• apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena sa njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice, koja se spušta od sredine pravilnog mnogougla na 1 od njegovih stranica);
• bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji konvergiraju na vrhu;
• bočna rebra ( AS , BS , CS , D.S. ) - zajedničke strane bočnih strana;
• vrh piramide (v. S) - tačka koja spaja bočne ivice i koja ne leži u ravni osnove;
• visina ( SO ) - segment okomice, koji je povučen kroz vrh piramide do ravni njene osnove (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i osnova okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
• baza (A B C D) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.

svojstva piramide.

1. Kada su sve bočne ivice iste veličine, tada:

• blizu osnove piramide lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
• bočna rebra formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom;
• osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada se bočna rebra formiraju sa osnovnom ravninom jednakih uglova, ili kada se krug može opisati u blizini osnove piramide i vrh piramide će biti projektovan u centar ove kružnice, što znači da sve bočne ivice piramide imaju istu veličinu.

2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:

• blizu osnove piramide, lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
• visine bočnih strana su jednake dužine;
• površina bočne površine je ½ umnožaka opsega baze i visine bočne površine.

3. Sfera se može opisati u blizini piramide ako je osnova piramide poligon oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Prema broju uglova osnove piramide dijele se na trouglaste, četverokutne i tako dalje.

Piramida će trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - pentaedar i tako dalje.

Trodimenzionalna figura koja se često pojavljuje u geometrijskim problemima je piramida. Najjednostavnija od svih figura ove klase je trokutasta. U ovom članku ćemo detaljno analizirati osnovne formule i svojstva ispravnog

Geometrijski prikazi figure

Prije nego što pređemo na razmatranje svojstava pravilne trokutaste piramide, pogledajmo pobliže o kojoj figuri je riječ.

Pretpostavimo da postoji proizvoljan trougao u trodimenzionalnom prostoru. Odaberemo bilo koju tačku u ovom prostoru koja ne leži u ravni trougla i povežemo je sa tri vrha trougla. Dobili smo trouglastu piramidu.

Sastoji se od 4 stranice, od kojih su sve trokuti. Tačke u kojima se susreću tri lica nazivaju se vrhovi. Brojka ih također ima četiri. Presječne linije dvije strane su ivice. Piramida koja se razmatra ima 6 rebara.Na slici ispod prikazan je primjer ove figure.

Pošto je lik formiran sa četiri strane, naziva se i tetraedar.

Ispravna piramida

Iznad je razmatrana proizvoljna figura s trokutastom bazom. Pretpostavimo sada da povučemo okomitu liniju od vrha piramide do njene osnove. Ovaj segment se naziva visina. Očigledno je da je moguće potrošiti 4 različite visine za figuru. Ako visina siječe trokutastu bazu u geometrijskom centru, tada se takva piramida naziva ravna piramida.

Prava piramida čija je osnova jednakostranični trougao naziva se pravilna piramida. Za nju su sva tri trokuta koja čine bočnu površinu figure jednakokračna i jednaka jedan drugom. Poseban slučaj pravilne piramide je situacija kada su sve četiri stranice jednakostrani identični trouglovi.

Razmotrite svojstva pravilne trokutaste piramide i dajte odgovarajuće formule za izračunavanje njenih parametara.

Osnovna strana, visina, bočni rub i apotema

Bilo koja dva od navedenih parametara jednoznačno određuju druge dvije karakteristike. Dajemo formule koje povezuju imenovane veličine.

Pretpostavimo da je stranica osnove pravilne trouglaste piramide a. Dužina njegove bočne ivice jednaka je b. Kolika će biti visina pravilne trouglaste piramide i njenog apotema?

Za visinu h dobijamo izraz:

Ova formula slijedi iz Pitagorine teoreme za koju su bočna ivica, visina i 2/3 visine osnove.

Apotem piramide je visina za bilo koji bočni trokut. Dužina apoteme a b je:

a b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4)

Iz ovih formula se može vidjeti da bez obzira na stranicu osnove trouglaste pravilne piramide i dužinu njenog bočnog ruba, apotema će uvijek biti više visine piramide.

