Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tengsizliklar. Bitta o‘zgaruvchili tenglamalar va tengsizliklar. Ekvivalentlik teoremalari
Bitta o'zgaruvchi bilan: ekvivalent tengsizliklar nima; tengsizliklarning qaysi transformatsiyalari ekvivalent va qaysi biri teng emas. Biz bu savollarni 8-sinfdan boshlab algebra kursida muhokama qilganmiz va ushbu darslikda ular, masalan, ko‘rsatkichli va logarifmik tengsizliklarni yechishda muhokama qilingan. Biz ushbu savollarga yana qaytamiz, chunki o'qishni yakunlaymiz maktab kursi algebra, go'yo qayta o'ylab ko'rish tavsiya etiladi umumiy fikrlar va usullari.
1. Tengsizliklarning ekvivalentligi
a(x) > n(x) tengsizlikning yechimi istalgan qiymat ekanligini esga oling o'zgaruvchan x, bu o'zgaruvchi bilan berilgan tengsizlikni haqiqiy sonli tengsizlikka aylantiradi. Ba'zan qisman yechim atamasi ishlatiladi. Tengsizlikning barcha xususiy yechimlari toʻplami umumiy yechim deb ataladi, lekin yechim atamasi koʻproq qoʻllaniladi. Shunday qilib, qaror atamasi uchta ma'noda qo'llaniladi: umumiy qaror sifatida ham, alohida qaror sifatida ham, jarayon sifatida ham, lekin odatda nima xavf ostida ekanligi ma'nodan aniq bo'ladi.
Ta'rif 1. Bir oʻzgaruvchisi f(x)>g(x) va p(x)>h(x) boʻlgan ikkita tengsizlik, agar ularning yechimlari (yaʼni, maʼlum yechimlar toʻplami) mos kelsa, ekvivalent deyiladi.
Albatta, ta'rifda > belgisidan foydalanish printsipial emasligini tushunasiz. Ushbu ta'rifda ham, ushbu bo'limdagi barcha bayonotlarda ham qat'iy va qat'iy bo'lmagan boshqa har qanday tengsizlik belgisidan foydalanish mumkin.
Ta'rif 2. Tengsizlikning yechimi bo'lsa
tengsizlikning yechimida joylashgan
u holda (2) tengsizlik (1) tengsizlikning natijasi deyiladi.
Masalan, x 2 >9 tengsizlik 2x>6 tengsizlikning natijasidir. Darhaqiqat, birinchi tengsizlikni x 2 -9 > 0 ko'rinishga va keyin (x-3) (x + 3) > 0 ko'rinishga o'zgartirib, interval usulini qo'llash orqali (245-rasm) yechim topamiz. Tengsizlik ikkita ochiq nurning birlashuvidir: 
2x>6 ikkinchi tengsizlikning yechimi x>3 ko'rinishga ega, ya'ni. ochiq nurdir Ikkinchi tengsizlikning yechimi birinchi tengsizlikning yechimiga kiradi va shuning uchun birinchi tengsizlik ikkinchisining natijasidir.
Qizig'i shundaki, agar ikkala tengsizlikda ham tengsizlik belgisi o'zgartirilsa, vaziyat tubdan o'zgaradi. Tengsizlik 2x< 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
O'zgaruvchan qiymat X ko'pchilikdan X, bunda tengsizlik haqiqiy sonli tengsizlikka aylanadi, uning deyiladi qaror. Tengsizlikni yechish uning yechimlari to‘plamini topishni bildiradi.
Bir oʻzgaruvchili tengsizliklarni yechish negizida ekvivalentlik tushunchasi yotadi.
Ikki tengsizlik deyiladi ekvivalent agar ularning yechimlar to'plami teng bo'lsa.
Tengsizliklarning ekvivalentligi va ularning oqibatlari haqidagi teoremalar tenglamalar ekvivalentligi haqidagi tegishli teoremalarga o'xshashdir. Ularni isbotlashda haqiqiy sonli tengsizliklar xossalaridan foydalaniladi.
