Bir üçgenin üç açısı eşittir. Bir üçgenin açılarının toplamı. açıların üçgen toplamı teoremi

Teorem. Bir üçgenin iç açılarının toplamı iki dik açıya eşittir.

Bir ABC üçgeni alın (Şek. 208). İç açılarını 1, 2 ve 3 ile gösterelim. Bunu ispatlayalım.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Üçgenin bir köşesini çizelim, örneğin B, AC'ye paralel MN doğrusu.

B köşesinde üç açımız var: ∠4, ∠2 ve ∠5. Toplamları düz bir açıdır, bu nedenle 180 ° 'ye eşittir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ancak ∠4 \u003d ∠1, MN ve AC paralel çizgileri ve bir AB sekantıyla iç çapraz açılardır.

∠5 = ∠3, MN ve AC paralel çizgileri ve BC sekantıyla iç çapraz yatma açılarıdır.

Dolayısıyla, ∠4 ve ∠5, ∠1 ve ∠3 eşitleri ile değiştirilebilir.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem kanıtlanmıştır.

2. Bir üçgenin dış açısının özelliği.

Nitekim, ABC üçgeninde (Şekil 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, aynı zamanda ∠BCD, bu üçgenin ∠1 ve ∠2'ye bitişik olmayan dış açısı da 180°'ye eşittir - ∠3 .

Böylece:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Bir üçgenin dış açısının türetilmiş özelliği, yalnızca bir üçgenin dış açısının, üçgenin her bir iç açısından daha büyük olduğu belirtilen, bir üçgenin dış açısı üzerinde önceden kanıtlanmış teoremin içeriğini iyileştirir. yanında değil; şimdi, dış açının, kendisine bitişik olmayan her iki iç açının toplamına eşit olduğu belirlendi.

3. Açısı 30° olan bir dik üçgenin özelliği.

Bırak girsin sağ üçgen DIA açısı B 30°'dir (Şek. 210). O zaman diğer dar açısı 60° olacaktır.

AC ayağının AB hipotenüsünün yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. AC bacağına tepe noktasının ötesinde devam ediyoruz dik açı C ve AC segmentine eşit olan SM segmentini bir kenara koyun. M noktasını B noktasına bağlarız. Ortaya çıkan BCM üçgeni üçgene eşittir DIA. AVM üçgeninin her bir açısının 60°'ye eşit olduğunu görüyoruz, bu nedenle bu üçgen eşkenardır.

AC bacağı AM'nin yarısına eşittir ve AM, AB'ye eşit olduğundan, AC bacağı AB hipotenüsünün yarısına eşit olacaktır.

"Öklid geometrisinde herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180 derecedir" gerçeği kolayca hatırlanabilir. Hatırlamak kolay değilse, daha iyi ezberlemek için birkaç deney yapabilirsiniz.

Deney bir

Bir kağıda rastgele üçgenler çizin, örneğin:

• keyfi taraflarla;
• ikizkenar üçgen;
• sağ üçgen.

hattı kullandığınızdan emin olun. Şimdi, tam olarak çizilen çizgiler boyunca yaparak ortaya çıkan üçgenleri kesmeniz gerekiyor. Her üçgenin köşelerini renkli kurşun kalem veya keçeli kalemle renklendirin. Örneğin, ilk üçgende tüm köşeler kırmızı, ikinci - mavi, üçüncü - yeşil olacaktır. http://bit.ly/2gY4Yfz

İlk üçgenden, 3 köşeyi de kesin ve her köşenin en yakın kenarları birleşecek şekilde bunları bir noktada köşelerle birleştirin. Gördüğünüz gibi, üçgenin üç açısı 180 dereceye eşit bir düz açı oluşturdu. Diğer iki üçgen için de aynısını yapın - sonuç aynı olacaktır. http://bit.ly/2zurCrd

deney iki

İsteğe bağlı bir ABC üçgeni çiziyoruz. Herhangi bir tepe noktası seçiyoruz (örneğin, C) ve bunun üzerinden karşı tarafa (AB) paralel bir DE düz çizgisi çiziyoruz. http://bit.ly/2zbYNzq

Aşağıdakileri alıyoruz:

1. BAC ve ACD açıları, AC'ye göre dahili olarak çapraz olarak eşittir;
2. ABC ve BCE açıları, BC'ye göre dahili olarak çapraz olarak eşittir;
3. 1, 2 ve 3 açılarının - bir noktada bağlanan üçgenin açılarının, 180 dereceye eşit gelişmiş bir DCE açısı oluşturduğunu görüyoruz.

Üçgen Toplam Teoremi, herhangi bir üçgenin tüm iç açılarının toplamının 180° olduğunu belirtir.

Üçgenin iç açıları a, b ve c olsun, o zaman:

a + b + c = 180°.

