Padina je ravna. Kako pronaći nagib jednačine

Prava y = f (x) bit će tangentna na graf prikazan na slici u tački x0 ako prolazi kroz tačku s koordinatama (x0; f (x0)) i ima nagib f "(x0). Pronađite takav koeficijent, znajući karakteristike tangente, nije teško.

Trebaće ti

• - matematički priručnik;
• - jednostavna olovka;
• - sveska;
• - kutomjer;
• - kompas;
• - olovka.

Uputstvo

Ako vrijednost f‘(x0) ne postoji, onda ili nema tangente, ili prolazi okomito. S obzirom na to, prisustvo derivacije funkcije u tački x0 je zbog postojanja nevertikalne tangente koja je u kontaktu sa grafikom funkcije u tački (x0, f(x0)). U ovom slučaju nagib tangenta će biti f "(x0). Dakle, postaje jasno geometrijskom smislu derivat - proračun nagiba tangente.

Nacrtajte dodatne tangente koje bi bile u kontaktu sa grafikom funkcije u tačkama x1, x2 i x3, a uglove koje te tangente formiraju označite sa osom apscise (takav ugao se računa u pozitivnom smeru od ose do tangentna linija). Na primjer, ugao, odnosno α1, bit će oštar, drugi (α2) će biti tup, a treći (α3) nula, budući da je tangentna linija paralelna sa x-osi. U ovom slučaju, tangens tupog ugla je negativan, tangens oštrog ugla je pozitivan, a za tg0 rezultat je nula.

Bilješka

Pravilno odredite ugao koji formira tangenta. Da biste to učinili, koristite kutomjer.

Koristan savjet

Dvije kose prave će biti paralelne ako su njihovi nagibi međusobno jednaki; okomito ako je proizvod nagiba ovih tangenta -1.

Izvori:

• Tangenta na graf funkcije

Kosinus se, kao i sinus, naziva "direktnim" trigonometrijskim funkcijama. Tangenta (zajedno sa kotangensom) se dodaje drugom paru koji se naziva "derivati". Postoji nekoliko definicija ovih funkcija koje omogućavaju pronalaženje tangente zadane pomoću poznata vrijednost kosinus iste vrijednosti.

Uputstvo

Oduzmite kvocijent od jedinice kosinusom datog ugla podignutom na vrijednost i izvucite kvadratni korijen iz rezultata - to će biti vrijednost tangente iz ugla, izražena njegovim kosinusom: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Istovremeno, obratite pažnju na činjenicu da je u formuli kosinus u nazivniku razlomka. Nemogućnost dijeljenja sa nulom isključuje upotrebu ovog izraza za uglove jednake 90°, kao i razliku od ove vrijednosti za višekratnike od 180° (270°, 450°, -90°, itd.).

Postoji također alternativni način izračunavanje tangente iz poznate vrijednosti kosinusa. Može se koristiti ako nema ograničenja za korištenje drugih . Da biste implementirali ovu metodu, prvo odredite vrijednost ugla iz poznate vrijednosti kosinusa - to se može učiniti pomoću funkcije arkkosinusa. Zatim jednostavno izračunajte tangentu za ugao rezultirajuće vrijednosti. AT opšti pogled ovaj algoritam se može napisati na sljedeći način: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Postoji i egzotična opcija koja koristi definiciju kosinusa i tangente oštri uglovi pravougaonog trougla. Kosinus u ovoj definiciji odgovara omjeru dužine kraka uz razmatrani kut i dužine hipotenuze. Znajući vrijednost kosinusa, možete odabrati dužine ove dvije strane koje mu odgovaraju. Na primjer, ako je cos(α)=0,5, onda se susjedni može uzeti jednakim 10 cm, a hipotenuza - 20 cm. Konkretni brojevi ovdje nisu bitni - dobit ćete iste i ispravne sa svim vrijednostima koje imaju iste. Zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, odredite dužinu nedostajuće strane - suprotne noge. Ona će biti jednaka kvadratni korijen iz razlike između dužina hipotenuze na kvadrat i poznatog kraka: √(20²-10²)=√300. Po definiciji, tangenta odgovara omjeru dužina suprotnih i susjednih krakova (√300/10) - izračunajte je i dobijete vrijednost tangente pronađenu koristeći klasičnu definiciju kosinusa.

