Zapremina pravilne šestougaone piramide je 6 strana. Volumen pravilne šesterokutne piramide

Proračun volumena prostornih figura jedan je od važnih zadataka stereometrije. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje određivanja volumena takvog poliedra kao što je piramida, a također ćemo dati pravilan heksagonalni.

Piramida heksagonalna

Za početak, razmotrimo koja je brojka, o čemu će biti riječi u članku.

Neka imamo proizvoljan šestougao čije stranice nisu nužno jednake jedna drugoj. Pretpostavimo i da smo odabrali tačku u prostoru koja nije u ravni heksagona. Povezivanjem svih uglova potonjeg s odabranom točkom, dobivamo piramidu. Dvije različite piramide koje imaju šesterokutnu osnovu prikazane su na donjoj slici.

Vidi se da se pored šesterokuta figura sastoji od šest trouglova čija se tačka spajanja naziva vrh. Razlika između prikazanih piramida je u tome što visina h desne ne siječe šesterokutnu osnovu u njenom geometrijskom središtu, dok visina lijeve figure pada tačno u ovo središte. Zahvaljujući ovom kriteriju, lijeva piramida nazvana je ravna, a desna - nagnuta.

Budući da osnovu lijeve figure na slici čini šesterokut s jednakim stranicama i uglovima, naziva se ispravnim. Dalje u članku ćemo govoriti samo o ovoj piramidi.

Za izračunavanje volumena proizvoljne piramide vrijedi sljedeća formula:

Ovdje je h dužina visine figure, S o je površina njene osnove. Koristimo ovaj izraz da odredimo zapreminu pravilne šestougaone piramide.

Budući da je figura koja se razmatra zasnovana na jednakostraničnom šesterokutu, sljedeći opći izraz za n-ugao može se koristiti za izračunavanje njegove površine:

S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)

Ovdje je n cijeli broj jednak broju strana (uglova) poligona, a je dužina njegove stranice, kotangens funkcija se izračunava pomoću odgovarajućih tablica.

Primjenom izraza za n = 6 dobijamo:

S 6 \u003d 6/4 * a 2 * ctg (pi / 6) \u003d √3/2 * a 2

Sada ostaje da zamijenimo ovaj izraz opšta formula za volumen V:

V 6 \u003d S 6 * h \u003d √3 / 2 * h * a 2

Dakle, da bi se izračunao volumen piramide koja se razmatra, potrebno je znati njena dva linearna parametra: dužinu stranice baze i visinu figure.

Primjer rješenja problema

Pokažimo kako se rezultujući izraz za V 6 može koristiti za rješavanje sljedećeg problema.

Poznato je da je ispravna zapremina 100 cm 3. Potrebno je odrediti stranu osnove i visinu figure, ako se zna da su one međusobno povezane sljedećom jednakošću:

Pošto su samo a i h uključeni u formulu za zapreminu, bilo koji od ovih parametara se može zameniti u nju, izražen kroz drugi. Na primjer, zamijenimo a, dobijemo:

V 6 \u003d √3 / 2 * h * (2 * h) 2 \u003d\u003e

h = ∛(V 6 /(2*√3))

Da biste pronašli vrijednost visine figure, potrebno je iz volumena uzeti korijen trećeg stepena, koji odgovara dimenziji dužine. Zamenimo zapreminu V 6 piramide iz uslova zadatka, dobićemo visinu:

h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm

Kako je strana baze, u skladu sa uslovom problema, dvostruko veća od pronađene vrednosti, dobijamo vrednost za nju:

a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm

Volume heksagonalna piramida može se pronaći ne samo kroz visinu figure i vrijednost stranice njene baze. Dovoljno je poznavati dva različita linearna parametra piramide da biste je izračunali, na primjer, apotemu i dužinu bočne ivice.

Problemi sa piramidama. U ovom članku nastavit ćemo razmatrati probleme s piramidama. Ne mogu se pripisati nijednoj klasi ili vrsti zadataka i daju opšte (algoritme) preporuke za rješavanje. Samo ovdje su sakupljeni ostali zadaci koji ranije nisu razmatrani.

