Tadqiqot ishi "cho'qqi formulasi". Planimetriya maktab kursida tepalik formulasi

Starkova Kristina, 8B sinf o'quvchisi

Maqolada Pik teoremasi va uning isboti ko'rib chiqiladi.

Ko'pburchaklar maydonini topish muammolari ko'rib chiqiladi

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

UMUMIY VA KASB-HABAR TA'LIMI BO'LIMI

CHAYKOVSKY TUMANI MA'MURASI

PERM VILOYATI

VI MUNITIPAL TADQIQOT KONFERENSIYASI
Talabalar

Munitsipal avtonom umumiy ta'lim muassasasi

“11-sonli umumta’lim maktabi”

BO'LIM: MATEMATIKA

Pik formulasini qo'llash

8 "B" sinf o'quvchisi

MAOU №11 Chaykovskiy o'rta maktabi

Rahbar: Batueva L, N.,

MAOU №11 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Chaykovskiy

2012 yil

I. Kirish……………………………………………………. 2

II. Tepalik formulasi

2.1.Tarmoqlar.tugunlar………………………………………….4

2.2.Ko‘pburchakning triangulyatsiyasi…………………………5

2.3. Pik teoremasining isboti……………………6

2.4 Ko‘pburchaklar sohalarini o‘rganish…………9

2.5. Xulosa…………………………………………………..12

III.Geometrik masalalar amaliy mazmunli ... 13

IV. Xulosa………………………………………………..14

V. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati………………………..16

1. Kirish

Matematikaga ishtiyoq ko'pincha muammo haqida o'ylashdan boshlanadi. Demak, “Ko‘pburchaklar sohalari” mavzusini o‘rganishda geometriya darsliklarida ko‘rib chiqilgan vazifalardan farqli vazifalar bormi degan savol tug‘ildi. Bu katakli qog'ozdagi vazifalar. Bizda savollar bor edi: bunday vazifalarning o'ziga xos xususiyati nimada, bormi? maxsus usullar katakli qog‘ozdagi masalalarni yechish texnikasi. Nazorat va o'lchashda bunday vazifalarni ko'rish Materiallardan foydalanish va GIA, tasvirlangan figuraning maydonini topish bilan bog'liq katakli qog'ozdagi vazifalarni aniq tekshirishga qaror qildi.

Men ushbu mavzu bo'yicha adabiyotlarni, Internet manbalarini o'rganishni boshladim. Aftidan, maftunkor narsani katakli tekislikda, ya'ni bir xil kvadratlarga chizilgan cheksiz qog'ozda topish mumkinmi? Shoshilinch hukm qilmang. Ma'lum bo'lishicha, katakli qog'oz bilan bog'liq vazifalar juda xilma-xildir. Men katakli qog‘ozga chizilgan ko‘pburchaklar maydonlarini hisoblashni o‘rgandim. Qafasdagi qog'ozdagi ko'plab vazifalar uchun hal qilishning umumiy qoidasi, aniq usullari va usullari yo'q. Bu ularning o'ziga xos bo'lmagan rivojlanishi uchun qiymatini belgilaydigan mulkidir o'rganish qobiliyati yoki mahorat, lekin umuman olganda fikrlash, aks ettirish, tahlil qilish, analogiyalarni izlash qobiliyati, ya'ni bu vazifalar keng ma'noda fikrlash qobiliyatini rivojlantiradi.

Biz aniqladik:

O'rganish ob'ekti: katakli qog'ozdagi topshiriqlar

O'rganish mavzusi: katakli qog'ozda ko'pburchakning maydonini hisoblash muammolari, ularni echish usullari va usullari.

Tadqiqot usullari: modellashtirish, qiyoslash, umumlashtirish, analogiya qilish, adabiy va internet resurslarini o‘rganish, axborotni tahlil qilish va tasniflash.

1. Tadqiqot maqsadi:Peak formulasidan foydalanib, geometrik shakllarning maydonlarini hisoblash formulalarini oling va sinab ko'ring

Ushbu maqsadga erishish uchun biz quyidagilarni hal qilishni taklif qilamiz vazifalar:

1. Kerakli adabiyotlarni tanlang
2. Tadqiqot uchun materialni tanlang, asosiy, qiziqarli, tushunarli ma'lumotlarni tanlang
3. Qabul qilingan ma'lumotlarni tahlil qilish va tartibga solish
4. Topmoq turli usullar katakli qog‘ozdagi masalalarni yechish texnikasi
5. Yig'ilgan materialni sinfdoshlarga taqdim etish uchun ishning elektron taqdimotini yarating

qutidagi qog'ozdagi turli xil vazifalar, ularning "o'yin-kulgilari", etishmasligi umumiy qoidalar va ularni hal qilish usullari maktab o'quvchilariga ularni ko'rib chiqishda qiyinchiliklar tug'diradi

1. Gipoteza:. Pick formulasi bilan hisoblangan rasmning maydoni planimetriya formulasi bilan hisoblangan rasmning maydoniga teng.

Qatlakli qog'ozdagi muammolarni echishda bizga geometrik tasavvur va hammaga ma'lum bo'lgan juda oddiy geometrik ma'lumotlar kerak.

II. Tepalik formulasi

2.1 Panjaralar, tugunlar.

Tekislikda tekislikni teng kvadratlarga bo'luvchi parallel chiziqlarning ikkita turkumini ko'rib chiqing; bu chiziqlarning barcha kesishish nuqtalari to'plami nuqta panjarasi yoki oddiygina panjara, nuqtalarning o'zi esa panjara tugunlari deb ataladi.

Ko'pburchakning ichki tugunlari - qizil.

Ko'pburchak yuzlaridagi tugunlar - ko'k.