Izvori:

• kosinus kroz tangentnu formulu

Jedan od trigonometrijske funkcije, najčešće se označava slovima tg, iako se nalaze i oznake tan. Najlakši način je predstaviti tangentu kao omjer sinusa ugao na njegov kosinus. Ovo je neparna periodična, a ne kontinuirana funkcija, čiji svaki ciklus jednak je broju Pi, a tačka prekida odgovara polovini tog broja.

Tema "Ugaoni koeficijent tangente kao tangenta ugla nagiba" na sertifikacionom ispitu daje nekoliko zadataka odjednom. U zavisnosti od njihovog stanja, od diplomca se može tražiti da pruži i potpun i kratak odgovor. U pripremi za polaganje ispita u matematici učenik svakako treba da ponovi zadatke u kojima je potrebno izračunati nagib tangente.

Ovo će vam pomoći edukativni portal"Školkovo". Naši stručnjaci pripremili su i predstavili teorijski i praktični materijal što je moguće pristupačniji. Nakon što se upoznaju s njim, diplomci sa bilo kojim nivoom obuke moći će uspješno rješavati probleme vezane za derivate, u kojima je potrebno pronaći tangentu nagiba tangente.

Osnovni momenti

Da biste pronašli ispravno i racionalno rješenje za takve zadatke na ispitu, morate zapamtiti osnovna definicija: derivacija je stopa promjene funkcije; jednaka je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u određenoj tački. Jednako je važno završiti crtež. To će vam omogućiti da pronađete ispravno rješenje UPOTREBA zadataka na derivaciji, u kojima je potrebno izračunati tangentu nagiba tangente. Radi jasnoće, najbolje je nacrtati graf na ravni OXY.

Ako ste se već upoznali sa osnovnim materijalom na temu derivacije i spremni ste da počnete rješavati zadatke za izračunavanje tangente ugla nagiba tangente, slično USE zadaci možete to učiniti online. Za svaki zadatak, na primjer, zadatke na temu "Odnos derivacije sa brzinom i ubrzanjem tijela", zapisali smo tačan odgovor i algoritam rješenja. U tom slučaju učenici mogu vježbati izvršavanje zadataka. različitim nivoima teškoće. Ako je potrebno, vježbu možete sačuvati u odeljku "Omiljeni", tako da kasnije možete razgovarati o odluci sa nastavnikom.

Na slici je prikazan ugao nagiba ravne linije i vrijednost koeficijenta nagiba za različite opcije za lokaciju prave linije u odnosu na pravokutni koordinatni sistem.

Pronalaženje nagiba prave linije pod poznatim uglom nagiba prema osi Ox ne predstavlja nikakve poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je podsjetiti se na definiciju koeficijenta nagiba i izračunati tangens kuta nagiba.

Primjer.

Pronađite nagib linije ako je ugao njenog nagiba prema x-osi jednak .

Odluka.

Po uslovu. Zatim, po definiciji nagiba prave linije, izračunavamo .

odgovor:

Zadatak pronalaženja ugla nagiba prave linije prema x-osi sa poznatim nagibom je malo teži. Ovdje je potrebno uzeti u obzir predznak koeficijenta nagiba. Kada je ugao nagiba prave linije oštar i nalazi se kao . Kada je ugao nagiba prave linije tup i može se odrediti formulom .

Primjer.

Odredite ugao nagiba prave linije prema x-osi ako je njen nagib 3.

Odluka.

Pošto je, po uslovu, nagib pozitivan, ugao nagiba prave linije prema osi Ox je oštar. Računamo ga prema formuli.

odgovor:

Primjer.

Nagib prave linije je . Odrediti ugao nagiba prave linije prema osi Ox.

