Vrijednost derivacije funkcije u tački je jednaka. Odrediti vrijednost derivacije funkcije u tački x0

11.10.2019

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

fizičko značenje derivat: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . prosječna brzina za neko vreme:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Odluka:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju srednjeg argumenta u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo razgovarati o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, pa budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. Iza kratkoročno pomoći ćemo vam da riješite najteži test i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvodnica.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definiranih pravila diferencijacije. . Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Diferenciramo kao derivaciju sume, u kojoj se drugi član sa konstantnim faktorom može izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona, po pravilu, postaju jasna nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dviju funkcija jednak je razlomku čiji je brojilac razlika umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška, koji se javlja na početna faza učenje izvedenica, ali kako rješavaju nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječan učenik više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga uobičajena greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Dakle derivat kompleksne funkcije je posvećen poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa stepenom i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za razlikovanje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojilac razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo se derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Primjer 1

Referenca: Sljedeći načini označavanja funkcije su ekvivalentni: U nekim je zadacima zgodno funkciju označiti kao "player", a u nekima kao "ef from x".

Prvo nalazimo derivat:

Primjer 2

Izračunajte derivaciju funkcije u tački

, , studija pune funkcije i sl.

Primjer 3

Izračunajte derivaciju funkcije u točki . Nađimo prvo derivat:

Pa, to je sasvim druga stvar. Izračunajte vrijednost derivacije u tački:

U slučaju da ne razumijete kako je izvedena pronađena, vratite se na prve dvije lekcije teme. Ako postoje poteškoće (nerazumijevanje) s tangentom luka i njegovim značenjima, obavezno studija metodički materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija- poslednji pasus. Jer još uvijek ima dovoljno arktangensa za studentski uzrast.

Primjer 4

Izračunajte derivaciju funkcije u točki .

Jednadžba tangente na graf funkcije

Za konsolidaciju prethodnog paragrafa, razmotrite problem nalaženja tangente na funkcionalna grafika na ovom mjestu. Sa ovim zadatkom smo se susreli u školi, a nalazi se iu predmetu više matematike.

Razmotrite elementarni primjer "demonstracije".

Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u tački sa apscisom. Odmah ću dati gotovo grafičko rješenje problema (u praksi to u većini slučajeva nije potrebno):

Rigoroznu definiciju tangente daje definicije derivacije funkcije, ali dok ne savladamo tehnički dio pitanje. Gotovo svi intuitivno razumiju šta je tangenta. Ako objasnite "na prste", onda je tangenta na graf funkcije ravno, što se tiče grafa funkcije u jedini tačka. U ovom slučaju, sve obližnje tačke ravne linije nalaze se što bliže grafu funkcije.

Kao primijenjen na naš slučaj: na , tangenta (standardna notacija) dodiruje graf funkcije u jednoj tački.

A naš zadatak je da pronađemo jednačinu prave linije.

Derivat funkcije u tački

Kako pronaći derivaciju funkcije u tački? Iz formulacije proizlaze dvije očigledne tačke ovog zadatka:

1) Potrebno je pronaći izvod.

2) Potrebno je izračunati vrijednost derivata u datoj tački.

Primjer 1

Izračunajte derivaciju funkcije u tački

Pomoć: Sljedeći načini označavanja funkcije su ekvivalentni:

U nekim je zadacima zgodno funkciju označiti kao "player", a u nekima kao "ef from x".

Prvo nalazimo derivat:

Nadam se da su se mnogi već prilagodili da pronađu takve izvedenice usmeno.

U drugom koraku izračunavamo vrijednost derivacije u tački:

Mali primjer zagrijavanja za samostalno rješenje:

Primjer 2

Izračunajte derivaciju funkcije u tački

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Potreba za pronalaženjem derivacije u tački javlja se u sljedećim zadacima: konstruiranje tangente na graf funkcije (sljedeći pasus), proučavanje funkcije za ekstrem , proučavanje funkcije za infleksiju grafa , studija pune funkcije i sl.

Ali dotični zadatak se javlja u kontrolni rad i samo po sebi. I, u pravilu, u takvim slučajevima funkcija se daje prilično složeno. S tim u vezi, razmotrite još dva primjera.

Primjer 3

Izračunajte derivaciju funkcije u tački .
Nađimo prvo derivat:

Izvod se, u principu, nalazi, a tražena vrijednost se može zamijeniti. Ali ja stvarno ne želim ništa da radim. Izraz je vrlo dugačak, a vrijednost "x" je razlomka. Stoga pokušavamo da pojednostavimo naš derivat što je više moguće. U ovom slučaju, pokušajmo posljednja tri člana svesti na zajednički nazivnik: u tački .

