Sinus je pozitivan. trigonometrijski krug. Osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija
Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... i sada se nastavljaju rasprave, kako bi se došlo do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa naučna zajednica do sada to nije bilo moguće ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi bili su uključeni u proučavanje problematike; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.
Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.
Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks savladava se vrlo jednostavno - dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela počiva na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Na šta želim da se fokusiram Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Vrlo dobro su razlike između skupa i multiseta opisane na Wikipediji. Gledamo.
Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Slična logika apsurda živa bića nikad ne razumem. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, na kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Koliko god se matematičari krili iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi grčevito da se prisjeća fizike: različite kovanice dostupan različit iznos prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...
A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Ja ću vam pokazati, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. OD veliki broj 12345 Ne želim da se zavaravam, uzmite u obzir broj 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.
Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje sa različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih uporedim, onda to nema veze sa matematikom.
Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.
Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "kakalac" ili broj "dvadeset i šest". heksadecimalni sistem obračun. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
Omogućava vam da uspostavite niz karakterističnih rezultata - svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. U ovom članku ćemo pogledati tri glavna svojstva. Prvi od njih označava predznake sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla α, u zavisnosti od toga koja je koordinatna četvrt ugla α. Zatim, razmatramo svojstvo periodičnosti, koje uspostavlja nepromjenjivost vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla α kada se ovaj kut promijeni za cijeli broj okretaja. Treće svojstvo izražava odnos između vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova α i −α.
Ako vas zanimaju svojstva funkcija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, onda ih možete proučavati u odgovarajućem odjeljku članka.
Navigacija po stranici.
Znakovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u četvrtinama
Ispod ovog paragrafa nalazi se izraz "ugao I, II, III i IV koordinatne četvrti". Hajde da objasnimo šta su ovi uglovi.
Uzmimo jediničnu kružnicu, označimo na njoj početnu tačku A(1, 0) i zarotirajmo je oko tačke O za ugao α, dok pretpostavljamo da dolazimo do tačke A 1 (x, y) .
Kažu to ugao α je ugao I , II , III , IV koordinatne četvrti ako tačka A 1 leži u I, II, III, IV kvartalu; ako je ugao α takav da tačka A 1 leži na bilo kojoj od koordinatnih linija Ox ili Oy , tada ovaj ugao ne pripada nijednoj od četiri četvrtine.
Radi jasnoće predstavljamo grafičku ilustraciju. Donji crteži prikazuju uglove rotacije od 30, -210, 585 i -45 stepeni, što su uglovi I, II, III i IV koordinatnih četvrtina, respektivno.
uglovi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … stepeni ne pripadaju nijednoj od koordinatnih četvrtina.
Sada shvatimo koji znakovi imaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa kuta rotacije α, ovisno o tome koja je četvrtina kuta α.
Za sinus i kosinus, ovo je lako učiniti.
Po definiciji, sinus ugla α je ordinata tačke A 1 . Očigledno je da je u I i II koordinatnoj četvrti pozitivan, au III i IV kvartalu negativan. Dakle, sinus ugla α ima predznak plus u I i II četvrtini, a znak minus u III i VI četvrti.
Zauzvrat, kosinus ugla α je apscisa tačke A 1 . U I i IV kvartalu je pozitivan, au II i III kvartalu negativan. Dakle, vrijednosti kosinusa ugla α u I i IV četvrtini su pozitivne, a u II i III kvartalu negativne.
Da biste odredili znakove po četvrtinama tangente i kotangensa, morate zapamtiti njihove definicije: tangenta je omjer ordinate točke A 1 prema apscisi, a kotangens je omjer apscise točke A 1 prema ordinati. Onda od pravila podjele brojeva sa istim i različitim predznacima, proizlazi da tangenta i kotangens imaju predznak plus kada su znak apscise i ordinate tačke A 1 isti, a minus kada su znak apscise i ordinate tačke A 1 različit. Dakle, tangenta i kotangens ugla imaju znak + u I i III koordinatnoj četvrti, a minus u II i IV četvrtini.
Zaista, na primjer, u prvoj četvrtini su i apscisa x i ordinata y tačke A 1 pozitivne, tada su i količnik x/y i količnik y/x pozitivni, dakle, tangenta i kotangens imaju predznake + . A u drugoj četvrtini apscise, x je negativan, a ordinata y pozitivna, pa su i x / y i y / x negativni, pa tangenta i kotangens imaju predznak minus.
Pređimo na sljedeće svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.
