Pronađite ukupnu površinu stošca. Površina bočne i pune površine konusa

Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto je potrebno riješiti takav problem? Na primjer, morate razumjeti koliko test će proći napraviti kornet za vafle? Ili koliko bi cigli bilo potrebno da se postavi krov od cigle na dvorcu?

Nije lako izmjeriti bočnu površinu konusa. Ali zamislite isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Dobijamo ravnu figuru, možemo pronaći njegovu površinu.

Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise

Uradimo isto sa konusom. Na primjer, "presećimo" njegovu bočnu površinu duž bilo koje generatrike (vidi sliku 1).

Sada "odmotavamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Središte ovog sektora je vrh konusa, polumjer sektora jednak je generatrisi konusa, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove konusa. Takav sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).

Rice. 2. Razvoj bočne površine

Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima

Pokušajmo pronaći površinu sektora prema dostupnim podacima. Prvo, uvedemo oznaku: neka ugao na vrhu sektora bude u radijanima (vidi sliku 3).

Često ćemo se susresti sa uglom na vrhu zamaha u zadacima. U međuvremenu, pokušajmo da odgovorimo na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, neće li se ispostaviti da će se zamah nametnuti? Naravno da ne. Dokažimo to matematički. Neka se sweep "preklapa" sam. To znači da je dužina luka zamaha veća od obima polumjera . Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je obim polumjera. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze

Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .

U našem slučaju ulogu igra generatriksa , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:

Konačno dobijamo:

Uz bočnu površinu, može se pronaći i područje puna površina. Da biste to učinili, dodajte osnovnu površinu bočnoj površini. Ali baza je krug radijusa , čija je površina, prema formuli, .

Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatrisa.

Rešimo nekoliko zadataka na datim formulama.

Rice. 4. Željeni ugao

Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).

Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus

Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generatricu: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, mi to znamo .

Primjer 2. Površina aksijalnog presjeka konusa je , visina je . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).

Tela revolucije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.

Ako u USE zadatku iz matematike trebate izračunati volumen konusa ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.

Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučiti napamet. Ovdje počinje poznavanje stereometrije.

Ponekad je dobro nacrtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

2. Koliko puta je zapremina konusa opisana blizu tačnog četvorougaona piramida, veći od zapremine konusa upisanog u ovu piramidu?

Sve je jednostavno - crtamo pogled odozdo. Vidimo da je poluprečnik većeg kruga nekoliko puta veći od poluprečnika manjeg. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći.

Drugi važna tačka. Zapamtite da u zadacima dijela B KORISTI opcije u matematici, odgovor se piše kao ceo broj ili konačan decimalni razlomak. Prema tome, ne biste trebali imati niti jedan ili u svom odgovoru u dijelu B. Zamjena približne vrijednosti broja također nije potrebna! Mora se smanjiti! Zbog toga je u nekim zadacima zadatak formuliran, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa".

A gdje se još koriste formule za volumen i površinu tijela okretanja? Naravno, u zadatku C2 (16). Takođe ćemo vam reći o tome.

Evo problema sa čunjevima, stanje se odnosi na njegovu površinu. Konkretno, u nekim problemima postavlja se pitanje promjene površine s povećanjem (smanjenjem) visine stošca ili polumjera njegove baze. Teorija za rješavanje problema u . Razmotrite sljedeće zadatke:

27135. Obim osnove stošca je 3, generatriksa je 2. Nađite površinu bočne površine stošca.

Površina bočne površine stošca je:

Priključivanje podataka:

75697. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatriksa poveća 36 puta, a polumjer osnove ostane isti?

Površina bočne površine stošca:

Generatorica je povećana za 36 puta. Radijus ostaje isti, što znači da se obim baze nije promijenio.

Dakle, površina bočne površine modificiranog konusa će izgledati ovako:

Tako će se povećati za 36 puta.

*Zavisnost je jednostavna, tako da se ovaj problem može lako riješiti usmeno.

27137. Koliko će se puta smanjiti površina bočne površine stošca ako se polumjer njegove osnove smanji za 1,5 puta?

Površina bočne površine stošca je:

Radijus se smanjuje za 1,5 puta, odnosno:

Utvrđeno je da se bočna površina smanjila za 1,5 puta.

27159. Visina stošca je 6, generatriksa je 10. Nađite površinu njegove ukupne površine podijeljenu sa pi.

Puna površina stošca:

Pronađite radijus:

Visina i generatriksa su poznate, po Pitagorinoj teoremi izračunavamo radijus:

ovako:

Podijelite rezultat sa Pi i zapišite odgovor.

76299. Ukupna površina stošca je 108. Presjek je nacrtan paralelno s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Nađite ukupnu površinu krnjeg konusa.

Presjek prolazi kroz sredinu visine paralelno s bazom. To znači da će polumjer baze i generatrisa skraćenog konusa biti 2 puta manji od polumjera i generatrike originalnog konusa. Zapišimo kojoj je površina odsječenog konusa jednaka:

Naterao sam je 4 puta manje površine površina originala, odnosno 108:4 = 27.

* Budući da su originalni i odrezani konus slična tijela, bilo je moguće koristiti i svojstvo sličnosti:

27167. Polumjer osnove stošca je 3, visina je 4. Nađite ukupnu površinu stošca podijeljenu s pi.

Formula za ukupnu površinu stošca je:

Radijus je poznat, potrebno je pronaći generatrisu.