Ovo je "uradi sam" primjer.

Kako pronaći vrijednost derivacije funkcije F(x) u Ho tački? Kako to uopće riješiti?

Ako je formula data, onda pronađite izvod i zamijenite X-nula umjesto X. count
Ako a mi pričamo o b-8 KORISTI, graf, onda treba da nađete tangentu ugla (oštar ili tup), koji čini tangentu na os X (koristeći mentalnu konstrukciju pravokutnog trokuta i određivanjem tangente ugla)

Timur adilkhodzhaev

Prvo morate odlučiti o znaku. Ako je tačka x0 u donjem dijelu koordinatne ravni, tada će predznak u odgovoru biti minus, a ako je viši, onda +.
Drugo, morate znati šta je tange u pravougaonom pravougaoniku. A ovo je omjer suprotne strane (noga) prema susjednoj strani (također noga). Obično postoji nekoliko crnih mrlja na slici. Od ovih oznaka pravite pravougaonog trougla i pronađite tanges.

Kako pronaći vrijednost izvoda funkcije fx u tački x0?

nema konkretnog pitanja - prije 3 godine

U opštem slučaju, da bi se pronašla vrednost derivacije funkcije u odnosu na neku varijablu u bilo kojoj tački, potrebno je diferencirati datu funkciju s obzirom na tu varijablu. U vašem slučaju, promjenljivom X. U rezultirajućem izrazu umjesto X stavite vrijednost x u tačku za koju treba pronaći vrijednost izvoda, tj. u vašem slučaju, zamijenite nulu X i izračunajte rezultirajući izraz.

Pa, vaša želja da shvatite ovo pitanje, po mom mišljenju, nesumnjivo zaslužuje +, što sam mirne savjesti stavio.

Takva formulacija problema nalaženja izvoda se često postavlja da bi se materijal fiksirao na geometrijskom značenju derivacije. Predlaže se graf određene funkcije, potpuno proizvoljan i nije zadan jednadžbom, a potrebno je pronaći vrijednost izvoda (ne samog izvoda!) u navedenoj tački X0. Da bi se to postiglo, konstruiše se tangenta na datu funkciju i pronađu tačke njenog preseka sa koordinatnim osa. Tada se jednačina ove tangente sastavlja u obliku y=kx+b.

U ovoj jednačini, koeficijent k i bit će vrijednost izvoda. ostaje samo pronaći vrijednost koeficijenta b. Da bismo to učinili, nalazimo vrijednost y na x \u003d o, neka bude jednaka 3 - to je vrijednost koeficijenta b. Zamjenjujemo vrijednosti X0 i Y0 u originalnu jednadžbu i nalazimo k - našu vrijednost derivacije u ovoj tački.

Ako slijedimo definiciju, tada je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitavog niza funkcija. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati odavno izračunati i uneseni u tabelu. Takve funkcije je dovoljno lako zapamtiti, zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, da, nula!)
Stepen sa racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	− grijeh x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka funkcije f(x) i g(x), čiji su nam derivati poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2+ sin x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda je derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednak umnošku derivata. Ali fige tebi! Derivat proizvoda se izračunava po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo komplikovaniji, ali opšta šema ovo se ne mijenja. Očigledno, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to nije neophodno, ali većina derivata se ne izračunavaju samostalno, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, saznati će se njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) i g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? Ali ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučiti na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

Postoje elementarne funkcije u brojiocu i nazivniku svakog razlomka, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Po tradiciji, brojilac činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispostavilo se f(x) = grijeh ( x 2+ln x) je složena funkcija. Ona također ima derivat, ali neće uspjeti pronaći ga prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', ako x je zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, situacija sa razumijevanjem ove formule je još tužnija nego s derivacijom količnika. Stoga je i to bolje objasniti konkretnim primjerima, s Detaljan opis svaki korak.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobijamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga, vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo izvod kompleksne funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. onda:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje derivata sume.

odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Vrlo često na svojim časovima umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „moždani udar“. Na primjer, udarac iz zbroja jednak je zbiru moždani udari. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje ovih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao konačni primjer, vratimo se na derivirani stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ko to zna u ulozi n može delovati razlomak broj. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali šta ako postoji nešto lukavo ispod korijena? Opet će se pokazati složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vršimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

Derivat funkcije jedne varijable.