Qatlakli qog'ozdagi ko'pburchakning maydonini hisoblash uchun ushbu ko'pburchak qancha hujayralarni qamrab olishini hisoblash kifoya (biz hujayraning maydonini birlik sifatida olamiz). Aniqrog'i, agar S ko'pburchakning maydoni, B - to'liq ko'pburchak ichida joylashgan hujayralar soni va G - ko'pburchakning ichki qismi bilan kamida bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan hujayralar soni.

Biz faqat shunday ko'pburchaklarni ko'rib chiqamiz, ularning barcha uchlari katakli qog'ozning tugunlarida - to'r chiziqlari kesishgan joylarda joylashgan.

Qatlakli qog'ozga chizilgan har qanday uchburchakning maydonini to'g'ri burchakli uchburchaklar va to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi yoki farqi sifatida ko'rsatish orqali osongina hisoblash mumkin, ularning tomonlari chizilgan uchburchakning uchlari orqali o'tadigan panjara chiziqlari bo'ylab.

2.2 Ko‘pburchakning triangulyatsiyasi

To'r tugunlarida uchlari bo'lgan har qanday ko'pburchak uchburchak bo'lishi mumkin - "oddiy" uchburchaklarga bo'linadi.

Tekislikda qandaydir ko'pburchak va qandaydir chekli to'plam berilgan bo'lsin Kimga ko'pburchak ichida va uning chegarasida yotgan nuqtalar (bundan tashqari, ko'pburchakning barcha uchlari to'plamga tegishli. TO ).

Cho'qqilar bilan triangulyatsiya Kimga qismlarga ajratish deyiladi berilgan ko‘pburchak to'plamdagi uchlari bo'lgan uchburchaklarga Kimga Shunday qilib, har bir nuqta kiradi Kimga bu nuqta tegishli bo'lgan triangulyatsiya uchburchaklarining har biri uchun cho'qqi bo'lib xizmat qiladi (ya'ni, nuqtalardan nuqtalar). Kimga uchburchaklar ichiga yoki yon tomonlariga tushmang, rasm. 1.37).

Guruch. 1.37

Teorema 2. a) har qanday n -gonni diagonallar orqali uchburchaklarga kesish mumkin va uchburchaklar soni teng bo'ladi n – 2 (bu boʻlim uchlari uchlari boʻlgan uchburchakdir n-gon).

Degenerativ bo'lmagan oddiy butun ko'pburchakni ko'rib chiqaylik (ya'ni u bog'langan - uning istalgan ikkita nuqtasi to'liq o'z ichiga olgan uzluksiz egri chiziq bilan bog'lanishi mumkin va uning barcha cho'qqilari butun son koordinatalariga ega, uning chegarasi bog'langan poliliniyadir. o'z-o'zidan kesishmalar va u nolga teng bo'lmagan maydonga ega) .

Bunday ko'pburchakning maydonini hisoblash uchun siz quyidagi teoremadan foydalanishingiz mumkin:

2.3. Pik teoremasining isboti.

B - ko'pburchak ichidagi butun nuqtalar soni, G - uning chegarasidagi butun nuqtalar soni,- uning maydoni. Keyin Pik formulasi: S=V+G2-1

Misol. Rasmdagi ko'pburchak uchun B=23 (sariq nuqta), D=7, (ko'k nuqta, cho'qqilarni unutmaylik!), shuning uchunkvadrat birliklar.

Birinchidan, Pik formulasi birlik kvadrat uchun to'g'ri ekanligini unutmang. Haqiqatan ham, bu holda bizda B=0, D=4 va.

Yonlari panjara chiziqlarida yotadigan to'rtburchakni ko'rib chiqaylik. Uning tomonlari uzunligi teng bo'lsin va . Bu holda bizda B=(a-1)(b-1) , G=2a+2b, keyin Pick formulasi bo'yicha,

Endi oyoqlari koordinata o'qlarida yotgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqaylik. Bunday uchburchak tomonlari bo'lgan to'rtburchakdan olinadi va , oldingi holatda ko'rib chiqilgan, uni diagonal ravishda kesish orqali. Ular diagonalda yotsinbutun son nuqtalari. Keyin buning uchun B holati \u003d a-1) b-1, 2 G \u003d G \u003d 2a + 2b 2 + c-1 va biz buni olamiz4) Endi ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqing. Buni bir nechta to'g'ri burchakli uchburchaklarni va, ehtimol, to'rtburchakdan to'rtburchakni kesish orqali olish mumkin (rasmlarga qarang). Pik formulasi to'g'ri to'rtburchaklar uchun ham, to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun ham to'g'ri bo'lganligi sababli, u ixtiyoriy uchburchak uchun ham to'g'ri bo'ladi.

Oxirgi qadamni qo'yish qoladi: uchburchaklardan ko'pburchaklarga o'tish. Har qanday ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lish mumkin (masalan, diagonallar bo'yicha). Shuning uchun biz shunchaki isbotlashimiz kerakki, ixtiyoriy ko'pburchakga har qanday uchburchak qo'shilganda Pik formulasi to'g'ri bo'lib qoladi. Ko'pburchak bo'lsin va uchburchak umumiy tomoni bor. Buning uchun faraz qilaylikPik formulasi to'g'ri, biz olingan ko'pburchak uchun to'g'ri bo'lishini isbotlaymiz qo'shish. O'shandan beri va umumiy tomoni bor, keyin bu tomonda yotgan barcha butun nuqtalar, ikkita uchdan tashqari, yangi ko'pburchakning ichki nuqtalariga aylanadi. Vertices chegara nuqtalari bo'ladi. Keling, raqamni belgilaylik umumiy nuqtalar orqali va B = MT = BM + BT + c-2 ni oling - yangi ko'pburchakning ichki butun nuqtalari soni, G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2 - yangi ko'pburchakning chegara nuqtalari soni. Ushbu tengliklardan biz quyidagilarni olamiz: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2 . Biz teorema uchun to'g'ri deb faraz qilganimiz uchun va uchun alohida, keyin S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 -1)+B(T)+ GT2 -1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+HT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22 -2= G(MT)+ B(MT)2-1 .Shunday qilib, Pick formulasi isbotlangan.

