Dužina ivice osnove pravilne trouglaste piramide. Piramida i njeni elementi

Učenici se susreću sa konceptom piramide mnogo prije nego što su počeli proučavati geometriju. Okrivljuju slavna velika egipatska čuda svijeta. Stoga, započevši proučavanje ovog divnog poliedra, većina studenata to već jasno zamišlja. Svi gore navedeni nišani su u ispravnom obliku. Šta desna piramida, i koja svojstva ima i o čemu će se dalje raspravljati.

U kontaktu sa

Definicija

Postoji mnogo definicija piramide. Od davnina je veoma popularan.

Na primjer, Euklid ju je definirao kao čvrstu figuru, koja se sastoji od ravnina, koje se, počevši od jedne, konvergiraju u određenoj tački.

Heron je dao precizniju formulaciju. On je insistirao da je to cifra koja ima bazu i avione trouglovi, konvergirajući u jednoj tački.

Oslanjajući se na moderna interpretacija, piramida je predstavljena kao prostorni poliedar, koji se sastoji od određenog k-ugla i k ravnih figura trokutastog oblika imaju jednu zajedničku tačku.

Pogledajmo izbliza, Od kojih se elemenata sastoji?

• k-ugao se smatra osnovom figure;
• 3-kutne figure strše kao strane bočnog dijela;
• gornji dio, iz kojeg potiču bočni elementi, naziva se vrh;
• svi segmenti koji povezuju vrh nazivaju se ivicama;
• ako se prava linija spusti od vrha do ravni figure pod uglom od 90 stepeni, tada je njen deo zatvoren u unutrašnjem prostoru visina piramide;
• u bilo kojem bočnom elementu na strani našeg poliedra, možete nacrtati okomicu, nazvanu apotema.

Broj ivica se izračunava pomoću formule 2*k, gdje je k broj stranica k-ugla. Koliko strana ima poliedar poput piramide može se odrediti izrazom k + 1.

Bitan! Piramida pravilnog oblika je stereometrijska figura čija je osnovna ravan k-ugao sa jednakim stranama.

Osnovna svojstva

Ispravna piramida ima mnogo svojstava koji su jedinstveni za nju. Nabrojimo ih:

1. Osnova je figura pravilnog oblika.
2. Rubovi piramide, koji ograničavaju bočne elemente, imaju jednake numeričke vrijednosti.
3. Bočni elementi su jednakokraki trouglovi.
4. Osnova visine figure pada u centar poligona, a istovremeno je centralna tačka uneto i opisano.
5. Sva bočna rebra su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglom.
6. Sve bočne površine imaju isti ugao nagiba u odnosu na bazu.

Zahvaljujući svim navedenim svojstvima, izvođenje proračuna elemenata je znatno pojednostavljeno. Na osnovu gore navedenih svojstava obraćamo pažnju na dva znaka:

1. U slučaju kada se poligon uklapa u krug, bočne strane će imati osnovu jednakih uglova.
2. Kada se opisuje kružnica oko poligona, sve ivice piramide koje izlaze iz vrha imat će istu dužinu i jednake uglove sa osnovom.

Kvadrat je baziran

Pravilna četvorougaona piramida - poliedar zasnovan na kvadratu.

Ima četiri bočne strane, koje su po izgledu jednakokračne.

Na ravni je prikazan kvadrat, ali su zasnovani na svim svojstvima pravilnog četvorougla.

Na primjer, ako je potrebno spojiti stranu kvadrata s njegovom dijagonalom, tada se koristi sljedeća formula: dijagonala je jednaka umnošku stranice kvadrata i kvadratnog korijena iz dva.

Na osnovu pravilnog trougla

tacno trouglasta piramida je poliedar čija je osnova pravilan trougao.

Ako je osnova pravilan trokut, a bočne ivice jednake su rubovima baze, onda je takav lik nazvan tetraedar.

Sve strane tetraedra su jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju morate znati neke točke i ne gubiti vrijeme na njih prilikom izračunavanja:

• ugao nagiba rebara prema bilo kojoj osnovi je 60 stepeni;
• vrijednost svih unutrašnjih strana je također 60 stepeni;
• svako lice može poslužiti kao osnova;
• nacrtani unutar figure su jednaki elementi.

Presjeci poliedra

U bilo kojem poliedru postoje nekoliko tipova sekcija avion. Često u školski kurs geometrije rade sa dva:

• aksijalni;
• paralelna osnova.

Aksijalni presek se dobija presecanjem poliedra sa ravninom koja prolazi kroz vrh, bočne ivice i osu. U ovom slučaju, os je visina povučena iz vrha. Rezna ravnina je ograničena linijama presjeka sa svim stranama, što rezultira trokutom.

Pažnja! AT desna piramida aksijalni presjek je jednakokraki trokut.

Ako rezna ravnina ide paralelno sa bazom, onda je rezultat druga opcija. U ovom slučaju imamo u kontekstu figuru sličnu bazi.

Na primjer, ako je osnova kvadrat, tada će presjek paralelan s bazom također biti kvadrat, samo manje veličine.

Prilikom rješavanja zadataka pod ovim uvjetom koriste se znaci i svojstva sličnosti figura, na osnovu Talesove teoreme. Prije svega, potrebno je odrediti koeficijent sličnosti.

Ako se ravan povuče paralelno sa bazom, ona se preseca gornji dio poliedar, onda se u donjem dijelu dobije pravilna skraćena piramida. Tada se za osnove skraćenog poliedra kaže da su slični poligoni. U ovom slučaju, bočne strane su jednakokraki trapezi. Aksijalni presjek je također jednakokraki.

Da bi se odredila visina skraćenog poliedra, potrebno je ucrtati visinu u aksijalnom presjeku, odnosno u trapezu.

Površine

Glavni geometrijski problemi koji se moraju rješavati u školskom predmetu geometrije su određivanje površine i zapremine piramide.

Postoje dvije vrste površine:

• površina bočnih elemenata;
• cijelu površinu.

