemo ovu formulu , i dobijamo sljedeću formulu: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumen tetraedra se može izraziti u smislu dužine njegove ivice, tada se sve varijable mogu ukloniti iz formule za izračunavanje visine figure i ostaviti samo stranu trokutastog lica figure. Zapremina takve piramide može se izračunati dijeljenjem sa 12 od proizvoda dužine njene površine kucirane kvadratnim korijenom od 2.

Zamjenjujući ovaj izraz u prethodnu formulu, dobijamo sljedeću formulu za izračunavanje: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Također, pravilna trouglasta prizma se može upisati u sferu, a znajući samo polumjer sfere (R), možete pronaći samu visinu tetraedra. Dužina ivice tetraedra je: γ = 4R/√6. Varijablu γ zamjenjujemo ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijamo formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ista formula se može dobiti ako znamo poluprečnik (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ivice trokuta će biti jednaka 12 omjera između njih kvadratni korijen od 6 i radijusa. Ovaj izraz zamjenjujemo u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četvorougaone piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći dužinu visine piramide, morate znati šta je pravilna piramida. Četvorougaona piramida je piramida zasnovana na četvorouglu. Ako u uslovima problema imamo: zapreminu (V) i površinu osnove (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite volumen pomnožen sa 3 površinom S: h = (3V) / S. Sa kvadratnom osnovom piramide sa poznatim: datim volumenom (V) i dužinom stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom dužine stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Visina pravilne piramide h = SO prolazi upravo kroz centar kruga koji je opisan blizu baze. Pošto je osnova ove piramide kvadrat, tačka O je tačka preseka dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Dalje, nalazimo u pravouglom trouglu SOC (prema Pitagorinoj teoremi): SO = √(SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu pravilne piramide.

Ovaj video vodič će pomoći korisnicima da steknu ideju o temi Piramida. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati s pojmom piramide, dati mu definiciju. Razmotrite šta je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s pojmom piramide, dati mu definiciju.

Razmislite o poligonu A 1 A 2...A n, koja leži u ravni α, i tačku P, koji ne leži u ravni α (slika 1). Hajde da povežemo tačku P sa vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Get n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R itd.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ... A n, sastavljen od n-gon A 1 A 2...A n i n trouglovi RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , pozvan n- piramida uglja. Rice. jedan.

Rice. jedan

Zamislite četverokutnu piramidu PABCD(Sl. 2).

R- vrh piramide.

A B C D- osnova piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovna ivica.

Od tačke R ispusti okomicu RN na zemaljskoj ravni A B C D. Povučena okomica je visina piramide.

Rice. 2

Ukupna površina piramide sastoji se od bočne površine, odnosno površine svih bočnih strana, i površine baze:

S puni \u003d S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

• njegova osnova je pravilan poligon;
• segment koji povezuje vrh piramide sa centrom baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverougaone piramide

Zamislite pravilnu četvorougaonu piramidu PABCD(Sl. 3).

R- vrh piramide. osnova piramide A B C D- pravilan četvorougao, odnosno kvadrat. Dot O, tačka presjeka dijagonala, je centar kvadrata. znači, RO je visina piramide.

Rice. 3

Objašnjenje: desno n-gon, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice se poklapaju. Ovaj centar se naziva središte poligona. Ponekad kažu da je vrh projektovan u centar.

Visina bočne strane pravilne piramide, povučena iz njenog vrha, naziva se apothema i označeno h a.

1. sve bočne ivice pravilne piramide su jednake;

2. bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi.

Dokažimo ova svojstva na primjeru pravilne četverokutne piramide.

Dato: RABCD- pravilne četvorougaone piramide,

A B C D- kvadrat,

RO je visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vidi sl. 4.

Rice. 4

Dokaz.

RO je visina piramide. To jest, pravo RO okomito na ravan ABC, a time i direktno AO, VO, SO i DO ležeći u njemu. Dakle, trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD- pravougaona.

Zamislite kvadrat A B C D. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = BO = CO = DO.

Zatim pravokutni trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD nogu RO- general i noge AO, VO, SO i DO jednaki, pa su ovi trouglovi jednaki u dva kraka. Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost segmenata, RA = PB = PC = PD. Tačka 1 je dokazana.

Segmenti AB i sunce su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = RV = PC. Dakle, trouglovi AVR i VCR - jednakokraki i jednaki sa tri strane.

Slično, dobijamo da su trouglovi ABP, BCP, CDP, DAP su jednakokraki i jednaki, što je trebalo dokazati u tački 2.

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega baze i apoteme:

Za dokaz biramo pravilnu trouglastu piramidu.

Dato: RAVS je pravilna trouglasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Vidi sl. 5.

Rice. 5

Dokaz.

