Sistemin genel ve özel çözümü. Bir lineer denklem sistemi nasıl çözülür? Gauss yöntemi ve sonsuz sayıda çözüm içeren lineer denklem sistemleri

Karar. bir= . r(A)'yı bulun. Gibi matris A derecesi 3x4'tür, o zaman en yüksek minör sırası 3'tür. Ayrıca, üçüncü dereceden tüm küçükler sıfıra eşittir (kendiniz kontrol edin). Anlamına geliyor, r(A)< 3. Возьмем главный temel küçük = -5-4 = -9 ≠ 0. Dolayısıyla r(A) =2.

Düşünmek matris İle = .

küçük üçüncü sipariş ≠ 0. Dolayısıyla, r(C) = 3.

r(A)'dan beri ≠ r(C) , o zaman sistem tutarsız.

Örnek 2 Denklem sisteminin uyumluluğunu belirleme

Uyumluysa bu sistemi çözün.

Karar.

A = , C = . Açıkçası, r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. detC = 0 olduğundan, r(C)< 4. Düşünmek küçük üçüncü sipariş, A ve C matrisinin sol üst köşesinde bulunur: = -23 ≠ 0. Dolayısıyla, r(A) = r(C) = 3.

Sayı Bilinmeyen sistemde n=3. Yani sistemin benzersiz bir çözümü var. Bu durumda dördüncü denklem ilk üçün toplamıdır ve göz ardı edilebilir.

Cramer formüllerine göre x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 elde ederiz.

2.4. Matris yöntemi. Gauss yöntemi

sistem n lineer denklemler ile n bilinmeyenler çözülebilir matris yöntemi X \u003d A -1 B formülüne göre (Δ için ≠ 0), (2)'den her iki parçanın da A -1 ile çarpılmasıyla elde edilir.

Örnek 1. Bir denklem sistemini çözün

matris yöntemiyle (Bölüm 2.2'de bu sistem Cramer formülleri kullanılarak çözülmüştür)

Karar. Δ=10 ≠ 0 A = - tekil olmayan matris.

= (gerekli hesaplamaları yaparak bunu kendiniz doğrulayın).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Cevap: .

Pratik açıdan matris yöntemi ve formüller Kramer büyük miktarda hesaplama ile ilişkilidir, bu nedenle tercih edilir Gauss yöntemi bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılmasından oluşur. Bunu yapmak için, denklem sistemi üçgen artırılmış matrisli eşdeğer bir sisteme indirgenir (ana köşegenin altındaki tüm elemanlar sıfıra eşittir). Bu eylemlere doğrudan hareket denir. Elde edilen üçgen sistemden, değişkenler ardışık ikameler (geriye doğru) kullanılarak bulunur.

Örnek 2. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün

(Bu sistem yukarıda Cramer formülü ve matris yöntemi kullanılarak çözülmüştür).

Karar.

Doğrudan hareket. Artırılmış matrisi yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu üçgen bir forma getiriyoruz:

~ ~ ~ ~ .

Almak sistem

Ters hareket. Bulduğumuz son denklemden X 3 = -6 ve bu değeri ikinci denklemde yerine koyun:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Cevap: .

2.5. Bir lineer denklem sisteminin genel çözümü

Bir lineer denklem sistemi verilsin = ben(ben=). r(A) = r(C) = r olsun, yani. sistem işbirlikçidir. r mertebesinden sıfır olmayan herhangi bir minör temel minör. Genelliği kaybetmeden, temel minörün A matrisinin ilk r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) satır ve sütunlarında yer aldığını varsayacağız. Sistemin son m-r denklemlerini atarak, kısaltılmış bir yazıyoruz. sistem:

hangi orijinal eşdeğerdir. Bilinmeyenleri isimlendirelim x 1 ,….x r temel ve x r +1 ,…, x r serbest bırakın ve serbest bilinmeyenleri içeren terimleri, kesik sistemin denklemlerinin sağ tarafına taşıyın. Sistemi temel bilinmeyenlere göre elde ederiz:

serbest bilinmeyenlerin her bir değer kümesi için x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r tek çözümü var x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., Cn-r), Cramer kuralı ile bulunur.

uygun çözüm kısaltılmıştır ve bu nedenle orijinal sistem şu şekildedir:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - sistemin genel çözümü.

Genel çözümde serbest bilinmeyenlere bazı sayısal değerler verilirse, özel olarak adlandırılan lineer sistemin çözümünü elde ederiz.