Dvije predstavljene formule sadrže sve četiri linearne karakteristike dotična figura. Dakle, od njih dva poznata, ostatak možete pronaći rješavanjem sistema iz zapisanih jednakosti.

volumen figure

Za apsolutno bilo koju piramidu (uključujući i nagnutu), vrijednost volumena prostora koji je njome ograničena može se odrediti poznavanjem visine figure i površine njene osnove. Odgovarajuća formula izgleda ovako:

Primjenjujući ovaj izraz na dotičnu figuru, dobijamo sljedeću formulu:

Gdje je visina pravilne trouglaste piramide h, a stranica osnove je a.

Nije teško dobiti formulu za zapreminu tetraedra, u kojoj su sve strane jednake jedna drugoj i predstavljaju jednakostranične trouglove. U ovom slučaju, volumen figure određuje se formulom:

To jest, jedinstveno je određena dužinom stranice a.

Površina

Nastavljamo da razmatramo svojstva trouglaste pravilne piramide. ukupne površine svih lica figure naziva se njena površina. Potonje je zgodno proučavati uzimajući u obzir odgovarajući razvoj. Na slici ispod je prikazano kako izgleda pravilna trouglasta piramida.

Pretpostavimo da znamo visinu h i stranu osnove a figure. Tada će površina njegove baze biti jednaka:

Svaki učenik može dobiti ovaj izraz ako se sjeti kako pronaći površinu trokuta, a također uzme u obzir da je visina jednakostraničnog trougla također simetrala i medijana.

Površina bočne površine koju čine tri identična jednakokračna trokuta je:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ova jednakost proizilazi iz izraza apoteme piramide u smislu visine i dužine osnove.

Ukupna površina figure je:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Imajte na umu da će za tetraedar, u kojem su sve četiri strane isti jednakostrani trokuti, površina S biti jednaka:

Svojstva pravilne skraćene trouglaste piramide

Ako je vrh razmatrane trokutaste piramide odsječen ravninom koja je paralelna s bazom, tada preostali Donji dio zvaće se krnja piramida.

U slučaju trokutaste osnove, kao rezultat opisane metode preseka, dobija se novi trougao, koji je takođe jednakostraničan, ali ima manju dužinu stranice od stranice osnove. Skraćena trouglasta piramida je prikazana ispod.

Vidimo da je ova brojka već ograničena na dva trouglaste baze i tri jednakokraka trapeza.

Pretpostavimo da je visina rezultirajuće figure h, dužine stranica donje i gornje baze su a 1 i a 2, respektivno, a apotema (visina trapeza) jednaka je a b. Tada se površina krnje piramide može izračunati po formuli:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Ovdje je prvi pojam površina bočne površine, drugi pojam je površina trokutastih baza.

Volumen figure se izračunava na sljedeći način:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Da bi se nedvosmisleno odredile karakteristike krnje piramide, potrebno je poznavati njena tri parametra, što pokazuju gornje formule.

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi oni se izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za ispit.

Zamislite ravan, poligon koja leži u njemu i tačka S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativno ime trouglasta piramida - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept desna piramida” i “pravilni tetraedar”. U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama osnove, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica ivica su jednake. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je centar P poligona sa visinskom bazom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotem piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Nastavnik matematike o njegovoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike imenuje prvi od njih apothemic, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula zapremine piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a površina puna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koje dvije rubove koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo baze visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u osnovi piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: imajte na umu da su sve stavke ujedinjene jednim zajedničko vlasništvo: na ovaj ili onaj način, bočna lica učestvuju svuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trouglovi jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem opisane kružnice blizu osnove piramide, ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čije je jedno lice poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočne strane ) (Sl. 15). Piramida se zove ispravan , ako mu je osnova pravilan poligon i vrh piramide je projektovan u centar osnove (slika 16). Zove se trouglasta piramida u kojoj su sve ivice jednake tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva strana bočne strane koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravni baze. Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake jedna drugoj, sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothema . dijagonalni presjek Presjek piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Bočna površina piramida se naziva zbir površina svih bočnih strana. Puna površina je zbir površina svih bočnih strana i baze.

