Izvod proizvoda dvije diferencibilne funkcije definiran je formulom. Formule za derivate. Zaštita ličnih podataka

With lektorski materijali na temu "derivat". Nivo osnovne škole.
Teorijske informacije za studente, nastavnike i nastavnike matematike. Da pomognem sa lekcijama.

definicija: derivacija funkcije u tački naziva se granica omjera prirasta funkcije i priraštaja varijable, tj.

Tabela izvoda osnovnih matematičkih funkcija:

Pravila za obračun derivata

Derivat sume bilo koja dva izraza jednaka je zbiru izvoda ovih izraza (izvod zbira je jednak zbiru izvoda)

Izvod razlike bilo koja dva izraza jednaka je razlici izvoda ovih pojmova (izvod razlike je jednak razlici izvoda).

Derivat proizvoda dva faktora jednaka je umnošku izvoda prvog faktora sa drugim plus proizvodom prvog faktora sa izvodom drugog (zbir izvoda faktora uzetih redom).
Komentar nastavnika matematike: kada učenika u kratkim frazama podsjetim na pravilo za izračunavanje derivacije proizvoda, kažem ovo: derivacija prvog faktora po drugom plusu razmjena moždanog udara!

Derivat količnika dva izraza jednak je količniku razlike naizmjenično uzetih izvoda faktora i kvadrata nazivnika.

Derivat proizvoda broja i funkcije. Da biste pronašli izvod proizvoda broja i literalnog izraza (funkcije), potrebno je da pomnožite ovaj broj sa derivacijom ovog literalnog izraza.

Derivat kompleksne funkcije:

Da biste izračunali derivaciju složene funkcije, morate pronaći derivaciju vanjske funkcije i pomnožiti je s izvodom unutrašnje funkcije.

Vaši komentari i povratne informacije na stranici sa izvedenicama:
Aleksandar S.
Stvarno mi je trebao sto. Jedan od najpopularnijih na internetu. Hvala puno na objasnjenjima i pravilima. Još barem jedan primjer njima i općenito bi bilo super. Hvala još jednom.

Kolpakov A.N., nastavnik matematike: ok, pokušat ću uskoro ažurirati stranicu primjerima.

Virtuelni matematički priručnik.
Kolpakov Aleksandar Nikolajevič, nastavnik matematike.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definiranih pravila diferencijacije. . Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona, po pravilu, postaju jasna nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dviju funkcija jednak je razlomku čiji je brojilac razlika umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, ova greška više ne pravi.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Dakle derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa stepenom i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi činioci su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za razlikovanje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojilac razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku, uzet sa predznakom minus u trenutnom primjeru:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Šta je derivaciona funkcija - to je glavni matematički koncept, na istom je nivou sa integralima, u analizi. Ova funkcija u određenoj tački daje karakteristiku brzine promjene funkcije u datoj tački.
Takvi koncepti kao što su diferencijacija i integracija, prvi označava akciju pronalaženja derivacije, drugi, naprotiv, obnavlja funkciju počevši od ovog izvoda.
Izračuni izvoda igraju važnu ulogu u diferencijalnim proračunima.
Za ilustrativni primjer, prikazat ćemo derivaciju na koordinatnoj ravni.

u funkciji y = f (x), fiksiramo tačke M u kojima (x0; f (X0)) i N f (x0 +? x) na svaku apscisu postoji prirast u obliku? x. Prirast je proces kada se apscisa mijenja, a zatim se mijenja i ordinata. Označeno kao?
Nađimo tangentu ugla u trouglu MPN koristeći tačke M i N za ovo.

tg? = NP/MP = ?y/?x.