Misal. Uyumluluk oluşturun ve sistemin genel çözümünü bulun

Karar. bir = , C = .

Böyle gibi r(A)= r(C) = 2 (kendiniz görün), o zaman orijinal sistem uyumludur ve sonsuz sayıda çözüme sahiptir (çünkü r< 4).

matris yöntemi SLAU çözümleri denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına karşılık geldiği denklem sistemlerini çözmek için kullanılır. Yöntem en iyi düşük dereceli sistemleri çözmek için kullanılır. Lineer denklem sistemlerini çözmek için matris yöntemi, matris çarpımının özelliklerinin uygulanmasına dayanır.

Bu şekilde, başka bir deyişle ters matris yöntemi, buna denir, çünkü çözüm, ters matrisi bulmanız gereken çözüm için normal matris denklemine indirgenir.

matris çözüm yöntemi Determinantı sıfırdan büyük veya sıfırdan küçük olan bir SLAE aşağıdaki gibidir:

Bir SLE (doğrusal denklemler sistemi) olduğunu varsayalım. n bilinmeyen (rasgele bir alan üzerinde):

Bu nedenle, onu bir matris formuna çevirmek kolaydır:

AX=B, nerede A sistemin ana matrisidir, B ve X- sırasıyla sistemin serbest üyeleri ve çözümleri sütunları:

Soldaki bu matris denklemini şu şekilde çarpın: bir -1- matrisin tersi matris A: A -1 (AX)=A -1 B.

Çünkü A -1 A=E, anlamına geliyor, X=A −1B. Denklemin sağ tarafı, ilk sisteme bir çözüm sütunu verir. Matris yönteminin uygulanabilirliğinin koşulu, matrisin dejenere olmamasıdır. A. Bunun için gerekli ve yeterli bir koşul, matrisin determinantının A:

detA≠0.

İçin homojen lineer denklem sistemi, yani eğer vektör B=0, bunun tersi kural geçerlidir: sistem AX=0önemsiz olmayan (yani sıfıra eşit olmayan) bir çözümdür, yalnızca detA=0. Homojen ve homojen olmayan lineer denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu bağlantıya denir. Fredholm'a alternatif.

Böylece SLAE'nin matris yöntemiyle çözümü formüle göre yapılır. . Veya, SLAE çözümü kullanılarak bulunur: ters matris bir -1.

kare matris olduğu bilinmektedir. ANCAK sipariş nüzerinde n ters matris var bir -1 sadece determinantı sıfır değilse. Böylece sistem n lineer cebirsel denklemler n bilinmeyenler, yalnızca sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, matris yöntemiyle çözülür.

Bu yöntemi kullanma olasılığı üzerinde kısıtlamalar olmasına ve katsayıların ve yüksek dereceli sistemlerin büyük değerleri için hesaplama zorlukları olmasına rağmen, yöntem bir bilgisayarda kolayca uygulanabilir.

Homojen olmayan bir SLAE çözme örneği.

İlk olarak, bilinmeyen SLAE'ler için katsayı matrisinin determinantının sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim.

şimdi buluyoruz ittifak matrisi, devrik ve ters matrisi belirlemek için formülde yerine koy.

Değişkenleri formülde yerine koyarız:

Şimdi ters matrisi ve serbest terimler sütununu çarparak bilinmeyenleri buluyoruz.

Böyle, x=2; y=1; z=4.

SLAE'nin olağan biçiminden matris biçimine geçerken, sistem denklemlerindeki bilinmeyen değişkenlerin sırasına dikkat edin. örneğin:

Şu şekilde YAZMAYIN:

İlk olarak, sistemin her denklemindeki bilinmeyen değişkenleri sıralamak ve ancak bundan sonra matris notasyonuna geçmek gerekir:

Ek olarak, bilinmeyen değişkenlerin atanması yerine dikkatli olmanız gerekir. x 1 , x 2 , …, xn başka harfler olabilir. Örneğin:

matris formunda şunu yazıyoruz:

Matris yöntemini kullanarak, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısıyla çakıştığı ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfıra eşit olmadığı lineer denklem sistemlerini çözmek daha iyidir. Sistemde 3'ten fazla denklem olduğunda, ters matrisi bulmak daha fazla hesaplama çabası gerektirecektir, bu nedenle, bu durumda, çözmek için Gauss yönteminin kullanılması tavsiye edilir.

