Matematički problemi nalaze svoju primenu u mnogim naukama. To ne uključuje samo fiziku, hemiju, inženjerstvo i ekonomiju, već i medicinu, ekologiju i druge discipline. Jedan važan koncept koji treba savladati da biste pronašli rješenja za važne dileme je izvod funkcije. Njegovo fizičko značenje uopće nije tako teško objasniti kao što se neupućenima može činiti u suštini problema. Dovoljno je pronaći odgovarajuće primjere za to u pravi zivot i normalne svakodnevne situacije. Zapravo, svaki vozač se nosi sa sličnim zadatkom svaki dan kada pogleda brzinomjer, određujući brzinu svog automobila u određenom trenutku određenog vremena. Uostalom, u ovom parametru leži suština fizičkog značenja izvedenice.

Kako pronaći brzinu

Svaki učenik petog razreda može lako odrediti brzinu osobe na putu, znajući prijeđenu udaljenost i vrijeme putovanja. Da biste to učinili, prva od datih vrijednosti se podijeli s drugom. Ali to ne zna svaki mladi matematičar ovog trenutka pronalazi omjer prirasta funkcije i argumenta. Zaista, ako zamislimo kretanje u obliku grafa, polažući putanju duž y-ose, a vrijeme duž apscise, to će biti upravo to.

Međutim, brzina pješaka ili bilo kojeg drugog objekta koju odredimo na velikom dijelu staze, smatrajući da je kretanje ujednačeno, može se promijeniti. U fizici postoji mnogo oblika kretanja. Može se izvoditi ne samo uz konstantno ubrzanje, već i usporavati i povećavati na proizvoljan način. Treba napomenuti da u ovom slučaju linija koja opisuje kretanje više neće biti prava linija. Grafički, može poprimiti najsloženije konfiguracije. Ali za bilo koju tačku na grafu, uvijek možemo nacrtati tangentu predstavljenu linearnom funkcijom.

Za preciziranje parametra promjene pomaka u zavisnosti od vremena potrebno je smanjiti mjerene segmente. Kada postanu beskonačno male, izračunata brzina će biti trenutna. Ovo iskustvo nam pomaže da definiramo derivat. Iz takvog rezonovanja logično proizlazi i njegovo fizičko značenje.

U smislu geometrije

Zna se šta više brzine tijela, to je grafik zavisnosti pomaka od vremena strmiji, a time i ugla nagiba tangente na graf u nekoj određenoj tački. Pokazatelj takvih promjena može biti tangent ugla između x-ose i tangentne linije. On je taj koji određuje vrijednost derivacije i izračunava se omjerom dužina suprotnog i susjednog kraka u pravougaonog trougla, formirana okomom spuštenom iz neke tačke na x-osu.

Ovo je geometrijsko značenje prvi derivat. Fizički se otkriva u činjenici da je vrijednost suprotne noge u našem slučaju prijeđeni put, a susjedne vrijeme. Njihov odnos je brzina. I opet dolazimo do zaključka da je trenutna brzina, određena kada oba jaza teže beskonačno malim, suština, koja ukazuje na njeno fizičko značenje. Drugi izvod u ovom primjeru bit će ubrzanje tijela, što zauzvrat pokazuje stupanj promjene brzine.

Primjeri pronalaženja derivata u fizici

Izvod je pokazatelj brzine promjene bilo koje funkcije, čak i kada ne govorimo o kretanju u doslovnom smislu riječi. Da bismo to jasno pokazali, uzmimo nekoliko konkretnih primjera. Pretpostavimo da se jačina struje, ovisno o vremenu, mijenja prema sljedećem zakonu: I= 0,4t2. Potrebno je pronaći vrijednost brzine kojom se ovaj parametar mijenja na kraju 8. sekunde procesa. Imajte na umu da se sama željena vrijednost, kao što se može suditi iz jednačine, stalno povećava.

Za rješenje je potrebno pronaći prvi izvod čije je fizičko značenje ranije razmatrano. Evo dI/ dt = 0,8 t. Dalje, nalazimo ga na t=8 , dobijamo da je brzina kojom se dešava promena jačine struje jednaka 6,4 A/ c. Ovdje se smatra da se jačina struje mjeri u amperima, a vrijeme u sekundama.