RAVS je pravilna trouglasta piramida. tj AB= AC = BC. Neka bude O- centar trougla ABC, onda RO je visina piramide. Osnova piramide je jednakostranični trougao. ABC. primetite, to .

trouglovi RAV, RVS, RSA- jednaki jednakokraki trouglovi (po svojstvu). Trouglasta piramida ima tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. Dakle, površina bočne površine piramide je:

S strana = 3S RAB

Teorema je dokazana.

Poluprečnik kružnice upisane u osnovu pravilne četvorougaone piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Nađite površinu bočne površine piramide.

Dato: pravilna četvorougaona piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Naći: S strana. Vidi sl. 6.

Rice. 6

Odluka.

Prema dokazanoj teoremi, .

Prvo pronađite stranu baze AB. Znamo da je poluprečnik kružnice upisane u osnovu pravilne četvorougaone piramide 3 m.

Zatim, m.

Pronađite obim kvadrata A B C D sa stranicom od 6 m:

Zamislite trougao BCD. Neka bude M- srednja strana DC. As O- srednji BD, onda (m).

Trougao DPC- jednakokraki. M- srednji DC. tj. RM- medijana, a time i visina u trouglu DPC. Onda RM- apotema piramide.

RO je visina piramide. Onda pravo RO okomito na ravan ABC, a time i direktan OM ležeći u njemu. Hajde da nađemo apotemu RM iz pravouglog trougla ROM.

Sada možemo pronaći bočnu površinu piramide:

Odgovori Površina: 60 m2.

Poluprečnik kružnice opisane u blizini osnove pravilne trouglaste piramide je m. Bočna površina je 18 m 2. Pronađite dužinu apoteme.

Dato: ABCP- pravilne trouglaste piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m 2.

Naći: . Vidi sl. 7.

Rice. 7

Odluka.

U pravouglu ABC dat poluprečnik opisane kružnice. Hajde da nađemo stranu AB ovaj trokut koristeći teoremu sinusa.

Poznavajući stranu pravilnog trougla (m), nalazimo njegov perimetar.

Prema teoremi o površini bočne površine pravilne piramide, gdje je h a- apotema piramide. onda:

Odgovori: 4 m.

Dakle, ispitali smo šta je piramida, šta je pravilna piramida, dokazali smo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa skraćenom piramidom.

Bibliografija

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova (osnovni i nivoi profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, Rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšte obrazovanje obrazovne institucije/ Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Drfa, 008. - 233 str.: ilustr.

1. Internet portal "Yaklass" ()
2. Internet portal "Festival pedagoških ideja "Prvi septembar" ()
3. Internet portal "Slideshare.net" ()

Zadaća

1. Može li pravilan mnogokut biti osnova nepravilne piramide?
2. Dokažite da su ivice pravilne piramide koje se ne seku okomite.
3. Odredite vrijednost ugla diedara na strani osnove pravilne četverougaone piramide ako je apotema piramide jednaka stranici njene osnove.
4. RAVS je pravilna trouglasta piramida. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla u osnovi piramide.

hipoteza: vjerujemo da je savršenstvo oblika piramide posljedica matematički zakoni ugrađen u svoj oblik.

Cilj: ispitivanje piramide geometrijsko tijelo, da objasni savršenstvo njegove forme.

Zadaci:

1. Dajte matematičku definiciju piramide.

2. Proučavajte piramidu kao geometrijsko tijelo.

3. Shvatite kakvo su matematičko znanje Egipćani položili u svoje piramide.

Privatna pitanja:

1. Šta je piramida kao geometrijsko tijelo?

2. Kako se matematički može objasniti jedinstveni oblik piramide?

3. Šta objašnjava geometrijska čuda piramide?

4. Šta objašnjava savršenstvo oblika piramide?

Definicija piramide.

PIRAMIDA (od grčkog pyramis, rod n. pyramidos) - poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi sa zajedničkim vrhom (slika). Prema broju uglova baze piramide su trokutaste, četvorougaone itd.

PIRAMIDA - monumentalna građevina koja ima geometrijski oblik piramide (ponekad i stepenasta ili u obliku tornja). Džinovske grobnice staroegipatskih faraona iz 3.-2. milenijuma pre nove ere nazivaju se piramidama. e., kao i drevna američka postolja hramova (u Meksiku, Gvatemali, Hondurasu, Peruu) povezana s kosmološkim kultovima.

Moguće je da grčka riječ"piramida" dolazi od egipatskog izraza per-em-us, odnosno od izraza koji je označavao visinu piramide. Istaknuti ruski egiptolog V. Struve vjerovao je da grčko “puram…j” dolazi od staroegipatskog “p”-mr.

Iz istorije. Proučivši materijal u udžbeniku "Geometrija" autora Atanasyana. Butuzova i drugih, saznali smo da: Poliedar sastavljen od n-ugla A1A2A3 ... An i n trouglova RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 naziva se piramida. Poligon A1A2A3 ... An je osnova piramide, a trouglovi RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 su bočne strane piramide, P je vrh piramide, segmenti RA1, RA2, .... ., RAn su bočne ivice.

