Bu makalede, geometrideki birçok problemi basit aritmetiğe indirgemenizi sağlayacak bir "sihirli değnek" hakkında bir tartışmaya başlayacağız. Bu "asa", özellikle mekansal figürler, bölümler vb. oluştururken kendinizi güvensiz hissettiğinizde hayatınızı çok daha kolaylaştırabilir. Bütün bunlar belirli bir hayal gücü ve pratik beceriler gerektirir. Burada ele almaya başlayacağımız yöntem, her türlü geometrik yapıdan ve akıl yürütmeden neredeyse tamamen soyutlamanıza izin verecektir. Yöntem denir "koordinat yöntemi". Bu yazıda aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Koordinat uçağı
2. Uçaktaki noktalar ve vektörler
3. İki noktadan vektör oluşturma
4. Vektör uzunluğu (iki nokta arasındaki mesafe)​
5. orta nokta koordinatları
6. Vektörlerin nokta çarpımı​
7. iki vektör arasındaki açı

Sanırım koordinat yönteminin neden böyle adlandırıldığını tahmin ettiniz mi? Geometrik nesnelerle değil, sayısal özellikleriyle (koordinatları) çalıştığı için böyle bir isim aldığı doğrudur. Ve geometriden cebire geçmeyi mümkün kılan dönüşümün kendisi, bir koordinat sisteminin tanıtılmasından ibarettir. Orijinal şekil düzse, koordinatlar iki boyutludur ve şekil üç boyutluysa, koordinatlar üç boyutludur. Bu yazıda sadece iki boyutlu durumu ele alacağız. Ve makalenin ana amacı, size koordinat yönteminin bazı temel tekniklerini nasıl kullanacağınızı öğretmektir (Birleşik Devlet Sınavının B bölümünde planimetrideki problemleri çözerken bazen faydalı olurlar). Bu konuyla ilgili aşağıdaki iki bölüm, C2 problemlerini (stereometri problemi) çözme yöntemlerinin tartışılmasına ayrılmıştır.

Koordinat yöntemini tartışmaya nereden başlamak mantıklı olur? Muhtemelen bir koordinat sistemi konseptiyle. Onunla ilk tanıştığın zamanı hatırla. Bana öyle geliyor ki 7. sınıfta, örneğin doğrusal bir fonksiyonun varlığını öğrendiğinizde. Nokta nokta inşa ettiğinizi hatırlatmama izin verin. Hatırlıyor musun? Rastgele bir sayı seçtiniz, onu formüle yerleştirdiniz ve bu şekilde hesapladınız. Örneğin, eğer, o zaman, eğer, o zaman, vb. Sonuç olarak ne elde ettiniz? Ve koordinatları olan puanlar aldınız: ve. Daha sonra bir “çapraz” (koordinat sistemi) çizdiniz, üzerinde bir ölçek seçtiniz (tek parça olarak kaç hücreniz olacak) ve aldığınız noktaları üzerine işaretlediniz, ardından düz bir çizgi ile birleştirdiniz, ortaya çıkan çizgi fonksiyonun grafiğidir.

Size biraz daha ayrıntılı olarak açıklanması gereken birkaç şey var:

1. Kolaylık sağlamak için tek bir segment seçersiniz, böylece her şey resme güzel ve kompakt bir şekilde sığar

2. Eksenin soldan sağa, eksenin aşağıdan yukarıya gittiği varsayılır.

3. Dik açıyla kesişirler ve kesişme noktalarına orijin denir. Bir harf ile işaretlenmiştir.

4. Bir noktanın koordinat kaydında, örneğin, parantez içinde solda, eksen boyunca ve sağda, eksen boyunca noktanın koordinatı bulunur. Özellikle, basitçe şu anlama gelir:

5. Koordinat ekseninde herhangi bir noktayı ayarlamak için koordinatlarını belirtmeniz gerekir (2 sayı)

6. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

7. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta için,

8. Eksene x ekseni denir

9. Eksene y ekseni denir

Şimdi sizinle bir sonraki adımı atalım: iki noktayı işaretleyin. Bu iki noktayı bir çizgi ile birleştirin. Ve oku bir noktadan noktaya çiziyormuş gibi koyalım: yani segmentimizi yönlendirilmiş hale getireceğiz!

Yönlendirilmiş bir segment için başka bir adın ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu doğru, buna vektör denir!

Böylece, bir noktayı bir noktaya bağlarsak, ve başlangıç ​​A noktası olacak ve son B noktası olacak, sonra bir vektör elde ederiz. Bu inşaatı 8. sınıfta da yapmıştın, hatırladın mı?

Noktalar gibi vektörlerin iki sayı ile gösterilebileceği ortaya çıktı: bu sayılara vektörün koordinatları denir. Soru: Vektörün koordinatlarını bulmak için başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarını bilmemiz sizce yeterli mi? Görünüşe göre evet! Ve bunu yapmak çok kolay:

Böylece, vektörde nokta başlangıç ​​ve bitiş olduğundan, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Örneğin, eğer, o zaman vektörün koordinatları

Şimdi tersini yapalım, vektörün koordinatlarını bulalım. Bunun için neyi değiştirmemiz gerekiyor? Evet, başlangıcı ve bitişi değiştirmelisiniz: şimdi vektörün başlangıcı bir noktada ve bitiş bir noktada olacaktır. Sonra:

Yakından bakın, vektörler ve arasındaki fark nedir? Tek farkları koordinatlardaki işaretlerdir. Onlar zıt. Bu gerçek şöyle yazılmıştır:

Bazen, hangi noktanın vektörün başlangıcı ve hangisinin son olduğu özellikle belirtilmemişse, vektörler iki büyük harfle değil, bir küçük harfle gösterilir, örneğin:, vb.

şimdi biraz uygulama ve aşağıdaki vektörlerin koordinatlarını bulun:

muayene:

Şimdi sorunu biraz daha zor çözün:

Bir noktada hurda üzerinde olan bir vektör simit sizinle birlikte veya di-üzerindedir. Bul-di-te abs-cis-su noktaları.

Hepsi aynı, oldukça sıkıcı: Noktanın koordinatları olsun. Sonra

Bir vektörün koordinatlarının ne olduğunu belirleyerek sistemi derledim. O zaman noktanın koordinatları vardır. Apsis ile ilgileniyoruz. Sonra

Cevap:

Vektörlerle başka neler yapabilirsiniz? Evet, hemen hemen her şey sıradan sayılarla aynıdır (bölemezsiniz, ancak iki şekilde çarpabilirsiniz, bunlardan birini biraz sonra tartışacağız)

1. Vektörler birbirleriyle istiflenebilir
2. Vektörler birbirinden çıkarılabilir
3. Vektörler keyfi sıfır olmayan bir sayı ile çarpılabilir (veya bölünebilir)
4. Vektörler birbirleriyle çarpılabilir

Tüm bu işlemler oldukça görsel bir geometrik temsile sahiptir. Örneğin, toplama ve çıkarma için üçgen (veya paralelkenar) kuralı:

Bir vektör, bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde uzar veya küçülür veya yön değiştirir:

Ancak burada koordinatlara ne olduğu sorusuyla ilgileneceğiz.

1. İki vektörü eklerken (çıkarırken), koordinatlarını eleman eleman ekleriz (çıkarırız). yani:

2. Bir vektörü bir sayı ile çarparken (bölerken), tüm koordinatları bu sayı ile çarpılır (bölünür):

Örneğin:

· Yüzyıldan-raya ko-or-di-nat toplamını bul.

Önce vektörlerin her birinin koordinatlarını bulalım. Her ikisinin de kökeni aynıdır - başlangıç ​​noktası. Onların sonları farklıdır. Sonra, . Şimdi vektörün koordinatlarını hesaplıyoruz Sonra ortaya çıkan vektörün koordinatlarının toplamı eşittir.

Cevap:

Şimdi aşağıdaki sorunu kendiniz çözün:

· Vektörün koordinatlarının toplamını bulun

Kontrol ediyoruz:

Şimdi aşağıdaki problemi ele alalım: koordinat düzleminde iki noktamız var. Aralarındaki mesafe nasıl bulunur? İlk nokta ve ikincisi olsun. Aralarındaki mesafeyi olarak gösterelim. Netlik için aşağıdaki çizimi yapalım:

Ne yaptım? Önce noktaları birleştirdim ve ayrıca noktadan eksene paralel bir doğru çizdim ve noktadan eksene paralel bir doğru çizdim. Bir noktada kesişerek harika bir figür mü oluşturdular? O neden harika? Evet, sen ve ben bir dik üçgen hakkında neredeyse her şeyi biliyoruz. Pekala, Pisagor teoremi, kesinlikle. İstenen segment bu üçgenin hipotenüsü ve segmentler bacaklardır. Noktanın koordinatları nelerdir? Evet, resimden bulmak kolaydır: Segmentler eksenlere paralel olduğundan ve sırasıyla uzunluklarını bulmak kolaydır: sırasıyla segmentlerin uzunluklarını belirtirsek, o zaman

Şimdi Pisagor teoremini kullanalım. Bacakların uzunluklarını biliyoruz, hipotenüsü bulacağız:

Böylece, iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlardan karesi alınmış farkların kök toplamıdır. Veya - iki nokta arasındaki mesafe, onları birleştiren parçanın uzunluğudur. Noktalar arasındaki mesafenin yöne bağlı olmadığını görmek kolaydır. Sonra:

Bundan üç sonuç çıkarıyoruz:

İki nokta arasındaki mesafeyi hesaplama konusunda biraz pratik yapalım:

Örneğin, eğer, o zaman ve arasındaki mesafe

Ya da farklı gidelim: vektörün koordinatlarını bulun

Ve vektörün uzunluğunu bulun:

Gördüğünüz gibi, aynı!

Şimdi kendi başınıza biraz pratik yapın:

Görev: verilen noktalar arasındaki mesafeyi bulun:

Kontrol ediyoruz:

Kulağa biraz farklı gelse de, aynı formül için birkaç problem daha var:

1. Göz kapağı-ra uzunluğunun karesini bulun.

2. Nai-di-te kare göz kapağı uzunluğu-ra

Sanırım bunlarla kolayca başa çıkabilirsin? Kontrol ediyoruz:

1. Ve bu dikkat için) Daha önce vektörlerin koordinatlarını bulduk: . O zaman vektörün koordinatları vardır. Uzunluğunun karesi şöyle olacaktır:

2. Vektörün koordinatlarını bulun

O halde uzunluğunun karesi

Karmaşık bir şey yok, değil mi? Basit aritmetik, başka bir şey değil.

Aşağıdaki bulmacalar açık bir şekilde sınıflandırılamaz, daha çok genel bilgi ve basit resimler çizme yeteneği içindir.

1. Kesimden-klon-on-on-on açının sinüsünü bulun, apsis ekseni ile n'inci noktayı birleştirin.

ve

Burada nasıl yapacağız? Aradaki açının sinüsünü ve ekseni bulmanız gerekir. Ve sinüsü nerede arayabiliriz? Bu doğru, bir dik üçgende. Peki ne yapmamız gerekiyor? Bu üçgeni oluşturun!

Noktanın koordinatları ve daha sonra segment eşit olduğundan ve segment. Açının sinüsünü bulmamız gerekiyor. Size hatırlatmama izin verin, sinüs karşı bacağın hipotenüse oranıdır, o zaman

Yapmamız gereken ne kaldı? Hipotenüsü bulun. Bunu iki şekilde yapabilirsiniz: Pisagor teoremi (bacaklar biliniyor!) veya iki nokta arasındaki mesafe formülüyle (aslında ilk yöntemle aynı!). Ben ikinci yoldan gideceğim:

Cevap:

Bir sonraki görev size daha da kolay gelecek. O - noktanın koordinatlarında.

Görev 2. Noktadan, per-pen-di-ku-lar, abs-ciss eksenine indirilir. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir çizim yapalım:

Dikin tabanı x eksenini (ekseni) kestiği noktadır benim için bu bir noktadır. Şekil, koordinatlara sahip olduğunu gösterir: . Apsis ile ilgileniyoruz - yani "X" bileşeni. O eşittir.

Cevap: .

Görev 3.Önceki problemin koşulları altında, noktadan koordinat eksenlerine olan mesafelerin toplamını bulun.

Bir noktadan eksenlere olan mesafenin ne olduğunu biliyorsanız, görev genellikle temeldir. Biliyorsun? Umarım, ama yine de size hatırlatırım:

Yani, biraz daha yüksekte bulunan çizimimde, zaten böyle bir dik tasvir ettim mi? Hangi eksen? eksene. Ve o zaman uzunluğu nedir? O eşittir. Şimdi eksene bir dik çizin ve uzunluğunu bulun. Eşit olacak, değil mi? O zaman toplamları eşittir.

Cevap: .

Görev 4. 2. problemin koşullarında, x ekseni etrafındaki noktaya simetrik olan noktanın ordinatını bulun.

Simetrinin ne olduğunu sezgisel olarak anladığınızı düşünüyorum? Pek çok nesne buna sahiptir: birçok bina, masa, düzlem, birçok geometrik şekil: bir top, bir silindir, bir kare, bir eşkenar dörtgen, vb. Kabaca söylemek gerekirse, simetri şu şekilde anlaşılabilir: bir şekil iki (veya daha fazla) oluşur. özdeş yarılar. Bu simetriye eksenel denir. O zaman eksen nedir? Bu tam olarak, şeklin göreceli olarak aynı yarılara "kesilebileceği" çizgidir (bu resimde simetri ekseni düzdür):

Şimdi görevimize geri dönelim. Eksene göre simetrik olan bir nokta aradığımızı biliyoruz. O halde bu eksen simetri eksenidir. Yani, eksenin parçayı iki eşit parçaya ayırması için bir noktayı işaretlememiz gerekiyor. Böyle bir noktayı kendiniz işaretlemeye çalışın. Şimdi benim çözümümle karşılaştırın:

Sen de aynısını yaptın mı? İyi! Bulunan noktada, ordinatla ilgileniyoruz. o eşittir

Cevap:

Şimdi söyle bana, bir saniye düşündükten sonra, y eksenine göre A noktasına simetrik olan noktanın apsisi ne olacak? Cevabınız nedir? Doğru cevap: .

Genel olarak, kural şu ​​şekilde yazılabilir:

x ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları:

Y ekseni etrafında bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatları vardır:

Şimdi gerçekten korkutucu. görev: Bir noktaya simetrik olan bir noktanın orijine göre koordinatlarını bulun. Önce kendin düşün, sonra çizimime bak!

Cevap:

Şimdi paralelkenar sorunu:

Görev 5: Puanlar ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma'dır. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

Bu sorunu iki şekilde çözebilirsiniz: mantık ve koordinat yöntemi. Önce koordinat yöntemini uygulayacağım, sonra size nasıl farklı şekilde karar verebileceğinizi anlatacağım.

Noktanın apsisinin eşit olduğu oldukça açıktır. (noktadan x eksenine çizilen dikme üzerinde bulunur). Ordinatı bulmamız gerekiyor. Figürümüzün bir paralelkenar olduğu gerçeğinden yararlanalım, bu şu anlama geliyor. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak parçanın uzunluğunu bulun:

Noktayı eksene bağlayan dikeyi indiriyoruz. Kavşak noktası bir harf ile gösterilir.

Segmentin uzunluğu eşittir. (bu anı tartıştığımız sorunu kendiniz bulun), o zaman Pisagor teoremini kullanarak segmentin uzunluğunu bulacağız:

Parçanın uzunluğu, koordinatıyla tamamen aynıdır.

Cevap: .

Başka bir çözüm (sadece onu gösteren bir resim sağlayacağım)

Çözüm ilerlemesi:

1. Harcama

2. Nokta koordinatlarını ve uzunluğunu bulun

3. Bunu kanıtlayın.

Bir diğeri uzunluk kesme sorunu:

Noktalar-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-açı-no-ka. Orta hattının uzunluğunu bulun, par-ral-lel-noy.

Bir üçgenin orta çizgisinin ne olduğunu hatırlıyor musunuz? O zaman sizin için bu görev temeldir. Hatırlamıyorsanız, size hatırlatacağım: Bir üçgenin orta çizgisi, karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren bir çizgidir. Tabana paralel ve yarısına eşittir.

Baz bir segmenttir. Daha önce uzunluğunu aramak zorunda kaldık, eşittir. O zaman orta çizginin uzunluğu yarısı kadar uzun ve eşittir.

Cevap: .

Yorum: Bu sorun, biraz sonra döneceğimiz başka bir şekilde çözülebilir.

Bu arada, işte size birkaç görev, üzerlerinde pratik yapın, oldukça basitler, ancak koordinat yöntemini kullanarak “elinizi çekmenize” yardımcı oluyorlar!

1. Noktalar görünüyor-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Orta hattının uzunluğunu bulun.

2. Puanlar ve yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Dee-te veya dee-on-tu noktalarını bulun.

3. Kesimden uzunluğu bulun, ikinci noktayı bağlayın ve

4. Ko-or-di-nat-noy düzleminde kırmızı-shen-noy figürü için alanı bulun.

5. na-cha-le ko-or-di-nat merkezli bir daire bir noktadan geçiyor. Bıyığını bul.

6. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, sağ-açı-no-ka yakınında tarif-san-noy, bir şey-ro-go'nun üstleri-shi-ny'si ortak-ya da - di-na-sen-yanıttan-ama

Çözümler:

1. Bir yamuğun orta çizgisinin, tabanlarının toplamının yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Taban eşittir, ancak taban. Sonra

Cevap:

2. Bu sorunu çözmenin en kolay yolu şunu fark etmektir (paralelkenar kuralı). Vektörlerin koordinatlarını hesaplayın ve zor değil: . Vektörler eklenirken koordinatlar eklenir. Sonra koordinatları var. Nokta aynı koordinatlara sahiptir, çünkü vektörün başlangıcı koordinatları olan bir noktadır. Ordinatla ilgileniyoruz. O eşittir.

Cevap:

3. İki nokta arasındaki uzaklık formülüne göre hemen hareket ediyoruz:

Cevap:

4. Resme bakın ve taralı alan hangi iki şekil arasında “sıkıştırılıyor”? İki kare arasına sıkıştırılmıştır. Daha sonra istenen şeklin alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasına eşittir. Küçük karenin kenarı, noktaları birleştiren bir parçadır ve uzunluğu

O halde küçük karenin alanı

Aynı şeyi büyük bir kare ile yapıyoruz: kenarı noktaları birleştiren bir segment ve uzunluğu eşittir

O halde büyük karenin alanı

İstenilen şeklin alanı şu formülle bulunur:

Cevap:

5. Dairenin merkezi orijine sahipse ve bir noktadan geçiyorsa, yarıçapı tam olarak doğru parçasının uzunluğuna eşit olacaktır (çizim yapın ve bunun neden açık olduğunu anlayacaksınız). Bu parçanın uzunluğunu bulun:

Cevap:

6. Bir dikdörtgenin çevresinde çevrelenen bir dairenin yarıçapının, köşegeninin yarısına eşit olduğu bilinmektedir. İki köşegenin herhangi birinin uzunluğunu bulalım (sonuçta bir dikdörtgende eşittirler!)

