Zadatak pronalaženja derivacije date funkcije jedan je od glavnih u predmetu matematike srednja škola i u višim obrazovne institucije. Nemoguće je u potpunosti istražiti funkciju, izgraditi njen graf bez uzimanja njene derivacije. Izvod funkcije se lako može pronaći ako poznajete osnovna pravila diferencijacije, kao i tablicu izvoda glavnih funkcija. Hajde da shvatimo kako pronaći derivaciju funkcije.

Derivat funkcije je granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta kada inkrement argumenta teži nuli.

Prilično je teško razumjeti ovu definiciju, budući da se koncept granice ne proučava u potpunosti u školi. Ali da bismo pronašli izvode različitih funkcija, nije potrebno razumjeti definiciju, prepustimo to matematičarima i idemo direktno na pronalaženje izvoda.

Proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Kada diferenciramo funkciju, dobićemo novu funkciju.

Da bismo ih označili, koristit ćemo pisma f, g itd.

Postoji mnogo različitih notacija za derivate. Koristićemo udar. Na primjer, unos g" znači da ćemo pronaći derivaciju funkcije g.

Tabela izvedenica

Da bi se odgovorilo na pitanje kako pronaći izvod, potrebno je dati tabelu izvoda glavnih funkcija. Za izračunavanje derivata elementarnih funkcija nije potrebno izvoditi složene proračune. Dovoljno je samo pogledati njegovu vrijednost u tabeli derivata.

1. (sinx)"=cosx
2. (cos x)"= -sin x
3. (xn)"=nxn-1
4. (pr.)"=pr
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= - 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Primjer 1. Naći izvod funkcije y=500.

Vidimo da je to konstanta. Prema tabeli izvoda, poznato je da je izvod konstante jednak nuli (formula 1).

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije y=x 100 .

Ovo je funkcija snage u kojoj je eksponent 100 i da biste pronašli njegovu derivaciju, trebate pomnožiti funkciju sa eksponentom i smanjiti je za 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Primjer 3. Naći derivaciju funkcije y=5 x

Ovo je eksponencijalna funkcija, izračunavamo njen izvod pomoću formule 4.

Primjer 4. Naći izvod funkcije y= log 4 x

Izvod logaritma nalazimo koristeći formulu 7.

(log 4 x)"=1/x log 4

Pravila diferencijacije

Hajde sada da shvatimo kako pronaći derivaciju funkcije ako nije u tabeli. Većina istraživanih funkcija nisu elementarne, već su kombinacije elementarnih funkcija pomoću najjednostavnijih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i množenje brojem). Da biste pronašli njihove derivate, morate znati pravila diferencijacije. Nadalje, slova f i g označavaju funkcije, a C je konstanta.

1. Konstantni koeficijent se može izvaditi iz predznaka izvoda

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije y= 6*x 8

Izvadimo konstantni koeficijent 6 i razlikujemo samo x 4 . Ovo je funkcija stepena, čiju derivaciju nalazimo prema formuli 3 tabele derivacija.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivat zbira jednak je zbiru izvoda

(f + g)"=f" + g"

Primjer 6. Naći izvod funkcije y= x 100 + sin x

Funkcija je zbir dviju funkcija čije izvode možemo pronaći iz tabele. Pošto je (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Derivat sume će biti jednak zbiru ovih izvoda:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Derivat razlike jednak je razlici izvoda

(f – g)"=f" – g"

Primjer 7. Naći izvod funkcije y= x 100 - cos x

Ova funkcija je razlika dvije funkcije čije izvode također možemo pronaći iz tabele. Tada je derivacija razlike jednaka razlici derivacija i ne zaboravite promijeniti predznak, jer (cos x) "= - sin x.

(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x

Primjer 8. Naći derivaciju funkcije y=e x +tg x– x 2 .

Ova funkcija ima i zbir i razliku, nalazimo izvode svakog člana:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tada je izvod originalne funkcije:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat proizvoda

(f * g)"=f" * g + f * g"

Primjer 9. Naći izvod funkcije y= cos x *e x

Da biste to učinili, prvo pronađite izvod svakog faktora (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x . Sada zamenimo sve u formulu proizvoda. Pomnožite derivaciju prve funkcije s drugom i dodajte proizvod prve funkcije s izvodom druge.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivat količnika

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2

Primjer 10. Naći izvod funkcije y= x 50 / sin x

Da biste pronašli izvod količnika, prvo pronađite izvod brojnika i nazivnika odvojeno: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Zamjenom u formuli za izvod količnika dobijamo:

(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Derivat kompleksne funkcije

Kompleksna funkcija je funkcija predstavljena kompozicijom od nekoliko funkcija. Da biste pronašli derivaciju kompleksne funkcije, postoji i pravilo:

(u(v))"=u"(v)*v"

Pogledajmo kako pronaći derivaciju takve funkcije. Neka je y= u(v(x)) kompleksna funkcija. Funkcija u će se zvati eksterna, a v - interna.

