Noktadaki fonksiyonun türevinin değeri eşittir. fonksiyonun x0 noktasındaki türevinin değerini bulunuz.

11.10.2019

Türev ve hesaplama yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmadan matematikteki fiziksel problemleri veya örnekleri çözmek kesinlikle imkansızdır. Türev, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı nedir, bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli aralıklarla verilen (a,b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Argüman değişikliği - değerlerinin farkı x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türev tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argümanın sıfıra eğiliminde olduğu argümanın artışına oranının sınırıdır.

Aksi takdirde şöyle yazılabilir:

Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Fakat hangisi:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni ile fonksiyonun grafiğinin verilen bir noktadaki tanjantı arasındaki açının tanjantına eşittir.

fiziksel anlam türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Gerçekten de okul günlerinden beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x=f(t) ve zaman t . ortalama sürat bir süre için:

Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: sabiti çıkar

Sabit, türevin işaretinden çıkarılabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .

Misal. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.

Bir fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:

Karar:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin ürününe eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini ele alırız ve sonra ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarparız.

Dördüncü Kural: İki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bir bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan mankenler için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için öğrenci servisi ile iletişime geçebilirsiniz. Arka kısa vadeli Daha önce türevlerin hesaplanmasıyla hiç ilgilenmemiş olsanız bile, en zor kontrolü çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.

Türev bulma işlemine türev alma denir.

En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerini çözmenin bir sonucu olarak, türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış türev kuralları ortaya çıktı. . Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) türev bulma alanında çalışan ilk kişilerdir.

Bu nedenle, zamanımızda, herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen limitini hesaplamak gerekli değildir, sadece tabloyu kullanmak yeterlidir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

türevini bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri yıkmak ve hangi eylemleri belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler ilişkilidir. Ayrıca, türevler tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve türevlerin formüllerini, toplam ve bölümün türevlerini - türev alma kurallarında buluruz. İlk iki örnekten sonra türevler ve türev kuralları tablosu verilmiştir.

örnek 1 Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar. Türev alma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu, yani.

Türev tablosundan, "X" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs olduğunu öğrendik. Bu değerleri türevlerin toplamında yerine koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2 Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar. Sabit faktörlü ikinci terimin türevin işaretinden alınabileceği toplamın bir türevi olarak farklılaşırız:

Bir şeyin nereden geldiğine dair hala sorular varsa, kural olarak, türev tablosunu ve en basit farklılaşma kurallarını okuduktan sonra netleşirler. Hemen onlara gidiyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfır. Bu çok sık gerekli olduğu için hatırlanması çok önemlidir.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bunu da hatırlamak önemlidir
3. Derecenin türevi. Problemleri çözerken kare olmayan kökleri bir güce dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. türev kare kök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüs türevi
8. Teğet türevi
9. Kotanjantın türevi
10. arksinüs türevi
11. Ark kosinüsünün türevi
12. Ark tanjantının türevi
13. Ters tanjantın türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üsün türevi
17. Üstel fonksiyonun türevi

farklılaşma kuralları

1. Toplamın veya farkın türevi
2. Bir ürünün türevi
2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar

onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuç. İki türevlenebilir fonksiyon bir sabit kadar farklıysa, türevleri, yani

Kural 2eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, o zaman ürünleri de aynı noktada türevlenebilir

onlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ürünleri ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör türevin işaretinden alınabilir.:

Sonuç 2. Birkaç türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi, faktörlerin her birinin ve diğerlerinin türevinin ürünlerinin toplamına eşittir.

Örneğin, üç çarpan için:

Kural 3eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir ve , o zaman bu noktada onların bölümleri de türevlenebilir.u/v , ve

onlar. iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi arasındaki fark ve pay ile paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir ve payda önceki payın karesidir .

Diğer sayfalarda nereye bakmalı

Gerçek problemlerde çarpım ve bölümün türevini bulurken, her zaman birkaç türev kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle bu türevlerle ilgili daha fazla örnek makalede bulunmaktadır."Bir çarpım ve bir bölümün türevi".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamda bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir faktör durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. Bu tipik hataüzerinde meydana gelen İlk aşama türevleri öğrenirler, ancak birkaç bir-iki bileşenli örneği çözdüklerinde, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir ürünü veya bir bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, burada sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacak ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (böyle bir durum örnek 10'da analiz edilmiştir) .