Međutim, takva definicija piramide nije uvijek postojala. Na primjer, starogrčki matematičar, autor teorijskih rasprava o matematici koji su do nas došli, Euklid, definira piramidu kao čvrstu figuru omeđenu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravni u jednu tačku.

Ali ova definicija je kritizirana već u antici. Tako je Heron predložio sljedeću definiciju piramide: "Ovo je lik omeđen trouglovima koji konvergiraju u jednoj tački i čija je osnova poligon."

Naša grupa je, upoređujući ove definicije, došla do zaključka da one nemaju jasnu formulaciju pojma „temelj“.

Proučavali smo ove definicije i pronašli definiciju Adriena Marie Legendrea, koji je 1794. godine u svom djelu “Elementi geometrije” definirao piramidu na sljedeći način: “Piramida je tjelesna figura formirana od trokuta koji se konvergiraju u jednoj tački i završavaju na različitim stranama ravna baza.”

Čini nam se da poslednja definicija daje jasnu predstavu o piramidi, jer govori o tome da je osnova ravna. Druga definicija piramide pojavila se u udžbeniku iz 19. veka: „piramida je čvrst ugao presečen ravninom“.

Piramida kao geometrijsko tijelo.

To. Piramida je poliedar, čije je jedno lice (osnova) poligon, a preostale strane (stranice) su trouglovi koji imaju jedan zajednički vrh (vrh piramide).

Okomita povučena od vrha piramide do ravni baze naziva se visinah piramide.

Pored proizvoljne piramide, postoje desna piramida, u čijoj osnovi je pravilan poligon i krnje piramide.

Na slici - piramida PABCD, ABCD - njena osnova, PO - visina.

Puna površina Piramidom se naziva zbir površina svih njenih lica.

Puno = Sside + Sbase, gdje Sside je zbir površina bočnih strana.

zapremina piramide nalazi se prema formuli:

V=1/3Sbase h, gdje je Sosn. - bazna površina h- visina.

Os pravilne piramide je prava linija koja sadrži njenu visinu.
Apotema ST - visina bočne strane pravilne piramide.

Površina bočne strane pravilne piramide izražava se na sljedeći način: Sside. =1/2P h, gdje je P obim baze, h- visina bočne strane (apotema pravilne piramide). Ako piramidu preseca ravan A'B'C'D' paralelna sa bazom, tada:

1) bočne ivice i visina su podeljene ovom ravni na proporcionalne delove;

2) u preseku se dobija poligon A'B'C'D', sličan osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove krnje piramide su slični poligoni ABCD i A`B`C`D`, bočne strane su trapezi.

Visina skraćena piramida - udaljenost između baza.

Skraćeni volumen piramida se nalazi po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne skraćene piramide se izražava na sljedeći način: bočna strana = ½(P+P') h, gdje su P i P' perimetri baza, h- visina bočne strane (apotema pravilne skraćene gozbama

Sekcije piramide.

Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trouglovi.

Odsjek koji prolazi kroz dvije nesusjedne bočne ivice piramide naziva se dijagonalni presjek.

Ako presjek prolazi kroz tačku na bočnoj ivici i strani baze, tada će ova strana biti njen trag na ravni osnove piramide.

Presjek koji prolazi kroz tačku koja leži na licu piramide i dati trag presjeka na ravni baze, tada konstrukciju treba izvesti na sljedeći način:

pronaći presječnu točku ravnine datog lica i traga presjeka piramide i označiti je;

konstruisati pravu liniju koja prolazi dati poen i rezultujuća tačka preseka;

· Ponovite ove korake za sljedeća lica.

, što odgovara omjeru kateta pravokutnog trokuta 4:3. Ovaj odnos krakova odgovara dobro poznatom pravouglom trouglu sa stranicama 3:4:5, koji se naziva "savršeni", "sveti" ili "egipatski" trougao. Prema istoričarima, "egipatskom" trouglu je dato magično značenje. Plutarh je napisao da su Egipćani upoređivali prirodu univerzuma sa "svetim" trouglom; oni su vertikalnu nogu simbolično uporedili sa mužem, bazu sa ženom, a hipotenuzu sa onim što se rađa iz oboje.

Za trougao 3:4:5 tačna je jednakost: 32 + 42 = 52, što izražava Pitagorinu teoremu. Nije li ovo teorema koju su hteli da ovjekovječe Egipatski sveštenici, graditi piramidu na osnovu trougla 3:4:5? Teško je pronaći bolji primjer za ilustrovanje Pitagorine teoreme, koja je bila poznata Egipćanima mnogo prije nego što ju je Pitagora otkrio.

Dakle, genijalni kreatori Egipatske piramide nastojali da impresioniraju daleke potomke dubinom svog znanja, a to su postigli odabirom kao "glavnu geometrijsku ideju" za Keopsovu piramidu - "zlatnu" pravougaonog trougla, a za Khafreovu piramidu - "sveti" ili "egipatski" trougao.