Sve je promjenjivo

Vidljivo svijet, koji se sastoji od materije, stalno prolazi kroz promjene, u pokretu teče u njemu razne procese. Da biste ih opisali, možete koristiti najviše različite opcije. Ako su objedinjeni zavisnošću, onda su matematički zapisani kao funkcija koja jasno pokazuje njihove promjene. A tamo gde postoji kretanje (u kom god obliku da se izrazi), postoji i derivat, čije fizičko značenje razmatramo u ovom trenutku.

S tim u vezi, slijedeći primjer. Pretpostavimo da se tjelesna temperatura mijenja u skladu sa zakonom T=0,2 t 2 . Trebali biste pronaći brzinu njegovog zagrijavanja na kraju 10. sekunde. Problem se rješava na način sličan onome opisanom u prethodnom slučaju. Odnosno, nalazimo derivat i u njega zamjenjujemo vrijednost za t= 10 , dobijamo T= 0,4 t= 4. To znači da je konačni odgovor 4 stepena u sekundi, odnosno da se proces zagrijavanja i promjena temperature, mjerena u stepenima, odvijaju upravo ovom brzinom.

Rješenje praktičnih problema

Naravno, u stvarnom životu sve je mnogo složenije nego u teorijskim problemima. U praksi se vrijednosti količina obično određuju tokom eksperimenta. U ovom slučaju se koriste instrumenti koji daju očitavanja tokom mjerenja sa određenom greškom. Stoga se u proračunima treba baviti približnim vrijednostima parametara i pribjegavati zaokruživanju nezgodnih brojeva, kao i drugim pojednostavljenjima. Uzimajući ovo u obzir, ponovo ćemo prijeći na probleme o fizičkom značenju derivacije, s obzirom da su oni samo svojevrsni matematički model najsloženijih procesa koji se dešavaju u prirodi.

Erupcija

Zamislite da eruptira vulkan. Koliko on može biti opasan? Da biste odgovorili na ovo pitanje, potrebno je uzeti u obzir mnoge faktore. Pokušaćemo da uzmemo u obzir jednu od njih.

Iz ušća "vatrenog čudovišta" bacaju se kamenje okomito naviše, imajući početnu brzinu od trenutka izlaska napolje. Potrebno je izračunati do koje visine može doći.

Da bismo pronašli željenu vrijednost, sastavljamo jednačinu za ovisnost visine H, mjerene u metrima, o drugim veličinama. To uključuje početnu brzinu i vrijeme. Vrijednost ubrzanja se smatra poznatom i približno jednakom 10 m/s 2 .

Parcijalni derivat

Razmotrimo sada fizičko značenje derivacije funkcije iz malo drugačijeg ugla, jer sama jednadžba može sadržavati ne jednu, već nekoliko varijabli. Na primjer, u prethodnom problemu, ovisnost visine uspona kamenja izbačenog iz otvora vulkana bila je određena ne samo promjenom vremenskih karakteristika, već i vrijednošću početna brzina. Ovo posljednje se smatralo konstantnom, fiksnom vrijednošću. Ali u drugim zadacima sa potpuno drugačijim uslovima, sve bi moglo biti drugačije. Ako postoji nekoliko veličina od kojih zavisi složena funkcija, proračuni se rade prema formulama u nastavku.

Fizičko značenje frekventne izvedenice treba odrediti kao u uobičajenom slučaju. Ovo je brzina kojom se funkcija mijenja u određenoj tački kako se parametar varijable povećava. Izračunava se na način da se sve ostale komponente uzimaju kao konstante, samo jedna se smatra promenljivom. Tada se sve odvija po uobičajenim pravilima.

Razumijevajući fizičko značenje izvedenice, nije teško dati primjere rješavanja zamršenih i složenih problema čiji se odgovor može pronaći uz takvo znanje. Ako imamo funkciju koja opisuje potrošnju goriva ovisno o brzini automobila, možemo izračunati pri kojim parametrima potonjeg će potrošnja benzina biti najmanja.