Bununla birlikte, uygulamada iki vaka daha yaygındır:

– Sistem tutarsız (çözüm yok);
Sistem tutarlıdır ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

Not : "tutarlılık" terimi, sistemin en azından bir çözümü olduğunu ima eder. Bir dizi görevde, sistemin uyumluluk açısından ön incelemesi gerekir, bunun nasıl yapılacağı - hakkındaki makaleye bakın matris sıralaması.

Bu sistemler için tüm çözüm yöntemlerinin en evrenseli kullanılır - Gauss yöntemi. Aslında, "okul" yöntemi de cevaba götürecektir, ancak yüksek matematikte bilinmeyenlerin ardışık ortadan kaldırılmasına yönelik Gauss yöntemini kullanmak gelenekseldir. Gauss yöntemi algoritmasına aşina olmayanlar lütfen önce dersi çalışsınlar. aptallar için gauss yöntemi.

Temel matris dönüşümlerinin kendileri tamamen aynıdır., fark çözümün sonunda olacaktır. İlk olarak, sistemin çözümü olmayan (tutarsız) birkaç örneği ele alalım.

örnek 1

Bu sistemde hemen gözünüze çarpan nedir? Denklem sayısı değişken sayısından azdır. Denklem sayısı değişken sayısından az ise, o zaman sistemin ya tutarsız olduğunu ya da sonsuz sayıda çözümü olduğunu hemen söyleyebiliriz. Ve sadece öğrenmek için kalır.

Çözümün başlangıcı oldukça sıradan - sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

(1) Sol üst adımda +1 veya -1 almamız gerekiyor. İlk sütunda böyle bir sayı yoktur, bu nedenle satırları yeniden düzenlemek işe yaramaz. Ünite bağımsız olarak organize edilmelidir ve bu birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: İlk satıra, üçüncü satırı -1 ile çarparak ekleyin.

(2) Şimdi ilk sütunda iki sıfır alıyoruz. İkinci satıra 3 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz. Üçüncü satıra 5 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz.

(3) Dönüşüm yapıldıktan sonra, elde edilen dizileri basitleştirmenin mümkün olup olmadığını görmek her zaman tavsiye edilir? Yapabilir. İkinci satırı 2'ye bölüyoruz, aynı zamanda ikinci adımda istenen -1'i alıyoruz. Üçüncü satırı -3'e bölün.

(4) İkinci satırı üçüncü satıra ekleyin.

Muhtemelen herkes, temel dönüşümlerin bir sonucu olarak ortaya çıkan kötü çizgiye dikkat etti: . Bunun böyle olamayacağı açıktır. Gerçekten de, elde edilen matrisi yeniden yazıyoruz lineer denklem sistemine geri dönelim:

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sıfır olmayan bir sayı olan formun bir dizisi elde edilirse, sistem tutarsızdır (çözüm yoktur).

Bir görevin sonu nasıl kaydedilir? Beyaz tebeşirle çizelim: "Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, formun bir çizgisi elde edilir, nerede" ve cevabı verelim: sistemin çözümü yok (tutarsız).

Koşullara göre, uyumluluk için sistemi KEŞFETMEK gerekiyorsa, o zaman konsepti içeren daha sağlam bir tarzda bir çözüm yayınlamak gerekir. matris sıralaması ve Kronecker-Capelli teoremi.

Lütfen burada Gauss algoritmasının ters hareketi olmadığını unutmayın - çözüm yoktur ve bulunacak hiçbir şey yoktur.

Örnek 2

Lineer denklem sistemini çözün

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Tekrar hatırlatırım sizin çözüm yolunuz benim çözüm yolumdan farklı olabilir, Gauss algoritmasının güçlü bir “rijitliği” yoktur.

Çözümün bir teknik özelliği daha: temel dönüşümler durdurulabilir Bir kerede, nerede gibi bir satır kısa sürede . Koşullu bir örnek düşünün: ilk dönüşümden sonra bir matris aldığımızı varsayalım. . Matris henüz kademeli bir forma indirgenmemiştir, ancak formun bir çizgisi göründüğü için daha fazla temel dönüşüme gerek yoktur, burada . Derhal sistemin uyumsuz olduğu yanıtlanmalıdır.

Bir lineer denklem sisteminin çözümü olmadığında, bu neredeyse bir hediyedir, çünkü bazen tam anlamıyla 2-3 adımda kısa bir çözüm elde edilir.

Ancak bu dünyadaki her şey dengelidir ve sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu problem sadece daha uzundur.

