Bilinmeyen hem üs hem de derece tabanında olduğu formun denklemleri olarak adlandırılır.

Formun bir denklemini çözmek için tamamen açık bir algoritma belirleyebilirsiniz. Bunun için şu hususa dikkat edilmelidir. Ey) olumsuzluk sıfır, bir ve eksi bir, aynı tabanlarla (pozitif veya negatif) derecelerin eşitliği ancak göstergeler eşitse mümkündür Yani, denklemin tüm kökleri denklemin kökleri olacaktır f(x) = g(x) Tersi ifade doğru değilse, Ey)< 0 ve kesirli değerler f(x) ve g(x) ifade Ey) f(x) ve

Ey) g(x) anlamlarını kaybederler. Yani, giderken f(x) = g(x)(orijinal denkleme göre kontrol edilerek hariç tutulması gereken yabancı kökler görünebilir. Ve durumlar a = 0, a = 1, a = -1 ayrı düşünülmelidir.

Bu nedenle, denklemin tam bir çözümü için aşağıdaki durumları ele alıyoruz:

a(x) = 0 f(x) ve g(x) pozitif sayılar ise çözüm budur. Aksi takdirde, hayır

a(x) = 1. Bu denklemin kökleri aynı zamanda orijinal denklemin kökleridir.

a(x) = -1. Bu denklemi sağlayan bir x değeri için, f(x) ve g(x) aynı paritenin tam sayılarıdır (her ikisi de çifttir veya her ikisi de tektir), o zaman çözüm budur. Aksi takdirde, hayır

için ve denklemi çözüyoruz f(x)=g(x) ve elde edilen sonuçları orijinal denklemde yerine koyarak, yabancı kökleri kestik.

Üstel-kuvvet denklemlerini çözme örnekleri.

Örnek 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. çünkü 3 > 0 ve 3 2 > 0 ise çözüm x 1 = 3'tür.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Her iki gösterge de eşittir. Bu çözüm x 3 = 1'dir.

4) x - 3? 0 ve x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 veya x \u003d 1. x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0 için bu çözüm x 4 \u003d 0'dır. x \ için u003d 1, (-2) 1 = (-2) 1 - bu çözüm doğru x 5 = 1.

Cevap: 0, 1, 2, 3, 4.

Örnek #2.

Aritmetik tanımına göre kare kök: x - 1 ? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 veya x = 1, = 0, 0 0 bir çözüm değildir.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 ODZ'ye uymuyor.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - kök yok.

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Ne üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x) ve onlarla birlikte ifadelerin olduğu bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x + 3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. AT göstergeler derece (yukarıda) - x ile çok çeşitli ifadeler. Aniden denklemde göstergeden başka bir yerde bir x belirirse, örneğin:

bu denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için net kuralları yoktur. Şimdilik onları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemlerin çözümü en saf haliyle.

Aslında saf bile üstel denklemler her zaman net olarak tanımlanmaz. ama var belirli türlerÇözülebilecek ve çözülmesi gereken üstel denklemler. Bakacağımız türler bunlar.

En basit üstel denklemlerin çözümü.

Çok temel bir şeyle başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile, basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Daha fazlası değil, değil mi!? Başka x değeri rulosu yok. Şimdi de bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında, aynı dipleri (üçlü) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve ne mutlu, işareti vur!

Gerçekten de, eğer soldaki ve sağdaki üstel denklemde ise aynısı herhangi bir derecede sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşittir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. İyi, değil mi?)

Ancak ironik bir şekilde hatırlayalım: tabanları ancak sol ve sağdaki taban sayıları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Komşular ve katsayılar olmadan. Diyelim ki denklemlerde:

2 x +2 x + 1 = 2 3 veya

Çiftleri kaldıramazsınız!

Neyse, en önemli şeyde ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"İşte o zamanlar!" - diyorsun. "Kontrol ve sınavlarda böyle bir ilkelliği kim verecek!?"

Anlaşmaya zorlandı. Kimse yapmaz. Ama artık kafa karıştırıcı örnekleri çözerken nereye gideceğinizi biliyorsunuz. Aynı taban numarası solda - sağda olduğunda akla getirmek gerekir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında, bu matematiğin klasiğidir. Orijinal örneği alıp istenen şekle dönüştürüyoruz. biz akıl. Elbette matematik kurallarına göre.

Onları en basitine getirmek için biraz daha çaba gerektiren örnekleri düşünün. onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler

Üstel denklemleri çözerken, ana kurallar şunlardır: yetkileri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan, hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve ustalık eklenmelidir. Aynı temel sayılara ihtiyacımız var mı? Bu yüzden onları örnekte açık veya şifreli bir biçimde arıyoruz.

Bakalım pratikte bu nasıl yapılıyor?

Bize bir örnek verelim:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretini kırmak için çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ve sekiz derece akrabadır.) Şunu yazmak oldukça mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Güçleri olan eylemlerden formülü hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm ,

genellikle harika çalışıyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünür:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağa (kimse matematiğin temel eylemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Hemen hemen hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözüyoruz ve

Bu doğru cevap.

Bu örnekte, ikisinin güçlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde, şifreli ikili. Bu teknik (ortak zeminlerin şifrelenmesi farklı sayılar) üstel denklemlerde çok popüler bir tekniktir! Evet, logaritmalarda bile. Sayılardaki diğer sayıların güçlerini tanıyabilmelidir. Bu, üstel denklemleri çözmek için son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir güce yükseltmek sorun değil. Bir kağıt parçası üzerinde bile çarpın, hepsi bu. Örneğin, herkes 3'ü beşinci güce yükseltebilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 çıkacaktır.) Ancak üstel denklemlerde, bir güce yükseltmemek çok daha sık gereklidir, bunun tersi de geçerlidir ... hangi sayı ne kadar 243, ya da diyelim ki 343'ün arkasına saklanıyor... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olmaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekiyor, evet... Pratik yapalım mı?