U medicini možete predvidjeti kako će reagirati ljudsko tijelo na lek koji je propisao lekar. Uzimanje lijeka utiče na različite fiziološke parametre. To uključuje promjene krvni pritisak, puls, tjelesna temperatura i još mnogo toga. Svi oni zavise od uzete doze. medicinski proizvod. Ovi proračuni pomažu da se predvidi tok liječenja, kako u povoljnim manifestacijama tako iu neželjenim nezgodama koje mogu fatalno utjecati na promjene u tijelu pacijenta.

Nesumnjivo je važno razumjeti fizičko značenje derivata u tehničkim pitanjima, posebno u elektrotehnici, elektronici, dizajnu i konstrukciji.

Putanja kočenja

Razmotrimo sljedeći zadatak. Krećući se stalnom brzinom, automobil je, približavajući se mostu, morao da uspori 10 sekundi prije ulaza, što je vozač primijetio putokaz, zabranjujući kretanje brzinom većom od 36 km/h. Da li je vozač prekršio pravila ako se put kočenja može opisati formulom S = 26t - t 2 ?

Kada smo izračunali prvi izvod, nalazimo formulu za brzinu, dobijamo v = 28 - 2t. Zatim zamjenjujemo vrijednost t=10 u navedeni izraz.

Pošto je ova vrijednost izražena u sekundama, ispada brzina 8 m/s, što znači 28,8 km/h. To omogućava razumijevanje da je vozač počeo usporavati na vrijeme i nije prekršio saobraćajna pravila, a time i ograničenje naznačeno na znaku brzine.

Ovo dokazuje važnost fizičkog značenja izvedenice. Primjer rješavanja ovog problema pokazuje širinu upotrebe ovog koncepta u različitim sferama života. Uključujući i svakodnevne situacije.

Derivat u ekonomiji

Prije 19. stoljeća, ekonomisti su se uglavnom bavili prosjecima, bilo da se radi o produktivnosti rada ili cijeni proizvoda. Ali od nekog trenutka, granične vrijednosti su postale potrebnije za izradu efektivnih prognoza u ovoj oblasti. To uključuje graničnu korisnost, prihod ili trošak. Razumijevanje ovoga dalo je poticaj stvaranju potpuno novog alata u ekonomska istraživanja koja postoji i razvija se više od sto godina.

Za takve proračune, gdje takvi koncepti, kao minimum i maksimum, prevladavaju, jednostavno je potrebno razumjeti geometrijsko i fizičko značenje derivacije. Među kreatorima teorijske osnove Ove discipline se mogu nazvati tako istaknutim engleskim i austrijskim ekonomistima kao što su W. S. Jevons, K. Menger i drugi. Naravno, granične vrijednosti u ekonomskim proračunima nisu uvijek zgodne za korištenje. I, na primjer, tromjesečni izvještaji se ne uklapaju nužno u to postojeća šema, ali je ipak primjena takve teorije u mnogim slučajevima korisna i efikasna.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

• Stvoriti uslove za smisleno usvajanje od strane učenika fizičkog značenja izvedenice.
• Promovirati formiranje vještina i sposobnosti praktične upotrebe derivata za rješavanje različitih fizičkih problema.

u razvoju:

• Promovisati razvoj matematičkih horizonata, kognitivnog interesovanja kod učenika kroz razotkrivanje praktične neophodnosti i teorijskog značaja teme.
• Omogućiti uslove za unapređenje mentalnih sposobnosti učenika: upoređivati, analizirati, generalizovati.

edukativni:

• Promovirajte interesovanje za matematiku.

Vrsta lekcije: Lekcija o savladavanju novih znanja.

Oblici rada: frontalni, individualni, grupni.

Oprema: Računar, interaktivna tabla, prezentacija, udžbenik.

Struktura lekcije:

1. Organiziranje vremena postavljanje cilja lekcije
2. Učenje novog gradiva
3. Primarna fiksacija novog materijala
4. Samostalan rad
5. Sažetak lekcije. Refleksija.

