Teğetlerin sinüslerinin kosinüslerinin çeyrekleri. trigonometrik daire. Trigonometrik fonksiyonların temel değerleri

zaten aşina iseniz trigonometrik daire , ve sadece hafızanızdaki öğeleri tek tek yenilemek istiyorsunuz veya tamamen sabırsızsınız, o zaman işte burada:

Burada her şeyi adım adım ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Trigonometrik daire bir lüks değil, bir zorunluluktur

Trigonometri çoğu geçilmez bir çalılık ile ilişkilidir. Pek çok anlam birdenbire birikiyor trigonometrik fonksiyonlar, pek çok formül ... Ama sanki, - ilk başta işe yaramadı ve ... tekrar tekrar ... tamamen yanlış anlama ...

el sallamamak çok önemli trigonometrik fonksiyonların değerleri, - derler ki, mahmuza her zaman bir değerler tablosu ile bakabilirsiniz.

Tabloya sürekli trigonometrik formüllerin değerleriyle bakıyorsanız bu alışkanlıktan kurtulalım!

Bizi kurtaracak! Onunla birkaç kez çalışacaksın ve sonra kendi başına kafanda belirecek. Neden bir masadan daha iyidir? Evet, tabloda sınırlı sayıda değer bulacaksınız, ancak daire üzerinde - HER ŞEY!

Örneğin, bakarak söyle trigonometrik formüllerin standart değer tablosu , bu, diyelim ki, 300 derece veya -45'in sinüsüdür.

Olmaz mı? .. elbette bağlanabilirsin azaltma formülleri... Ve trigonometrik daireye bakarak bu tür soruları kolayca cevaplayabilirsiniz. Ve yakında nasıl olduğunu bileceksin!

Ve trigonometrik daire olmadan trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken - hiçbir yerde.

trigonometrik daireye giriş

Sırayla gidelim.

İlk önce, aşağıdaki sayı dizisini yazın:

Ve şimdi bu:

Ve son olarak bu:

Tabii ki, aslında, ilk sırada, ikinci sırada ve son olarak - olduğu açıktır. Yani zincirle daha çok ilgileneceğiz.

Ama ne kadar güzel çıktı! Bu durumda, bu “harika merdiveni” restore edeceğiz.

Ve neden buna ihtiyacımız var?

Bu zincir, ilk çeyrekte sinüs ve kosinüs ana değerleridir.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde birim yarıçaplı bir daire çizelim (yani, uzunluk boyunca herhangi bir yarıçapı alıyoruz ve uzunluğunu birim olarak ilan ediyoruz).

“0-Start” kirişinden ok yönünde (bkz. Şekil) köşeleri ayırıyoruz.

Çemberde karşılık gelen noktaları alıyoruz. Yani noktaları eksenlerin her birine yansıtırsak, yukarıdaki zincirden tam olarak değerleri alacağız.

Neden sordun ki?

Her şeyi ayırmayalım. Düşünmek prensip, bu da diğer benzer durumlarla başa çıkmanıza izin verecek.

AOB üçgeni ile bir dik üçgendir. Ve açının karşısında hipotenüsün iki katı kadar küçük bir bacak bulunduğunu biliyoruz (hipotenüsümüz = dairenin yarıçapı, yani 1).

Dolayısıyla, AB= (ve dolayısıyla OM=). Ve Pisagor teoremi ile

Umarım şimdi bir şeyler açıktır.

Böylece B noktası değere, M noktası da değere karşılık gelecektir.

Benzer şekilde, ilk çeyreğin değerlerinin geri kalanıyla.

Anladığınız gibi, bize tanıdık eksen (öküz) olacaktır. kosinüs ekseni, ve eksen (oy) - sinüs ekseni . sonra.

Kosinüs ekseninde sıfırın solunda (sinüs ekseninde sıfırın altında) elbette negatif değerler.

Yani, işte burada, TÜM GÜÇLÜ, onsuz trigonometride hiçbir yer yok.

Ama trigonometrik çemberin nasıl kullanılacağından bahsedeceğiz.