Na primjer:

y=sin (x 3) je kompleksna funkcija.

Tada je y=sin(t) vanjska funkcija

t=x 3 - interni.

Pokušajmo izračunati derivaciju ove funkcije. Prema formuli, potrebno je pomnožiti izvode unutrašnje i vanjske funkcije.

(sin t)"=cos (t) - derivacija vanjske funkcije (gdje je t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - izvod unutrašnje funkcije

Tada je (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 izvod složene funkcije.

Prvi nivo

Derivat funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zamislite ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste, a okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte visine, u životu kao nju koristimo nivo mora.

Krećući se naprijed takvim putem, također se krećemo gore ili dolje. Takođe možemo reći: kada se argument promijeni (kretanje duž apscisne ose), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Koja bi mogla biti ova vrijednost? Vrlo jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se krećete naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž ose apscise) za jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati različit iznos metara u odnosu na nivo mora (duž y-ose).

Označavamo napredak naprijed (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To je - ovo je promena veličine, - promena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedan entitet, jedna varijabla. Nikada ne smijete otkinuti "delta" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, dalje. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kada idemo naprijed dalje se dižemo više.

Lako je izračunati vrijednost: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja bili smo na visini, onda. Ako se krajnja tačka ispostavi da je niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Povratak na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se krećete naprijed po jedinici udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, kada se napreduje za km, put uzdiže za km. Tada je strmina na ovom mjestu jednaka. A ako bi put, kada je napredovao za m, potonuo za km? Tada je nagib jednak.

Sada razmislite o vrhu brda. Ako početak dionice uzmete pola kilometra do vrha, a kraj - pola kilometra nakon nje, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, po našoj logici, ispada da je ovdje strmina skoro jednaka nuli, što očito nije tačno. Mnogo toga se može promijeniti samo nekoliko milja dalje. Za adekvatniju i precizniju procjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manja područja. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine pri pomicanju jednog metra, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ova preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo jednostavno da se provučemo kroz njega. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

AT pravi zivot mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Dakle, koncept je bio beskonačno mali, to jest, modulo vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. itd. Ako želimo da zapišemo da je vrednost beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije jednak nuli! Ali vrlo blizu tome. To znači da se može podijeliti na.

Koncept suprotan beskonačno malom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste se već susreli s tim kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je veći po modulu od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još više. A beskonačnost je čak i više od onoga što se dešava. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno prema drugom, odnosno at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom i promjena visine biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da beskonačno malo ne znači nula. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer. To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno dvostruko veća od druge.

Zašto sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na reli, ali učimo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i priraštaja argumenta pri beskonačno malom prirastu argumenta.

Povećanje u matematici se zove promena. Poziva se koliko se argument () promijenio pri kretanju duž ose povećanje argumenta i označeno sa Koliko se funkcija (visina) promijenila pri kretanju naprijed duž ose za rastojanje naziva se povećanje funkcije i označena je.

Dakle, derivacija funkcije je odnos kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo potezom odozgo desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan.

Ali da li je izvod jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. Zaista, visina se uopće ne mijenja. Dakle, s izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije nula za bilo koju.

Uzmimo primjer na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle, derivat

To se može shvatiti na sljedeći način: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak lijevo ili desno mijenja našu visinu zanemarljivo.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo već ranije saznali, kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna. Ali mijenja se glatko, bez skokova (jer put nigdje naglo ne mijenja nagib). Dakle, između negativnih i pozitivne vrijednosti mora biti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u tački vrha.

Isto vrijedi i za dolinu (područje gdje funkcija opada s lijeve strane i raste s desne strane):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u vrijednost. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je on (argument) sada postao? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Zamislite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, tamo ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

1. Pronađite prirast funkcije u tački s prirastom argumenta jednakim.
2. Isto za funkciju u tački.

rješenja:

U različitim tačkama, sa istim povećanjem argumenta, prirast funkcije će biti različit. To znači da derivacija u svakoj tački ima svoju (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta na različitim tačkama je različita). Stoga, kada pišemo izvod, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage naziva se funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

I - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Zapamtite definiciju derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je. Ali funkcija je u bilo kojoj tački jednaka svom argumentu. dakle:

Izvod je:

Derivat od je:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .

Sada se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, imamo još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira ili ceo izraz razložiti na faktore koristeći formulu za razliku kocki. Pokušajte to učiniti sami na bilo koji od predloženih načina.

Dakle, dobio sam sledeće:

I prisjetimo se toga ponovo. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo možete formulirati riječima: "stepen se prenosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za".

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

1. (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - brojanjem prirasta funkcije);

1. . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je? A gdje je diploma?", Zapamtite temu" "!
   Da, da, korijen je također stepen, samo razlomak:.
   Dakle naše Kvadratni korijen je samo stepen sa eksponentom:
   .
   Tražimo derivat koristeći nedavno naučenu formulu:

   Ako u ovom trenutku ponovo postane nejasno, ponovite temu "" !!! (oko diplome sa negativnim pokazateljem)

2. . Sada eksponent:

   A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
   ;
   .
   Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
   .

3. . Kombinacija prethodnih slučajeva: .

trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Kada izraz.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je probušena. Ali što je bliža vrijednosti, to je funkcija bliža. To je sama „težnja“.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, nismo još na ispitu.

Pa hajde da pokušamo: ;

Ne zaboravite prebaciti kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, nalazimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu ""):.

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Zatim, za beskonačno mali, takođe je beskonačno mali: . Izraz za ima oblik:

A sada se toga sećamo sa izrazom. I također, šta ako se beskonačno mala vrijednost može zanemariti u zbiru (tj. at).

Tako da dobijamo sledeće pravilo:derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne („tabele”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

Vježba:

1. Pronađite derivaciju funkcije u tački;
2. Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

1. Prvo nalazimo derivat u opšti pogled, a zatim zamijenite njegovu vrijednost za to:
   ;
   .
2. Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je dovesti do toga
   normalan pogled:
   .
   Ok, sada možete koristiti formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Šta je????

Dobro, u pravu ste, još uvijek ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

Postoji takva funkcija u matematici, čiji je izvod za bilo koji jednak vrijednosti same funkcije za istu. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Baza ove funkcije je konstanta - ona je beskonačna decimalni, odnosno iracionalan broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo je:

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzno od eksponencijalne funkcije? logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam sa osnovom) naziva se „prirodnim“ i za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Šta je jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, o čemu ćemo kasnije, kasnije idemo kroz pravila diferencijaciju.

Pravila diferencijacije

koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije at. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

1. u tački;
2. u tački;
3. u tački;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili šta je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo našu funkciju dovesti na novu bazu:

Za ovo koristimo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična derivatu eksponenta: kako je bilo, tako se i dalje pojavio samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne postoji način da se zapiše u više jednostavan oblik. Stoga je u odgovoru ostavljeno u ovom obliku.

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam u bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada umjesto da pišemo:

Pokazalo se da je imenilac samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Derivati ​​eksponencijalne i logaritamske funkcije se gotovo nikada ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, a ne tangenta luka. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "složeno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Ispada takav kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate napraviti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, daju nam broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu drugu akciju s rezultatom prve.

Iste radnje možemo učiniti obrnutim redoslijedom: prvo kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složene funkcije: kada promijenite redoslijed radnji, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, Kompleksna funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (isto). .

Posljednja akcija koju uradimo će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - respektivno "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično promjeni varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo preduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kocku. Dakle, to je unutrašnja funkcija, a ne eksterna.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sad ćemo izvući našu čokoladu - potražite derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. Za originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se da je sve jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(samo nemojte pokušavati da smanjite do sada! Ništa se ne vadi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da ovdje postoji kompleksna funkcija na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a još uvijek izvlačimo korijen iz nje, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: u svakom slučaju, ovu funkciju ćemo „raspakovati“ istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti "spoljašnja". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNOM

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i prirasta argumenta s beskonačno malim povećanjem argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivatni proizvod:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo "internu" funkciju, pronalazimo njen izvod.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, pronalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije izvode, a takođe se upoznali sa pravilima diferencijacije i nekim tehnikama za pronalaženje izvoda. Stoga, ako niste baš dobri sa derivatima funkcija ili neke tačke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje - materijal nije lak, ali ću ipak pokušati da ga predstavim jednostavno i jasno.

U praksi se sa izvodom složene funkcije morate suočiti vrlo često, čak bih rekao gotovo uvijek, kada vam se daju zadaci da nađete izvode.