Bu teoriden, herhangi bir üçgenin tüm dış açılarının toplamının 360 ° olduğu sonucuna varabiliriz. Dış açı iç açıya komşu olduğu için toplamları 180° dir. Bir üçgenin iç açıları a, b ve c olsun, bu açılardaki dış açılar 180° - a, 180° - b ve 180° - c olsun.

Üçgenin dış açılarının toplamını bulun:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Cevap: Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir; üçgenin dış açıları toplamı 360° dir.

Bu teorem L.S. Atanasyan'ın ders kitabında da formüle edilmiştir. , ve ders kitabında Pogorelov A.V. . Bu teoremin bu ders kitaplarındaki kanıtları önemli ölçüde farklı değildir ve bu nedenle kanıtını örneğin Pogorelov A.V.'nin ders kitabından sunuyoruz.

Teorem: Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir.

Kanıt. Verilen üçgen ABC olsun. AC çizgisine paralel B köşesi boyunca bir çizgi çizin. A ve D noktaları BC çizgisinin zıt taraflarında olacak şekilde D noktasını işaretleyin (Şek. 6).

DBC ve ACB açıları, paralel düz çizgiler AC ve BD olan bir BC sekantının oluşturduğu iç çaprazlama olarak eşittir. Bu nedenle üçgenin B ve C köşelerindeki açılarının toplamı ABD açısına eşittir. Ve bir üçgenin üç açısının toplamı, ABD ve BAC açılarının toplamına eşittir. Bu açılar paralel AC ve BD ve AB sekant için tek taraflı iç açı olduğundan, toplamları 180 ° 'dir. Teorem kanıtlanmıştır.

Bu kanıtın arkasındaki fikir, paralel hat ve istenen açıların eşitliğinin belirlenmesi. Bir düşünce deneyi kavramını kullanarak bu teoremi kanıtlayarak böyle bir ek yapı fikrini yeniden yapılandırıyoruz. Bir düşünce deneyi kullanarak teoremin kanıtı. Yani düşünce deneyimizin konusu bir üçgenin açılarıdır. Onu zihinsel olarak, özünün özel bir kesinlikle ortaya çıkarılabileceği koşullara yerleştirelim (1. aşama).

Bu tür koşullar, üçgenin köşelerinin üçünün de bir noktada birleştirileceği böyle bir düzenleme olacaktır. Eğim açısını değiştirmeden üçgenin kenarlarının hareketi yoluyla köşeleri "hareket ettirme" olanağına izin verirsek böyle bir kombinasyon mümkündür (Şekil 1). Bu tür hareketler esasen sonraki zihinsel dönüşümlerdir (2. aşama).

Üçgenin açılarını ve kenarlarını (Şekil 2), "hareket" sırasında elde edilen açıları belirleyerek, böylece zihinsel olarak çevreyi, düşünce öznemizi yerleştirdiğimiz bağlantılar sistemini oluştururuz (3. aşama).

BC çizgisi boyunca “hareket eden” ve eğim açısını değiştirmeyen AB çizgisi, açı 1'i açı 5'e çevirir ve AC çizgisi boyunca “hareket”, açı 2'yi açı 4'e çevirir. AB çizgisi AC ve BC çizgilerine olan eğim açısını değiştirmez, o zaman sonuç açıktır: a ve a1 ışınları AB'ye paraleldir ve birbirine geçer ve b ve b1 ışınları BC kenarlarının devamıdır ve AC sırasıyla. 3 açısı ile 1'deki ışınlar arasındaki açı dikey olduğundan, bunlar eşittir. Bu açıların toplamı, genişletilmiş açı aa1'e eşittir - bu, 180 ° anlamına gelir.

ÇÖZÜM

AT tez Bazı okul geometrik teoremlerinin “inşa edilmiş” kanıtları, formüle edilmiş hipotezin bir teyidi olan bir düşünce deneyinin yapısı kullanılarak gerçekleştirildi.

Sunulan kanıtlar, orijinal geometrik nesneyi özel bir şekilde dönüştürmeyi ve bir düşünce için tipik olan temel özelliklerini vurgulamayı mümkün kılan "sıkıştırma", "germe", "kayma" gibi görsel-duyusal idealleştirmelere dayanıyordu. Deney. nerede Düşünce deneyi geometrik bilginin ortaya çıkmasına katkıda bulunan belirli bir "yaratıcı araç" olarak hareket eder (örneğin, orta hat yamuk veya bir üçgenin açıları hakkında). Bu tür idealleştirmeler, bir bütün olarak kanıt fikrini, okul çocukları tarafından resmi sürecin daha bilinçli bir şekilde anlaşılması olasılığı hakkında konuşmamıza izin veren “ek bir yapı” gerçekleştirme fikrini kavramayı mümkün kılar. geometrik teoremlerin tümdengelimli kanıtı.