Tokom nastave

I. Organizacioni trenutak, postavljanje cilja časa (2 min.)

II. Učenje novog gradiva (10 min.)

Učitelj: U prethodnim lekcijama upoznali smo se sa pravilima za izračunavanje izvoda, naučili kako pronaći izvode linearnog, stepena, trigonometrijske funkcije. Naučili smo koje je geometrijsko značenje izvedenice. Danas ćemo u lekciji naučiti gdje se ovaj koncept primjenjuje u fizici.

Za ovo se prisjećamo definicije derivacije (Slajd 2)

Sada se okrenimo kursu fizike (Slajd 3)

Učenici diskutuju i pamte fizički koncepti i formule.

Neka se tijelo kreće prema zakonu S(t)=f(t) Razmotrimo putanju koju je tijelo prešlo za vrijeme od t 0 do t 0 + Δ t, gdje je Δt prirast argumenta. U trenutku t 0 tijelo je prošlo put S(t 0), u trenutku t 0 +Δt - put S(t 0 +Δt). Dakle, za vrijeme Δt tijelo je prešlo put S(t 0 +Δt) –S(t 0), tj. dobili smo prirast funkcije. Prosječna brzina tijela za ovaj vremenski period υ==

Što je kraći vremenski interval t, to preciznije možemo saznati kojom se brzinom tijelo kreće u trenutku t. Dopuštajući t → 0, dobijamo trenutnu brzinu - numerička vrijednost brzina u trenutku t ovog kretanja.

υ= , na Δt→0 brzina je derivacija udaljenosti u odnosu na vrijeme.

slajd 4

Prisjetimo se definicije ubrzanja.

Primjenjujući gornji materijal, možemo zaključiti da je pri t a(t)= υ’(t) ubrzanje je derivat brzine.

Nadalje, formule za jačinu struje, ugaonu brzinu, EMF, itd. pojavljuju se na interaktivnoj tabli. Učenici upotpunjuju trenutne vrijednosti ovih fizičkih veličina kroz koncept derivacije. (Uz odsustvo interaktivna tabla koristiti prezentaciju)

Slajdovi 5-8

Zaključak donose učenici.

zaključak:(Slajd 9) Izvod je brzina promjene funkcije. (Funkcije putanje, koordinate, brzina, magnetni tok, itd.)

υ (x) \u003d f '(x)

Učitelj: Vidimo da je odnos između kvantitativne karakteristikeširok spektar procesa koje istražuje fizika, tehničke nauke, hemija, analogna je odnosu između putanje i brzine. Možete dati puno problema, za čije je rješenje također potrebno pronaći brzinu promjene određene funkcije, na primjer: pronalaženje koncentracije otopine u određenom trenutku, pronalaženje brzine protoka tekućine, ugaona brzina rotacije tijela, linearna gustina u tački itd. Sada ćemo riješiti neke od ovih problema.

III. Učvršćivanje stečenog znanja (rad u grupama) (15 min.)

Uz naknadnu analizu na tabli

Prije rješavanja zadataka razjasniti mjerne jedinice fizičkih veličina.

Brzina - [m/s]
Ubrzanje - [m/s 2]
Snaga - [N]
Energija - [J]

Zadatak 1 grupa

Tačka se kreće po zakonu s(t)=2t³-3t (s je udaljenost u metrima, t je vrijeme u sekundama). Izračunajte brzinu tačke, njeno ubrzanje u trenutku 2s

Zadatak 2 grupa

Zamajac se okreće oko ose prema zakonu φ(t)= t 4 -5t. Pronađite njegovu ugaonu brzinu ω u trenutku 2s (φ je ugao rotacije u radijanima, ω je ugaona brzina rad/s)

Zadatak 3 grupa

Tijelo mase 2 kg kreće se pravolinijski prema zakonu x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Pronađite brzinu tijela i njegovu kinetička energija 3 s nakon početka pokreta. Koja sila deluje na telo u ovom trenutku? (t se mjeri u sekundama, x je u metrima)

Zadatak 4

Dot Commits oscilatorna kretanja prema zakonu x(t)=2sin3t. Dokažite da je ubrzanje proporcionalno x-koordinati.