U tabeli gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, figurativno rečeno, ugniježđena u funkciju. Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se složena funkcija.

Ja ću pozvati funkciju eksterna funkcija, i funkciju – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "spoljna funkcija", "unutrašnja" funkcija koristim samo da bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tabele neće raditi. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “pocijepati” sinus:

U ovom primjeru, već je intuitivno jasno iz mojih objašnjenja da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutrašnja funkcija(ugradnja), i - vanjska funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti kada se pronađe derivacija kompleksne funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutrašnja, a koja eksterna.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali šta ako nije očigledno? Kako tačno odrediti koja funkcija je eksterna, a koja interna? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da trebamo izračunati vrijednost izraza pomoću kalkulatora (umjesto jedan, može postojati bilo koji broj).

Šta prvo izračunamo? Primarno morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, tako da će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon nas RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je da se primijeni pravilo diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo da odlučujemo. Sa lekcije Kako pronaći derivat? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje derivacije uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Kao prvo nalazimo izvod eksterne funkcije (sinus), pogledamo tabelu izvoda elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tabelarne formule su primjenjive čak i ako se "x" zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutrašnja funkcija nije se promijenilo, mi to ne diramo.

Pa, to je sasvim očigledno

Rezultat primjene formule cisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovo pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo eksternu funkciju, a gdje unutrašnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Šta prvo treba uraditi? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju eksterne funkcije, u ovom slučaju stepen. Tražimo željenu formulu u tabeli:. Ponavljamo ponovo: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije sljedeći:

Ponovo naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutrašnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavan izvod unutrašnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutrašnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Naći derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stepen. Dakle, prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbir tri člana interna funkcija, a eksponencijacija eksponencijalna funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije :

Stepen je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje sume:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazni dugi derivati, bolje je to ne raditi (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a nastavniku će biti nezgodno provjeriti).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao perverzija neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije količnika , ali je mnogo isplativije pronaći izvod kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je interna funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo :

Pronalazimo derivaciju unutrašnje funkcije, resetujemo kosinus nazad:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je da se ne zbunite u znakovima. Usput, pokušaj to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve u kojima smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći derivate, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, ugniježđuje 3 ili čak 4-5 funkcija odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arksinus jedinstva tada treba kvadrirati:

I na kraju, dižemo sedam na stepen:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arksinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo da odlučujemo

Po pravilu prvo morate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu izvoda i nalazimo izvod eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, koji ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije sljedeći.

Kako pronaći izvod, kako uzeti izvod? U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivate funkcija. Ali prije proučavanja ove stranice, toplo preporučujem da se upoznate s metodološkim materijalom.Hot Formulas školski kurs matematike. Referentni priručnik se može otvoriti ili preuzeti sa stranice Matematičke formule i tabele . I odatle nam trebaTabela izvedenica, bolje je to odštampati, često ćete morati da se pozivate na njega, i to ne samo sada, već i van mreže.

Tu je? Hajde da počnemo. Imam dvije vijesti za vas: dobru i vrlo dobru. Dobra vijest je da, da biste naučili kako pronaći derivate, uopće nije potrebno znati i razumjeti što je derivat. Štaviše, definiciju derivacije funkcije, matematičko, fizičko, geometrijsko značenje derivacije je svrsishodnije savladati kasnije, budući da kvalitativno proučavanje teorije, po mom mišljenju, zahtijeva proučavanje niza drugih tema, kao i neko praktično iskustvo.

A sada je naš zadatak da tehnički savladamo upravo te derivate. Vrlo dobra vijest je da učenje uzimanja derivata nije tako teško, postoji prilično jasan algoritam za rješavanje (i objašnjenje) ovog zadatka, integrale ili granice, na primjer, teže je savladati.

Savjetujem sljedeći redoslijed proučavanja teme: prvo, Ovaj članak. Zatim morate pročitati najvažniju lekciju Derivat kompleksne funkcije . Ove dvije osnovne klase će vam omogućiti da podignete svoje vještine od nule. Nadalje, u članku će se moći upoznati sa složenijim izvedenicama. složene derivate.

logaritamski izvod. Ako je traka previsoka, prvo pročitajte stavku Protozoa tipični zadaci sa derivatom. Osim novog materijala, lekcija je obuhvatila i druge, više jednostavni tipovi derivati, i postoji odlična prilika da poboljšate svoju tehniku ​​diferencijacije. Osim toga, u kontrolni rad gotovo uvijek postoje zadaci za pronalaženje izvoda funkcija koje su specificirane implicitno ili parametarski. Za ovo postoji i tutorijal: Derivati ​​implicitnih i parametarski definiranih funkcija.