Tanjant (tg x) ve kotanjant (ctg x) için referans verileri. Geometrik tanım, özellikler, grafikler, formüller. Teğetler ve kotanjantlar, türevler, integraller, seri açılımları tablosu. Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler. Hiperbolik fonksiyonlarla bağlantı.

geometrik tanım

|BD| - A noktasında ortalanmış bir dairenin yayının uzunluğu.
α, radyan cinsinden ifade edilen açıdır.

teğet ( tga) hipotenüs ve bacak arasındaki α açısına bağlı trigonometrik bir fonksiyondur sağ üçgen, karşı bacağın uzunluğunun oranına eşittir |BC| bitişik bacağın uzunluğuna |AB| .

kotanjant ( ctgα) hipotenüs ile bir dik üçgenin ayağı arasındaki α açısına bağlı olan trigonometrik bir fonksiyondur, komşu ayağın uzunluğunun oranına |AB| karşı bacağın uzunluğuna |BC| .

Teğet

Neresi n- tüm.

AT Batı edebiyatı tanjant aşağıdaki gibi tanımlanır:
.
;
;
.

Tanjant fonksiyonunun grafiği, y = tg x

Kotanjant

Neresi n- tüm.

Batı literatüründe, kotanjant şu şekilde gösterilir:
.
Aşağıdaki gösterim de kabul edilmiştir:
;
;
.

Kotanjant fonksiyonunun grafiği, y = ctg x

Tanjant ve kotanjantın özellikleri

periyodiklik

fonksiyonlar y= tg x ve y= ctg xπ periyodu ile periyodiktir.

parite

Tanjant ve kotanjant fonksiyonları tektir.

Tanım ve değer alanları, artan, azalan

Tanjant ve kotanjant işlevleri tanım alanlarında süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Tanjant ve kotanjantın ana özellikleri tabloda sunulmuştur ( n- tamsayı).

	y= tg x	y= ctg x
Kapsam ve süreklilik
Değer aralığı	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
artan		-
Azalan	-
aşırılıklar	-	-
sıfırlar, y= 0
y ekseni ile kesişme noktaları, x = 0	y= 0	-

formüller

Sinüs ve kosinüs cinsinden ifadeler

; ;
; ;
;

Toplam ve farkın tanjantı ve kotanjantı için formüller

Formüllerin geri kalanının elde edilmesi kolaydır, örneğin

teğetlerin çarpımı

Teğetlerin toplamı ve farkı için formül

Bu tablo, argümanın bazı değerleri için teğet ve kotanjant değerlerini gösterir.

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler

;
;

türevler

; .

.
Fonksiyonun x değişkenine göre n. mertebenin türevi:
.
Tanjant için formüllerin türetilmesi > > > ; kotanjant için > > >

integraller

Seri genişletmeler

Teğetin x'in kuvvetleri cinsinden genişlemesini elde etmek için, genişlemenin birkaç terimini güç serisi fonksiyonlar için günah x ve çünkü x ve bu polinomları birbirine bölün , . Bu, aşağıdaki formüllerle sonuçlanır.

.

.
nerede ben- Bernoulli sayıları. Bunlar, yineleme bağıntısından belirlenir:
;
;
nerede .
Veya Laplace formülüne göre:

ters fonksiyonlar

Tanjant ve kotanjantın ters fonksiyonları sırasıyla arktanjant ve ark kotanjanttır.

arktanjant, arktg

, nerede n- tüm.

Ark tanjantı, arkctg

, nerede n- tüm.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
G. Korn, Araştırmacılar ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi ya da onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir başvuru gönderdiğinizde, toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• tarafımızdan toplanmıştır kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize izin verir benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, yargı usulüne uygun olarak, dava ve/veya genel istek veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Trigonometrik bir daire üzerinde açıları sayma.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Bir önceki dersle hemen hemen aynı. Eksenler var, daire var, açı var, her şey çin-çin. Çeyrek sayıları eklendi (büyük bir karenin köşelerinde) - birinciden dördüncüye. Ve sonra aniden kim bilmiyor? Gördüğünüz gibi, çeyrekler (aynı zamanda denir güzel dünya"çeyrekler") harekete karşı numaralandırılmıştır saat yönünde. Eksenlerde açı değerleri eklendi. Her şey açık, fırfırlar yok.