Svojstvo periodičnosti
Sada ćemo analizirati, možda, najočiglednije svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla. Sastoji se u sljedećem: kada se kut promijeni za cijeli broj punih okretaja, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovog ugla se ne mijenjaju.
To je razumljivo: kada se kut promijeni za cijeli broj okretaja, uvijek ćemo doći od početne tačke A do tačke A 1 na jediničnom krugu, dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ostaju nepromijenjen, budući da su koordinate tačke A 1 nepromijenjene.
Koristeći formule, razmatrana svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa mogu se zapisati na sljedeći način: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , gde je α ugao rotacije u radijanima, z je bilo koji, čija apsolutna vrednost označava broj punih obrtaja za koje se menja ugao α i znak broj z označava smjer skretanja.
Ako je ugao rotacije α dat u stepenima, onda će se ove formule prepisati kao sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .
Navedimo primjere korištenja ovog svojstva. Na primjer, 
, jer 
, a 
. Evo još jednog primjera: ili .
Ovo svojstvo, zajedno sa formulama redukcije, vrlo se često koristi pri izračunavanju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa "velikih" uglova.
Razmatrana osobina sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa se ponekad naziva svojstvom periodičnosti.
Svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova
Neka je A 1 tačka dobijena kao rezultat rotacije početne tačke A(1, 0) oko tačke O za ugao α , a tačka A 2 je rezultat rotacije tačke A za ugao −α suprotno od ugla α .
Svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova zasniva se na prilično očiglednoj činjenici: gore pomenute tačke A 1 i A 2 ili se poklapaju (at) ili se nalaze simetrično oko ose Ox. Odnosno, ako tačka A 1 ima koordinate (x, y) , tada će tačka A 2 imati koordinate (x, −y). Odavde, prema definicijama sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, zapisujemo jednakosti i.
Upoređujući ih, dolazimo do odnosa između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova α i −α oblika .
Ovo je razmatrano svojstvo u obliku formula.
Navedimo primjere korištenja ovog svojstva. Na primjer, jednakosti i 
.
Ostaje samo napomenuti da se svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova, kao i prethodno svojstvo, često koristi pri izračunavanju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa i omogućava vam da se potpuno izvučete iz negativnih uglova.
Bibliografija.
- algebra: Proc. za 9 ćelija. avg. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjeta, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosvjeta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
Diverse. Neki od njih govore o tome u kojim je četvrtima kosinus pozitivan i negativan, u kojim četvrtima je sinus pozitivan i negativan. Ispada da je sve jednostavno ako znate kako izračunati vrijednost ovih funkcija u različitim kutovima i upoznati ste s principom crtanja funkcija na grafu.
Koje su vrijednosti kosinusa
Ako uzmemo u obzir onda imamo sljedeći omjer stranica koji ga određuje: kosinus ugla a je omjer susjednog kraka BC prema hipotenuzi AB (slika 1): cos a= BC/AB.
Koristeći isti trokut, možete pronaći sinus ugla, tangentu i kotangens. Sinus će biti omjer suprotnog ugla kraka AC i hipotenuze AB. Tangent ugla se nalazi ako se sinus željenog ugla podijeli sa kosinusom istog ugla; zamjenom odgovarajućih formula za pronalaženje sinusa i kosinusa, dobivamo da je tg a\u003d AC / BC. Kotangens, kao funkcija inverzna tangenti, naći će se ovako: ctg a= BC/AC.
Odnosno, za iste vrijednosti ugla, utvrđeno je da je u pravokutnom trokutu omjer stranica uvijek isti. Čini se da je postalo jasno odakle ove vrijednosti dolaze, ali zašto se dobivaju negativni brojevi?
Da biste to učinili, morate uzeti u obzir trokut u kartezijanskom koordinatnom sistemu, gdje postoje i pozitivne i negativne vrijednosti.
Jasno o kvartovima, gdje je koji
Šta su kartezijanske koordinate? Ako govorimo o dvodimenzionalnom prostoru, imamo dvije usmjerene prave koje se sijeku u tački O - to je osa apscise (Ox) i osa ordinata (Oy). Iz tačke O u pravcu prave su pozitivni brojevi i in poleđina- negativan. U konačnici, od toga direktno ovisi u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, a u kojim je negativan.
