Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Zdravo dragi čitaoče!

Danas ćemo početi da učimo algoritme vezane za geometriju. Činjenica je da postoji mnogo olimpijskih problema u informatici vezanih za računsku geometriju, a rješavanje takvih problema često izaziva poteškoće.

U nekoliko lekcija razmotrićemo niz elementarnih podproblema na kojima se zasniva rešavanje većine problema računarske geometrije.

U ovoj lekciji ćemo napisati program za nalaženje jednačine prave linije prolazeći kroz dato dvije tačke. Za rješavanje geometrijskih problema potrebno nam je određeno znanje o računskoj geometriji. Deo lekcije posvetićemo njihovom upoznavanju.

Informacije iz računske geometrije

Računarska geometrija je grana računarske nauke koja proučava algoritme za rješavanje geometrijskih problema.

Početni podaci za takve probleme mogu biti skup tačaka na ravni, skup segmenata, poligon (dat, na primjer, listom njegovih vrhova u smjeru kazaljke na satu) itd.

Rezultat može biti ili odgovor na neko pitanje (kao što je da li tačka pripada segmentu, da li se dva segmenta seku, ...), ili neki geometrijski objekat (na primer, najmanji konveksni poligon koji povezuje date tačke, površina poligon, itd.).

Mi ćemo razmatrati probleme računske geometrije samo na ravni i samo u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Vektori i koordinate

Za primjenu metoda računske geometrije potrebno je geometrijske slike prevesti na jezik brojeva. Pretpostavljamo da je na ravni dat kartezijanski koordinatni sistem u kojem se smjer rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu naziva pozitivnim.

Sada geometrijski objekti dobijaju analitički izraz. Dakle, da biste postavili tačku, dovoljno je navesti njene koordinate: par brojeva (x; y). Segment se može specificirati specificiranjem koordinata njegovih krajeva, prava linija se može specificirati specificiranjem koordinata para njegovih tačaka.

Ali glavni alat za rješavanje problema bit će vektori. Podsjetiću vas, dakle, na neke podatke o njima.

Segment linije AB, što ima poentu ALI smatra se početkom (tačkom primjene) i tačkom AT- kraj se zove vektor AB i označavaju ili , ili podebljano mala slova, Na primjer a .

Da bismo označili dužinu vektora (odnosno, dužinu odgovarajućeg segmenta), koristićemo simbol modula (na primjer, ).

proizvoljan vektor će imati koordinate, jednake razlike odgovarajuće koordinate njegovog kraja i početka:

,

tačke ovde A i B imaju koordinate respektivno.

Za proračune ćemo koristiti koncept orijentisani ugao, odnosno ugao koji uzima u obzir relativni položaj vektora.

Orijentirani ugao između vektora a i b pozitivan ako je rotacija udaljena od vektora a na vektor b se radi u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) i negativno u drugom slučaju. Vidi sl.1a, sl.1b. Takođe se kaže da je par vektora a i b pozitivno (negativno) orijentisan.

Dakle, vrijednost orijentiranog ugla ovisi o redoslijedu nabrajanja vektora i može imati vrijednosti u intervalu .

Mnogi problemi računske geometrije koriste koncept vektorskih (košenih ili pseudoskalarnih) proizvoda vektora.

Vektorski proizvod vektora a i b je proizvod dužina ovih vektora i sinusa ugla između njih:

.

Vektorski proizvod vektora u koordinatama:

Izraz na desnoj strani je determinanta drugog reda:

Za razliku od definicije date u analitičkoj geometriji, ovo je skalar.

Znak unakrsnog proizvoda određuje položaj vektora jedan u odnosu na drugi:

a i b pozitivno orijentisan.

Ako je vrijednost , tada je par vektora a i b negativno orijentisan.

Unakrsni proizvod vektora koji nisu nula je nula ako i samo ako su kolinearni ( ). To znači da leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama.

Razmotrimo nekoliko jednostavnih zadataka potrebnih za rješavanje složenijih.

Definirajmo jednačinu prave po koordinatama dvije tačke.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije različite tačke date njihovim koordinatama.

Neka su na pravoj date dvije nepodudarne tačke: sa koordinatama (x1;y1) i sa koordinatama (x2; y2). Shodno tome, vektor sa početkom u tački i krajem u tački ima koordinate (x2-x1, y2-y1). Ako je P(x, y) proizvoljna tačka na našoj liniji, tada su koordinate vektora (x-x1, y - y1).