Iz samog naslova je jasno o čemu se radi. Bočna površina uključuje samo bočne elemente. Iz ovoga slijedi da da biste ga pronašli, jednostavno trebate sabrati površine bočnih ravnina, odnosno površine jednakokračnih 3-kuta. Pokušajmo izvući formulu za površinu bočnih elemenata:

1. Površina jednakokračnog 3-ugla je Str=1/2(aL), gdje je a stranica baze, L je apotema.
2. Broj bočnih ravni zavisi od tipa k-ugla u bazi. Na primjer, pravilna četverokutna piramida ima četiri bočne ravni. Stoga je potrebno sabrati površine četiri cifre Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izraz je na ovaj način pojednostavljen jer je vrijednost 4a=POS, gdje je POS obim baze. A izraz 1/2 * Rosn je njegov poluperimetar.
3. Dakle, zaključujemo da je površina bočnih elemenata pravilne piramide jednaka proizvodu poluperimetra osnove i apoteme: Sside = Rosn * L.

Square puna površina piramida se sastoji od zbira površina bočnih ravnina i baze: Sp.p. = Sside + Sbase.

Što se tiče površine baze, ovdje se formula koristi prema vrsti poligona.

Volumen pravilne piramide jednak je proizvodu površine osnovne ravni i visine podeljene sa tri: V=1/3*Sbase*H, gde je H visina poliedra.

Šta je pravilna piramida u geometriji

Svojstva pravilne četvorougaone piramide

Trouglasta piramida je piramida zasnovana na trouglu. Visina ove piramide je okomita, koja se spušta od vrha piramide do njenih osnova.

Pronalaženje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Veoma jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trouglaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3)Sh, gdje je S površina baze, V je zapremina piramide, h njena visina. Iz ove formule izvedite formulu visine: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, morate pomnožiti volumen piramide sa 3, a zatim podijeliti rezultirajuću vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V ) / S. Budući da je osnova trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegove stranice z, onda prema formuli površine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdje je h visina piramide, γ je ivica trougla; kut između stranica trokuta i samih dviju stranica, a zatim koristeći sljedeću formulu: S = (1/2)γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa ugla Q mora se vidjeti u tabeli sinusa koja se nalazi na internetu. Zatim zamjenjujemo vrijednost površine u formulu visine: h = (2S)/γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trouglasta piramida

Odredite visinu pravilne trouglaste piramide, odnosno piramide u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi, znajući veličinu ivice γ. U ovom slučaju, rubovi piramide su stranice jednakostraničnih trokuta. Visina pravilne trouglaste piramide će biti: h = γ√(2/3), gdje je γ ivica jednakostraničnog trougla, h visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dati su samo dužina ivice (γ) i zapremina (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji je izražen u smislu dužine ivice. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 proizvoda dužine stranice ovog trokuta, na kvadrat kvadratnog korijena od 3. Umjesto površine baze u prethodnoj formuli zamjenjujemo ovu formulu , i dobijamo sljedeću formulu: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumen tetraedra se može izraziti u smislu dužine njegove ivice, tada se sve varijable mogu ukloniti iz formule za izračunavanje visine figure i ostaviti samo stranu trokutastog lica figure. Zapremina takve piramide može se izračunati dijeljenjem sa 12 od proizvoda dužine njene površine kucirane kvadratnim korijenom od 2.

Zamjenjujući ovaj izraz u prethodnu formulu, dobijamo sljedeću formulu za izračunavanje: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Također, pravilna trouglasta prizma se može upisati u sferu, a znajući samo polumjer sfere (R), možete pronaći samu visinu tetraedra. Dužina ivice tetraedra je: γ = 4R/√6. Varijablu γ zamjenjujemo ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijamo formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ista formula se može dobiti ako znamo poluprečnik (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ivice trokuta će biti jednaka 12 omjera između njih kvadratni korijen od 6 i radijusa. Ovaj izraz zamjenjujemo u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četvorougaone piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći dužinu visine piramide, morate znati šta je pravilna piramida. Četvorougaona piramida je piramida zasnovana na četvorouglu. Ako u uslovima problema imamo: zapreminu (V) i površinu osnove (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite volumen pomnožen sa 3 površinom S: h = (3V) / S. Kod kvadratne osnove piramide sa poznatim: datim volumenom (V) i dužinom stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom dužine stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Visina pravilne piramide h = SO prolazi upravo kroz centar kruga koji je opisan blizu baze. Pošto je osnova ove piramide kvadrat, tačka O je tačka preseka dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Dalje, nalazimo u pravouglom trouglu SOC (prema Pitagorinoj teoremi): SO = √(SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu pravilne piramide.

hipoteza: vjerujemo da je savršenstvo oblika piramide posljedica matematički zakoni ugrađen u svoj oblik.

Cilj: ispitivanje piramide geometrijsko tijelo, da objasni savršenstvo njegove forme.

Zadaci:

1. Dajte matematičku definiciju piramide.

2. Proučavajte piramidu kao geometrijsko tijelo.

3. Shvatite kakvo su matematičko znanje Egipćani položili u svoje piramide.

Privatna pitanja:

1. Šta je piramida kao geometrijsko tijelo?

2. Kako se matematički može objasniti jedinstveni oblik piramide?

3. Šta objašnjava geometrijska čuda piramide?

4. Šta objašnjava savršenstvo oblika piramide?

Definicija piramide.

PIRAMIDA (od grčkog pyramis, rod n. pyramidos) - poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi sa zajedničkim vrhom (slika). Prema broju uglova baze piramide su trokutaste, četvorougaone itd.

PIRAMIDA - monumentalna građevina koja ima geometrijski oblik piramide (ponekad i stepenasta ili u obliku tornja). Džinovske grobnice staroegipatskih faraona iz 3.-2. milenijuma pre nove ere nazivaju se piramidama. e., kao i drevna američka postolja hramova (u Meksiku, Gvatemali, Hondurasu, Peruu) povezana s kosmološkim kultovima.

Moguće je da grčka riječ"piramida" dolazi od egipatskog izraza per-em-us, tj. od izraza koji je označavao visinu piramide. Istaknuti ruski egiptolog V. Struve vjerovao je da grčko “puram…j” dolazi od staroegipatskog “p”-mr.

Iz istorije. Proučivši materijal u udžbeniku "Geometrija" autora Atanasyana. Butuzova i drugih, saznali smo da: Poliedar sastavljen od n-ugla A1A2A3 ... An i n trouglova RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 naziva se piramida. Poligon A1A2A3 ... An je osnova piramide, a trouglovi RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 su bočne strane piramide, P je vrh piramide, segmenti RA1, RA2, .... ., RAn su bočne ivice.