Bir diğer yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümüdür. Böyle karmaşık bir fonksiyonun türevi adanmış ayrı makale. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca, ifadelerin dönüşümü olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için yeni Windows kılavuzlarında açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler ve Kesirli eylemler .

Kuvvetler ve kökler ile türevlere çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından " Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan toplamın türevi" dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , o zaman "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" dersindesiniz.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3 Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar. Fonksiyonun ifadesinin kısımlarını belirleriz: ifadenin tamamı ürünü temsil eder ve faktörleri, ikincisinde terimlerden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım türevi kuralını uygularız: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ürünlerinin toplamına ve diğerinin türevine eşittir:

Sonra, toplamın türev kuralını uygularız: fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işareti olan ikinci terim. Her toplamda, hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Böylece, "x" bire ve eksi 5 - sıfıra dönüşür. İkinci ifadede, "x" 2 ile çarpılır, yani ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarparız. Aşağıdaki türev değerlerini alıyoruz:

Bulunan türevleri ürünlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4 Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bir bölümün türevini almak için formülü uygularız: iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir ve payda önceki payın karesidir. Alırız:

Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Ayrıca payda ikinci çarpan olan çarpımın mevcut örnekte eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Sürekli bir kök ve derece yığınının olduğu bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken bu tür problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, o zaman sınıfa hoşgeldin "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamının türevi" .

Sinüs, kosinüs, tanjant ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi sahibi olmanız gerekiyorsa trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şöyle göründüğünde o zaman dersin var "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5 Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar. Bu fonksiyonda, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan ve türev tablosunda türevini tanıdığımız bir ürün görüyoruz. Çarpım farklılaştırma kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Örnek 6 Bir fonksiyonun türevini bulun

Karar. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev alma kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

örnek 1

Referans: Bir işlevi not etmenin aşağıdaki yolları eşdeğerdir: Bazı görevlerde, işlevi “oyuncu”, bazılarında “x'ten ef” olarak atamak uygundur.

İlk önce türevi buluyoruz:

Örnek 2

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

, , tam fonksiyon çalışması ve benzeri.

Örnek 3

Noktadaki fonksiyonun türevini hesaplayın. Önce türevi bulalım:

Bu tamamen farklı bir konu. Noktadaki türevin değerini hesaplayın:

Türevin nasıl bulunduğunu anlamadıysanız konunun ilk iki dersine dönün. Ark tanjantı ve anlamları ile ilgili zorluklar (yanlış anlamalar) varsa, mutlaka çalışmak metodik malzeme Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri- en son paragraf. Çünkü öğrenci yaşı için hala yeterli arktanjant var.

Örnek 4

Noktadaki fonksiyonun türevini hesaplayın.

Fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi

Önceki paragrafı pekiştirmek için, teğet bulma problemini düşünün. fonksiyon grafikleri Bu noktada. Bu görevle okulda tanıştık ve aynı zamanda yüksek matematik dersinde de bulunur.

Bir "gösteri" temel örneğini düşünün.

Fonksiyonun grafiğinin apsisli noktadaki teğeti için bir denklem yazın. Soruna hemen hazır bir grafik çözüm vereceğim (pratikte çoğu durumda bu gerekli değildir):

Bir teğetin kesin bir tanımı şu şekilde verilir: bir fonksiyonun türevinin tanımları, ama biz ustalaşana kadar teknik kısım soru. Elbette hemen hemen herkes teğetin ne olduğunu sezgisel olarak anlar. "Parmaklarda" açıklarsanız, fonksiyonun grafiğine teğet Düz, bu, fonksiyonun grafiği ile ilgilidir. tek nokta. Bu durumda, düz çizginin yakındaki tüm noktaları, fonksiyonun grafiğine mümkün olduğunca yakın yerleştirilir.

Bizim durumumuza uygulandığı gibi: at , tanjant (standart gösterim), fonksiyonun grafiğine tek bir noktada dokunur.

Ve görevimiz düz bir çizginin denklemini bulmak.

Bir noktada bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonun bir noktada türevi nasıl bulunur? Bu görevin iki bariz noktası ifadelerden kaynaklanmaktadır:

1) Türevi bulmak gerekir.

2) Verilen bir noktada türevin değerini hesaplamak gerekir.

örnek 1

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

Yardım: Bir işlevi not etmenin aşağıdaki yolları eşdeğerdir:

Bazı görevlerde, işlevi “oyuncu”, bazılarında “x'ten ef” olarak atamak uygundur.

