Kolika je tangenta ugla nagiba. Derivat funkcije. Geometrijsko značenje izvedenice

Tema "Ugaoni koeficijent tangente kao tangenta ugla nagiba" na sertifikacionom ispitu dobija nekoliko zadataka odjednom. U zavisnosti od njihovog stanja, od diplomca se može tražiti da pruži i potpun i kratak odgovor. U pripremi za polaganje ispita iz matematike učenik svakako treba da ponovi zadatke u kojima treba računati nagib tangenta.

Ovo će vam pomoći edukativni portal"Shkolkovo". Naši stručnjaci pripremili su i predstavili teorijski i praktični materijal što je moguće pristupačniji. Nakon što se upoznaju s njim, diplomci sa bilo kojim nivoom obuke moći će uspješno rješavati probleme vezane za derivate, u kojima je potrebno pronaći tangentu nagiba tangente.

Osnovni momenti

Da biste pronašli ispravno i racionalno rješenje za takve zadatke na ispitu, morate zapamtiti osnovna definicija: derivacija je stopa promjene funkcije; jednaka je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u određenoj tački. Jednako je važno završiti crtež. To će vam omogućiti da pronađete ispravno rješenje UPOTREBA zadataka na derivaciji, u kojima je potrebno izračunati tangentu nagiba tangente. Radi jasnoće, najbolje je nacrtati graf na ravni OXY.

Ako ste se već upoznali sa osnovnim materijalom na temu derivacije i spremni ste da počnete rješavati zadatke za izračunavanje tangente ugla nagiba tangente, slično USE zadatke možete to učiniti online. Za svaki zadatak, na primjer, zadatke na temu "Odnos derivacije sa brzinom i ubrzanjem tijela", zapisali smo tačan odgovor i algoritam rješenja. U tom slučaju učenici mogu vježbati izvršavanje zadataka. različitim nivoima teškoće. Ako je potrebno, vježbu možete sačuvati u odeljku "Omiljeni", tako da kasnije možete razgovarati o odluci sa nastavnikom.

Naučite uzimati derivate funkcija. Izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj tački koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, graf može biti ravna ili kriva linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku. Zapamti opšta pravila za koje se uzimaju derivati, pa tek onda preći na sljedeći korak.

• Pročitajte članak.
• Kako uzeti najjednostavnije derivate, na primjer, derivat eksponencijalna jednačina, opisano . Proračuni predstavljeni u sljedećim koracima će se zasnivati ​​na metodama koje su tamo opisane.

Naučite razlikovati probleme u kojima se nagib treba izračunati u smislu derivacije funkcije. U zadacima se ne predlaže uvijek pronaći nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas će se možda tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u tački A(x, y). Od vas se takođe može tražiti da pronađete nagib tangente u tački A(x, y). U oba slučaja potrebno je uzeti derivaciju funkcije.

Koeficijent nagiba je ravan. U ovom članku ćemo razmotriti zadatke vezane za koordinatnu ravan uključene u ispit iz matematike. Ovo su zadaci za:

- određivanje nagiba prave, kada su poznate dvije tačke kroz koje ona prolazi;
- određivanje apscise ili ordinate tačke preseka dve prave na ravni.

Što je apscisa i ordinata tačke opisano je u ovom dijelu. U njemu smo već razmatrali nekoliko problema vezanih za koordinatnu ravan. Šta treba razumjeti za vrstu zadataka koji se razmatraju? Malo teorije.

Jednačina prave linije na koordinatnoj ravni ima oblik:

gdje k – ovo je nagib prave linije.

Sledeći trenutak! Nagib prave je jednak tangenti nagiba prave linije. Ovo je ugao između date linije i oseoh.

Leži između 0 i 180 stepeni.

Odnosno, ako jednačinu prave linije svedemo na oblik y = kx + b, onda dalje uvijek možemo odrediti koeficijent k (koeficijent nagiba).

Također, ako možemo odrediti tangentu nagiba prave na osnovu uvjeta, onda ćemo na taj način pronaći njen nagib.

Sljedeći teoretski trenutak!Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.Formula izgleda ovako:

Razmotrite probleme (slično onima iz otvorena banka zadaci):

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (–6; 0) i (0; 6).