Cevap:

Peki, her şeyi başardın mı? Bunu anlamak o kadar da zor olmadı, değil mi? Burada tek bir kural var - görsel bir resim yapabilmek ve ondan tüm verileri basitçe “okumak”.

Çok az kaldı. Aslında tartışmak istediğim iki nokta daha var.

Bu basit sorunu çözmeye çalışalım. İki puan verilsin. Parçanın ortasının koordinatlarını bulun. Bu sorunun çözümü şu şekildedir: noktanın istenen orta olmasına izin verin, sonra koordinatları vardır:

yani: parçanın ortasının koordinatları = parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının aritmetik ortalaması.

Bu kural çok basittir ve genellikle öğrenciler için zorluk yaratmaz. Bakalım hangi problemlerde ve nasıl kullanılıyor:

1. Kesimden-di-te veya-di-na-tu se-re-di-us, connect-nya-yu-th-th noktasından ve

2. Puanlar yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Dia-go-on-lei'sinin yeniden-se-che-niya'sının di-te veya-di-na-tu noktalarını bulun.

3. Dairenin merkezinin abs-cis-su'sunu bulun, dikdörtgenin yakınında san-noy'u tanımlayın-no-ka, üstler-shi-bir şey-ro-go-ko-veya-di- na-siz-ve-stvenno-ama.

Çözümler:

1. İlk görev sadece bir klasik. Segmentin orta noktasını belirleyerek hemen harekete geçiyoruz. Koordinatları var. Ordinat eşittir.

Cevap:

2. Verilen dörtgenin bir paralelkenar (hatta bir eşkenar dörtgen!) olduğunu görmek kolaydır. Kenar uzunluklarını hesaplayarak ve birbirleriyle karşılaştırarak bunu kendiniz kanıtlayabilirsiniz. Paralelkenar hakkında ne biliyorum? Köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölünmüştür! Aha! Öyleyse köşegenlerin kesişme noktası nedir? Bu köşegenlerden herhangi birinin ortasıdır! Özellikle köşegeni seçeceğim. O zaman noktanın koordinatları vardır.Noktanın ordinatı eşittir.

Cevap:

3. Dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi nedir? Köşegenlerinin kesişme noktası ile çakışır. Bir dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsun? Eşittirler ve kesişme noktası ikiye bölünmüştür. Görev bir öncekine düşürüldü. Örneğin, köşegeni alın. O zaman, çevrelenmiş dairenin merkezi ise, o zaman ortasıdır. Koordinatları arıyorum: Apsis eşittir.

Cevap:

Şimdi biraz kendi başınıza pratik yapın, kendinizi kontrol edebilmeniz için sadece her sorunun cevabını vereceğim.

1. Nai-di-te ra-di-us daire-no-sti, tarif-san-noy üçgeninin yakınında-no-ka, birisi-ro-go'nun üstlerinde ko-or-di -hayır baylar var

2. Dairenin merkezini bulun veya bulun

3. Apsis eksenine değmesi için bir noktada merkezi olan bir daire nasıl bir ra-di-y-sa olmalıdır?

4. Eksenin yeniden-se-che-ing'inin o noktasında-di-te-veya-di-on-cut ve-cut, connect-nya-yu-th-noktası ve

Yanıtlar:

Her şey yoluna girdi mi? Bunu gerçekten umuyorum! Şimdi - son itme. Şimdi özellikle dikkatli olun. Şimdi açıklayacağım malzeme sadece Kısım B'deki basit koordinat yöntemi problemleriyle ilgili değil, aynı zamanda C2 probleminde de bulunuyor.

Hangi sözlerimi henüz tutmadım? Vektörler üzerinde hangi işlemleri tanıtmaya söz verdiğimi ve sonunda hangilerini tanıttığımı hatırlıyor musunuz? Hiçbir şey unutmadığıma emin miyim? Unutmuş olmak! Vektörlerin çarpımının ne anlama geldiğini açıklamayı unuttum.

Bir vektörü bir vektörle çarpmanın iki yolu vardır. Seçilen yönteme bağlı olarak, farklı nitelikte nesneler elde edeceğiz:

Vektör ürünü oldukça zor. Nasıl yapılır ve neden gerekli olduğunu, bir sonraki makalede sizinle tartışacağız. Ve bunda skaler ürüne odaklanacağız.

Bunu hesaplamamıza izin veren iki yol var:

Tahmin ettiğiniz gibi, sonuç aynı olmalı! O halde önce ilk yola bakalım:

Koordinatlar aracılığıyla nokta çarpımı

Bul: - nokta çarpımı için ortak gösterim

Hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

Yani nokta çarpım = vektörlerin koordinatlarının çarpımlarının toplamı!

Misal:

Bul-dee-te

Karar:

Vektörlerin her birinin koordinatlarını bulun:

Skaler ürünü aşağıdaki formülle hesaplıyoruz:

Cevap:

Görüyorsun, kesinlikle karmaşık bir şey yok!

Peki, şimdi kendin dene:

Bul-di-te skaler-noe yanlısı-ve-de-nie yüzyıldan hendeğe ve

Becerebildin mi? Belki küçük bir numara fark etmiştir? Hadi kontrol edelim:

Vektör koordinatları, önceki görevde olduğu gibi! Cevap: .

Koordinata ek olarak, vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açının kosinüsü aracılığıyla skaler ürünü hesaplamanın başka bir yolu daha vardır:

ve vektörleri arasındaki açıyı belirtir.

Yani, skaler ürün, vektörlerin uzunluklarının ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Neden bu ikinci formüle ihtiyacımız var, eğer birincisine sahipsek, ki bu çok daha basit, en azından içinde kosinüs yok. Ve buna ihtiyacımız var, böylece birinci ve ikinci formüllerden vektörler arasındaki açıyı nasıl bulacağımızı çıkarabiliriz!

O zaman bir vektörün uzunluk formülünü hatırlayalım!

Sonra bu verileri nokta çarpım formülüne eklersem şunu elde ederim:

Ama diğer tarafta:

Peki elimizde ne var? Artık iki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için bir formülümüz var! Bazen, kısaca, şu şekilde de yazılır:

Yani, vektörler arasındaki açıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Skaler ürünü koordinatlarla hesaplıyoruz
2. Vektörlerin uzunluklarını bulun ve çarpın
3. 1. noktanın sonucunu 2. noktanın sonucuna bölün

Örneklerle pratik yapalım:

1. Göz kapakları-ra-mi ve arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

2. Önceki problemin koşulları altında, vektörler arasındaki kosinüsü bulun.

Şunu yapalım: İlk problemi çözmene yardım edeceğim ve ikincisini kendin yapmaya çalışacağım! Kabul ediyorum? O zaman başlayalım!

1. Bu vektörler eski dostlarımızdır. Onların skaler çarpımını zaten düşündük ve bu eşitti. Koordinatları: , . Sonra uzunluklarını buluruz:

Sonra vektörler arasındaki kosinüsü arıyoruz:

açının kosinüsü nedir? Burası köşe.

Cevap:

Peki, şimdi ikinci sorunu kendin çöz ve sonra karşılaştır! Sadece çok kısa bir çözüm vereceğim:

2. koordinatları vardır, koordinatları vardır.

Vektörler arasındaki açı olsun ve sonra

Cevap:

Doğrudan vektörler üzerindeki görevlerin ve sınav kağıdının B bölümündeki koordinat yönteminin oldukça nadir olduğuna dikkat edilmelidir. Bununla birlikte, C2 problemlerinin büyük çoğunluğu bir koordinat sistemi tanıtılarak kolayca çözülebilir. Bu nedenle, bu makaleyi, karmaşık sorunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız oldukça zor yapılar yapacağımız bir temel olarak düşünebilirsiniz.

KOORDİNATLAR VE VEKTÖRLER. ORTA DÜZEY

Sen ve ben koordinat yöntemini incelemeye devam ediyoruz. Son bölümde, aşağıdakilere izin veren bir dizi önemli formül türettik:

1. Vektör koordinatlarını bulun
2. Bir vektörün uzunluğunu bulun (alternatif olarak: iki nokta arasındaki mesafe)
3. Vektörleri ekleyin, çıkarın. Onları gerçek bir sayı ile çarpın
4. Bir segmentin orta noktasını bulun
5. Vektörlerin nokta çarpımını hesaplayın
6. Vektörler arasındaki açıyı bulun

Elbette tüm koordinat yöntemi bu 6 noktaya sığmaz. Üniversitede tanışacağınız analitik geometri gibi bir bilimin temelini oluşturur. Sadece sorunları tek bir eyalette çözmenize izin verecek bir temel oluşturmak istiyorum. sınav. B bölümünün görevlerini çözdük Şimdi niteliksel olarak yeni bir seviyeye geçme zamanı! Bu makale, koordinat yöntemine geçmenin makul olacağı bu C2 problemlerini çözme yöntemine ayrılacaktır. Bu makullük, problemde bulunması gereken ve verilen rakam tarafından belirlenir. Bu nedenle, sorular şuysa koordinat yöntemini kullanırdım:

1. İki düzlem arasındaki açıyı bulun
2. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun
3. İki çizgi arasındaki açıyı bulun
4. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulun
5. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun
6. Düz bir çizgiden bir düzleme olan mesafeyi bulun
7. İki çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Problemin durumunda verilen şekil bir dönüş cismi ise (bilye, silindir, koni...)

Koordinat yöntemi için uygun rakamlar şunlardır:

1. küboid
2. Piramit (üçgen, dörtgen, altıgen)

ayrıca benim tecrübemde için koordinat yöntemini kullanmak uygun değildir.:

1. Bölümlerin alanlarını bulma
2. Vücut hacimlerinin hesaplanması

Bununla birlikte, koordinat yöntemi için üç “olumsuz” durumun pratikte oldukça nadir olduğu hemen belirtilmelidir. Çoğu görevde, özellikle üç boyutlu yapılarda (bazen oldukça karmaşık olan) çok güçlü değilseniz, kurtarıcınız olabilir.

Yukarıda listelediğim tüm rakamlar nelerdir? Artık kare, üçgen, daire gibi düz değil, hacimlidirler! Buna göre, iki boyutlu değil, üç boyutlu bir koordinat sistemi düşünmemiz gerekiyor. Oldukça kolay inşa edilir: Apsis ve koordinatlara ek olarak, başka bir eksen, uygulama ekseni tanıtacağız. Şekil, göreceli konumlarını şematik olarak göstermektedir:

Hepsi birbirine diktir, orijin diyeceğimiz bir noktada kesişir. Apsis ekseni, daha önce olduğu gibi, ordinat ekseni - ve tanıtılan uygulama ekseni - ile gösterilecektir.

Daha önce düzlemdeki her nokta iki sayı ile karakterize edildiyse - apsis ve ordinat, o zaman uzaydaki her nokta zaten üç sayı ile tanımlanır - apsis, ordinat, uygulama. Örneğin:

Buna göre noktanın apsisi eşittir, ordinat 'dir ve uygulama 'dir.

Bazen bir noktanın apsisi, noktanın apsis ekseni üzerindeki izdüşümü olarak da adlandırılır, ordinat noktanın ordinat eksenindeki izdüşümüdür ve aplikasyon, aplikasyon eksenindeki noktanın izdüşümüdür. Buna göre, bir nokta verilirse, koordinatları olan bir nokta:

bir noktanın düzlem üzerine izdüşümü denir

bir noktanın düzlem üzerine izdüşümü denir

Doğal bir soru ortaya çıkıyor: iki boyutlu durum için türetilen tüm formüller uzayda geçerli mi? Cevap evet, onlar sadece ve aynı görünüme sahipler. Küçük bir detay için. Sanırım hangisi olduğunu zaten tahmin ettin. Tüm formüllerde, uygulama ekseninden sorumlu bir terim daha eklemek zorunda kalacağız. Yani.

1. İki nokta verilirse: , o zaman:

• Vektör koordinatları:
• İki nokta arasındaki mesafe (veya vektör uzunluğu)
• Segmentin ortasında koordinatlar var

2. İki vektör verilirse: ve, o zaman:

• Nokta çarpımı:
• Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Ancak, uzay o kadar basit değil. Anladığınız gibi, bir koordinatın daha eklenmesi, bu uzayda "yaşayan" figürlerin yelpazesinde önemli bir çeşitlilik getirir. Ve daha fazla anlatım için, kabaca konuşursak, düz çizginin bazı "genellemelerini" tanıtmam gerekiyor. Bu "genelleme" bir düzlem olacaktır. Uçak hakkında ne biliyorsun? Soruyu cevaplamaya çalışın, uçak nedir? Söylemesi çok zor. Ancak, hepimiz sezgisel olarak neye benzediğini hayal ederiz:

Kabaca söylemek gerekirse, bu bir tür sonsuz "yaprak" uzaya itilir. "Sonsuz", düzlemin her yöne uzandığı, yani alanının sonsuzluğa eşit olduğu anlaşılmalıdır. Ancak "parmaklardaki" bu açıklama, uçağın yapısı hakkında en ufak bir fikir vermemektedir. Ve onunla ilgileneceğiz.

Geometrinin temel aksiyomlarından birini hatırlayalım:

• Düz bir çizgi, bir düzlemde iki farklı noktadan geçer, ayrıca yalnızca bir noktadan geçer:

Veya uzaydaki analogu:

Elbette, verilen iki noktadan düz bir çizginin denklemini nasıl türeteceğinizi hatırlıyorsunuz, bu hiç de zor değil: ilk noktanın koordinatları varsa: ve ikincisi, o zaman düz çizginin denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

Bunu 7. sınıfta yaşadın. Uzayda, düz bir çizginin denklemi şöyle görünür: koordinatları olan iki noktamız olsun: , o zaman onlardan geçen düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur:

Örneğin, bir çizgi noktalardan geçer:

Bu nasıl anlaşılmalı? Bu şu şekilde anlaşılmalıdır: koordinatları aşağıdaki sistemi sağlıyorsa bir nokta bir çizgi üzerindedir:

Düz bir çizginin denklemiyle pek ilgilenmeyeceğiz, ancak çok önemli bir düz çizginin yönlendirici vektörü kavramına dikkat etmemiz gerekiyor. - belirli bir doğru üzerinde veya ona paralel uzanan sıfır olmayan herhangi bir vektör.

Örneğin, her iki vektör de düz bir çizginin yön vektörleridir. Düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta olsun ve yönlendirici vektörü olsun. Daha sonra düz bir çizginin denklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir:

Bir kez daha, düz bir çizginin denklemi ile pek ilgilenmeyeceğim, ancak bir yön vektörünün ne olduğunu hatırlamanıza gerçekten ihtiyacım var! Tekrar: bir doğru üzerinde veya ona paralel olan HERHANGİ sıfır olmayan bir vektördür.

Geri çekilmek bir düzlemin üç noktalı denklemi artık o kadar önemsiz değil ve genellikle bir lise kursunda yer almıyor. Ama boşuna! Bu teknik, karmaşık problemleri çözmek için koordinat yöntemine başvurduğumuzda hayati önem taşır. Ancak, yeni bir şey öğrenme arzusuyla dolu olduğunuzu varsayıyorum? Ayrıca, genellikle analitik geometri dersinde çalışılan tekniği nasıl kullanacağınızı zaten bildiğiniz ortaya çıktığında, üniversitedeki öğretmeninizi etkileyebileceksiniz. O halde başlayalım.

Bir düzlemin denklemi, bir düzlemdeki düz bir çizginin denkleminden çok farklı değildir, yani şu şekle sahiptir:

bazı sayılar (hepsi sıfıra eşit değildir), ancak değişkenler, örneğin: vb. Gördüğünüz gibi, bir düzlemin denklemi düz bir çizginin denkleminden (doğrusal fonksiyon) çok farklı değildir. Ancak, seninle ne tartıştığımızı hatırlıyor musun? Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktamız varsa, o zaman düzlemin denkleminin onlardan benzersiz bir şekilde geri yüklendiğini söyledik. Ama nasıl? Sana açıklamaya çalışacağım.

Düzlem denklemi olduğundan:

Ve noktalar bu düzleme aittir, o zaman her noktanın koordinatlarını düzlemin denkleminde yerine koyarken, doğru kimliği elde etmeliyiz:

Bu nedenle, zaten bilinmeyenleri olan üç denklemi çözmeye ihtiyaç var! İkilem! Ancak, bunu her zaman varsayabiliriz (bunun için bölmemiz gerekir). Böylece, üç bilinmeyenli üç denklem elde ederiz:

Ancak böyle bir sistemi çözmeyeceğiz, ondan çıkan şifreli ifadeyi yazacağız:

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

\[\sol| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(dizi)) \sağ| = 0\]

Durmak! Bu başka nedir? Çok sıra dışı bir modül! Ancak önünüzde gördüğünüz cismin modülle alakası yok. Bu nesneye üçüncü dereceden determinant denir. Şu andan itibaren, bir düzlemde koordinat yöntemiyle uğraşırken, sıklıkla bu belirleyicilerle karşılaşacaksınız. Üçüncü dereceden bir determinant nedir? İşin garibi, bu sadece bir sayı. Belirleyici ile hangi belirli sayıyı karşılaştıracağımızı anlamak için kalır.

Önce üçüncü dereceden determinantı daha genel bir biçimde yazalım:

Bazı sayılar nerede. Ayrıca, ilk dizin ile satır numarasını ve dizin ile - sütun numarasını kastediyoruz. Örneğin, verilen sayının ikinci satır ile üçüncü sütunun kesişim noktasında olduğu anlamına gelir. Şu soruyu soralım: Böyle bir determinantı tam olarak nasıl hesaplayacağız? Yani, hangi belirli sayı ile karşılaştıracağız? Kesin olarak üçüncü mertebenin determinantı için bir buluşsal (görsel) üçgen kuralı vardır, şöyle görünür:

1. Ana köşegenin elemanlarının çarpımı (sol üstten sağ alta) Birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ana köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı Ana köşegene "dik" diyagonal
2. İkincil köşegen elemanlarının çarpımı (sağ üstten sol alta) birinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci köşegene "dik" ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikinci üçgeni oluşturan elemanların çarpımı ikincil köşegen
3. Daha sonra determinant, adımda elde edilen değerler arasındaki farka eşittir ve

Tüm bunları sayılarla yazarsak, aşağıdaki ifadeyi alırız:

Bununla birlikte, bu formdaki hesaplama yöntemini ezberlemenize gerek yoktur, sadece üçgenleri kafanızda tutmanız ve neyin neye eklendiği ve neyin daha sonra neyin çıkarıldığı fikrini tutmanız yeterlidir).