Odluka.

Označiti k je nagib prave linije, ugao nagiba ove prave linije prema pozitivnom smjeru ose Ox. As , tada koristimo formulu za pronalaženje ugla nagiba prave linije sljedećeg oblika . U njega zamjenjujemo podatke iz uslova: .

odgovor:

Jednačina prave linije sa nagibom.

Jednačina linije sa nagibom ima oblik , gdje je k nagib prave, b je neki realan broj. Jednačina prave linije sa nagibom može specificirati bilo koju pravu liniju koja nije paralelna sa Oy osi (za pravu liniju paralelnu sa y-osi, nagib nije definisan).

Pogledajmo značenje izraza: "prava na ravni u fiksnom koordinatnom sistemu data je jednadžbom sa nagibom oblika". To znači da je jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, a ne koordinatama bilo koje druge tačke na ravni. Dakle, ako se dobije tačna jednakost zamjenom koordinata tačke, tada prava prolazi kroz ovu tačku. Inače, tačka ne leži na pravoj.

Primjer.

Prava linija je data jednadžbom s nagibom . Da li i tačke pripadaju ovoj pravoj?

Odluka.

Zamijenite koordinate tačke u originalnu jednadžbu prave linije sa nagibom: . Dobili smo tačnu jednakost, dakle, tačka M 1 leži na pravoj liniji.

Prilikom zamjene koordinata tačke dobijamo pogrešnu jednakost: . Dakle, tačka M 2 ne leži na pravoj liniji.

odgovor:

Dot M 1 pripada liniji, M 2 ne.

Treba napomenuti da prava linija, definisana jednadžbom prave linije sa nagibom , prolazi kroz tačku, budući da pri zamjeni njenih koordinata u jednačinu dobijamo tačnu jednakost: .

Dakle, jednačina prave linije sa nagibom određuje pravu liniju na ravni koja prolazi kroz tačku i formira ugao sa pozitivnim smerom ose apscise, i .

Kao primjer, nacrtajmo pravu liniju definiranu jednadžbom prave linije sa nagibom oblika . Ova linija prolazi kroz tačku i ima nagib radijana (60 stepeni) u pozitivnom smeru ose Ox. Njen nagib je .

Jednačina prave linije sa nagibom koja prolazi kroz datu tačku.

Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobićemo jednačinu prave linije sa datim nagibom k i koja prolazi kroz tačku .

Budući da linija prolazi kroz točku , tada je jednakost . Broj b nam je nepoznat. Da bismo ga se riješili, oduzimamo od lijevog i desnog dijela jednadžbe ravne linije s nagibom, redom, lijevi i desni dio posljednje jednakosti. Čineći to, dobijamo . Ova jednakost je jednadžba prave linije sa datim nagibom k koja prolazi kroz datu tačku.

Razmotrimo primjer.

Primjer.

Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku, nagib ove prave je -2.

Odluka.

Iz stanja koje imamo . Tada će jednadžba prave linije sa nagibom poprimiti oblik .

odgovor:

Primjer.

Napišite jednadžbu prave ako je poznato da ona prolazi kroz tačku i da je ugao nagiba u pozitivnom smjeru ose Ox .

Odluka.

Prvo izračunamo nagib prave linije čiju jednačinu tražimo (takav problem smo riješili u prethodnom pasusu ovog članka). A-prioritet . Sada imamo sve podatke da zapišemo jednadžbu ravne linije sa nagibom:

odgovor:

Primjer.

Napišite jednačinu prave sa nagibom koja prolazi kroz tačku paralelnu s pravom.

Odluka.

Očigledno je da se uglovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox poklapaju (ako je potrebno, pogledajte članak paralelne linije), stoga su koeficijenti nagiba paralelnih linija jednaki. Tada je nagib prave linije, čiju jednačinu treba da dobijemo, jednak 2, pošto je nagib prave 2. Sada možemo sastaviti traženu jednačinu prave linije sa nagibom:

odgovor:

Prelazak sa jednadžbe prave linije sa koeficijentom nagiba na druge tipove jednačine prave i obrnuto.