Örnek 3

Lineer denklem sistemini çözün

4 denklem ve 4 bilinmeyen vardır, yani sistem ya tek bir çözüme sahip olabilir ya da çözümü olmayabilir ya da sonsuz sayıda çözümü olabilir. Her neyse, ama her durumda Gauss yöntemi bizi cevaba götürecektir. Çok yönlülüğü burada yatmaktadır.

Başlangıç ​​yine standarttır. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu bir adım formuna getiriyoruz:

Hepsi bu ve sen korktun.

(1) İlk sütundaki tüm sayıların 2'ye bölünebildiğine dikkat edin, bu nedenle sol üst basamakta 2 iyidir. İkinci satıra, ilk satırı -4 ile çarparak ekliyoruz. Üçüncü satıra, ilk satırı -2 ile çarparak ekliyoruz. Dördüncü satıra, ilk satırı -1 ile çarparak ekliyoruz.

Dikkat! Birçoğu dördüncü satırdan cezbedilebilir çıkarmakİlk satır. Bu yapılabilir, ancak gerekli değildir, deneyimler, hesaplamalarda hata olasılığının birkaç kat arttığını göstermektedir. Sadece ekleyin: Dördüncü satıra, ilk satırı -1 ile çarparak ekleyin - kesinlikle!

(2) Son üç satır orantılıdır, ikisi silinebilir.

Burada yine göstermek gerekiyor. artan dikkat, ama çizgiler gerçekten orantılı mı? Reasürans için (özellikle bir çaydanlık için), ikinci sırayı -1 ile çarpmak ve dördüncü sırayı 2'ye bölerek üç özdeş sıra elde etmek gereksiz olmayacaktır. Ve ancak bundan sonra ikisini kaldırın.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sistemin genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgenir:

Bir not defterinde bir görevi tamamlarken, netlik için aynı notları kurşun kalemle yapmanız önerilir.

Karşılık gelen denklem sistemini yeniden yazıyoruz:

Sistemin “olağan” tek çözümü burada kokmuyor. Kötü bir çizgi de yok. Bu, bunun kalan üçüncü durum olduğu anlamına gelir - sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bazen duruma göre, sistemin uyumluluğunu araştırmak gerekir (yani, bir çözümün var olduğunu kanıtlamak için), bunu makalenin son paragrafında okuyabilirsiniz. Bir matrisin rankı nasıl bulunur? Ama şimdilik, temelleri parçalayalım:

Sistemin sonsuz çözüm kümesi kısaca sözde şeklinde yazılır. genel sistem çözümü .

Gauss yönteminin ters hareketini kullanarak sistemin genel çözümünü bulacağız.

İlk önce hangi değişkenlere sahip olduğumuzu belirlememiz gerekiyor. temel ve hangi değişkenler Bedava. Lineer cebir terimleriyle uğraşmaya gerek yok, böyle olduğunu hatırlamak yeterli. temel değişkenler ve serbest değişkenler.

Temel değişkenler her zaman kesinlikle matrisin adımlarına "oturur".
Bu örnekte, temel değişkenler ve

Serbest değişkenler her şeydir geriye kalan adım almayan değişkenler. Bizim durumumuzda bunlardan iki tane var: – serbest değişkenler.

şimdi ihtiyacın var Tümü temel değişkenler ifade etmek sadece aracılığıyla serbest değişkenler.

Gauss algoritmasının ters hareketi geleneksel olarak aşağıdan yukarıya doğru çalışır.
Sistemin ikinci denkleminden temel değişkeni ifade ediyoruz:

Şimdi ilk denkleme bakın: . İlk olarak, bulunan ifadeyi onun yerine koyarız:

Temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade etmeye devam ediyor:

Sonuç, ihtiyacınız olan şeydir - Tümü temel değişkenler ( ve ) ifade edilir sadece aracılığıyla serbest değişkenler:

Aslında, genel çözüm hazır:

Genel çözüm nasıl yazılır?
Serbest değişkenler genel çözüme "kendi başlarına" ve kesinlikle yerlerine yazılır. Bu durumda serbest değişkenler ikinci ve dördüncü pozisyonlara yazılmalıdır:
.

Temel değişkenler için elde edilen ifadeler ve açıkça birinci ve üçüncü pozisyonlarda yazılması gerekiyor:

Serbest değişkenler vermek keyfi değerler, sonsuz sayıda var özel kararlar. En popüler değerler sıfırdır, çünkü özel çözüm elde edilmesi en kolay olanıdır. Genel çözümde değiştirin:

özel bir karardır.