Vrlo često u svojim istraživanjima naučnici koriste svojstva piramida sa proporcijama zlatnog preseka.

U matematici enciklopedijski rječnik data je sljedeća definicija zlatnog preseka - ovo je harmonijska podjela, podjela u ekstremnom i prosječnom omjeru - podjela segmenta AB na dva dijela na način da je veći dio njegovog AC prosječna proporcionalna između cijelog segmenta AB i njegov manji dio CB.

Algebarsko nalaženje zlatnog presjeka segmenta AB = a svodi na rješavanje jednačine a: x = x: (a - x), odakle je x približno jednako 0,62a. Omjer x može se izraziti kao razlomci 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdje su 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonačijevi brojevi.

Geometrijska konstrukcija zlatnog presjeka segmenta AB izvodi se na sljedeći način: u tački B se vraća okomita na AB, na nju se polaže segment BE = 1/2 AB, A i E su povezani, DE \ u003d BE se odgađa, i, konačno, AC = AD, tada je jednakost AB ispunjena: CB = 2: 3.

zlatni omjerčesto se koristi u umjetničkim djelima, arhitekturi, nalazi se u prirodi. Živopisni primjeri su skulptura Apolona Belvedere, Partenon. Prilikom izgradnje Partenona korišćen je odnos visine objekta prema njegovoj dužini i taj odnos je 0,618. Objekti oko nas također pružaju primjere zlatnog omjera, na primjer, povezi mnogih knjiga imaju omjer širine i dužine blizu 0,618. S obzirom na raspored listova na zajedničkoj stabljici biljaka, može se primijetiti da se između svaka dva para listova, treći nalazi na mjestu zlatnog omjera (slajdovi). Svako od nas "nosi" zlatni omjer sa sobom "u rukama" - to je omjer falangi prstiju.

Zahvaljujući otkriću nekoliko matematičkih papirusa, egiptolozi su naučili nešto o drevnim egipatskim sistemima računa i mjera. Zadatke sadržane u njima rješavali su pisari. Jedan od najpoznatijih je Rhind matematički papirus. Proučavajući ove zagonetke, egiptolozi su saznali kako su se stari Egipćani nosili s njima razne količine, koji je nastao u izračunavanju mjera težine, dužine i zapremine, u kojima su se često koristili razlomci, kao i kako su se bavili uglovima.

Stari Egipćani su koristili metodu izračunavanja uglova zasnovanu na omjeru visine i osnovice pravokutnog trokuta. Oni su izražavali bilo koji ugao jezikom gradijenta. Gradijent nagiba je izražen kao omjer cijelog broja, nazvan "seked". U Matematici u doba faraona, Richard Pillins objašnjava: „Seked pravilne piramide je nagib bilo kojeg od četiri trokutasta lica prema ravni osnove, mjeren n-tim brojem horizontalnih jedinica po vertikalnoj jedinici nadmorske visine . Dakle, ova jedinica mjere je ekvivalentna našem modernom kotangensu ugla nagiba. Stoga je egipatska riječ "seked" povezana s našom moderna reč"gradijent"".

Numerički ključ za piramide leži u omjeru njihove visine i baze. AT u praktičnom smislu- ovo je najlakši način da napravite šablone neophodne za stalnu provjeru ispravnog ugla nagiba tokom cijele konstrukcije piramide.

Egiptolozi bi nas rado uvjerili da je svaki faraon želio izraziti svoju individualnost, otuda i razlike u uglovima nagiba svake piramide. Ali može postojati i drugi razlog. Možda su svi htjeli utjeloviti različite simboličke asocijacije skrivene u različitim proporcijama. Međutim, ugao Khafreove piramide (zasnovan na trokutu (3:4:5) pojavljuje se u tri problema predstavljena piramidama u Rhindovom matematičkom papirusu). Dakle, ovaj stav je bio dobro poznat starim Egipćanima.

Da budemo pošteni prema egiptolozima koji tvrde da stari Egipćani nisu poznavali trougao 3:4:5, recimo da dužina hipotenuze 5 nikada nije spomenuta. Ali matematički problemi koji se tiču ​​piramida uvijek se rješavaju na osnovu traženog ugla - omjera visine i osnove. Kako dužina hipotenuze nikada nije spomenuta, zaključeno je da Egipćani nikada nisu izračunali dužinu treće stranice.

Omjer visine i osnove korišten u piramidama u Gizi bez sumnje je bio poznat starim Egipćanima. Moguće je da su ovi omjeri za svaku piramidu odabrani proizvoljno. Međutim, ovo je u suprotnosti sa značajem koji se pridaje numeričkom simbolizmu u svim tipovima Egipćana vizualna umjetnost. Vrlo je vjerovatno da su takvi odnosi bili od velikog značaja, jer su izražavali specifične vjerske ideje. Drugim riječima, cijeli kompleks Gize bio je podvrgnut koherentnom dizajnu, dizajniranom da odražava neku vrstu božanske teme. Ovo bi objasnilo zašto su dizajneri odabrali različite uglove za tri piramide.