Pokušat ću u pristupačnom obliku, korak po korak, naučiti kako pronaći izvode funkcija. Sve informacije su predstavljene detaljno, jednostavnim riječima.

Zapravo, odmah razmotrite primjer: Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije Rješenje:

Ovo je najjednostavniji primjer, pronađite ga u tabeli izvoda elementarnih funkcija. Pogledajmo sada rješenje i analizirajmo šta se dogodilo? I dogodilo se sljedeće:

imali smo funkciju , koja se, kao rezultat rješenja, pretvorila u funkciju.

jednostavno, da nađem derivat

funkcije, morate ga pretvoriti u drugu funkciju prema određenim pravilima . Pogledajte ponovo tabelu izvedenica - tamo se funkcije pretvaraju u druge funkcije. jedini

izuzetak je eksponencijalna funkcija, koja

pretvara u sebe. Operacija pronalaženja derivacije se zovediferencijaciju.

Oznaka: Izvod se označava ili.

PAŽNJA, VAŽNO! Zaboraviti staviti crtu (gdje je potrebno), ili nacrtati dodatni potez (gdje nije potrebno) je VELIKA GREŠKA! Funkcija i njen derivat su dvije različite funkcije!

Vratimo se našoj tabeli derivata. Iz ove tabele je poželjno zapamtiti: pravila diferencijacije i derivati ​​nekih elementarnih funkcija, posebno:

derivat konstante:

Gdje je konstantan broj; izvod funkcije stepena:

Posebno:,,.

Zašto pamćenje? Ovo znanje je elementarno znanje o izvedenicama. A ako ne možete odgovoriti na pitanje nastavnika "Koja je derivacija broja?", onda bi vam se moglo završiti studiranje na fakultetu (ja lično poznajem dva stvarni slučajevi iz života). Osim toga, ovo su najčešće formule koje moramo koristiti gotovo svaki put kada naiđemo na derivate.

AT U stvarnosti su rijetki jednostavni tabelarni primjeri; obično se pri pronalaženju izvoda prvo koriste pravila diferencijacije, a zatim tablica izvoda elementarnih funkcija.

AT S tim u vezi, prelazimo na razmatranjepravila diferencijacije:

1) Konstantan broj se može (i treba) izvaditi iz predznaka derivacije

Gdje je konstantan broj (konstanta) Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Gledamo tabelu izvedenica. Derivat kosinusa je tu, ali imamo .

Vrijeme je da upotrijebimo pravilo, izvlačimo konstantni faktor izvan predznaka derivacije:

A sada okrećemo naš kosinus prema tabeli:

Pa, poželjno je malo "pročešljati" rezultat - stavite minus na prvo mjesto, istovremeno se riješite zagrada:

2) Derivat zbira jednak je zbiru izvoda

Pronađite izvod funkcije

Mi odlučujemo. Kao što ste vjerovatno već primijetili, prva radnja koja se uvijek izvodi pri pronalaženju derivacije je da cijeli izraz stavimo u zagrade i stavimo crticu u gornjem desnom kutu:

Primjenjujemo drugo pravilo:

Imajte na umu da za diferencijaciju svi korijeni, stupnjevi moraju biti predstavljeni kao , a ako su u nazivniku, onda

pomeri ih gore. Kako to učiniti, raspravlja se u mojim metodološkim materijalima.

Sada se prisjećamo prvog pravila diferencijacije - izvlačimo konstantne faktore (brojeve) izvan znaka derivacije:

Obično se tokom rješavanja ova dva pravila primjenjuju istovremeno (kako se ne bi ponovno pisao dug izraz).

Sve funkcije ispod crtica su elementarne tablične funkcije, koristeći tablicu vršimo transformaciju:

Sve možete ostaviti u ovom obliku, pošto više nema poteza, a derivat je pronađen. Međutim, ovakvi izrazi obično pojednostavljuju:

Poželjno je sve stupnjeve vrste ponovo prikazati kao korijene,

stepeni sa negativnim eksponentima - resetujte na nazivnik. Iako to ne možete učiniti, to neće biti greška.

Pronađite izvod funkcije

Pokušajte sami riješiti ovaj primjer (odgovor na kraju lekcije).