Onlar başka bir tatlı çift, hadi genel çözüme geçelim:

başka bir özel çözümdür.

denklem sisteminin olduğunu görmek kolaydır. sonsuz sayıda çözüm(serbest değişkenler verebildiğimiz için hiç değerler)

Her biri belirli bir çözüm tatmin etmelidir her birine sistem denklemi. Bu, çözümün doğruluğunun “hızlı” kontrolünün temelidir. Örneğin, belirli bir çözümü alın ve onu orijinal sistemdeki her denklemin sol tarafına yerleştirin:

Her şeyin bir araya gelmesi gerekiyor. Ve elde ettiğiniz herhangi bir özel çözümle, her şey aynı zamanda yakınsamalıdır.

Ancak, kesin olarak söylemek gerekirse, belirli bir çözümün doğrulanması bazen yanıltıcı olabilir; bazı özel çözümler sistemin her denklemini karşılayabilir ve genel çözümün kendisi aslında yanlış bulunur.

Bu nedenle, genel çözümün doğrulanması daha kapsamlı ve güvenilirdir. Ortaya çıkan genel çözüm nasıl kontrol edilir ?

Kolay, ama oldukça sıkıcı. ifadeleri almamız gerekiyor temel bu durumda değişkenler ve , ve bunları sistemin her denkleminin sol tarafına yerleştirin.

Sistemin ilk denkleminin sol tarafında:

Sistemin ikinci denkleminin sol tarafında:


Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Örnek 4

Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün. Genel bir çözüm ve iki özel çözüm bulun. Genel çözümü kontrol edin.

Bu bir kendin yap örneğidir. Bu arada, burada yine denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından azdır, bu da sistemin ya tutarsız olacağı ya da sonsuz sayıda çözümü olacağı hemen anlaşılır demektir. Karar sürecinin kendisinde önemli olan nedir? Dikkat ve yine dikkat. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve malzemeyi güçlendirmek için birkaç örnek daha

Örnek 5

Bir lineer denklem sistemi çözün. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, iki özel çözüm bulun ve genel çözümü kontrol edin.

Karar: Sistemin artırılmış matrisini yazalım ve elementer dönüşümler yardımıyla adım formuna getirelim:

(1) İlk satırı ikinci satıra ekleyin. Üçüncü satıra 2 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz. Dördüncü satıra 3 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz.
(2) Üçüncü satıra, ikinci satırı -5 ile çarparak ekleyin. Dördüncü satıra, ikinci satırı -7 ile çarparak ekliyoruz.
(3) Üçüncü ve dördüncü satırlar aynı, birini siliyoruz.

İşte böyle bir güzellik:

Temel değişkenler, adımlar üzerine oturur, bu nedenle temel değişkenlerdir.
Adım almayan yalnızca bir serbest değişken vardır:

Ters hareket:
Temel değişkenleri serbest değişken cinsinden ifade ediyoruz:
Üçüncü denklemden:

İkinci denklemi düşünün ve bulunan ifadeyi onun yerine koyun:

İlk denklemi düşünün ve bulunan ifadeleri yerine koyun:

Evet, sıradan kesirleri sayan bir hesap makinesi hala kullanışlıdır.

Yani genel çözüm:

Bir kez daha, nasıl oldu? Serbest değişken, haklı dördüncü sırada tek başına oturur. Temel değişkenler için elde edilen ifadeler de sıralı yerlerini aldı.

Hemen genel çözümü kontrol edelim. Siyahlar için çalış, ama ben zaten yaptım, o yüzden yakala =)

Sistemin her denkleminin sol tarafına üç kahramanı yerleştiriyoruz:

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece genel çözüm doğru bulunur.

Şimdi bulunan genel çözümden iki özel çözüm elde ederiz. Buradaki tek serbest değişken şef. Kafanı kırmana gerek yok.

bırak o zaman özel bir karardır.
bırak o zaman başka bir özel çözümdür.

Cevap: Ortak karar: , özel çözümler: , .

Burada siyahları hatırlamamalıydım ... ... çünkü her türlü sadist motif aklıma geldi ve beyaz tulumlu Ku Klux Klansmen'in siyah bir futboldan sonra sahada koştuğu ünlü fotozhaba'yı hatırladım. oyuncu. Oturup sessizce gülümsüyorum. Ne kadar dikkat dağıtıcı olduğunu biliyorsun….

