Jedna od najzanimljivijih tema iz geometrije iz školskog predmeta je "Četvorougao" (8. razred). Koje vrste takvih figura postoje, koja posebna svojstva imaju? Šta je jedinstveno kod četvorougla sa uglovima od devedeset stepeni? Hajde da pogledamo sve ovo.

Koja geometrijska figura se zove četvorougao

Poligoni, koji se sastoje od četiri strane i, shodno tome, od četiri vrha (ugla), u euklidskoj geometriji nazivaju se četverouglovi.

Zanimljiva je istorija imena ove vrste figura. U ruskom jeziku imenica "četvorougao" formirana je od fraze "četiri ugla" (baš kao "trougao" - tri ugla, "petougao" - pet ugla, itd.).

Međutim, na latinskom (preko kojeg su mnogi geometrijski pojmovi došli na većinu svjetskih jezika) naziva se četverougao. Ova riječ je nastala od broja quadri (četiri) i imenice latus (strana). Dakle, možemo zaključiti da se među starima ovaj poligon spominjao samo kao "četvorostrani".

Inače, takav naziv (s naglaskom na četiri strane, a ne uglove u figurama ovog tipa) sačuvan je u nekim modernim jezicima. Na primjer, na engleskom - quadrilateral i na francuskom - quadrilatère.

Istovremeno, u većini slavenskih jezika, razmatrani tip figura još uvijek se identificira brojem uglova, a ne stranica. Na primjer, na slovačkom (štvoruholník), na bugarskom („četirigalnik“), na bjeloruskom („chatyrokhkutnik“), na ukrajinskom („chotirikutnik“), na češkom (čtyřúhelník), ali na poljskom se četverokut naziva brojem strane - czworoboczny.

Koje se vrste četverouglova izučavaju u školskom programu

U modernoj geometriji postoje 4 vrste poligona sa četiri strane.

Međutim, zbog previše složenih svojstava nekih od njih, u nastavi geometrije, školarci se upoznaju sa samo dvije vrste.

• Paralelogram. Suprotne strane takvog četverougla su parno paralelne jedna s drugom i, prema tome, također su jednake u parovima.
• Trapez (trapez ili trapez). Ovaj četverougao se sastoji od dvije suprotne stranice koje su paralelne jedna s drugom. Međutim, drugi par strana nema ovu funkciju.

Vrste četverougla koje se ne izučavaju u školskom predmetu geometrije

Pored navedenog, postoje još dvije vrste četverougla s kojima se školarci ne upoznaju na časovima geometrije, zbog njihove posebne složenosti.

• Deltoid (zmaj)- figura u kojoj je svaka od dva para susjednih stranica jednaka jedna drugoj. Takav četverokut dobio je ime zbog činjenice da izgledom prilično podsjeća na slovo grčke abecede - "delta".
• Antiparalelogram- ova figura je složena koliko i njeno ime. U njemu su dvije suprotne strane jednake, ali istovremeno nisu paralelne jedna s drugom. Osim toga, duge suprotne strane ovog četverokuta se sijeku jedna drugu, kao i produžeci druge dvije, kraće stranice.

Vrste paralelograma

Nakon što smo se pozabavili glavnim vrstama četverouglova, vrijedno je obratiti pažnju na njegove podvrste. Dakle, svi paralelogrami su, zauzvrat, također podijeljeni u četiri grupe.

• Klasični paralelogram.
• romb (romb)- četvorougaona figura sa jednakim stranama. Njegove se dijagonale sijeku pod pravim uglom, dijeleći romb na četiri jednaka pravokutna trougla.
• Pravougaonik. Ime govori za sebe. Budući da je četverougao sa pravim uglovima (svaki od njih je jednak devedeset stepeni). Njegove suprotne strane nisu samo paralelne jedna s drugom, već su i jednake.
• Kvadrat (kvadrat). Poput pravougaonika, on je četvorougao sa pravim uglovima, ali ima sve strane jednake jedna drugoj. Ova figura je blizu romba. Dakle, može se tvrditi da je kvadrat križ između romba i pravokutnika.

Posebna svojstva pravougaonika

S obzirom na figure u kojima je svaki od uglova između strana jednak devedeset stepeni, vrijedi se detaljnije zadržati na pravokutniku. Dakle, koje posebne karakteristike ima koje ga razlikuju od drugih paralelograma?