2.4 Ko'pburchaklar sohalarini o'rganish.

2) katakli qog'ozda 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchalar tasvirlangan uchburchak.Uning maydonini kvadrat santimetrda toping.
Rasm	Geometriya formulasiga muvofiq	Pik formulasiga ko'ra
	S=12ah Str.ABD=1/2 AD ∙ BD=1/2 ∙ 2 ∙ 1=1 Str.BDC=1/2 DC ∙ BD=1/2 ∙ 3 ∙ 1=1,5 Str.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5	S= V+G2-1 G=3 ;V=0. S=0+3/2-1=0,5

3) katak qog'ozda 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchalar bilan kvadrat tasvirlangan. Uning maydonini kvadrat santimetrda toping.
Rasm	Geometriya formulasiga muvofiq	Pik formulasiga ko'ra
	S=a∙b Km.KMNE=7 ∙ 7=49 Str.AKB=1/2 ∙ KB ∙ AK=1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 Str.AKB=Str.DCE=8 Str.AND= 1/2 ∙ ND ∙ AN=1/2 ∙ 3 ∙ 3=4,5 Str.AND=Str.BMC=4,5 Spr.= Sq.KMNE- Str.AKB- Str.DCE- Str.AND- Str.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24	S= V+G2-1 D=14;W=19. S=18+14/2-1=24

4) katakli qog'ozda 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchalar tasvirlangan
Rasm	Geometriya formulasiga muvofiq	Pik formulasiga ko'ra
	S1= 12a∙b=1/2∙7∙1= 3,5 S2= 12a∙b=1/2∙7∙2=7 S3= 12a∙b=1/2∙4∙1=2 S4= 12a∙b=1/2∙5∙1=2,5 S5=a²=1²=1 kv.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32sm²	S= V+G2-1 D=5;V=31. S=31+ 42 -1=32sm²
5) 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchali katak qog'ozda to'rt kvadrat. Uning maydonini kvadrat santimetrda toping.
	S= a b a=36+36=62 b=9+9=32 S \u003d 62 ∙ 32 \u003d 36 sm 2	S= V+G2-1 D=18, V=28 S=28+ 182 -1=36sm 2
6) katakli qog'ozda 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchalar tasvirlangan to'rt kvadrat. Uning maydonini kvadrat santimetrda toping
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S=4,5+18+4,5=27 sm²	S= V+G2-1 D=18;W=28. S=28+ 182 -1=36sm²
7) katak qog'ozda 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchalar tasvirlangan to'rt kvadrat. Uning maydonini kvadrat santimetrda toping
	S1= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S2= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 S3= 12a∙b=1/2∙3∙3=4,5 S4= 12a∙b=1/2∙6∙6=18 Kvadrat=9²=81sm² S=81-4,5-18-4,5-18=36sm²	S= V+G2-1 D=18;W=28. S=28+ 182 -1=36sm²

8) katak qog'ozda 1 sm x 1 sm o'lchamdagi katakchalar tasvirlangan to'rt kvadrat. Uning maydonini kvadrat santimetrda toping
Rasm	Geometriya formulasiga muvofiq	Pik formulasiga ko'ra
	S1= 12a∙b=1/2∙2∙4=4 S2= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 4=8 S3= 12ah =1/2 ∙ 8 ∙ 2=8 S4= 12ah =1/2 ∙ 4 ∙ 1=2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 sm²	S= G+V2-1 D=16;W=17. S=17+ 162 -1=24 sm²

Xulosa

1. Jadvallardagi natijalarni taqqoslab, Pik teoremasini isbotlab, men Pik formulasi yordamida hisoblangan rasmning maydoni olingan planimetriya formulasi yordamida hisoblangan rasmning maydoniga teng degan xulosaga keldim.

Shunday qilib, mening farazim to'g'ri bo'lib chiqdi.

III.Amaliy mazmunli geometrik masalalar.

Pik formulasi geometrik masalalarni amaliy mazmun bilan yechishda ham yordam beradi.

9-topshiriq. Hududni toping o'rmonzor(m² da), 1 sm - 200 m masshtabda 1 × 1 (sm) kvadrat panjarali rejada tasvirlangan (10-rasm)

Qaror.

Guruch. 10 V \u003d 8, G \u003d 7. S \u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (sm²)

1 sm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Javob: 420 000 m²

10-topshiriq . 1 sm - 200 m masshtabda 1 × 1 (sm) kvadrat panjarali rejada tasvirlangan maydonning maydonini (m²) toping (11-rasm).

Qaror. Peak formulasi yordamida katakli qog'ozda tasvirlangan to'rtburchakning maydoni S ni topamiz: S = B + - 1

V \u003d 7, D \u003d 4. S \u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (sm²)

Guruch. 11 1 sm² - 200² m²; S = 40000 8 = 320 000 (m²)

Javob: 320 000 m²

Xulosa

Tadqiqot jarayonida ma'lumotnoma, ilmiy-ommabop adabiyotlarni o'rgandim, Notebook dasturida ishlashni o'rgandim. Men buni bilib oldim

To'r tugunlarida uchlari bo'lgan ko'pburchakning maydonini topish muammosi 1899 yilda avstriyalik matematik Pikni ajoyib Pik formulasini isbotlash uchun ilhomlantirdi.