Međutim, takva definicija piramide nije uvijek postojala. Na primjer, starogrčki matematičar, autor teorijskih rasprava o matematici koji su do nas došli, Euklid, definira piramidu kao čvrstu figuru omeđenu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravni u jednu tačku.

Ali ova definicija je kritizirana već u antici. Tako je Heron predložio sljedeću definiciju piramide: "Ovo je lik omeđen trouglovima koji konvergiraju u jednoj tački i čija je osnova poligon."

Naša grupa je, upoređujući ove definicije, došla do zaključka da one nemaju jasnu formulaciju pojma „temelj“.

Proučavali smo ove definicije i pronašli definiciju Adriena Marie Legendrea, koji je 1794. godine u svom djelu “Elementi geometrije” definirao piramidu na sljedeći način: “Piramida je tjelesna figura formirana od trokuta koji se konvergiraju u jednoj tački i završavaju na različitim stranama ravna baza.”

Čini nam se da poslednja definicija daje jasnu predstavu o piramidi, jer govori o tome da je osnova ravna. Druga definicija piramide pojavila se u udžbeniku iz 19. veka: „piramida je čvrst ugao presečen ravninom“.

Piramida kao geometrijsko tijelo.

To. Piramida je poliedar, čija je jedna strana (osnova) poligon, a druge strane (stranice) su trouglovi koji imaju jedan zajednički vrh (vrh piramide).

Okomita povučena od vrha piramide do ravni baze naziva se visinah piramide.

Pored proizvoljne piramide, postoje desna piramida, u čijoj osnovi je pravilan poligon i krnje piramide.

Na slici - piramida PABCD, ABCD - njena osnova, PO - visina.

Puna površina Piramidom se naziva zbir površina svih njenih lica.

Puno = Sside + Sbase, gdje Sside je zbir površina bočnih strana.

zapremina piramide nalazi se prema formuli:

V=1/3Sbase h, gdje je Sosn. - bazna površina h- visina.

Os pravilne piramide je prava linija koja sadrži njenu visinu.
Apotema ST - visina bočne strane pravilne piramide.

Površina bočne strane pravilne piramide izražava se na sljedeći način: Sside. =1/2P h, gdje je P obim baze, h- visina bočne strane (apotema pravilne piramide). Ako piramidu preseca ravan A'B'C'D' paralelna sa bazom, tada:

1) bočne ivice i visina su podeljene ovom ravni na proporcionalne delove;

2) u preseku se dobija poligon A'B'C'D', sličan osnovi;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Osnove krnje piramide su slični poligoni ABCD i A`B`C`D`, bočne strane su trapezi.

Visina skraćena piramida - udaljenost između baza.

Skraćeni volumen piramida se nalazi po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočna površina pravilne skraćene piramide se izražava na sljedeći način: bočna strana = ½(P+P') h, gdje su P i P' perimetri baza, h- visina bočne strane (apotema pravilne skraćene gozbama

Sekcije piramide.

Presjeci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trouglovi.

Odsjek koji prolazi kroz dvije nesusjedne bočne ivice piramide naziva se dijagonalni presjek.

Ako presjek prolazi kroz tačku na bočnoj ivici i strani baze, tada će ova strana biti njen trag na ravni osnove piramide.

Presjek koji prolazi kroz tačku koja leži na licu piramide i dati trag presjeka na ravni baze, tada konstrukciju treba izvesti na sljedeći način:

pronaći presječnu točku ravnine datog lica i traga presjeka piramide i označiti je;

konstruisati pravu liniju koja prolazi dati poen i rezultujuća tačka preseka;

· Ponovite ove korake za sljedeća lica.

, što odgovara omjeru kateta pravokutnog trokuta 4:3. Ovaj odnos krakova odgovara dobro poznatom pravouglom trouglu sa stranicama 3:4:5, koji se naziva "savršeni", "sveti" ili "egipatski" trougao. Prema istoričarima, "egipatskom" trouglu je dato magično značenje. Plutarh je napisao da su Egipćani upoređivali prirodu univerzuma sa "svetim" trouglom; oni su vertikalnu nogu simbolično uporedili sa mužem, bazu sa ženom, a hipotenuzu sa onim što se rađa iz oboje.

Za trougao 3:4:5 tačna je jednakost: 32 + 42 = 52, što izražava Pitagorinu teoremu. Nije li ovo teorema koju su hteli da ovjekovječe Egipatski sveštenici, graditi piramidu na osnovu trougla 3:4:5? Teško je pronaći bolji primjer za ilustrovanje Pitagorine teoreme, koja je bila poznata Egipćanima mnogo prije nego što ju je Pitagora otkrio.

Tako su genijalni tvorci egipatskih piramida nastojali da zadive svoje daleke potomke dubinom svog znanja, a to su postigli odabirom „zlatnog“ kao „glavne geometrijske ideje“ za Keopsovu piramidu. pravougaonog trougla, a za Khafreovu piramidu - "sveti" ili "egipatski" trougao.

Vrlo često u svojim istraživanjima naučnici koriste svojstva piramida sa proporcijama zlatnog preseka.

U matematici enciklopedijski rječnik data je sljedeća definicija zlatnog preseka - ovo je harmonijska podjela, podjela u ekstremnom i prosječnom omjeru - podjela segmenta AB na dva dijela na način da je njegov najveći dio AC prosječna proporcionalna između cijelog segmenta AB i njegov manji dio CB.

Algebarsko nalaženje zlatnog presjeka segmenta AB = a svodi na rješavanje jednačine a: x = x: (a - x), odakle je x približno jednako 0,62a. Omjer x se može izraziti kao razlomci 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdje su 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonačijevi brojevi.

Geometrijska konstrukcija zlatnog presjeka segmenta AB izvodi se na sljedeći način: u tački B se vraća okomita na AB, na nju se polaže segment BE = 1/2 AB, A i E su povezani, DE \ u003d BE se odgađa, i, konačno, AC = AD, tada je jednakost AB ispunjena: CB = 2: 3.

zlatni omjerčesto se koristi u umjetničkim djelima, arhitekturi, nalazi se u prirodi. Živopisni primjeri su skulptura Apolona Belvedere, Partenon. Prilikom izgradnje Partenona korišćen je odnos visine objekta prema njegovoj dužini i taj odnos je 0,618. Objekti oko nas također pružaju primjere zlatnog omjera, na primjer, povezi mnogih knjiga imaju omjer širine i dužine blizu 0,618. S obzirom na raspored listova na zajedničkoj stabljici biljaka, može se primijetiti da se između svaka dva para listova, treći nalazi na mjestu zlatnog omjera (slajdovi). Svako od nas "nosi" zlatni omjer sa sobom "u rukama" - to je omjer falangi prstiju.