Sa? x ide na 0. Presjecanje MN je sve bliže tangenti MT i kutu? hoće?. Dakle, tg? maksimalna vrijednost za tg ?.

tg? = lim od?x-0 tg ? = lim od?x-0 ?y/?x

Tabela izvedenica

Ako izgovorite formulaciju svakog derivativne formule. Tabela će se lakše zapamtiti.
1) Derivat konstantne vrijednosti je 0.
2) X sa potezom je jedan.
3) Ako postoji konstantan faktor, jednostavno uzimamo eo za izvod.
4) Da biste pronašli izvodnu snagu, potrebno je da pomnožite eksponent ovog stepena sa eksponentom sa istom bazom, u kojoj je eksponent 1 manji.
5) Pronalaženje korijena je ono podijeljeno sa 2 od ovih korijena.
6) Derivat jedinice podijeljen sa X jednak je jednoj podijeljen sa X na kvadrat, sa predznakom minus.
7) P sinus je kosinus
8) P kosinus je jednak sinusu sa predznakom minus.
9) P tangenta je jednaka jedinici podijeljenoj sa kvadratom kosinusa.
10) P kotangens je jednak jedan sa predznakom minus, podijeljen sa sinusom na kvadrat.

U razlikovanju postoje i pravila koja je također lakše naučiti izgovarajući ih naglas.

1) Vrlo jednostavno, broj članova je jednak njihovom zbiru.
2) Derivat u množenju jednak je množenju prve vrijednosti sa drugom, dodajući sebi množenje druge vrijednosti sa prvom.
3) Derivat pri dijeljenju jednak je množenju prve vrijednosti drugom, oduzimajući od sebe množenje druge vrijednosti prvom. Razlomak podijeljen s drugom vrijednošću na kvadrat.
4) Formulacija je poseban slučaj treće formule.

U ovoj lekciji nastavljamo da proučavamo izvode funkcija i prelazimo na složeniju temu, naime, na derivate proizvoda i količnika. Ako ste gledali prethodnu lekciju, vjerovatno ste shvatili da smo razmatrali samo najjednostavnije konstrukcije, naime, izvod funkcije stepena, zbrojeve i razlike. Konkretno, saznali smo da je derivacija zbira jednaka njihovom zbiru, a derivacija razlike jednaka njihovoj razlici. Nažalost, u slučaju izvoda kvocijenta i proizvoda, formule će biti mnogo komplikovanije. Počnimo s formulom za derivaciju proizvoda funkcija.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija

Za početak, dozvoliću sebi malu lirsku digresiju. Činjenica je da će pored standardne funkcije snage - $y=((x)^(n))$, u ovoj lekciji biti i druge funkcije, naime, $y=\sin x$, kao i $y =\ cos x$ i druga trigonometrija - $y=tgx$ i, naravno, $y=ctgx$.

Ako svi savršeno dobro znamo izvod funkcije stepena, naime $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, onda, kao za trigonometrijske funkcije se moraju posebno spomenuti. napišimo:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ali vi vrlo dobro znate ove formule, idemo dalje.

Šta je derivat proizvoda?

Prvo, najvažnija stvar: ako je funkcija proizvod dvije druge funkcije, na primjer, $f\cdot g$, tada će derivacija ove konstrukcije biti jednaka sljedećem izrazu:

Kao što vidite, ova formula je značajno drugačija i složenija od formula koje smo ranije razmatrali. Na primjer, derivacija sume se smatra elementarnom — $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ili derivat razlike, koji se takođe smatra elementarnim — $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Pokušajmo primijeniti prvu formulu za izračunavanje izvoda dviju funkcija koje su nam date u zadatku. Počnimo s prvim primjerom:

Očigledno, sljedeća konstrukcija djeluje kao proizvod, tačnije, kao faktor: $((x)^(3))$, možemo ga smatrati $f$, a $\left(x-5 \right)$ možemo smatrati kao $g$. Tada će njihov proizvod biti samo proizvod dvije funkcije. Odlučujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Pogledajmo pobliže svaki naš termin. Vidimo da i prvi i drugi član sadrže moć $x$: u prvom slučaju to je $((x)^(2))$, au drugom je $((x)^(3) )$. Uzmimo najmanji stepen iz zagrada, on će ostati u zagradi:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15) \\\end(poravnati)\]

Sve smo našli odgovor.

Vraćamo se našim zadacima i pokušavamo riješiti:

Pa hajde da prepišemo:

Opet, napominjemo da govorimo o proizvodu proizvoda dvije funkcije: $x$, koji se može označiti sa $f$, i $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, koji može biti označeno sa $g$.

Dakle, opet imamo proizvod dvije funkcije. Da bismo pronašli izvod funkcije $f\left(x \right)$, ponovo koristimo našu formulu. Dobijamo:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \desno))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Odgovor pronađen.