U ovom zadatku, najracionalniji način da se to riješi je da se pronađe tangenta ugla između x-ose i date prave linije. Poznato je da je jednak ugaonom koeficijentu. Razmotrimo pravokutni trokut formiran od prave linije i osa x i y:

Tangenta ugla u pravougaonog trougla je omjer suprotne noge i susjedne:

* Oba kraka su jednaka šest (ovo su njihove dužine).

svakako, ovaj zadatak može se riješiti korištenjem formule za pronalaženje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Ali to će biti duži put rješenja.

Odgovor: 1

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (5;0) i (0;5).

Naše tačke imaju koordinate (5;0) i (0;5). znači,

Dovedemo formulu u formu y = kx + b

Dobili smo to ugaoni koeficijent k = – 1.

Odgovor: -1

Pravo a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;6) i (8;0). Pravo b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;10) i paralelna je pravoj a b sa osovinom vol.

U ovom zadatku možete pronaći jednačinu prave linije a, odredite nagib za njega. Duž b nagib će biti isti jer su paralelni. Zatim možete pronaći jednadžbu prave linije b. A zatim, zamjenom vrijednosti y = 0 u nju, pronađite apscisu. ALI!

U ovom slučaju, lakše je koristiti svojstvo sličnosti trokuta.

Pravokutni trouglovi formirani datim (paralelnim) linijama koordinata su slični, što znači da su omjeri njihovih stranica jednaki.

Željena apscisa je 40/3.

Odgovor: 40/3

Pravo a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;8) i (–12;0). Pravo b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; -12) i paralelna je pravoj a. Pronađite apscisu tačke preseka prave b sa osovinom vol.

Za ovaj problem, najracionalniji način za njegovo rješavanje je korištenje svojstva sličnosti trokuta. Ali mi ćemo to riješiti na drugačiji način.

Znamo tačke kroz koje prava prolazi a. Možemo napisati jednačinu prave linije. Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

Po uslovu, tačke imaju koordinate (0;8) i (–12;0). znači,

Hajde da se setimo y = kx + b:

Imam taj ugao k = 2/3.

*Ugaoni koeficijent se može naći kroz tangentu ugla u pravokutnom trokutu sa kracima 8 i 12.

Znamo da paralelne prave imaju jednake nagibe. Dakle, jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku (0;-12) ima oblik:

Pronađite vrijednost b možemo zamijeniti apscisu i ordinatu u jednadžbu:

Dakle, linija izgleda ovako:

Sada, da biste pronašli željenu apscisu točke presjeka linije s x-osom, trebate zamijeniti y = 0:

Odgovor: 18

Pronađite ordinatu tačke preseka ose oy i prava koja prolazi kroz tačku B(10;12) i paralelna koja prolazi kroz ishodište i tačku A(10;24).

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;0) i (10;24).

Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

Naše tačke imaju koordinate (0;0) i (10;24). znači,

Hajde da se setimo y = kx + b

Nagibi paralelnih pravih su jednaki. Dakle, jednačina prave koja prolazi kroz tačku B (10; 12) ima oblik:

Značenje b nalazimo zamjenom koordinata tačke B (10; 12) u ovu jednačinu:

Dobili smo jednačinu prave linije:

Da pronađemo ordinatu tačke preseka ove linije sa osom OU mora se zamijeniti u pronađenu jednačinu X= 0:

*Najlakše rješenje. Uz pomoć paralelnog prevođenja ovu liniju pomičemo prema dolje duž ose OU do tačke (10;12). Pomak se dešava za 12 jedinica, odnosno tačka A(10;24) je "prešla" do tačke B(10;12), a tačka O(0;0) "prešla" do tačke (0;– 12). Tako će rezultirajuća linija presjeći osu OU u tački (0;–12).

Željena ordinata je -12.

Odgovor: -12

Naći ordinatu tačke preseka prave date jednačinom

3x + 2y = 6, sa osovinom Oy.

Koordinata tačke preseka date linije sa osom OU ima oblik (0; at). Zamijenite apscisu u jednačinu X= 0, i nađi ordinatu:

Ordinata tačke preseka prave sa osom OU jednako 3.

* Sistem je u toku:

Odgovor: 3

Naći ordinatu tačke preseka pravih datih jednačinama

3x + 2y = 6 i y = - x.