Faoliyatim natijasida katak qog‘ozdagi masalalar yechish bo‘yicha bilimlarimni kengaytirdim, o‘rganilayotgan masalalarning tasnifini o‘zim uchun aniqladim va ularning xilma-xilligiga ishonch hosil qildim.

Qatlakli varaqda chizilgan ko‘pburchaklarning maydonlarini hisoblashni o‘rgandim.Ko‘rib chiqilgan vazifalar bajarildi turli daraja qiyinchiliklar - oddiydan olimpiadagacha. Har bir inson ular orasida mumkin bo'lgan murakkablik darajasidagi vazifalarni topishi mumkin, undan boshlab qiyinroqlarini hal qilishga o'tish mumkin bo'ladi.

Meni qiziqtirgan mavzu juda ko'p qirrali, katakli qog'ozdagi vazifalar xilma-xil, ularni hal qilish usullari va usullari ham xilma-xil degan xulosaga keldim. Shuning uchun men ushbu yo'nalishda ishlashni davom ettirishga qaror qildim.

Adabiyot

1. Qatlakli qog’ozdagi geometriya. Kichik MEHMAT MDU.

2. Jarkovskaya N. M., Riss E. A. Qatlakli qog'oz geometriyasi. Pik formulasi // Matematika, 2009 yil, № 17, bet. 24-25.

3. Vazifalar ochiq bank matematika bo'yicha vazifalar FIPI, 2010 - 2011

4.V.V.Vavilov, A.V.Ustinov.Ko‘pburchaklar panjaralari.M.MTsNMO, 2006 y.

5. Tematik tadqiqotlar.etudes.ru

6. L.S.Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B.Kadomtsev va boshqalar.Geometriya.7-9-sinflar.M. Ma'rifat, 2010 yil

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

Men 6-sinf o‘quvchisiman. Men o‘tgan yildan boshlab geometriyani o‘rganishni boshladim, chunki maktabda “Matematika” darsligidan foydalanib o‘qiyman. Arifmetika. Geometriya” muharriri E.A. Bunimovich, L.V.Kuznetsova, S.S. Minaeva va boshqalar.

“Raqamlar kvadratlari”, “Formulalarni tuzish” mavzulari mening eng katta e'tiborimni tortdi. Men bir xil raqamlarning maydonlarini topish mumkinligini payqadim turli yo'llar bilan. Kundalik hayotda biz ko'pincha hududni topish muammosiga duch kelamiz. Misol uchun, bo'yash uchun zamin maydonini toping. Qiziq, axir, ta'mirlash uchun kerakli miqdorda devor qog'ozi sotib olish uchun siz xonaning o'lchamini bilishingiz kerak, ya'ni. devor maydoni. Kvadrat, to'rtburchak va to'g'ri burchakli uchburchakning maydonini hisoblash menga hech qanday qiyinchilik tug'dirmadi.

Bu mavzuga qiziqib, Internetdan qo'shimcha materiallar qidira boshladim. Qidiruv natijasida men Pick formulasini uchratdim - bu katakli qog'ozga chizilgan ko'pburchakning maydonini hisoblash uchun formula. Ushbu formuladan foydalanib maydonni hisoblash menga har qanday talaba uchun qulay bo'lib tuyuldi. Shuning uchun men qaror qildim tadqiqot ishi.

Mavzuning dolzarbligi:

Ushbu mavzu geometriya kursini o'rganishni qo'shish va chuqurlashtirishdir.

Ushbu mavzuni o'rganish sizga olimpiada va imtihonlarga yaxshiroq tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.

Ishning maqsadi:

Pick formulasi bilan tanishing.

Pik formulasidan foydalanib, geometrik masalalarni yechish usullarini o‘zlashtiring.

Nazariy va amaliy materiallarni tizimlashtirish va umumlashtirish.

Tadqiqot maqsadlari:

Masalalarni yechishda formuladan foydalanish samaradorligi va maqsadga muvofiqligini tekshirish.

Turli murakkablikdagi masalalarga Pick formulasini qo‘llashni o‘rganing.

Tanlash formulasi va an'anaviy usul yordamida hal qilingan muammolarni solishtiring.

Asosiy qism

1.1. Tarix ma'lumotnomasi

Georg Aleksandr Pik - avstriyalik matematik, 1859-yil 10-avgustda tugʻilgan. U edi iqtidorli bola, unga xususiy institutni boshqargan otasi dars bergan. 16 yoshida Georg o'rta maktabni tugatib, Vena universitetiga o'qishga kirdi. 20 yoshida u fizika va matematikadan dars berish huquqini oldi. Ko'pburchaklar panjarasining maydonini aniqlash formulasi unga dunyo miqyosida shuhrat keltirdi. U o'z formulasini 1899 yilda maqolasida e'lon qildi. 1969 yilda polshalik olim Gyugo Shtaynxaus matematik rasmlar nashriga kiritganida mashhur bo'ldi.

Georg Pik Vena universitetida tahsil olgan va 1880 yilda doktorlik dissertatsiyasini tamomlagan. Doktorlik darajasini olgach, Pragadagi Sherl-Ferdinand universitetida Ernest Machning assistenti etib tayinlandi. U erda u o'qituvchi bo'ldi. U 1927 yilda nafaqaga chiqqunga qadar Pragada qoldi va keyin Venaga qaytdi.

Pik 1911 yilda Eynshteynni matematik fizika professori etib tayinlagan Praga Germaniya universiteti qo'mitasiga raislik qildi.

U Chexiya fan va sanʼat akademiyasining aʼzosi etib saylangan, biroq fashistlar Pragani egallab olganidan soʻng haydab chiqarilgan.