Zašto faktorizirati derivate?

Upravo smo koristili neke vrlo važne matematičke činjenice, koje same po sebi nisu vezane za derivate, ali bez njihovog znanja, svako dalje proučavanje ove teme jednostavno nema smisla.

Prvo, rješavajući prvi problem i već smo se riješili svih znakova izvedenica, iz nekog razloga smo počeli faktorizirati ovaj izraz.

Drugo, prilikom rješavanja sljedećeg zadatka, nekoliko puta smo prelazili iz korijena u stepen sa racionalnim eksponentom i obrnuto, koristeći formulu od 8. do 9. razreda, koju treba posebno ponoviti.

Što se tiče faktorizacije - zašto su nam potrebni svi ti dodatni napori i transformacije? U stvari, ako problem jednostavno kaže "pronađi derivaciju funkcije", onda ovi dodatni koraci nisu potrebni. Međutim, u stvarnim problemima koji vas očekuju na raznim ispitima i testovima, samo pronalaženje izvedenice često nije dovoljno. Činjenica je da je derivacija samo alat pomoću kojeg možete saznati, na primjer, povećanje ili smanjenje funkcije, a za to morate riješiti jednadžbu, faktorizirati je. I ovdje će ova tehnika biti vrlo prikladna. I općenito, s funkcijom razloženom na faktore, mnogo je zgodnije i ugodnije raditi u budućnosti ako su potrebne bilo kakve transformacije. Stoga, pravilo broj 1: ako se izvod može rastaviti na faktore, to je upravo ono što biste trebali učiniti. I odmah pravilo broj 2 (u stvari, ovo je gradivo od 8. do 9. razreda): ako se korijen pojavi u problemu n-ti stepen, štaviše, koren je očigledno veći od dva, tada se ovaj koren može zameniti običnim stepenom sa racionalnim eksponentom, a u eksponentu će se pojaviti razlomak, gde n- isti stepen - biće u nazivniku ovog razlomka.

Naravno, ako postoji neki stepen ispod korena (u našem slučaju, ovo je stepen k), onda ne ide nikuda, već se jednostavno pojavljuje u brojniku upravo ovog stepena.

A sada kada ste shvatili sve ovo, vratimo se na izvode proizvoda i izračunajte još nekoliko jednačina.

Ali prije nego što pređem direktno na proračune, želio bih se prisjetiti sljedećih obrazaca:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Razmotrimo prvi primjer:

Opet imamo proizvod dvije funkcije: prva je $f$, druga je $g$. Dozvolite mi da vas podsjetim na formulu:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Hajde da odlučimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]

Pređimo na drugu funkciju:

Opet, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija od $f$, $\cos x$ je funkcija od $g$. Ukupna derivacija proizvoda dvije funkcije bit će jednaka:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ lijevo(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(poravnati)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime))\]

Napišimo odvojeno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Ovaj izraz ne činimo faktorima, jer ovo još nije konačan odgovor. Sada moramo riješiti drugi dio. Hajde da to ispišemo:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

A sada se vraćamo na naš prvobitni zadatak i skupljamo sve u jednu strukturu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor.

Prijeđimo na posljednji primjer - on će biti najkompleksniji i najobimniji u smislu proračuna. Dakle primjer:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Računamo svaki dio posebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Vraćajući se na izvornu funkciju, izračunavamo njenu derivaciju u cjelini:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

To je, zapravo, sve što sam želeo da kažem o derivatima dela. Kao što vidite, glavni problem formule nije da je zapamtite, već da se dobije prilično velika količina proračuna. Ali to je u redu, jer sada prelazimo na derivaciju količnika, gdje moramo jako puno raditi.

Šta je derivat količnika?