Da bismo potvrdili da je paralelogram koji se razmatra pravougaonik, njegove dijagonale moraju biti jednake jedna drugoj, a svaki od uglova mora biti pravi. Osim toga, kvadrat njegovih dijagonala mora odgovarati zbroju kvadrata dvije susjedne strane ove figure. Drugim riječima, klasični pravougaonik se sastoji od dva pravokutna trougla, a u njima, kao što je poznato, dijagonala razmatranog četverokuta djeluje kao hipotenuza.

Posljednji od navedenih znakova ove figure također je njeno posebno svojstvo. Osim ovoga, postoje i drugi. Na primjer, činjenica da su sve strane proučavanog četverokuta s pravim uglovima u isto vrijeme njegove visine.

Osim toga, ako se oko bilo kojeg pravokutnika nacrta krug, njegov promjer će biti jednak dijagonali upisane figure.

Između ostalih svojstava ovog četvorougla, da je ravan i da ne postoji u neeuklidskoj geometriji. To je zbog činjenice da u takvom sistemu nema četverokutnih figura, čiji je zbir uglova jednak trista šezdeset stepeni.

Kvadrat i njegove karakteristike

Nakon što smo se pozabavili znakovima i svojstvima pravokutnika, vrijedi obratiti pažnju na drugi četverokut poznat nauci s pravim uglovima (ovo je kvadrat).

Budući da je zapravo isti pravougaonik, ali sa jednakim stranicama, ova figura ima sva svoja svojstva. Ali za razliku od njega, kvadrat je prisutan u neeuklidskoj geometriji.

Osim toga, ova figura ima i druge posebne karakteristike. Na primjer, činjenica da dijagonale kvadrata nisu samo jednake jedna drugoj, već se i sijeku pod pravim kutom. Dakle, kao i romb, kvadrat se sastoji od četiri pravokutna trougla, na koje je podijeljen dijagonalama.

Osim toga, ova figura je najsimetričnija među svim četverokutima.

Koliki je zbir uglova četvorougla

S obzirom na karakteristike četverouglova euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na njihove uglove.

Dakle, na svakoj od gornjih figura, bez obzira da li ima prave uglove ili ne, njihov ukupan zbir je uvek isti - trista šezdeset stepeni. Ovo je jedinstvena karakteristika ove vrste figure.

Perimetar četverougla

Nakon što smo shvatili koliki je zbroj uglova četverokuta i druga posebna svojstva figura ove vrste, vrijedno je znati koje se formule najbolje koriste za izračunavanje njihovog perimetra i površine.

Da biste odredili obim bilo kojeg četverokuta, trebate samo sabrati dužine svih njegovih stranica.

Na primjer, na slici KLMN, njegov se perimetar može izračunati pomoću formule: P \u003d KL + LM + MN + KN. Ako ovdje zamijenite brojeve, dobijate: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

U slučaju kada je dotična figura romb ili kvadrat, da biste pronašli opseg, možete pojednostaviti formulu jednostavnim množenjem dužine jedne od njegovih strana sa četiri: P = KL x 4. Na primjer: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Formule kvadrata površine

Nakon što smo shvatili kako pronaći perimetar bilo koje figure s četiri ugla i strane, vrijedi razmotriti najpopularnije i najjednostavnije načine za pronalaženje njenog područja.

Ostala svojstva četverougla: upisane i opisane kružnice

Uzimajući u obzir karakteristike i svojstva četverokuta kao figure euklidske geometrije, vrijedno je obratiti pažnju na sposobnost opisivanja ili upisivanja krugova unutar njega:

• Ako su zbroji suprotnih uglova figure svaki po sto osamdeset stepeni i u paru su jednaki jedan drugom, tada se oko takvog četvorougla može slobodno opisati kružnica.
• Prema Ptolomejevoj teoremi, ako je krug opisan izvan poligona sa četiri strane, onda je proizvod njegovih dijagonala jednak zbiru proizvoda suprotnih strana date figure. Dakle, formula će izgledati ovako: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Ako konstruišete četvorougao u kojem su sume suprotnih strana jednake jedna drugoj, tada se u njega može upisati kružnica.

Nakon što smo shvatili šta je četverokut, koje vrste postoje, koji od njih imaju samo prave uglove između stranica i koja svojstva imaju, vrijedno je zapamtiti sav ovaj materijal. Konkretno, formule za pronalaženje perimetra i površine razmatranih poligona. Uostalom, brojke ovog oblika su jedni od najčešćih, a ovo znanje može biti korisno za proračune u stvarnom životu.

Definicija. Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane parno paralelne.

Nekretnina. U paralelogramu su suprotne strane jednake, a suprotni uglovi jednaki.

Nekretnina. Dijagonale paralelograma su prepolovljene točkom presjeka.