IV. Samostalno rješavanje zadataka br. 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov i dr. "Algebra i početak analize 10-11. razreda"] 12 min

Dato:	Odluka:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=x’(t); υ(t)= (-)’= 3t²+6t= +6t; a(t)=υ'(t) a(t)=( +6t)’= 2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6 6=-18+36=18m/s Odgovor: t=6c; υ(6)= 18m/s

Derivat funkcije f (x) u tački x0 je granica (ako postoji) omjera prirasta funkcije u tački x0 i prirasta argumenta Δx, ako prirast argumenta teži ka nula i označava se sa f '(x0). Radnja pronalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija.
Izvod funkcije ima sljedeće fizičko značenje: derivacija funkcije u dati poen- brzina promjene funkcije u datoj tački.

Geometrijsko značenje izvedenice. Derivat u tački x0 jednak je nagibu tangente na graf funkcije y=f(x) u ovoj tački.

Fizičko značenje izvedenice. Ako se tačka kreće duž x-ose i njena koordinata se mijenja prema x(t) zakonu, tada je trenutna brzina točke:

Pojam diferencijala, njegova svojstva. Pravila diferencijacije. Primjeri.

Definicija. Diferencijal funkcije u nekoj tački x je glavni, linearni dio prirasta funkcije.Diferencijal funkcije y = f(x) jednak je umnošku njene derivacije i priraštaja nezavisne varijable x ( argument).

Napisano je ovako:

ili

Or


Diferencijalna svojstva
Diferencijal ima svojstva slična onim derivacije:





To osnovna pravila diferencijacije uključuju:
1) uzimanje konstantnog faktora iz predznaka izvoda
2) derivat zbira, derivat razlike
3) derivacija proizvoda funkcija
4) izvod količnika dvije funkcije (izvod razlomka)

Primjeri.
Dokažimo formulu: Prema definiciji derivacije, imamo:

Iz predznaka prelaska do granice može se izvući proizvoljan faktor (ovo je poznato iz svojstava granice), dakle

Na primjer: Pronađite izvod funkcije
Odluka: Koristimo pravilo uzimanja množitelja iz predznaka derivacije :

Vrlo često prvo morate pojednostaviti oblik diferencijabilne funkcije da biste koristili tablicu izvoda i pravila za pronalaženje izvoda. Sljedeći primjeri to jasno potvrđuju.

Formule diferencijacije. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima. Primjeri.

Upotreba diferencijala u približnim proračunima omogućava korištenje diferencijala za približna izračunavanja vrijednosti funkcije.
Primjeri.
Koristeći diferencijal, izračunajte približno
Da izračunam datu vrijednost primijeniti formulu iz teorije
Hajde da uvedemo funkciju i predstavimo datu vrijednost u obliku
zatim Izračunaj

Zamenivši sve u formulu, konačno dobijamo
odgovor:

16. L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞. Primjeri.
Granica omjera dvije beskonačno male ili dvije beskonačno velike veličine jednaka je granici odnosa njihovih derivata.

1)

17. Povećajuće i opadajuće funkcije. ekstremu funkcije. Algoritam za proučavanje funkcije za monotonost i ekstrem. Primjeri.

Funkcija povećava na intervalu ako za bilo koje dvije točke ovog intervala, srodni odnos, nejednakost je tačna. tj. veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Demo funkcija raste u intervalu

Isto tako, funkcija opadajući na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala, tako da je , nejednakost je istinita. To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naš se smanjuje na intervale smanjuje na intervale .

Ekstremi Tačka se naziva maksimalnom tačkom funkcije y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x iz njenog susjedstva. Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimuma funkcija maksimalno i označiti .
Tačka se naziva minimalnom tačkom funkcije y=f(x) ako je nejednakost tačna za sve x iz njenog susjedstva. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tački funkcija minimum i označiti .
Okruženje tačke se shvata kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.
Minimalne i maksimalne točke nazivaju se tačke ekstrema, a vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstrema nazivaju se ekstremi funkcije.