U Tajni Oriona, Bauval i Gilbert izneli su ubedljive dokaze o povezanosti piramida u Gizi sa sazvežđem Oriona, posebno sa zvezdama Orionovog pojasa.Isto sazvežđe je prisutno i u mitu o Izidi i Ozirisu, a tamo je razlog da se svaka piramida smatra slikom jednog od tri glavna božanstva - Ozirisa, Izide i Horusa.

ČUDA "GEOMETRIJSKA".

Među grandioznim piramidama Egipta, posebno mjesto zauzimaju Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Prije nego što pređemo na analizu oblika i veličine Keopsove piramide, treba se sjetiti koji su sistem mjera koristili Egipćani. Egipćani su imali tri jedinice dužine: "lakat" (466 mm), jednak sedam "palmi" (66,5 mm), što je zauzvrat bilo jednako četiri "prsta" (16,6 mm).

Analizirajmo veličinu Keopsove piramide (slika 2), prateći rezonovanje dato u divnoj knjizi ukrajinskog naučnika Nikolaja Vasjutinskog "Zlatna proporcija" (1990).

Većina istraživača se slaže da je dužina stranice osnove piramide, na primjer, GF je jednako sa L\u003d 233,16 m. Ova vrijednost odgovara gotovo točno 500 "lakata". Potpuna usklađenost sa 500 "lakata" bit će ako se dužina "lakata" smatra jednakom 0,4663 m.

Visina piramide ( H) istraživači različito procjenjuju od 146,6 do 148,2 m. I u zavisnosti od prihvaćene visine piramide, mijenjaju se svi odnosi njenih geometrijskih elemenata. Koji je razlog razlika u procjeni visine piramide? Činjenica je da je, strogo govoreći, Keopsova piramida skraćena. Njena gornja platforma danas je veličine oko 10´ 10 m, a prije jednog stoljeća bila je 6 ´ 6 m. Očigledno je da je vrh piramide bio demontiran, a ne odgovara originalnom.

Procjenjujući visinu piramide, potrebno je uzeti u obzir takav fizički faktor kao što je "nacrt" konstrukcije. Iza dugo vrijeme pod uticajem kolosalnog pritiska (do 500 tona po 1 m2 donje površine), visina piramide se smanjila u odnosu na prvobitnu visinu.

Koja je bila prvobitna visina piramide? Ova visina se može ponovo stvoriti ako pronađete osnovnu "geometrijsku ideju" piramide.

Slika 2.

Godine 1837. engleski pukovnik G. Wise izmjerio je ugao nagiba lica piramide: ispostavilo se da je jednak a= 51°51". Ovu vrijednost i danas prepoznaje većina istraživača. Naznačena vrijednost ugla odgovara tangenti (tg a), jednako 1,27306. Ova vrijednost odgovara omjeru visine piramide AC do polovine svoje osnove CB(Sl.2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

I ovdje je istraživače čekalo veliko iznenađenje!.png" width="25" height="24">= 1.272. Upoređujući ovu vrijednost sa tg vrijednošću a= 1,27306, vidimo da su ove vrijednosti vrlo blizu jedna drugoj. Ako uzmemo ugao a\u003d 51 ° 50", odnosno smanjite ga za samo jedan lučni minut, zatim vrijednost a postat će jednak 1,272, odnosno poklopit će se sa vrijednošću . Treba napomenuti da je 1840. G. Wise ponovio svoja mjerenja i razjasnio da je vrijednost ugla a=51°50".

Ova mjerenja dovela su istraživače do sljedećeg zanimljiva hipoteza: trougao ASV Keopsove piramide bio je zasnovan na relaciji AC / CB = = 1,272!

Razmotrimo sada pravougli trougao ABC, u kojem je omjer nogu AC / CB= (Sl.2). Ako sada dužine stranica pravougaonika ABC označiti sa x, y, z, a takođe uzeti u obzir da omjer y/x= , zatim, u skladu sa Pitagorinom teoremom, dužina z može se izračunati po formuli:

Ako prihvatite x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3"Zlatni" pravougli trougao.

Pravokutni trokut u kojem su stranice povezane kao t:zlatni" pravougli trougao.

Zatim, ako uzmemo kao osnovu hipotezu da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravougaoni trokut, onda je odavde lako izračunati "dizajn" visinu Keopsove piramide. To je jednako:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Izvedemo sada neke druge relacije za Keopsovu piramidu, koje slijede iz "zlatne" hipoteze. Konkretno, nalazimo omjer vanjske površine piramide i površine njene osnove. Da bismo to učinili, uzimamo dužinu noge CB po jedinici, odnosno: CB= 1. Ali onda dužina stranice osnove piramide GF= 2, i površina baze EFGHće biti jednako SEFGH = 4.