Zahvaljujući otkriću nekoliko matematičkih papirusa, egiptolozi su naučili nešto o drevnim egipatskim sistemima računa i mjera. Zadatke sadržane u njima rješavali su pisari. Jedan od najpoznatijih je Rhind matematički papirus. Proučavajući ove zagonetke, egiptolozi su saznali kako su se stari Egipćani nosili s njima razne količine koji su nastali u izračunavanju mjera težine, dužine i zapremine, u kojima su se razlomci često koristili, kao i kako su se bavili uglovima.

Stari Egipćani su koristili metodu izračunavanja uglova zasnovanu na omjeru visine i osnovice pravokutnog trokuta. Oni su izražavali bilo koji ugao jezikom gradijenta. Gradijent nagiba je izražen kao omjer cijelog broja, nazvan "seked". U Matematici u doba faraona, Richard Pillins objašnjava: „Seked pravilne piramide je nagib bilo kojeg od četiri trokutasta lica prema ravni osnove, mjeren n-tim brojem horizontalnih jedinica po vertikalnoj jedinici nadmorske visine . Dakle, ova jedinica mjere je ekvivalentna našem modernom kotangensu ugla nagiba. Stoga je egipatska riječ "seked" povezana s našom moderna reč"gradijent"".

Numerički ključ za piramide leži u omjeru njihove visine i baze. AT u praktičnom smislu- ovo je najlakši način da napravite šablone neophodne za stalnu provjeru ispravnog ugla nagiba tokom cijele konstrukcije piramide.

Egiptolozi bi nas rado uvjerili da je svaki faraon želio izraziti svoju individualnost, pa otuda i razlike u uglovima nagiba svake piramide. Ali može postojati i drugi razlog. Možda su svi htjeli utjeloviti različite simboličke asocijacije skrivene u različitim proporcijama. Međutim, ugao Khafreove piramide (zasnovan na trokutu (3:4:5) pojavljuje se u tri problema predstavljena piramidama u Rhindovom matematičkom papirusu). Dakle, ovaj stav je bio dobro poznat starim Egipćanima.

Da budemo pošteni prema egiptolozima koji tvrde da stari Egipćani nisu poznavali trougao 3:4:5, recimo da dužina hipotenuze 5 nikada nije spomenuta. Ali matematički problemi koji se tiču ​​piramida uvijek se rješavaju na osnovu traženog ugla - omjera visine i osnove. Kako dužina hipotenuze nikada nije spomenuta, zaključeno je da Egipćani nikada nisu izračunali dužinu treće stranice.

Omjer visine i osnove korišten u piramidama u Gizi bez sumnje je bio poznat starim Egipćanima. Moguće je da su ovi omjeri za svaku piramidu odabrani proizvoljno. Međutim, ovo je u suprotnosti sa značajem koji se pridaje numeričkom simbolizmu u svim tipovima Egipćana vizualna umjetnost. Vrlo je vjerovatno da su takvi odnosi bili od velikog značaja, jer su izražavali specifične vjerske ideje. Drugim riječima, cijeli kompleks Gize bio je podvrgnut koherentnom dizajnu, dizajniranom da odražava neku vrstu božanske teme. To bi objasnilo zašto su se dizajneri odlučili različitim uglovima nagib tri piramide.

U Tajni Oriona, Bauval i Gilbert iznijeli su uvjerljive dokaze o povezanosti piramida u Gizi sa sazviježđem Oriona, posebno sa zvijezdama Orionovog pojasa.Isto sazviježđe je prisutno u mitu o Izidi i Ozirisu, a tamo je razlog da se svaka piramida smatra slikom jednog od tri glavna božanstva - Ozirisa, Izide i Horusa.

ČUDA "GEOMETRIJSKA".

Među grandioznim piramidama Egipta, posebno mjesto zauzimaju Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Prije nego što pređemo na analizu oblika i veličine Keopsove piramide, treba se sjetiti koji su sistem mjera koristili Egipćani. Egipćani su imali tri jedinice dužine: "lakat" (466 mm), jednak sedam "palmi" (66,5 mm), što je zauzvrat bilo jednako četiri "prsta" (16,6 mm).

Analizirajmo veličinu Keopsove piramide (slika 2), prateći rezonovanje dato u divnoj knjizi ukrajinskog naučnika Nikolaja Vasjutinskog "Zlatna proporcija" (1990).

Većina istraživača se slaže da je dužina stranice osnove piramide, na primjer, GF je jednako sa L\u003d 233,16 m. Ova vrijednost odgovara gotovo točno 500 "lakata". Potpuna usklađenost sa 500 "lakata" bit će ako se dužina "lakata" smatra jednakom 0,4663 m.

Visina piramide ( H) istraživači različito procjenjuju od 146,6 do 148,2 m. I u zavisnosti od prihvaćene visine piramide, mijenjaju se svi odnosi njenih geometrijskih elemenata. Koji je razlog razlika u procjeni visine piramide? Činjenica je da je, strogo govoreći, Keopsova piramida skraćena. Njena gornja platforma danas je veličine oko 10´ 10 m, a prije jednog stoljeća bila je 6 ´ 6 m. Očigledno je da je vrh piramide bio demontiran, a ne odgovara originalnom.

Procjenjujući visinu piramide, potrebno je uzeti u obzir takav fizički faktor kao što je "nacrt" konstrukcije. Iza dugo vrijeme pod uticajem kolosalnog pritiska (dosegavši ​​500 tona po 1 m2 donje površine), visina piramide se smanjila u odnosu na prvobitnu visinu.

Koja je bila prvobitna visina piramide? Ova visina se može ponovo stvoriti ako pronađete osnovnu "geometrijsku ideju" piramide.

Slika 2.