Dakle, formula za izvod količnika. Možda je ovo najteža formula u tečaju školskih derivata. Pretpostavimo da imamo funkciju oblika $\frac(f)(g)$, gdje su $f$ i $g$ također funkcije koje također mogu biti nedovršene. Zatim će se izračunati prema sljedećoj formuli:

Brojnik nas nekako podsjeća na formulu za izvod proizvoda, međutim, između članova postoji znak minus, a nazivniku je dodan i kvadrat originalnog nazivnika. Pogledajmo kako ovo funkcionira u praksi:

Pokušajmo riješiti:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Predlažem da napišete svaki dio posebno i zapišete:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(poravnati)\]

Prepisujemo naš izraz:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\levo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\levo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\levo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor. Pređimo na drugu funkciju:

Sudeći po tome što mu je brojilac samo jedan, ovdje će proračuni biti malo jednostavniji. Pa da napišemo:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Izbrojimo svaki dio primjera posebno:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Prepisujemo naš izraz:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Našli smo odgovor. Kao što se i očekivalo, ispostavilo se da je količina proračuna znatno manja nego za prvu funkciju.

Koja je razlika između notacija?

Pažljivi učenici vjerovatno već imaju pitanje: zašto u nekim slučajevima funkciju označavamo kao $f\left(x \right)$, dok u drugim slučajevima samo pišemo $y$? Zapravo, sa stanovišta matematike, nema apsolutno nikakve razlike - imate pravo koristiti i prvu oznaku i drugu, a neće biti kazne za ispite i testove. Za one koje još zanima, objasniću zašto autori udžbenika i zadataka u nekim slučajevima pišu $f\left(x \right)$, a u drugim (mnogo češće) samo $y$. Stvar je u tome da pisanjem funkcije u obliku \ implicitno nagovještavamo onome ko će čitati naše proračune da je riječ o algebarskoj interpretaciji funkcionalne zavisnosti. To jest, postoji neka varijabla $x$, razmatramo zavisnost od ove varijable i označavamo je $f\left(x \right)$. U isto vrijeme, nakon što je vidio takvu oznaku, onaj koji će čitati vaše proračune, na primjer, verifikator, podsvjesno će očekivati ​​da ga u budućnosti čekaju samo algebarske transformacije - bez grafova i bez geometrije.

S druge strane, koristeći notaciju oblika \, odnosno označavajući promjenljivu jednim slovom, odmah stavljamo do znanja da nas u budućnosti zanima upravo geometrijska interpretacija funkcije, odnosno prvenstveno nas zanima. u svom grafikonu. Shodno tome, suočen sa zapisom u obliku \, čitalac ima pravo da očekuje grafičke proračune, odnosno grafikone, konstrukcije itd., ali ni u kom slučaju ne analitičke transformacije.

Takođe bih želeo da vam skrenem pažnju na jednu karakteristiku dizajna zadataka koje danas razmatramo. Mnogi studenti misle da dajem previše detaljne proračune, a mnoge od njih mogu se preskočiti ili jednostavno riješiti u glavi. Međutim, upravo tako detaljan zapis će vam omogućiti da se riješite uvredljivih grešaka i značajno povećate postotak ispravno riješenih problema, na primjer, u slučaju samopripreme za testove ili ispite. Stoga, ako još uvijek niste sigurni u svoje sposobnosti, ako tek počinjete proučavati ovu temu, nemojte žuriti - detaljno opišite svaki korak, zapišite svaki množitelj, svaki potez i vrlo brzo ćete naučiti kako riješiti takve primjere bolje od mnogih školskih nastavnika. Nadam se da je ovo razumljivo. Nabrojimo još nekoliko primjera.

Nekoliko zanimljivih izazova

Ovoga puta, kao što vidimo, trigonometrija je prisutna u sastavu izračunatih derivata. Dakle, da vas podsjetim na sljedeće:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naravno, ne možemo bez derivacije količnika, odnosno:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Razmotrimo prvu funkciju:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(poravnati)\]

Tako smo pronašli rješenje za ovaj izraz.

Pređimo na drugi primjer:

Očigledno je da će njen izvod biti složeniji samo zato što je trigonometrija prisutna i u brojniku i u nazivniku ove funkcije. Odlučujemo:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Imajte na umu da imamo derivat proizvoda. U ovom slučaju, to će biti jednako:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Vraćamo se našim proračunima. Zapisujemo:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \desno))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos )^(2))x) \\\end(poravnati)\]

To je sve! Brojali smo.

Kako svesti izvod količnika na jednostavnu formulu za izvod proizvoda?