Izračunajmo sada površinu bočne strane Keopsove piramide SD. Zbog visine AB trougao AEF je jednako sa t, tada će površina bočne strane biti jednaka SD = t. Tada će ukupna površina sve četiri bočne strane piramide biti jednaka 4 t, a omjer ukupne vanjske površine piramide i površine baze bit će jednak zlatnom rezu! to je ono - glavna geometrijska tajna Keopsove piramide!

Grupa "geometrijskih čuda" Keopsove piramide uključuje stvarna i nategnuta svojstva odnosa između različite dimenzije u piramidi.

Po pravilu se dobijaju u potrazi za nekom "konstantom", posebno brojem "pi" (Ludolfov broj), jednakim 3,14159...; osnovice prirodnih logaritama "e" (Napierov broj) jednako 2,71828...; broj "F", broj "zlatnog preseka", jednak, na primjer, 0,618 ... itd.

Možete imenovati, na primjer: 1) Svojstvo Herodota: (Visina) 2 = 0,5 st. main x Apothem; 2) Vlasništvo V. Cijena: Visina: 0,5 st. osn \u003d Kvadratni korijen od "F"; 3) Svojstvo M. Eista: Perimetar osnove: 2 Visina = "Pi"; u drugačijem tumačenju - 2 žlice. main : Visina = "Pi"; 4) Svojstvo G. Rebera: Poluprečnik upisane kružnice: 0,5 st. main = "F"; 5) Vlasništvo K. Kleppish: (st. glavna.) 2: 2 (st. glavna. x Apothem) = (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2. glavna X Apotema) + (st. glavna) 2). itd. Možete smisliti mnogo takvih svojstava, posebno ako povežete dvije susjedne piramide. Na primjer, kao "Svojstva A. Arefieva" može se spomenuti da je razlika između zapremina Keopsove piramide i Hafreove piramide jednaka dvostrukom volumenu Menkaureove piramide...

Mnogi interesantne pozicije, posebno, o izgradnji piramida prema "zlatnom preseku" opisani su u knjigama D. Hambidgea "Dinamička simetrija u arhitekturi" i M. Geeka "Estetika proporcija u prirodi i umjetnosti". Podsjetimo da je "zlatni presjek" podjela segmenta u takvom omjeru, kada je dio A isto toliko puta veći od dijela B, koliko puta je A manji od cijelog segmenta A + B. Omjer A/B je jednak broju "F" == 1.618... Upotreba "zlatnog preseka" je naznačena ne samo u pojedinačnim piramidama, već u čitavom kompleksu piramida u Gizi.

Najzanimljivije je, međutim, da ista Keopsova piramida jednostavno "ne može" da primi toliko mnogo čudesna svojstva. Uzimajući jedno po jedno određeno svojstvo, možete ga "podesiti", ali odjednom se ne uklapaju - ne poklapaju se, kontradiktorne su jedna drugoj. Stoga, ako se, na primjer, prilikom provjere svih svojstava u početku uzme jedna te ista strana osnove piramide (233 m), tada će i visine piramida različitih svojstava biti različite. Drugim riječima, postoji određena "porodica" piramida, spolja sličnih Keopsovim, ali odgovaraju različitim svojstvima. Imajte na umu da nema ničeg posebno čudesnog u "geometrijskim" svojstvima - mnogo toga proizlazi čisto automatski, iz svojstava same figure. "Čudom" treba smatrati samo nešto očigledno nemoguće za stare Egipćane. Ovo, posebno, uključuje „kosmička“ čuda, u kojima se mere Keopsove piramide ili kompleksa piramida u Gizi upoređuju sa nekim astronomskim merenjima i navode „parni“ brojevi: milion puta, milijardu puta manje, i tako dalje. Hajde da razmotrimo neke "kosmičke" odnose.

Jedna od tvrdnji je ova: "ako podijelimo stranu osnove piramide tačnom dužinom godine, dobićemo tačno 10 milioniti dio Zemljine ose." Izračunajte: podijelite 233 sa 365, dobijemo 0,638. Poluprečnik Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je zapravo suprotna od prethodne. F. Noetling je istakao da ako koristite "egipatski lakat" koji je on izumio, tada će stranica piramide odgovarati "najtačnijem trajanju solarna godina izraženo na najbliži milijarditi dio dana" - 365.540.903.777.

Izjava P. Smitha: "Visina piramide je tačno jedna milijarda udaljenosti od Zemlje do Sunca." Iako se obično uzima visina od 146,6 m, Smith ju je uzeo kao 148,2 m. Prema savremenim radarskim mjerenjima, velika poluosa Zemljine orbite je 149.597.870 + 1.6 km. Ovo je prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca, ali u perihelu je 5.000.000 kilometara manja nego u afelu.