Çok fazla matematik zararlıdır, bu nedenle bağımsız bir çözüm için benzer bir son örnek.

Örnek 6

Lineer denklem sisteminin genel çözümünü bulun.

Genel çözümü zaten kontrol ettim, cevaba güvenilebilir. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir, asıl mesele genel çözümlerin eşleşmesidir.

Muhtemelen, birçoğu çözümlerde hoş olmayan bir an fark etti: çok sık, Gauss yönteminin tersi sırasında sıradan kesirlerle uğraşmak zorunda kaldık. Pratikte, bu doğrudur, kesirlerin olmadığı durumlar çok daha az yaygındır. Zihinsel ve en önemlisi teknik olarak hazırlıklı olun.

Çözümün çözülmüş örneklerde bulunmayan bazı özellikleri üzerinde duracağım.

Sistemin genel çözümü bazen bir sabiti (veya sabitleri) içerebilir, örneğin: . Burada temel değişkenlerden biri sabit bir sayıya eşittir: . Bunda egzotik bir şey yok, oluyor. Açıkçası, bu durumda, herhangi bir özel çözüm, ilk konumda bir beş içerecektir.

Nadiren, ancak olduğu sistemler vardır denklem sayısı değişken sayısından fazladır. Gauss yöntemi en zorlu koşullarda çalışır; sistemin genişletilmiş matrisini sakince standart algoritmaya göre kademeli bir forma getirmelisiniz. Böyle bir sistem tutarsız olabilir, sonsuz sayıda çözüme sahip olabilir ve garip bir şekilde benzersiz bir çözümü olabilir.

Gauss yönteminin bir takım dezavantajları vardır: Gauss yönteminde gerekli olan tüm dönüşümler gerçekleştirilmeden sistemin tutarlı olup olmadığını bilmek imkansızdır; Gauss yöntemi harf katsayılı sistemler için uygun değildir.

Lineer denklem sistemlerini çözmek için diğer yöntemleri düşünün. Bu yöntemler bir matrisin rank kavramını kullanır ve herhangi bir eklem sisteminin çözümünü Cramer kuralının uygulandığı bir sistemin çözümüne indirger.

örnek 1İndirgenmiş homojen sistemin temel çözüm sistemini ve homojen olmayan sistemin özel bir çözümünü kullanarak aşağıdaki lineer denklem sisteminin genel çözümünü bulun.

1. Bir matris yaparız A ve sistemin artırılmış matrisi (1)

2. Sistemi keşfedin (1) uyumluluk için. Bunu yapmak için matrislerin sıralarını buluruz. A ve https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Öyle olduğu ortaya çıkarsa, sistem (1) uyumsuz. eğer bunu alırsak , o zaman bu sistem tutarlıdır ve bunu çözeceğiz. (Tutarlılık çalışması Kronecker-Capelli teoremine dayanmaktadır).

a. Bulduk rA.

Bulmak rA, matrisin birinci, ikinci, vb. sıralarının sıfır olmayan küçüklerini art arda ele alacağız A ve onları çevreleyen küçükler.

M1=1≠0 (1 matrisin sol üst köşesinden alınır ANCAK).

sınır M1 bu matrisin ikinci satırı ve ikinci sütunu. . Sınıra devam ediyoruz M1 ikinci satır ve üçüncü sütun..gif" width="37" height="20 src=">. Şimdi sıfır olmayan minörleri sınırlıyoruz М2′ ikinci emir.

Sahibiz: (çünkü ilk iki sütun aynı)

(çünkü ikinci ve üçüncü satırlar orantılıdır).

bunu görüyoruz rA=2, ve matrisin temel minörüdür A.

b. Bulduk .

Yeterince temel minör М2′ matrisler Aücretsiz üyeler ve tüm satırlardan oluşan bir sütunla sınır (sadece son satırımız var).

. Bundan şu sonuç çıkıyor М3′′ matrisin temel küçüğü olarak kalır https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Gibi М2′- matrisin temel minörü A sistemler (2) , o zaman bu sistem sisteme eşdeğerdir (3) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (2) (için М2′ A) matrisinin ilk iki satırındadır.

(3)

Temel minör https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> olduğundan (4)

Bu sistemde iki serbest bilinmeyen ( x2 ve x4 ). Böyle FSR sistemler (4) iki çözümden oluşur. Onları bulmak için ücretsiz bilinmeyenler atarız. (4) önce değerler x2=1 , x4=0 , ve daha sonra - x2=0 , x4=1 .

saat x2=1 , x4=0 elde ederiz:

.