Hangi güçlerin ve hangi sayıların sayı olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (tabii ki bir karmaşa içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsan görebilirsin garip gerçek. Sorudan çok cevap var! Şey, olur... Örneğin, 2 6 , 4 3 , 8 2'nin tamamı 64'tür.

Sayılarla tanışma ile ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Ayrıca üstel denklemleri çözmek için uyguladığımızı da hatırlatalım. bütün matematiksel bilgi stoku. Alt-orta sınıflar dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantezlerin dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örnek görelim:

3 2x+4 -11 9x = 210

Ve yine, ilk bakış - gerekçesiyle! Derecelerin tabanları farklı... Üç ve dokuz. Ve biz onların aynı olmasını istiyoruz. Eh, bu durumda, arzu oldukça uygulanabilir!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dereceli eylemler için aynı kurallara göre:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Bu harika, şunu yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki, sırada ne var!? Üçler atılamaz ... Çıkmaz mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlamak Tümü matematik görevleri:

Ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!

Bakıyorsun, her şey oluşuyor).

Bu üstel denklemde ne var? olabilmek yapmak? Evet, sol taraf doğrudan parantez istiyor! 3 2x'in ortak çarpanı bunu açıkça göstermektedir. Deneyelim ve sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek gittikçe daha iyi hale geliyor!

Bazları ortadan kaldırmak için katsayıları olmayan saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Op-pa! Her şey yolunda gitti!

Bu son cevap.

Bununla birlikte, aynı gerekçelerle taksiye binme elde edilir, ancak bunların tasfiyesi gerçekleşmez. Bu, başka bir tür üstel denklemlerde olur. Bu türü alalım.

Üstel denklemlerin çözümünde değişken değişimi. Örnekler

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk - her zamanki gibi. Üsse geçelim. İkiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ve burada asılacağız. Nasıl çevirirseniz çevirin, önceki numaralar çalışmayacaktır. Cephanelikten başka bir güçlü ve çok yönlü yol almamız gerekecek. denir değişken ikame.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Karmaşık bir simge yerine (bizim durumumuzda 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin, t). Böyle görünüşte anlamsız bir değiştirme, şaşırtıcı sonuçlara yol açar!) Her şey net ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

Sonra 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Denklemimizde tüm güçleri x'lerle t ile değiştiririz:

Şafak söküyor mu?) İkinci dereceden denklemleri henüz unutmadın mı? Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:

Burada asıl mesele, olduğu gibi durmamaktır ... Bu henüz cevap değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönüyoruz, yani. değiştirme yapmak. İlk t 1 için:

Yani,

Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:

Um... Sol 2 x, Sağ 1... Bir aksama mı? Evet, hiç de değil! (Dereceli eylemlerden, evet ...) bir birliğin olduğunu hatırlamak yeterlidir. hiç sayı sıfır. Hiç. Neye ihtiyacın varsa onu koyarız. İkiye ihtiyacımız var. Anlamına geliyor:

Şimdi hepsi bu. 2 kök var:

Cevap bu.

saat üstel denklemleri çözme sonunda, bazen garip bir ifade elde edilir. Tip:

Yediden, basit bir dereceye kadar bir ikili çalışmaz. Akraba değiller... Nasıl burada olabilirim? Birinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece dikkatli bir şekilde gülümse ve kesinlikle doğru cevabı sağlam bir el ile yaz:

Sınavdaki "B" görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Belirli bir sayı gereklidir. Ancak "C" görevlerinde - kolayca.

Bu ders, en yaygın üstel denklemleri çözme örnekleri sağlar. Ana olanı vurgulayalım.

Pratik İpuçları:

1. Her şeyden önce, zemin derece. bakalım yapamayacaklar mı aynısı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. yetkileri olan eylemler. Unutmayın ki x'siz sayılar da kuvvetlere dönüştürülebilir!

2. Üstel denklemi sağ ve sol olduğunda forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir dereceye kadar sayılar. Kullanırız yetkileri olan eylemler ve çarpanlara ayırma. Sayılarla ne sayılabilir - sayarız.

3. İkinci tavsiye işe yaramadıysa, değişken ikamesini uygulamaya çalışırız. Sonuç, kolayca çözülebilen bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kareye indirgeyen kesirli.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için, bazı sayıların derecelerini "görerek" bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi, dersin sonunda biraz çözmeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Köklerin ürününü bulun:

2 3-x + 2x = 9

Olmuş?

İyi o zaman en zor örnek(ancak akılda karar verildi ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Daha ilginç olan nedir? O zaman işte size kötü bir örnek. Artan zorlukta oldukça çekiyor. Bu örnekte, tüm matematiksel görevleri çözmek için yaratıcılığın ve en evrensel kuralın kurtardığını ima edeceğim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Gevşeme için bir örnek daha basittir):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karışık tip bir denklemdir! Bu derste dikkate almadık. Ve onları ne düşünmeli, çözülmesi gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Eh, marifet gereklidir ... Ve evet, yedinci sınıf size yardımcı olacaktır (bu bir ipucu!).

Yanıtlar (düzensiz, noktalı virgülle ayrılmış):

1; 2; 3; 4; çözüm yok; 2; -2; -5; 4; 0.

Her şey başarılı mı? İyi.

Bir sorun var? Sorun yok! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler detaylı açıklamalarla çözülmüştür. Ne, neden ve neden. Ve elbette, her türden üstel denklemle çalışma konusunda ek değerli bilgiler var. Sadece bunlarla değil.)