Prva četvrtina
Ako se postavi pravougaonog trougla u prvom tromjesečju (od 0 o do 90 o), gdje su x i y ose pozitivne vrijednosti(segmenti AO i VO leže na osama gdje vrijednosti imaju predznak "+"), tada će i sinus i kosinus također imati pozitivne vrijednosti, a njima se dodjeljuje vrijednost sa predznakom plus. Ali šta se dešava ako pomerite trougao na drugu četvrtinu (sa 90 o na 180 o)?
Druga četvrtina
Vidimo da je duž y-ose primljena AO noga negativno značenje. Kosinus ugla a sada ima ovu stranu u odnosu na minus, te stoga njegova konačna vrijednost postaje negativna. Ispostavilo se da u kojoj je četvrtini kosinus pozitivan zavisi od položaja trougla u Dekartovom koordinatnom sistemu. I u ovom slučaju, kosinus ugla dobiva negativnu vrijednost. Ali za sinus se ništa nije promijenilo, jer za određivanje njegovog predznaka potrebna je strana OB-a, koja je u ovom slučaju ostala sa znakom plus. Hajde da sumiramo prva dva kvartala.
Da bismo saznali u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, a u kojem negativan (kao i sinus i druge trigonometrijske funkcije), potrebno je pogledati koji je znak dodijeljen jednoj ili drugoj nozi. Za kosinus ugla a važna je AO noga, za sinus - OB.
Prvi kvartal je do sada postao jedini koji daje odgovor na pitanje: „U kojim kvartalima je istovremeno pozitivan sinus i kosinus?“. Pogledajmo dalje da li će biti više podudarnosti u predznaku ove dvije funkcije.
U drugoj četvrtini AO krak je počeo da ima negativnu vrednost, što znači da je kosinus postao negativan. Pozitivna vrijednost je pohranjena za sinus.
treća četvrtina
Sada su obje noge AO i OB postale negativne. Prisjetite se omjera za kosinus i sinus:
Cos a \u003d AO / AB;
Sin a \u003d BO / AB.
AB uvijek ima pozitivan predznak u datom koordinatnom sistemu, jer nije usmjeren ni na jednu od dvije strane definirane osama. No noge su postale negativne, što znači da je rezultat za obje funkcije također negativan, jer ako izvodite operacije množenja ili dijeljenja s brojevima, među kojima jedan i samo jedan ima predznak minus, onda će i rezultat biti s ovim predznakom .
Ishod u ovoj fazi:
1) U kojoj je četvrtini kosinus pozitivan? U prvom od tri.
2) U kojoj četvrtini je sinus pozitivan? U prvom i drugom od tri.
Četvrta četvrtina (od 270 o do 360 o)
Ovdje AO krak ponovo dobija znak plus, a time i kosinus.
Za sinus je i dalje "negativno", jer je noga OB ostala ispod početne tačke O.
zaključci
Da biste razumjeli u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, negativan itd., morate zapamtiti omjer za izračunavanje kosinusa: noga koja se nalazi uz kut, podijeljena hipotenuzom. Neki nastavnici predlažu da zapamtite ovo: k (osine) = (k) ugao. Ako se sjetite ove "prevare", onda automatski razumijete da je sinus omjer suprotnosti ugla noge i hipotenuze.
Prisjetiti se u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, a koji negativan prilično je teško. Postoji mnogo trigonometrijskih funkcija i sve imaju svoje vrijednosti. Ali ipak, kao rezultat: pozitivne vrijednosti za sinus - 1, 2 četvrtine (od 0 o do 180 o); za kosinus 1, 4 četvrtine (od 0 o do 90 o i od 270 o do 360 o). U preostalim kvartalima funkcije imaju vrijednosti sa minusom.
Možda će nekome biti lakše zapamtiti gdje je koji znak, prema slici funkcije.
Za sinus se može vidjeti da je od nule do 180 o vrh iznad linije vrijednosti sin (x), što znači da je funkcija ovdje pozitivna. Za kosinus je isto: u kojoj četvrti je kosinus pozitivan (slika 7), a u kojem negativan, vidi se pomicanjem linije iznad i ispod cos (x) ose. Kao rezultat toga, možemo zapamtiti dva načina za određivanje predznaka sinusne, kosinusne funkcije:
1. U zamišljenoj kružnici poluprečnika jednak jedan (iako, zapravo, nije važno koliki je poluprečnik kruga, ali u udžbenicima se najčešće navodi ovaj primjer; to ga čini lakšim za percepciju, ali na u isto vrijeme, ako ne navedete da to nije bitno, djeca se mogu zbuniti).