Bu sistem zaten Sadece bir şey çözüm (Cramer kuralı veya başka bir yöntemle bulunabilir). İlk denklemi ikinci denklemden çıkararak şunu elde ederiz:

Onun kararı olacak x1= -1 , x3=0 . verilen değerler x2 ve x4 verdiğimiz, sistemin ilk temel çözümünü elde ederiz. (2) : .

şimdi koyduk (4) x2=0 , x4=1 . Alırız:

.

Bu sistemi Cramer teoremini kullanarak çözüyoruz:

.

Sistemin ikinci temel çözümünü elde ederiz. (2) : .

Çözümler β1 , β2 ve makyaj FSR sistemler (2) . O zaman genel çözümü olacak

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Burada C1 , C2 keyfi sabitlerdir.

4. Birini bulun özel karar heterojen sistem(1) . paragrafta olduğu gibi 3 , sistem yerine (1) eşdeğer sistemi düşünün (5) sistemin ilk iki denkleminden oluşan (1) .

(5)

Serbest bilinmeyenleri sağ tarafa aktarıyoruz x2 ve x4.

(6)

Ücretsiz bilinmeyenler verelim x2 ve x4 keyfi değerler, örneğin, x2=2 , x4=1 ve onları fişe takın (6) . hadi sistemi alalım

Bu sistemin benzersiz bir çözümü vardır (çünkü belirleyicisi М2′0). Çözerek (Cramer teoremini veya Gauss yöntemini kullanarak), şunu elde ederiz: x1=3 , x3=3 . Serbest bilinmeyenlerin değerleri verildiğinde x2 ve x4 , alırız homojen olmayan bir sistemin özel çözümü(1)a1=(3,2,3,1).

5. Şimdi yazmaya devam ediyor homojen olmayan bir sistemin genel çözümü α(1) : toplamına eşittir özel karar bu sistem ve indirgenmiş homojen sisteminin genel çözümü (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Anlamı: (7)

6. muayene Sistemi doğru çözüp çözmediğinizi kontrol etmek için (1) , genel bir çözüme ihtiyacımız var (7) yerine koymak (1) . Her denklem bir özdeşlik haline gelirse ( C1 ve C2 imha edilmelidir), o zaman çözüm doğru bulunur.

yerine koyacağız (7) örneğin, sadece sistemin son denkleminde (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Şunu elde ederiz: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Nerede -1=-1. Bir kimliğimiz var. Bunu sistemin diğer tüm denklemleriyle yapıyoruz (1) .

Yorum. Doğrulama genellikle oldukça zahmetlidir. Aşağıdaki "kısmi doğrulamayı" önerebiliriz: sistemin genel çözümünde (1) keyfi sabitlere bazı değerler atayın ve elde edilen özel çözümü yalnızca atılan denklemlere (yani, (1) dahil olmayan (5) ). Kimlik alırsan, o zaman büyük olasılıkla, sistemin çözümü (1) doğru bulundu (ancak böyle bir kontrol tam bir doğruluk garantisi vermez!). Örneğin, eğer (7) koymak C2=- 1 , C1=1, sonra şunu elde ederiz: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. (1) sisteminin son denklemini yerine koyarsak: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yani –1=–1. Bir kimliğimiz var.

Örnek 2 Bir lineer denklem sistemine genel bir çözüm bulun (1) , ana bilinmeyenleri serbest olanlar cinsinden ifade etmek.

Karar. De olduğu gibi örnek 1, matrisler oluştur A ve bu matrislerin https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. Şimdi sadece sistemin denklemlerini bırakıyoruz (1) , katsayıları bu temel minöre dahil olan (yani, ilk iki denklemimiz var) ve bunlardan oluşan sistemi, sistem (1)'e eşdeğer olarak düşünün.

Serbest bilinmeyenleri bu denklemlerin sağ taraflarına aktaralım.

sistem (9) doğru parçaları serbest üyeler olarak kabul ederek Gauss yöntemiyle çözüyoruz.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Seçenek 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Seçenek 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Seçenek 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Seçenek 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Bir lineer denklem sistemi, her biri k değişken içeren n lineer denklemin birleşimidir. Şu şekilde yazılmıştır:

Birçoğu, ilk kez daha yüksek cebirle karşı karşıya kaldıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanırlar. Okul cebirinde bu genellikle böyledir, ancak daha yüksek cebir için bu, genel olarak doğru değildir.

Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her denkleminin çözümü olan bir sayı dizisidir (k 1 , k 2 , ..., kn ), yani. bu denklemde x 1 , x 2 , ..., x n değişkenleri yerine ikame edildiğinde doğru sayısal eşitliği verir.

Buna göre, bir denklem sistemini çözmek, tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ve bilinmeyen sayısı aynı olmayabileceğinden, üç durum mümkündür:

1. Sistem tutarsız, yani. tüm çözümler kümesi boştur. Sistemin hangi yöntemle çözüleceğine bakılmaksızın kolayca tespit edilebilen oldukça nadir bir durum.
2. Sistem tutarlı ve tanımlanmış, yani. tam olarak bir çözümü var. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.
3. Sistem tutarlı ve tanımsızdır, yani. sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. "Sistemin sonsuz bir çözüm kümesi vardır" demek yeterli değildir - bu kümenin nasıl düzenlendiğini açıklamak gerekir.

x i değişkenine, sistemin yalnızca bir denkleminde ve 1 katsayısında yer alıyorsa izin verilir. Başka bir deyişle, geri kalan denklemlerde, x i değişkeninin katsayısı sıfıra eşit olmalıdır.

Her denklemde bir izin verilen değişken seçersek, tüm denklem sistemi için bir dizi izin verilen değişken elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisi de izinli olarak adlandırılacaktır. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı ilk sistem, izin verilen farklı sistemlere indirgenebilir, ancak bu bizi şimdi ilgilendirmiyor. İşte izin verilen sistem örnekleri:

Her iki sisteme de x 1 , x 3 ve x 4 değişkenlerine göre izin verilir. Ancak aynı başarı ile x 1 , x 3 ve x 5'e göre ikinci sisteme izin verildiği iddia edilebilir. En son denklemi x 5 = x 4 biçiminde yeniden yazmak yeterlidir.

Şimdi daha genel bir durum düşünün. Toplamda, r'sine izin verilen k değişkenimiz olduğunu varsayalım. O zaman iki durum mümkündür:

1. İzin verilen değişkenlerin sayısı r, toplam değişken sayısı k : r = k'ye eşittir. r = k izin verilen değişkenlerin olduğu bir k denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistem işbirlikçi ve kesindir, çünkü x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. İzin verilen değişkenlerin sayısı r, toplam değişken sayısından azdır : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dolayısıyla yukarıdaki sistemlerde x 2 , x 5 , x 6 (birinci sistem için) ve x 2 , x 5 (ikinci sistem için) değişkenleri serbesttir. Serbest değişkenlerin olduğu durum, bir teorem olarak daha iyi formüle edilir:

Lütfen dikkat: Bu çok önemli bir nokta! Son sistemi nasıl yazdığınıza bağlı olarak, aynı değişkene hem izin verilebilir hem de serbest olabilir. Gelişmiş matematik öğretmenlerinin çoğu, değişkenleri sözlük sırasına göre yazmayı önerir, yani. artan indeks Ancak, bu tavsiyeye kesinlikle uymak zorunda değilsiniz.

Teorem. n denklemli bir sistemde x 1 , x 2 , ..., x r değişkenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1 , x r + 2 , ..., x k serbest ise, o zaman:

1. Serbest değişkenlerin (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) değerlerini ayarlarsak ve ardından x 1 , x 2 , değerlerini bulursak. .., x r , çözümlerden birini elde ederiz.
2. İki çözümdeki serbest değişkenlerin değerleri aynıysa, izin verilen değişkenlerin değerleri de aynıdır, yani. çözümler eşittir.

Bu teoremin anlamı nedir? İzin verilen denklem sisteminin tüm çözümlerini elde etmek için serbest değişkenleri ayırmak yeterlidir. Ardından serbest değişkenlere farklı değerler atayarak hazır çözümler elde edeceğiz. Hepsi bu - bu şekilde sistemin tüm çözümlerini elde edebilirsiniz. Başka çözümler yok.

Sonuç: izin verilen denklem sistemi her zaman uyumludur. İzin verilen sistemdeki denklem sayısı değişken sayısına eşitse sistem belirli, daha az ise belirsiz olacaktır.

Ve her şey yoluna girecek, ancak soru ortaya çıkıyor: orijinal denklem sisteminden çözülen nasıl elde edilir? Bunun için var