Üçgen yöntemini bir örnekle açıklayalım:

1. Determinantı hesaplayın:

Ne eklediğimizi ve neyi çıkardığımızı bulalım:

"Artı" ile gelen terimler:

Bu ana köşegendir: elemanların çarpımı

İlk üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ana köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

"Eksi" ile gelen terimler

Bu bir yan köşegendir: elemanların çarpımı

Birinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

İkinci üçgen, "ikincil köşegene dik: elemanların çarpımı

Üç sayı ekliyoruz:

Geriye kalan tek şey, artı terimlerin toplamından eksi terimlerin toplamını çıkarmaktır:

Böylece,

Gördüğünüz gibi, üçüncü dereceden belirleyicilerin hesaplanmasında karmaşık ve doğaüstü hiçbir şey yoktur. Sadece üçgenleri hatırlamak ve aritmetik hatalar yapmamak önemlidir. Şimdi kendiniz hesaplamaya çalışın:

Kontrol ediyoruz:

1. Ana köşegene dik olan ilk üçgen:
2. Ana köşegene dik olan ikinci üçgen:
3. Artı terimlerin toplamı:
4. Kenar köşegenine dik olan ilk üçgen:
5. Yan köşegenine dik olan ikinci üçgen:
6. Eksi ile terimlerin toplamı:
7. Artı terimlerin toplamı eksi eksi terimlerin toplamı:

İşte size birkaç belirleyici daha, değerlerini kendiniz hesaplayın ve cevaplarla karşılaştırın:

Yanıtlar:

Peki, her şey uyumlu muydu? Harika, o zaman devam edebilirsin! Zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: İnternette determinantı çevrimiçi olarak hesaplamak için bir sürü program var. Tek ihtiyacınız olan kendi determinantınızı bulmak, bunu kendiniz hesaplamak ve sonra onu programın hesapladığıyla karşılaştırmak. Ve böylece sonuçlar eşleşmeye başlayana kadar. Eminim bu anın gelmesi uzun sürmeyecektir!

Şimdi, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminden bahsettiğimde yazdığım determinanta dönelim:

Tek yapmanız gereken, değerini doğrudan (üçgen yöntemini kullanarak) hesaplamak ve sonucu sıfıra eşitlemek. Doğal olarak, değişkenler oldukları için onlara bağlı bazı ifadeler elde edeceksiniz. Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi bu ifade olacaktır!

Bunu basit bir örnekle açıklayalım:

1. Noktalardan geçen düzlemin denklemini kurunuz.

Bu üç nokta için bir determinant oluşturuyoruz:

Basitleştirme:

Şimdi doğrudan üçgen kuralına göre hesaplıyoruz:

\[(\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(dizi)) \ sağ| = \left((x + 3) \sağ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \sağ) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Böylece noktalardan geçen düzlemin denklemi şu şekildedir:

Şimdi bir sorunu kendiniz çözmeye çalışın, sonra onu tartışacağız:

2. Noktalardan geçen düzlemin denklemini bulunuz.

Peki, şimdi çözümü tartışalım:

Bir determinant yapıyoruz:

Ve değerini hesaplayın:

O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Veya azaltarak şunu elde ederiz:

Şimdi kendi kendini kontrol etmek için iki görev:

1. Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturun:

Yanıtlar:

Her şey eşleşti mi? Yine, bazı zorluklar varsa, o zaman benim tavsiyem şudur: kafanızdan üç puan alın (yüksek olasılıkla tek bir düz çizgide uzanmazlar), üzerlerine bir uçak inşa edin. Ve sonra çevrimiçi olarak kendinizi kontrol edin. Örneğin, sitede:

Ancak determinantların yardımıyla sadece düzlemin denklemini oluşturmayacağız. Unutma, sana vektörler için sadece nokta çarpım tanımlanmadığını söylemiştim. Karışık bir ürünün yanı sıra bir vektör de vardır. Ve eğer iki vektörün skaler çarpımı bir sayı olacaksa, o zaman iki vektörün vektör çarpımı bir vektör olacak ve bu vektör verilenlere dik olacaktır:

Ayrıca, modülü ve vektörleri üzerine inşa edilen paralelkenarın alanına eşit olacaktır. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bu vektöre ihtiyacımız olacak. Vektörlerin çapraz çarpımını nasıl hesaplayabiliriz ve eğer koordinatları verilirse? Üçüncü mertebenin determinantı yine yardımımıza geliyor. Ancak, çapraz çarpımı hesaplamak için algoritmaya geçmeden önce, küçük bir lirik ara söz yapmak zorundayım.

Bu digresyon, temel vektörlerle ilgilidir.

Şematik olarak şekilde gösterilmiştir:

Sizce neden temel olarak adlandırılıyorlar? Gerçek şu ki :

Veya resimde:

Bu formülün geçerliliği açıktır, çünkü:

vektör ürün

Şimdi çapraz ürünü tanıtmaya başlayabilirim:

İki vektörün vektör çarpımı, aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir vektördür:

Şimdi çapraz çarpım hesaplamaya bazı örnekler verelim:

Örnek 1: Vektörlerin çapraz çarpımını bulun:

Çözüm: Bir determinant yapıyorum:

Ve hesaplıyorum:

Şimdi, temel vektörler aracılığıyla yazmaktan normal vektör gösterimine döneceğim:

Böylece:

Şimdi dene.

Hazır? Kontrol ediyoruz:

ve geleneksel olarak iki kontrol edilecek görevler:

1. Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:
2. Aşağıdaki vektörlerin çarpımını bulun:

Yanıtlar:

Üç vektörün karışık çarpımı

İhtiyacım olan son yapı, üç vektörün karışık çarpımı. Bir skaler gibi, bir sayıdır. Bunu hesaplamanın iki yolu vardır. - determinant aracılığıyla, - karışık ürün aracılığıyla.

Yani, diyelim ki üç vektörümüz var:

Daha sonra ile gösterilen üç vektörün karışık ürünü şu şekilde hesaplanabilir:

1. - yani, karışık ürün bir vektörün skaler çarpımı ve diğer iki vektörün vektör çarpımıdır.

Örneğin, üç vektörün karışık ürünü:

Vektör çarpımını kullanarak kendiniz hesaplamaya çalışın ve sonuçların eşleştiğinden emin olun!

Ve yine - bağımsız bir karar için iki örnek:

Yanıtlar:

Koordinat sistemi seçimi

Pekala, şimdi geometrideki karmaşık stereometrik problemleri çözmek için gerekli tüm bilgi temeline sahibiz. Ancak, bunları çözmek için doğrudan örneklere ve algoritmalara geçmeden önce şu soru üzerinde durmanın faydalı olacağına inanıyorum: tam olarak nasıl? belirli bir şekil için bir koordinat sistemi seçin. Sonuçta, hesaplamaların ne kadar hantal olacağını nihai olarak belirleyecek olan koordinat sisteminin göreli konumunun ve uzaydaki şeklin seçimidir.

Bu bölümde aşağıdaki rakamları dikkate aldığımızı hatırlatırım:

1. küboid
2. Düz prizma (üçgen, altıgen…)
3. Piramit (üçgen, dörtgen)
4. Dörtyüzlü (üçgen piramit ile aynı)

Bir küboid veya küp için aşağıdaki yapıyı öneririm:

Yani, figürü “köşeye” yerleştireceğim. Küp ve kutu çok iyi rakamlar. Onlar için köşelerinin koordinatlarını her zaman kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, eğer (resimde gösterildiği gibi)

o zaman köşe koordinatları:

Tabii ki, bunu hatırlamanıza gerek yok, ancak bir küpün veya dikdörtgen bir kutunun en iyi nasıl yerleştirileceğini hatırlamak arzu edilir.

düz prizma

Prizma daha zararlı bir figürdür. Uzayda farklı şekillerde düzenleyebilirsiniz. Ancak, aşağıdakilerin en iyi seçenek olduğunu düşünüyorum:

Üçgen prizma:

Yani, üçgenin kenarlarından birini tamamen eksene koyarız ve köşelerden biri orijine denk gelir.

Altıgen prizma:

Yani, köşelerden biri orijine denk gelir ve kenarlardan biri eksen üzerinde bulunur.

Dörtgen ve altıgen piramit:

Küpe benzer bir durum: Tabanın iki tarafını koordinat eksenleriyle birleştiririz, köşelerden birini orijiyle birleştiririz. Tek küçük zorluk, noktanın koordinatlarını hesaplamak olacaktır.

Altıgen bir piramit için - altıgen bir prizma ile aynı. Ana görev yine tepe noktasının koordinatlarını bulmak olacaktır.

Dörtyüzlü (üçgen piramit)

Durum üçgen prizma için verdiğime çok benziyor: bir köşe orijine denk geliyor, bir taraf koordinat ekseninde yatıyor.

Pekala, şimdi sen ve ben nihayet sorunları çözmeye başladık. Makalenin en başında söylediklerimden şu sonucu çıkarabilirsiniz: C2 problemlerinin çoğu 2 kategoriye ayrılır: açı problemleri ve mesafe problemleri. İlk olarak, bir açı bulma problemlerini ele alacağız. Sırasıyla aşağıdaki kategorilere ayrılırlar (karmaşıklık arttıkça):

Köşeleri bulma sorunları

1. İki doğru arasındaki açıyı bulma
2. İki düzlem arasındaki açıyı bulma

Bu sorunları sırayla ele alalım: iki düz çizgi arasındaki açıyı bularak başlayacağız. Hadi ama hatırla, sen ve ben daha önce buna benzer örnekleri çözmüş müydük? Hatırlarsınız, çünkü zaten benzer bir şeyimiz vardı... İki vektör arasında bir açı arıyorduk. Size hatırlatırım, eğer iki vektör verilirse: ve aralarındaki açı bağıntıdan bulunur:

Şimdi bir hedefimiz var - iki düz çizgi arasındaki açıyı bulmak. "Düz resme" dönelim:

İki doğru kesiştiğinde kaç açı elde ederiz? Zaten şeyler. Doğru, sadece ikisi eşit değil, diğerleri ise onlara dikey (ve bu nedenle onlarla çakışıyor). Öyleyse iki düz çizgi arasındaki açıyı hangi açı olarak düşünmeliyiz: veya? İşte kural: iki düz çizgi arasındaki açı her zaman dereceden fazla değildir. Yani iki açıdan her zaman derece ölçüsü en küçük olan açıyı seçeceğiz. Yani bu resimde iki doğru arasındaki açı eşittir. Her seferinde iki açıdan en küçüğünü bulmakla uğraşmamak için kurnaz matematikçiler modülü kullanmayı önerdiler. Böylece, iki düz çizgi arasındaki açı şu formülle belirlenir:

Dikkatli bir okuyucu olarak sizin bir sorunuz olmalı: Aslında, bir açının kosinüsünü hesaplamak için ihtiyaç duyduğumuz bu sayıları nereden alıyoruz? Cevap: Onları doğruların yön vektörlerinden alacağız! Böylece, iki çizgi arasındaki açıyı bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Formül 1'i uyguluyoruz.

Veya daha ayrıntılı olarak:

1. İlk düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz
2. İkinci satırın yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz.
3. Skaler çarpımlarının modülünü hesaplayın
4. İlk vektörün uzunluğunu arıyoruz
5. İkinci vektörün uzunluğunu arıyoruz
6. 4. noktanın sonuçlarını 5. noktanın sonuçlarıyla çarpın
7. 3. noktanın sonucunu 6. noktanın sonucuna böleriz. Doğrular arasındaki açının kosinüsünü elde ederiz.
8. Bu sonuç açıyı tam olarak hesaplamamıza izin veriyorsa, onu ararız.
9. Aksi takdirde, arkkosinüs aracılığıyla yazarız

Pekala, şimdi görevlere geçme zamanı: İlk ikisinin çözümünü ayrıntılı olarak göstereceğim, diğerinin çözümünü kısaca sunacağım ve sadece son iki görevin cevaplarını vereceğim, yapmanız gerekenler onlar için tüm hesaplamaları kendin yap.

Görevler:

1. Sağ tet-ra-ed-re'de, tet-ra-ed-ra ile me-di-a-noy bo-ko-how tarafı arasındaki açıyı bulun.

2. Sağ ileri altı kömür-pi-ra-mi-de, yüz-ro-na-os-no-va-niya bir şekilde eşittir ve yan kaburgalar eşittir, düz arasındaki açıyı bulun çizgiler ve.

3. Sağ elini kullanan dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-dy'nin tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun ve pi-ra-mi-dy'den re-zok - sen-so-bu verilmişse, nokta onun bo-ko-th kaburgasında se-re-di-dir

4. Küpün kenarında bir noktadan-me-che-den düz çizgiler arasındaki açıyı bul-di-te ve

5. Nokta - se-re-di-küpün kenarlarında Nai-di-te düz çizgiler ve arasındaki açı.

Görevleri bu sıraya koymam tesadüf değil. Koordinat yönteminde gezinmeye başlamak için henüz zamanınız olmasa da, kendim en “sorunlu” rakamları analiz edeceğim ve sizi en basit küple uğraşmaya bırakacağım! Yavaş yavaş tüm rakamlarla nasıl çalışılacağını öğrenmelisin, konuların karmaşıklığını konudan konuya artıracağım.

Sorunları çözmeye başlayalım:

1. Bir tetrahedron çizin, daha önce önerdiğim gibi koordinat sistemine yerleştirin. Tetrahedron düzenli olduğundan, tüm yüzleri (taban dahil) düzgün üçgenlerdir. Kenarın uzunluğu bize verilmediği için eşit alabilirim. Sanırım açının gerçekten tetrahedronumuzun ne kadar "gerileceğine" bağlı olmayacağını anlıyorsunuz? Ayrıca tetrahedrondaki yüksekliği ve medyanı çizeceğim. Yol boyunca tabanını çizeceğim (bizim için de kullanışlı olacak).

ve arasındaki açıyı bulmam gerekiyor. Biz ne biliyoruz? Sadece noktanın koordinatını biliyoruz. Yani, noktaların daha fazla koordinatını bulmamız gerekiyor. Şimdi düşünüyoruz: bir nokta, bir üçgenin yüksekliklerinin (veya açıortaylarının veya medyanlarının) kesişme noktasıdır. Nokta yükseltilmiş bir noktadır. Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman nihayet bulmamız gerekiyor: noktaların koordinatları: .

En basitinden başlayalım: nokta koordinatları. Şekle bakın: Bir noktanın uygulamasının sıfıra eşit olduğu açıktır (nokta bir düzlem üzerindedir). Ordinatı eşittir (çünkü ortancadır). Onun apsisini bulmak daha zordur. Ancak bu, Pisagor teoremi temelinde kolayca yapılabilir: Bir üçgen düşünün. Hipotenüsü eşittir ve bacaklardan biri eşittir O zaman:

Sonunda elimizde:

Şimdi noktanın koordinatlarını bulalım. Aplikasyonunun yine sıfıra eşit olduğu ve ordinatının bir noktanınkiyle aynı olduğu açıktır, yani. Onun apsisini bulalım. Bunu hatırlarsanız, bu oldukça önemsiz bir şekilde yapılır. bir eşkenar üçgenin yükseklikleri, orantıdaki kesişme noktasına bölünür tepeden saymak. Çünkü:, o zaman, parçanın uzunluğuna eşit olan noktanın istenen apsisi, şuna eşittir:. Böylece, noktanın koordinatları:

Noktanın koordinatlarını bulalım. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Ve aplike, segmentin uzunluğuna eşittir. - bu üçgenin bacaklarından biri. Bir üçgenin hipotenüsü bir segmenttir - bir bacak. Kalın harflerle vurguladığım sebepler aranıyor:

Nokta, segmentin orta noktasıdır. O zaman segmentin ortasının koordinatları için formülü hatırlamamız gerekiyor:

İşte bu, şimdi yön vektörlerinin koordinatlarını arayabiliriz:

Her şey hazır: tüm verileri formüle yerleştiriyoruz:

Böylece,

Cevap:

Bu tür "korkunç" yanıtlardan korkmamalısınız: C2 sorunları için bu yaygın bir uygulamadır. Bu bölümdeki "güzel" cevaba şaşırmayı tercih ederim. Ayrıca, belirttiğiniz gibi, pratikte Pisagor teoremi ve bir eşkenar üçgenin yüksekliklerinin özelliğinden başka bir şeye başvurmadım. Yani, stereometrik sorunu çözmek için en düşük stereometriyi kullandım. Buradaki kazanç, oldukça hantal hesaplamalarla kısmen "söndü". Ama oldukça algoritmikler!

2. Koordinat sistemi ve tabanıyla birlikte düzenli bir altıgen piramit çizin:

Çizgiler arasındaki açıyı bulmamız gerekiyor ve. Böylece, görevimiz noktaların koordinatlarını bulmaya indirgenir: . Küçük çizimden son üçün koordinatlarını bulacağız ve noktanın koordinatı üzerinden tepenin koordinatını bulacağız. Çok iş var ama başlamam gerek!

a) Koordinat: Aplikasyonu ve ordinatının sıfır olduğu açıktır. Absisi bulalım. Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün. Ne yazık ki, içinde sadece eşit olan hipotenüsü biliyoruz. Bacağı bulmaya çalışacağız (çünkü bacağın iki katının bize noktanın apsisini vereceği açıktır). Onu nasıl arayabiliriz? Piramidin tabanında nasıl bir figürümüz olduğunu hatırlayalım mı? Bu normal bir altıgen. Bu ne anlama geliyor? Bu, tüm kenarların ve tüm açıların eşit olduğu anlamına gelir. Böyle bir köşe bulmalıyız. Herhangi bir fikir? Birçok fikir var, ancak bir formül var:

Düzgün bir n-genin açılarının toplamı .

Yani düzgün altıgenin açıları toplamı derecedir. O zaman açıların her biri şuna eşittir:

Şimdi resme tekrar bakalım. Segmentin açının açıortay olduğu açıktır. O zaman açı derecedir. Sonra:

Sonra nereye.

yani koordinatları var

b) Şimdi noktanın koordinatını kolayca bulabiliriz: .

c) Noktanın koordinatlarını bulunuz. Apsisi segmentin uzunluğuna denk geldiği için eşittir. Ordinatı bulmak da çok zor değil: noktaları birleştirirsek ve çizginin kesişme noktasını belirtirsek, diyelim ki için. (kendin yap basit inşaat). O halde B noktasının ordinatı, doğru parçalarının uzunluklarının toplamına eşittir. Şimdi üçgene tekrar bakalım. Sonra

O zamandan beri noktanın koordinatları var

d) Şimdi noktanın koordinatlarını bulun. Bir dikdörtgen düşünün ve bunu kanıtlayın. Böylece, noktanın koordinatları:

e) Köşenin koordinatlarını bulmak için kalır. Apsis ve ordinatının noktanın apsisi ve ordinatıyla örtüştüğü açıktır. Bir uygulama bulalım. O zamandan beri. Bir dik üçgen düşünün. Sorunun durumuna göre, yan kenar. Bu benim üçgenimin hipotenüsü. O zaman piramidin yüksekliği bacaktır.

O zaman noktanın koordinatları vardır:

İşte bu, ilgimi çeken tüm noktaların koordinatlarına sahibim. Düz çizgilerin yönlendirici vektörlerinin koordinatlarını arıyorum:

Bu vektörler arasındaki açıyı arıyoruz:

Cevap:

Yine, bu problemi çözerken, normal bir n-genin açılarının toplamı formülü ve bir dik üçgenin kosinüs ve sinüsünün tanımı dışında herhangi bir karmaşık numara kullanmadım.