1938 yil 12 martda fashistlar Avstriyaga kirgach, u Pragaga qaytib keldi. 1939 yil mart oyida fashistlar Chexoslovakiyaga bostirib kirishdi. 1942-yil 13-iyulda Pik Shimoliy Chexiyadagi natsistlar tomonidan tashkil etilgan Teresyenshtadt lageriga deportatsiya qilindi va u yerda ikki hafta o‘tib, 82 yoshida vafot etdi.

1.2. Tadqiqot va isbot

Men tadqiqot ishimni savol berishdan boshladim: raqamlarning qaysi sohalarini topa olaman? Men har xil uchburchaklar va to'rtburchaklar maydonini hisoblash uchun formula tuza olaman. Ammo besh, olti va umuman ko'pburchaklar haqida nima deyish mumkin?

Turli saytlarda olib borilgan izlanishlar davomida men besh, olti va boshqa ko'pburchaklar maydonini hisoblash muammolarining echimlarini ko'rdim. Bu masalalarni yechish formulasi Pik formulasi deb ataldi. U shunday ko'rinadi: S =B+G/2-1, qayerda DA- ko'pburchak ichida joylashgan tugunlar soni, G- ko'pburchak chegarasida yotgan tugunlar soni. Bu formulaning o'ziga xosligi shundaki, uni faqat katakli qog'ozga chizilgan ko'pburchaklarga qo'llash mumkin.

Har qanday bunday ko'pburchakni panjara tugunlarida cho'qqilari bo'lgan, ichida ham, yon tomonlarida ham tugunlari bo'lmagan uchburchaklarga osongina ajratish mumkin. Bu barcha uchburchaklarning maydonlari bir xil va ½ ga teng ekanligini ko'rsatish mumkin, shuning uchun ko'pburchakning maydoni ularning sonining yarmiga teng. T.

Bu sonni topish uchun ko‘pburchak tomonlari sonini n bilan belgilaymiz DA- uning ichidagi tugunlar soni, orqali G yon tomonlardagi tugunlar soni, shu jumladan uchlari. Barcha uchburchaklar burchaklarining umumiy yig'indisi 180 ° ga teng. T.

Endi yig‘indini boshqa usulda topamiz.

Har qanday ichki tugunda tepasi bo'lgan burchaklar yig'indisi 2,180 ° ga teng, ya'ni. burchaklarning umumiy yig'indisi 360° ga teng. DA; yon tomonlardagi tugunlardagi burchaklarning umumiy yig'indisi, lekin cho'qqilarda emas ( Janob n) 180° va ko'pburchakning uchlaridagi burchaklar yig'indisi ( ga teng bo'ladi G- 2) 180°. Shunday qilib, T= 2,180°. B+(G-n)180°+(n -2)180 °. Qavslarni kengaytirib, 360 ° ga bo'lish orqali biz Pik formulasi deb nomlanuvchi ko'pburchakning S maydoni uchun formulani olamiz.

2. Amaliy qism

Men ushbu formulani OGE-2017 to'plamidagi vazifalar bo'yicha tekshirishga qaror qildim. Men uchburchak, to'rtburchak va beshburchakning maydonini hisoblash uchun topshiriqlarni oldim. Men javoblarni ikki yo'l bilan hal qilib, solishtirishga qaror qildim: 1) Men to'rtburchakka raqamlarni qo'shdim va hosil bo'lgan to'rtburchakning maydonidan to'g'ri burchakli uchburchaklar maydonini ayirdim; 2) Peak formulasini qo'llagan.

S = 18-1,5-4,5 = 12 va S = 7+12/2-1= 12

S = 24-9-3 = 12 va S = 7+12/2-1 = 12

S = 77-7,5-12-4,5-4 = 49 va S = 43+14/2-1 = 49

Natijalarni taqqoslab, ikkala formula ham bir xil javob beradi degan xulosaga keldim. Peak formulasidan foydalanib, raqamning maydonini topish tezroq va osonroq bo'ldi, chunki hisoblar kamroq edi. Qaror qabul qilishning qulayligi va hisob-kitoblarga vaqtni tejash men uchun kelajakda OGE dan o'tishda foydali bo'ladi.

Bu meni Pick formulasini murakkabroq raqamlarga qo'llash imkoniyatini sinab ko'rishga undadi.

S = 0 + 4/2 -1 = 1

S \u003d 5 + 11 / 2-1 \u003d 9,5

S=4+16/2-1=1

Xulosa

Pick formulasini tushunish oson va foydalanish oson. Birinchidan, hisoblash, 2 ga bo'lish, qo'shish va ayirish qobiliyatiga ega bo'lish kifoya. Ikkinchidan, siz ko'p vaqt sarflamasdan hududni va murakkab raqamni topishingiz mumkin. Uchinchidan, bu formula har qanday ko'pburchak uchun ishlaydi.

Kamchilik shundaki, Pick Formula faqat katak qog'ozga chizilgan va tepalari hujayra tugunlarida joylashgan raqamlar uchun qo'llaniladi.

Ishonchim komilki, yakuniy imtihonlarni topshirishda raqamlar maydonini hisoblash muammolari qiyinchilik tug'dirmaydi. Axir, men Pick formulasi bilan allaqachon tanishman.

Adabiyotlar ro'yxati

Bunimovich E.A., Dorofeev G.V., Suvorova S.B. va hokazo. Matematika. Arifmetika. Geometriya. 5-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun ilovalar bilan tashkilotlar. elektronga. tashuvchi -3-nashr.-M.: Ma'rifat, 2014.- 223, b. : kasal. - (Sharalar).

Bunimovich E.A., Kuznetsova L.V., Minaeva S.S. va hokazo. Matematika. Arifmetika. Geometriya. 6-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun tashkilotlar-5-nashr.-M.: Ta'lim, 2016.-240s. : kasal.- (Sharalar).