Godine 1837. engleski pukovnik G. Wise izmjerio je ugao nagiba lica piramide: ispostavilo se da je jednak a= 51°51". Ovu vrijednost i danas prepoznaje većina istraživača. Naznačena vrijednost ugla odgovara tangenti (tg a), jednako 1,27306. Ova vrijednost odgovara omjeru visine piramide AC do polovine svoje osnove CB(Sl.2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

I ovdje je istraživače čekalo veliko iznenađenje!.png" width="25" height="24">= 1.272. Upoređujući ovu vrijednost sa tg vrijednošću a= 1,27306, vidimo da su ove vrijednosti vrlo blizu jedna drugoj. Ako uzmemo ugao a\u003d 51 ° 50", odnosno smanjite ga za samo jedan lučni minut, zatim vrijednost a postat će jednak 1,272, odnosno poklopit će se sa vrijednošću . Treba napomenuti da je 1840. G. Wise ponovio svoja mjerenja i razjasnio da je vrijednost ugla a=51°50".

Ova mjerenja dovela su istraživače do sljedećeg zanimljiva hipoteza: trougao ASV Keopsove piramide bio je zasnovan na relaciji AC / CB = = 1,272!

Razmotrimo sada pravougli trougao ABC, u kojem je omjer nogu AC / CB= (Sl.2). Ako sada dužine stranica pravougaonika ABC označiti sa x, y, z, a takođe uzeti u obzir da omjer y/x= , zatim, u skladu sa Pitagorinom teoremom, dužina z može se izračunati po formuli:

Ako prihvatite x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3"Zlatni" pravougli trougao.

Pravokutni trokut u kojem su stranice povezane kao t:zlatni" pravougli trougao.

Zatim, ako uzmemo kao osnovu hipotezu da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravougaoni trokut, onda je odavde lako izračunati "dizajn" visinu Keopsove piramide. To je jednako:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Izvedemo sada neke druge relacije za Keopsovu piramidu, koje slijede iz "zlatne" hipoteze. Konkretno, nalazimo omjer vanjske površine piramide i površine njene osnove. Da bismo to učinili, uzimamo dužinu noge CB po jedinici, odnosno: CB= 1. Ali onda dužina stranice osnove piramide GF= 2, i površina baze EFGHće biti jednako SEFGH = 4.

Izračunajmo sada površinu bočne strane Keopsove piramide SD. Zbog visine AB trougao AEF je jednako sa t, tada će površina bočne strane biti jednaka SD = t. Tada će ukupna površina sve četiri bočne strane piramide biti jednaka 4 t, a omjer ukupne vanjske površine piramide i površine baze bit će jednak zlatnom rezu! to je ono - glavna geometrijska tajna Keopsove piramide!

Grupa "geometrijskih čuda" Keopsove piramide uključuje stvarna i nategnuta svojstva odnosa između različite dimenzije u piramidi.

Po pravilu se dobijaju u potrazi za nekom "konstantom", posebno brojem "pi" (Ludolfov broj), jednakim 3,14159...; osnovice prirodnih logaritama "e" (Napierov broj) jednako 2,71828...; broj "F", broj "zlatnog preseka", jednak, na primjer, 0,618 ... itd.

Možete imenovati, na primjer: 1) Svojstvo Herodota: (Visina) 2 = 0,5 st. main x Apothem; 2) Vlasništvo V. Cijena: Visina: 0,5 st. osn \u003d Kvadratni korijen od "F"; 3) Svojstvo M. Eista: Perimetar osnove: 2 Visina = "Pi"; u drugačijem tumačenju - 2 žlice. main : Visina = "Pi"; 4) Svojstvo G. Rebera: Poluprečnik upisane kružnice: 0,5 st. main = "F"; 5) Vlasništvo K. Kleppish: (st. glavna.) 2: 2 (st. glavna. x Apothem) = (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2. glavna X Apotema) + (st. glavna) 2). itd. Možete smisliti mnogo takvih svojstava, posebno ako povežete dvije susjedne piramide. Na primjer, kao "Svojstva A. Arefieva" može se spomenuti da je razlika između zapremina Keopsove piramide i Hafreove piramide jednaka dvostrukom volumenu Menkaureove piramide...

Mnoge zanimljive odredbe, posebno o izgradnji piramida prema "zlatnom preseku" su izložene u knjigama D. Hambidgea "Dinamička simetrija u arhitekturi" i M. Geeka "Estetika proporcija u prirodi i umetnosti". Podsjetimo da je "zlatni presjek" podjela segmenta u takvom omjeru, kada je dio A isto toliko puta veći od dijela B, koliko puta je A manji od cijelog segmenta A + B. Omjer A/B je jednak broju "F" == 1.618... Upotreba "zlatnog preseka" je naznačena ne samo u pojedinačnim piramidama, već u čitavom kompleksu piramida u Gizi.

Najzanimljivije je, međutim, da ista Keopsova piramida jednostavno "ne može" da primi toliko mnogo čudesna svojstva. Uzimajući jedno po jedno određeno svojstvo, možete ga "podesiti", ali odjednom se ne uklapaju - ne poklapaju se, kontradiktorne su jedna drugoj. Stoga, ako se, na primjer, prilikom provjere svih svojstava u početku uzme jedna te ista strana osnove piramide (233 m), tada će i visine piramida različitih svojstava biti različite. Drugim riječima, postoji određena "porodica" piramida, spolja sličnih Keopsovim, ali odgovaraju različitim svojstvima. Imajte na umu da nema ničeg posebno čudesnog u "geometrijskim" svojstvima - mnogo toga proizlazi čisto automatski, iz svojstava same figure. „Čudom“ treba smatrati samo nešto očigledno nemoguće za stare Egipćane. Ovo, posebno, uključuje „kosmička“ čuda, u kojima se mere Keopsove piramide ili kompleksa piramida u Gizi upoređuju sa nekim astronomskim merenjima i navode „parni“ brojevi: milion puta, milijardu puta manje, i tako dalje. Hajde da razmotrimo neke "kosmičke" odnose.

Jedna od tvrdnji je ova: "ako podijelimo stranu osnove piramide tačnom dužinom godine, dobićemo tačno 10 milioniti dio Zemljine ose." Izračunajte: podijelite 233 sa 365, dobijemo 0,638. Poluprečnik Zemlje je 6378 km.

Druga izjava je zapravo suprotna od prethodne. F. Noetling je istakao da ako koristite "egipatski lakat" koji je on izumio, tada će stranica piramide odgovarati "najtačnijem trajanju solarna godina, izraženo na najbliži milijarditi dio dana" - 365.540.903.777.