Uz pomoć unakrsnog proizvoda, uslov kolinearnosti vektora i može se napisati na sljedeći način:

One. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Posljednju jednačinu prepisujemo na sljedeći način:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Dakle, prava linija se može dati jednačinom oblika (1).

Zadatak 1. Date su koordinate dvije tačke. Pronađite njen prikaz u obliku ax + by + c = 0.

U ovoj lekciji smo se upoznali sa nekim informacijama iz računske geometrije. Riješili smo problem nalaženja jednačine prave po koordinatama dvije tačke.

U sledećoj lekciji ćemo napisati program za pronalaženje tačke preseka dve prave date našim jednačinama.

Neka su data dva boda M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Zapisujemo jednačinu prave u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od tačke M 2 pripada datoj pravoj, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (5): . Izražavajući odavde i zamenjujući je u jednačinu (5), dobijamo željenu jednačinu:

Ako a Ova jednačina se može prepisati u obliku koji se lakše pamti:

(6)

Primjer. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1.2) i M 2 (-2.3)

Odluka. . Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobijamo opštu jednačinu prave linije:

Ugao između dvije linije

Razmotrite dvije linije l 1 i l 2:

l 1: , , i

l 2: , ,

φ je ugao između njih (). Slika 4 pokazuje: .

Odavde , ili

Pomoću formule (7) može se odrediti jedan od uglova između linija. Drugi ugao je .

Primjer. Dvije prave su date jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. pronađite ugao između ovih linija.

Odluka. Iz jednačina se može vidjeti da je k 1 = 2, a k 2 =-3. zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7) nalazimo

. Dakle, ugao između ovih linija je .

Uslovi za paralelnost i okomitost dvije prave

Ako je ravno l 1 i l 2 onda su paralelne φ=0 i tgφ=0. iz formule (7) slijedi da , odakle k 2 \u003d k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvije prave je jednakost njihovih nagiba.

Ako je ravno l 1 i l 2 onda okomito φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Dakle, uslov da dvije prave budu okomite je da su njihovi nagibi recipročni po veličini i suprotni po predznaku.

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je dana tačka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Željena jednačina visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Udaljenost od tačke do prave određena je dužinom okomice spuštene od tačke do prave.

Ako je prava paralelna sa ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od tačke ALI na ravno h potrebno je ispustiti okomicu iz tačke ALI do horizontale h.

Razmotrite više složen primjer kada linija zauzme opšti položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od tačke M na ravno a opšti položaj.

Definicijski zadatak udaljenosti između paralelnih linija riješen slično kao i prethodni. Na jednoj pravoj se uzima tačka, a iz nje se povlači okomita na drugu pravu. Dužina okomice jednaka je udaljenosti između paralelnih linija.

Kriva drugog reda je prava definisana jednadžbom drugog stepena u odnosu na trenutne kartezijanske koordinate. U opštem slučaju, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Krug

Centar kruga- ovo je mjesto tačaka u ravni jednako udaljenoj od tačke ravni C (a, b).

Krug je dan sljedećom jednačinom:

Gdje su x, y koordinate proizvoljne tačke na kružnici, R je polumjer kružnice.

Znak jednačine kružnice

1. Ne postoji termin sa x, y

2. Koeficijenti na x 2 i y 2 su jednaki

Elipsa

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto tačaka u ravni, a zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni se naziva fokusima (konstantna vrijednost).

Kanonska jednadžba elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a je glavna poluosa elipse

b je mala poluosa elipse

Elipsa ima 2 ose simetrije OX i OY. Osi simetrije elipse su njene ose, tačka njihovog preseka je centar elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta naziva se fokusna osa. Tačka preseka elipse sa osama je vrh elipse.

Omjer kompresije (istezanja): ε = c/a- ekscentricitet (karakterizira oblik elipse), što je manji, to je elipsa manje produžena duž žižne ose.

Ako centri elipse nisu u centru S(α, β)

Hiperbola

Hiperbola koja se naziva lokus tačaka u ravni, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost različita od nule.