Prema Pitagorinoj teoremi:

ovako:

Podijelite rezultat sa Pi i zapišite odgovor.

Zadatak. Površina bočne površine stošca je četiri puta veća od površine baze. Naći kosinus ugla između generatrise konusa i ravni baze.

Površina osnove stošca je:

To jest, kosinus će biti jednak:

Odgovor: 0,25

Odlučite sami:

27136. Koliko će se puta povećati površina bočne površine stošca ako se njegova generatrisa poveća za 3 puta?

27160. Površina bočne površine stošca je dvostruko veća od površine osnove. Nađite ugao između generatrike konusa i ravni baze. Odgovor dajte u stepenima. .

27161. Ukupna površina stošca je 12. Povučen je presjek paralelan s osnovom stošca, dijeleći visinu na pola. Nađite ukupnu površinu krnjeg konusa.

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

*Podijelite informacije o stranici sa prijateljima putem društvenih mreža.

Površina konusa (ili jednostavno površina konusa) jednaka je zbroju površina baze i bočne površine.

Površina bočne površine konusa izračunava se po formuli: S = πR l, gdje je R polumjer osnove konusa, i l- generatrisa konusa.

Budući da je površina osnove stošca πR 2 (kao površina kruga), tada će površina pune površine konusa biti jednaka : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Dobivanje formule za površinu bočne površine stošca može se objasniti takvim razmišljanjem. Neka crtež pokaže razvoj bočne površine konusa. Podijelite luk AB na moguće više jednake dijelove i povežite sve točke podjele sa središtem luka, a susjedne jedna s drugom tetivama.

Dobijamo seriju jednakih trouglova. Površina svakog trougla je Ah / 2, gdje a- dužina osnove trougla, a h- njegova visoka.

Zbir površina svih trouglova je: Ah / 2 n = anh / 2, gdje n je broj trouglova.

Sa velikim brojem podjela, zbir površina trokuta postaje vrlo blizak području razvoja, odnosno površini bočne površine stošca. Zbir osnova trouglova, tj. an, postaje vrlo blizak dužini luka AB, tj. obimu osnove stošca. Visina svakog trougla postaje vrlo bliska poluprečniku luka, odnosno generatrisi konusa.

Zanemarujući manje razlike u veličinama ovih veličina, dobijamo formulu za površinu bočne površine stošca (S):

S=C l / 2, gdje je C obim osnove stošca, l- generatrisa konusa.

Znajući da je C \u003d 2πR, gdje je R polumjer kružnice osnove stošca, dobijamo: S \u003d πR l.

Bilješka. U formuli S = C l / 2, dat je znak tačne, a ne približne jednakosti, iako bismo na osnovu gornjeg rezonovanja ovu jednakost mogli smatrati približnom. Ali u srednjoj školi srednja škola dokazano je da je jednakost

S=C l / 2 je tačno, nije približno.

Teorema. Bočna površina stošca jednaka je proizvodu obima baze i polovine generatrikse.

Upišimo u konus (sl.) neke ispravna piramida i označiti slovima R i l brojevi koji izražavaju dužine perimetra baze i apotema ove piramide.

Tada će njegova bočna površina biti izražena umnoškom 1/2 R l .

Pretpostavimo sada da se broj stranica poligona upisanog u bazu neograničeno povećava. Zatim perimetar R težit će granici uzetoj kao dužina C obima baze i apoteme lće imati konusni generator kao svoju granicu (pošto ΔSAK implicira da SA - SK
1 / 2 R l, težit će granici od 1/2 C L. Ova granica se uzima kao vrijednost bočne površine konusa. Označavajući bočnu površinu stošca slovom S, možemo napisati:

S = 1 / 2 C L = C 1/2 L

Posljedice.
1) Budući da je C \u003d 2 π R, tada se bočna površina stošca izražava formulom:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Dobijamo punu površinu stošca ako na osnovnu površinu dodamo bočnu površinu; dakle, označavajući kompletnu površinu sa T, imaćemo:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorema. Bočna površina krnjeg konusa jednaka je umnošku polovine zbira obima baza i generatrise.

Upišimo u krnji konus (sl.) neki pravilan krnje piramide i označiti slovima r, r 1 i l brojevi koji u istim linearnim jedinicama izražavaju dužine perimetara donje i gornje osnove i apotema ove piramide.

Tada je bočna površina upisane piramide 1/2 ( p + p 1) l

Uz neograničeno povećanje broja bočnih strana upisane piramide, perimetri R i R 1 teže granicama uzetim kao dužine C i C 1 kružnica baza, a apotema l ima za granicu generatricu L krnjeg konusa. Posljedično, vrijednost bočne površine upisane piramide teži granici koja je jednaka (S + S 1) L. Ova granica se uzima kao vrijednost bočne površine krnjeg konusa. Označavajući bočnu površinu skraćenog konusa slovom S, imat ćemo:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Posljedice.
1) Ako R i R 1 znače poluprečnike kružnica donje i gornje baze, tada će bočna površina skraćenog konusa biti:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Ako u trapezu OO 1 A 1 A (sl.), od čije rotacije se dobije krnji stožac, nacrtamo srednja linija pne, dobijamo:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

dakle,

S=2 π BC L,

tj. bočna površina krnjeg konusa jednaka je proizvodu obima srednjeg presjeka i generatrikse.

3) Ukupna površina T krnjeg konusa izražava se na sljedeći način:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)