Kada su date dvije prave, a pitanje je pronalaženje koordinata tačke preseka ovih pravih, sistem ovih jednačina je rešen:

U prvoj jednačini zamjenjujemo - X umjesto at:

Ordinata je minus šest.

odgovor: – 6

Pronađite nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (–2; 0) i (0; 2).

Odrediti nagib prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama (2;0) i (0;2).

Prava a prolazi kroz tačke sa koordinatama (0;4) i (6;0). Prava b prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;8) i paralelna je pravoj a. Naći apscisu tačke preseka prave b sa x-osom.

Odrediti ordinatu tačke preseka y-ose i prave koja prolazi kroz tačku B (6;4) i paralelne prave koja prolazi kroz ishodište i tačku A (6;8).

1. Potrebno je jasno razumjeti da je nagib prave jednak tangenti nagiba prave linije. Ovo će vam pomoći u rješavanju mnogih problema ove vrste.

2. Mora se razumjeti formula za pronalaženje prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke. Uz njegovu pomoć uvijek možete pronaći jednadžbu prave ako su date koordinate dvije njene tačke.

3. Zapamtite da su nagibi paralelnih pravih jednaki.

4. Kao što razumijete, u nekim je problemima zgodno koristiti znak sličnosti trouglova. Problemi se rješavaju praktično usmeno.

5. Zadaci u kojima su date dvije prave i potrebno je pronaći apscisu ili ordinatu njihove presječne točke mogu se rješavati grafički. Odnosno, izgradite ih na koordinatnoj ravni (na listu u ćeliji) i vizualno odredite točku presjeka. *Ali ova metoda nije uvijek primjenjiva.

6. I posljednje. Ako se daju prava linija i koordinate točaka njenog presjeka s koordinatnim osama, tada je u takvim problemima zgodno pronaći kutni koeficijent pronalaženjem tangente kuta u formiranom pravokutnom trokutu. Kako "vidjeti" ovaj trokut za različite rasporede linija na ravni je shematski prikazano u nastavku:

>> Ugao nagiba linije od 0 do 90 stepeni<<

>> Pravolinijski ugao od 90 do 180 stepeni<<

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako o stranici kažete na društvenim mrežama.

Prava y \u003d f (x) bit će tangentna na graf prikazan na slici u tački x0 ako prolazi kroz tačku s koordinatama (x0; f (x0)) i ima nagib f "(x0). Pronađite takav koeficijent, znajući karakteristike tangente, nije teško.

Trebaće ti

• - matematički priručnik;
• - jednostavna olovka;
• - sveska;
• - kutomjer;
• - kompas;
• - olovka.

Uputstvo

Ako vrijednost f‘(x0) ne postoji, onda ili nema tangente, ili prolazi okomito. S obzirom na to, prisustvo derivacije funkcije u tački x0 je zbog postojanja nevertikalne tangente koja je u kontaktu sa grafikom funkcije u tački (x0, f(x0)). U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak f "(x0). Dakle, geometrijsko značenje derivacije postaje jasno - izračunavanje nagiba tangente.

Nacrtajte dodatne tangente koje bi bile u kontaktu sa grafikom funkcije u tačkama x1, x2 i x3, a uglove koje te tangente formiraju označite sa osom apscise (takav ugao se računa u pozitivnom smeru od ose do tangentna linija). Na primjer, ugao, odnosno, α1, će biti oštar, drugi (α2) je tup, a treći (α3) je nula, jer je tangentna linija paralelna sa OX osom. U ovom slučaju, tangens tupog ugla je negativan, tangens oštrog ugla je pozitivan, a za tg0 rezultat je nula.

Bilješka

Pravilno odredite ugao koji formira tangenta. Da biste to učinili, koristite kutomjer.

Koristan savjet

Dvije kose prave će biti paralelne ako su njihovi nagibi međusobno jednaki; okomito ako je proizvod nagiba ovih tangenta -1.

Izvori:

• Tangenta na graf funkcije

Kosinus se, kao i sinus, naziva "direktnim" trigonometrijskim funkcijama. Tangenta (zajedno sa kotangensom) se dodaje drugom paru koji se naziva "derivati". Postoji nekoliko definicija ovih funkcija koje omogućavaju pronalaženje tangente kosinusa date poznatom vrijednošću iste vrijednosti.