Dikkate alınması gereken son bir eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında bir şey söylemedim? Bu arada denklemlerde bu çok önemli bir şey...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

üstel denklemler. Bildiğiniz gibi USE basit denklemleri içerir. Bazılarını zaten düşündük - bunlar logaritmik, trigonometrik, rasyonel. İşte üstel denklemler.

Yakın zamanda üstel ifadelerle çalıştık, faydalı olacaktır. Denklemlerin kendileri basit ve hızlı bir şekilde çözülür. Sadece üslerin özelliklerini bilmek gerekir ve ... Bu konudaDaha ileri.

Üslerin özelliklerini listeliyoruz:

Herhangi bir sayının sıfır gücü bire eşittir.

Bu özelliğin sonucu:

Biraz daha teori.

Üstel bir denklem, üssünde bir değişken içeren bir denklemdir, yani bu denklem şu şekildedir:

f(x) değişken içeren bir ifade

Üstel denklemleri çözme yöntemleri

1. Dönüşümlerin bir sonucu olarak, denklem şu şekle indirgenebilir:

Sonra özelliği uygularız:

2. Formun bir denklemini elde ederken bir f (x) = b logaritmanın tanımı kullanılırsa şunu elde ederiz:

3. Dönüşümlerin bir sonucu olarak, formun bir denklemini elde edebilirsiniz:

Logaritma uygulanır:

ifade edin ve x'i bulun.

görevlerde KULLANIM seçenekleri ilk yöntemi kullanmak yeterli olacaktır.

Yani, sol ve sağ kısımları aynı tabana sahip dereceler olarak temsil etmek gerekir ve ardından göstergeleri eşitler ve normal doğrusal denklemi çözeriz.

Denklemleri göz önünde bulundurun:

Denklem 4 1-2x = 64'ün kökünü bulun.

Sol ve sağ kısımlarda aynı tabana sahip üstel ifadelerin olduğundan emin olmak gerekir. 64'ü 4 üzeri 3 olarak gösterebiliriz.

4 1-2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

muayene:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Cevap 1

3. denklemin kökünü bulun x-18 = 1/9.

olduğu biliniyor

Yani 3 x-18 = 3 -2

Bazlar eşittir, göstergeleri eşitleyebiliriz:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

muayene:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Cevap: 16

Denklemin kökünü bulun:

1/64 kesirini üçüncü kuvvetin dörtte biri olarak gösterelim:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

muayene:

Cevap: 11

Denklemin kökünü bulun:

1/3'ü 3 -1 ve 9'u 3'ün karesi olarak temsil edelim, şunu elde ederiz:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Şimdi göstergeleri eşitleyebiliriz:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

muayene:

Cevap: 5

26654. Denklemin kökünü bulun:

Karar:

Cevap: 8.75

Gerçekten de, pozitif bir sayıyı hangi güce yükseltirsek yükseltelim, hiçbir şekilde negatif bir sayı elde edemeyiz.

Uygun dönüşümlerden sonra herhangi bir üstel denklem, bir veya daha fazla basit denklemi çözmeye indirgenir.Bu bölümde bazı denklemlerin çözümünü de ele alacağız, kaçırmayın!Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

P.S: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız minnettar olurum.

Ders: "Üslü denklemleri çözme yöntemleri."

1 . üstel denklemler.

Üssü bilinmeyenler içeren denklemlere üstel denklemler denir. Bunların en basiti a > 0 ve a ≠ 1 olan ax = b denklemidir.

1) b için< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 için, fonksiyonun monotonluğu ve kök teoremi kullanılarak denklemin tek bir kökü vardır. Bulmak için b, b = aс, ax = bс ó x = c veya x = logab olarak temsil edilmelidir.

Cebirsel dönüşümler yoluyla üstel denklemler, aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülen standart denklemlere yol açar:

1) bir tabana indirgeme yöntemi;

2) değerlendirme yöntemi;

3) grafik yöntemi;

4) yeni değişkenleri tanıtma yöntemi;

5) çarpanlara ayırma yöntemi;

6) üstel - güç denklemleri;

7) bir parametre ile üstel.

2 . Bir esasa indirgeme yöntemi.

Yöntem, derecelerin şu özelliğine dayanmaktadır: eğer iki derece eşitse ve tabanları eşitse, üsleri eşittir, yani denklem forma indirilmeye çalışılmalıdır.

Örnekler Denklemi çözün:

1 . 3x=81;

Denklemin sağ tarafını 81=34 şeklinde gösterelim ve denklemi orijinal 3x=34'e denk yazalım; x = 4. Cevap: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> ve 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Cevap: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

0.2, 0.04, √5 ve 25 sayılarının 5'in kuvvetleri olduğuna dikkat edin. Bundan yararlanalım ve orijinal denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim:

, buradan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, buradan x = -1 çözümünü buluruz. Cevap 1.

5. 3x = 5. Logaritmanın tanımına göre, x = log35. Cevap: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Denklemi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yani..png" width="181" height="49 src="> Dolayısıyla x - 4 =0, x = 4 olarak yeniden yazalım. Cevap: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Kuvvet özelliklerini kullanarak denklemi e.x+1 = 2, x =1 şeklinde yazıyoruz. Cevap 1.

1 numaralı görev bankası.

Denklemi çözün:

Test numarası 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yok
	1) 7;1 2) kök yok 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

2. Test

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yok 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Değerlendirme yöntemi.

kök teoremi: f (x) fonksiyonu I aralığında artarsa ​​(azalırsa), a sayısı f tarafından bu aralıkta alınan herhangi bir değerdir, o zaman f (x) = a denkleminin I aralığında tek bir kökü vardır.