Vasilev N.B. Tanlash formulasi atrofida. //Kvant.- 1974.-№2. -39-43-betlar

Rassolov V.V. Planimetriyadagi muammolar. / 5-nashr, tuzatilgan. Va qo'shimcha. - M.: 2006.-640-yillar.

I.V. Yaschenko.OGE. Matematika: tipik imtihon variantlari: O-39 36 variant - M .: Milliy ta'lim nashriyoti, 2017. -240 b. - (OGE. FIPI-maktab).

"Men OGEni hal qilaman": matematika. Dmitriy Gushchinning ta'lim tizimi. OGE-2017: vazifalar, javoblar, echimlar [ Elektron resurs]. Kirish rejimi: https://oge.sdamgia.ru/test?id=6846966 (Kirish 04/02/2017)

Bibliografik tavsif: Tatyanenko A. A., Tatyanenko S. A. Qatlakli qog'ozda tasvirlangan raqamlarning maydonlarini hisoblash // Yosh olim. - 2016. - No 3..03.2019).



Asosiy tayyorgarlik bosqichida davlat imtihoni Men katakli qog'ozda tasvirlangan raqamning maydonini hisoblash kerak bo'lgan vazifalar bilan uchrashdim. Qoida tariqasida, agar rasm trapezoid, parallelogramm yoki uchburchak bo'lsa, bu vazifalar katta qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ushbu raqamlarning maydonlarini hisoblash uchun formulalarni bilish, hujayralar sonini hisoblash va maydonni hisoblash kifoya. Agar raqam o'zboshimchalik bilan ko'pburchak bo'lsa, bu erda maxsus fokuslardan foydalanish kerak. Men qiziqib qoldim bu mavzu. Tabiiyki, savollar tug'ildi: qaerda Kundalik hayot katakli qog'ozda maydonlarni hisoblashda muammolar bo'lishi mumkinmi? Bunday vazifalarning o'ziga xos xususiyati nimada? Qatlakli qog'ozda tasvirlangan geometrik shakllarning maydonlarini hisoblashning boshqa usullari yoki universal formulasi bormi?

Maxsus adabiyotlar va Internet manbalarini o'rganish shuni ko'rsatdiki, hujayrada tasvirlangan raqamning maydonini hisoblash imkonini beruvchi universal formula mavjud. Bu formula Pik formulasi deb ataladi. Biroq, maktab o'quv dasturi doirasida ushbu formuladan foydalanish qulayligi va natijalarni olishiga qaramay, hisobga olinmaydi. Bundan tashqari, men do'stlarim va sinfdoshlarim orasida so'rov o'tkazdim (ikki shaklda: shaxsiy suhbatda va suhbatda ijtimoiy tarmoqlar), unda Tobolsk shahridagi maktablardan 43 nafar talaba ishtirok etdi. Ushbu so'rov shuni ko'rsatdiki, faqat bir kishi (11-sinf o'quvchisi) maydonlarni hisoblash uchun Peak formulasi bilan tanish.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar tizimi berilgan bo'lsin. Ushbu tizimda butun koordinatalarga ega bo'lgan ko'pburchakni ko'rib chiqing. DA o'quv adabiyoti butun sonli koordinatali nuqtalar tugunlar deyiladi. Bundan tashqari, ko'pburchak qavariq bo'lishi shart emas. Va uning maydonini aniqlash talab qilinsin.

Quyidagi holatlar mumkin.

1. Shakl uchburchak, parallelogramm, trapetsiya:

1) hujayralarni sanab, maydonni hisoblash uchun zarur bo'lgan balandlikni, diagonallarni yoki tomonlarni topishingiz kerak;

2) topilgan qiymatlarni maydon formulasiga almashtiring.

Misol uchun, siz 1-rasmda ko'rsatilgan rasmning maydonini 1 sm dan 1 sm gacha bo'lgan hujayra o'lchami bilan hisoblamoqchisiz.

Guruch. 1. Uchburchak

Qaror. Biz hujayralarni hisoblaymiz va topamiz: . Formulaga ko'ra biz quyidagilarni olamiz: .

2 Shakl ko'pburchakdir

Agar rasm ko'pburchak bo'lsa, unda quyidagi usullardan foydalanish mumkin.

Bo'lish usuli:

1) ko'pburchakni uchburchaklarga, to'rtburchaklarga bo'lish;

2) olingan raqamlarning maydonlarini hisoblash;

3) olingan raqamlarning barcha maydonlari yig'indisini toping.

Masalan, 2-rasmda ko'rsatilgan rasmning maydonini bo'linish usuli yordamida 1 sm dan 1 sm gacha bo'lgan hujayra o'lchami bilan hisoblash kerak.

Guruch. 2. Ko‘pburchak

Qaror. Bo'lishning ko'plab usullari mavjud. Biz raqamni ajratamiz to'g'ri uchburchaklar va 3-rasmda ko'rsatilganidek, to'rtburchak.

Guruch. 3. Ko‘pburchak. Bo'lish usuli

Uchburchaklarning maydonlari: , , , to'rtburchakning maydoni . Barcha raqamlarning maydonlarini qo'shib, biz olamiz:

Qo'shimcha qurilish usuli

1) rasmni to'rtburchakga to'ldiring

2) olingan qo'shimcha raqamlarning maydonlarini va to'rtburchakning maydonini toping

3) to'rtburchaklar maydonidan barcha "qo'shimcha" raqamlarning maydonlarini ayirish.

Masalan, qo'shimcha qurilish usuli yordamida 1 sm dan 1 sm gacha bo'lgan hujayra o'lchami bilan 2-rasmda ko'rsatilgan rasmning maydonini hisoblash kerak.