İlk önce türevi buluyoruz:

Umarım birçoğu bu tür türevleri sözlü olarak bulmaya çoktan adapte olmuştur.

İkinci adımda, türevin noktadaki değerini hesaplıyoruz:

Bağımsız bir çözüm için küçük bir ısınma örneği:

Örnek 2

Bir noktada bir fonksiyonun türevini hesaplayın

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bir noktada türevi bulma ihtiyacı aşağıdaki görevlerde ortaya çıkar: bir fonksiyonun grafiğine teğet oluşturma (sonraki paragraf), bir ekstremum için bir fonksiyonun incelenmesi , grafiğin bükülmesi için fonksiyonun incelenmesi , tam fonksiyon çalışması ve benzeri.

Ancak söz konusu görev, kontrol işi ve kendi kendine. Ve kural olarak, bu gibi durumlarda işleve oldukça karmaşık verilir. Bu bağlamda, iki örnek daha düşünün.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini hesaplayın noktada .
Önce türevi bulalım:

Prensipte türev bulunur ve gerekli değer ikame edilebilir. Ama gerçekten hiçbir şey yapmak istemiyorum. İfade çok uzun ve "x" değeri kesirli. Bu nedenle türevimizi mümkün olduğunca basitleştirmeye çalışıyoruz. Bu durumda, son üç terimi ortak bir paydaya indirgemeye çalışalım: noktada .

Bu bir kendin yap örneğidir.

F(x) fonksiyonunun Ho noktasındaki türevinin değeri nasıl bulunur? Genel olarak nasıl çözülür?

Formül verilmişse, türevi bulun ve X yerine X-sıfırın yerine koyun. saymak
Eğer bir Konuşuyoruz o b-8 KULLANIM, grafik, o zaman X eksenine teğet oluşturan açının tanjantını (dar veya geniş) bulmanız gerekir (bir dik üçgenin zihinsel yapısını kullanarak ve açının tanjantını belirleyerek)

Timur adilkhodzhaev

İlk olarak, işarete karar vermelisiniz. x0 noktası koordinat düzleminin alt kısmındaysa, cevaptaki işaret eksi, daha yüksekse + olacaktır.
İkinci olarak, dikdörtgen bir dikdörtgende tangenin ne olduğunu bilmeniz gerekir. Ve bu, karşı tarafın (bacak) bitişik tarafa (aynı zamanda bacak) oranıdır. Genellikle resimde birkaç siyah işaret vardır. Yaptığın bu işaretlerden sağ üçgen ve mandalları bulun.

f x fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değeri nasıl bulunur?

özel bir soru yok - 3 yıl önce

Genel durumda, bir fonksiyonun herhangi bir noktada bir değişkene göre türevinin değerini bulmak için, verilen fonksiyonun bu değişkene göre türevini almak gerekir. Sizin durumunuzda, X değişkeni ile. Ortaya çıkan ifadede, X yerine, türevin değerini bulmanız gereken noktaya x değerini koyun, yani. sizin durumunuzda, sıfır X'i değiştirin ve elde edilen ifadeyi hesaplayın.

Pekala, bu konuyu anlama arzunuz, bence, şüphesiz, açık bir vicdanla koyduğum + 'yı hak ediyor.

Türev bulma sorununun böyle bir formülasyonu, genellikle malzemeyi türevin geometrik anlamı üzerine sabitlemek için ortaya çıkar. Tamamen keyfi ve bir denklem tarafından verilmeyen belirli bir fonksiyonun grafiği önerilmiştir ve belirtilen X0 noktasında türevin (türevin kendisinin değil!) değerini bulmak gerekir. Bunu yapmak için, verilen fonksiyona bir teğet oluşturulur ve koordinat eksenleriyle kesişme noktaları bulunur. Daha sonra bu teğetin denklemi y=kx+b şeklinde çizilir.

Bu denklemde k katsayısı ve türevinin değeri olacaktır. sadece b katsayısının değerini bulmak için kalır. Bunu yapmak için, x \u003d o'daki y değerini buluyoruz, 3'e eşit olmasına izin verin - bu, b katsayısının değeridir. X0 ve Y0 değerlerini orijinal denklemde yerine koyarız ve bu noktada türevimizin değeri olan k'yi buluruz.

Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:

Her şey açık görünüyor. Ama bu formülle hesaplamaya çalışın, örneğin fonksiyonun türevi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.