1 znak paralelograma. Ako su dvije stranice četverougla jednake i paralelne, onda je četverougao paralelogram.

2 znak paralelograma. Ako su suprotne strane četvorougla jednake u paru, onda je četvorougao paralelogram.

3 znak paralelograma. Ako se u četverokutu dijagonale sijeku, a presječna tačka je popolovljena, onda je ovaj četverougao paralelogram.

Definicija. Trapez je četverougao u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice se nazivaju osnove.

Trapez se zove jednakokraki (jednakokraki) ako su njegove strane jednake. U jednakokrakom trapezu, uglovi na osnovama su jednaki.

pravougaona.

srednja linija trapeza. Srednja linija je paralelna sa bazama i jednaka je njihovom poluzbiru.

Pravougaonik

Definicija.

Nekretnina. Dijagonale pravougaonika su jednake.

Znak pravougaonika. Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je paralelogram pravougaonik.

Definicija.

Nekretnina. Dijagonale romba su međusobno okomite i sijeku njegove uglove.

Definicija.

Kvadrat je posebna vrsta pravougaonika, a također i posebna vrsta romba. Dakle, ima sva njihova svojstva.

Svojstva:
1. Svi uglovi kvadrata su pravi

Četvorougla sva pravila

Ključne riječi:
četvorougao, konveksan, zbir uglova, površina četvorougla

četvorougao naziva se figura koja se sastoji od četiri tačke i četiri segmenta koji ih povezuju u seriju. U ovom slučaju, nijedna tri od ovih tačaka ne bi trebalo da leže na jednoj pravoj liniji, a segmenti koji ih povezuju ne bi trebalo da se sijeku.

• Zovu se vrhovi četvorougla susjedni ako su krajevi jedne od njegovih strana.
• Vrhovi koji nisu susjedi , pozvao suprotno .
• Zovu se segmenti koji spajaju suprotne vrhove četverougla dijagonale .
• Stranice četvorougla koje potiču iz istog vrha nazivaju se susjedni stranke.
• Strane koje nemaju zajednički kraj nazivaju se suprotno stranke.
• Četverokut se zove konveksan , ako se nalazi u jednoj poluravni u odnosu na pravu liniju koja sadrži bilo koju od njegovih strana.

Vrste četvorouglova

1. Paralelogram Četvorougao sa paralelnim suprotnim stranama
   • Pravougaonik paralelogram sa svim pravim uglovima
   • Rhombus - paralelogram sa svim stranama jednakim
   • Square - pravougaonik sa svim stranama jednakim
2. Trapez - četverougao u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne
3. Deltoid Četvorougao čija su dva para susjednih stranica jednaka

Četverouglovi

četvorougao naziva se figura koja se sastoji od četiri tačke i četiri segmenta koji ih povezuju u seriju. U ovom slučaju, tri od ovih tačaka ne leže na istoj pravoj liniji, a segmenti koji ih povezuju se ne sijeku.

suprotno. suprotno.

Vrste četvorouglova

Paralelogram

Paralelogram naziva se četvorougao čije su suprotne strane parno paralelne.

Svojstva paralelograma

• suprotne strane su jednake;
• suprotni uglovi su jednaki;
• zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana:

Karakteristike paralelograma

TrapezČetvorougao se naziva u kojem su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove i neparalelne strane strane. Segment koji povezuje sredine stranica naziva se srednja linija.

Trapez se zove jednakokraki(ili jednakokraki) ako su njegove strane jednake.

Trapez sa jednim pravim uglom naziva se pravougaona.

Trapezoid Properties

Znakovi trapeza

Pravougaonik

Pravougaonik Paralelogram se naziva ako su svi uglovi pravi uglovi.

Svojstva pravougaonika

Rectangle Features

Paralelogram je pravougaonik ako:

1. Jedan od njegovih uglova je desni.
2. Njegove dijagonale su jednake.

Rhombus Paralelogram se naziva ako su sve strane jednake.

Rhombus Properties

• sva svojstva paralelograma;
• dijagonale su okomite;

Znakovi romba

Square Poziva se pravougaonik u kojem su sve strane jednake.

Kvadratna svojstva

• svi uglovi kvadrata su pravi;
• dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, tačka preseka je podeljena na pola, a uglovi kvadrata su podeljeni na pola.

Kvadratni znakovi

Osnovne formule

S=d 1 d 2 grijeh

Paralelogram
a i b- susjedne stranke; - ugao između njih; h a - visina na stranu a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 grijeh

Trapez
a i b- tereni; h- udaljenost između njih; l- srednja linija .