Uz sve poznato, jednadžba ravne linije sa nagibom daleko je od uvijek zgodna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim slučajevima, probleme je lakše riješiti kada se jednačina prave linije prikaže u drugačijem obliku. Na primjer, jednadžba ravne linije s nagibom ne dozvoljava vam da odmah zapišete koordinate usmjeravajućeg vektora ravne linije ili koordinate vektora normale prave linije. Dakle, treba naučiti preći sa jednačine prave linije sa nagibom na druge tipove jednačine ove prave.

Iz jednadžbe prave linije sa nagibom lako je dobiti kanonsku jednačinu prave linije na ravni oblika . Da bismo to učinili, prenosimo pojam b s desne strane jednačine na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim podijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti nagibom k:. Ove radnje nas vode od jednačine prave linije sa nagibom do kanonska jednačina ravno.

Primjer.

Dajte jednačinu prave linije sa nagibom kanonskom obliku.

Odluka.

Izvršimo potrebne transformacije: .

odgovor:

Primjer.

Prava linija je data jednadžbom prave linije sa nagibom . Da li je vektor normalan vektor ove prave?

Odluka.

Da bismo riješili ovaj problem, prijeđimo sa jednadžbe prave linije s nagibom na opću jednačinu ove prave: . Znamo da su koeficijenti ispred varijabli x i y u opštoj jednačini prave odgovarajuće koordinate vektora normale ove prave linije, odnosno vektora normale prave linije . Očigledno, vektor je kolinearan vektoru, budući da je relacija tačna (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, originalni vektor je također normalni vektor linije , i, prema tome, je normalni vektor i originalna linija .

odgovor:

Da, jeste.

A sada ćemo riješiti inverzni problem - problem dovođenja jednačine ravne na ravni na jednadžbu ravne linije sa nagibom.

Iz opće pravolinijske jednačine , gdje , vrlo je lako prijeći na jednadžbu nagiba. Za ovo vam je potrebno opšta jednačina direktna rezolucija u odnosu na y . Istovremeno, dobijamo . Rezultirajuća jednakost je jednačina prave linije s nagibom jednakim .

Koeficijent nagiba je ravan. U ovom članku ćemo razmotriti zadatke vezane za koordinatnu ravan uključene u ispit iz matematike. Ovo su zadaci za:

- određivanje nagiba prave, kada su poznate dvije tačke kroz koje ona prolazi;
- određivanje apscise ili ordinate tačke preseka dve prave na ravni.

Što je apscisa i ordinata tačke opisano je u ovom dijelu. U njemu smo već razmatrali nekoliko problema vezanih za koordinatnu ravan. Šta treba razumjeti za vrstu zadataka koji se razmatraju? Malo teorije.

Jednačina prave linije na koordinatnoj ravni ima oblik:

gdje k – ovo je nagib prave linije.

Sledeći trenutak! Nagib prave linije jednaka tangenti ugao nagiba prave linije. Ovo je ugao između date linije i oseoh.

Leži između 0 i 180 stepeni.

Odnosno, ako jednačinu prave linije svedemo na oblik y = kx + b, onda dalje uvijek možemo odrediti koeficijent k (koeficijent nagiba).

Također, ako možemo odrediti tangentu nagiba prave linije na osnovu uvjeta, onda ćemo na taj način pronaći njen nagib.

Sljedeći teoretski trenutak!Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.Formula izgleda ovako:

Razmotrite probleme (slično onima iz otvorena banka zadaci):

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (–6; 0) i (0; 6).

U ovom zadatku, najracionalniji način da se to riješi je da se pronađe tangenta ugla između x-ose i date prave linije. Poznato je da je jednak ugaonom koeficijentu. Razmotrimo pravokutni trokut formiran od prave linije i osa x i y:

Tangenta ugla u pravougaonog trougla je omjer suprotne noge i susjedne:

* Oba kraka su jednaka šest (ovo su njihove dužine).

svakako, ovaj zadatak može se riješiti korištenjem formule za pronalaženje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Ali to će biti duži put rješenja.