Ve yeşil bir ok ekledi. Bir artı ile. Ne demek istiyor? Köşenin sabit tarafını hatırlatayım her zaman OH pozitif eksenine çivilenmiş. Yani köşenin hareketli tarafını bükersek artı ok, yani artan çeyrek sayılarda, açı pozitif kabul edilecektir.Örneğin, resim +60°'lik bir pozitif açı gösterir.

Kornerleri ertelersek içinde ters taraf, saat yönünde, açı negatif kabul edilecektir. Resmin üzerine gelin (veya tabletteki resme dokunun), eksi ile mavi bir ok göreceksiniz. Bu, açıların negatif okuma yönüdür. Örnek olarak negatif bir açı (-60°) gösterilmiştir. Ve eksenlerdeki sayıların nasıl değiştiğini de göreceksiniz... Ben de onları eksi açılara çevirdim. Çeyreklerin numaralandırması değişmez.

Burada genellikle ilk yanlış anlamalar başlar. Nasıl yani!? Ve daire üzerindeki negatif açı pozitif ile çakışırsa!? Ve genel olarak, hareketli tarafın (veya sayı çemberindeki bir noktanın) aynı pozisyonunun hem negatif açı hem de pozitif olarak adlandırılabileceği ortaya çıktı!?

Evet. Aynen öyle. Diyelim ki 90 derecelik pozitif bir açı bir çember üzerinde olsun tam olarak aynı eksi 270 derece negatif açı olarak konumlandırın. Pozitif bir açı, örneğin +110° derece, tam olarak aynı negatif açı olarak konum -250°'dir.

Sorun yok. Her şey doğru.) Açının pozitif veya negatif hesaplanmasının seçimi, atamanın durumuna bağlıdır. Durum hiçbir şey söylemiyorsa düz metin açının işareti hakkında, ("en küçük olanı belirle" gibi) pozitif açı" vb.), o zaman bizim için uygun olan değerlerle çalışırız.

Bir istisna (ve onlarsız nasıl ?!) trigonometrik eşitsizliklerdir, ancak orada bu numarada ustalaşacağız.

Ve şimdi size bir soru. 110° açının konumunun -250° açının konumuyla aynı olduğunu nasıl bilebilirim?
Bunun tam ciro nedeniyle olduğunu ima edeceğim. 360°'de... Net değil mi? Sonra bir daire çiziyoruz. Kağıt üzerine çiziyoruz. köşeyi işaretleme hakkında 110°. Ve inanmak tam bir dönüşe kadar ne kadar kalır. Sadece 250° kaldı...

Anladım? Ve şimdi - dikkat! 110° ve -250° açıları daireyi kaplıyorsa aynı pozisyon, sonra ne? Evet, açıların 110° ve -250° olması tam olarak aynı sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant!
Onlar. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) vb. Şimdi bu gerçekten önemli! Ve kendi içinde - ifadeleri basitleştirmenin gerekli olduğu ve daha sonra indirgeme formüllerinin ve diğer trigonometri karmaşıklıklarının geliştirilmesi için bir temel olarak birçok görev vardır.

Tabii ki 110 ° ve -250 ° 'yi rastgele, tamamen örneğin aldım. Bütün bu eşitlikler, çember üzerinde aynı konumu işgal eden açılar için geçerlidir. 60° ve -300°, -75° ve 285°, vb. Hemen not ediyorum ki bu çiftlerdeki köşeler - çeşitli. Ama trigonometrik fonksiyonları var - aynısı.

Negatif açıların ne olduğunu anladığınızı düşünüyorum. Oldukça basit. Saat yönünün tersi pozitif bir sayıdır. Yol boyunca, olumsuz. Açıyı pozitif veya negatif olarak düşünün bize bağlı. Arzumuzdan. Eh, ve görevden daha fazlası, elbette ... Trigonometrik fonksiyonlarda negatiften pozitife ve tersi yönde nasıl hareket edeceğinizi anladığınızı umuyorum. Bir daire, yaklaşık bir açı çizin ve tam bir dönüş yapmadan önce ne kadarının eksik olduğunu görün, yani. 360 ° 'ye kadar.

360°'den büyük açılar.