Qaror. Keling, 4-rasmda ko'rsatilganidek, o'z figuramizni to'rtburchaklar qilib quramiz.

Guruch. 4. Ko‘pburchak. Komplement usuli

Katta to'rtburchakning maydoni , ichida joylashgan to'rtburchak - , "qo'shimcha" uchburchaklar maydonlari - , , keyin kerakli raqamning maydoni bo'ladi.

Ko'pburchaklar maydonlarini katak qog'ozda hisoblashda uni kashf etgan olim nomidan keyin Pik formulasi deb ataladigan boshqa usuldan foydalanish mumkin.

Tepalik formulasi

Qatlakli qog'ozga chizilgan ko'pburchakning faqat butun sonli uchlari bo'lsin. Ikkala koordinatasi ham butun son bo'lgan nuqtalar panjara tugunlari deb ataladi. Bundan tashqari, ko'pburchak ham qavariq, ham qavariq bo'lishi mumkin.

Butun uchlari bo'lgan ko'pburchakning maydoni , bu erda B - ko'pburchak ichidagi butun nuqtalar soni va G - ko'pburchak chegarasidagi butun nuqtalar soni.

Masalan, 5-rasmda ko'rsatilgan ko'pburchak uchun.

Guruch. 5. Pik formulasidagi tugunlar

Misol uchun, siz Pick formulasidan foydalanib, 2-rasmda ko'rsatilgan 1 sm dan 1 sm gacha bo'lgan katakchaning maydonini hisoblamoqchisiz.

Guruch. 6. Ko‘pburchak. Tepalik formulasi

Qaror. 6-rasmga ko'ra: V=9, G=10, keyin Peak formulasiga ko'ra bizda:

Quyida katakli qog'ozda tasvirlangan raqamlarning maydonlarini hisoblash uchun muallif tomonidan ishlab chiqilgan ba'zi topshiriqlarga misollar keltirilgan.

1. In bolalar bog'chasi bolalar ota-onalariga sovg'a sifatida ariza berishdi (7-rasm). Qo'llash sohasini toping. Har bir hujayraning o'lchami 1 sm 1 sm.

Guruch. 7. 1-masalaning sharti

2. Bir gektar archazorda yiliga 32 t gacha, qarag‘ay 35 t gacha, qarag‘ay 43 t gacha, eman 50 t gacha. olxa – 68 t gacha. Necha tonna changni saqlaydi. 5 yil ichida qoraqarag'ali o'rmon changni ushlab turadi. archa o'rmonining rejasi 8-rasmda ko'rsatilgan (1 sm - 200 m masshtab).

Guruch. 8. 2-masalaning sharti

3. Xanti va Mansi bezaklarida geometrik naqshlar ustunlik qiladi. Ko'pincha hayvonlarning stilize qilingan tasvirlari mavjud. 9-rasmda Mansi bezaklarining "Quyon quloqlari" parchasi ko'rsatilgan. Naqshning soyali qismining maydonini hisoblang.

Guruch. 9. 3-masalaning sharti

4. Zavod binosining devorini bo'yash talab qilinadi (10-rasm). Suv bazlı bo'yoqning kerakli miqdorini hisoblang (litrda). Bo'yoq iste'moli: 7 kvadrat metr uchun 1 litr. metr O'lchov 1 sm - 5 m.

Guruch. 10. 4-masalaning sharti

5. Yulduzli ko'pburchak - undan chiqadigan uchburchak nurlardan tashkil topgan tekis geometrik figura umumiy markaz yaqinlashish nuqtasida birlashish. alohida e'tibor loyiq besh qirrali yulduz- pentagram. Pentagram - mukammallik, aql, donolik va go'zallik ramzi. Bu yulduzning eng oddiy shakli bo'lib, uni qalamning bir zarbasi bilan tasvirlash mumkin, uni qog'ozdan yirtib tashlamaydi va shu bilan birga bir xil chiziq bo'ylab ikki marta o'tmaydi. Qalamni katakli qog'oz varag'idan ko'tarmasdan besh qirrali yulduzni chizing, shunda hosil bo'lgan ko'pburchakning barcha burchaklari hujayra tugunlarida bo'ladi. Olingan rasmning maydonini hisoblang.

Matematik adabiyotlarni tahlil qilib, tahlil qilgandan keyin ko'p miqdorda tadqiqot mavzusi bo'yicha misollar, men katakli qog'ozdagi figuraning maydonini hisoblash usulini tanlash rasmning shakliga bog'liq degan xulosaga keldim. Agar rasm uchburchak, to'rtburchak, parallelogramm yoki trapezoid bo'lsa, maydonlarni hisoblash uchun taniqli formulalardan foydalanish qulay. Agar rasm qavariq ko'pburchak bo'lsa, unda bo'lish usulini ham, qo'shish usulini ham qo'llash mumkin (ko'p hollarda qo'shish usuli qulayroq). Agar rasm qavariq bo'lmagan yoki yulduzchali ko'pburchak bo'lsa, unda Pick formulasini qo'llash qulayroqdir.

Pik formulasi maydonlarni hisoblash uchun universal formula bo'lganligi sababli (agar ko'pburchakning uchlari panjara nuqtalarida bo'lsa), u holda uni har qanday shakl uchun ishlatish mumkin. Biroq, agar ko'pburchak etarlicha katta maydonni egallagan bo'lsa (yoki hujayralar kichik bo'lsa), unda panjara tugunlarini hisoblashda xato qilish ehtimoli katta. Umuman olganda, o'rganish jarayonida men bunday muammolarni hal qilishda shunday xulosaga keldim OGE yaxshiroq an'anaviy usullardan foydalaning (bo'limlar yoki qo'shimchalar) va natijani Pick formulasi yordamida tekshiring.