Odgovor: 1

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (5;0) i (0;5).

Naše tačke imaju koordinate (5;0) i (0;5). znači,

Dovedemo formulu u formu y = kx + b

Dobili smo to ugaoni koeficijent k = – 1.

Odgovor: -1

Pravo a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;6) i (8;0). Pravo b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;10) i paralelna je pravoj a b sa osovinom vol.

U ovom zadatku možete pronaći jednačinu prave linije a, odredite nagib za njega. Duž b nagib će biti isti jer su paralelni. Zatim možete pronaći jednadžbu prave linije b. A zatim, zamjenom vrijednosti y = 0 u nju, pronađite apscisu. ALI!

U ovom slučaju, lakše je koristiti svojstvo sličnosti trokuta.

Pravokutni trouglovi formirani datim (paralelnim) linijama koordinata su slični, što znači da su omjeri njihovih stranica jednaki.

Željena apscisa je 40/3.

Odgovor: 40/3

Pravo a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;8) i (–12;0). Pravo b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; -12) i paralelna je pravoj a. Pronađite apscisu tačke preseka prave b sa osovinom vol.

Za ovaj problem, najracionalniji način za njegovo rješavanje je korištenje svojstva sličnosti trokuta. Ali mi ćemo to riješiti na drugačiji način.

Znamo tačke kroz koje prava prolazi a. Možemo napisati jednačinu prave linije. Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

Po uslovu, tačke imaju koordinate (0;8) i (–12;0). znači,

Hajde da se setimo y = kx + b:

Imam taj ugao k = 2/3.

*Ugaoni koeficijent se može naći kroz tangentu ugla u pravokutnom trokutu sa kracima 8 i 12.

Znamo da paralelne prave imaju jednake nagibe. Dakle, jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku (0;-12) ima oblik:

Pronađite vrijednost b možemo zamijeniti apscisu i ordinatu u jednadžbu:

Dakle, linija izgleda ovako:

Sada, da biste pronašli željenu apscisu točke presjeka linije s x-osom, trebate zamijeniti y = 0:

Odgovor: 18

Pronađite ordinatu tačke preseka ose oy i prava koja prolazi kroz tačku B(10;12) i paralelna koja prolazi kroz ishodište i tačku A(10;24).

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;0) i (10;24).

Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

Naše tačke imaju koordinate (0;0) i (10;24). znači,

Hajde da se setimo y = kx + b

Nagibi paralelnih pravih su jednaki. Dakle, jednačina prave koja prolazi kroz tačku B (10; 12) ima oblik:

Značenje b nalazimo zamjenom koordinata tačke B (10; 12) u ovu jednačinu:

Dobili smo jednačinu prave linije:

Da pronađemo ordinatu tačke preseka ove linije sa osom OU mora se zamijeniti u pronađenu jednačinu X= 0:

*Najlakše rješenje. Uz pomoć paralelnog prevođenja ovu liniju pomičemo prema dolje duž ose OU do tačke (10;12). Pomak se dešava za 12 jedinica, odnosno tačka A(10;24) je "prešla" do tačke B(10;12), a tačka O(0;0) "prešla" do tačke (0;–12). Tako će rezultirajuća linija presjeći osu OU u tački (0;–12).

Željena ordinata je -12.

Odgovor: -12

Naći ordinatu tačke preseka prave date jednačinom

3x + 2y = 6, sa osovinom Oy.

Koordinata tačke preseka date linije sa osom OU ima oblik (0; at). Zamijenite apscisu u jednačinu X= 0, i nađi ordinatu:

Ordinata tačke preseka prave sa osom OU jednako 3.

*Sistem se rješava:

Odgovor: 3

Naći ordinatu tačke preseka pravih datih jednačinama

3x + 2y = 6 i y = - x.