Za istraživanje funkcije za monotoniju koristite sljedeći dijagram:
- Pronađite opseg funkcije;
- Naći izvod funkcije i domenu izvoda;
- Pronađite nule izvoda, tj. vrijednost argumenta pri kojoj je derivacija jednaka nuli;
- Označi na brojevnoj pravoj opšti dio domena funkcije i domena njenog izvoda, a na njemu - nule izvoda;
- Odrediti predznake izvoda na svakom od dobijenih intervala;
- Po predznacima derivacije odrediti u kojim intervalima funkcija raste, a u kojim opada;
- Zabilježite odgovarajuće praznine odvojene tačkom i zarezom.

Algoritam za proučavanje kontinuirane funkcije y = f(x) za monotonost i ekstreme:
1) Pronađite izvod f ′(x).
2) Pronađite stacionarne (f ′(x) = 0) i kritične (f ′(x) ne postoji) tačke funkcije y = f(x).
3) Označite stacionarne i kritične tačke na realnoj pravoj i odredite predznake derivacije na rezultujućim intervalima.
4) Izvući zaključke o monotonosti funkcije i njenih ekstremnih tačaka.

18. Konveksnost funkcije. Pregibne tačke. Algoritam za ispitivanje funkcije za konveksnost (konkavnost) Primjeri.

konveksno nadole na X intervalu, ako njegov graf nije niže od tangente na njega u bilo kojoj tački X intervala.

Poziva se diferencijabilna funkcija konveksno gore na X intervalu, ako se njegov graf ne nalazi više od tangente na njega u bilo kojoj tački X intervala.

Formula tačke se zove tačka pregiba grafa funkcija y \u003d f (x), ako u datoj točki postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna s osom Oy) i postoji takvo susjedstvo formule tačke, unutar koje je graf funkcija ima različite smjerove konveksnosti lijevo i desno od tačke M.

Pronalaženje intervala za konveksnost:

Ako funkcija y=f(x) ima konačan drugi izvod na intervalu X i ako je nejednakost (), tada graf funkcije ima konveksnost usmjerenu dolje (gore) na X.
Ova teorema vam omogućava da pronađete intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije, samo trebate riješiti nejednakosti i, respektivno, na domenu definicije originalne funkcije.

Primjer: Pronađite intervale u kojima je graf funkcije Pronađite intervale u kojima je graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje. ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje.
Odluka: Domen ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva.
Nađimo drugi izvod.

Područje definicije drugog izvoda poklapa se sa domenom definicije izvorne funkcije, pa je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i respektivno. Stoga je funkcija nadole konveksna na formuli intervala i nagore konveksna na formuli intervala.

19) Asimptote funkcije. Primjeri.

Direktno pozvan vertikalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti ili jednaka ili .

Komentar. Prava ne može biti vertikalna asimptota ako je funkcija kontinuirana na . Stoga, vertikalne asimptote treba tražiti u tačkama diskontinuiteta funkcije.

Direktno pozvan horizontalna asimptota graf funkcije ako je barem jedna od graničnih vrijednosti ili jednaka .

Komentar. Funkcijski graf može imati samo desnu horizontalnu asimptotu ili samo lijevu.

Direktno pozvan kosa asimptota graf funkcije if

PRIMJER:

Vježbajte. Naći asimptote grafa funkcije

Odluka. Opseg funkcije:

a) vertikalne asimptote: prava linija je vertikalna asimptota, jer

b) horizontalne asimptote: nalazimo granicu funkcije u beskonačnosti:

odnosno ne postoje horizontalne asimptote.

c) kose asimptote:

Dakle, kosa asimptota je: .

Odgovori. Vertikalna asimptota je prava linija.

Kosa asimptota je prava linija.

20) Opća shema proučavanje funkcija i crtanje. Primjer.

a.
Pronađite ODZ i prijelomne točke funkcije.

b. Pronađite točke presjeka grafa funkcije sa koordinatnim osa.

2. Provesti studiju funkcije koristeći prvi izvod, odnosno pronaći tačke ekstrema funkcije i intervale povećanja i smanjenja.