Denklemler tahmin yöntemiyle çözülürken bu teorem ve fonksiyonun monotonluk özellikleri kullanılır.

Örnekler Denklemleri Çöz: 1. 4x = 5 - x.

Karar. Denklemi 4x + x = 5 olarak yeniden yazalım.

1. x \u003d 1 ise, 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 doğrudur, o zaman denklemin kökü 1'dir.

f(x) = 4x fonksiyonu R üzerinde artıyor ve g(x) = x R üzerinde artıyor => h(x)= f(x)+g(x), artan fonksiyonların toplamı olarak R üzerinde artıyor, yani x = 1, 4x = 5 – x denkleminin tek köküdür. Cevap 1.

2.

Karar. Denklemi formda yeniden yazıyoruz .

1. eğer x = -1 ise, o zaman , 3 = 3-doğru, yani x = -1 denklemin köküdür.

2. benzersiz olduğunu kanıtlayın.

3. f(x) = - fonksiyonu R üzerinde azalır ve g(x) = - x - R üzerinde azalır => h(x) = f(x) + g(x) - R üzerinde azalır, toplam olarak azalan fonksiyonların Yani kök teoremine göre, x = -1 denklemin tek köküdür. Cevap 1.

2 numaralı görev bankası. denklemi çözün

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yöntem, bölüm 2.1'de açıklanmıştır. Yeni bir değişkenin (ikame) eklenmesi genellikle denklem terimlerinin dönüşümlerinden (basitleştirme) sonra gerçekleştirilir. Örnekleri düşünün.

Örnekler R yemek denklemi: 1. .

Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Karar. Denklemi farklı bir şekilde yeniden yazalım:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> belirtin - uygun değil.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrasyonel denklem. not ediyoruz

Denklemin çözümü x = 2.5 ≤ 4'tür, yani 2.5 denklemin köküdür. Cevap: 2.5.

Karar. Denklemi formda yeniden yazalım ve her iki tarafı da 56x+6 ≠ 0'a bölelim. Denklemi elde ederiz.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, yani..png" width="118" height="56">

İkinci dereceden denklemin kökleri - t1 = 1 ve t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Karar . Denklemi formda yeniden yazıyoruz

ve bunun ikinci dereceden homojen bir denklem olduğuna dikkat edin.

Denklemi 42x'e bölersek

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> değiştirin.

Cevap: 0; 0,5.

Görev Bankası #3. denklemi çözün

b)

G)

3 numaralı test cevap seçenekleriyle. Asgari seviye.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yok 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yok 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

4 numaralı test cevap seçenekleriyle. Genel seviye.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kök yok

5. Çarpanlara ayırma yöntemi.

1. Denklemi çözün: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , nereden

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Karar. Denklemin sol tarafında 6x, sağ tarafında 2x çıkaralım. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) - 6x = 2x denklemini elde ederiz.

Tüm x için 2x >0 olduğuna göre, bu denklemin her iki tarafını da çözümleri kaybetme korkusu olmadan 2x'e bölebiliriz. 3x = 1ó x = 0 elde ederiz.

3.

Karar. Denklemi çarpanlara ayırarak çözüyoruz.

Binomun karesini seçiyoruz

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 denklemin köküdür.

Denklem x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test #6 Genel seviye.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Üstel - güç denklemleri.

Sözde üstel-kuvvet denklemleri, üstel denklemlere, yani (f(x))g(x) = (f(x))h(x) biçimindeki denklemlere bitişiktir.

f(x)>0 ve f(x) ≠ 1 olduğu biliniyorsa, o zaman denklem, üstel denklem gibi, g(x) = f(x) üslerini eşitleyerek çözülür.

Koşul, f(x)=0 ve f(x)=1 olasılığını dışlamıyorsa, üstel güç denklemini çözerken bu durumları dikkate almalıyız.

1..png" genişlik="182" yükseklik="116 kaynak=">

2.

Karar. x2 +2x-8 - herhangi bir x için anlamlıdır, çünkü bir polinom, yani denklem kümeye eşdeğerdir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Parametreli üstel denklemler.

1. p parametresinin hangi değerleri için denklem 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) var tek karar?

Karar. 2x = t, t > 0 değişimini sunalım, o zaman denklem (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 şeklini alacaktır. (2)

(2) denkleminin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2'dir.

Denklem (2)'nin bir pozitif kökü varsa, Denklem (1)'in benzersiz bir çözümü vardır. Bu, aşağıdaki durumlarda mümkündür.

1. Eğer D = 0, yani p = 1 ise, o zaman denklem (2) t2 – 2t + 1 = 0, dolayısıyla t = 1 biçimini alacaktır, bu nedenle denklem (1)'in x = 0 benzersiz bir çözümü vardır.

2. Eğer p1 ise 9(p – 1)2 > 0 ise, o zaman denklem (2) iki farklı köke sahiptir t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistem kümesi problemin koşulunu karşılar.

t1 ve t2'yi sistemlerde yerine koyarsak,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Karar. İzin vermek o zaman denklem (3) t2 – 6t – a = 0 şeklini alacaktır. (4)

En az bir denklem kökünün (4) t > 0 koşulunu sağladığı a parametresinin değerlerini bulalım.

f(t) = t2 – 6t – a fonksiyonunu tanıtalım. Aşağıdaki durumlar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Durum 2. Denklem (4), aşağıdaki durumlarda benzersiz bir pozitif çözüme sahiptir:

D = 0, eğer a = – 9 ise, o zaman denklem (4) (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 şeklini alacaktır.