Uputstvo

Oduzmite kvocijent od jedinice kosinusom datog ugla podignutom na vrijednost i izvucite kvadratni korijen iz rezultata - to će biti vrijednost tangente iz ugla, izražena njegovim kosinusom: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Istovremeno, obratite pažnju na činjenicu da je u formuli kosinus u nazivniku razlomka. Nemogućnost dijeljenja sa nulom isključuje upotrebu ovog izraza za uglove jednake 90°, kao i razliku od ove vrijednosti za višekratnike od 180° (270°, 450°, -90°, itd.).

Postoji alternativni način izračunavanja tangente iz poznate vrijednosti kosinusa. Može se koristiti ako nema ograničenja za korištenje drugih . Da biste implementirali ovu metodu, prvo odredite vrijednost ugla iz poznate vrijednosti kosinusa - to se može učiniti pomoću funkcije arkkosinusa. Zatim jednostavno izračunajte tangentu za ugao rezultirajuće vrijednosti. Općenito, ovaj algoritam se može napisati na sljedeći način: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Postoji još jedna egzotična opcija koja koristi definiciju kosinusa i tangente kroz oštre uglove pravokutnog trokuta. Kosinus u ovoj definiciji odgovara omjeru dužine kraka uz razmatrani kut i dužine hipotenuze. Znajući vrijednost kosinusa, možete odabrati dužine ove dvije strane koje mu odgovaraju. Na primjer, ako je cos(α)=0,5, onda se susjedni može uzeti jednakim 10 cm, a hipotenuza - 20 cm. Konkretni brojevi ovdje nisu bitni - dobit ćete iste i ispravne sa svim vrijednostima koje imaju iste. Zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, odredite dužinu nedostajuće strane - suprotne noge. Ona će biti jednaka kvadratnom korijenu razlike između dužina hipotenuze na kvadrat i poznatog kraka: √(20²-10²)=√300. Po definiciji, tangenta odgovara omjeru dužina suprotnih i susjednih krakova (√300/10) - izračunajte je i dobijete vrijednost tangente pronađenu koristeći klasičnu definiciju kosinusa.

Izvori:

• kosinus kroz tangentnu formulu

Jedna od trigonometrijskih funkcija, najčešće se označava slovima tg, iako se nalazi i oznaka tan. Najlakši način je predstaviti tangentu kao omjer sinusa ugao na njegov kosinus. Ovo je neparna periodična i ne kontinuirana funkcija, čiji je svaki ciklus jednak broju Pi, a tačka prekida odgovara oznaci na polovini ovog broja.

U prethodnom poglavlju je pokazano da, izborom određenog koordinatnog sistema na ravni, možemo analitički izraziti geometrijska svojstva koja karakterišu tačke razmatrane prave jednadžbom između trenutnih koordinata. Tako dobijamo jednačinu prave. U ovom poglavlju će se razmatrati jednačine pravih linija.

Da biste formulirali jednadžbu ravne linije u kartezijanskim koordinatama, morate nekako postaviti uvjete koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne osi.

Prvo uvodimo pojam nagiba prave linije, koja je jedna od veličina koje karakterišu položaj prave na ravni.

Nazovimo ugao nagiba prave prema osi Ox ugao za koji se osa Ox mora zarotirati tako da se poklopi sa datom linijom (ili ispadne paralelna s njom). Kao i obično, ugao ćemo uzeti u obzir uzimajući u obzir znak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija ose Ox za ugao od 180 ° ponovo kombinirati s ravnom linijom, kut nagiba ravne linije prema osi može se odabrati dvosmisleno (do višekratnika ).

Tangenta ovog ugla je jednoznačno određena (jer se promenom ugla u ne menja njegova tangenta).

Tangenta ugla nagiba prave linije prema x-osi naziva se nagib prave linije.

Nagib karakterizira smjer prave (ovdje ne pravimo razliku između dva međusobno suprotna smjera prave linije). Ako je nagib prave nula, tada je prava paralelna sa x-osi. Sa pozitivnim nagibom, ugao nagiba prave linije prema Ox osi će biti oštar (ovde razmatramo najmanju pozitivnu vrednost ugla nagiba) (Sl. 39); u ovom slučaju, što je veći nagib, veći je ugao njegovog nagiba prema osi Ox. Ako je nagib negativan, tada će ugao nagiba prave linije prema x-osi biti tup (slika 40). Imajte na umu da prava linija okomita na x-osu nema nagib (tangenta ugla ne postoji).