Teoreme

1. Ako su u piramidi sve bočne ivice jednako nagnute prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar opisane kružnice blizu osnove.

2. Ako u piramidi sve bočne ivice imaju jednake dužine, tada se vrh piramide projektuje u centar opisane kružnice blizu osnove.

3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravni osnove, tada se vrh piramide projektuje u centar kružnice upisane u osnovu.

Za izračunavanje zapremine proizvoljne piramide, formula je tačna:

gdje V- zapremina;

S main- bazna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu su tačne sljedeće formule:

gdje str- perimetar osnove;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S main- bazna površina;

V je zapremina pravilne piramide.

krnje piramide naziva se dio piramide zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide (slika 17). Ispravna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između osnove i rezne ravni paralelne sa osnovom piramide.

Temelji skraćena piramida - slični poligoni. Bočne strane - trapez. Visina skraćena piramida naziva se rastojanje između njenih osnova. Dijagonala Skraćena piramida je segment koji povezuje njene vrhove koji ne leže na istoj površini. dijagonalni presjek Presjek skraćene piramide naziva se ravan koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju istoj površini.

Za skraćenu piramidu važe formule:

(4)

gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je bočna površina;

H- visina;

V je zapremina krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu vrijedi sljedeća formula:

gdje str 1 , str 2 - perimetri osnove;

h a- apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1 U pravilnoj trouglastoj piramidi, ugao diedara u osnovi je 60º. Naći tangentu ugla nagiba bočne ivice prema ravni osnove.

Odluka. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je pravilna, što znači da je osnova jednakostranični trougao, a sve bočne strane jednake jednakokračne trokute. Diedarski ugao u osnovi je ugao nagiba bočne strane piramide prema ravni osnove. Linearni ugao će biti ugao a između dvije okomice: tj. Vrh piramide se projektuje u centar trougla (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokut ABC). Ugao nagiba bočnog rebra (npr SB) je ugao između samog ruba i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebra SB ovaj ugao će biti ugao SBD. Da biste pronašli tangentu, morate znati noge SO i OB. Neka je dužina segmenta BD je 3 a. dot O linijski segment BD je podijeljen na dijelove: i Od nalazimo SO: Od nalazimo:

odgovor:

Primjer 2 Nađite zapreminu pravilne skraćene četvorougaone piramide ako su dijagonale njenih osnova cm i cm, a visina 4 cm.

Odluka. Da bismo pronašli zapreminu krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli površine baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice osnovica su 2 cm, odnosno 8 cm.To znači površine osnova i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo zapreminu krnje piramide:

odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Nađite površinu bočne strane pravilne trokutaste skraćene piramide čije su stranice osnove 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Odluka. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati osnove i visinu. Osnove su date uslovom, samo visina ostaje nepoznata. Nađi ga odakle ALI 1 E okomito iz tačke ALI 1 na ravni donje baze, A 1 D- okomito od ALI 1 on AC. ALI 1 E\u003d 2 cm, jer je ovo visina piramide. Za pronalaženje DE napravićemo dodatni crtež, na kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Dot O- projekcija centara gornje i donje baze. budući da (vidi sliku 20) i S druge strane uredu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinoj teoremi iz

Bočna površina lica:

odgovor:

Primjer 4 U osnovi piramide leži jednakokraki trapez, čije su osnove a i b (a> b). Svaka bočna strana formira ugao jednak ravni osnove piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Odluka. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak je zbiru površina i površine trapeza A B C D.

Koristimo tvrdnju da ako su sva lica piramide podjednako nagnuta prema ravni baze, tada se vrh projektuje u središte kruga upisanog u bazu. Dot O- projekcija temena S u osnovi piramide. Trougao SOD je ortogonalna projekcija trougla CSD na osnovnu ravan. Prema teoremi o površini ortogonalne projekcije ravne figure, dobijamo:

Slično, to znači Dakle, problem se sveo na pronalaženje površine trapeza A B C D. Nacrtajte trapez A B C D odvojeno (sl. 22). Dot O je centar kružnice upisane u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, onda ili Po Pitagorinoj teoremi imamo

Uvod

Kada smo počeli da proučavamo stereometrijske figure, dotakli smo se teme "Piramida". Ova tema nam se dopala jer se piramida vrlo često koristi u arhitekturi. I od našeg buduća profesija arhitekta, inspirisana ovom figurom, mislimo da će nas potaknuti na velike projekte.