Navešću teoriju koju treba osvježiti u pamćenju prije rješavanja: piramide, svojstva sličnosti figura i tijela, svojstva pravilnih piramida, Pitagorina teorema, formula površine trougla (ona je druga). Razmotrite zadatke:

Od trouglasta piramida, čija je zapremina 80, trouglasta piramida je odsječena ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i srednju liniju osnove. Odredite zapreminu odsečene trouglaste piramide.

Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine njene osnove i visine:

Ove piramide (originalne i isječene) imaju zajedničku visinu, tako da su njihove zapremine povezane kao površine njihovih osnova. srednja linija od prvobitnog trougla seče trougao čija je površina četiri puta manja, odnosno:

Više o ovome možete vidjeti ovdje.

To znači da će zapremina odsečene piramide biti četiri puta manja.

Dakle, biće 20.

Odgovor: 20

* sličan problem, koristi se formula za površinu trokuta.

Zapremina trouglaste piramide je 15. Ravan prolazi kroz stranu osnove ove piramide i siječe suprotnu bočnu ivicu u tački koja je dijeli u omjeru 1:2, računajući od vrha piramide. Pronađite najveći volumen piramide na koji ravan dijeli originalnu piramidu.

Napravimo piramidu, označimo vrhove.Označite tačku E na ivici AS tako da AE bude dva puta veća od ES (u uslovu da se ES odnosi na AE kao 1 do 2), i konstruišite naznačenu ravan koja prolazi kroz ivicu AC i tačku E:

Hajde da analiziramo čija će piramida biti veća: EABC ili SEBC?

* Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine njene osnove i visine:

Ako uzmemo u obzir dvije rezultirajuće piramide i uzmemo EBC lice kao bazu u obje, onda postaje očigledno da će volumen AEBC piramide biti veći od volumena SEBC piramide. Zašto?

Udaljenost od tačke A do ravni EBC veća je od udaljenosti od tačke S. I ova udaljenost za nas igra ulogu visine.

Dakle, hajde da pronađemo zapreminu EABC piramide.

Zadat nam je volumen početne piramide, osnova SABC i EABC piramida je zajednička. Ako utvrdimo omjer visina, onda možemo lako odrediti volumen.

Iz omjera segmenata ES i AE slijedi da je AE jednako dvije trećine ES. Visine piramida SABC i EABC su u istom odnosu -visina piramide EABC će biti jednaka 2/3 visine piramide SABC.

Dakle, ako

To

Odgovor: 10

Zapremina pravilne šestougaone piramide je 6. Strana osnove je 1. Pronađite bočnu ivicu.

U pravilnoj piramidi, vrh je projektovan u centar baze.Izvodimo dodatne konstrukcije:

Možemo pronaći ivicu sa strane pravougaonog trougla SOC. Da biste to učinili, morate znati SO i OS.

SO je visina piramide, možemo je izračunati pomoću formule zapremine:

Izračunajte površinu baze. ovo je pravilan šesterokut sa stranicom jednakom 1. Površina pravilnog šesterokuta jednaka je površini šest jednakostraničnih trokuta sa istom stranom, više o tome (stavka 6), dakle:

Sredstva

OS \u003d BC \u003d 1, budući da je u pravilnom šesterokutu segment koji povezuje njegovo središte s vrhom jednak strani ovog šesterokuta.

Dakle, prema Pitagorinoj teoremi:

Odgovor: 7

VolumeVeličina tetraedra je 200. Nađite zapreminu poliedra čiji su vrhovi sredine ivica ovog tetraedra.

Zapremina navedenog poliedra jednaka je razlici zapremine početnog tetraedra V 0 i četiri jednaka tetraedra, od kojih se svaki dobija odsijecanjem ravninom koja prolazi kroz sredine ivica koje imaju zajednički vrh:

Hajde da definišemo šta jednak je zapremini odsjece tetraedar.