2. Prema slici zavisnosti funkcije na (x) od samog argumenta x, kao na posljednjoj slici.
Koristeći prvu metodu, možete RAZUMIJETI o čemu točno ovisi znak, a mi smo to detaljno objasnili gore. Slika 7, izgrađena na ovim podacima, vizualizira rezultujuću funkciju i njeno članstvo u znaku na najbolji mogući način.
Ovaj članak će pokriti tri glavna svojstva trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangent i kotangens.
Prvo svojstvo je znak funkcije, ovisno o tome kojoj četvrtini jedinične kružnice pripada ugao α. Drugo svojstvo je periodičnost. Prema ovom svojstvu, tigonometrijska funkcija ne mijenja svoju vrijednost kada se kut promijeni za cijeli broj okretaja. Treće svojstvo određuje kako se mijenjaju vrijednosti funkcija sin, cos, tg, ctg pod suprotnim uglovima α i - α.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Često u matematičkom tekstu ili u kontekstu problema možete pronaći izraz: "ugao prve, druge, treće ili četvrte koordinatne četvrtine". Šta je to?
Pogledajmo jedinični krug. Podijeljen je na četiri četvrtine. Na kružnici označimo početnu tačku A 0 (1, 0) i okrećući je oko tačke O za ugao α dolazimo do tačke A 1 (x, y) . U zavisnosti od toga u kojoj će četvrtini ležati tačka A 1 (x, y), ugao α će se zvati ugao prvog, drugog, trećeg i četvrtog kvadranta, respektivno.
Radi jasnoće dajemo ilustraciju.
Ugao α = 30° leži u prvom kvadrantu. Ugao - 210° je drugi četvrtinski ugao. Ugao 585° je ugao treće četvrtine. Ugao - 45° je ugao četvrte četvrtine.
U ovom slučaju, uglovi ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° ne pripadaju nijednoj četvrti, jer leže na koordinatnim osa.
Sada razmotrite znakove koji uzimaju sinus, kosinus, tangentu i kotangens, ovisno o tome u kojoj četvrtini leži kut.
Da biste odredili znakove sinusa u četvrtinama, prisjetite se definicije. Sinus je ordinata tačke A 1 (x , y) . Slika pokazuje da je u prvom i drugom tromjesečju pozitivan, au trećem i četverostrukom negativan.
Kosinus je apscisa tačke A 1 (x, y) . U skladu s tim određujemo znakove kosinusa na krugu. Kosinus je pozitivan u prvoj i četvrtoj četvrtini, a negativan u drugoj i trećoj četvrtini.
Da bismo odredili predznake tangente i kotangensa po četvrtinama, prisjetimo se i definicija ovih trigonometrijskih funkcija. Tangenta - omjer ordinate tačke i apscise. To znači da će prema pravilu za dijeljenje brojeva sa različitim predznacima, kada ordinata i apscisa imaju iste predznake, predznak tangente na kružnicu će biti pozitivan, a kada ordinata i apscisa imaju različiti znakovi- negativan. Slično se određuju predznaci kotangensa u četvrtinama.
Važno je zapamtiti!
- Sinus ugla α ima znak plus u 1. i 2. četvrtini, znak minus u 3. i 4. četvrtini.
- Kosinus ugla α ima znak plus u 1. i 4. četvrtini, znak minus u 2. i 3. četvrtini.
- Tangenta ugla α ima znak plus u 1. i 3. četvrtini, znak minus u 2. i 4. četvrtini.
- Kotangens ugla α ima predznak plus u 1. i 3. četvrtini, znak minus u 2. i 4. četvrtini.
Svojstvo periodičnosti
Svojstvo periodičnosti jedno je od najočitijih svojstava trigonometrijskih funkcija.
Svojstvo periodičnosti
Kada se kut promijeni za cijeli broj punih okretaja, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa zadanog kuta ostaju nepromijenjene.
Zaista, kada promijenimo ugao za cijeli broj okretaja, uvijek ćemo doći od početne tačke A na jediničnom krugu do tačke A 1 sa istim koordinatama. U skladu s tim, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa se neće promijeniti.
Matematički datoj imovini je napisano ovako:
sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α
Koja je praktična primjena ovog svojstva? Svojstvo periodičnosti, kao i formule redukcije, često se koristi za izračunavanje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa velikih uglova.
Navedimo primjere.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)
Pogledajmo ponovo jedinični krug.
Tačka A 1 (x, y) je rezultat okretanja početne tačke A 0 (1, 0) oko centra kružnice za ugao α. Tačka A 2 (x, - y) je rezultat okretanja početne tačke za ugao - α.