3. Piramidin kenarlarının uzunlukları yine bize verilmediği için onları bire eşit sayacağım. Böylece, sadece yanlar değil, TÜM kenarlar birbirine eşit olduğundan, piramidin tabanında ve ben bir kare bulunur ve yan yüzler düzgün üçgenlerdir. Problem metninde verilen tüm verileri işaretleyerek böyle bir piramidin yanı sıra bir düzlemdeki tabanını gösterelim:

ve arasındaki açıyı arıyoruz. Noktaların koordinatlarını ararken çok kısa hesaplar yapacağım. Bunları "şifresini çözmeniz" gerekecek:

b) - segmentin ortası. Koordinatları:

c) Bir üçgende Pisagor teoremini kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulacağım. Pisagor teoremiyle bir üçgende bulacağım.

Koordinatlar:

d) - segmentin ortası. Koordinatları

e) Vektör koordinatları

f) Vektör koordinatları

g) Bir açı aramak:

Küp en basit şekildir. Eminim kendi başına çözebilirsin. 4. ve 5. soruların cevapları aşağıdaki gibidir:

Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma

Eh, basit bulmacaların zamanı bitti! Şimdi örnekler daha da zor olacak. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmak için aşağıdaki gibi ilerleyeceğiz:

1. Üç nokta kullanarak düzlemin denklemini oluşturuyoruz
   ,
   üçüncü dereceden bir determinant kullanarak.
2. İki nokta ile düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını arıyoruz:
3. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı hesaplamak için formülü uygularız:

Gördüğünüz gibi, bu formül iki doğru arasındaki açıları bulmak için kullandığımız formüle çok benziyor. Sağ tarafın yapısı tamamen aynıdır ve solda şimdi eskisi gibi bir kosinüs değil, bir sinüs arıyoruz. Pekala, kötü bir eylem eklendi - uçağın denkleminin aranması.

rafa kaldırmayalım çözme örnekleri:

1. Os-no-va-ni-em düz-benim ödülüm-biz-la-et-xia eşit-ama-fakir-ren-ny üçgeni-sizi-bu-ödül-biz-eşitiz. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun

2. Batı Nai-di-te'den dikdörtgen bir pa-ral-le-le-pi-pe-de'de düz çizgi ile düzlem arasındaki açı

3. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

4. Sağ üçgen pi-ra-mi-de, kaburganın batısından os-but-va-ni-em ile Nai-di-te açısı, os'nin ob-ra-zo-van -ny düzlemi -no-va-niya ve düz-my, kaburgaların se-re-di-na'sından geçerek ve

5. Sağdaki dörtgen pi-ra-mi-dy'nin üst kısmı ile tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Nokta pi-ra-mi-dy'nin bo-ko-in-inci kenarında se-re-di- ise, düz çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulun.

Yine ilk iki problemi detaylı, üçüncüsünü kısaca çözeceğim ve son ikisini kendi başınıza çözmeniz için size bırakıyorum. Ek olarak, zaten üçgen ve dörtgen piramitler ile uğraşmak zorunda kaldınız, ancak henüz prizmalarla uğraşmadınız.

Çözümler:

1. Tabanının yanı sıra bir prizma çizin. Bunu koordinat sistemi ile birleştirelim ve problem ifadesinde verilen tüm verileri işaretleyelim:

Bazı oranlara uyulmadığı için özür dilerim, ancak sorunu çözmek için bu aslında o kadar önemli değil. Uçak sadece prizmamın "arka duvarı". Böyle bir düzlemin denkleminin şu şekilde olduğunu tahmin etmek yeterlidir:

Ancak, bu doğrudan da gösterilebilir:

Bu düzlemde rastgele üç nokta seçiyoruz: örneğin, .

Düzlemin denklemini yapalım:

Sizin için egzersiz yapın: Bu determinantı kendiniz hesaplayın. Başardın mı? O zaman düzlemin denklemi şu şekildedir:

Ya da sadece

Böylece,

Örneği çözmek için doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını bulmam gerekiyor. Nokta orijin ile çakıştığı için vektörün koordinatları basitçe noktanın koordinatlarıyla çakışacaktır.Bunu yapmak için önce noktanın koordinatlarını buluyoruz.

Bunu yapmak için bir üçgen düşünün. Yukarıdan bir yükseklik çizelim (aynı zamanda bir medyan ve bir açıortaydır). O zamandan beri, noktanın ordinatı eşittir. Bu noktanın apsisini bulmak için doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamız gerekir. Pisagor teoremi ile elimizde:

O zaman noktanın koordinatları vardır:

Nokta, noktadaki "yükseltilmiş" bir noktadır:

Sonra vektörün koordinatları:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu tür sorunları çözmede temelde zor bir şey yoktur. Aslında prizma gibi bir figürün “düzlüğü” süreci biraz daha kolaylaştırıyor. Şimdi bir sonraki örneğe geçelim:

2. Paralel uçlu bir çizgi çiziyoruz, içine bir düzlem ve düz bir çizgi çiziyoruz ve ayrıca alt tabanını ayrı ayrı çiziyoruz:

İlk olarak, düzlemin denklemini buluyoruz: İçinde yatan üç noktanın koordinatları:

(ilk iki koordinat bariz bir şekilde elde edilir ve noktadan son koordinatı resimden kolayca bulabilirsiniz). Sonra düzlemin denklemini oluştururuz:

Hesaplıyoruz:

Yön vektörünün koordinatlarını arıyoruz: Koordinatlarının noktanın koordinatlarıyla çakıştığı açık değil mi? Koordinatlar nasıl bulunur? Bunlar, aplikasyon ekseni boyunca birer birer yükseltilmiş noktanın koordinatlarıdır! . Sonra istenen açıyı arıyoruz:

Cevap:

3. Düzenli bir altıgen piramit çizin ve ardından içine bir düzlem ve düz bir çizgi çizin.

Burada bir düzlem çizmek bile sorunlu, bu sorunun çözümünden bahsetmiyorum bile, ancak koordinat yönteminin umurunda değil! Ana avantajı çok yönlülüğünde yatmaktadır!

Uçak üç noktadan geçer: . Koordinatlarını arıyoruz:

1) . Son iki noktanın koordinatlarını kendiniz görüntüleyin. Bunun için altıgen bir piramit ile problemi çözmeniz gerekecek!

2) Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Vektörün koordinatlarını arıyoruz: . (Üçgen piramit problemine tekrar bakın!)

3) Bir açı arıyoruz:

Cevap:

Gördüğünüz gibi, bu görevlerde doğaüstü zor bir şey yok. Sadece köklere çok dikkat etmeniz gerekiyor. Son iki soruna sadece cevap vereceğim:

Gördüğünüz gibi, problem çözme tekniği her yerde aynıdır: asıl görev, köşelerin koordinatlarını bulmak ve bunları bazı formüllerde değiştirmek. Geriye, açıları hesaplamak için bir başka problem sınıfını düşünmek kalıyor, yani:

İki düzlem arasındaki açıları hesaplama

Çözüm algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Üç nokta için birinci düzlemin denklemini arıyoruz:
2. Diğer üç nokta için ikinci düzlemin denklemini arıyoruz:
3. Formülü uyguluyoruz:

Gördüğünüz gibi, formül, düz çizgiler arasında ve düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıları aradığımız önceki ikisine çok benzer. Bu yüzden bunu hatırlamak sizin için zor olmayacak. Hemen soruna geçelim:

1. Yüz-ro-sağ üçgen prizma temelinde eşittir ve yan yüzün köşegeni eşittir. Ödül tabanının düzlemi ile düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Sağda dört-sen-kömür-noy pi-ra-mi-de, birinin tüm kenarları eşittir, düzlem ile Ko-Stu düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun, içinden geçen başına-pen-di-ku-lyar-ama düz-benim noktası.

3. Düzenli bir dört kömürlü prizmada, os-no-van-nia'nın kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-noktasına öyle ki. Düzlemler arasındaki açıyı bulun ve

4. Sağdaki dörtgen prizmada tabanların kenarları eşittir ve yan kenarlar eşittir. Kenarda-me-che-bir noktaya yani düzlemler arasındaki açıyı bulun ve.

5. Küpte, düzlemler arasındaki açının ko-si-nus'unu bulun ve

Sorun çözümleri:

1. Düzenli (tabanda - bir eşkenar üçgen) üçgen prizma çiziyorum ve üzerinde problem durumunda görünen düzlemleri işaretliyorum:

İki düzlemin denklemlerini bulmamız gerekiyor: Temel denklem önemsiz bir şekilde elde edilir: üç nokta için karşılık gelen determinantı yapabilirsiniz, ancak denklemi hemen yapacağım:

Şimdi denklemi bulalım Nokta koordinatlara sahiptir Nokta - Ortanca ve üçgenin yüksekliği olduğundan, bir üçgende Pisagor teoremi ile bulmak kolaydır. O zaman noktanın koordinatları vardır: Noktanın uygulamasını bulun Bunu yapmak için bir dik üçgen düşünün

Sonra aşağıdaki koordinatları elde ederiz: Düzlemin denklemini oluşturuyoruz.

Uçaklar arasındaki açıyı hesaplıyoruz:

Cevap:

2. Çizim yapmak:

En zor şey, bir noktadan dik olarak geçen, nasıl bir gizemli düzlem olduğunu anlamaktır. Peki, asıl mesele nedir? Ana şey dikkat! Doğrusu, çizgi diktir. Çizgi de diktir. Daha sonra bu iki çizgiden geçen düzlem çizgiye dik olacak ve bu arada noktadan geçecektir. Bu uçak aynı zamanda piramidin tepesinden de geçer. Sonra istenen uçak - Ve uçak zaten bize verildi. Noktaların koordinatlarını arıyoruz.

Noktadan geçen noktanın koordinatını buluruz. Küçük bir çizimden noktanın koordinatlarının aşağıdaki gibi olacağını çıkarmak kolaydır: Piramidin tepesinin koordinatlarını bulmak için şimdi bulunacak ne kaldı? Hala yüksekliğini hesaplamanız gerekiyor. Bu, aynı Pisagor teoremi kullanılarak yapılır: ilk önce, bunu kanıtlayın (önemsiz bir şekilde, tabanda bir kare oluşturan küçük üçgenlerden). Koşul gereği, elimizde:

Artık her şey hazır: köşe koordinatları:

Uçağın denklemini oluşturuyoruz:

Belirleyicileri hesaplama konusunda zaten bir uzmansınız. Kolayca alacaksınız:

Veya aksi halde (eğer iki parçayı da ikinin köküyle çarparsak)

Şimdi düzlemin denklemini bulalım:

(Uçağın denklemini nasıl elde ettiğimizi unutmadın, değil mi? Bu eksi birin nereden geldiğini anlamadıysan, o zaman düzlemin denkleminin tanımına geri dön! Hep ondan önce çıktı. uçağımın orijine ait olduğunu!)

Determinantı hesaplıyoruz:

(Uçağın denkleminin noktalardan geçen doğrunun denklemiyle çakıştığını fark etmişsinizdir ve! Nedenini bir düşünün!)

Şimdi açıyı hesaplıyoruz:

Sinüs'ü bulmamız gerekiyor:

Cevap:

3. Zor bir soru: Dikdörtgen prizma nedir, ne düşünüyorsunuz? Bu sadece sizin için iyi bilinen bir paralelyüz! Hemen çiz! Tabanı ayrı ayrı tasvir bile edemezsiniz, burada çok az kullanımı vardır:

Uçak, daha önce belirttiğimiz gibi bir denklem olarak yazılır:

Şimdi bir uçak yapıyoruz

Hemen uçağın denklemini oluşturuyoruz:

bir açı arıyorum

Şimdi son iki sorunun cevapları:

Pekala, şimdi ara verme zamanı, çünkü sen ve ben harikayız ve harika bir iş çıkardık!

Koordinatlar ve vektörler. İleri düzey

Bu yazıda, koordinat yöntemi kullanılarak çözülebilecek başka bir problem sınıfını sizinle tartışacağız: uzaklık problemleri. Yani, aşağıdaki durumları ele alacağız:

1. Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama.

Verilen görevleri karmaşıklıkları arttıkça sıraladım. En kolayı bulmak noktadan düzleme uzaklık ve en zor kısmı bulmak kesişen çizgiler arasındaki mesafe. Tabii ki, hiçbir şey imkansız olmasa da! Ertelemeyelim ve hemen birinci sınıf problemlerin değerlendirmesine geçelim:

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplama

Bu sorunu çözmek için neye ihtiyacımız var?

1. Nokta koordinatları

Bu nedenle, gerekli tüm verileri alır almaz formülü uygularız:

Son bölümde analiz ettiğim önceki problemlerden uçağın denklemini nasıl oluşturduğumuzu zaten biliyor olmalısınız. Hemen işe başlayalım. Şema şu şekildedir: 1, 2 - Karar vermenize yardımcı oluyorum ve biraz ayrıntılı olarak, 3, 4 - sadece cevap, kararı kendiniz veriyorsunuz ve karşılaştırıyorsunuz. Başladı!

Görevler:

1. Bir küp verildi. Küpün kenar uzunluğu Kesimden düze se-re-di-ny'den bul-te mesafesi

2. Sağ-vil-naya verilen dört-sen-rekh-kömür-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kenar yüz-ro-on os-no-van-nia eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan bu mesafeleri bulun - burada - kenarlarda yeniden-di.

3. Os-but-va-ni-em ile sağ üçgen pi-ra-mi-de'de, diğer kenar eşittir ve yüz-ro-on os-no-vaniya eşittir. Tepeden düzleme olan mesafeleri bulun.

4. Sağ elini kullanan altı kömürlü prizmada tüm kenarlar eşittir. Bir noktadan bir düzleme olan uzaklıkları bulun.

Çözümler:

1. Tek kenarlı bir küp çizin, bir parça ve bir düzlem oluşturun, parçanın ortasını harfle belirtin

.

İlk önce kolay olanla başlayalım: bir noktanın koordinatlarını bulun. O zamandan beri (parçanın ortasının koordinatlarını hatırla!)

Şimdi uçağın denklemini üç noktada oluşturuyoruz

\[\sol| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(dizi)) \sağ| = 0\]

Şimdi mesafeyi bulmaya başlayabilirim:

2. Tüm verileri işaretlediğimiz bir çizimle tekrar başlıyoruz!

Bir piramit için tabanını ayrı ayrı çizmek faydalı olacaktır.

Tavuk pençesi gibi çizmem bile bu sorunu kolayca çözmemize engel olmayacak!

Artık bir noktanın koordinatlarını bulmak çok kolay

Noktanın koordinatları olduğundan

2. a noktasının koordinatları doğru parçasının ortası olduğuna göre

Düzlemde iki noktanın daha koordinatlarını kolayca bulabiliriz, düzlemin denklemini oluşturur ve sadeleştiririz:

\[\sol| (\left| (\begin(dizi)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(dizi)) \sağ|) \sağ| = 0\]

Noktanın koordinatları: olduğundan, mesafeyi hesaplarız:

Cevap (çok nadir!):

Peki anladın mı? Bana öyle geliyor ki, buradaki her şey, önceki bölümde sizinle birlikte ele aldığımız örneklerdeki kadar teknik. Bu nedenle, bu materyalde ustalaştıysanız, kalan iki sorunu çözmenizin zor olmayacağından eminim. Sadece cevapları vereceğim:

Bir Doğrudan Bir Düzleme Mesafeyi Hesaplama

Aslında burada yeni bir şey yok. Bir doğru ve bir düzlem birbirine göre nasıl yerleştirilebilir? Tüm olanaklara sahipler: kesişmek veya düz bir çizgi düzleme paralel. Sizce doğrunun, verilen doğrunun kesiştiği düzleme olan uzaklığı nedir? Bana öyle geliyor ki, böyle bir mesafenin sıfıra eşit olduğu açık. İlginç bir durum.

İkinci durum daha zor: burada mesafe zaten sıfır değil. Ancak doğru düzleme paralel olduğundan, doğrunun her noktası bu düzlemden eşit uzaklıktadır:

Böylece:

Ve bu, görevimin bir öncekine indirgendiği anlamına geliyor: çizgideki herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz, düzlemin denklemini arıyoruz, noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. Aslında, sınavdaki bu tür görevler son derece nadirdir. Sadece bir sorun bulmayı başardım ve içindeki veriler öyleydi ki koordinat yöntemi ona pek uygulanabilir değildi!

Şimdi çok daha önemli başka bir problem sınıfına geçelim:

Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığını Hesaplama

Neye ihtiyacımız olacak?

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatları:

2. Düz bir çizgi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları

3. Düz doğrunun yön vektör koordinatları

Hangi formülü kullanıyoruz?

Bu kesrin paydası sizin için ne anlama geliyor ve bu yüzden açık olmalı: bu, doğrunun yönlendirici vektörünün uzunluğudur. İşte çok zor bir numara! İfade, vektörlerin vektör ürününün modülü (uzunluğu) anlamına gelir ve çalışmanın önceki bölümünde incelediğimiz vektör ürünü nasıl hesaplanır. Bilginizi tazeleyin, şimdi bizim için çok faydalı olacak!

Böylece, problem çözme algoritması aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Uzaklığı aradığımız noktanın koordinatlarını arıyoruz:

2. Mesafeyi aradığımız doğru üzerinde herhangi bir noktanın koordinatlarını arıyoruz:

3. Bir vektör oluşturma

4. Düz çizginin yön vektörünü oluşturuyoruz

5. Çapraz çarpımı hesaplayın

6. Elde edilen vektörün uzunluğunu arıyoruz:

7. Mesafeyi hesaplayın:

Çok işimiz var ve örnekler oldukça karmaşık olacak! O halde şimdi tüm dikkatinizi odaklayın!

1. Dana, tepe noktası olan sağ elini kullanan bir üçgen pi-ra-mi-da'dır. Yüz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy eşittir, sen-so-ta eşittir. Bo-ko-th kenarının se-re-di-ny'sinden düz çizgiye kadar olan mesafeleri bulun-di- bu mesafeler ve noktaların ve kaburgaların yeniden-di-ny'si olduğu -stven-ama.

2. Kaburgaların uzunlukları ve dik açı-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sırasıyla eşittir ve top-shi-ny'den düz-my'ye Find-di-te mesafesi

3. Sağ altı-kömür prizmasında, bir sürünün tüm kenarları, bir noktadan düz bir çizgiye olan uzaklığı bul-di-eşittir

Çözümler:

1. Tüm verileri işaretlediğimiz temiz bir çizim yapıyoruz:

Senin için çok işimiz var! Öncelikle neyi ve hangi sırayla arayacağımızı kelimelerle açıklamak istiyorum:

1. Noktaların koordinatları ve

2. Nokta koordinatları

3. Noktaların koordinatları ve

4. Vektörlerin koordinatları ve

5. Çapraz çarpımı

6. Vektör uzunluğu

7. Vektör ürününün uzunluğu

8. Uzaklık

Pekala, yapacak çok işimiz var! Haydi kolları sıvayalım!