Teorema 1. Tengsizlik bo'lsin f(x) > g(x) to'plamda aniqlanadi X va h(x) bir xil to‘plamda aniqlangan ifoda. Keyin tengsizliklar f(x) > g(x) va f(x) + h(x) > g(x)+h(x) to‘plamdagi ekvivalent X.
Bu teoremadan kelib chiqadi oqibatlari, Tengsizliklarni yechishda ko'pincha qo'llaniladi:
1) Tengsizlikning ikkala qismi bo'lsa f(x) > g(x) bir xil raqamni qo'shing d, keyin biz tengsizlikni olamiz f(x) + d > g(x)+d, bu asl nusxaga teng.
2) Agar biron-bir had (yoki o'zgaruvchili ifoda) tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazilib, hadning belgisini teskarisiga o'tkazilsa, u holda berilganga tengsizlikka erishamiz.
Teorema 2. Tengsizlik bo'lsin f(x) > g(x) to'plamda aniqlanadi X va h(x X ko'pchilikdan X ifoda h(x) oladi ijobiy qadriyatlar. Keyin tengsizliklar f(x) > g(x) va f(x) × h(x) > g(x) × h(x) to‘plamdagi ekvivalent X.
Bu teoremadan xulosa kelib chiqadi: agar tengsizlikning ikkala tomoni bo'lsa f(x) > g(x) bir xil musbat songa ko'paytiring d, keyin biz tengsizlikni olamiz f(x) × d > g(x) × d, bu berilganga teng.
Teorema 3. Tengsizlik bo'lsin f(x) > g(x) to'plamda aniqlanadi X va h(x) - bir xil to'plamda va hamma uchun aniqlangan ifoda X ko'pchilikdan X ifoda h(x) oladi salbiy qiymatlar. Keyin tengsizliklar f(x) > g(x) va f(x) × h(x) < g(x) × h(x) to‘plamdagi ekvivalent X.
Bu teoremadan kelib chiqadi oqibati: tengsizlikning ikkala tomoni bo'lsa f(x) > g(x) bir xilga ko'paytiring manfiy raqam d va tengsizlik belgisini teskari aylantirsak, biz tengsizlikni olamiz f(x) × d < g(x) × d, bu berilganga teng.
Vazifa. Raqam X= 5 tengsizlikning yechimi 2 X+ 7 > 10 - x, xO R? Ushbu tengsizlikning yechimlari to‘plamini toping.
Qaror. Raqam X= 5 - tengsizlikning yechimi
2X + 7 > 10 - X, chunki 2×5 + 7 > 10 - 5 haqiqiy sonli tengsizlikdir. Uning yechimlari to‘plami esa (1; ¥) oraliq bo‘lib, u 2 tengsizlikni o‘zgartirish orqali topiladi. X+ 7 > 10 - XÞ
3X> 3 Þ X > 1.
Vazifa. Tengsizlikni yeching 5 X- 5 < 2X+ 16 va hal qilish jarayonida amalga oshiriladigan barcha o'zgarishlarni asoslang.
Qaror.
Transformatsiyalar | Transformatsiyalar uchun asoslar |
1. 2-ifodani harakatga keltiramiz X chapga va -5 raqami o'ngga, ularning belgilarini teskarisiga o'zgartiradi: 5 X- 2X < 16 + 5. | Biz 3-teoremadan 2-sonli xulosadan foydalandik va asl tengsizlikka tenglikni oldik. |
2. Tengsizlikning chap va o'ng tomonidagi o'xshash atamalarni keltiramiz: 3 X < 21. | Tengsizlikning chap va o'ng qismlarida ifodalarni bir xil o'zgartirishlar amalga oshirildi - ular tengsizliklarning ekvivalentligini buzmadi: berilgan va original. |
3. Tengsizlikning ikkala tomonini 3 ga bo‘ling: X < 7. | Biz 4-teoremadan olingan xulosadan foydalandik va asl tengsizlikka tenglikni oldik. |
Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar identifikatsiyalash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi muayyan shaxs yoki u bilan aloqasi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligi haqidagi ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz to'plashimiz mumkin turli ma'lumotlar shu jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz Elektron pochta va hokazo.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash rag'batlarda qatnashsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, in sud jarayoni va/yoki ommaviy so'rovlar yoki so'rovlar asosida davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash
Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.