360 ° 'den büyük açılarla ilgilenelim. Ve böyle şeyler olur mu? Elbette var. Onları bir daireye nasıl çizebilirim? Problem değil! 1000 ° 'lik bir açının hangi çeyreğe düşeceğini anlamamız gerektiğini varsayalım? Kolayca! Saat yönünün tersine bir tam dönüş yapıyoruz (açı bize pozitif verildi!). 360° geri sar. Pekala, devam edelim! Başka bir dönüş - zaten 720 ° çıktı. Ne kadar kaldı? 280°. Tam bir dönüş için yeterli değil ... Ancak açı 270 ° 'den fazla - ve bu üçüncü ve dördüncü çeyrek arasındaki sınır. Yani 1000°'lik açımız dördüncü çeyreğe düşüyor. Her şey.

Gördüğünüz gibi, oldukça basit. "Ekstra" tam dönüşleri atarak elde ettiğimiz 1000° açı ve 280° açının kesinlikle söylemek gerekirse, çeşitli köşeler. Ancak bu açıların trigonometrik fonksiyonları tam olarak aynı! Onlar. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° vb. Sinüs olsaydım, bu iki açı arasındaki farkı fark etmezdim...

Bütün bunlar neden gerekli? Neden açıları birinden diğerine çevirmemiz gerekiyor? Evet, hepsi aynı.) İfadeleri sadeleştirmek için. İfadelerin basitleştirilmesi, aslında, okul matematiğinin ana görevidir. Eh, yol boyunca, kafa antrenman yapıyor.)

Peki, pratik yapalım mı?)

Soruları cevaplıyoruz. İlk başta basit.

1. -325 ° açısı hangi çeyrekte düşer?

2. 3000° açısı hangi çeyrekte düşer?

3. -3000° açısı hangi çeyrekte düşer?

Bir sorun var? Yoksa güvensizlik mi? Bölüm 555'e gidiyoruz, Trigonometrik çemberle pratik çalışma. Orada, bunun ilk dersinde çok " pratik iş..." her şey ayrıntılı ... İçinde çok belirsizlik soruları olmamalı!

4. sin555°'nin işareti nedir?

5. tg555°'nin işareti nedir?

Belirlenen? İyi! Şüphe? Bölüm 555'e ihtiyaç var ... Bu arada, orada trigonometrik bir daire üzerinde teğet ve kotanjant çizmeyi öğreneceksiniz. Çok faydalı bir şey.

Ve şimdi daha akıllı sorular.

6. sin777° ifadesini en küçük pozitif açının sinüsüne getirin.

7. cos777° ifadesini en büyük negatif açının kosinüsüne getirin.

8. cos(-777°) ifadesini en küçük pozitif açının kosinüsüne dönüştürün.

9. sin777° ifadesini en büyük negatif açının sinüsüne getirin.

Ne, sorular 6-9 şaşkın mı? Alışın, sınavda öyle formülasyonlar yok... Öyle olsun, tercüme edeyim. Sadece senin için!

"İfadeyi ..." olarak azaltmak kelimeleri, ifadeyi değeri olacak şekilde dönüştürmek anlamına gelir. değişmedi a görünüm göreve göre değiştirilir. Bu nedenle, görev 6 ve 9'da, içinde bir sinüs almalıyız. en küçük pozitif açı Diğer her şey önemli değil.

Cevapları sırayla vereceğim (kurallarımıza aykırı olarak). Ama ne yapmalı, sadece iki işaret var ve sadece dört çeyrek ... Seçeneklere dağılmayacaksınız.

6. günah57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9. günah(-57°)

Sanırım 6-9. soruların cevapları bazılarının kafasını karıştırdı. Özellikle -günah(-57°), değil mi?) Aslında, açıları saymak için temel kurallarda hatalara yer var ... Bu yüzden bir ders yapmak zorunda kaldım: "Fonksiyonların işaretleri nasıl belirlenir ve trigonometrik bir daire üzerinde açılar nasıl verilir?" Bölüm 555'te. 4 - 9 arası görevler sıralanmıştır. Tüm tuzaklarla birlikte iyi sıralanmış. Ve buradalar.)