Uvod.

Real metodološki razvoj namenjen studentima Industrijsko-građevinskog fakulteta. Sastavljaju se u odnosu na program predmeta matematike u dijelu "Diferencijalni račun funkcija jedne varijable".

Razvoj predstavlja jedinstven metodološki vodič, koji uključuje: kratke teorijske informacije; „tipični“ zadaci i vježbe sa detaljnim rješenjima i objašnjenjima za ta rješenja; opcije kontrole.

Dodatne vježbe na kraju svakog pasusa. Takva struktura razvoja čini ih pogodnim za samostalno savladavanje dijela uz minimalnu pomoć nastavnika.

§jedan. Definicija derivata.

Mehaničko i geometrijsko značenje

derivat.

Koncept derivacije je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi, a nastao je još u 17. veku. Formiranje koncepta derivacije istorijski je povezano sa dva problema: problemom brzine promenljivog kretanja i problemom tangente na krivu.

Ovi zadaci, uprkos njihovim razni sadržaji, dovode do iste matematičke operacije koja se mora izvesti nad funkcijom.Ova operacija je dobila poseban naziv u matematici. To se zove operacija diferenciranja funkcije. Rezultat operacije diferencijacije naziva se derivat.

Dakle, derivacija funkcije y=f(x) u tački x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta
at
.

Izvod se obično označava na sljedeći način:
.

Dakle, po definiciji

Simboli se također koriste za označavanje izvedenice
.

Mehaničko značenje izvedenice.

Ako je s=s(t) zakon pravolinijskog kretanja materijalne tačke, onda
je brzina ove tačke u trenutku t.

Geometrijsko značenje izvedenice.

Ako funkcija y=f(x) ima izvod u tački , onda nagib tangenta na graf funkcije u tački
jednaki
.

Primjer.

Pronađite izvod funkcije
u tački =2:

1) Hajde da damo poen =2 prirasta
. Primetite, to.

2) Pronađite prirast funkcije u tački =2:

3) Sastavite omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

Nađimo granicu relacije na
:

dakle,
.

§ 2. Derivati nekih

najjednostavnije funkcije.

Učenik treba da nauči kako izračunati izvode određenih funkcija: y=x,y= i općenito y= .

Naći derivaciju funkcije y=x.

one. (x)′=1.

Nađimo derivaciju funkcije

Derivat

Neka bude
onda

Lako je uočiti obrazac u izrazima za izvode funkcije stepena
na n=1,2,3.

dakle,

. (1)

Ova formula vrijedi za bilo koje realno n.

Konkretno, koristeći formulu (1), imamo:

;

Primjer.

Pronađite izvod funkcije

Ova funkcija je poseban slučaj funkcije oblika

at
.

Koristeći formulu (1), imamo

Derivati funkcija y=sin x i y=cos x.

Neka je y=sinx.

Podijelimo sa ∆x, dobijamo

Prelazeći na granicu kao ∆x→0, imamo

Neka je y=cosx .

Prelazeći na granicu kao ∆x→0, dobijamo

;
. (2)

§3. Osnovna pravila diferencijacije.

Razmotrite pravila diferencijacije.

Teorema1 . Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencijabilne u datoj tački x, tada je i njihov zbir u ovoj tački diferencibilan, a derivacija sume jednaka je zbiru izvedenih članova: (u+v)"=u"+v".(3 )

Dokaz: razmotrite funkciju y=f(x)=u(x)+v(x).

Povećanje ∆x argumenta x odgovara inkrementima ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcija u i v. Tada će funkcija y biti povećana

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

dakle,

Dakle, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Ako su funkcije u=u(x) i v=v(x) diferencibilne u datoj tački x, onda je i njihov proizvod diferencibilan u istoj tački.U ovom slučaju, derivacija proizvoda se nalazi po sljedećoj formuli : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Dokaz: Neka je y=uv, gdje su u i v neke diferencijabilne funkcije od x. Neka se x poveća za ∆x; tada će u biti povećano za ∆u, v će biti povećano za ∆v, a y će biti povećano za ∆y.

Imamo y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ili

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dakle, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Odavde

Prelazeći na granicu kao ∆x→0 i uzimajući u obzir da u i v ne zavise od ∆x, imamo

Teorema 3. Izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je nazivnik jednak kvadratu djelitelja, a brojnik je razlika između umnoška izvoda dividende na djelitelj i umnoška djelitelja. dividenda derivacijom djelitelja, tj.

Ako a
onda
(5)