3) Derivat proizvoda funkcija

Čini se da se, po analogiji, formula nagovještava...., ali iznenađenje je da:

Ovo neobično pravilo(kao, u stvari, i drugi) proizilazi iz definicije derivata. Ali za sada ćemo pričekati s teorijom - sada je važnije naučiti kako riješiti:

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo proizvod dvije funkcije ovisno o . Prvo primjenjujemo naše čudno pravilo, a zatim transformiramo funkcije prema tablici derivacija:

Komplikovano? Nimalo, sasvim pristupačno čak i za čajnik.

Pronađite izvod funkcije

Ova funkcija sadrži zbir i proizvod dvije funkcije - kvadratnog trinoma i logaritma. Iz škole se sjećamo da množenje i dijeljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem.

I ovdje je isto. PRVO koristimo pravilo diferencijacije proizvoda:

Sada za zagradu koristimo prva dva pravila:

Kao rezultat primjene pravila diferencijacije ispod poteza, ostaju nam samo elementarne funkcije, a prema tablici derivacija ih pretvaramo u druge funkcije:

Uz određeno iskustvo u pronalaženju izvedenica, čini se da jednostavni derivati ​​ne moraju biti tako detaljno opisani. Uglavnom, najčešće se rješavaju usmeno i to se odmah evidentira .

Pronađite izvod funkcije Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije)

4) Derivat privatnih funkcija

Otvorio se otvor na plafonu, ne boj se, kvar je. A evo i surove realnosti:

Pronađite izvod funkcije

Čega ovdje nema - zbir, razlika, proizvod, razlomak.... Odakle početi?! Ima nedoumica, nema sumnje, ali, U SVAKOM SLUČAJU, prvo nacrtamo zagrade i stavimo crtu gore desno:

Sada pogledamo izraz u zagradama, kako bismo ga pojednostavili? U ovom slučaju uočavamo faktor, koji je, prema prvom pravilu, preporučljivo izbaciti iz predznaka derivacije:

Istovremeno se rješavamo zagrada u brojiocu, koje više nisu potrebne. Uopšteno govoreći, stalni faktori u pronalaženju derivata