1. Piramidin yüksekliğinin koordinatlarını bulmak için noktanın koordinatlarını bilmemiz gerekir, uygulaması sıfırdır ve ordinat apsisine eşittir. Sonunda koordinatları aldık:

nokta koordinatları

2. - segmentin ortası

3. - segmentin ortası

orta nokta

4. Koordinatlar

vektör koordinatları

5. Vektör çarpımını hesaplayın:

6. Vektörün uzunluğu: en kolay yol, parçayı üçgenin orta çizgisi, yani tabanın yarısına eşit olacak şekilde değiştirmektir. Böylece.

7. Vektör ürününün uzunluğunu dikkate alıyoruz:

8. Son olarak, mesafeyi bulun:

Vay, hepsi bu! Dürüst olmak gerekirse, size söyleyeceğim: Bu sorunu geleneksel yöntemlerle (yapılar yoluyla) çözmek çok daha hızlı olacaktır. Ama burada her şeyi hazır bir algoritmaya indirdim! Çözüm algoritmasının sizin için açık olduğunu düşünüyorum? Bu nedenle, kalan iki sorunu kendi başınıza çözmenizi isteyeceğim. Cevapları karşılaştır?

Yine tekrar ediyorum: Bu sorunları, koordinat yöntemine başvurmak yerine yapılar aracılığıyla çözmek daha kolay (daha hızlı). Bu çözüm yolunu, yalnızca size "hiçbir şeyi tamamlamamanızı" sağlayan evrensel bir yöntem göstermek için gösterdim.

Son olarak, son problem sınıfını düşünün:

Eğri çizgiler arasındaki mesafeyi hesaplama

Burada problem çözme algoritması öncekine benzer olacaktır. Neyimiz var:

3. Birinci ve ikinci çizgilerin noktalarını birleştiren herhangi bir vektör:

Çizgiler arasındaki mesafeyi nasıl buluruz?

Formül:

Pay, karışık ürünün modülüdür (önceki bölümde tanıttık) ve payda - önceki formülde olduğu gibi (çizgilerin yönlendirici vektörlerinin vektör ürününün modülü, aradığımız mesafe için).

sana bunu hatırlatacağım

o zamanlar uzaklık formülü şu şekilde yeniden yazılabilir::

Bu determinantı determinanta bölün! Dürüst olmak gerekirse, burada şaka havamda değilim! Bu formül aslında çok hantaldır ve oldukça karmaşık hesaplamalara yol açar. Yerinde olsam bunu sadece son çare olarak kullanırdım!

Yukarıdaki yöntemi kullanarak birkaç sorunu çözmeye çalışalım:

1. Sağ üçgen prizmada, tüm kenarlar bir şekilde eşittir, düz çizgiler ve arasındaki mesafeyi bulun.

2. Sağ ön şekilli bir üçgen prizma verildiğinde, birinin os-no-va-niyasının tüm kenarları Se-che-tion'a eşittir, diğer kaburgadan geçer ve se-re-di-nu kaburgaları yav-la-et-sya square-ra-tom. Düz-we-mi ve arasinda dis-sto-I-nie bul

İlkine ben karar veririm ve ona göre ikincisine sen karar verirsin!

1. Bir prizma çiziyorum ve çizgileri işaretliyorum ve

C noktası koordinatları: sonra

nokta koordinatları

vektör koordinatları

nokta koordinatları

vektör koordinatları

vektör koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \left| (\begin(dizi)(*(20)(l))(\begin(dizi)(*(20)(c))0&1&0\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20) (c))0&0&1\end(dizi))\\(\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(dizi))\end(dizi)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vektörler arasındaki çapraz ürünü dikkate alıyoruz ve

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(dizi)(l)\begin(dizi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(dizi)\\\begin(dizi )(*(20)(c))0&0&1\end(dizi)\\\begin(dizi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(dizi)\end(dizi) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Şimdi uzunluğunu düşünüyoruz:

Cevap:

Şimdi ikinci görevi dikkatlice tamamlamaya çalışın. Buna verilecek cevap:.

Koordinatlar ve vektörler. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir vektör, yönlendirilmiş bir segmenttir. - vektörün başlangıcı, - vektörün sonu.
Vektör veya ile gösterilir.

Mutlak değer vektör - vektörü temsil eden parçanın uzunluğu. olarak belirlenmiştir.

Vektör koordinatları:

,
\displaystyle a vektörünün uçları nerede?

Vektörlerin toplamı: .

Vektörlerin çarpımı:

Vektörlerin nokta çarpımı:

Vektörlerin skaler ürünü, mutlak değerlerinin ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir:

Neyse konu kapandı. Bu satırları okuyorsanız çok iyisiniz demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i kendi başlarına bir konuda ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, %5'lik dilimdesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu süper! Zaten yaşıtlarının büyük çoğunluğundan daha iyisin.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

Sınavı başarıyla geçmek, enstitüye bütçeden kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ olarak ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanırlar. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Ana şey, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve nihayetinde ... daha mutlu olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve eğer onları çözmediyseniz (ÇOK!), bir yerde kesinlikle aptalca bir hata yapacaksınız ya da zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve kesinlikle tavsiye ederiz.

Görevlerimizin yardımıyla yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
2. Eğitimin 99 makalesinin tümünde tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 ruble

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm ömrü boyunca sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Tanım

skaler- bir sayı ile karakterize edilebilen bir değer. Örneğin, uzunluk, alan, kütle, sıcaklık vb.

Vektör yönlendirilmiş bir segmente $\overline(A B)$ denir; $A$ noktası başlangıç, $B$ noktası vektörün sonudur (Şekil 1).

Bir vektör ya iki büyük harfle gösterilir - başlangıcı ve sonu: $\overline(A B)$ veya bir küçük harf: $\overline(a)$.

Tanım

Bir vektörün başı ve sonu aynı ise bu vektöre denir. sıfır. Çoğu zaman, boş vektör $\overline(0)$ olarak gösterilir.

vektörler denir doğrusal, ya aynı çizgide ya da paralel çizgiler üzerinde bulunuyorlarsa (Şekil 2).

Tanım

İki eşdoğrusal vektör $\overline(a)$ ve $\overline(b)$ olarak adlandırılır eş yönlü, yönleri aynıysa: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Şekil 3, a). İki eşdoğrusal vektör $\overline(a)$ ve $\overline(b)$ olarak adlandırılır zıt yönler, yönleri zıt ise: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Şekil 3b).

Tanım

vektörler denir aynı düzlemde aynı düzleme paralellerse veya aynı düzlemdelerse (Şekil 4).

İki vektör her zaman eş düzlemlidir.

Tanım

Uzunluk (modül)$\overline(A B)$ vektörü, başlangıç ​​ve bitiş arasındaki mesafedir: $|\overline(A B)|$

Bir vektörün uzunluğu hakkında ayrıntılı bir teori linkte.

Boş vektörün uzunluğu sıfırdır.

Tanım

Uzunluğu bire eşit olan vektöre denir. birim vektör veya ortom.

vektörler denir eşit bir veya paralel çizgiler üzerinde uzanıyorlarsa; yönleri çakışır ve uzunlukları eşittir.

Başka bir deyişle, iki vektör eşit, eşdoğrusal, eş yönlü ve eşit uzunluklara sahiplerse:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

Uzayda rastgele bir $M$ noktasında, verilen $\overline(A B)$ vektörüne eşit tek bir $\overline(M N)$ vektörü oluşturulabilir.

Sonunda, kapsamlı ve uzun zamandır beklenen bir konuyu ele aldım. analitik geometri. İlk olarak, yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz…. Pek çok teorem, ispatları, çizimleri vb. ile okul geometri dersini hatırladınız. Neyi saklamalı, öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğu zaman anlaşılmayan bir konu. Analitik geometri, garip bir şekilde, daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. "Analitik" sıfatı ne anlama geliyor? Aklıma hemen iki damgalı matematiksel dönüş geliyor: “grafik çözüm yöntemi” ve “analitik çözüm yöntemi”. Grafik yöntemi, elbette, grafiklerin, çizimlerin yapımı ile ilişkilidir. Analitik aynı yöntem problem çözmeyi içerir ağırlıklı olarak cebirsel işlemler aracılığıyla Bu bağlamda, analitik geometrinin neredeyse tüm problemlerini çözme algoritması basit ve şeffaftır, genellikle gerekli formülleri doğru bir şekilde uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır, elbette, çizimler olmadan olmaz, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için onları ihtiyacın üzerinde getirmeye çalışacağım.

Açık geometri dersleri teorik bütünlük iddiasında bulunmaz, pratik problemlerin çözümüne odaklanır. Derslerime yalnızca benim açımdan pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölümde daha eksiksiz bir referansa ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:

1) Şaka değil, birkaç nesile tanıdık gelen bir şey: Okul geometri ders kitabı, Yazarlar - L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı, elbette sınır olmayan 20 (!) yeniden baskıya dayandı.

2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu, yüksek öğrenim için literatürdür, ihtiyacınız olacak ilk cilt. Nadiren gerçekleşen görevler görüş alanımdan çıkabilir ve eğitim paha biçilmez yardımcı olacaktır.

Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca arşivimi sayfada bulabileceğiniz hazır çözümlerle kullanabilirsiniz. Daha yüksek matematik örneklerini indirin.

Araçlardan yine kendi gelişimimi sunuyorum - yazılım paketi hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak analitik geometri üzerine.

Okuyucunun temel geometrik kavramlara ve şekillere aşina olduğu varsayılır: nokta, doğru, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini, merhaba tekrarlayıcıları hatırlamanız önerilir)

Ve şimdi sırayla ele alacağız: bir vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. ayrıca okumanı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı, birlikte Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Yerel görev gereksiz olmayacak - Bu konuda segmentin bölünmesi. Yukarıdaki bilgilere dayanarak, şunları yapabilirsiniz: düzlemde bir doğrunun denklemi ile en basit çözüm örnekleri, hangi izin verecek geometri problemlerini nasıl çözeceğinizi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de yararlıdır: Uzayda bir uçağın denklemi, Uzayda düz bir çizginin denklemleri, Doğru ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak, yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.

Bir vektör kavramı. Ücretsiz vektör

İlk önce, bir vektörün okul tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş Başlangıcı ve bitişi belirtilen bir segment:

Bu durumda, segmentin başlangıcı nokta, segmentin sonu noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemlidir, oku bölümün diğer ucuna yeniden düzenlerseniz, bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramını fiziksel bir cismin hareketiyle özdeşleştirmek uygundur: Bir enstitünün kapısından girmenin ve bir enstitünün kapısından çıkmanın tamamen farklı şeyler olduğunu kabul etmelisiniz.

Bir düzlemin bireysel noktalarını, sözde uzayı düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektörün sonu ve başlangıcı aynıdır.

!!! Not: Burada ve aşağıda, vektörlerin aynı düzlemde olduğunu veya uzayda bulunduğunu varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.

Tanımlamalar: Birçoğu, atamada oksuz bir çubuğa hemen dikkat çekti ve üste bir ok koyduklarını söyledi! Bu doğru, bir okla yazabilirsiniz: , ancak kabul edilebilir ve daha sonra kullanacağım kaydı. Niye ya? Görünüşe göre, pratik düşüncelerden böyle bir alışkanlık gelişti, okuldaki ve üniversitedeki atıcılarım çok çeşitli ve tüylü çıktı. Eğitim literatüründe, bazen çivi yazısı ile hiç uğraşmazlar, ancak harfleri koyu olarak vurgularlar: , böylece bunun bir vektör olduğunu ima eder.

Stil buydu ve şimdi vektörleri yazmanın yolları hakkında:

1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir:
vb. İlk harf iken mutlaka vektörün başlangıç ​​noktasını ve ikinci harf vektörün bitiş noktasını belirtir.

2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, vektörümüz kısalık için küçük bir Latin harfi ile yeniden adlandırılabilir.

Uzunluk veya modül sıfır olmayan vektöre parçanın uzunluğu denir. Boş vektörün uzunluğu sıfırdır. Mantıken.

Bir vektörün uzunluğu modulo işaretiyle gösterilir: ,

Bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı biraz sonra öğreneceğiz (veya birisi için nasıl olduğunu tekrar edeceğiz).

Bu, tüm okul çocuklarına tanıdık gelen vektör hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde Ücretsiz vektör.

Eğer oldukça basitse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:

Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırırdık (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısından, bu AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problem çözme sürecinde, ihtiyacınız olan düzlemin veya uzayın HERHANGİ bir noktasına bir veya başka bir vektörü “bağlayabilirsiniz”. Bu çok havalı bir özellik! Keyfi uzunluk ve yönde bir vektör hayal edin - sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE vardır. Böyle bir öğrenci atasözü vardır: Her öğretim üyesi f ** u vektöründe. Sonuçta, sadece esprili bir kafiye değil, her şey matematiksel olarak doğrudur - oraya bir vektör de eklenebilir. Ancak sevinmek için acele etmeyin, öğrencilerin kendileri daha sık acı çekiyor =)

Böyle, Ücretsiz vektör- Bu bir demet aynı yönlü segmentler. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: “Yönlendirilmiş bir segmente vektör denir ...”, ima eder. özel düzlemde veya uzayda belirli bir noktaya iliştirilmiş, belirli bir kümeden alınan yönlendirilmiş bir parça.

Fizik açısından, serbest vektör kavramının genellikle yanlış olduğu ve vektörün uygulama noktasının önemli olduğu belirtilmelidir. Gerçekten de aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan bir darbe, aptal örneğimi geliştirmem için yeterli, farklı sonuçlar doğuruyor. Yine de, özgür değil vektörler ayrıca vyshmat sırasında bulunur (oraya gitmeyin :)).

Vektörlerle eylemler. vektörlerin doğrusallığı

Okul geometri dersinde, vektörlerle bir dizi eylem ve kural dikkate alınır: üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektörlerin farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpımı, vektörlerin skaler çarpımı vb. Bir tohum olarak, analitik geometri problemlerini çözmek için özellikle uygun olan iki kuralı tekrarlıyoruz.

Üçgenler kuralına göre vektörlerin toplama kuralı

Sıfır olmayan iki keyfi vektör düşünün ve:

Bu vektörlerin toplamını bulmak gerekir. Tüm vektörlerin özgür kabul edilmesinden dolayı vektörü erteliyoruz. son vektör:

Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralı daha iyi anlamak için, ona fiziksel bir anlam koymanız tavsiye edilir: bazı vücudun vektör boyunca ve sonra vektör boyunca bir yol yapmasına izin verin. Daha sonra vektörlerin toplamı, çıkış noktasında başlayan ve varış noktasında biten sonuçtaki yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut güçlü bir şekilde zikzak çizerek veya belki de otopilotta - sonuçta ortaya çıkan toplam vektör boyunca gidebilir.

Bu arada, vektör ertelenirse Başlat vektör, sonra eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.

İlk olarak, vektörlerin doğrusallığı hakkında. iki vektör denir doğrusal aynı çizgide veya paralel çizgilerde yatıyorlarsa. Kabaca konuşursak, paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak onlarla ilgili olarak, "eşdoğrusal" sıfatı her zaman kullanılır.

İki doğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yönde ise bu vektörlere denir. eş yönlü. Oklar farklı yönlere bakıyorsa, vektörler zıt yönlü.

Tanımlamalar: vektörlerin eşdoğrusallığı olağan paralellik simgesiyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yöne yönlendirilir).

İş sıfırdan farklı bir vektörün bir sayı ile ifade edilmesi, uzunluğu 'ye eşit olan bir vektördür ve vektörler ve vektörleri 'ye eş yönlü ve zıt yönlüdür.

Bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını bir resimle anlamak daha kolaydır:

Daha ayrıntılı olarak anlıyoruz:

1 yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.

2) Uzunluk. Faktör veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğundan iki kat daha azdır. Modulo çarpanı birden büyükse, vektörün uzunluğu artışlar zamanında.

3) Lütfen unutmayın tüm vektörler doğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Tersi de doğrudur: eğer bir vektör diğeri cinsinden ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayı ile çarparsak doğrusal olur(orijinal ile ilgili olarak) vektör.

4) Vektörler eş yönlüdür. Vektörler ve aynı zamanda eş yönlüdür. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörünün tersidir.

Hangi vektörler eşittir?

İki vektör eş yönlü ve aynı uzunluktaysa eşittir. Ortak yönün vektörlerin eşdoğrusal olduğunu ima ettiğini unutmayın. "İki vektör eşdoğrusal, eş yönlü ve aynı uzunluğa sahipse eşittir" derseniz tanım yanlış (gereksiz) olacaktır.

Serbest vektör kavramı açısından, eşit vektörler, önceki paragrafta tartışılan aynı vektördür.

Uçakta ve uzayda vektör koordinatları

İlk nokta, bir düzlemdeki vektörleri düşünmektir. Bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi çizin ve orijinden bir kenara koyun bekar vektörler ve :

vektörler ve dikey. Ortogonal = Dik. Yavaş yavaş terimlere alışmanızı tavsiye ederim: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz doğrusallık ve diklik.

atama: vektörlerin ortogonalliği olağan dik işaretiyle yazılır, örneğin: .

dikkate alınan vektörler denir koordinat vektörleri veya ortlar. Bu vektörler temel yüzeyde. Temelinin ne olduğunu düşünüyorum, birçok kişi için sezgisel olarak açık, makalede daha ayrıntılı bilgi bulunabilir. Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı. vektör tabanı.Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.

Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.

atama: temel genellikle parantez içinde yazılır, içinde sıkı bir şekilde temel vektörler listelenir, örneğin: . koordinat vektörleri yasaktır yerleri değiş tokuş edin.

Hiç uçak vektörü tek yolşeklinde açıklanan:
, nerede - sayılar, denilen vektör koordinatları bu temelde. Ama ifadenin kendisi isminde vektör ayrıştırmatemel .

Akşam yemeği servisi:

Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, vektörü temel olarak ayrıştırırken, az önce ele alınanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörün bir sayı ile çarpma kuralı: ve ;
2) vektörlerin üçgen kuralına göre eklenmesi: .

Şimdi vektörü düzlemdeki herhangi bir noktadan zihinsel olarak bir kenara koyun. Yolsuzluğunun "acımasızca onu takip edeceği" oldukça açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi yanınızda taşır". Bu özellik, elbette, herhangi bir vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin kendilerinin orijinden ayrı tutulması gerekmemesi komiktir, örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve bundan hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir “geçer” çekecektir.

Vektörler, bir vektörü bir sayı ile çarpmanın kuralını tam olarak gösterir, vektör temel vektörle birlikte yönlendirilir, vektör temel vektörün karşısına yönlendirilir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşittir, titizlikle aşağıdaki gibi yazılabilir:


Ve bu arada, temel vektörler şöyledir: (aslında, kendileri aracılığıyla ifade edilirler).