Pravougaonik

S=d 1 d 2 grijeh

S = a 2 sin

S=d 1 d 2

Square
d- dijagonala.

www.univer.omsk.su

Svojstva četvorouglova. Vrste četvorouglova. Svojstva proizvoljnih četvorouglova. Svojstva paralelograma. Svojstva romba. Svojstva pravougaonika. Kvadratna svojstva. svojstva trapeza. Otprilike 7-9 razred (13-15 godina)

Svojstva četvorouglova. Vrste četvorouglova. Svojstva proizvoljnih četvorouglova.
Svojstva paralelograma. Svojstva romba. Svojstva pravougaonika. Kvadratna svojstva. svojstva trapeza.

Vrste četvorouglova:

• Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne

• Rhombus je paralelogram sa svim stranama jednakim.

• Pravougaonik je paralelogram sa svim pravim uglovima.

• Square je pravougaonik sa svim stranama jednakim.

Svojstva proizvoljnih četvorouglova:

Svojstva paralelograma:

Svojstva romba:

Svojstva pravougaonika:

Kvadratna svojstva:

Svojstva trapeza:

Konsalting i tehnička
podrška sajtu: Zavarka tim

Četvorougla sva pravila

Neeuklidska geometrija, geometrija slična geometriji Euklid po tome što definira kretanje figura, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njenih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Poricanje jednog od euklidskih postulata (1825) bilo je značajan događaj u istoriji misli, jer je poslužilo kao prvi korak ka teorija relativnosti.

Euklidov drugi postulat to kaže bilo koji segment se može produžiti beskonačno. Euklid je očito vjerovao da ovaj postulat sadrži i tvrdnju da prava linija ima beskonačnu dužinu. kako god u "eliptičnoj" geometriji svaka prava linija je konačna i, poput kruga, zatvorena.

Peti postulat kaže da ako prava siječe dvije date prave na takav način da su dva unutrašnja ugla na jednoj njenoj strani u zbroju manja od dva prava ugla, tada će se ove dvije prave, ako se produže beskonačno, sijeći na strani na kojoj zbir ovih uglova manji je od zbira dve prave. Ali u "hiperboličnoj" geometriji, može postojati prava CB (vidi sliku), okomita u tački C na datu pravu r i koja siječe drugu pravu s pod oštrim uglom u tački B, ali, ipak, beskonačne prave r i s se nikada neće ukrštati.

Iz ovih revidiranih postulata slijedi da je zbir uglova trougla, jednak 180° u euklidskoj geometriji, veći od 180° u eliptičnoj geometriji i manji od 180° u hiperboličnoj geometriji.

Četvorougao

Četvorougao je mnogokut koji sadrži četiri vrha i četiri strane.

Četvorougao, geometrijska figura - poligon sa četiri ugla, kao i bilo koji predmet, uređaj ovog oblika.

Zovu se dvije nesusjedne stranice četverougla suprotno. Pozivaju se i dva vrha koja nisu susjedna suprotno.

Četvorouglovi su konveksni (kao ABCD) i
nekonveksan (A 1 B 1 C 1 D 1).

Vrste četvorouglova

• Paralelogram- četverougao u kojem su sve suprotne strane paralelne;
• Pravougaonik- četvorougao sa svim pravim uglovima;
• Rhombus- četverougao u kojem su sve stranice jednake;
• Square- četverougao u kojem su svi uglovi pravi i sve stranice jednake;
• Trapez- četvorougao sa dve suprotne strane paralelne;
• DeltoidČetvorougao čija su dva para susjednih stranica jednaka.

Paralelogram

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane parno paralelne.

Paralelogram (od grčkog parallelos - paralela i gramme - prava), odnosno leži na paralelnim pravima. Posebni slučajevi paralelograma su pravougaonik, kvadrat i romb.

• suprotne strane su jednake;
• suprotni uglovi su jednaki;
• dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola;
• zbir uglova susednih jednoj strani je 180°;
• zbir kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana.

Četvorougao je paralelogram ako:

1. Njegove dvije suprotne strane su jednake i paralelne.
2. Suprotne strane su jednake u parovima.
3. Suprotni uglovi su jednaki u parovima.
4. Dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola.

Pravougaonik

Pravougaonik je paralelogram sa svim pravim uglovima.

• suprotne strane su jednake;
• suprotni uglovi su jednaki;
• dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola;
• zbir uglova susednih jednoj strani je 180°;
• dijagonale su jednake.

Paralelogram je pravougaonik ako:

1. Jedan od njegovih uglova je desni.
2. Njegove dijagonale su jednake.

Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake.