Imajte na umu da su originalni tetraedar i "odsječeni" tetraedar slična tijela. Poznato je da je omjer volumena sličnih tijela k 3 , gdje je k koeficijent sličnosti. U ovom slučaju, to je jednako 2 (pošto su sve linearne dimenzije originalnog tetraedra dvostruko veće od odgovarajućih dimenzija odrezane):

Izračunajte zapreminu odsječenog tetraedra:

Dakle, željeni volumen će biti jednak:

Odgovor: 100

Površina tetraedra je 120. Nađite površinu poliedra čiji su vrhovi sredine ivica ovog tetraedra.

prvi način:

Željena površina se sastoji od 8 jednakostraničnih trokuta sa bočnom polovicom ivice originalnog tetraedra. Površina originalnog tetraedra sastoji se od 16 takvih trokuta (4 trokuta na svakoj od 4 lica tetraedra), pa je tražena površina jednaka polovini površine ovog tetraedra i jednaka je 60.

drugi način:

Pošto je površina tetraedra poznata, možemo pronaći njegovu ivicu, zatim odrediti dužinu ivice poliedra, a zatim izračunati njegovu površinu.

Piramide su: trouglaste, četvorougaone itd., zavisno od osnove - trougao, četvorougao itd.
Piramida se naziva ispravnom ( sl.286,b) ako je, prvo, njegova osnova pravilan poligon, i, drugo, visina prolazi kroz centar ovog poligona.
Inače, piramida se naziva nepravilna ( Fig.286, in). U pravilnoj piramidi sve su bočne ivice jednake jedna drugoj (kao nagnute sa jednakim projekcijama). Dakle, sve bočne strane ispravna piramida su jednaki jednakokraki trouglovi.
Analiza elemenata pravilne šesterokutne piramide i njihov prikaz u složenom crtežu ( sl.287) .

a) Složeni crtež pravilne šestougaone piramide. Osnova piramide nalazi se na ravni P 1 ; dvije strane osnove piramide su paralelne sa ravninom projekcija P 2 .
b) Osnova ABCDEF - šestougao koji se nalazi u ravni projekcija P 1 .
c) Bočno lice ASF - trougao koji se nalazi u ravni u opštem položaju.
d) Bočna strana FSE - trougao koji se nalazi u ravnini profila.
e) Ivica SE je segment u opštem položaju.
f) Ivica SA - frontalni segment.
g) Vrh S piramide je tačka u prostoru.
Na ( sl.288 i sl.289) dati su primjeri sekvencijalnih grafičkih operacija pri izvođenju složenog crteža i vizualnih slika (aksonometrija) piramida.