Kanonska jednadžba hiperbole

Hiperbola ima 2 ose simetrije:

a - realna poluosa simetrije

b - imaginarna poluosa simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

parabola je lokus tačaka u ravni jednako udaljenoj od date tačke F, koja se zove fokus, i date prave, koja se zove direktrisa.

Kanonička parabola jednadžba:

Y 2 \u003d 2px, gdje je p udaljenost od fokusa do direktrise (parabola parametar)

Ako je vrh parabole C (α, β), tada je jednadžba parabole (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Ako se fokusna os uzme kao y-osa, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 = 2qy

Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedan od najjednostavnijih geometrijskih oblika, poznat vam još od osnovne škole, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njom koristeći metode analitičke geometrije. Za savladavanje materijala potrebno je biti u stanju izgraditi ravnu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz ishodište i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za matan, ali se dio o linearnoj funkciji pokazao vrlo uspješnim i detaljnim. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, morate imati osnovno znanje o vektori inače će razumijevanje materijala biti nepotpuno.

U ovoj lekciji ćemo pogledati načine na koje možete napisati jednadžbu prave linije u ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako se čini vrlo jednostavnim), jer ću ih snabdjeti elementarnim i važne činjenice, tehničke metode koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge sekcije više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave sa nagibom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera po opštoj jednadžbi prave?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina linije sa nagibom

Poznati "školski" oblik jednačine prave se zove jednačina prave linije sa faktor nagiba . Na primjer, ako je ravna linija data jednadžbom, tada je njen nagib: . Razmislite geometrijskom smislu dati koeficijent i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

U toku geometrije se dokazuje da nagib prave je tangenta ugla između pozitivnog smjera osei data linija: , a ugao je „odvrnut“ u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove za samo dvije ravne linije. Uzmite u obzir "crvenu" pravu liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (ugao "alfa" je označen zelenim lukom). Za "plavu" liniju sa nagibom, jednakost je tačna (ugao "beta" je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i ugao koristeći inverznu funkciju - arc tangenta. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili kalkulator u ruci. dakle, nagib karakteriše stepen nagiba prave linije prema x-osi.

U ovom slučaju mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako je nagib negativan: , tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "grimizne" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: , tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri su "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib jednak nuli: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća prava je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" linija.

4) Za porodicu pravih linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), nagib ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći modul nagiba, to je linijski graf strmiji.

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Podsjećam da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija. .

Obrnuto: što je manji nagib po modulu, prava je ravna.

Za ravne linije nejednakost je tačna, dakle, prava linija je više od krošnje. Dječji tobogan, kako ne bi zasadili modrice i izbočine.

Zašto je ovo potrebno?

Produžite svoju muku Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri crtanju grafikona - ako je crtež ispao "jasno da nešto nije u redu". Poželjno je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, blizu ose i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Notacija: ravne linije su označene malim sa latiničnim slovima: . Popularna opcija je označavanje istog slova prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo razmatrali mogu se označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Zapis sasvim očigledno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo opustimo:

Kako napisati jednačinu prave sa nagibom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i nagib ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Sastavite jednačinu prave linije sa nagibom ako je poznato da tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Odluka: Jednačinu prave linije ćemo sastaviti prema formuli . U ovom slučaju:

Odgovori:

Ispitivanje izvedeno elementarno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na svom mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti datu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Zaključak: Jednačina pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer za "uradi sam" rješenje:

Primjer 2

Napišite jednadžbu prave ako je poznato da je njen nagibni ugao u odnosu na pozitivan smjer ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate problema, pročitajte ponovo teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, nedostaju mi ​​mnogi dokazi.

zvonio poslednji poziv, matura je zamrla, a ispred kapije matična školačekamo, zapravo, analitičku geometriju. Šale su gotove... Možda je tek počelo =)

Nostalgično mašemo ručkom poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Pošto je u analitičkoj geometriji u upotrebi upravo ovo:

Opća jednačina prave linije ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednaki nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i vežemo jednadžbu sa nagibom. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam sa "x" mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovo tehnička karakteristika! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednadžba prave linije će se skoro uvijek dati opšti oblik. Pa, ako je potrebno, lako ga je dovesti u "školski" oblik s nagibom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s y-osi).