Başlangıç olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini belirtelim. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Dahası, onları ezberlemek zor değil - bu yüzden basitler.

Böylece, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	f(x) = C, C ∈ R	0 (evet, evet, sıfır!)
Rasyonel üslü derece	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinüs	f(x) = günah x	çünkü x
Kosinüs	f(x) = çünkü x	- günah x(eksi sinüs)
Teğet	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotanjant	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
doğal logaritma	f(x) = günlük x	1/x
keyfi logaritma	f(x) = günlük a x	1/(x içinde a)
üstel fonksiyon	f(x) = e x	e x(hiçbirşey değişmedi)

Temel bir işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası. Artık çok temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilen yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

fonksiyonlar olsun f(x) ve g(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle, fark f − g toplam olarak yeniden yazılabilir f+ (−1) g ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

f(x) = x 2 + günah; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

İşlev f(x) iki temel fonksiyonun toplamıdır, yani:

f ’(x) = (x 2+ günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cosx;

İşlev için benzer şekilde tartışıyoruz g(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cevap:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Bir ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok insan, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. vuruş"\u003e türevlerin ürününe eşittir. Ama incir size! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formül basittir, ancak çoğu zaman unutulur. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = x 3 kosk; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · e x .

İşlev f(x) iki temel işlevin bir ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:

f ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3)' çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (-günah x) = x 2 (3cos x − x günah x)

İşlev g(x) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bu değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk çarpanı g(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x- 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cevap:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bu gerekli değildir, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, ancak işlevi keşfetmek için hesaplanır. Bu, türevin sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin bulunacağı vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

iki fonksiyon varsa f(x) ve g(x), ve g(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz h(x) = f(x)/g(x). Böyle bir fonksiyon için türevi de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Niye ya g 2? Ama böyle! Bu en karmaşık formüllerden biridir - bir şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payında ve paydasında temel fonksiyonlar vardır, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:

Geleneğe göre, payı faktörlere ayırıyoruz - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. f(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x, söyle, üzerinde x 2+ln x. ortaya çıkıyor f(x) = günah ( x 2+ln x) karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var, ancak onu yukarıda tartışılan kurallara göre bulmak işe yaramayacak.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, bir değişkenin değiştirilmesi ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:

f ’(x) = f ’(t) · t', Eğer x ile değiştirilir t(x).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasıyla ilgili durum, bölümün türevinden daha da üzücü. Bu nedenle, belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir. Detaylı Açıklama her adım.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2+ln x)

İşlevde ise f(x) ifade 2 yerine x+ 3 kolay olacak x, sonra bir temel fonksiyon elde ederiz f(x) = e x. Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme gerçekleştirme: t = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Şimdi fonksiyona bakalım g(x). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor. x 2+ln x = t. Sahibiz:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = çünkü t · t ’

Ters değiştirme: t = x 2+ln x. Sonra:

g ’(x) = çünkü ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = çünkü ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı gibi, tüm problem toplamın türevinin hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünkü( x 2+ln x).

Derslerimde çok sık “türev” terimi yerine “inme” kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamdan bir vuruş toplamına eşittir vuruşlar. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevin hesaplanması, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, rasyonel bir üsle türev kuvvetine dönelim:

(x n)’ = n · x n − 1

Rolde bunu çok az kişi biliyor n iyi davranabilir kesirli sayı. Örneğin, kök x 0,5 . Ama ya kökün altında zor bir şey varsa? Yine, karmaşık bir işlev ortaya çıkacak - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi seviyorlar.

Görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Şimdi bir ikame yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = t. Türevi aşağıdaki formülle buluruz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0.5 t ’.

Ters bir ikame yaparız: t = x 2 + 8x− 7. Bizde:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim:

Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi.

Tanıtım.

Gerçek metodolojik gelişmeler Endüstri ve İnşaat Fakültesi öğrencileri için tasarlanmıştır. "Bir değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı" bölümünde matematik dersi programı ile ilgili olarak derlenirler.

Gelişmeler, aşağıdakileri içeren tek bir metodolojik kılavuzdur: kısa teorik bilgiler; Bu çözümler için ayrıntılı çözümler ve açıklamalar içeren "tipik" görevler ve alıştırmalar; kontrol seçenekleri.

Her paragrafın sonunda ek alıştırmalar. Böyle bir geliştirme yapısı, onları öğretmenden en az yardımla bölümün bağımsız ustalığı için uygun hale getirir.