• suprotne strane su jednake;
• suprotni uglovi su jednaki;
• dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola;
• zbir uglova susednih jednoj strani je 180°;
• zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana;
• dijagonale su okomite;
• dijagonale su simetrale njegovih uglova.

Paralelogram je romb ako:

1. Njegove dvije susjedne strane su jednake.
2. Njegove dijagonale su okomite.
3. Jedna od dijagonala je simetrala njenog ugla.

Kvadrat je pravougaonik u kojem su sve strane jednake.

• svi uglovi kvadrata su pravi;
• dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, tačka preseka je podeljena na pola, a uglovi kvadrata su podeljeni na pola.

1. Pravougaonik je kvadrat ako ima neku karakteristiku romba.

Trapez je četverougao u kojem su dvije suprotne strane paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

Paralelne stranice trapeza zovu se njegove baze, a neparalelne stranice nazivaju se njegove stranice. Segment koji povezuje sredine stranica naziva se srednja linija.

Trapez se naziva jednakokračan (ili jednakokračan) ako su mu stranice jednake.

Trapez sa jednim pravim uglom naziva se pravougaoni trapez.

• njegova srednja linija je paralelna sa bazama i jednaka njihovom poluzbiru;
• ako je trapez jednakokraki, tada su njegove dijagonale jednake i uglovi u osnovi su jednaki;
• ako je trapez jednakokraki, tada se oko njega može opisati kružnica;
• ako je zbir baza jednak zbiru strana, tada se u njega može upisati krug.

1. Četvorougao je trapez ako mu paralelne stranice nisu jednake

DeltoidČetvorougao sa dva para stranica iste dužine. Za razliku od paralelograma, dva para susjednih stranica nisu jednaka, već dva para susjednih stranica. Deltoid je u obliku zmaja.

• Uglovi između stranica nejednake dužine su jednaki.
• Dijagonale deltoida (ili njihovih produžetaka) seku se pod pravim uglom.
• Krug se može upisati u bilo koji konveksni deltoid, osim ovoga, ako deltoid nije romb, postoji još jedan krug koji dodiruje produžetke sve četiri strane. Za nekonveksni deltoid, može se konstruisati kružnica tangenta na dvije veće stranice i produžetke dvije manje stranice, te kružnica tangenta na dvije manje stranice i proširenja dvije veće stranice.

• Ako je ugao između nejednakih strana deltoida prava linija, tada se u nju može upisati kružnica (opisani deltoid).
• Ako je par suprotnih strana deltoida jednak, onda je takav deltoid romb.
• Ako su par suprotnih strana i obje dijagonale deltoida jednake, tada je deltoid kvadrat. Upisani deltoid jednakih dijagonala je također kvadrat.

Pojava geometrije datira još iz antičkih vremena i nastala je zbog praktičnih potreba ljudske aktivnosti (potreba za mjerenjem zemljišta, mjerenjem volumena različitih tijela, itd.).

Najjednostavniji geometrijski podaci i koncepti bili su poznati u starom Egiptu. Tokom ovog perioda, geometrijski iskazi su formulisani u obliku pravila datih bez dokaza.

Od 7. veka p.n.e e. do 1. veka nove ere e. geometrija kao nauka se brzo razvijala u staroj Grčkoj. U tom periodu nije samo došlo do akumulacije različitih geometrijskih informacija, već je razrađena i metodologija za dokazivanje geometrijskih tvrdnji, a učinjeni su i prvi pokušaji da se formulišu osnovne primarne odredbe (aksiome) geometrije, iz kojih su mnoge različite geometrijske tvrdnje. izjave su izvedene čisto logičkim rezonovanjem. Nivo razvoja geometrije u staroj Grčkoj ogleda se u djelu Euklidovih "Početaka".

U ovoj knjizi je po prvi put učinjen pokušaj da se da sistematska konstrukcija planimetrije na osnovu osnovnih nedefinisanih geometrijskih pojmova i aksioma (postulata).

Posebno mjesto u istoriji matematike zauzima peti Euklidov postulat (aksiom paralelnih pravih). Dugo su matematičari bezuspešno pokušavali da izvuku peti postulat iz ostalih Euklidovih postulata, a tek sredinom 19. veka, zahvaljujući studijama N. I. Lobačevskog, B. Rimana i J. Bojaija, postalo je jasno da peti postulat se ne može izvesti iz ostatka, a sistem aksioma, koji je predložio Euklid, nije jedini mogući.