Dato:
1. Baza se nalazi na ravni P 1.
2. Jedna od stranica baze je paralelna sa x 12 osi.
I. Integrisani crtež.
I, a. Dizajniramo osnovu piramide - poligon, prema ovom uslovu, koji leži u ravni P 1 .
Dizajniramo vrh - tačku koja se nalazi u prostoru. Visina tačke S jednaka je visini piramide. Horizontalna projekcija S 1 tačke S će biti u centru projekcije osnove piramide (prema uslovu).
I, b. Dizajniramo ivice piramide - segmente; da bismo to učinili, povezujemo direktne projekcije vrhova baze ABCDE sa odgovarajućim projekcijama vrha piramide S. Frontalne projekcije S 2 C 2 i S 2 D 2 ivica piramide prikazane su isprekidanim linijama, kao nevidljive, zatvorene plohama piramide (SBA i SAE).
I, c. Zadana je horizontalna projekcija K 1 tačke K na bočnu stranu SBA, potrebno je pronaći njenu frontalnu projekciju. Da bismo to učinili, povučemo pomoćnu liniju S 1 F 1 kroz tačke S 1 i K 1, pronađemo njenu frontalnu projekciju i na njoj, koristeći vertikalnu liniju komunikacije, odredimo mjesto željene frontalne projekcije K 2 tačke K.
II. Razvoj površine piramide je ravna figura koja se sastoji od bočnih strana - identičnih jednakokračnih trokuta, čija je jedna strana jednaka strani osnove, a druge dvije - bočnim ivicama, a od pravilnog poligona - baza.
Prirodne dimenzije stranica baze otkrivaju se na njenoj horizontalnoj projekciji. Prirodne dimenzije rebara na projekcijama nisu otkrivene.
Hipotenuza S 2 ¯A 2 ( sl.288, 1 , b) pravouglog trougla S 2 O 2 ¯A 2, u kojem je veliki krak jednak visini S 2 O 2 piramide, a mali horizontalnoj projekciji ivice S 1 A 1 je prirodna veličina ivice piramide. Sweep bi trebao biti izgrađen sljedećim redoslijedom:
a) iz proizvoljne tačke S (vrh) povučemo luk poluprečnika R jednak ivici piramide;
b) na nacrtanom luku odvojiti pet tetiva veličine R 1 jednake strani osnove;
c) spojite tačke D, C, B, A, E, D u seriju jedna s drugom i sa tačkom S pravim linijama dobijamo pet jednakokrakih jednakih trouglova, koji čine razvoj bočne plohe ove piramide, isječenih uz rub SD ;
d) na bilo koje lice pričvršćujemo osnovu piramide - petougao, koristeći metodu triangulacije, na primjer, na lice DSE.
Tačka K se prenosi na zamah pomoću pomoćne prave linije koristeći veličinu B 1 F 1 uzetu na horizontalnoj projekciji i veličinu A 2 K 2 uzetu na prirodnu veličinu rebra.
III. Vizuelni prikaz piramide u izometriji.
III, a. Prikazujemo bazu piramide, koristeći koordinate prema ( sl.288, 1 , a).
Prikazujemo vrh piramide, koristeći koordinate ( sl.288, 1 , a).
III, b. Prikazujemo bočne ivice piramide, povezujući vrh sa vrhovima baze. Rub S"D" i stranice osnovice C"D" i D"E" prikazane su isprekidanim linijama, kao nevidljive, zatvorene plohama piramide C"S"B", B"S"A" i A"S"E".
III, e. Odredimo tačku na površini piramide K, koristeći dimenzije y F i x K. Za dimetričnu sliku piramide treba slijediti isti niz.
Slika nepravilne trouglaste piramide.

Dato:
1. Baza se nalazi na ravni P 1.
2. Strana BC baze je okomita na os X.
I. Integrisani crtež
I, a. Dizajniramo bazu piramide - jednakokraki trokut koji leži u ravnini P 1, a vrh S - tačku koja se nalazi u prostoru, čija je visina jednaka visini piramide.
I, b. Dizajniramo rubove piramide - segmente, za koje pravimo povezujemo istoimene projekcije vrhova osnove sa istoimenim projekcijama vrha piramide. Horizontalnu projekciju stranice osnove aviona prikazujemo isprekidanom linijom, kao nevidljivu, zatvorenu sa dva lica piramide ABS, ACS.
I, c. Na čeonoj projekciji A 2 C 2 S 2 bočne strane data je projekcija D 2 tačke D. Potrebno je pronaći njegovu horizontalnu projekciju. Da bismo to učinili, kroz tačku D 2 povučemo pomoćnu ravnu liniju paralelnu osi x 12 - frontalnu projekciju horizontale, zatim pronađemo njenu horizontalnu projekciju i na njoj, koristeći vertikalnu liniju komunikacije, odredimo lokaciju željenu horizontalnu projekciju D 1 tačke D.
II. Izgradnja piramidalnog zamaha.
U horizontalnoj projekciji otkrivaju se prirodne dimenzije stranica baze. Prirodna veličina rebra AS otkriva se u frontalnoj projekciji; u projekcijama nema prirodne veličine rebara BS i CS, veličina ovih rebara se otkriva rotacijom oko i ose, okomito na ravninu P 1 koja prolazi kroz vrh piramide S. Nova frontalna projekcija ¯C 2 S 2 je prirodna vrijednost ivice CS .
Redoslijed izgradnje razvoja površine piramide:
a) nacrtati jednakokraki trokut - lice CSB, čija je osnova jednaka stranici osnove piramide CB, i strane- prirodna veličina rebra SC;
b) stranicama SC i SB konstruisanog trougla dodamo dva trokuta - stranice piramide CSA i BSA, i osnovici CB konstruisanog trougla - osnovu CBA piramide, kao rezultat dobijamo potpunu odvijanje površine ove piramide.
Prijenos točke D na razvoj se vrši sljedećim redoslijedom: prvo nacrtajte vodoravnu liniju na razvoju bočne strane ASC koristeći R 1 dimenziju, a zatim odredite lokaciju točke D na horizontalnoj liniji pomoću R 2 dimenzija.
III. Vizuelni prikaz piramide i frontalna dimetrijska projekcija
III, a. Prikazujemo bazu A "B" C i vrh S" piramide, koristeći koordinate prema (