Bir düşünce deneyi, geometrik teoremleri elde etmek ve keşfetmek için temel yöntemlerden biridir. Yöntemin öğrenciye aktarılması için bir metodoloji geliştirilmesi gerekmektedir. Yöntemin “kabul edilmesi” için kabul edilebilir öğrencinin yaşı sorusu açık kalmaktadır. yan etkiler bu şekilde sunulan delillerin

Bu sorular daha fazla çalışma gerektirir. Ancak her durumda, şüphesiz bir şey var: Bir düşünce deneyi, okulda teorik düşünceyi geliştirir, temelidir ve bu nedenle, zihinsel deney yapma yeteneği geliştirilmelidir.

Bir üçgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem

Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir.

Kanıt:

• ABC üçgeni verilir.
• AC tabanına paralel B köşesi boyunca bir DK çizgisi çizin.
• \angle CBK= \angle C, paralel DK ve AC ile ve BC sekantıyla iç çapraz olarak uzanır.
• \angle DBA = \angle DK \parallel AC ve sekant AB'de uzanan bir iç çapraz. DBK açısı düz ve eşittir
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Düz açı 180 ^\circ ve \angle CBK = \angle C ve \angle DBA = \angle A olduğundan, şunu elde ederiz: 180 ^\circ = \açı A + \açı B + \açı C.

Teorem kanıtlanmış

Bir üçgenin açılarının toplamıyla ilgili teoremin sonuçları:

1. Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı, 90°.
2. Bir ikizkenar dik üçgende, her bir dar açı 45°.
3. Eşkenar üçgende her bir açı 60°.
4. Herhangi bir üçgende, ya tüm açılar dardır ya da iki açı dardır ve üçüncüsü geniş ya da diktir.
5. Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Üçgen dış açı teoremi

Bir üçgenin bir dış açısı, o dış açıya komşu olmayan kalan iki açının toplamına eşittir.

Kanıt:

• BCD dış açısı olmak üzere ABC üçgeni verilmiştir.
• \açı BAC + \aBC açısı +\Açı BCA = 180^0
• Eşitliklerden, açı \açı BCD + \açı BCA = 180^0
• alırız \açı BCD = \açı BAC+\ABC açısı.

Amaçlar ve hedefler:

eğitici:

• üçgen hakkındaki bilgileri tekrarlayın ve genelleştirin;
• üçgen toplamı teoremini kanıtlayın;
• teoremin formülasyonunun doğruluğunu pratik olarak doğrulamak;
• Edindiği bilgileri problem çözmede uygulamayı öğrenir.

geliştirme:

• geometrik düşünme, konuya ilgi, bilişsel ve yaratıcı aktiviteöğrenciler, matematiksel konuşma, bağımsız olarak bilgi edinme yeteneği.

eğitici:

• geliştirmek kişisel nitelikleri Amaçlılık, azim, doğruluk, takım halinde çalışma yeteneği gibi öğrenciler.

Teçhizat: multimedya projektörü, renkli kağıttan üçgenler, "Canlı Matematik" öğretim materyalleri, bilgisayar, ekran.

Hazırlık aşaması:Öğretmen öğrenciye hazırlamasını söyler tarihsel referans açıların üçgen toplamı teoremi hakkında.

ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyonel an

Selamlar. Öğrencilerin işe karşı psikolojik tutumları.

II. Isınmak

Geometrik figür “üçgen” ile daha önceki derslerde tanışmıştık. Üçgen hakkında bildiklerimizi tekrarlayalım mı?

Öğrenciler gruplar halinde çalışır. Her birine bağımsız olarak biliş sürecini inşa etmek için birbirleriyle iletişim kurma fırsatı verilir.

Ne oldu? Her grup önerilerini yapar ve öğretmen bunları tahtaya yazar. Sonuçlar tartışılıyor:

Resim 1

III. Dersin görevini formüle ediyoruz

Yani, zaten üçgen hakkında çok şey biliyoruz. Fakat hepsi değil. Her birinizin masanızda üçgenler ve açıölçerler var. Ne dersiniz, hangi görevi formüle edebiliriz?

Öğrenciler dersin görevini formüle eder - bir üçgenin açılarının toplamını bulmak.

IV. Yeni malzemenin açıklaması

pratik kısım(bilgi ve kendini tanıma becerilerinin gerçekleşmesine katkıda bulunur) Açıları bir iletki ile ölçün ve toplamlarını bulun. Sonuçları bir not defterine yazın (alınan cevapları dinleyin). Açıların toplamının herkes için farklı olduğu ortaya çıktı (bu, açıölçer yanlış uygulandığından, hesaplama dikkatsizce yapıldığından vb. olabilir).