Izjava P. Smitha: "Visina piramide je tačno jedna milijarda udaljenosti od Zemlje do Sunca." Iako se obično uzima visina od 146,6 m, Smith ju je uzeo kao 148,2 m. Prema savremenim radarskim mjerenjima, velika poluosa Zemljine orbite je 149.597.870 + 1.6 km. Ovo je prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca, ali u perihelu je 5.000.000 kilometara manja nego u afelu.

Poslednja zanimljiva izjava:

"Kako objasniti da su mase Keopsovih, Kefreovih i Menkaureovih piramida povezane jedna s drugom, kao što su mase planeta Zemlje, Venere, Marsa?" Hajde da izračunamo. Mase tri piramide su povezane kao: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Odnosi masa tri planete: Venera - 0,815; Zemljište - 1.000; Mars - 0,108.

Dakle, uprkos skepticizmu, zapazimo dobro poznatu harmoniju konstrukcije iskaza: 1) visina piramide, kao linija koja "ide u svemir" - odgovara udaljenosti od Zemlje do Sunca; 2) strana osnove piramide najbliža „podlozi“, odnosno Zemlji, odgovorna je za poluprečnik Zemlje i kruženje Zemlje; 3) zapremine piramide (čitaj - mase) odgovaraju omjeru masa planeta najbližih Zemlji. Slična "šifra" može se pratiti, na primjer, u jeziku pčela, koju je analizirao Karl von Frisch. Međutim, za sada se suzdržavamo od komentara o ovome.

OBLIK PIRAMIDA

Čuveni tetraedarski oblik piramida nije se pojavio odmah. Skiti su pravili ukope u obliku zemljanih brda - humki. Egipćani su gradili "brda" od kamena - piramide. To se prvi put dogodilo nakon ujedinjenja Gornjeg i Donjeg Egipta, u 28. veku pre nove ere, kada se osnivač III dinastije, faraon Džoser (Zoser), suočio sa zadatkom jačanja jedinstva zemlje.

I ovdje je, prema istoričarima, "novi koncept oboženja" cara odigrao važnu ulogu u jačanju centralne vlasti. Iako su se kraljevski ukopi odlikovali većim sjajem, nisu se načelno razlikovali od grobova dvorskih plemića, bili su to iste građevine - mastabe. Iznad komore sa sarkofagom u kojem se nalazi mumija izlivena je pravougaona brda od sitnog kamenja, gdje je potom postavljena mala građevina od velikih kamenih blokova - "mastaba" (na arapskom - "klupa"). Na mjestu mastabe svog prethodnika, Sanakhta, faraon Džoser je podigao prvu piramidu. Bio je stepenasti i bio je vidljiva prelazna faza iz jednog arhitektonskog oblika u drugi, od mastabe do piramide.

Na taj način je faraona "uzdigao" mudrac i arhitekta Imhotep, kojeg su kasnije smatrali mađioničarom, a Grci ga poistovjećivali sa bogom Asklepijem. Kao da je postavljeno šest mastaba u nizu. Štaviše, prva piramida zauzimala je površinu od 1125 x 115 metara, sa procijenjenom visinom od 66 metara (prema egipatskim mjerama - 1000 "palmi"). U početku je arhitekt planirao da izgradi mastabu, ali ne duguljastu, već kvadratnu tlocrtu. Kasnije je proširen, ali kako je proširenje spušteno, tako su se formirale dvije stepenice.

Ova situacija nije zadovoljila arhitektu, a na gornju platformu ogromne ravne mastabe Imhotep je postavio još tri, postepeno se spuštajući prema vrhu. Grobnica je bila ispod piramide.

Poznato je još nekoliko stepenastih piramida, ali su kasnije graditelji prešli na izgradnju poznatijih tetraedarskih piramida. Zašto, međutim, ne trouglasti ili, recimo, osmougaoni? Indirektan odgovor daje činjenica da su skoro sve piramide savršeno orijentisane na četiri kardinalne tačke, te stoga imaju četiri strane. Osim toga, piramida je bila "kuća", školjka četvorougaone grobne komore.

Ali šta je uzrokovalo ugao nagiba lica? U knjizi "Načelo proporcija" tome je posvećeno cijelo poglavlje: "Šta bi moglo odrediti uglove piramida." Posebno je naznačeno da je „slika kojoj gravitiraju velike piramide Starog kraljevstva trokut sa pravim uglom na vrhu.

U svemiru je to poluoktaedar: piramida u kojoj su ivice i stranice osnove jednake, lica su jednakostranični trouglovi.Određena razmatranja o ovoj temi su data u knjigama Hambidgea, Geeka i drugih.

Koja je prednost ugla semioktaedra? Prema opisima arheologa i istoričara, neke piramide su se srušile pod svojom težinom. Ono što je bilo potrebno je bio "ugao izdržljivosti", ugao koji je bio energetski najpouzdaniji. Čisto empirijski, ovaj ugao se može uzeti iz ugla vrha u gomili suvog peska koji se mrvi. Ali da biste dobili tačne podatke, morate koristiti model. Uzimajući četiri čvrsto fiksirane lopte, morate staviti petu na njih i izmjeriti uglove nagiba. Međutim, ovdje možete pogriješiti, stoga pomaže teoretski proračun: treba da povežete središta loptica linijama (mentalno). U osnovi dobijete kvadrat sa stranom jednakom dvostrukom polumjeru. Kvadrat će biti samo osnova piramide, čija će dužina ivica također biti jednaka dvostrukom polumjeru.

Tako će nam gusto pakovanje loptica tipa 1:4 dati pravilan poluoktaedar.

Međutim, zašto mnoge piramide, koje gravitiraju sličnom obliku, ipak ga ne zadržavaju? Vjerovatno piramide stare. Suprotno poznatoj izreci:

„Sve na svetu se boji vremena, a vreme se boji piramida“, zgrade piramida moraju da stare, u njima mogu i treba da se odvijaju ne samo procesi spoljašnjeg trošenja, već i procesi unutrašnjeg „skupljanje“ , od čega piramide mogu postati niže. Skupljanje je moguće i zato što su, kako su saznali radovi D. Davidovitsa, stari Egipćani koristili tehnologiju izrade blokova od krhotina kreča, odnosno od "betona". Upravo ovi procesi mogli bi objasniti razlog uništenja piramide Medum, koja se nalazi 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 godina, dimenzije osnove su 146 x 146 m, visina 118 m. „Zašto je tako osakaćen?“, pita se V. Zamarovsky. „Uobičajene reference na destruktivne efekte vremena i „upotrebu kamena za druge građevine“ ovde se ne uklapaju.