Euklidovi "Elementi" imali su ogroman uticaj na razvoj matematike. Više od dvije hiljade godina ova knjiga nije bila samo udžbenik iz geometrije, već je služila i kao polazna tačka za mnoge matematičke studije, kao rezultat kojih su nastale nove samostalne grane matematike.

Sistematska konstrukcija geometrije obično se izvodi prema sljedećem planu:

I. Navedeni su glavni geometrijski pojmovi koji se uvode bez definicija.

II. Daje se formulacija aksioma geometrije.

III. Na osnovu aksioma i osnovnih geometrijskih pojmova formulišu se drugi geometrijski pojmovi i teoreme.

1. Poreklo naziva neeuklidska geometrija?
2. Koji se oblici nazivaju četvorouglovi?
3. Svojstva paralelograma?
4. Vrste četvorouglova?

Spisak korištenih izvora

1. A.G. Tsypkin. Priručnik iz matematike
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Obrazovni i trenažni materijali za pripremu studenata / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellekt-Centar, 2006.
3. Mazur K. I. "Rješavanje glavnih takmičarskih problema iz matematike zbirke koju je uredio M. I. Scanavi"

Rad na lekciji

Možete postaviti pitanje o modernom obrazovanju, izraziti ideju ili riješiti hitan problem na Obrazovni forum gdje se na međunarodnom nivou sastaje obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja. Nakon što je stvorio blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog nastavnika, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Udruženje vođa obrazovanja otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva vas na saradnju u pravcu stvaranja najboljih škola na svijetu.

popularno:

• Član 282. Poticanje mržnje ili neprijateljstva, kao i ponižavanje ljudskog dostojanstva
• Kalkulator poreza na imovinu preduzeća Kako izračunati porez na imovinu preduzeća Obrazac za obračun avansa je promenjen. Počevši od izvještaja za prvu polovicu 2017. godine, obračun poreza na imovinu […]
• Zakoni ekologije Za više od 100 godina sveobuhvatnog proučavanja populacija i zajednica, akumulirana je ogromna količina činjenica. Među njima - veliki broj, koji odražava slučajne ili nepravilne pojave i procese. Ali ne […]
• Opcije penzijskog osiguranja u sistemu obaveznog penzijskog osiguranja Do kraja 2015. godine građani rođeni 1967. godine i mlađi mogli su da biraju da li će nastaviti graditi penziju […]
• Naredba Ministarstva poljoprivrede 549 Registrovana u Ministarstvu pravde Ruske Federacije 5. marta 2009. godine N 13476 MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE RUSKOG FEDERACIJE od 16. decembra 2008. godine N 532 O ODOBRAVANJU KLASIFIKACIJE NA KLASIFIKACIJI HRANA I […]
• Povećanje penzija za djecu sa smetnjama u razvoju od 1. januara 2018. Penzijsko obezbjeđenje građana obaveza je države. To stoji u kodeksu zakona zemlje - u Ustavu. Među invalidima kojima je potrebno […]
• Pravilnik o internoj naredbi AD RŽD AD „RUSKE ŽELJEZNICE“ NAREDBA od 26. jula 2012. godine N 87 O ODOBRAVANJU PROPISA UNUTRAŠNJEG RADA REGIONALNE SLUŽBE (ODJELJENJE) RAZVOJA PUTNIČKIH I PUTNIČKIH […]
• Zakon 3 stupnja kontovskog pozitivizma kao filozofskog pokreta polazi od ideje da se najveći dio znanja o svijetu, čovjeku i društvu stiče u posebnim naukama, da "pozitivna" nauka treba da napusti pokušaje […]

Sa četiri ugla i četiri strane. Četvorougao formira zatvorena polilinija koja se sastoji od četiri karike i onog dijela ravni koji se nalazi unutar polilinije.

Oznaku četverokuta čine slova na njegovim vrhovima, koja ih imenuju po redu. Na primjer, kažu ili pišu: četverougao A B C D :

U četvorouglu A B C D bodova A, B, C i D- Ovo četvorougaoni vrhovi, segmenti AB, BC, CD i DA - strane.

Zovu se vrhovi koji pripadaju istoj strani susjedni, vrhovi koji nisu susjedni se nazivaju suprotno:

U četvorouglu A B C D vrhovi A i B, B i C, C i D, D i A su susjedni, a vrhovi A i C, B i D- suprotno. Uglovi koji leže na susjednim vrhovima nazivaju se i susjedni, a na suprotnim vrhovima - suprotni.

Stranice četverokuta također se mogu podijeliti u parovima na susjedne i suprotne stranice: stranice koje imaju zajednički vrh nazivaju se susjedni(ili povezani), stranice koje nemaju zajedničke vrhove - suprotno:

Zabave AB i BC, BC i CD, CD i DA, DA i AB su susjedne, i strane AB i DC, AD i BC- suprotno.