Dodatak

Rješenje izvedenice na sajtu za objedinjavanje materijala koji obrađuju studenti i školarci. Izračunavanje derivacije funkcije u nekoliko sekundi nije teško ako koristite našu online uslugu rješavanja problema. Olovo detaljna analiza temeljno proučavanje praktična lekcija svaki treći učenik može. Često nam se obraća odeljenje nadležnog odeljenja za promociju matematike u obrazovnim institucijama zemlje. U ovom slučaju, kako ne spomenuti rješenje derivacije online za zatvoreni prostor numeričkih nizova. Mnogim bogatim pojedincima je dozvoljeno da izraze svoje čuđenje. Ali u međuvremenu, matematičari ne sjede mirno i naporno rade. Promjena ulaznih parametara po linearne karakteristikeće prihvatiti kalkulator derivata uglavnom zbog supreme silazne pozicije kocke. Rezultat je neizbježan kao površina. Kao početni podaci, online derivat eliminiše potrebu za uzimanjem nepotrebne radnje. Osim fiktivnih domaćih zadataka. Pored činjenice da je rješenje izvedenica online neophodno i važan aspekt učeći matematiku, učenici se često ne sjećaju zadataka iz prošlosti. Učenik, kao lijeno stvorenje, to razumije. Ali studenti su smiješni ljudi! Ili uradite to prema pravilima, ili derivacija funkcije u nagnutoj ravni može dati ubrzanje materijalnoj tački. Usmjerimo negdje vektor silaznog prostornog snopa. U željenom odgovoru, pronalaženje derivacije izgleda kao apstraktan teorijski pravac zbog nestabilnosti matematičkog sistema. Zamislite omjer brojeva kao niz neiskorištenih opcija. Komunikacijski kanal je dopunjen petom linijom duž silaznog vektora od točke zatvorene bifurkacije kocke. Na ravni zakrivljenih prostora, rješavanje izvedenice na mreži dovodi nas do zaključka koji je natjerao najveće umove planete na razmišljanje u prošlom stoljeću. U toku dešavanja iz oblasti matematike u javnu raspravu izneto je pet suštinski važnih faktora koji doprinose poboljšanju pozicije izbora varijable. Tako zakon za bodove kaže da se online derivat ne obračunava detaljno u svakom slučaju, samo trenutak lojalnog napredovanja može biti izuzetak. Prognoza nas je dovela do toga nova runda razvoj. Potreban nam je rezultat. U liniji matematičke kosine koja prolazi ispod površine, kalkulator derivacija načina nalazi se u području presjeka proizvoda na skupu za savijanje. Ostaje da se analizira diferencijacija funkcije u njenoj nezavisnoj tački u blizini ipsilonskog susedstva. To svi mogu vidjeti u praksi. Kao rezultat toga, u sljedećoj fazi programiranja će se nešto odlučiti. Studentu je potreban online derivat kao i uvijek, bez obzira na imaginarne studije koje se praktikuju. Ispada da funkcija pomnožena konstantom ne mijenja rješenje derivacije na mreži opšti pravac kretanje materijalne tačke, ali karakteriše povećanje brzine u pravoj liniji. U tom smislu, bit će korisno primijeniti naš kalkulator izvedenica i izračunati sve vrijednosti funkcije na cijelom skupu njene definicije. Jednostavno nema potrebe proučavati talase sile gravitacionog polja. Ni u kom slučaju rješenje izvoda na mreži neće pokazati nagib izlaznog snopa, ali samo u rijetkim slučajevima, kada je to zaista potrebno, studenti to mogu zamisliti. Istražujemo direktora. Vrijednost najmanjeg rotora je predvidljiva. Primijenite na rezultat desno okrenute linije koje opisuju loptu, ali online kalkulator derivati, to je osnova za brojke posebne jačine i nelinearne zavisnosti. Izveštaj matematičkog projekta je spreman. Lične karakteristike razlika najmanjih brojeva i derivacija funkcije duž y osi će dovesti konkavnost iste funkcije do visine. Postoji pravac - postoji zaključak. Teoriju je lakše primijeniti u praksi. Postoji prijedlog studenata o vremenu početka studija. Potreban mi je odgovor nastavnika. Opet, kao iu prethodnoj poziciji, matematički sistem nije regulisan na osnovu radnje koja će pomoći u pronalaženju izvoda.Kao i donja polulinearna verzija, onlajn izvod će detaljno ukazati na identifikaciju rešenja prema degenerisani uslovni zakon. Samo iznesite ideju o izračunavanju formula. Linearna diferencijacija funkcije odbacuje istinitost rješenja jednostavnim izlaganjem irelevantnih pozitivnih varijacija. Važnost znakova poređenja smatrat će se kontinuiranim prekidom funkcije duž ose. To je važnost najsvjesnijeg zaključka, prema studentu, u kojem je onlajn derivat nešto drugo nego lojalni primjer matematičke analize. Radijus zakrivljene kružnice u euklidskom prostoru, naprotiv, dao je kalkulatoru derivata prirodan prikaz razmjene odlučujućih problema za stabilnost. najbolja metoda pronađeno. Bilo je lakše podići zadatak. Neka primjenljivost proporcije nezavisne razlike dovede do rješenja izvedenica na mreži. Rješenje se rotira oko x-ose, opisujući lik kruga. Izlaz postoji, a zasniva se na istraživanju koje teoretski podržavaju studenti, iz kojeg svi uče, a čak i u tim trenucima postoji derivat funkcije. Našli smo način za napredak i učenici su to potvrdili. Možemo sebi priuštiti da pronađemo izvod, a da ne idemo dalje od neprirodnog pristupa transformaciji matematičkog sistema. Lijevi znak proporcionalnosti raste sa geometrijskim nizom as matematičko predstavljanje online kalkulator izvoda zbog nepoznate okolnosti linearnih