Durum 3. Denklem (4)'ün iki kökü vardır, ancak bunlardan biri t > 0 eşitsizliğini sağlamaz.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17)" width="267" height="63">!}

Böylece, a 0 denkleminde (4) tek bir pozitif kök vardır . O zaman denklem (3) benzersiz bir çözüme sahiptir

için< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Eğer bir< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ise, x = – 1;

a  0 ise, o zaman

(1) ve (3) denklemlerini çözme yöntemlerini karşılaştıralım. (1) denklemini çözerken, diskriminantı tam kare olan ikinci dereceden bir denkleme indirgendiğini unutmayın; böylece, ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü ile hemen denklem (2)'nin kökleri hesaplandı ve daha sonra bu köklerle ilgili sonuçlar çıkarıldı. Denklem (3), diskriminantı tam kare olmayan ikinci dereceden bir denkleme (4) indirgenmiştir, bu nedenle, denklem (3)'ü çözerken, bir kare trinomiyalin köklerinin konumu üzerinde teoremlerin kullanılması tavsiye edilir ve bir grafik modeli. Denklem (4)'ün Vieta teoremi kullanılarak çözülebileceğini unutmayın.

Daha karmaşık denklemleri çözelim.

Görev 3. Denklemi çözün

Karar. ODZ: x1, x2.

Bir yedek tanıtalım. 2x = t, t > 0 olsun, dönüşümler sonucunda denklem t2 + 2t – 13 – a = 0 şeklini alacaktır. (*) En az bir kökü olan a değerlerini bulalım. (*) denklemi t > 0 koşulunu sağlar.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cevap: a > - 13 ise, a  11, a  5 ise, o zaman a - 13 ise,

a = 11, a = 5, o zaman kök yoktur.

Bibliyografya.

1. Guzeev eğitim teknolojisinin temelleri.

2. Guzeev teknolojisi: resepsiyondan felsefeye.

M. "Okul Müdürü" No. 4, 1996

3. Guzeev ve örgütsel eğitim biçimleri.

4. Guzeev ve bütünleyici eğitim teknolojisi uygulaması.

M. " Halk eğitim", 2001

5. Guzeev ders formlarından - seminer.

2 No'lu okulda matematik, 1987, s. 9 - 11.

6. Selevko eğitim teknolojileri.

M. "Halkın eğitimi", 1998

7. Episheva okul çocukları matematik öğrenir.

M. "Aydınlanma", 1990

8. Ivanov dersler hazırlamak için - atölye çalışmaları.

6 Nolu Okulda Matematik, 1990, s. 37-40.

9. Smirnov matematik öğretim modeli.

1 Nolu Okulda Matematik, 1997, s. 32-36.

10. Tarasenko pratik çalışmaları organize etmenin yolları.

1 Nolu Okulda Matematik, 1993, s. 27 - 28.

11. Bireysel çalışma türlerinden biri hakkında.

2 Nolu Okulda Matematik, 1994, s. 63 - 64.

12. Khazankin Yaratıcı beceriler okul çocukları.

2 Nolu Okulda Matematik, 1989, s. on.

13. Scanavi. yayıncı, 1997

14. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı. didaktik malzemeler için

15. Matematikte Krivonogov görevleri.

M. "Birinci Eylül", 2002

16. Çerkasov. Lise öğrencileri için el kitabı ve

üniversitelere giriyor. "A S T - basın okulu", 2002

17. Üniversitelere başvuranlar için Zhevnyak.

Minsk ve RF "İnceleme", 1996

18. Yazılı D. Matematikte sınava hazırlanmak. M.Rolf, 1999

19. ve diğerleri Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmek.

M. "Akıl - Merkez", 2003

20. ve diğerleri E G E'ye hazırlanmak için eğitim ve öğretim materyalleri.

M. "Akıl - Merkez", 2003 ve 2004

21 ve diğerleri CMM'nin varyantları. Rusya Federasyonu Savunma Bakanlığı Test Merkezi, 2002, 2003

22. Goldberg denklemleri. "Kuantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Matematik başarıyla nasıl öğretilir.

Matematik, 1997 No. 3.

24 Okunev ders için çocuklar! M. Aydınlanma, 1988

25. Yakimanskaya - okulda eğitim odaklı.

26. Sınırlar derste çalışır. M. Bilgi, 1975

Bu ders, üstel denklemleri yeni öğrenmeye başlayanlar için hazırlanmıştır. Her zaman olduğu gibi, bir tanım ve basit örneklerle başlayalım.

Bu dersi okuyorsanız, en basit denklemleri en azından asgari düzeyde anladığınızdan şüpheleniyorum - doğrusal ve kare: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ vb. Şimdi tartışılacak konuya “takılmamak” için bu tür yapıları çözebilmek kesinlikle gereklidir.

Yani, üstel denklemler. Size bir iki örnek vereyim:

\[((2)^(x))=4;\dörtlü ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\dörtlü ((9)^(x))=- 3\]

Bazıları size daha karmaşık gelebilir, bazıları ise tam tersine çok basittir. Ancak bunların tümü önemli bir özellik ile birleştirilmiştir: bunlar bir üstel fonksiyon $f\left(x \right)=((a)^(x))$ içerirler. Böylece, tanımı tanıtıyoruz:

Üstel bir denklem, üstel bir fonksiyon içeren herhangi bir denklemdir, yani. $((a)^(x))$ biçiminde bir ifade. Belirtilen işleve ek olarak, bu tür denklemler diğer cebirsel yapıları içerebilir - polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar, vb.

Tamam ozaman. Tanımı anladım. Şimdi soru şu: Tüm bu saçmalık nasıl çözülür? Cevap aynı anda hem basit hem de karmaşık.

İyi haberle başlayalım: birçok öğrenciyle olan deneyimime göre, çoğu için üstel denklemlerin aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay olduğunu söyleyebilirim.