Bir sonraki dersimizde gizemli radyanlar ve "Pi" sayısı ile ilgileneceğiz. Dereceleri radyana ve tam tersine nasıl kolayca ve doğru bir şekilde dönüştüreceğinizi öğrenin. Ve sitede bu temel bilgilerin olduğunu görünce şaşıracağız. zaten yeterli bazı standart olmayan trigonometri bulmacalarını çözmek için!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Trigonometrik fonksiyonun işareti yalnızca sayısal argümanın bulunduğu koordinat çeyreğine bağlıdır. Geçen sefer, argümanları bir radyan ölçüsünden derece ölçüsüne nasıl çevireceğimizi öğrendik (bkz. “ Bir açının radyan ve derece ölçüsü” dersine bakın) ve sonra aynı koordinat çeyreğini belirleyin. Şimdi aslında sinüs, kosinüs ve tanjantın işaretinin tanımıyla ilgilenelim.

α açısının sinüsü, yarıçap α açısı boyunca döndürüldüğünde meydana gelen, trigonometrik bir daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (y koordinatı).

α açısının kosinüsü, yarıçap α açısı boyunca döndüğünde oluşan bir trigonometrik daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (x koordinatı).

α açısının tanjantı, sinüsün kosinüs oranına oranıdır. Veya eşdeğer olarak, y-koordinatının x-koordinatına oranı.

Gösterim: günah α = y ; cosα = x; tga = y : x .

Tüm bu tanımlar size lise cebir dersinden aşinadır. Bununla birlikte, tanımların kendisiyle değil, trigonometrik çember üzerinde ortaya çıkan sonuçlarla ilgileniyoruz. Bir göz at:

Mavi renk OY ekseninin (ordinat ekseni) pozitif yönünü, kırmızı renk OX ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönünü gösterir. Bu "radarda" trigonometrik fonksiyonların işaretleri belirginleşir. Özellikle:

1. sin α > 0, eğer α açısı I veya II koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Bunun nedeni, tanım gereği sinüsün bir ordinat (y koordinatı) olmasıdır. Ve y koordinatı tam olarak I ve II koordinat çeyreklerinde pozitif olacaktır;
2. cos α > 0 eğer α açısı I veya IV koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Çünkü sadece orada x koordinatı (aynı zamanda apsistir) sıfırdan büyük olacaktır;
3. tg α > 0, eğer α açısı I veya III koordinat çeyreğinde bulunuyorsa. Bu şu tanımdan çıkar: sonuçta, tg α = y : x , bu nedenle yalnızca x ve y'nin işaretlerinin çakıştığı yerde pozitiftir. Bu, 1. koordinat çeyreğinde (burada x > 0, y > 0) ve 3. koordinat çeyreğinde (x) olur.< 0, y < 0).

Açıklık sağlamak için, her trigonometrik fonksiyonun - sinüs, kosinüs ve tanjant - işaretlerini ayrı "radar" üzerinde not ediyoruz. Aşağıdaki resmi alıyoruz:

Not: Akıl yürütmemde, dördüncü trigonometrik fonksiyondan - kotanjanttan hiç bahsetmedim. Gerçek şu ki, kotanjantın işaretleri tanjantın işaretleri ile çakışıyor - orada özel kurallar yok.

Şimdi, B11 problemlerine benzer örnekleri ele almayı öneriyorum. deneme sınavı 27 Eylül 2011'de gerçekleşen matematikte. Sonuçta En iyi yol teoriyi anlamak pratiktir. Tercihen çok pratik. Tabii ki, görevlerin koşulları biraz değişti.

Görev. Trigonometrik fonksiyonların ve ifadelerin işaretlerini belirleyin (fonksiyonların değerlerinin dikkate alınması gerekmez):

1. günah(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Eylem planı şu şekildedir: önce tüm açıları radyan ölçüsünden derece ölçüsüne çeviririz (π → 180°) ve sonra ortaya çıkan sayının hangi koordinat çeyreğinde bulunduğuna bakarız. Çeyrekleri bilerek, işaretleri kolayca bulabiliriz - az önce açıklanan kurallara göre. Sahibiz:

1. günah (3π/4) = günah (3 180°/4) = günah 135°. 135° ∈ olduğundan, bu II koordinat çeyreğinden bir açıdır. Ancak ikinci çeyrekteki sinüs pozitiftir, yani sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Çünkü 210° ∈ , bu, tüm kosinüslerin negatif olduğu III koordinat çeyreğinden bir açıdır. Bu nedenle, cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ olduğundan, teğetin negatif değerler aldığı IV. kadrandayız. Bu nedenle tg (5π/3)< 0;
4. günah (3π/4) cos (5π/6) = günah (3 180°/4) cos (5 180°/6) = günah 135° cos 150°. Sinüsle ilgilenelim: çünkü 135° ∈ , bu sinüslerin pozitif olduğu ikinci çeyrek, yani. sin (3π/4) > 0. Şimdi kosinüsle çalışıyoruz: 150° ∈ - yine ikinci çeyrek, oradaki kosinüsler negatif. Bu nedenle cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Kosinüs'e bakıyoruz: 120° ∈, II koordinat çeyreğidir, yani cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Yine faktörlerin farklı işaretlere sahip olduğu bir ürün elde ettik. “Eksi çarpı artı bir eksi verdiği için” elimizde: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. günah (5π/6) cos (7π/4) = günah (5 180°/6) cos (7 180°/4) = günah 150° cos 315°. Sinüs ile çalışıyoruz: 150° ∈'den beri, Konuşuyoruz sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreği hakkında. Bu nedenle, sin (5π/6) > 0. Benzer şekilde, 315° ∈ IV koordinat çeyreğidir, oradaki kosinüsler pozitiftir. Bu nedenle, cos (7π/4) > 0. İki pozitif sayının çarpımını elde ettik - böyle bir ifade her zaman pozitiftir. Şu sonuca varıyoruz: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Ancak 135 ° ∈ açısı ikinci çeyrektir, yani. bronz (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. “Eksi artı eksi işareti verdiğinden”, elimizde: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Kotanjant argümanına bakıyoruz: 240° ∈ III koordinat çeyreğidir, dolayısıyla ctg (4π/3) > 0'dır. Benzer şekilde, elimizdeki tanjant için: 30° ∈ I koordinat çeyreğidir, yani. en kolay köşe Bu nedenle, tg (π/6) > 0. Yine iki pozitif ifademiz var - bunların çarpımı da pozitif olacak. Bu nedenle ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Son olarak, birkaç tane daha bakalım zorlu görevler. Trigonometrik fonksiyonun işaretini bulmaya ek olarak, burada küçük bir hesaplama yapmanız gerekiyor - tıpkı B11 gerçek problemlerinde olduğu gibi. Prensip olarak, bunlar matematikte sınavda gerçekten bulunan neredeyse gerçek görevlerdir.

Görev. sin 2 α = 0.64 ve α ∈ [π/2; π].

sin 2 α = 0.64 olduğundan, elimizde: sin α = ±0.8. Karar vermek için kalır: artı mı eksi mi? Varsayım olarak, açı α ∈ [π/2; π], tüm sinüslerin pozitif olduğu II koordinat çeyreğidir. Bu nedenle, sin α = 0.8 - işaretlerle ilgili belirsizlik ortadan kalkar.

Görev. cos 2 α = 0.04 ve α ∈ [π; ise cos α'yı bulun; 3π/2.

Benzer şekilde hareket ediyoruz, yani. Ayıkla Kare kök: çünkü 2 α = 0,04 ⇒ çünkü α = ±0,2. Varsayım olarak, açı α ∈ [π; 3π/2], yani III koordinat çeyreğinden bahsediyoruz. Orada, tüm kosinüsler negatiftir, dolayısıyla cos α = −0.2.

Görev. sin 2 α = 0.25 ve α ∈ ise sin α'yı bulun.

Şunlara sahibiz: günah 2 α = 0,25 ⇒ günah α = ±0,5. Yine açıya bakıyoruz: α ∈, bildiğiniz gibi sinüsün negatif olacağı IV koordinat çeyreğidir. Böylece şu sonuca varırız: sin α = −0.5.

Görev. tg 2 α = 9 ve α ∈ ise tg α'yı bulun.

Her şey aynı, sadece teğet için. Karekök alıyoruz: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Ancak koşula göre, α ∈ açısı I koordinat çeyreğidir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar, dahil. teğet, pozitif var, yani tg α = 3. İşte bu kadar!