Uostalom, većina njegovih blokova i obložnih ploča ostala je na svom mjestu do danas, u ruševinama u njenom podnožju. „Kao što ćemo vidjeti, brojne odredbe navode na razmišljanje čak i o tome da čuvena piramida Keops se takođe "smanjivao". U svakom slučaju, na svim drevnim slikama, piramide su šiljaste ...

Oblik piramida mogao bi se stvoriti i imitacijom: neki prirodni uzorci, "čudesno savršenstvo", recimo, neki kristali u obliku oktaedra.

Takvi kristali mogu biti dijamantski i zlatni kristali. Karakteristično veliki broj"ukrštanje" znakova za koncepte kao što su faraon, sunce, zlato, dijamant. Svugdje - plemenito, briljantno (briljantno), sjajno, besprijekorno i tako dalje. Sličnosti nisu slučajne.

Kao što znate, solarni kult je bio važan dio religije. drevni egipat. „Bez obzira kako prevodimo ime najveće od piramida, – piše u jednom od savremenih priručnika – „Sky Khufu” ili „Sky Khufu”, to je značilo da je kralj sunce. Ako je Khufu, u sjaju svoje moći, zamišljao sebe kao drugo sunce, onda je njegov sin Jedef-Ra postao prvi od egipatskih kraljeva koji je sebe počeo nazivati ​​"sinom Ra", odnosno sinom Sunca. Sunce su gotovo svi narodi simbolizirali kao "solarni metal", zlato. "Veliki disk od sjajnog zlata" - tako su Egipćani zvali naše dnevno svjetlo. Egipćani su jako dobro poznavali zlato, poznavali su njegove izvorne oblike, gdje se zlatni kristali mogu pojaviti u obliku oktaedara.

Kao "uzorak oblika" ovdje je zanimljiv i "sunčev kamen" - dijamant. Ime dijamanta potiče od arapski svijet, "almas" - najteži, najteži, neuništivi. Stari Egipćani su poznavali dijamant i njegova svojstva su prilično dobra. Prema nekim autorima, za bušenje su koristili čak i bronzane cijevi s dijamantskim rezačima.

Trenutno je glavni dobavljač dijamanata Južna Afrika, ali zapadna Afrika je također bogata dijamantima. Teritorija Republike Mali tamo se čak naziva i "Dijamantska zemlja". U međuvremenu, na teritoriji Malija žive Dogoni, sa kojima pristalice hipoteze o paleovizitu polažu mnoge nade (vidi dole). Dijamanti nisu mogli biti razlog za kontakte starih Egipćana sa ovim krajem. Međutim, na ovaj ili onaj način, ali, moguće je da su upravo kopiranjem oktaedra dijamanata i zlatnih kristala stari Egipćani time obogotvorili "neuništive" poput dijamanta i "sjajne" poput zlatnih faraona, sinova Sunca, uporedivi samo sa većinom divne kreacije priroda.

zaključak:

Proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, upoznajući se sa njenim elementima i svojstvima, uvjerili smo se u opravdanost mišljenja o ljepoti oblika piramide.

Kao rezultat našeg istraživanja, došli smo do zaključka da su ga Egipćani, prikupivši najvrednije matematičko znanje, utjelovili u piramidu. Stoga je piramida zaista najsavršenija kreacija prirode i čovjeka.

BIBLIOGRAFIJA

„Geometrija: Proc. za 7 - 9 ćelija. opšte obrazovanje institucije \ itd. - 9. izd. - M.: Obrazovanje, 1999

Istorija matematike u školi, M: "Prosvjeta", 1982

Geometrija 10-11 razred, M: "Prosvjeta", 2000

Peter Tompkins "Tajne Velike Keopsove piramide", M: "Centropoligraph", 2005.

Internet resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi oni se izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za ispit.

Zamislite ravan, poligon koja leži u njemu i tačka S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naslov trouglasta piramida - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "pravilnog tetraedra". U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama osnove, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica ivica su jednake. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je centar P poligona sa visinskom bazom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotem piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Nastavnik matematike o njegovoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike imenuje prvi od njih apothemic, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula zapremine piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koje dvije rubove koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo baze visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u osnovi piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: imajte na umu da su sve stavke ujedinjene jednim zajedničko vlasništvo: na ovaj ili onaj način, bočna lica učestvuju svuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trouglovi jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem opisane kružnice blizu osnove piramide, ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Uvod

Kada smo počeli da proučavamo stereometrijske figure, dotakli smo se teme "Piramida". Ova tema nam se dopala jer se piramida vrlo često koristi u arhitekturi. I od našeg buduća profesija arhitekta, inspirisana ovom figurom, mislimo da će nas potaknuti na velike projekte.

Snaga arhitektonskih objekata, njihov najvažniji kvalitet. Povezivanje snage, prvo, sa materijalima od kojih su napravljeni, i, drugo, sa karakteristikama konstruktivna rješenja, ispada da je čvrstoća konstrukcije direktno povezana sa geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.

Drugim riječima, mi pričamo o toj geometrijskoj figuri, koja se može smatrati modelom odgovarajuće arhitektonske forme. Ispada da geometrijski oblik također određuje snagu arhitektonske strukture.

Egipatske piramide dugo su se smatrale najtrajnijom arhitektonskom strukturom. Kao što znate, imaju oblik pravilnih četverokutnih piramida.

Upravo ovaj geometrijski oblik pruža najveću stabilnost zbog velike površine baze. S druge strane, oblik piramide osigurava da se masa smanjuje kako se visina iznad tla povećava. Upravo ta dva svojstva čine piramidu stabilnom, a time i snažnom u uslovima gravitacije.

Cilj projekta: naučite nešto novo o piramidama, produbite znanje i pronađite praktične primjene.