Datum: 19.01.2015

Ako trebaš instrukcija korak po korak kako napraviti piramidu, onda tražim našu lekciju. Prije svega, procijenite da li se vaša piramida odvija na isti način kao na slici 1.

Ako ste ga okrenuli za 90 stepeni, onda se ivica označena na slici kao "poznate realne vrednosti" u vašem slučaju može naći na projekciji profila, koju ćete morati da napravite. U mom slučaju to nije potrebno, već imamo sve potrebne količine za izgradnju. Važno je ne zaboraviti da su na ovom crtežu samo rubovi SA i SD na frontalnoj projekciji prikazani u punoj veličini. Svi ostali su projektovani sa izobličenjem dužine. Osim toga, u pogledu odozgo, sve strane šesterokuta su također projektovane u punoj veličini. Na osnovu ovoga, počnimo.

1. Za veću ljepotu, nacrtajmo prvu liniju vodoravno (slika 1). Zatim ćemo nacrtati široki luk poluprečnika R=a, tj. sa radijusom jednakim dužini bočne ivice piramide. Dobijamo tačku A. Od nje šestarom napravimo zarez na luku, poluprečnika r \u003d b (dužina stranice osnove piramide). Idemo na tačku B. Već imamo prvo lice piramide!

2. Od tačke B napravićemo još jedan zarez istog poluprečnika - dobićemo tačku C i povezujući je sa tačkama B i S dobićemo drugu bočnu stranu piramide (slika 2).

3. Ponavljajući ove korake potreban broj puta (sve zavisi od toga koliko lica ima vaša piramida) dobićemo takvu lepezu (slika 3). Pravilnom konstrukcijom trebali biste dobiti sve točke baze, a ekstremne treba ponoviti.

4. Ovo nije uvijek potrebno, ali je ipak neophodno: dodajte bazu piramide razvoju bočne površine. Vjerujem da svi koji su čitali do sada znaju kako nacrtati petougao od šest-osam (kako nacrtati petougao detaljno je opisano u lekciji) Poteškoća je u tome što se figura mora nacrtati u pravo mjesto i pod pravim uglom. Nacrtajte os kroz sredinu bilo kojeg lica. Od tačke preseka sa linijom osnove crtamo rastojanje m, kao što je prikazano na slici 4.


Crtajući okomicu kroz ovu tačku, dobijamo ose budućeg šesterokuta. Iz rezultirajućeg centra crtamo krug, kao što ste radili prilikom izrade pogleda odozgo. Imajte na umu da krug mora proći kroz dvije točke bočne strane (u mom slučaju, to su F i A)

5. Slika 5 prikazuje konačni rasklopljeni prikaz heksagonalne prizme.


Ovim je završena konstrukcija zamaha piramide. Izgradite svoje poteze, naučite pronaći rješenja, budite korozivni i nikada ne odustajte. Hvala što ste svratili. Ne zaboravite da nas preporučite svojim prijateljima :) Sve najbolje!

ili zapišite naš broj telefona i recite prijateljima o nama - neko vjerovatno traži način da napravi crteže

ili napravite bilješku o našim lekcijama na svojoj stranici ili blogu - i neko drugi će moći savladati crtanje.