Snaga arhitektonskih objekata, njihov najvažniji kvalitet. Povezivanje snage, prvo, sa materijalima od kojih su napravljeni, i, drugo, sa karakteristikama konstruktivna rješenja, ispada da je čvrstoća konstrukcije direktno povezana sa geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.

Drugim riječima, mi pričamo o toj geometrijskoj figuri, koja se može smatrati modelom odgovarajuće arhitektonske forme. Ispada da geometrijski oblik također određuje snagu arhitektonske strukture.

Egipatske piramide dugo su se smatrale najtrajnijom arhitektonskom strukturom. Kao što znate, imaju oblik pravilnih četverokutnih piramida.

Upravo ovaj geometrijski oblik pruža najveću stabilnost zbog velike površine baze. S druge strane, oblik piramide osigurava da se masa smanjuje kako se visina iznad tla povećava. Upravo ta dva svojstva čine piramidu stabilnom, a time i snažnom u uslovima gravitacije.

Cilj projekta: naučite nešto novo o piramidama, produbite znanje i pronađite praktične primjene.

Za postizanje ovog cilja bilo je potrebno riješiti sljedeće zadatke:

Saznajte istorijske informacije o piramidi

Zamislite piramidu kao geometrijsku figuru

Pronađite primjenu u životu i arhitekturi

Pronađite sličnosti i razlike između piramida koje se nalaze u različitim dijelovima Sveta

Teorijski dio

Istorijski podaci

Početak geometrije piramide položen je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijao u Ancient Greece. Prvi koji je utvrdio koliki je volumen piramide bio je Demokrit, a Eudoks Knidski je to dokazao. Drevni grčki matematičar Euklid sistematizirao je znanje o piramidi u XII tomu svojih "Početaka", a iznio je i prvu definiciju piramide: tjelesna figura ograničena ravninama koje se u jednoj tački konvergiraju iz jedne ravni.

Grobnice egipatskih faraona. Najveće od njih - Keopsove, Kefrenove i Mikerinove piramide u El Gizi u antičko doba smatrane su jednim od sedam svjetskih čuda. Podizanje piramide, u kojoj su Grci i Rimljani već vidjeli spomenik neviđenom ponosu kraljeva i okrutnosti, koja je osudila cijeli narod Egipta na besmislenu gradnju, bio je najvažniji kultni čin i trebao je, po svemu sudeći, izraziti, mistični identitet zemlje i njenog vladara. Stanovništvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine bez poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedoče o pažnji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) poklanjali izgradnji svoje grobnice i njenih graditelja. Poznato je i o posebnim kultnim počastima za koje se ispostavilo da je sama piramida.

Osnovni koncepti

Piramida Zove se poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh.

Apothem- visina bočne strane pravilne piramide, povučena od njenog vrha;

Bočne strane- trouglovi koji konvergiraju na vrhu;

Bočna rebra- zajedničke strane bočnih strana;

vrh piramide- tačka koja spaja bočne ivice, a ne leži u ravni osnove;

Visina- segment okomice povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice);

Dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;

Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Glavna svojstva ispravne piramide

Bočne ivice, bočne strane i apoteme su jednake.

Diedarski uglovi u osnovi su jednaki.

Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki.

Svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova.

Svaka tačka visine je jednako udaljena od svih bočnih strana.

Osnovne piramidalne formule

Površina bočne i pune površine piramide.

Površina bočne površine piramide (puna i skraćena) je zbir površina svih njenih bočnih strana, ukupna površina je zbir površina svih njenih strana.

Teorema: Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme piramide.

str- perimetar osnove;

h- apotema.