Ako su suprotni vrhovi povezani segmentom, tada će se takav segment pozvati dijagonala četvorougla. S obzirom da postoje samo dva para suprotnih vrhova u četverokutu, onda mogu postojati samo dvije dijagonale:

Segmenti AC i BD- dijagonale.

Razmotrite glavne vrste konveksnih četverokuta:

• Trapez- četverougao u kojem je jedan par suprotnih stranica međusobno paralelan, a drugi par nije paralelan.
  • Jednakokraki trapez- trapez čije su stranice jednake.
  • Pravokutni trapez Trapez sa jednim od pravih uglova.
• ParalelogramČetvorougao u kojem su oba para suprotnih stranica međusobno paralelna.
  • Pravougaonik Paralelogram u kojem su svi uglovi jednaki.
  • Rhombus Paralelogram sa svim stranama jednakim.
  • Square Paralelogram sa jednakim stranicama i uglovima. I pravougaonik i romb mogu biti kvadrat.

Svojstva ugla konveksnih četvorouglova

Svi konveksni četvorouglovi imaju sledeća dva svojstva:

1. Svaki unutrašnji ugao manji od 180°.
2. Zbir unutrašnjih uglova je 360°.

Tema lekcije

• Definicija četverougla.

Ciljevi lekcije

• Obrazovno – ponavljanje, generalizacija i provjera znanja na temu: „Četvorougao“; razvoj osnovnih vještina.
• Razvijanje – razvijati pažnju učenika, upornost, upornost, logičko mišljenje, matematički govor.
• Edukativni - kroz lekciju njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći, nezavisnosti.

Ciljevi lekcije

• Formirati vještine građenja četverokuta korištenjem skale i trokuta za crtanje.
• Provjerite sposobnost učenika da rješavaju probleme.

Plan lekcije

1. Istorijat. Neeuklidska geometrija.
2. Četvorougao.
3. Vrste četvorouglova.

Neeuklidska geometrija

Neeuklidska geometrija, geometrija slična geometriji Euklid po tome što definira kretanje figura, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njenih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Poricanje jednog od euklidskih postulata (1825) bilo je značajan događaj u istoriji misli, jer je poslužilo kao prvi korak ka teorija relativnosti.

Euklidov drugi postulat to kaže bilo koji segment se može produžiti beskonačno. Euklid je očito vjerovao da ovaj postulat sadrži i tvrdnju da prava linija ima beskonačnu dužinu. kako god u "eliptičnoj" geometriji svaka prava linija je konačna i, poput kruga, zatvorena.

Peti postulat kaže da ako prava siječe dvije date prave na takav način da su dva unutrašnja ugla na jednoj njenoj strani u zbroju manja od dva prava ugla, tada će se ove dvije prave, ako se produže beskonačno, sijeći na strani na kojoj zbir ovih uglova manji je od zbira dve prave. Ali u "hiperboličnoj" geometriji, može postojati prava CB (vidi sliku), okomita u tački C na datu pravu r i koja siječe drugu pravu s pod oštrim uglom u tački B, ali, ipak, beskonačne prave r i s se nikada neće ukrštati.

Iz ovih revidiranih postulata slijedi da je zbir uglova trougla, jednak 180° u euklidskoj geometriji, veći od 180° u eliptičnoj geometriji i manji od 180° u hiperboličnoj geometriji.

Četvorougao

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

Konveksni četvorougao je lik koji se sastoji od četiri strane koje su međusobno povezane na vrhovima, koje zajedno sa stranicama tvore četiri ugla, dok je sam četvorougao uvek u istoj ravni u odnosu na pravu liniju na kojoj leži jedna od njegovih stranica. Drugim riječima, cijela figura se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane.

U kontaktu sa

Kao što vidite, definiciju je prilično lako zapamtiti.

Osnovna svojstva i vrste

Gotovo sve nama poznate figure, koje se sastoje od četiri ugla i stranice, mogu se pripisati konveksnim četverokutima. Može se razlikovati sljedeće:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravougaonik;
4. trapez;
5. rhombus.

Sve ove figure objedinjuje ne samo činjenica da su četvorougaone, već i činjenica da su i konveksne. Samo pogledajte dijagram:

Na slici je prikazan konveksni trapez. Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravni ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapez konveksan.

Da li je paralelogram konveksan četvorougao?