Ve sonunda: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve size çıkarma kuralından neden bahsetmedim? Lineer cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın özel bir toplama durumu olduğunu belirtmiştim. Böylece, "de" ve "e" vektörlerinin açılımları sakince bir toplam olarak yazılır: . Terimleri yerlerde yeniden düzenleyin ve üçgen kuralına göre vektörlerin eski güzel eklenmesinin bu durumlarda ne kadar net çalıştığını çizimi takip edin.

Formun dikkate alınan ayrışması bazen vektör ayrışması denir sistemde ort(yani birim vektörler sisteminde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir, aşağıdaki seçenek yaygındır:

Veya eşittir işaretiyle:

Temel vektörlerin kendileri aşağıdaki gibi yazılır: ve

Yani vektörün koordinatları parantez içinde belirtilmiştir. Pratik görevlerde, üç kayıt seçeneği de kullanılır.

Konuşmak konusunda tereddüt ettim ama yine de söyleyeceğim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle birinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazın, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazın. Gerçekten de, ve iki farklı vektördür.

Uçaktaki koordinatları bulduk. Şimdi vektörleri üç boyutlu uzayda düşünün, burada her şey hemen hemen aynı! Yalnızca bir koordinat daha eklenecektir. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi basitlik için orijinden erteleyeceğim bir vektörle sınırlayacağım:

Hiç 3d uzay vektörü tek yol ortonormal bir temelde genişletin:
, verilen bazda vektörün (sayı) koordinatları nerede.

Resimden örnek: . Vektör eylem kurallarının burada nasıl çalıştığını görelim. İlk olarak, bir vektörü bir sayı ile çarpmak: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (eflatun ok). İkinci olarak, birkaç, bu durumda üç vektör eklemeye bir örnek: . Toplam vektör, başlangıç ​​noktasında (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) biter.

Elbette üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de ücretsizdir, vektörü başka bir noktadan zihinsel olarak ertelemeye çalışın ve genişlemesinin "onunla kaldığını" anlayacaksınız.

Uçak kasasına benzer şekilde, yazıya ek olarak parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .

Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, bunun yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle ) – not alın;
vektör (titizlikle ) – not alın;
vektör (titizlikle ) – yazın .

Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:

Burada, belki de analitik geometri problemlerini çözmek için gerekli tüm minimum teorik bilgidir. Belki çok fazla terim ve tanım vardır, bu yüzden aptallara bu bilgiyi tekrar okumalarını ve anlamalarını tavsiye ederim. Ve herhangi bir okuyucunun, materyalin daha iyi özümsenmesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırma - bunlar ve diğer kavramlar aşağıdakilerde sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri (kanıtlar olmadan) dikkatlice şifrelediğim için, sitenin materyallerinin teorik bir testi, geometri üzerine bir kolokyumu geçmek için yeterli olmadığını not ediyorum - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak anlayışınız için bir artı konunun. Detaylı teorik bilgi için Profesör Atanasyan'ın önünde eğilmenizi rica ediyorum.

Şimdi pratik kısma geçelim:

Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlarda vektörlerle eylemler

Dikkate alınacak görevler, bunların tamamen otomatik olarak nasıl çözüleceğini ve formülleri öğrenmek son derece arzu edilir. ezberlemek, bilerek bile hatırlamazlar, kendileri hatırlayacaktır =) Analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayandığından bu çok önemlidir ve piyonları yemek için fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. Gömleğinizin üst düğmelerini tutturmanıza gerek yok, birçok şey size okuldan tanıdık geliyor.

Materyalin sunumu hem düzlem hem de uzay için paralel bir seyir izleyecektir. Bu nedenle, tüm formüller ... kendiniz göreceksiniz.

İki nokta verilen bir vektör nasıl bulunur?

Düzlemin iki noktası verilmişse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Uzayda iki nokta verilmişse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektör başlangıç.

Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulmak için formülleri yazın. Dersin sonunda formüller.

örnek 1

Düzlemde iki nokta verildi ve . Vektör koordinatlarını bulun

Karar: ilgili formüle göre:

Alternatif olarak, aşağıdaki gösterim kullanılabilir:

Estetikler şöyle karar verecek:

Şahsen, kaydın ilk versiyonuna alışığım.

Cevap:

Koşullara göre, (analitik geometri problemleri için tipik olan) bir çizim yapmak gerekli değildi, ancak bazı noktaları aptallara açıklamak için çok tembel olmayacağım:

anlaşılmalıdır nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:

nokta koordinatları bir dikdörtgen koordinat sistemindeki olağan koordinatlardır. Sanırım herkes 5-6. sınıftan beri koordinat düzleminde noktaları nasıl çizeceğini biliyor. Uçakta her noktanın kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.

Aynı vektörün koordinatları bu durumda tabana göre genişlemesidir. Herhangi bir vektör ücretsizdir, bu nedenle gerekirse, onu düzlemdeki başka bir noktadan kolayca erteleyebiliriz. İlginçtir ki, vektörler için eksenleri hiç oluşturamazsınız, dikdörtgen bir koordinat sistemi, sadece bir tabana ihtiyacınız var, bu durumda, düzlemin ortonormal tabanı.

Nokta koordinatlarının ve vektör koordinatlarının kayıtları benzer görünüyor: , ve koordinat duygusu kesinlikle farklı, ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.

Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduruyoruz:

Örnek 2

a) Verilen puanlar ve . Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir ve . Vektörleri bulun ve .
c) Verilen puanlar ve . Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri Bul .

Belki yeterli. Bunlar bağımsız bir karar için örnekler, ihmal etmemeye çalışın, karşılığını verecektir ;-). Çizimler gerekli değildir. Çözümler ve cevaplar dersin sonunda.

Analitik geometri problemlerini çözmede önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasından kaçınmak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Hata yaptıysam şimdiden özür dilerim =)

Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?

Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi, modül işareti ile gösterilir.

Düzlemin iki noktası ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Not: İlgili koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır

Örnek 3

Karar: ilgili formüle göre:

Cevap:

Netlik için bir çizim yapacağım

Çizgi segmenti - bu bir vektör değil ve elbette onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca çizimi ölçeklendirmek için tamamlarsanız: 1 adet. \u003d 1 cm (iki tetrad hücre), ardından segmentin uzunluğunu doğrudan ölçerek cevap normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet, çözüm kısa ama içinde açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta var:

İlk olarak, cevapta boyutu belirledik: “birimler”. Koşul NE olduğunu söylemez, milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, genel formülasyon matematiksel olarak yetkin bir çözüm olacaktır: “birimler” - “birimler” olarak kısaltılır.

İkincisi, sadece dikkate alınan problem için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

dikkat et önemli teknik numara – çarpanı kökün altından çıkarmak. Hesaplamalar sonucunda sonucu elde ettik ve iyi bir matematiksel stil, çarpanı (mümkünse) kökün altından çıkarmayı içerir. İşlem daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: . Tabii ki, cevabı formda bırakmak bir hata olmayacak - ama bu kesinlikle bir kusur ve öğretmen adına kusur bulmak için ağır bir argüman.

İşte diğer yaygın durumlar:

Örneğin, kök altında genellikle yeterince büyük bir sayı elde edilir. Bu gibi durumlarda nasıl olunur? Hesap makinesinde sayının 4: ile bölünüp bölünemeyeceğini kontrol ediyoruz. Evet, tamamen bölün, böylece: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Sayının son basamağı tektir, bu nedenle üçüncü kez 4'e bölme kesinlikle mümkün değildir. Dokuza bölmeye çalışmak: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında tamamen çıkarılamayan bir sayı alırsak, faktörü kökün altından çıkarmaya çalışırız - hesap makinesinde sayının bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49, vb.

Çeşitli problemlerin çözümü sırasında genellikle kökler bulunur, daha düşük bir puan almamak ve çözümlerinizi öğretmenin yorumuna göre sonuçlandırarak gereksiz sıkıntılardan kaçınmak için her zaman kök altından faktörleri çıkarmaya çalışın.

Köklerin ve diğer kuvvetlerin karesini aynı anda tekrarlayalım:

Genel bir biçimde dereceli eylemler için kurallar cebir üzerine bir okul ders kitabında bulunabilir, ancak bence her şey veya hemen hemen her şey verilen örneklerden zaten açıktır.

Uzayda bir segmenti olan bağımsız bir çözüm için görev:

Örnek 4

Verilen puanlar ve . Segmentin uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?

Bir düzlem vektör verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır.

Bir uzay vektörü verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır. .

Standart tanım: "Bir vektör, yönlendirilmiş bir doğru parçasıdır." Bu genellikle bir mezunun vektörler hakkındaki bilgisinin sınırıdır. Kimin bir çeşit "yönlendirilmiş bölümlere" ihtiyacı var?

Ama aslında, vektörler nedir ve neden bunlar?
Hava Durumu tahmini. "Rüzgar kuzeybatı, hız saniyede 18 metre." Kabul edin, rüzgarın yönü (nereden estiği) ve hızının modülü (yani mutlak değeri) de önemlidir.

Yönü olmayan niceliklere skaler denir. Kütle, iş, elektrik yükü hiçbir yere yönlendirilmez. Yalnızca sayısal bir değerle karakterize edilirler - “kaç kilogram” veya “kaç joule”.

Yalnızca mutlak değeri değil aynı zamanda bir yönü de olan fiziksel niceliklere vektör nicelikleri denir.

Hız, kuvvet, ivme - vektörler. Onlar için "ne kadar" ve "nerede" önemlidir. Örneğin, serbest düşüş ivmesi Dünya yüzeyine yöneliktir ve değeri 9,8 m/s 2'dir. Momentum, elektrik alan şiddeti, manyetik alan indüksiyonu da vektörel büyüklüklerdir.

Fiziksel niceliklerin Latince veya Yunanca harflerle gösterildiğini hatırlarsınız. Harfin üzerindeki ok, miktarın bir vektör olduğunu gösterir:

İşte başka bir örnek.
Araba A'dan B'ye hareket ediyor. Nihai sonuç, A noktasından B noktasına hareketidir, yani. bir vektör tarafından hareket .

Şimdi bir vektörün neden yönlendirilmiş bir segment olduğu açıktır. Dikkat edin, vektörün sonu okun olduğu yerdir. vektör uzunluğu bu parçanın uzunluğu denir. Belirlenmiş: veya

Şimdiye kadar skaler büyüklüklerle aritmetik ve elementer cebir kurallarına göre çalıştık. Vektörler yeni bir kavramdır. Bu, matematiksel nesnelerin başka bir sınıfıdır. Kendi kuralları var.

Bir zamanlar, sayıları bile bilmiyorduk. Onlarla tanışma ilköğretim sınıflarında başladı. Sayıların birbiriyle karşılaştırılabileceği, toplandığı, çıkarıldığı, çarpıldığı ve bölünebildiği ortaya çıktı. Bir ve bir sıfır olduğunu öğrendik.
Şimdi vektörleri tanıyacağız.

Vektörler için "büyüktür" ve "küçüktür" kavramları yoktur - sonuçta yönleri farklı olabilir. Yalnızca vektörlerin uzunluklarını karşılaştırabilirsiniz.

Ancak vektörler için eşitlik kavramı.
Eşit aynı uzunluğa ve aynı yöne sahip vektörlerdir. Bu, vektörün düzlemdeki herhangi bir noktaya kendisine paralel hareket ettirilebileceği anlamına gelir.
bekar uzunluğu 1 olan vektöre denir. Sıfır - uzunluğu sıfıra eşit olan bir vektör, yani başlangıcı sonla çakışıyor.

Fonksiyon grafiklerini çizdiğimiz dikdörtgen bir koordinat sisteminde vektörlerle çalışmak en uygunudur. Koordinat sistemindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir - x ve y koordinatları, apsis ve ordinat.
Vektör ayrıca iki koordinatla verilir:

Burada vektörün koordinatları parantez içinde yazılır - x ve y içinde.
Bulmak kolaydır: vektörün sonunun koordinatı eksi başlangıcının koordinatı.

Vektör koordinatları verilirse, uzunluğu formülle bulunur.

Vektör ilavesi

Vektörleri eklemenin iki yolu vardır.

1 . paralelkenar kuralı. ve vektörlerini toplamak için her ikisinin de orijinlerini aynı noktaya yerleştiririz. Paralelkenarı tamamlıyoruz ve paralelkenarın köşegenini aynı noktadan çiziyoruz. Bu, vektörlerin toplamı olacaktır ve .

Kuğu, kanser ve turna hakkındaki masalı hatırlıyor musun? Çok uğraştılar ama arabayı hiç hareket ettirmediler. Sonuçta, arabaya uyguladıkları kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşitti.

2. Vektörleri eklemenin ikinci yolu üçgen kuralıdır. Aynı vektörleri alalım ve . İkinci vektörün başlangıcını birinci vektörün sonuna ekliyoruz. Şimdi birincinin başıyla ikincinin sonunu birleştirelim. Bu vektörlerin toplamıdır ve .

Aynı kurala göre, birkaç vektör ekleyebilirsiniz. Bunları birer birer ekliyoruz ve ardından ilkin başlangıcını sonuncunun sonuna bağlarız.

A noktasından B noktasına, B'den C'ye, C'den D'ye, sonra E'ye ve sonra F'ye gittiğinizi hayal edin. Bu eylemlerin sonucu, A'dan F'ye bir harekettir.

Vektörleri eklerken şunu elde ederiz:

vektör çıkarma

Vektör, vektöre zıt yönlüdür. Vektörlerin uzunlukları ve eşittir.

Şimdi vektörlerin çıkarılmasının ne olduğu açıktır. Vektörlerin farkı ve vektörü ile vektörün toplamıdır.

Bir vektörü bir sayı ile çarpma

Bir vektörü k sayısıyla çarpmak, uzunluğu, uzunluğundan k kat farklı olan bir vektörle sonuçlanır. k sıfırdan büyükse vektörle eş yönlüdür ve k sıfırdan küçükse zıt yönlüdür.

Vektörlerin nokta çarpımı

Vektörler sadece sayılarla değil, birbirleriyle de çarpılabilir.

Vektörlerin skaler çarpımı, vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımıdır.

Dikkat edin - iki vektörü çarptık ve bir skaler, yani bir sayı elde ettik. Örneğin, fizikte mekanik iş, iki vektörün skaler ürününe eşittir - kuvvet ve yer değiştirme:

Vektörler dikse, nokta çarpımı sıfırdır.
Ve vektörlerin koordinatları cinsinden skaler çarpım şu şekilde ifade edilir ve:

Skaler çarpım formülünden vektörler arasındaki açıyı bulabilirsiniz:

Bu formül özellikle stereometride kullanışlıdır. Örneğin, matematikte Profil USE'nin 14. probleminde, kesişen doğrular arasındaki veya bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulmanız gerekir. Problem 14 genellikle vektör yöntemiyle klasik yönteme göre birkaç kat daha hızlı çözülür.

Okul matematik müfredatında sadece vektörlerin skaler çarpımı incelenir.
İki vektörün çarpılması sonucu bir vektör elde edildiğinde, skalere ek olarak bir vektör ürününün de olduğu ortaya çıktı. Fizik sınavını geçen, Lorentz kuvvetinin ve Ampere kuvvetinin ne olduğunu bilir. Bu kuvvetleri bulmak için formüller tam olarak vektör ürünlerini içerir.

Vektörler çok kullanışlı bir matematiksel araçtır. İlk derste buna ikna olacaksınız.

2018 Olshevsky Andrey Georgievich

İnternet sitesi kitaplarla dolu, kitap indirebilirsiniz

Düzlemde ve uzayda vektörler, problem çözme yolları, örnekler, formüller

1 Uzayda Vektörler

Uzaydaki vektörler geometri 10, sınıf 11 ve analitik geometriyi içerir. Vektörler, sınavın ikinci bölümünün geometrik problemlerini ve uzayda analitik geometriyi etkili bir şekilde çözmenize izin verir. Uzaydaki vektörler, düzlemdeki vektörlerle aynı şekilde verilir, ancak üçüncü koordinat z dikkate alınır. Üçüncü boyutun uzayındaki vektörlerden dışlama, 8,9 sınıfının geometrisini açıklayan düzlemde vektörler verir.

1.1 Uçakta ve uzayda vektör

Bir vektör, şekilde bir okla gösterilen, başı ve sonu olan yönlendirilmiş bir segmenttir. Uzayda rastgele bir nokta boş bir vektör olarak kabul edilebilir. Sıfır vektörünün belirli bir yönü yoktur, çünkü başlangıç ​​ve bitiş aynı olduğundan herhangi bir yön verilebilir.

İngilizceden çevrilen vektör vektör, yön, rota, rehberlik, yön ayarı, uçak yönü anlamına gelir.

Sıfır olmayan bir vektörün uzunluğu (modülü), AB segmentinin uzunluğudur.
. vektör uzunluğu belirtilen . Sıfır vektörün uzunluğu sıfıra eşittir = 0.

Doğrusal vektörler, aynı doğru veya paralel doğrular üzerinde bulunan sıfır olmayan vektörlerdir.

Sıfır vektörü herhangi bir vektörle eşdoğrusaldır.

Eş yönlü, bir yönü olan eşdoğrusal sıfır olmayan vektörler olarak adlandırılır. Eş yönlü vektörler ile gösterilir. Örneğin, vektör vektörle eş yönlü ise , ardından gösterim kullanılır.

Sıfır vektörü, herhangi bir vektörle eş yönlüdür.

Zıt yönlü, zıt yöne sahip iki eşdoğrusal sıfır olmayan vektördür. Zıt yönlü vektörler ↓ ile gösterilir. Örneğin, vektör vektörün karşısındaysa, ↓ notasyonu kullanılır.

Eşit uzunluktaki eş yönlü vektörlere eşit denir.

Birçok fiziksel nicelik vektör niceliğidir: kuvvet, hız, elektrik alanı.

Vektörün uygulama noktası (başlangıç) belirlenmemişse, keyfi olarak seçilir.

Vektörün başlangıcı O noktasında yer alıyorsa, vektörün O noktasından ertelendiği kabul edilir. Herhangi bir noktadan, verilen vektöre eşit tek bir vektör çizilebilir.

1.2 Vektörlerin toplamı

Üçgen kuralına göre vektörler eklenirken, sonundan 2 vektörünün çizildiği vektör 1 çizilir ve bu iki vektörün toplamı vektör 3'tür, vektör 1'in başından vektör 2'nin sonuna kadar çizilir.

A , B ve C rasgele noktaları için vektörlerin toplamını yazabilirsiniz:

+
=

İki vektör aynı noktadan başlarsa

o zaman onları paralelkenar kuralına göre eklemek daha iyidir.

Paralelkenar kuralına göre iki vektör eklendiğinde, eklenen vektörler bir noktadan ayrılır, bir vektörün sonuna diğerinin başlangıcı uygulanarak bu vektörlerin uçlarından paralelkenar tamamlanır. Eklenen vektörlerin başlangıç ​​noktasından kaynaklanan paralelkenarın köşegeninin oluşturduğu vektör, vektörlerin toplamı olacaktır.

Paralelkenar kuralı, üçgen kuralına göre farklı bir vektör toplama sırası içerir.

Vektör toplama yasaları:

1. Değişmeli yasa + = + .

2. İlişkisel hukuk ( + ) + = + ( + ).