Poslednja zanimljiva izjava:

"Kako objasniti da su mase Keopsovih, Kefreovih i Menkaureovih piramida povezane jedna s drugom, kao što su mase planeta Zemlje, Venere, Marsa?" Hajde da izračunamo. Mase tri piramide su povezane kao: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Odnosi masa tri planete: Venera - 0,815; Zemljište - 1.000; Mars - 0,108.

Dakle, uprkos skepticizmu, zapazimo dobro poznatu harmoniju konstrukcije iskaza: 1) visina piramide, kao linija koja "ide u svemir" - odgovara udaljenosti od Zemlje do Sunca; 2) strana osnove piramide najbliža "podlozi", odnosno Zemlji, odgovorna je za poluprečnik Zemlje i kruženje Zemlje; 3) zapremine piramide (čitaj - mase) odgovaraju omjeru masa planeta najbližih Zemlji. Slična "šifra" može se pratiti, na primjer, u pčelinjem jeziku, koju je analizirao Karl von Frisch. Međutim, za sada se suzdržavamo od komentara.

OBLIK PIRAMIDA

Čuveni tetraedarski oblik piramida nije se pojavio odmah. Skiti su pravili ukope u obliku zemljanih brda - humki. Egipćani su gradili "brda" od kamena - piramide. To se prvi put dogodilo nakon ujedinjenja Gornjeg i Donjeg Egipta, u 28. veku pre nove ere, kada se osnivač III dinastije, faraon Džoser (Zoser), suočio sa zadatkom jačanja jedinstva zemlje.

I ovdje je, prema istoričarima, "novi koncept oboženja" cara odigrao važnu ulogu u jačanju centralne vlasti. Iako su se kraljevski ukopi odlikovali većim sjajem, nisu se načelno razlikovali od grobova dvorskih plemića, bili su to iste građevine - mastabe. Iznad komore sa sarkofagom u kojem se nalazi mumija izlivena je pravougaona brda od sitnog kamenja, gdje je potom postavljena mala građevina od velikih kamenih blokova - "mastaba" (na arapskom - "klupa"). Na mjestu mastabe svog prethodnika, Sanakhta, faraon Džoser je podigao prvu piramidu. Bio je stepenasti i bio je vidljiva prelazna faza iz jednog arhitektonskog oblika u drugi, od mastabe do piramide.

Na ovaj način faraona je "podigao" mudrac i arhitekta Imhotep, koji je kasnije smatran magičarom i kojeg su Grci poistovećivali sa bogom Asklepijem. Kao da je postavljeno šest mastaba u nizu. Štaviše, prva piramida zauzimala je površinu od 1125 x 115 metara, sa procijenjenom visinom od 66 metara (prema egipatskim mjerama - 1000 "palmi"). U početku je arhitekt planirao da izgradi mastabu, ali ne duguljastu, već kvadratnu tlocrtu. Kasnije je proširen, ali kako je proširenje spušteno, tako su se formirale dvije stepenice.

Ova situacija nije zadovoljila arhitektu, a na gornju platformu ogromne ravne mastabe Imhotep je postavio još tri, postepeno se spuštajući prema vrhu. Grobnica je bila ispod piramide.

Poznato je još nekoliko stepenastih piramida, ali su kasnije graditelji prešli na izgradnju poznatijih tetraedarskih piramida. Zašto, međutim, ne trouglasti ili, recimo, osmougaoni? Indirektan odgovor daje činjenica da su skoro sve piramide savršeno orijentisane na četiri kardinalne tačke, te stoga imaju četiri strane. Osim toga, piramida je bila "kuća", školjka četvorougaone grobne komore.

Ali šta je uzrokovalo ugao nagiba lica? U knjizi "Načelo proporcija" tome je posvećeno cijelo poglavlje: "Šta bi moglo odrediti uglove piramida." Posebno je naznačeno da je „slika kojoj gravitiraju velike piramide Starog kraljevstva trokut sa pravim uglom na vrhu.

U svemiru je to poluoktaedar: piramida u kojoj su ivice i stranice osnove jednake, lica su jednakostranični trouglovi.Određena razmatranja o ovoj temi su data u knjigama Hambidgea, Geeka i drugih.

Koja je prednost ugla semioktaedra? Prema opisima arheologa i istoričara, neke piramide su se srušile pod svojom težinom. Ono što je bilo potrebno je bio "ugao izdržljivosti", ugao koji je bio energetski najpouzdaniji. Čisto empirijski, ovaj ugao se može uzeti iz ugla vrha u gomili suvog peska koji se mrvi. Ali da biste dobili tačne podatke, morate koristiti model. Uzimajući četiri čvrsto fiksirane lopte, morate staviti petu na njih i izmjeriti uglove nagiba. Međutim, ovdje možete pogriješiti, stoga pomaže teoretski proračun: treba da povežete središta loptica linijama (mentalno). U osnovi dobijete kvadrat sa stranom jednakom dvostrukom polumjeru. Kvadrat će biti samo osnova piramide, čija će dužina ivica također biti jednaka dvostrukom polumjeru.