Zapitajmo se šta dosta znate izgraditi pravu liniju? Dva poena. Ali o ovom slučaju iz djetinjstva kasnije, sada drži pravilo strelice. Svaka prava linija ima dobro definisan nagib, na koji se lako "prilagodi" vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave.. Očigledno, svaka prava linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi će biti kolinearni (ko-usmjereni ili ne - nije bitno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan da se napravi prava linija, vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor smjera?

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i usmjeravajući vektor ove prave, tada se jednačina ove prave može sastaviti po formuli:

Ponekad se zove kanonska jednadžba prave .

Šta raditi kada jedna od koordinata je nula, u nastavku ćemo pogledati praktične primjere. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti nula, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor smjera

Odluka: Jednačinu prave linije ćemo sastaviti prema formuli. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije, oslobađamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu do opšti pogled:

Odgovori:

Crtanje u takvim primjerima, u pravilu, nije potrebno, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se odložiti iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu liniju. Usput, u mnogim slučajevima, konstrukcija ravne linije najpogodnije se izvodi pomoću jednadžbe nagiba. Našu jednadžbu je lako pretvoriti u oblik i bez ikakvih problema pokupiti još jednu tačku za izgradnju prave linije.

Kao što je napomenuto na početku odjeljka, linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Sastavimo jednačinu prave linije sa tačkom i usmjeravajućim vektorom:

Rastavljanje proporcije:

Podijelite obje strane sa -2 i dobijete poznatu jednačinu:

Oni koji žele mogu na sličan način testirati vektore ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera po opštoj jednadžbi prave?

Veoma jednostavno:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave linije.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Naredba nam omogućava da pronađemo samo jedan vektor smjera iz beskonačnog skupa, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna sa osom, a koordinate rezultirajućeg vektora upravljanja se prikladno dijele sa -2, dobivajući upravo osnovni vektor kao upravljački vektor. Logično.

Slično, jednačina definira ravnu liniju paralelnu osi, a dijeleći koordinate vektora sa 5, dobijamo ort kao vektor smjera.

Sada izvršimo provjeriti primjer 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu napravili jednadžbu prave koristeći tačku i vektor smjera

Kao prvo, prema jednadžbi prave, vraćamo njen usmjeravajući vektor: - sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima može se pokazati da je kolinearan originalnom vektoru, a to je obično lako vidjeti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu . Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čime smo veoma zadovoljni.

Zaključak: Posao je ispravno završen.

Primjer 4

Napišite jednadžbu ravne linije kojoj je data tačka i vektor smjera

Ovo je "uradi sam" primjer. Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Vrlo je poželjno izvršiti provjeru prema upravo razmatranom algoritmu. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, vrlo je jednostavno učiniti:

Primjer 5

Odluka: Formula je nevažeća jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obliku , a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite vektor smjera prave linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačini:

Dobija se tačna jednakost

Zaključak: posao obavljen korektno

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će ionako funkcionirati? Dva su razloga. Prvo, frakciona formula mnogo bolje zapamtiti. I drugo, nedostatak univerzalne formule je to značajno povećan rizik od zabune prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor pravca.

Ovo je "uradi sam" primjer.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave date dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

Zapravo, ovo je neka vrsta formule, a evo i zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera ove prave. Na lekciji Vektori za lutke smatrali smo najjednostavniji zadatak– kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca:

Bilješka : točke se mogu "zamijeniti" i koristiti formulu . Takva odluka bi bila ravnopravna.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave iz dvije tačke .

Odluka: Koristite formulu:

Češljamo nazivnike:

I promiješaj špil:

Sada je vrijeme da se riješite razlomci brojeva. U ovom slučaju morate oba dijela pomnožiti sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje je očigledno - koordinate početnih tačaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Prava jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Prava jednakost.

Zaključak: jednadžba prave linije je tačna.

Ako a najmanje jedan bodova ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer izgraditi liniju i vidjeti pripadaju li joj tačke , nije tako lako.

Napomenut ću nekoliko tehničkih tačaka rješenja. Možda je u ovom problemu korisnije koristiti formulu ogledala i za iste tačke napravi jednačinu:

Ima manje razlomaka. Ako želite, možete dovršiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i vidjeti može li se dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako se dobije jednačina, onda je preporučljivo smanjiti je za dva: - jednačina će postaviti istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora međusobni raspored pravih linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam samo omogućiti da bolje razumijete i razradite tehniku ​​proračuna.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) nestaje, onda ga prepisujemo kao . I opet, primijetite kako je počela izgledati nespretno i zbunjeno. Ne vidim puno smisla davati praktične primjere, jer smo takav problem već riješili (vidi br. 5, 6).