I ovdje bih želio napraviti jednu vrlo važnu napomenu koja se tiče specifično trigonometrijskih funkcija. Poenta je da naša originalna konstrukcija sadrži izraz oblika $\frac(\sin x)(\cos x)$, koji se lako može zamijeniti samo sa $tgx$. Tako ćemo derivaciju kvocijenta svesti na jednostavniju formulu za izvod proizvoda. Izračunajmo ponovo ovaj primjer i uporedimo rezultate.

Dakle, sada moramo razmotriti sljedeće:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Prepišimo našu originalnu funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ imajući na umu ovu činjenicu. Dobijamo:

izbrojimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Sada, ako uporedimo rezultat sa onim što smo ranije dobili, kada smo računali na drugačiji način, onda ćemo se uveriti da smo dobili isti izraz. Dakle, bez obzira kojim putem idemo pri izračunavanju derivacije, ako je sve ispravno izračunato, onda će odgovor biti isti.

Važne nijanse u rješavanju problema

U zaključku, želio bih vam reći još jednu suptilnost koja se odnosi na izračunavanje derivata količnika. Ono što ću vam sada reći nije bilo u originalnom scenariju video tutorijala. Međutim, par sati prije snimanja, učio sam sa jednim svojim studentom i upravo smo rješavali temu o izvedenicama količnika. I, kako se ispostavilo, mnogi studenti ne razumiju ovu poentu. Dakle, recimo da trebamo izbrojati unprime sljedeće funkcije:

U principu, na prvi pogled u njemu nema ničeg natprirodnog. Međutim, u procesu kalkulacije možemo napraviti mnogo glupih i uvredljivih grešaka, koje bih sada želeo da analiziram.

Dakle, smatramo ovaj derivat. Prije svega, imajte na umu da imamo pojam $3((x)^(2))$, pa je prikladno podsjetiti se na sljedeću formulu:

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Osim toga, imamo pojam $\frac(48)(x)$ — bavit ćemo se njime kroz derivaciju količnika, naime:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Pa da odlučimo:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Sa prvim mandatom nema problema, pogledajte:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ali sa prvim članom, $\frac(48)(x)$, morate raditi odvojeno. Činjenica je da mnogi studenti brkaju situaciju kada treba pronaći $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kada treba pronaći $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. To jest, oni se zbune kada je konstanta u nazivniku i kada je konstanta u brojniku, respektivno, kada je varijabla u brojniku ili u nazivniku.

Počnimo s prvom opcijom:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

S druge strane, ako pokušamo da uradimo isto sa drugim razlomkom, dobićemo sledeće:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Međutim, isti primjer bi se mogao izračunati drugačije: u fazi u kojoj smo prešli na izvod količnika, možemo smatrati $\frac(1)(x)$ kao potenciju sa negativnim eksponentom, tj. dobijamo sljedeće :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \desno))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

I tako, i tako dobili smo isti odgovor.

Tako smo se još jednom uvjerili u dvije važne činjenice. Prvo, isti izvod se može izračunati na potpuno različite načine. Na primjer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ se može smatrati i kao izvod količnika i kao izvod funkcije stepena. Štaviše, ako se svi proračuni izvode ispravno, onda će odgovor uvijek biti isti. Drugo, kada se računaju derivati ​​koji sadrže i varijablu i konstantu, fundamentalno je važno gdje se varijabla nalazi - u brojniku ili u nazivniku. U prvom slučaju, kada je varijabla u brojniku, dobijamo jednostavnu linearnu funkciju koja jednostavno broji. A ako je varijabla u nazivniku, onda dobijamo složeniji izraz s prethodno datim popratnim proračunima.

Ova lekcija se može smatrati završenom, pa ako ne razumijete nešto o izvedenicama privatnog ili proizvoda, i zaista, ako imate bilo kakvih pitanja na ovu temu, ne oklijevajte - posjetite moju web stranicu, pišite, nazovite, a ja svakako ću probati mogu li ti pomoći.

Sami derivati ​​nisu nimalo teška tema, ali veoma obimna, a ono što sada proučavamo koristiće se u budućnosti pri rješavanju složenijih problema. Zato je bolje odmah, odmah, identifikovati sve nesporazume vezane za izračunavanje derivata količnika ili proizvoda. Ne kada su ogromna gruda nesporazuma, već kada su mala teniska loptica s kojom je lako izaći na kraj.