3. Istražiti funkciju koristeći derivaciju drugog reda, odnosno pronaći točke pregiba grafa funkcije i intervale njegove konveksnosti i konkavnosti.

4. Naći asimptote grafa funkcije: a) vertikalne, b) kose.

5. Na osnovu studije izgraditi graf funkcije.

Imajte na umu da je prije crtanja korisno utvrditi da li je data funkcija parna ili neparna.

Podsjetimo da se funkcija poziva čak i ako se vrijednost funkcije ne promijeni kada se promijeni znak argumenta: f(-x) = f(x) a funkcija se naziva odd if f(-x) = -f(x).

U ovom slučaju, dovoljno je proučiti funkciju i nacrtati njen graf za pozitivne vrijednosti argument koji pripada ODZ-u. At negativne vrijednosti argument, graf je završen na osnovu toga da je za parnu funkciju simetričan u odnosu na os Oy, i za neparne u odnosu na porijeklo.

Primjeri. Istražite funkcije i izgradite njihove grafove.

Opseg funkcije D(y)= (–∞; +∞). Nema tačaka prekida.

Presjek osi Ox: x = 0,y= 0.

Funkcija je neparna, dakle, može se istraživati ​​samo na intervalu , a njen argument je u jedinicama [x], tada se izvod (brzina) mjeri u jedinicama .

Zadatak 6

x(t) = 6t 2 − 48t+ 17, gdje x t t= 9s.

Pronalaženje derivata
x"(t) = (6t 2 − 48t + 17)" = 12t − 48.
Tako smo dobili zavisnost brzine od vremena. Da biste pronašli brzinu u datom trenutku, trebate zamijeniti njenu vrijednost u rezultirajućoj formuli:
x"(t) = 12t − 48.
x"(9) = 12 9 − 48 = 60.

odgovor: 60

komentar: Uvjerimo se da nismo pogriješili s dimenzijama količina. Ovdje je jedinica udaljenosti (funkcija) [x] = metar, jedinica vremena (argument funkcije) [t] = sekunda, dakle jedinica derivacije = [m/s], tj. derivacija daje brzinu upravo u onim jedinicama koje su navedene u pitanju problema.

Zadatak 7

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom x(t) = −t 4 + 6t 3 + 5t+ 23, gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u tom trenutku t= 3s.

Pronalaženje derivata
x"(t) = (−t 4 + 6t 3 + 5t + 23)" = −4t 3 + 18t 2 + 5.
Zamjenjujemo dati trenutak vremena u rezultirajuću formulu
x"(3) = −4 3 3 + 18 3 2 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

odgovor: 59

Zadatak 8

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom x(t) = t 2 − 13t+ 23, gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njena brzina bila jednaka 3 m/s?

Pronalaženje derivata
x"(t) = (t 2 − 13t + 23)" = 2t − 13.
Brzinu datu dobijenom formulom izjednačavamo sa vrijednošću od 3 m/s.
2t − 13 = 3.
Rješavajući ovu jednačinu utvrđujemo u koje vrijeme je jednakost tačna.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

odgovor: 8

Zadatak 9

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom x(t) = (1/3)t 3 − 3t 2 − 5t+ 3, gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njena brzina bila jednaka 2 m/s?

Pronalaženje derivata
x"(t) = ((1/3)t 3 − 3t 2 − 5t + 3)" = t 2 − 6t − 5.
Takođe pravimo jednačinu:
t 2 − 6t − 5 = 2;
t 2 − 6t − 7 = 0.
Ovo je kvadratna jednadžba koja se može riješiti korištenjem diskriminanta ili Vietine teoreme. Evo, po mom mišljenju, drugi način je lakši:
t 1 + t 2 = 6; t jedan · t 2 = −7.
Lako je to pogoditi t 1 = −1; t 2 = 7.
U odgovor stavljamo samo pozitivan korijen, jer vrijeme ne može biti negativno.