Ama ayrıca var kötü haber: bazen her türlü ders kitabı ve sınav için problem derleyicileri "ilham" tarafından ziyaret edilir ve ilaçla şişmiş beyinleri o kadar acımasız denklemler üretmeye başlar ki, sadece öğrencilerin bunları çözmesi sorunlu hale gelir - hatta birçok öğretmen buna takılır bu tür sorunlar.

Ancak, üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $((2)^(x))=4$. Peki, 4 sayısını elde etmek için 2 sayısı hangi güce yükseltilmelidir? Belki ikincisi? Sonuçta, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $x=2$. Peki, teşekkürler kap, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebildi. :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ama burada biraz daha zor. Birçok öğrenci $((5)^(2))=25$'ın çarpım tablosu olduğunu bilir. Bazıları ayrıca $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ öğesinin aslında tanım olduğundan şüpheleniyor negatif güçler($((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$ formülüne benzer şekilde).

Son olarak, yalnızca birkaç seçilmiş kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini tahmin eder ve çıktı aşağıdaki sonuçtur:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Böylece, orijinal denklemimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ve şimdi bu zaten tamamen çözüldü! Denklemin sol tarafında üstel bir fonksiyon var, denklemin sağ tarafında bir üstel fonksiyon var, başka hiçbir yerde onlardan başka bir şey yok. Bu nedenle, temelleri “atmak” ve göstergeleri aptalca eşitlemek mümkündür:

Herhangi bir öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satırda:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Son dört satırda neler olduğunu anlamadıysanız, “konuya döndüğünüzden emin olun. lineer denklemler' ve tekrar edin. Çünkü bu konunun net bir özümsenmesi olmadan, üstel denklemleri almak için çok erken.

\[((9)^(x))=-3\]

Peki, nasıl karar veriyorsun? İlk düşünce: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, yani orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\sol(((3)^(2)) \sağ))^(x))=-3\]

Ardından, bir dereceye kadar bir dereceye yükseltirken göstergelerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\[((\left(((3)^(2)) \sağ))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(hizalama)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(hizalama)\]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş bir ikili alıyoruz. Çünkü biz, bir Pokémon sükûnetiyle, üçün önündeki eksi işaretini bu üçün gücüne gönderdik. Ve bunu yapamazsın. Ve bu yüzden. Üçlünün farklı güçlerine bir göz atın:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)() 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matris)\]

Bu tableti derlemek, saptırmadan hemen: ve pozitif dereceler düşünülmüş ve olumsuz ve hatta kesirli ... peki, en az biri nerede negatif bir sayı? O değil! Ve olamaz, çünkü üstel fonksiyon $y=((a)^(x))$, öncelikle, her zaman sadece pozitif değerler(biri ne kadar çarparsanız ya da ikiye bölerseniz, yine de pozitif bir sayı olacaktır) ve ikinci olarak, böyle bir fonksiyonun tabanı - $a$ sayısı - tanım gereği pozitif bir sayıdır!

Peki, $((9)^(x))=-3$ denklemi nasıl çözülür? Hayır, kök yok. Ve bu anlamda, üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer - ayrıca kök olmayabilir. Ancak ikinci dereceden denklemlerde kök sayısı ayrımcı tarafından belirlenirse (ayırıcı pozitif - 2 kök, negatif - kök yok), o zaman üstel denklemlerde hepsi eşittir işaretinin sağında ne olduğuna bağlıdır.

Böylece, kilit sonucu formüle ediyoruz: $((a)^(x))=b$ formunun en basit üstel denkleminin, ancak ve ancak $b>0$ ise bir kökü vardır. Bu basit gerçeği bilerek size önerilen denklemin kökleri olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Onlar. hiç çözmeye değer mi yoksa hemen kök olmadığını yazın.

Bu bilgi, daha fazla karar vermemiz gerektiğinde bize bir kereden fazla yardımcı olacaktır. zorlu görevler. Bu arada, yeterince şarkı sözü - üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel denklemler nasıl çözülür

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\[((a)^(x))=b,\dört a,b>0\]

Daha önce kullandığımız "saf" algoritmaya göre, $b$ sayısını $a$ sayısının bir kuvveti olarak göstermek gerekir:

Ayrıca, $x$ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, zaten çözülebilecek yeni bir denklem elde ederiz. Örneğin:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(hiza)\]

Ve garip bir şekilde, bu şema vakaların yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki ya kalan %10? Kalan %10'luk kısım biraz "şizofrenik" üstel denklemlerdir:

\[((2)^(x))=3;\dörtlü ((5)^(x))=15;\dörtlü ((4)^(2x))=11\]

3 elde etmek için 2'yi hangi güce yükseltmeniz gerekir? İlk olarak? Ama hayır: $((2)^(1))=2$ yeterli değil. Saniyede? İkisi de: $((2)^(2))=4$ çok fazla. Sonra ne?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: bu gibi durumlarda, "güzel" çözmenin imkansız olduğu durumlarda, "ağır topçu" duruma bağlanır - logaritmalar. Logaritma kullanarak, herhangi bir pozitif sayının (biri hariç) herhangi bir pozitif sayının kuvveti olarak gösterilebileceğini hatırlatmama izin verin:

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritmalardan bahsettiğimde, sizi her zaman uyarırım: Bu formül (aynı zamanda temel logaritmik özdeşliktir veya isterseniz logaritmanın tanımıdır) sizi çok uzun süre rahatsız edecek ve en çok “ortaya çıkar”. beklenmedik yerler Pekala, ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bakalım:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(hiza) \]