Kada su date dvije prave, a pitanje je pronalaženje koordinata tačke preseka ovih pravih, sistem ovih jednačina je rešen:

U prvoj jednačini zamjenjujemo - X umjesto at:

Ordinata je minus šest.

odgovor: – 6

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (–2; 0) i (0; 2).

Odrediti nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (2;0) i (0;2).

Prava a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;4) i (6;0). Prava b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;8) i paralelna je pravoj a. Naći apscisu tačke preseka prave b sa x-osom.

Odrediti ordinatu tačke preseka y-ose i prave koja prolazi kroz tačku B (6;4) i paralelne prave koja prolazi kroz ishodište i tačku A (6;8).

1. Potrebno je jasno razumjeti da je nagib prave jednak tangenti nagiba prave linije. Ovo će vam pomoći u rješavanju mnogih problema ove vrste.

2. Mora se razumjeti formula za pronalaženje prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Uz njegovu pomoć uvijek možete pronaći jednadžbu prave ako su date koordinate dvije njene tačke.

3. Zapamtite da su nagibi paralelnih pravih jednaki.

4. Kao što razumijete, u nekim je problemima zgodno koristiti znak sličnosti trouglova. Problemi se rješavaju praktično usmeno.

5. Zadaci u kojima su date dvije prave i potrebno je pronaći apscisu ili ordinatu njihove presječne tačke mogu se rješavati grafički. Odnosno, izgradite ih na koordinatnoj ravni (na listu u ćeliji) i vizualno odredite točku presjeka. *Ali ova metoda nije uvijek primjenjiva.

6. I posljednje. Ako se daju prava linija i koordinate točaka njenog presjeka s koordinatnim osama, tada je u takvim problemima zgodno pronaći kutni koeficijent pronalaženjem tangente kuta u formiranom pravokutnom trokutu. Kako "vidjeti" ovaj trokut za različite rasporede linija na ravni je shematski prikazano u nastavku:

>> Ugao nagiba linije od 0 do 90 stepeni<<

>> Pravolinijski ugao od 90 do 180 stepeni<<

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.

U prethodnom poglavlju je pokazano da, izborom određenog koordinatnog sistema na ravni, možemo analitički izraziti geometrijska svojstva koja karakterišu tačke razmatrane prave jednadžbom između trenutnih koordinata. Tako dobijamo jednačinu prave. U ovom poglavlju će se razmatrati jednačine pravih linija.

Da biste formulirali jednadžbu ravne linije u kartezijanskim koordinatama, morate nekako postaviti uvjete koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne osi.

Prvo uvodimo pojam nagiba prave linije, koja je jedna od veličina koje karakterišu položaj prave na ravni.

Nazovimo ugao nagiba prave prema osi Ox ugao za koji se osa Ox mora zarotirati tako da se poklopi sa datom linijom (ili se ispostavi da je paralelna s njom). Kao i obično, ugao ćemo uzeti u obzir uzimajući u obzir znak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija ose Ox za ugao od 180 ° ponovo kombinirati s ravnom linijom, kut nagiba ravne linije prema osi može se odabrati dvosmisleno (do višekratnika ).

Tangenta ovog ugla je jednoznačno određena (jer se promenom ugla u ne menja njegova tangenta).

Tangenta ugla nagiba prave linije prema x-osi naziva se nagib prave linije.

Nagib karakterizira smjer prave (ovdje ne pravimo razliku između dva međusobno suprotna smjera prave linije). Ako je nagib prave nula, tada je prava paralelna sa x-osi. Sa pozitivnim nagibom, ugao nagiba prave linije prema Ox osi će biti oštar (ovde razmatramo najmanju pozitivnu vrednost ugla nagiba) (Sl. 39); u ovom slučaju, što je veći nagib, veći je ugao njegovog nagiba prema osi Ox. Ako je nagib negativan, tada će ugao nagiba prave linije prema x-osi biti tup (slika 40). Imajte na umu da prava linija okomita na x-osu nema nagib (tangenta ugla ne postoji).