Razmotrimo proizvoljnu pravu liniju koja prolazi kroz tačku grafa funkcije - tačku A (x 0, f (x 0)) i sijeku graf u nekoj tački B(x; f(x )). Takva prava linija (AB) naziva se sekansa. Od ∆ABC: ​​AC = ∆ x; prije Krista \u003d ∆y; tgβ =∆y /∆x .

Budući da AC || Ox , tada R ALO = R BAC = β (kao što odgovara paralelnom). AliÐ ALO je ugao nagiba sekante AB prema pozitivnom smjeru ose Ox. znači, tgβ = k - nagib direktni AB.

Sada ćemo smanjiti ∆x, tj. ∆x→ 0. U ovom slučaju, tačka B će se približiti tački A prema grafu, a sekansa AB će se rotirati. Granični položaj sekante AB na ∆h→ 0 će biti prava linija ( a ), naziva se tangenta na graf funkcije y = f(x) u tački A.

Ako prijeđemo na granicu kao ∆h → 0 u jednakosti tg β =∆ y /∆ x , onda dobijamo

ili tg a \u003d f "(x 0), budući da
a - ugao nagiba tangente na pozitivan smjer ose Ox

, po definiciji derivata. Ali tg a = k je nagib tangente, pa je k = tg a \u003d f "(x 0).

Dakle, geometrijsko značenje derivacije je sljedeće:

Derivat funkcije u tački x 0 jednak je nagibu tangenta na graf funkcije nacrtane u tački sa apscisom x 0 .

Fizičko značenje izvedenice.

Razmotrimo kretanje tačke duž prave linije. Neka se zadaju koordinate tačke u bilo kom trenutku x(t ). Poznato je (iz kursa fizike) da prosječna brzina na određeno vrijeme [ t0; t0 + ∆t ] je jednak omjeru pređenog puta u ovom vremenskom periodu i vremena, tj.

Vav = ∆x /∆t . Prijeđimo do granice u posljednjoj jednakosti kao ∆ t → 0.

lim V cf (t) = n (t 0 ) - trenutna brzina u vremenu t 0 , ∆t → 0.

i lim \u003d ∆ x / ∆ t \u003d x "(t 0 ) (po definiciji derivata).

Dakle, n(t) = x "(t).

Fizičko značenje izvoda je sljedeće: derivacija funkcije y = f( x) u tačkix 0 je stopa promjene funkcije f(x) u tačkix 0

Izvod se koristi u fizici za pronalaženje brzine iz poznate funkcije koordinata iz vremena, ubrzanja iz poznate funkcije brzine iz vremena.

u (t) \u003d x "(t) - brzina,

a(f) = n"(t ) - ubrzanje, ili

a (t) \u003d x "(t).

Ako je poznat zakon kretanja materijalne tačke duž kružnice, tada je moguće pronaći ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tokom rotacionog kretanja:

φ = φ (t ) - promjena ugla s vremenom,

ω = φ "(t ) - ugaona brzina,

ε = φ "(t ) - kutno ubrzanje, iliε \u003d φ "(t).

Ako je poznat zakon raspodjele mase nehomogenog štapa, tada se može pronaći linearna gustina nehomogenog štapa:

m \u003d m (x) - masa,

x n , l - dužina štapa,

p = m "(x) - linearna gustina.

Uz pomoć derivacije rješavaju se problemi iz teorije elastičnosti i harmonijskih vibracija. Da, prema Hookeovom zakonu

F = - kx , x - promjenjiva koordinata, k - koeficijent elastičnosti opruge. Stavljanjeω 2 = k / m , dobijamo diferencijalna jednadžba opružno klatno x "( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

gdje je ω = √k /√m frekvencija oscilovanja ( l/c ), k - krutost opruge ( H/m).

Jednačina oblika y" +ω 2 god = 0 naziva se jednadžba harmonijskih oscilacija (mehaničkih, električnih, elektromagnetnih). Rješenje takvih jednadžbi je funkcija

y \u003d Asin (ωt + φ 0 ) ili y \u003d Acos (ωt + φ 0 ), gdje

A je amplituda oscilacija,ω - ciklička frekvencija,

φ 0 - početna faza.