faktora na beskonačnoj y-osi. Matematičari širom svijeta su se pokazali izuzetnim proizvodni proces. Unutar kruga se nalazi najmanji kvadrat prema opisu teorije. Opet, online izvedenica će elaborirati našu pretpostavku o tome šta je uopće moglo utjecati na teorijski rafinirano mišljenje. Bilo je mišljenja drugačije prirode od izvještaja koji smo analizirali. Odvojena pažnja se možda neće desiti studentima naših fakulteta, ali samo ne pametnim i naprednim matematičarima kod kojih je diferencijacija funkcije samo izgovor. Mehaničko značenje izvedenice je vrlo jednostavno. sila dizanja izračunava se kao onlajn izvedenica naviše stalno opadajućih prostora u vremenu. Očigledno, kalkulator derivata je rigorozan proces opisivanja problema degeneracije umjetne transformacije kao amorfnog tijela. Prva derivacija govori o promjeni kretanja materijalne tačke. Trodimenzionalni prostor se očito posmatra u kontekstu posebno obučenih tehnologija za rješavanje izvedenica online, zapravo ga ima na svakom kolokvijumu na temu matematičke discipline. Drugi izvod karakterizira promjenu brzine materijalne tačke i određuje ubrzanje. Meridijanski pristup baziran na upotrebi afine transformacije preuzima izvod funkcije u tački iz domena ove funkcije na novi nivo. Online kalkulator izvedenica ne može biti bez brojeva i simbola u nekim slučajevima za pravi izvršni trenutak, osim transformabilnog rasporeda stvari zadatka. Iznenađujuće, postoji drugo ubrzanje materijalne tačke, što karakterizira promjenu ubrzanja. Ukratko vremenski okviri Počnimo proučavati rješenje izvedenice online, ali čim se dostigne određena prekretnica u znanju, naš učenik će zaustaviti ovaj proces. Najbolji lijek networking je živa komunikacija na matematičku temu. Postoje principi koji se ne smiju kršiti ni pod kojim okolnostima, ma koliko težak zadatak bio. Korisno je pronaći derivat online na vrijeme i bez grešaka. Ovo će dovesti do nove pozicije matematičkog izraza. Sistem je stabilan. fizičko značenje derivat nije toliko popularan kao mehanički. Malo je vjerojatno da se itko sjeća kako je online izvedenica detaljno prikazala na ravni obris linija funkcije na normalu iz trokuta koji se nalazi pored x-ose. Čovjek zaslužuje veliku ulogu u istraživanjima prošlog stoljeća. Izvršimo u tri elementarne etape diferencijaciju funkcije u tačkama, kako iz domena definicije tako i u beskonačnosti. Biće u pisanoj formi samo u oblasti studija, ali može zauzeti mesto glavnog vektora u matematici i teoriji brojeva, čim se ono što se desi povezaće onlajn kalkulator derivata sa problemom. Postojao bi razlog, ali će postojati razlog da se sastavi jednačina. Veoma je važno imati na umu sve ulazne parametre. Najbolje se ne uzima uvijek direktno, iza toga stoji kolosalna količina rada najboljih umova koji su znali kako se online derivat izračunava u svemiru. Od tada se konveksnost smatra svojstvom kontinuirane funkcije. Ipak, bolje je prvo postaviti problem rješavanja izvedenica na mreži što je brže moguće. Tako će rješenje biti potpuno. Pored neispunjenih normi, to se ne smatra dovoljnim. U početku, gotovo svaki student predlaže iznošenje jednostavne metode o tome kako derivacija funkcije uzrokuje kontroverzan algoritam rasta. U pravcu uzlazne grede. Ima smisla kao opšti položaj. Ranije su označavali početak završetka određene matematičke radnje, a danas će biti obrnuto. Možda će rješenje izvedenice online ponovo pokrenuti pitanje i prihvatiti zajedničko mišljenje o njegovom očuvanju na raspravi na skupu nastavnika. Nadamo se razumijevanju sa svih strana učesnika sastanka. Logički smisao sadržan je u opisu kalkulatora izvedenica u rezonanciji brojeva o redosledu izlaganja misli problema, na koji su u prošlom veku odgovorili veliki naučnici sveta. To će vam pomoći da izdvojite kompleksnu varijablu iz konvertovanog izraza i pronađete derivat na mreži da izvršite veliku akciju istog tipa. Istina je mnogo bolja od nagađanja. Najniža vrijednost u trendu. Rezultat neće dugo čekati kada koristite jedinstvenu uslugu za najprecizniju lokaciju, za koju postoji detaljan online derivat. Indirektno, ali do tačke, kako reče jedan mudar čovjek, na zahtjev mnogih studenata iz različitih gradova Sindikata kreiran je online kalkulator derivata. Ako postoji razlika, zašto onda odlučivati ​​dvaput. Dati vektor leži na istoj strani kao i normala. Sredinom prošlog stoljeća diferencijacija funkcije se nikako nije doživljavala kao danas. Zahvaljujući razvoju koji je u toku, pojavila se online matematika. Vremenom, učenici zaborave da pridaju priznanje matematičkim disciplinama. Rješenje izvedenice online dovest će u pitanje našu tezu, s pravom zasnovanu na primjeni teorije, potkrijepljenoj praktičnim znanjem. Ići će dalje postojeću vrijednost faktor prezentacije i napišite formulu eksplicitno za funkciju. Dešava se da morate odmah pronaći izvedenicu na mreži bez korištenja kalkulatora, međutim, uvijek možete pribjeći triku učenika i dalje koristiti takvu uslugu kao web stranicu. Tako će učenik uštedjeti dosta vremena na kopiranju primjera iz nacrta sveske u konačni oblik. Ako nema kontradikcija, onda koristite uslugu rješenja korak po korak za tako složene primjere.