Iznad je slika paralelograma. Kao što se vidi sa slike, paralelogram je takođe konveksan. Ako pogledate sliku s obzirom na prave na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je od ovih pravih uvijek u istoj ravni. Glavne karakteristike paralelograma su da su njegove stranice u paru paralelne i jednake na isti način kao što su suprotni uglovi međusobno jednaki.

Sada zamislite kvadrat ili pravougaonik. Po svojim glavnim svojstvima oni su i paralelogrami, odnosno sve su im stranice poređane u parove paralelno. Samo u slučaju pravougaonika dužine stranica mogu biti različite, a uglovi su pravi (jednaki 90 stepeni), kvadrat je pravougaonik u kome su sve stranice jednake i uglovi su takođe pravi, dok su dužine stranice i uglovi paralelograma mogu biti različiti.

Kao rezultat, zbir sva četiri ugla četverokuta mora biti jednak 360 stepeni. Najlakši način da se to odredi je pravougaonikom: sva četiri ugla pravougaonika su prava, odnosno jednaka 90 stepeni. Zbir ovih uglova od 90 stepeni daje 360 ​​stepeni, drugim rečima, ako dodate 90 stepeni 4 puta, dobijate željeni rezultat.

Svojstvo dijagonala konveksnog četvorougla

Dijagonale konveksnog četverokuta se sijeku. Zaista, ovaj fenomen se može promatrati vizualno, samo pogledajte sliku:

Slika lijevo prikazuje nekonveksni četverougao ili četverougao. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. Na desnoj strani je konveksan četverougao. Ovdje je već uočeno svojstvo dijagonala da se sijeku. Isto svojstvo se može smatrati znakom konveksnosti četvorougla.

Ostala svojstva i znaci konveksnosti četverougla

Naime, prema ovom pojmu, vrlo je teško imenovati bilo koja specifična svojstva i karakteristike. Lakše je izolovati prema različitim vrstama četvorouglova ovog tipa. Možete početi sa paralelogramom. Već znamo da je ovo četverokutna figura čije su stranice u paru paralelne i jednake. U isto vrijeme, ovdje je uključeno i svojstvo dijagonala paralelograma da se sijeku jedna s drugom, kao i znak konveksnosti same figure: paralelogram je uvijek u istoj ravni i na jednoj strani relativan na bilo koju njegovu stranu.

dakle, poznate su glavne karakteristike i svojstva:

1. zbir uglova četvorougla je 360 ​​stepeni;
2. dijagonale figura se sijeku u jednoj tački.

Pravougaonik. Ova figura ima ista svojstva i karakteristike kao i paralelogram, ali su svi njeni uglovi jednaki 90 stepeni. Otuda i naziv, pravougaonik.

Kvadrat, isti paralelogram, ali njegovi uglovi su pravi, kao pravougaonik. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnikom. Ali glavna karakteristika kvadrata, pored onih koje su već navedene, jeste da su sve četiri njegove strane jednake.

Trapez je veoma zanimljiva figura.. Ovo je također četverougao i također konveksan. U ovom članku, trapez je već razmatran na primjeru crteža. Jasno je da je i ona konveksna. Glavna razlika, i, shodno tome, znak trapeza je u tome što njegove strane ne mogu biti apsolutno jednake jedna drugoj po dužini, kao ni po vrijednostima uglova. U ovom slučaju, figura uvijek ostaje u istoj ravni u odnosu na bilo koju od pravih linija koje spajaju bilo koja dva njegova vrha duž segmenata koji čine figuru.

Romb je jednako zanimljiva figura. Djelomično se romb može smatrati kvadratom. Znak romba je činjenica da se njegove dijagonale ne samo da se sijeku, već i dijele uglove romba na pola, a same dijagonale se sijeku pod pravim uglom, odnosno okomite su. Ako su dužine stranica romba jednake, tada su i dijagonale podijeljene na pola na presjeku.

Deltoidi ili konveksni romboidi (rombusi) mogu imati različite dužine stranica. Ali istovremeno su i dalje očuvana i glavna svojstva i karakteristike samog romba i karakteristike i svojstva konveksnosti. To jest, možemo primijetiti da dijagonale dijele uglove i sijeku se pod pravim uglom.

Današnji zadatak je bio razmotriti i razumjeti šta su konveksni četverouglovi, šta su i njihova glavna svojstva i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbir uglova konveksnog četvorougla 360 stepeni. Obim figura, na primjer, jednak je zbiru dužina svih segmenata koji čine figuru. Formule za izračunavanje perimetra i površine četverokuta bit će obrađene u sljedećim člancima.

Vrste konveksnih četvorouglova