Tačke A 1 i A 2 su simetrične oko x-ose. U slučaju kada je α = 0°, ±180°, ±360° tačke A 1 i A 2 se poklapaju. Neka jedna tačka ima koordinate (x, y), a druga - (x, - y) . Prisjetite se definicija sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa i napišite:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
To podrazumijeva svojstva sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova.
Svojstvo sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa suprotnih uglova
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Prema ovom svojstvu, jednakosti
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Razmatrana osobina se često koristi u rješavanju praktičnih problema u slučajevima kada je potrebno riješiti se negativnih predznaka uglova u argumentima trigonometrijskih funkcija.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Brojanje uglova na trigonometrijskom krugu.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Gotovo je isto kao u prethodnoj lekciji. Tu su sjekire, krug, ugao, sve je chin-kina. Dodati brojevi četvrtina (u uglovima velikog kvadrata) - od prve do četvrte. I onda odjednom ko ne zna? Kao što vidite, četvrtine (takođe se zovu prelepa reč"kvadranti") su numerisani prema potezu u smjeru kazaljke na satu. Dodane vrijednosti uglova na osovinama. Sve je jasno, bez preterivanja.
I dodao zelenu strelicu. Sa plusom. Šta ona znači? Da vas podsjetim da je fiksna strana ugla uvijek prikovan na pozitivnu osu OH. Dakle, ako okrenemo pokretnu stranu ugla plus strelica, tj. u rastućim četvrtinskim brojevima, ugao će se smatrati pozitivnim. Na primjer, slika pokazuje pozitivan ugao od +60°.
Ako odložimo uglove u suprotnom smjeru, u smjeru kazaljke na satu, ugao će se smatrati negativnim. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu), videćete plavu strelicu sa minusom. Ovo je smjer negativnog očitavanja uglova. Kao primjer je prikazan negativan ugao (-60°). A vidjet ćete i kako su se brojevi na osama promijenili... Preveo sam ih i u negativne uglove. Numeracija kvadranata se ne mijenja.
Tu obično počinju prvi nesporazumi. Kako to!? A ako se negativni ugao na kružnici poklopi sa pozitivnim!? I općenito, ispada da se isti položaj pomične strane (ili točke na brojevnoj kružnici) može nazvati i negativnim i pozitivnim kutom!?
Da. Upravo. Recimo da pozitivni ugao od 90 stepeni uzima krug upravo isto položaj kao negativan ugao od minus 270 stepeni. Pozitivan ugao, na primjer +110° stepeni, uzima upravo isto pozicija kao negativni ugao je -250°.
Nema problema. Sve je ispravno.) Izbor pozitivnog ili negativnog izračuna ugla zavisi od uslova zadatka. Ako stanje ne govori ništa običan tekst o znaku ugla, (kao "odredi najmanji pozitivno ugao", itd.), tada radimo sa vrijednostima koje su nam zgodne.
Izuzetak (a kako bez njih?!) su trigonometrijske nejednakosti, ali tamo ćemo savladati ovaj trik.
A sada jedno pitanje za vas. Kako da znam da je položaj ugla od 110° isti kao položaj ugla -250°?
Nagovještavam da je to zbog punog prometa. U 360°... Nije jasno? Zatim crtamo krug. Crtamo na papiru. Označavanje ugla o 110°. I vjerovati koliko je ostalo do punog okreta. Ostalo je samo 250°...
Jasno? A sada - pažnja! Ako uglovi 110° i -250° zauzimaju krug isto
pozicija, šta onda? Da, činjenica da su uglovi 110° i -250° upravo isto
sinus, kosinus, tangent i kotangens!
One. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) i tako dalje. Sada je ovo zaista važno! I samo po sebi - postoji mnogo zadataka u kojima je potrebno pojednostaviti izraze i kao osnova za kasniji razvoj redukcijskih formula i drugih zamršenosti trigonometrije.
Naravno, uzeo sam 110° i -250° nasumično, čisto na primjer. Sve ove jednakosti rade za sve uglove koji zauzimaju istu poziciju na kružnici. 60° i -300°, -75° i 285° i tako dalje. Odmah napominjem da su uglovi u ovim parovima - razne. Ali oni imaju trigonometrijske funkcije - isto.