Adabiyot:

1. Vavilov V.V., Ustinov AV. Panjaralardagi poligonlar. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 b.
2. Vasilev I. N. Pik formulasi atrofida // Ommaviy ilmiy fizika-matematika jurnali "Kvant". - 1974. - No 12. Kirish rejimi: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
3. Jarkovskaya N., Riss E. Qatlakli qog'oz geometriyasi. Tepalik formulasi. // Birinchi sentyabr. Matematika. - 2009. - No 23. - 24,25-bet.

Vikilug'atda "pika" uchun yozuv mavjud Pika Harbiy ishlarda: Pika - sovuq teshuvchi qurol, uzun nayzaning bir turi. Pikemenlar - 16-asr va 18-asr boshlaridagi Evropa qo'shinlaridagi piyodalar turi. Pickelhelm (p ... Vikipediya

Pik teoremasi (kombinator geometriya)- V=7, G=8, V + G/2 − 1= 10 Pik teoremasi kombinator geometriya va sonlar geometriyasining klassik natijasidir. Butun sonli ko'pburchakning maydoni ... Vikipediya

Uchburchak- Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Uchburchak (maʼnolari). Uchburchak (Evklid fazosida) uchta chiziqli bo'lmagan nuqtani bog'laydigan uchta chiziq segmentidan hosil bo'lgan geometrik figuradir. Uch nuqta, ... ... Vikipediya

Trapesiya- Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Trapesiya (maʼnolari). Trapesiya (boshqa yunon tilidan "stol" dan; ... Vikipediya

To'rtburchak- TO'RTLABCHAKLAR ┌─────────────┼──────────────┐O'z-o'zidan o'zaro aloqa o'rnatmaydigan ...

Bigon- Sfera yuzasida muntazam digon Geometriyadagi digon ... Vikipediya

Pentagon- Muntazam beshburchak (beshburchak) Pentagon beshta burchakli ko'pburchakdir. Ushbu shakldagi har qanday ob'ekt beshburchak deb ham ataladi. Ichki miqdori ... Vikipediya

Olti burchakli- Muntazam olti burchakli olti burchakli olti burchakli ko'pburchak. Ushbu shakldagi har qanday ob'ekt olti burchakli deb ham ataladi. Qavariq olti burchakli p ichki burchaklarining yig'indisi ... Vikipediya

Dodekagon- To'g'ri dodekagon Dodecagon (yunoncha ... Vikipediya

To'rtburchak Barcha burchaklari to'g'ri burchakli (90 gradusga teng) parallelogramm to'rtburchaklar. Eslatma. Evklid geometriyasida to'rtburchak to'rtburchak bo'lishi uchun uning kamida uchta burchagi to'g'ri bo'lishi kifoya. To'rtinchi burchak (... Vikipediya tufayli

Kitoblar

• Plato effekti. Qanday qilib turg'unlikni engish va davom etish kerak, Sallivan, B.
• "Kanguru" matematik klubi. Nashr No 8. Matematika katak qog'ozda,. Nashr katakli qog'oz varag'i bilan bog'liq turli xil vazifalar va o'yinlarga bag'ishlangan. Xususan, u uchlari ... da joylashgan ko'pburchakning maydonini hisoblashni batafsil bayon qiladi.

O'z-o'zidan kesishmaydigan ko'pburchak panjarali ko'pburchak deyiladi, agar uning barcha uchlari butun koordinatali nuqtalarda bo'lsa (dekart koordinata tizimida).

Pik teoremasi

Formula

Nolga teng bo'lmagan maydonga ega qandaydir panjarali ko'pburchak berilgan bo'lsin.

Uning maydonini bilan belgilaymiz; to'liq koordinatali ko'pburchak ichida joylashgan nuqtalar soni - orqali; ko'pburchakning yon tomonlarida yotgan butun koordinatali nuqtalar soni - orqali.

Keyin munosabatlar chaqirildi Pik formulasi:

Xususan, agar I va B ning qiymatlari ba'zi bir ko'pburchaklar uchun ma'lum bo'lsa, u holda uning maydonini, hatto cho'qqilarining koordinatalarini bilmasdan ham hisoblash mumkin.

Bu munosabatni 1899 yilda avstriyalik matematik Georg Aleksandr Pik kashf etgan va isbotlagan.

Isbot

Isbot bir necha bosqichda amalga oshiriladi: eng oddiy raqamlardan ixtiyoriy ko'pburchaklargacha:

Yuqori o'lchamlarga umumlashtirish

Afsuski, bu oddiy va chiroyli Pick formulasi yuqori o'lchamlarga yaxshi umumlashtirilmaydi.

Buni 1957 yilda tetraedrni (hozir shunday deb ataladi) ko'rib chiqishni taklif qilgan Riv aniq ko'rsatdi. Riv tetraedri) quyidagi uchlari bilan:

har qanday natural son qayerda. U holda bu tetraedr, har qanday uchun, ichida butun koordinatalari bo'lgan bitta nuqtani o'z ichiga olmaydi va uning chegarasida faqat to'rtta nuqta mavjud , , , va boshqalar yo'q. Shunday qilib, bu tetraedrning hajmi va sirt maydoni har xil bo'lishi mumkin, shu bilan birga ichidagi va chegaradagi nuqtalar soni o'zgarmaydi; shuning uchun Pik formulasi hatto uch o'lchovli holatga ham umumlashtirishga ruxsat bermaydi.

Shunga qaramay, yuqori o'lchamli bo'shliqlar uchun shunga o'xshash umumlashtirish hali ham mavjud Erhart polinomlari(Ehrhart polinomi), lekin ular juda murakkab va nafaqat figuraning ichidagi va chegarasidagi nuqtalar soniga bog'liq.