$a=3$'ın sağdaki orijinal sayımız olduğunu ve $b=2$'ın sağ tarafı azaltmak istediğimiz üstel fonksiyonun tam temeli olduğunu varsayarsak, şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(hiza)\]

Biraz garip bir yanıt aldık: $x=((\log )_(2))3$. Başka bir görevde, böyle bir cevapla, çoğu kişi şüphe duyacak ve çözümlerini tekrar kontrol etmeye başlayacak: Ya bir yerde bir hata varsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar oldukça tipik bir durum. O yüzden alışın. :)

Şimdi kalan iki denklemi analojiyle çözelim:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(hiza)\]

Bu kadar! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Çarpanı logaritmanın argümanına sokan bizdik. Ancak bu faktörü temele eklememizi kimse engelleyemez:

Bu durumda, üç seçeneğin tümü doğrudur - sadece farklı şekiller Aynı numaranın kayıtları. Bu kararda hangisini seçip yazacağınız size kalmış.

Böylece, $((a)^(x))=b$ biçimindeki herhangi bir üstel denklemi çözmeyi öğrendik, burada $a$ ve $b$ sayıları kesinlikle pozitiftir. Yine de sert gerçeği dünyamız o kadar benzer ki basit görevler seninle çok, çok nadiren buluşacak. Daha sık böyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(hiza)\]

Peki, nasıl karar veriyorsun? Bu hiç çözülebilir mi? Ve eğer öyleyse, nasıl?

Panik yok. Tüm bu denklemler hızlı ve kolay bir şekilde basit formüller ki biz zaten düşündük. Cebir kursundan birkaç numarayı hatırlamayı bilmeniz yeterli. Ve tabii ki burada derece ile çalışmanın bir kuralı yok. Şimdi bunlardan bahsedeceğim. :)

Üstel denklemlerin dönüşümü

Hatırlanması gereken ilk şey, herhangi bir üstel denklemin, ne kadar karmaşık olursa olsun, şu ya da bu şekilde en basit denklemlere indirgenmesi gerektiğidir - tam da önceden düşündüğümüz ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemler. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şöyle görünür:

1. Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Biraz aptalca şeyler yap. Ya da "denklemi dönüştürmek" denen bir saçmalık bile;
3. Çıktıda, $((4)^(x))=4$ veya buna benzer bir şey gibi en basit ifadeleri alın. Ayrıca, bir başlangıç ​​denklemi aynı anda birkaç böyle ifade verebilir.

İlk nokta ile her şey açıktır - kedim bile denklemi bir yaprağa yazabilir. Üçüncü nokta ile de, öyle görünüyor ki, az çok açıktır - yukarıda bu tür bir sürü denklemi zaten çözdük.

Ama ikinci nokta ne olacak? Dönüşümler nelerdir? Neyi neye dönüştürmeli? Ve nasıl?

Pekala, çözelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

1. Denklem, aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formül, farklı tabanlara sahip üstel işlevler içerir. Örnekler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ve $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

İlk tür denklemlerle başlayalım - çözmesi en kolay olanlardır. Ve onların çözümünde, kararlı ifadelerin seçimi gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Sabit bir ifadeyi vurgulama

Bu denkleme tekrar bakalım:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ne görüyoruz? Dördü farklı derecelere yükseltilir. Ancak tüm bu güçler, $x$ değişkeninin diğer sayılarla basit toplamlarıdır. Bu nedenle, derecelerle çalışma kurallarını hatırlamak gerekir:

\[\begin(hizalama)& ((a)^(x+y))=(((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):(((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(hiza)\]

Basitçe söylemek gerekirse, üslerin eklenmesi bir kuvvetler ürününe dönüştürülebilir ve çıkarma işlemi kolayca bölmeye dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin kuvvetlerine uygulamaya çalışalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(hiza)\]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazıyoruz ve ardından soldaki tüm terimleri topluyoruz:

\[\begin(hizalama)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onbir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(hiza)\]

İlk dört terim $((4)^(x))$ öğesini içerir — hadi onu köşeli ayraçtan çıkaralım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \sağ)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \sol(-\frac(11)(4) \sağ)=-11. \\\end(hiza)\]

Geriye denklemin her iki parçasını $-\frac(11)(4)$ fraksiyonuna bölmek kalır, yani. esasen ters çevrilmiş kesir ile çarpın - $-\frac(4)(11)$. Alırız:

\[\begin(hizalama)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \sağ)\cdot \left(-\frac(4)(11) \sağ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \sağ); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(hiza)\]

Bu kadar! Orijinal denklemi en basitine indirgedik ve son cevabı aldık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde $((4)^(x))$ ortak faktörünü keşfettik (ve hatta parantezden çıkardık) - bu kararlı ifadedir. Yeni bir değişken olarak tanımlanabilir veya basitçe doğru bir şekilde ifade edebilir ve bir cevap alabilirsiniz. Neyse, anahtar ilkeçözümler şunlardır:

Orijinal denklemde, tüm üstel işlevlerden kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böyle kararlı bir ifadeyi kabul ediyor.