Mislim da razumete šta su negativni uglovi. Vrlo je jednostavno. U smjeru suprotnom od kazaljke na satu je pozitivan broj. Usput je negativan. Smatrajte ugao pozitivnim ili negativnim zavisi od nas. Iz naše želje. Pa, i više od zadatka, naravno... Nadam se da razumijete kako se kretati u trigonometrijskim funkcijama iz negativnih u pozitivne kutove i obrnuto. Nacrtajte krug, približni ugao i vidite koliko nedostaje prije punog okreta, tj. do 360°.
Uglovi veći od 360°.
Pozabavimo se uglovima koji su veći od 360°. I takve stvari se dešavaju? Ima ih, naravno. Kako ih nacrtati u krug? Nije problem! Pretpostavimo da trebamo razumjeti u kojoj će četvrtini pasti ugao od 1000 °? Lako! Napravimo jedan puni okret u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (ugao nam je dat pozitivan!). Premotavanje unazad 360°. Pa, idemo dalje! Još jedan okret - već je ispalo 720 °. Koliko je ostalo? 280°. Nije dovoljno za puni okret... Ali ugao je veći od 270° - a ovo je granica između treće i četvrte četvrtine. Dakle, naš ugao od 1000° pada u četvrtu četvrtinu. Sve.
Kao što vidite, prilično je jednostavno. Da vas još jednom podsjetim da su ugao od 1000° i ugao od 280°, koji smo dobili odbacivanjem "dodatnih" punih zavoja, strogo govoreći, razne uglovi. Ali trigonometrijske funkcije ovih uglova upravo isto! One. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° itd. Da sam sinus, ne bih primetio razliku između ova dva ugla...
Zašto je sve ovo potrebno? Zašto moramo prevoditi uglove iz jednog u drugi? Da, sve za isto.) Da bismo pojednostavili izraze. Pojednostavljenje izraza je, zapravo, glavni zadatak školske matematike. Pa, usput, glava trenira.)
Pa, hoćemo li vježbati?)
Odgovaramo na pitanja. U početku jednostavno.
1. U koju četvrtinu pada ugao -325°?
2. U koju četvrtinu pada ugao od 3000°?
3. U kojoj četvrtini pada ugao -3000°?
Postoji problem? Ili nesigurnost? Idemo na odjeljak 555, Praktični rad s trigonometrijskim krugom. Tamo, na prvoj lekciji ovog " praktičan rad..." sve je detaljno... U takav pitanja neizvesnosti ne bi trebalo!
4. Koji je znak sin555°?
5. Koji je predznak tg555°?
Odlučan? Odlično! Sumnja? Neophodno je za odjeljak 555... Usput, tamo ćete naučiti kako nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu. Veoma korisna stvar.
A sada pametnija pitanja.
6. Dovedite izraz sin777° na sinus najmanjeg pozitivnog ugla.
7. Dovedite izraz cos777° na kosinus najvećeg negativnog ugla.
8. Pretvorite izraz cos(-777°) u kosinus najmanjeg pozitivnog ugla.
9. Dovedite izraz sin777° na sinus najvećeg negativnog ugla.
Šta, pitanja 6-9 su zbunjena? Navikni se, nema takvih formulacija na ispitu... Neka bude, ja ću to prevesti. Samo za tebe!
Riječi "smanjiti izraz na ..." znače transformirati izraz tako da njegova vrijednost nije se promijenilo a izgled mijenja u skladu sa zadatkom. Dakle, u zadacima 6 i 9, trebali bismo dobiti sinus, unutar kojeg je najmanji pozitivni ugao. Sve ostalo nije bitno.
Odgovore ću dati po redu (kršeći naša pravila). Ali šta da se radi, postoje samo dva znaka, a samo četiri četvrtine... Nećete se raspršiti u opcijama.
6. sin57°.
7.cos(-57°).
8.cos57°.
9.-sin(-57°)
Pretpostavljam da su odgovori na pitanja 6-9 zbunili neke ljude. Posebno -sin(-57°), zar ne?) Zaista, u elementarnim pravilima za brojanje uglova ima mjesta za greške ... Zato sam morao napraviti lekciju: "Kako odrediti predznake funkcija i dati uglove na trigonometrijskom krugu?" U Odjeljku 555. Tu su razvrstani zadaci 4 - 9. Dobro sređeno, sa svim zamkama. I tu su.)
U sledećoj lekciji bavićemo se misterioznim radijanima i brojem "Pi". Naučite kako lako i ispravno pretvoriti stupnjeve u radijane i obrnuto. I bićemo iznenađeni kada otkrijemo da su ove elementarne informacije na sajtu dosta već riješiti neke nestandardne trigonometrijske zagonetke!
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.