Za postizanje ovog cilja bilo je potrebno riješiti sljedeće zadatke:

Saznajte istorijske informacije o piramidi

Zamislite piramidu kao geometrijsku figuru

Pronađite primjenu u životu i arhitekturi

Pronađite sličnosti i razlike između piramida koje se nalaze u različitim dijelovima Sveta

Teorijski dio

Istorijski podaci

Početak geometrije piramide položen je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijao u Ancient Greece. Prvi koji je utvrdio koliki je volumen piramide bio je Demokrit, a Eudoks Knidski je to dokazao. Drevni grčki matematičar Euklid sistematizirao je znanje o piramidi u XII tomu svojih "Početaka", a iznio je i prvu definiciju piramide: tjelesna figura ograničena ravninama koje se u jednoj tački konvergiraju iz jedne ravni.

Grobnice egipatskih faraona. Najveće od njih - Keopsove, Kefrenove i Mikerinove piramide u El Gizi u antičko doba smatrane su jednim od sedam svjetskih čuda. Podizanje piramide, u kojoj su Grci i Rimljani već vidjeli spomenik neviđenom ponosu kraljeva i okrutnosti, koja je osudila cijeli narod Egipta na besmislenu gradnju, bio je najvažniji kultni čin i trebao je, po svemu sudeći, izraziti, mistični identitet zemlje i njenog vladara. Stanovništvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine bez poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedoče o pažnji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) poklanjali izgradnji svoje grobnice i njenih graditelja. Poznato je i o posebnim kultnim počastima za koje se ispostavilo da je sama piramida.

Osnovni koncepti

Piramida Zove se poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh.

Apothem- visina bočne strane pravilne piramide, povučena od njenog vrha;

Bočne strane- trouglovi koji konvergiraju na vrhu;

Bočna rebra- zajedničke strane bočnih strana;

vrh piramide- tačka koja spaja bočne ivice, a ne leži u ravni osnove;

Visina- segment okomice povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice);

Dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;

Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Glavna svojstva ispravne piramide

Bočne ivice, bočne strane i apoteme su jednake.

Diedarski uglovi u osnovi su jednaki.

Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki.

Svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova.

Svaka tačka visine je jednako udaljena od svih bočnih strana.

Osnovne piramidalne formule

Površina bočne i pune površine piramide.

Površina bočne površine piramide (puna i skraćena) je zbir površina svih njenih bočnih strana, ukupna površina je zbir površina svih njenih strana.

Teorema: Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme piramide.

str- perimetar osnove;

h- apotema.

Područje bočne i pune površine krnje piramide.

p1, str 2 - perimetri baze;

h- apotema.

R- ukupna površina pravilne skraćene piramide;

S strana- površina bočne površine pravilne skraćene piramide;

S1 + S2- bazna površina

Volumen piramide

Forma Skala volumena se koristi za piramide bilo koje vrste.

H je visina piramide.

Uglovi piramide

Uglovi koje formiraju bočna strana i osnova piramide nazivaju se diedarski uglovi u osnovi piramide.

Diedarski ugao formiraju dvije okomice.

Da biste odredili ovaj ugao, često morate koristiti teoremu o tri okomice.

Uglovi koje formira bočna ivica i njena projekcija na ravan osnove nazivaju se uglovi između bočne ivice i ravni baze.

Ugao koji čine dvije bočne strane naziva se diedarski ugao na bočnoj ivici piramide.

Ugao, koji formiraju dvije bočne ivice jedne strane piramide, naziva se ugao na vrhu piramide.

Sekcije piramide

Površina piramide je površina poliedra. Svaka njena strana je ravan, tako da je presek piramide dat sekantnom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od zasebnih pravih linija.

Dijagonalni presjek

Presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne leže na istoj površini naziva se dijagonalni presjek piramide.

Paralelne sekcije

Teorema:

Ako piramidu prelazi ravan paralelna bazi, tada su bočne ivice i visine piramide podijeljene ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

Presjek ove ravni je poligon sličan bazi;

Površine presjeka i baze međusobno su povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.

Vrste piramida

Ispravna piramida- piramida čija je osnova pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Na pravoj piramidi:

1. bočna rebra su jednaka

2. bočne strane su jednake

3. apoteme su jednake

4. Diedarski uglovi u osnovi su jednaki

5. Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki

6. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova

7. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih bočnih strana

Krnja piramida- dio piramide zatvoren između njene osnove i rezne ravni paralelne sa bazom.

Osnova i odgovarajući presjek krnje piramide nazivaju se osnove krnje piramide.

Zove se okomita povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge visina krnje piramide.

Zadaci

br. 1. Desno četvorougaona piramida tačka O je centar osnove, SO=8 cm, BD=30 cm.Nađi bočnu ivicu SA.

Rješavanje problema

br. 1. U pravilnoj piramidi sva lica i ivice su jednake.

Razmotrimo OSB: OSB-pravougaoni pravougaonik, jer.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida u arhitekturi

Piramida - monumentalna građevina u obliku obične pravilne geometrijske piramide, u kojoj strane konvergiraju u jednoj tački. Po funkcionalnoj namjeni piramide su u antičko doba bile mjesto sahrane ili bogomolja. Osnova piramide može biti trouglasta, četvorougaona ili poligonalna sa proizvoljnim brojem vrhova, ali najčešća verzija je četvorougaona osnova.

Znatan broj piramida je poznat, izgrađen različite kulture antički svijet uglavnom kao hramovi ili spomenici. Najveće piramide su egipatske.

Širom Zemlje možete vidjeti arhitektonske strukture u obliku piramida. Zgrade piramida podsjećaju na antičko doba i izgledaju veoma lijepo.

Egipatske piramide najveći arhitektonski spomenici Drevni Egipat, među kojima je jedno od "sedam svjetskih čuda" Keopsova piramida. Od podnožja do vrha dostiže 137,3 m, a prije nego što je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.

Zgrada radio stanice u glavnom gradu Slovačke, koja liči na obrnutu piramidu, izgrađena je 1983. godine. Pored kancelarija i uslužnih prostorija, unutar volumena se nalazi prilično prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najvećih orgulja u Slovačkoj. .

Luvr, koji je "tih i veličanstven kao piramida", pretrpeo je mnoge promene tokom vekova pre nego što je postao najveći muzej na svetu. Nastala je kao tvrđava koju je podigao Filip August 1190. godine, a koja se ubrzo pretvorila u kraljevsku rezidenciju. Godine 1793. palača je postala muzej. Kolekcije se obogaćuju zavještanjem ili kupovinom.