Ancak kötü haberler de var: Bu tür ifadeler çok yanıltıcı olabilir ve bunları ayırt etmek oldukça zor olabilir. Öyleyse başka bir soruna bakalım:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Belki şimdi birisinin bir sorusu olacak: “Paşa, taşlandın mı? İşte farklı bazlar - 5 ve 0.2. Ama 0.2 tabanlı bir gücü dönüştürmeye çalışalım. Örneğin, ondalık kesirden kurtulalım ve onu her zamanki haline getirelim:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \sağ)))=((\left(\frac(2)(10)) ) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)) )\]

Gördüğünüz gibi, paydada da olsa 5 sayısı hala ortaya çıktı. Aynı zamanda, gösterge negatif olarak yeniden yazılmıştır. Ve şimdi birini hatırlıyoruz temel kurallar derecelerle çalışın:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^( -\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(\frac(5)(1) \sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Burada elbette biraz aldattım. Çünkü tam bir anlayış için olumsuz göstergelerden kurtulmanın formülünün şu şekilde yazılması gerekiyordu:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\sol(\frac(1)(a) \sağ))^(n ))\Rightarrow ((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(\frac(5)(1) \ sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Öte yandan, hiçbir şey bizi tek bir kesirle çalışmaktan alıkoyamadı:

\[((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(((5)^(-1)) \ sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((5)^(\sol(-1 \sağ)\cdot \sol(-\sol(x+1 \sağ) \sağ) ))=((5)^(x+1))\]

Ancak bu durumda, bir dereceyi başka bir dereceye yükseltebilmeniz gerekir (Size hatırlatırım: bu durumda göstergeler toplanır). Ama kesirleri "çevirmek" zorunda değildim - belki birileri için daha kolay olacaktır. :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(hizalama)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(hiza)\]

Böylece, orijinal denklemi çözmenin daha önce düşünülenden daha kolay olduğu ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine azaldı. Geriye sadece $1=((5)^(0))$'ın nereden geldiğini hatırlamak kalıyor:

\[\begin(hizalama)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(hiza)\]

Bütün çözüm bu! Son yanıtı aldık: $x=-2$. Aynı zamanda, bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir numarayı not etmek istiyorum:

Üstel denklemlerde, kurtulduğunuzdan emin olun. ondalık kesirler, onları normale çevirin. Bu, derecelerin aynı temellerini görmenizi ve çözümü büyük ölçüde basitleştirmenizi sağlayacaktır.

Şimdi, genellikle kuvvetler yardımıyla birbirine indirgenmeyen, farklı tabanların olduğu daha karmaşık denklemlere geçelim.

Üs özelliğini kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz olduğunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(hizalama)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(hiza)\]

Buradaki temel zorluk, neye ve hangi temele gidileceğinin net olmamasıdır. Sabit ifadeler nerede? Ortak noktalar nerede? Bunun hiçbiri yok.

Ama diğer tarafa gitmeyi deneyelim. hazır değilse aynı bazlar, mevcut üsleri çarpanlarına ayırarak onları bulmaya çalışabilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\[\begin(hizalama)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\sol(7\cdot 3 \sağ))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(hiza)\]

Ancak bunun tersini yapabilirsiniz - 21 sayısını 7 ve 3 sayılarından oluşturun. Her iki derecenin göstergeleri aynı olduğundan, bunu solda yapmak özellikle kolaydır:

\[\begin(hizalama)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\sol(7\cdot 3 \sağ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(hiza)\]

Bu kadar! Üssü çarpımdan çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denklemle ilgilenelim. Burada her şey çok daha karmaşık:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\sol(\frac(27)(10) \sağ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bu durumda, kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabilirse, onu azalttığınızdan emin olun. Bu, genellikle zaten çalışabileceğiniz ilginç gerekçelerle sonuçlanacaktır.

Ne yazık ki, hiçbir şey bulamadık. Fakat üründe soldaki üslerin tam tersi olduğunu görüyoruz:

Size hatırlatmama izin verin: Üsteki eksi işaretinden kurtulmak için kesri "çevirmeniz" yeterlidir. Öyleyse orijinal denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \sağ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\sol(100\cdot \frac(10)(27) \sağ))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\sol(\frac(1000)(27) \sağ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(hiza)\]

İkinci satırda, $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) kuralına göre üründen toplamı parantez içine aldık. ))^ (x))$ ve ikincisinde 100 sayısını bir kesirle çarpmışlar.

Şimdi soldaki (tabandaki) ve sağdaki sayıların biraz benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, açıkçası: bunlar aynı sayıdaki güçlerdir! Sahibiz:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \sağ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \sağ))^(2)). \\\end(hiza)\]

Böylece denklemimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[((\sol(((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3)) \sağ))^(x-1))=((\sol(\frac(3) )(10) \sağ))^(2))\]

\[((\sol(((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3)) \sağ))^(x-1))=((\sol(\frac(10) )(3) \sağ))^(3\sol(x-1 \sağ)))=((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))\]

Aynı zamanda, sağda, aynı temele sahip bir derece de alabilirsiniz, bunun için sadece kesri “çevirmek” yeterlidir:

\[((\sol(\frac(3)(10) \sağ))^(2))=((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(-2))\]

Son olarak denklemimiz şu şekli alacaktır:

\[\begin(align)& ((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))=(((\left(\frac(10)(3) \sağ)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(hiza)\]

Bütün çözüm bu. Ana fikri, farklı nedenlerle bile, bu nedenleri aynı nedene indirgemeye çalışmamızdır. Bunda, denklemlerin temel dönüşümleri ve kuvvetlerle çalışma kuralları bize yardımcı olur.

Ama hangi kurallar ve ne zaman kullanılır? Bir denklemde her iki tarafı bir şeye bölmeniz ve diğerinde - üstel fonksiyonun tabanını faktörlere ayırmanız gerektiğini nasıl anlayabilirim?

Bu sorunun cevabı tecrübe ile gelecektir. İlk önce basit denklemler üzerinde elinizi deneyin ve ardından görevleri yavaş yavaş karmaşıklaştırın - ve çok yakında becerileriniz aynı KULLANIM'dan veya herhangi bir bağımsız / test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Ve bu zor görevde size yardımcı olması için, bağımsız bir çözüm için web siteme bir dizi denklem indirmenizi öneriyorum. Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi kontrol edebilirsiniz.