Područje bočne i pune površine krnje piramide.

p1, str 2 - perimetri baze;

h- apotema.

R- ukupna površina pravilne skraćene piramide;

S strana- površina bočne površine pravilne skraćene piramide;

S1 + S2- bazna površina

Volumen piramide

Forma Skala volumena se koristi za piramide bilo koje vrste.

H je visina piramide.

Uglovi piramide

Uglovi koje formiraju bočna strana i osnova piramide nazivaju se diedarski uglovi u osnovi piramide.

Diedarski ugao formiraju dvije okomice.

Da biste odredili ovaj ugao, često morate koristiti teoremu o tri okomice.

Uglovi koje formira bočna ivica i njena projekcija na ravan osnove nazivaju se uglovi između bočne ivice i ravni baze.

Ugao koji čine dvije bočne strane naziva se diedarski ugao na bočnoj ivici piramide.

Ugao, koji formiraju dvije bočne ivice jedne strane piramide, naziva se ugao na vrhu piramide.

Sekcije piramide

Površina piramide je površina poliedra. Svaka njena strana je ravan, tako da je presek piramide dat sekantnom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od zasebnih pravih linija.

Dijagonalni presjek

Presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne leže na istoj površini naziva se dijagonalni presjek piramide.

Paralelne sekcije

Teorema:

Ako piramidu prelazi ravan paralelna bazi, tada su bočne ivice i visine piramide podijeljene ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

Presjek ove ravni je poligon sličan bazi;

Površine presjeka i baze međusobno su povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.

Vrste piramida

Ispravna piramida- piramida čija je osnova pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Na pravoj piramidi:

1. bočna rebra su jednaka

2. bočne strane su jednake

3. apoteme su jednake

4. Diedarski uglovi u osnovi su jednaki

5. Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki

6. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova

7. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih bočnih strana

Krnja piramida- dio piramide zatvoren između njene osnove i rezne ravni paralelne sa bazom.

Osnova i odgovarajući presjek krnje piramide nazivaju se osnove krnje piramide.

Zove se okomita povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge visina krnje piramide.

Zadaci

br. 1. Desno četvorougaona piramida tačka O je centar osnove, SO=8 cm, BD=30 cm.Nađi bočnu ivicu SA.

Rješavanje problema

br. 1. U pravilnoj piramidi sva lica i ivice su jednake.

Razmotrimo OSB: OSB-pravougaoni pravougaonik, jer.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida u arhitekturi

Piramida - monumentalna građevina u obliku obične pravilne geometrijske piramide, u kojoj strane konvergiraju u jednoj tački. Po funkcionalnoj namjeni piramide su u antičko doba bile mjesto sahrane ili bogomolja. Osnova piramide može biti trokutasta, četvorougaona ili poligonalna sa proizvoljnim brojem vrhova, ali najčešća verzija je četvorougaona osnova.

Znatan broj piramida je poznat, izgrađen različite kulture antički svijet uglavnom kao hramovi ili spomenici. Najveće piramide su egipatske.

Širom Zemlje možete vidjeti arhitektonske strukture u obliku piramida. Zgrade piramida podsjećaju na antičko doba i izgledaju veoma lijepo.

Egipatske piramide najveći arhitektonski spomenici drevni egipat, među kojima je jedno od "Sedam svjetskih čuda" Keopsova piramida. Od podnožja do vrha dostiže 137,3 m, a prije nego što je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.

Zgrada radio stanice u glavnom gradu Slovačke, koja liči na obrnutu piramidu, izgrađena je 1983. godine. Pored kancelarija i uslužnih prostorija, unutar volumena se nalazi prilično prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najvećih orgulja u Slovačkoj. .

Luvr, koji je "tih i veličanstven kao piramida", pretrpeo je mnoge promene tokom vekova pre nego što je postao najveći muzej na svetu. Nastala je kao tvrđava koju je podigao Filip August 1190. godine, a koja se ubrzo pretvorila u kraljevsku rezidenciju. Godine 1793. palača je postala muzej. Kolekcije se obogaćuju zavještanjem ili kupovinom.