Noktalı çizgiler boyunca katlayın ve üçgenin açılarının toplamının başka neye eşit olduğunu bulun:

a)
şekil 2

b)
Figür 3

içinde)
Şekil 4

G)
Şekil 5

e)
Şekil 6

Pratik çalışmayı tamamladıktan sonra öğrenciler cevabı formüle ederler: Bir üçgenin açılarının toplamı eşittir derece ölçüsü genişletilmiş açı, yani 180°.

Öğretmen: Matematikte pratik iş sadece bir tür açıklama yapmayı mümkün kılar, ancak kanıtlanması gerekir. Geçerliliği ispatla sağlanan ifadeye teorem denir. Hangi teoremi formüle edip kanıtlayabiliriz?

öğrenciler: Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir.

Geçmiş referansı: Bir üçgenin açılarının toplamının özelliği, Antik Mısır. Modern ders kitaplarında verilen kanıt, Proclus'un Euclid'in Elementleri hakkındaki yorumlarında bulunur. Proclus, bu kanıtın (Şekil 8) Pisagorcular (MÖ 5. yy) tarafından keşfedildiğini iddia eder. Elementler'in ilk kitabında, Öklid, bir üçgenin açılarının toplamıyla ilgili teoremin başka bir kanıtını ortaya koyar ve bu, bir çizim yardımıyla anlaşılması kolaydır (Şekil 7):

Şekil 7

Şekil 8

Çizimler bir projektör aracılığıyla ekranda görüntülenir.

Öğretmen, teoremi çizimler yardımıyla kanıtlamayı önerir.

Daha sonra ispat CMD "Live Mathematics" kullanılarak gerçekleştirilir.. Bilgisayardaki öğretmen teoremin kanıtını yansıtır.

Üçgen açıların toplamı teoremi: "Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir"

Şekil 9

Kanıt:

a)

Şekil 10

b)

Şekil 11

içinde)

Şekil 12

Defterdeki öğrenciler teoremin ispatını kısaca kaydederler:

teorem: Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° dir.

Şekil 13

Verilen:Δ ABC

İspat et: A + B + C = 180°.

Kanıt:

Neyin kanıtlanması gerekiyordu.

V. Fizik. dakika.

VI. Yeni malzemenin açıklaması (devamı)

Teoremin bir üçgenin açılarının toplamı üzerindeki sonucu, öğrenciler tarafından kendi başlarına türetilir, bu, kendi bakış açılarını formüle etme, ifade etme ve tartışma yeteneğinin geliştirilmesine katkıda bulunur:

Herhangi bir üçgende, ya tüm açılar dardır ya da iki keskin köşeler, ve üçüncü geniş veya düz.

Bir üçgendeki tüm açılar dar ise üçgen denir dar açılı.

Üçgenin açılarından biri geniş ise denir. geniş.

Üçgenin açılarından biri doğru ise denir. dikdörtgen.

Üçgen toplamı teoremi, üçgenleri sadece kenarlarına göre değil, açılarına göre de sınıflandırmamızı sağlar. (Üçgen çeşitlerinin tanıtılması sırasında öğrenciler bir tablo doldururlar)

tablo 1

Üçgen görünüm	İkizkenar	Eşkenar	Çok yönlü
dikdörtgen
geniş
dar açılı

VII. İncelenen materyalin konsolidasyonu.

1. Sorunları sözlü olarak çözün:

(Çizimler projektör aracılığıyla ekranda görüntülenir)

Görev 1. C açısını bulun.

Şekil 14

Görev 2. F açısını bulun.

Şekil 15

Görev 3. K ve N açılarını bulun.

Şekil 16

Görev 4. P ve T açılarını bulun.

Şekil 17

1. Sorunu kendiniz çözün No. 223 (b, d).
2. Problemi tahtada ve 224 numaralı öğrencinin defterlerinde çözün.
3. Sorular: Bir üçgende: a) iki dik açı; b) iki geniş açı; c) bir dik ve bir geniş açı.
4. (sözlü olarak gerçekleştirilir) Her masadaki kartlar çeşitli üçgenler gösterir. Her üçgenin şeklini gözle belirleyin.

Şekil 18

1. 1, 2 ve 3 açılarının toplamını bulun.

Şekil 19

VIII. Dersin özeti.

Öğretmen: Ne öğrendik? Teorem herhangi bir üçgene uygulanabilir mi?

IX. Refleks.

Bana ruh halinizi verin beyler! İle ters tarafüçgen yüz ifadelerinizi gösterir.

Şekil 20

Ödev: s.30 (bölüm 1), soru 1 ch. IV ders kitabının 89. sayfası; 223 (a, c), No. 225.