Pravolinijski normalni vektor (normalni vektor)

šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno je da svaka prava linija ima beskonačan broj njih (kao i usmjeravajućih vektora), a svi normalni vektori prave će biti kolinearni (kodirekcionalni ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je prava linija data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako koordinate vektora smjera moraju biti pažljivo „izvučene“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Ortogonalnost ovih vektora ćemo provjeriti koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće napisati jednačinu prave, znajući jednu tačku i normalan vektor? Čini se da je moguće. Ako je normalni vektor poznat, tada je i pravac najravnije linije jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" sa uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako je poznata neka tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Takav je naš normalni vektor. Sviđa mi se. I postovanje =)

Primjer 9

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Odluka: Koristite formulu:

Dobija se opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednačine: - da, zaista, originalni vektor se dobija iz uslova (ili vektor treba da bude kolinearan originalnom vektoru).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava jednačinu:

Prava jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba tačna, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvlačimo vektor smjera prave linije:

Odgovori:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke sličan zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 10

Sastavite jednadžbu prave linije date tačku i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave linije.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važnim vrstama jednadžbi prave u ravni.

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave linije u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi se ne mogu predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član nula i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna "tehnička" vrsta jednačine. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednadžba prave linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave linije s koordinatnim osama, što je vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite tačku preseka prave sa osom. Resetujemo “y” i jednačina dobija oblik . Željena tačka dobijeno automatski: .

Isto i sa osovinom je tačka u kojoj prava seče y-osu.

Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru su jednačine koje definiraju pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku kolinearno do vektora smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. zadovoljavaju uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine ravno.

Brojevi m , n i str su projekcije vektora pravca na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n i str ne može biti nula u isto vrijeme. Ali jedan ili dva od njih mogu biti nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljena je sljedeća notacija:

,

što znači da su projekcije vektora na ose Oy i Oz jednaki su nuli. Dakle, i vektor i prava linija date kanonskim jednadžbama su okomiti na osi Oy i Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1 Sastaviti jednadžbe prave linije u prostoru okomitoj na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Odluka. Pronađite tačku preseka date ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednadžbi ravnine x=y= 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka date ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga vektor normale može poslužiti kao usmjeravajući vektor prave linije dati avion.

Sada pišemo željene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definirati sa dvije tačke koje leže na njoj i U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gore navedene jednačine definiraju pravu liniju koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2 Napišite jednadžbu prave linije u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Odluka. Zapisujemo željene jednačine prave u gore navedenom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se takođe nazivaju opšte jednačine prava linija u prostoru.

Primjer 3 Sastaviti kanonske jednadžbe prave linije u prostoru zadanom općim jednačinama

Odluka. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave linije ili, što je isto, jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj liniji. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz i xOz .

Tačka presjeka prave sa ravninom yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavivši u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željene linije. Pretpostavljajući tada u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Sada pišemo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,

Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba prave linije koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.

Budući da prava linija prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s y-osi. Njegova jednadžba je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba ravne linije može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna s x-osi.

Jednačina prave linije u segmentima

Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a; 0), a os Oy - u tački M 2 (0; b). Jednačina će imati oblik:
one.
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente ravna linija odsijeca na koordinatnoj osi.

Jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor

Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku Mo (x O; y o) okomito na dati vektor koji nije nula n = (A; B).

Uzmite proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj liniji i razmotrite vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .

Vektor n = (A; B) okomit na pravu naziva se normalan normalni vektor ove linije .

Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C \u003d -Ax o - Vu o - slobodni član. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave linije(vidi sl.2).

Sl.1 Sl.2

Kanonske jednadžbe prave linije

,

Gdje
su koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R centriran na tačku
:

Konkretno, ako se centar udjela poklapa sa ishodištem, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup tačaka u ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke i , koji se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox i čije je ishodište u sredini između žarišta ima oblik
G de a dužina glavne poluose; b je dužina male poluose (slika 2).