Birkaç vektör eklemek gerekirse, vektörler çiftler halinde veya çokgen kuralına göre eklenir: vektör 2, vektör 1'in sonundan, vektör 3, vektör 2'nin sonundan çizilir, vektör 4, vektörden çizilir. vektör 3'ün sonu, vektör 5, vektör 4'ün sonundan çizilir, vb. Birkaç vektörün toplamı olan bir vektör, vektör 1'in başından son vektörün sonuna kadar çizilir.

Vektör toplama yasalarına göre, vektör toplama sırası, birkaç vektörün toplamı olan elde edilen vektörü etkilemez.

Zıt, eşit uzunlukta, sıfır olmayan, zıt yönlü iki vektördür. Vektör - bir vektörün tersidir

Bu vektörler zıt yönlüdür ve mutlak değerde eşittir.

1.3 Vektör farkı

Vektörlerin farkı, vektörlerin toplamı olarak yazılabilir.

- = + (-),

burada "-" vektörün karşısındaki vektördür.

Vektörler ve - bir üçgen veya paralelkenar kuralına göre eklenebilir.

Vektörler olsun ve

Vektörlerin farkını bulmak için - bir vektör oluşturuyoruz -

Vektörleri toplarız ve - üçgen kuralına göre, vektörün başlangıcını uygulayarak - vektörün sonuna uygulayarak + (-) = - vektörünü elde ederiz.

Vektörleri ekliyoruz ve - paralelkenar kuralına göre vektörlerin başlangıcını erteliyoruz ve - bir noktadan

Vektörler ve aynı noktadan geliyorsa

,

daha sonra vektörlerin farkı - uçlarını birleştiren bir vektör verir ve elde edilen vektörün sonundaki ok, ikinci vektörün çıkarıldığı vektörün yönüne yerleştirilir

Aşağıdaki şekil vektörlerin eklenmesini ve farkını göstermektedir.

Aşağıdaki şekil, vektörlerin farklı şekillerde eklenmesini ve farkını göstermektedir.

Görev. Verilen vektörler ve .

Tüm olası vektör kombinasyonlarında vektörlerin toplamını ve farkını mümkün olan tüm yollarla çizin.

1.4 Doğrusal vektör lemması

= k

1.5 Bir vektörün bir sayı ile çarpımı

Sıfır olmayan bir vektörün k sayısıyla çarpımı, vektöre eşdoğrusal olan bir vektör = k verir. Vektör uzunluğu :

| | = |k |·| |

Eğer bir k > 0, sonra vektörler ve eş yönlüdür.

Eğer bir k = 0, o zaman vektör sıfırdır.

Eğer bir k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Eğer | k | = 1, o zaman vektörler ve eşit uzunluktadır.

Eğer bir k = 1, o zaman ve eşit vektörler.

Eğer bir k = -1, sonra zıt vektörler.

Eğer | k | > 1 ise vektörün uzunluğu vektörün uzunluğundan büyüktür.

Eğer bir k > 1 ise vektörler ve eş yönlüdür ve uzunluk vektörün uzunluğundan büyüktür.

Eğer bir k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Eğer | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

0 ise< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

eğer -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Bir sıfır vektörünün bir sayı ile çarpımı bir sıfır vektörü verir.

Görev. Bir vektör verilir.

2, -3, 0,5, -1.5 vektörlerini oluşturun.

Görev. Verilen vektörler ve .

3 + 2 , 2 - 2 , -2 - vektörlerini oluşturun.

Bir vektörün bir sayı ile çarpılmasını açıklayan yasalar

1. Kombinasyon yasası (kn) = k (n)

2. Birinci dağıtım yasası k ( + ) = k + k .

3. İkinci dağıtım yasası (k + n) = k + n.

Doğrusal vektörler için ve ≠ 0 ise, vektörü aşağıdaki terimlerle ifade etmeye izin veren tek bir k sayısı vardır:

= k

1.6 Eş düzlemli vektörler

Eş düzlemli vektörler, aynı düzlemde veya paralel düzlemlerde bulunanlardır. Bir noktadan verilen eş düzlemli vektörlere eşit vektörler çizerseniz, aynı düzlemde bulunurlar. Bu nedenle, aynı düzlemde bulunan eşit vektörler varsa, vektörlere eş düzlemli denildiğini söyleyebiliriz.

İki keyfi vektör her zaman eş düzlemlidir. Üç vektör eş düzlemli olabilir veya olmayabilir. En az ikisi eşdoğrusal olan üç vektör eş düzlemlidir. Doğrusal vektörler her zaman eş düzlemlidir.

1.7 Doğrusal olmayan iki vektörde bir vektörün ayrıştırılması

herhangi bir vektör düzlemde iki doğrusal olmayan sıfır olmayan vektörde benzersiz bir şekilde ayrışır ve sadece genişleme katsayıları x ve y ile:

= x+y

Herhangi bir vektör, sıfır olmayan vektörlere eş düzlemlidir ve iki doğrusal olmayan vektörde ve benzersiz genişleme katsayıları x ve y ile benzersiz bir şekilde ayrıştırılır:

= x+y

Verilen doğrusal olmayan vektörlere göre düzlemde verilen vektörü genişletelim ve:

Verilen eş düzlemli vektörleri bir noktadan çizin

Vektörün sonundan, vektörlere paralel çizgiler çiziyoruz ve vektörler üzerinden çizilen çizgilerle kesişme noktasına ve . Paralelkenar alın

Paralelkenarın kenarlarının uzunlukları, vektörlerin uzunlukları ve paralelkenarın kenarlarının uzunluklarının karşılık gelen vektörlerin uzunluklarına bölünmesiyle belirlenen x ve y sayıları ile çarpılarak elde edilir. Verilen doğrusal olmayan vektörlerde vektörün ayrışmasını elde ederiz ve :

= x+y

Çözülmekte olan problemde, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, yani vektörün verilen doğrusal olmayan vektörlerdeki açılımı ve şu şekilde yazılabilir:

1,3 + 1,9 .

Çözülmekte olan problemde, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, yani vektörün verilen doğrusal olmayan vektörlerdeki açılımı ve şu şekilde yazılabilir:

1,3 - 1,9 .

1.8 Kutu kuralı

Paralelyüz, karşılıklı yüzleri paralel düzlemlerde uzanan iki eşit paralelkenardan oluşan üç boyutlu bir şekildir.

Paralelyüz kuralı, bir noktadan çizilen ve aynı düzlemde olmayan üç vektör eklemenize ve toplanan vektörlerin kenarlarını oluşturacağı ve paralel yüzün kalan kenarlarının sırasıyla paralel ve oluşturulan kenarların uzunluklarına eşit olacağı şekilde bir paralelyüz oluşturmanıza izin verir. toplanan vektörlerle Paralel yüzün köşegeni, eklenen vektörlerin başlangıç ​​noktasından başlayan, verilen üç vektörün toplamı olan bir vektör oluşturur.

1.9 Bir vektörün aynı düzlemde olmayan üç vektörde ayrıştırılması

herhangi bir vektör verilen üç eş düzlemli olmayan vektörde genişler , ve tek genleşme katsayıları x, y, z ile:

= x + y + z .

1.10 Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi

Üç boyutlu uzayda, dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz, orijin O ve karşılıklı olarak dik koordinat eksenleri Ox , Oy ve Oz, oklarla gösterilen seçili pozitif yönlerle ve segmentlerin ölçüm birimiyle kesişir. Parçaların ölçeği üç eksende de aynıysa, böyle bir sisteme Kartezyen koordinat sistemi denir.

Koordinat x'e apsis denir, y ordinattır, z ise uygulamadır. M noktasının koordinatları M (x ; y ; z ) parantezleri içinde yazılır.

1.11 Uzayda vektör koordinatları

Uzayda, Oxyz dikdörtgen bir koordinat sistemi ayarlayalım. Ox , Oy , Oz eksenlerinin pozitif yönlerindeki orijinden karşılık gelen birim vektörleri çizeriz , , , koordinat vektörleri olarak adlandırılır ve eş düzlemli değildir. Bu nedenle, herhangi bir vektör, yalnızca x , y , z genişleme katsayılarıyla birlikte verilen üç eş düzlemli olmayan koordinat vektörüne ayrıştırılabilir:

= x + y + z .

Genişleme katsayıları x , y , z, verilen bir dikdörtgen koordinat sistemindeki vektörün parantez (x ; y ; z ) içinde yazılan koordinatlarıdır. Sıfır vektör sıfıra eşit koordinatlara sahiptir (0; 0; 0). Eşit vektörler için karşılık gelen koordinatlar eşittir.

Ortaya çıkan vektörün koordinatlarını bulma kuralları:

1. İki veya daha fazla vektörü toplarken, elde edilen vektörün her bir koordinatı, verilen vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının toplamına eşittir. (x 1 ; y 1 ; z 1) ve (x 1 ; y 1 ; z 1) olmak üzere iki vektör verilirse, vektörlerin toplamı + koordinatları olan bir vektör verir (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z1 + z1)

+ = (x 1 + x 1 ; y1 + y1 ; z1 + z1)

2. Fark bir tür toplamdır, dolayısıyla karşılık gelen koordinatların farkı, verilen iki vektörün çıkarılmasıyla elde edilen vektörün her bir koordinatını verir. İki vektör (x a ; y a ; z a ) ve (x b ; y b ; z b ) verilirse, vektörlerin farkı - koordinatları olan bir vektör verir (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. Bir vektörü bir sayı ile çarparken, elde edilen vektörün her bir koordinatı, verilen vektörün karşılık gelen koordinatıyla bu sayının çarpımına eşittir. Bir k sayısı ve bir vektör (x ; y ; z ) verildiğinde, vektörün k sayısıyla çarpılması koordinatları olan bir k vektörü verir

k = (kx ; ky ; kz ).

Görev. Vektörlerin koordinatları (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2) ise vektörün koordinatlarını bulun = 2 - 3 + 4.

Karar

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektör, yarıçap vektörü ve nokta koordinatları

Vektörün başlangıcı orijine yerleştirilmişse, vektör koordinatları vektörün sonunun koordinatlarıdır.

Bir yarıçap vektörü, orijinden belirli bir noktaya çizilen bir vektördür, yarıçap vektörünün ve noktanın koordinatları eşittir.

eğer vektör
M 1 (x 1; y 1; z 1) ve M 2 (x 2; y 2; z 2) noktalarıyla verildiğinde, koordinatlarının her biri, bitişin ve başlangıcın karşılık gelen koordinatları arasındaki farka eşittir. vektör

Eşdoğrusal vektörler = (x 1 ; y 1 ; z 1) ve = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) için, ≠ 0 ise, vektörü şu şekilde ifade etmeye izin veren tek bir k sayısı vardır:

= k

Daha sonra vektörün koordinatları, vektörün koordinatları cinsinden ifade edilir.

= (kx1 ; ky1; kz 1)

Doğrusal vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranı, tek sayı k'ye eşittir.

1.13 Vektör uzunluğu ve iki nokta arasındaki mesafe

Vektörün (x; y; z) uzunluğu, koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.

M 1 (x 1; y 1; z 1) başlangıcı ve M 2 (x 2; y 2; z 2) noktalarının verdiği vektörün uzunluğu, toplamının kareköküne eşittir. vektörün sonu ile başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farkın kareleri

Mesafe d iki nokta arasındaki M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ve M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) vektörün uzunluğuna eşittir

Düzlemde z koordinatı yok

M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktaları arasındaki mesafe

1.14 Segmentin ortasının koordinatları

Eğer nokta C, AB segmentinin orta noktasıdır, o zaman orijini O noktasında olan rastgele bir koordinat sisteminde C noktasının yarıçap vektörü, A ve B noktalarının yarıçap vektörlerinin toplamının yarısına eşittir.

Vektörlerin koordinatları ise
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2; y 2; z 2), o zaman her vektör koordinatı, vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının toplamının yarısına eşittir ve

,
,

= (x, y, z) =

Parçanın ortasının koordinatlarının her biri, parçanın uçlarının karşılık gelen koordinatlarının toplamının yarısına eşittir.

1.15 Vektörler arasındaki açı

Vektörler arasındaki açı, bir noktadan çekilen ve bu vektörlerle birlikte yönlenen ışınlar arasındaki açıya eşittir. Vektörler arasındaki açı 0 0 ile 180 0 arasında olabilir. Eş yönlü vektörler arasındaki açı 0 0'a eşittir. Bir vektör veya her ikisi de sıfırsa, en az biri sıfır olan vektörler arasındaki açı 0 0'a eşittir. Dik vektörler arasındaki açı 90 0'dır. Zıt yönlü vektörler arasındaki açı 180 0'dır.

1.16 Vektör projeksiyonu

1.17 Vektörlerin nokta çarpımı

İki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin uzunluklarının çarpımına ve vektörler arasındaki açının kosinüsüne eşit bir sayıdır (skaler).

Eğer bir = 0 0 , vektörler eş yönlüdür
ve
= cos 0 0 = 1, bu nedenle, eş yönlü vektörlerin skaler ürünü, uzunluklarının (modüllerin) ürününe eşittir

.

Vektörler arasındaki açı 0 ise< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, dolayısıyla skaler ürün sıfırdan büyüktür
.

Sıfır olmayan vektörler dik ise, skaler çarpımı sıfırdır.
, çünkü cos 90 0 = 0. Dik vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşittir.

Eğer bir
, o zaman bu tür vektörler arasındaki açının kosinüsü sıfırdan küçüktür
, yani skaler ürün sıfırdan küçüktür
.

Vektörler arasındaki açı arttıkça, aralarındaki açının kosinüsü
azalır ve minimum değere ulaşır. = 180 0 vektörler zıt yönlü olduğunda
. cos 180 0 = -1 olduğuna göre,
. Zıt yönlü vektörlerin skaler ürünü, uzunluklarının (modüllerinin) negatif ürününe eşittir.

Bir vektörün skaler karesi, vektörün karesinin modülüne eşittir

En az biri sıfır olan vektörlerin skaler çarpımı sıfıra eşittir.

1.18 Vektörlerin skaler çarpımının fiziksel anlamı

Fizik dersinden, kuvvetin işinin A olduğu bilinmektedir. vücudu hareket ettirirken kuvvet ve yer değiştirme vektörlerinin uzunluklarının çarpımına ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir, yani kuvvet ve yer değiştirme vektörlerinin skaler çarpımına eşittir

Kuvvet vektörü cismin hareketiyle birlikte yönlendiriliyorsa, vektörler arasındaki açı
= 0 0, bu nedenle kuvvetin yer değiştirme üzerindeki işi maksimumdur ve A =
.

0 ise< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

= 90 0 ise, kuvvetin yer değiştirme üzerindeki işi sıfıra eşittir A = 0.

90 0 ise< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Kuvvet vektörü cismin hareketine zıt ise, vektörler arasındaki açı = 180 0, dolayısıyla kuvvetin hareket üzerindeki işi negatif ve A = -'ye eşittir.

Görev. Ufka 30 0 eğim açısı ile 1 km uzunluğundaki bir yolda 1 ton ağırlığındaki bir binek aracı kaldırırken yerçekimi işini belirleyin. Bu enerji kullanılarak 20 0 sıcaklıkta kaç litre su kaynatılabilir?

Karar

Çalışmak bir yerçekimi vücudu hareket ettirirken, vektörlerin uzunluklarının ürününe ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir, yani yerçekimi ve yer değiştirme vektörlerinin skaler ürününe eşittir

Yer çekimi

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m / s 2 \u003d 10.000 N.

= 1000 m.

vektörler arasındaki açı = 1200. Sonra

çünkü 120 0 \u003d çünkü (90 0 + 30 0) \u003d - günah 30 0 \u003d - 0,5.

Vekil

A \u003d 10.000 N 1000 m (-0.5) \u003d - 5.000.000 J \u003d - 5 MJ.

1.19 Koordinatlarda vektörlerin nokta çarpımı

İki vektörün nokta çarpımı = (x 1 ; y 1 ; z 1) ve \u003d (x 2; y 2; z 2) dikdörtgen bir koordinat sisteminde, aynı isimdeki koordinatların ürünlerinin toplamına eşittir

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Vektörlerin diklik koşulu

Sıfır olmayan vektörler \u003d (x 1; y 1; z 1) ve \u003d (x 2; y 2; z 2) dik ise, skaler ürünleri sıfırdır

Sıfır olmayan bir vektör = (x 1; y 1; z 1) verilirse, buna dik (normal) vektörün koordinatları = (x 2; y 2; z 2) eşitliği sağlamalıdır.

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Sonsuz sayıda böyle vektör vardır.

Düzlemde sıfır olmayan bir vektör = (x 1; y 1) ayarlanmışsa, vektöre dik (normal) = (x 2; y 2) koordinatları eşitliği sağlamalıdır.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Düzlemde sıfır olmayan bir vektör = (x 1 ; y 1) ayarlanmışsa, vektörün ona dik (normal) koordinatlarından birini keyfi olarak ayarlamak yeterlidir = (x 2 ; y 2) ve vektörlerin diklik durumu

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

vektörün ikinci koordinatını ifade edin.

Örneğin, keyfi bir x 2 koordinatını değiştirirsek, o zaman

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Vektörün ikinci koordinatı

x 2 \u003d y 1 verirseniz, vektörün ikinci koordinatı

Düzlemde sıfır olmayan bir vektör = (x 1; y 1) verilirse, vektör buna dik (normal) = (y 1; -x 1).

Sıfır olmayan bir vektörün koordinatlarından biri sıfıra eşitse, vektörün aynı koordinatı sıfıra eşit değildir ve ikinci koordinat sıfıra eşittir. Bu tür vektörler koordinat eksenlerinde bulunur, bu nedenle diktirler.

= (x 1 ; y 1) vektörüne dik, ancak vektörün tersi olan ikinci vektörü tanımlayalım. , yani vektör - . Daha sonra vektörün koordinatlarının işaretlerini değiştirmek yeterlidir.

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Görev.

Karar

Düzlemde = (x 1; y 1) vektörüne dik olan iki vektörün koordinatları

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Vektörün koordinatlarını değiştiriyoruz = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

Sağ!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

Sağ!

Cevap: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

x 2 = 1 atarsak, yerine

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

= (x 1; y 1) vektörüne dik bir vektörün y 2 koordinatını alın

= (x 1; y 1) vektörüne dik, ancak vektörün tersi olan ikinci bir vektör elde etmek için . İzin vermek

O zaman vektörün koordinatlarının işaretlerini değiştirmek yeterlidir.

Düzlemde = (x 1; y 1) vektörüne dik olan iki vektörün koordinatları

Görev. Verilen bir vektör = (3; -5). Farklı yönelime sahip iki normal vektör bulun.

Karar

Düzlemde = (x 1; y 1) vektörüne dik olan iki vektörün koordinatları

Tek vektör koordinatları

İkinci vektör koordinatları

Vektörlerin dikliğini kontrol etmek için, koordinatlarını vektörlerin dikliği koşuluyla değiştiririz.

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

Sağ!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

Sağ!