DARS: “TENGSIZLIKLARNI BIR OʻZGARCHI BILAN YECHISH”.
Narsa: Algebra
Mavzu: Bitta o‘zgaruvchili tengsizliklarni yechish
Dars maqsadlari:
Tarbiyaviy:
bir o‘zgaruvchili tengsizliklarni, ekvivalent tengsizlikni yechish, tengsizlikni yechish kabi tushunchalarni idrok etish, tushunish va birlamchi mustahkamlashda o‘quvchilar faoliyatini tashkil etish; talabalarning oldingi darslarda olgan bilim va ko'nikmalarini ushbu darsdagi vazifalarni hal qilishda qo'llash qobiliyatini tekshirish.
Tarbiyaviy:
AKTdan amaliyotda foydalanish orqali matematikaga qiziqishni rivojlantirish; talabalarning kognitiv ehtiyojlarini o'rgatish; mas'uliyat, maqsadga erishishda qat'iyatlilik, mustaqillik kabi shaxsiy fazilatlarni shakllantirish.
Darslar davomida
I. Tashkiliy moment
II. Imtihon uy vazifasi(Asosiy bilimlarni yangilash)
1. Koordinata chizig'idan foydalanib, bo'shliqlarning kesishishini toping: a) (1;8) va (5;10); b) (-4;4) va [-6;6]; c) (5;+∞) va [-∞;4]
Javob: a) (1; 5); b) (-4; 4); c) hech qanday chorrahalar mavjud emas
2. Rasmda ko'rsatilgan bo'shliqlarni yozing:
2) 
3) 
Javob: 1) (2; 6); b) (-1; 7]; c) .
Misol 3, 3(x-1) tengsizlikni yeching<-4+3х.
Tengsizlikning chap tomonidagi qavslarni ochamiz: 3x-3<-4+3х.
Biz qarama-qarshi belgilar bilan 3x atamasini o'ng tomondan chap tomonga va -3 atamasini chap tomondan o'ng tomonga o'tkazamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz: 3x-3x<-4+3,
Ko'rib turganingizdek, bu raqamli tengsizlik x ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri kelmaydi. Bu bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizligimiz yechimga ega emasligini anglatadi.
Trening apparati
Tengsizlikni yeching va uning yechimini belgilang:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Javob: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. topilmalar
Bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlikning yechimi uni haqiqiy sonli tengsizlikka aylantiruvchi o'zgaruvchining qiymatidir. Tengsizlikni yechish deganda uning barcha yechimlarini topish yoki yechim yo‘qligini isbotlash tushuniladi. Yechimlari bir xil bo'lgan tengsizliklar ekvivalent deyiladi. Yechimlari bo'lmagan tengsizliklar ham ekvivalent hisoblanadi. Tengsizlik belgisini teskari tomonga o'zgartirganda, tengsizlikning ikkala qismi bir xil manfiy songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa. Boshqa hollarda, u bir xil bo'lib qoladi.
V. Yakuniy sinov
1) Bitta oʻzgaruvchili tengsizlikning yechimi ... deyiladi.
a) o'zgaruvchining haqiqiy tengsizlikka aylantiruvchi qiymati;
b) o'zgaruvchini haqiqiy songa aylantiruvchi qiymati
tengsizlik;
c) uni haqiqiy sonli tengsizlikka aylantiruvchi o'zgaruvchi.
2) Qaysi sonlar 8+5y>21+6y tengsizlikning yechimi hisoblanadi:
a) 2 va 5 b) -1 va 8 c) -12 va 1 d) -15 va -30?
3) 4(x+1)>20 tengsizlikning yechimlar to‘plamini ko‘rsating:
a) (-∞; 4); b) (4; +∞); in))