Tako će nam gusto pakovanje loptica tipa 1:4 dati pravilan poluoktaedar.

Međutim, zašto mnoge piramide, koje gravitiraju sličnom obliku, ipak ga ne zadržavaju? Vjerovatno piramide stare. Suprotno poznatoj izreci:

„Sve na svetu se boji vremena, a vreme se boji piramida“, zgrade piramida moraju da stare, u njima mogu i treba da se odvijaju ne samo procesi spoljašnjeg trošenja, već i procesi unutrašnjeg „skupljanje“ , od čega piramide mogu postati niže. Skupljanje je moguće i zato što su, kako su saznali radovi D. Davidovitsa, stari Egipćani koristili tehnologiju izrade blokova od krhotina kreča, odnosno od "betona". Upravo ovi procesi mogli bi objasniti razlog uništenja piramide Medum, koja se nalazi 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 godina, dimenzije osnove su 146 x 146 m, visina 118 m. „Zašto je tako osakaćen?“, pita se V. Zamarovsky. „Uobičajene reference na destruktivne efekte vremena i „upotrebu kamena za druge građevine“ ovde se ne uklapaju.

Uostalom, većina njegovih blokova i obložnih ploča ostala je na svom mjestu do danas, u ruševinama u njenom podnožju. „Kao što ćemo vidjeti, brojne odredbe tjeraju na razmišljanje čak i o tome da čuvena piramida Keops se takođe "smanjivao". U svakom slučaju, na svim drevnim slikama, piramide su šiljaste ...

Oblik piramida mogao bi se stvoriti i imitacijom: neki prirodni uzorci, "čudesno savršenstvo", recimo, neki kristali u obliku oktaedra.

Takvi kristali mogu biti dijamantski i zlatni kristali. Karakteristično veliki broj"ukrštanje" znakova za koncepte kao što su faraon, sunce, zlato, dijamant. Svugdje - plemenito, briljantno (briljantno), sjajno, besprijekorno i tako dalje. Sličnosti nisu slučajne.

Kao što znate, solarni kult je bio važan dio religije drevni egipat. „Bez obzira kako prevodimo ime najveće piramide, – piše u jednom od savremenih priručnika – „Sky Khufu“ ili „Sky Khufu“, to je značilo da je kralj sunce. Ako je Khufu, u sjaju svoje moći, zamišljao sebe kao drugo sunce, onda je njegov sin Jedef-Ra postao prvi od egipatskih kraljeva koji je sebe počeo nazivati ​​"sinom Ra", odnosno sinom Sunca. Sunce su gotovo svi narodi simbolizirali kao "solarni metal", zlato. "Veliki disk od sjajnog zlata" - tako su Egipćani zvali naše dnevno svjetlo. Egipćani su jako dobro poznavali zlato, poznavali su njegove izvorne oblike, gdje se zlatni kristali mogu pojaviti u obliku oktaedara.

Kao "uzorak oblika" ovdje je zanimljiv i "sunčev kamen" - dijamant. Ime dijamanta potiče od arapski svijet, "almas" - najteži, najteži, neuništivi. Stari Egipćani su poznavali dijamant i njegova svojstva su prilično dobra. Prema nekim autorima, za bušenje su koristili čak i bronzane cijevi s dijamantskim rezačima.

Trenutno je glavni dobavljač dijamanata Južna Afrika, ali zapadna Afrika je također bogata dijamantima. Teritorija Republike Mali tamo se čak naziva i "Dijamantska zemlja". U međuvremenu, na teritoriji Malija žive Dogoni, sa kojima pristalice hipoteze o paleovizitu polažu mnoge nade (vidi dole). Dijamanti nisu mogli biti razlog za kontakte starih Egipćana sa ovim krajem. Međutim, na ovaj ili onaj način, ali, moguće je da su upravo kopiranjem oktaedra kristala dijamanta i zlata stari Egipćani time obogotvorili "neuništive" poput dijamanta i "sjajne" poput zlatnih faraona, sinova Sunca , uporediv samo sa većinom divne kreacije priroda.

zaključak:

Proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, upoznajući se sa njenim elementima i svojstvima, uvjerili smo se u opravdanost mišljenja o ljepoti oblika piramide.

Kao rezultat našeg istraživanja, došli smo do zaključka da su ga Egipćani, prikupivši najvrednije matematičko znanje, utjelovili u piramidu. Stoga je piramida zaista najsavršenija kreacija prirode i čovjeka.

BIBLIOGRAFIJA

„Geometrija: Proc. za 7 - 9 ćelija. opšte obrazovanje institucije \ itd. - 9. izd. - M.: Obrazovanje, 1999

Istorija matematike u školi, M: "Prosvjeta", 1982

Geometrija 10-11 razred, M: "Prosvjeta", 2000

Peter Tompkins "Tajne Velike Keopsove piramide", M: "Centropoligraph", 2005.

Internet resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html