§1. Bir türevin tanımı.

Mekanik ve geometrik anlam

türev.

Türev kavramı, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir ve 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Türev kavramının oluşumu tarihsel olarak iki problemle ilişkilidir: değişken hareketin hızı problemi ve bir eğriye teğet problemi.

Bu görevlere rağmen çeşitli içerik, bir fonksiyon üzerinde yapılması gereken matematiksel işlemin aynısına yol açar.Bu işlem matematikte özel bir isim almıştır. Bir fonksiyonun türevini alma işlemi denir. Türev alma işleminin sonucuna türev denir.

Yani, y=f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının (eğer varsa) limitidir.
de
.

Türev genellikle aşağıdaki gibi gösterilir:
.

Yani tanım gereği

Semboller ayrıca türevi belirtmek için de kullanılır.
.

Türevin mekanik anlamı.

Eğer s=s(t) bir maddesel noktanın doğrusal hareket yasası ise, o zaman
bu noktanın t anındaki hızıdır.

Türevin geometrik anlamı.

y=f(x) fonksiyonunun bir noktada türevi varsa , o zamanlar eğim bir noktada bir fonksiyonun grafiğine teğet
eşittir
.

Misal.

Bir fonksiyonun türevini bulun
noktada =2:

1) Bir puan verelim =2 artış
. Dikkat, bu.

2) Noktadaki fonksiyonun artışını bulun =2:

3) Fonksiyon artışının argümanın artışına oranını oluşturun:

ilişkinin limitini bulalım.
:

Böylece,
.

§ 2. Bazılarının türevleri

en basit fonksiyonlar.

Öğrencinin belirli fonksiyonların türevlerini nasıl hesaplayacağını öğrenmesi gerekir: y=x,y= ve genel olarak y= .

y=x fonksiyonunun türevini bulun.

onlar. (x)′=1.

fonksiyonun türevini bulalım

Türev

İzin vermek
o zamanlar

Bir güç fonksiyonunun türevleri için ifadelerde bir model fark etmek kolaydır.
n=1,2,3'te.

Buradan,

. (1)

Bu formül herhangi bir gerçek n için geçerlidir.

Özellikle, formül (1) kullanarak şunları elde ederiz:

;

Misal.

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu fonksiyon, formun bir fonksiyonunun özel bir halidir.

de
.

(1) formülünü kullanarak,

y=sin x ve y=cos x fonksiyonlarının türevleri.

y=sinx olsun.

∆x'e bölersek,

Limite ∆x→0 olarak geçersek,

y=cosx olsun.

∆x→0 olarak limite geçerek elde ederiz.

;
. (2)

§3. Temel farklılaşma kuralları.

Farklılaşma kurallarını göz önünde bulundurun.

teorem1 . u=u(x) ve v=v(x) fonksiyonları verilen bir x noktasında türevlenebilirse, toplamları da bu noktada türevlenebilir ve toplamın türevi türetilen terimlerin toplamına eşittir: (u+v)"=u"+v".(3 )

İspat: y=f(x)=u(x)+v(x) fonksiyonunu düşünün.

x argümanının ∆x artışı, u ve v işlevlerinin ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) artışlarına karşılık gelir. Daha sonra y fonksiyonu artırılacaktır.

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Buradan,

Yani, (u+v)"=u"+v".

teorem2. u=u(x) ve v=v(x) fonksiyonları verilen bir x noktasında türevlenebilirse, çarpımları da aynı noktada türevlenebilir.Bu durumda, ürünün türevi aşağıdaki formülle bulunur. : (uv) "=u" v + uv ". (4)

İspat: y=uv olsun, burada u ve v, x'in bazı türevlenebilir fonksiyonlarıdır. x ∆x artırılsın, o zaman u ∆u artırılacak, v ∆v artırılacak ve y ∆y artırılacak.

elimizde y+∆y=(u+∆u)(v+∆v) var veya

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Bu nedenle, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Buradan

∆x→0 olarak limite geçerek ve u ve v'nin ∆x'e bağlı olmadığını dikkate alarak,

teorem 3. İki fonksiyonun bir bölümünün türevi, paydası bölenin karesine eşit olan bir kesre eşittir ve pay, bölenin bölenin türevinin ürünü ile bölenin ürünü arasındaki farktır. bölenin türevine göre temettü, yani

Eğer bir
o zamanlar
(5)