Cevap: ve.

x 2 \u003d - x 1 atarsanız, yerine

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Vektöre dik vektörün koordinatını alın

x 2 \u003d x 1 atarsanız, yerine

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Vektöre dik olan ikinci vektörün y koordinatını alın

Düzlemdeki vektöre dik bir vektörün koordinatları = (x 1; y 1)

Düzlemdeki vektöre dik olan ikinci vektörün koordinatları = (x 1; y 1)

Düzlemde = (x 1; y 1) vektörüne dik olan iki vektörün koordinatları

1.21 Vektörler arasındaki açının kosinüsü

Sıfır olmayan iki vektör \u003d (x 1; y 1; z 1) ve \u003d (x 2; y 2; z 2) arasındaki açının kosinüsü, vektörlerin skaler ürününe bölünür. bu vektörlerin uzunlukları

Eğer bir
= 1 ise vektörler arasındaki açı 0 0'a eşittir, vektörler eş yönlüdür.

0 ise< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

= 0 ise, vektörler arasındaki açı 90 0'a eşittir, vektörler diktir.

eğer -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

= -1 ise vektörler arasındaki açı 180 0 ise vektörler zıt yönlüdür.

Bir vektör başlangıç ​​ve bitiş koordinatlarıyla verilirse, o zaman vektörün sonunun karşılık gelen koordinatlarından başlangıcın koordinatlarını çıkararak, bu vektörün koordinatlarını elde ederiz.

Görev.(0; -2; 0), (-2; 0; -4) vektörleri arasındaki açıyı bulun.

Karar

Vektörlerin nokta çarpımı

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

dolayısıyla vektörler arasındaki açı = 90 0 .

1.22 Vektörlerin Nokta Çarpımlarının Özellikleri

Skaler çarpım özellikleri herhangi biri için geçerlidir. , , ,k :

1.
, Eğer
, o zamanlar
, Eğer =, o zamanlar
= 0.

2. Yerinden olma yasası

3. Dağılım yasası

4. Kombinasyon yasası
.

1.23 Yön vektörü doğrudan

Bir doğrunun yönlendirici vektörü, bir doğru üzerinde veya verilen doğruya paralel bir doğru üzerinde bulunan sıfır olmayan bir vektördür.

Doğru, M 1 (x 1; y 1; z 1) ve M 2 (x 2; y 2; z 2) olmak üzere iki noktayla verilmişse, vektör kılavuzdur.
veya zıt vektörü
= - , kimin koordinatları

Koordinat sisteminin, çizgi orijinden geçecek şekilde ayarlanması istenir, o zaman çizgi üzerindeki tek noktanın koordinatları, yön vektörünün koordinatları olacaktır.

Görev. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) noktalarından geçen doğrunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyin.

Karar

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) noktalarından geçen doğrunun yön vektörü gösterilir.
. Koordinatlarının her biri, vektörün sonu ve başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farka eşittir.

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Koordinat sistemindeki düz doğrunun yönlendirici vektörünü, başlangıcı M 1 noktasında, sonu M 2 noktasında ve vektörü ona eşit olacak şekilde gösterelim.
M (-1; 1; 0) noktasında son ile orijinden

1.24 İki düz çizgi arasındaki açı

Düzlemdeki 2 çizginin göreceli konumu ve bu çizgiler arasındaki açı için olası seçenekler:

1. Doğrular tek bir noktada kesişir, 4 açı oluşturur, 2 çift dikey açı çift olarak eşittir. Kesişen iki doğru arasındaki φ açısı, bu doğrular arasındaki diğer üç açıyı geçmeyen açıdır. Bu nedenle doğrular arasındaki açı φ ≤ 90 0 .

Kesişen çizgiler özellikle dik olabilir φ = 90 0 .

Uzayda 2 çizginin göreceli konumu ve bu çizgiler arasındaki açı için olası seçenekler:

1. Doğrular tek bir noktada kesişir, 4 açı oluşturur, 2 çift dikey açı çift olarak eşittir. Kesişen iki doğru arasındaki φ açısı, bu doğrular arasındaki diğer üç açıyı geçmeyen açıdır.

2. Doğrular paraleldir, yani çakışmazlar ve kesişmezler, φ=0 0 .

3. Doğrular çakışıyor, φ = 0 0 .

4. Doğrular kesişir, yani uzayda kesişmezler ve paralel değildirler. Kesişen doğrular arasındaki φ açısı, kesişmeleri için bu doğrulara paralel çizilen doğrular arasındaki açıdır. Bu nedenle doğrular arasındaki açı φ ≤ 90 0 .

2 doğru arasındaki açı, aynı düzlemde bu doğrulara paralel çizilen doğrular arasındaki açıya eşittir. Bu nedenle, çizgiler arasındaki açı 0 0 ≤ φ ≤ 90 0'dır.

Vektörler arasındaki açı θ (teta) ve 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

α ve β doğruları arasındaki φ açısı, bu doğruların φ = θ yön vektörleri arasındaki θ açısına eşitse, o zaman

çünkü φ = çünkü θ.

Çizgiler arasındaki açı φ = 180 0 - θ ise, o zaman

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

çünkü φ = - çünkü θ.

Bu nedenle, çizgiler arasındaki açının kosinüsü, vektörler arasındaki açının kosinüs modülüne eşittir.

çünkü φ = |cos θ|.

Sıfır olmayan vektörlerin koordinatları = (x 1 ; y 1 ; z 1) ve = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) verilirse, aralarındaki θ açısının kosinüsü

Çizgiler arasındaki açının kosinüsü, bu çizgilerin yön vektörleri arasındaki açının kosinüs modülüne eşittir.

çünkü φ = |cos θ| =

Çizgiler aynı geometrik nesnelerdir, bu nedenle formülde aynı trigonometrik fonksiyonlar cos bulunur.

İki doğrunun her birine iki nokta verilirse, bu doğruların yön vektörleri ve doğrular arasındaki açının kosinüsü belirlenebilir.

Eğer bir cos φ \u003d 1, o zaman çizgiler arasındaki φ açısı 0 0, bu çizgiler için bu çizgilerin yönlendirici vektörlerinden biri alınabilir, çizgiler paralel veya çakışıyor. Doğrular çakışmıyorsa paraleldir. Doğrular çakışıyorsa, bir doğrunun herhangi bir noktası diğer doğruya aittir.

0 ise< cos φ ≤ 1, o zaman çizgiler arasındaki açı 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Eğer bir çünkü φ \u003d 0, o zaman çizgiler arasındaki φ açısı 90 0'dır (çizgiler diktir), çizgiler kesişir veya kesişir.

Görev. M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ve M 3 (0; 0; 1) noktalarının koordinatlarıyla M 1 M 3 ve M 2 M 3 çizgileri arasındaki açıyı belirleyin. .

Karar

Verilen noktaları ve doğruları Oxyz koordinat sisteminde oluşturalım.

Doğruların yönlendirici vektörlerini, vektörler arasındaki θ açısı verilen doğrular arasındaki φ açısı ile çakışacak şekilde yönlendiririz. Vektörleri çizin =
ve =
, ayrıca θ ve φ açıları:

Vektörlerin koordinatlarını belirleyelim ve

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 ve ax + by + cz = 0;

Düzlem, ataması düzlem denkleminde bulunmayan bu koordinat eksenine paraleldir ve bu nedenle karşılık gelen katsayı sıfıra eşittir, örneğin c = 0'da, düzlem Oz eksenine paraleldir ve ax + by + d = 0 denkleminde z içermez;

Düzlem, ataması eksik olan koordinat eksenini içerir, bu nedenle karşılık gelen katsayı sıfırdır ve d = 0, örneğin c = d = 0'da, düzlem Oz eksenine paraleldir ve z içermez denklemde ax + by = 0;

Düzlem, gösterimi düzlem denkleminde bulunmayan koordinat düzlemine paraleldir ve bu nedenle karşılık gelen katsayılar sıfıra eşittir, örneğin, b = c = 0 için düzlem koordinata paraleldir. Oyz düzlemi ve y içermez, ax + d = 0 denkleminde z.

Düzlem koordinat düzlemi ile çakışıyorsa, böyle bir düzlemin denklemi, verilen koordinat düzlemine dik koordinat ekseni atamasının sıfıra eşitliğidir, örneğin, x = 0'da, verilen düzlem koordinat düzlemidir. Oyz.

Görev. Normal vektör denklem tarafından verilir

Düzlemin denklemini normal formda temsil edin.

Karar

Normal vektör koordinatları

A ; b; c ), o zaman M 0 (x 0; y 0; z 0) noktasının koordinatlarını ve normal vektörün a, b, c koordinatlarını düzlemin genel denkleminde değiştirebiliriz.

ax + by + cz + d = 0 (1)

Bir bilinmeyen d ile bir denklem elde ederiz

balta 0 + 0 ile + cz 0 + d = 0

Buradan

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

d ikamesinden sonra düzlem denklemi (1)

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Sıfır olmayan bir vektöre dik M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) noktasından geçen bir düzlemin denklemini elde ederiz. (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

parantezleri açalım

balta - balta 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

balta + by + cz - balta 0 - 0 - cz 0 = 0

belirtmek

d = - balta 0 - 0 ile - cz 0

Düzlemin genel denklemini elde ederiz

ax + by + cz + d = 0.

1.29 İki noktadan geçen bir düzlem ve orijinin denklemi

ax + by + cz + d = 0.

Koordinat sisteminin, düzlemin bu koordinat sisteminin orijinden geçeceği şekilde ayarlanması arzu edilir. Bu düzlemde bulunan M 1 (x 1; y 1; z 1) ve M 2 (x 2; y 2; z 2) noktaları, bu noktaları birleştiren düz çizgi orijinden geçmeyecek şekilde ayarlanmalıdır.

Düzlem orijinden geçecek, yani d = 0 olacak. O zaman düzlemin genel denklemi

ax + by + cz = 0.

Bilinmeyen 3 katsayı a , b , c . İki noktanın koordinatlarını düzlemin genel denkleminde yerine koymak, 2 denklemlik bir sistem verir. Düzlemin genel denkleminde bire eşit bir katsayı alırsak, 2 denklem sistemi 2 bilinmeyen katsayı belirlememize izin verecektir.

Noktanın koordinatlarından biri sıfır ise, bu koordinata karşılık gelen katsayı bir olarak alınır.

Bir noktanın iki sıfır koordinatı varsa, bu sıfır koordinatlarından birine karşılık gelen katsayı birlik olarak alınır.

a = 1 kabul edilirse, 2 denklemli bir sistem, 2 bilinmeyen katsayı b ve c'yi belirlememize izin verecektir:

Bazı denklemleri, bazı bilinmeyen çeliğin katsayıları eşit olacak şekilde bir sayı ile çarparak bu denklemlerin sistemini çözmek daha kolaydır. O zaman denklemlerin farkı, bu bilinmeyeni dışarıda bırakmamıza, başka bir bilinmeyeni belirlememize izin verecektir. Bulunan bilinmeyeni herhangi bir denklemde yerine koymak, ikinci bilinmeyeni belirlememize izin verecektir.

1.30 Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Düzlemin genel denkleminin katsayılarını tanımlayalım

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ve M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3) noktalarından geçen. Noktaların iki özdeş koordinatı olmamalıdır.

Bilinmeyen 4 katsayı a , b , c ve d . Üç noktanın koordinatlarını düzlemin genel denkleminde yerine koymak, 3 denklemlik bir sistem verir. Düzlemin genel denkleminde bire eşit bir katsayı alın, ardından 3 denklem sistemi 3 bilinmeyen katsayı belirlemenize izin verecektir. Genellikle kabul edilen a = 1, daha sonra 3 denklem sistemi, 3 bilinmeyen katsayı b, c ve d belirlemenize izin verecektir:

Denklem sistemi en iyi bilinmeyenlerin ortadan kaldırılmasıyla çözülür (Gauss yöntemi). Sistemdeki denklemleri yeniden düzenleyebilirsiniz. Herhangi bir denklem, sıfır olmayan herhangi bir faktörle çarpılabilir veya bölünebilir. Herhangi iki denklem eklenebilir ve elde edilen denklem, eklenen bu iki denklemden herhangi biri yerine yazılabilir. Bilinmeyenler, önlerine sıfır katsayısı alınarak denklemlerden çıkarılır. Bir denklemde, genellikle en düşük olanı tanımlanmış bir değişkenle bırakılır. Bulunan değişken, genellikle 2 bilinmeyenin kaldığı alttan ikinci denklemde değiştirilir. Denklemler aşağıdan yukarıya çözülür ve bilinmeyen tüm katsayılar belirlenir.

Katsayılar bilinmeyenlerin önüne konur ve bilinmeyenlerden arındırılmış terimler denklemlerin sağ tarafına aktarılır.

En üst sıra genellikle birinci veya herhangi bir bilinmeyenden önce çarpanı 1 olan bir denklemi içerir veya ilk denklemin tamamı ilk bilinmeyenden önceki faktöre bölünür. Bu denklem sisteminde, ilk denklemi y 1'e böleriz.

İlk bilinmeyenden önce 1 katsayısı elde ettik:

İkinci denklemin birinci değişkeninin önündeki katsayıyı sıfırlamak için ilk denklemi -y 2 ile çarpıyoruz, ikinci denkleme ekliyoruz ve ikinci denklem yerine ortaya çıkan denklemi yazıyoruz. İkinci denklemdeki ilk bilinmeyen elenecektir çünkü

y 2 b - y 2 b = 0.

Benzer şekilde, birinci denklemi -y 3 ile çarparak, üçüncü denkleme ekleyerek ve üçüncü denklem yerine elde edilen denklemi yazarak üçüncü denklemdeki ilk bilinmeyeni hariç tutuyoruz. Üçüncü denklemdeki ilk bilinmeyen de elimine edilecektir çünkü

y 3 b - y 3 b = 0.

Benzer şekilde, üçüncü denklemde ikinci bilinmeyeni hariç tutuyoruz. Sistemi aşağıdan yukarıya doğru çözüyoruz.

Görev.

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ve y noktalarından geçen+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Verilen düzlem Oyz koordinat düzlemidir.

Görev. Düzlemin genel denklemini belirleyin

ax + by + cz + d = 0,

M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) ve M 3 (0; 0; 1) noktalarından geçen. Bu düzlemin M 0 noktasına olan uzaklığını bulun (10; -3; -7).

Karar

Verilen noktaları Oxyz koordinat sisteminde oluşturalım.

Kabul etmek a= 1. Üç noktanın koordinatlarını düzlemin genel denkleminde yerine koymak, 3 denklemlik bir sistem verir.

ℓ =

Web sayfaları: 1 2 Düzlemde ve uzayda vektörler (devamı)

Andrey Georgievich Olshevsky'nin istişareleri Skype da.irk.tr

OGE (GIA) ve sınav için matematik, fizik, bilgisayar bilimleri, çok puan (bölüm C) ve zayıf öğrenciler almak isteyen okul öğrencilerinin ve okullarının hazırlanması. Hafızanın gelişimi, düşünme, nesnelerin karmaşık, görsel sunumunun anlaşılır bir açıklaması yoluyla mevcut performansın eşzamanlı iyileştirilmesi. Her öğrenciye özel bir yaklaşım. Olimpiyatlara hazırlık, kabul için avantajlar. Öğrenci başarısını artırmada 15 yıllık deneyim.

Yüksek matematik, cebir, geometri, olasılık teorisi, matematiksel istatistik, doğrusal programlama.

Teorinin net bir açıklaması, anlamadaki boşlukların ortadan kaldırılması, problemlerin çözülmesi için öğretim yöntemleri, dönem ödevi yazarken danışmanlık, diplomalar.

Uçak, roket ve otomobil motorları. Hipersonik, ramjet, roket, darbeli patlama, darbeli, gaz türbini, pistonlu içten yanmalı motorlar - teori, tasarım, hesaplama, güç, tasarım, üretim teknolojisi. Termodinamik, ısı mühendisliği, gaz dinamiği, hidrolik.

Havacılık, aeromekanik, aerodinamik, uçuş dinamiği, teori, tasarım, aerohidromekanik. Ultra hafif uçaklar, ekranoplanlar, uçaklar, helikopterler, roketler, seyir füzeleri, hovercraft, hava gemileri, pervaneler - teori, tasarım, hesaplama, güç, tasarım, üretim teknolojisi.

Fikirlerin üretilmesi, uygulanması. Bilimsel araştırmanın temelleri, üretme yöntemleri, bilimsel, yaratıcı, iş fikirlerinin uygulanması. Bilimsel problemlerin, yaratıcı problemlerin çözümü için öğretim teknikleri. Bilimsel, yaratıcı, yazma, mühendislik yaratıcılığı. En değerli bilimsel, yaratıcı problemlerin, fikirlerin ifadesi, seçimi, çözümü.

Yaratıcılık sonuçlarının yayınları. Bilimsel makale nasıl yazılır ve yayınlanır, buluş başvurusu nasıl yapılır, yazılır, kitap yayınlanır. Yazma teorisi, tez savunması. Fikirler, icatlar üzerinden para kazanmak. Buluş oluşturma, buluş başvuruları, bilimsel makaleler, buluş başvuruları, kitaplar, monografiler, tezler için danışmanlık. Buluşlarda, bilimsel makalelerde, monograflarda ortak yazarlık.

Teorik mekanik (teormek), malzemelerin mukavemeti (sopromat), makine parçaları, mekanizmalar ve makineler teorisi (TMM), mühendislik teknolojisi, teknik disiplinler.

Elektrik mühendisliğinin (TOE), elektroniğin teorik temelleri, dijitalin temelleri, analog elektroniğin temelleri.

Analitik geometri, tanımlayıcı geometri, mühendislik grafikleri, çizim. Bilgisayar grafikleri, grafik programlama, AutoCAD'de çizimler, NanoCAD, fotomontaj.

Mantık, grafikler, ağaçlar, ayrık matematik.

OpenOffice ve LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makrolar, VBScript, Basic, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. PC, dizüstü bilgisayarlar, mobil cihazlar için programlar, oyunlar oluşturma. Ücretsiz hazır programların kullanımı, açık kaynaklı motorlar.

Sitelerin oluşturulması, yerleştirilmesi, tanıtımı, programlanması, çevrimiçi mağazalar, sitelerde kazanç, Web tasarımı.

Bilişim, PC kullanıcısı: metinler, tablolar, sunumlar, 2 saatlik yazma eğitimi, veri tabanları, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, İnternet, ağlar, e-posta.

Cihaz, sabit bilgisayar ve dizüstü bilgisayarların onarımı.

Video blogger, video oluşturma, düzenleme, yayınlama, video düzenleme, video bloglarında para kazanma.

Seçim, hedefe ulaşma, planlama.

İnternette para kazanmayı öğrenmek: blog yazarı, video blog yazarı, programlar, web siteleri, çevrimiçi mağaza, makaleler, kitaplar vb.

Sitenin gelişimini destekleyebilir, Olshevsky Andrey Georgievich'in danışmanlık hizmetleri için ödeme yapabilirsiniz.

10/15/17 Olshevsky Andrey Georgieviche-posta:[e-posta korumalı]