Bir matematik öğretmenini dinlerken çoğu öğrenci materyali bir aksiyom olarak algılar. Aynı zamanda, çok az insan dibe inmeye ve “eksi” nin “artı” nın neden “eksi” işareti verdiğini anlamaya çalışır ve iki negatif sayıyı çarparken pozitif bir sayı çıkar.

Matematik Kanunları

Çoğu yetişkin kendilerine veya çocuklarına bunun neden olduğunu açıklayamaz. Bu materyali okulda iyice öğrenmişlerdi, ancak bu tür kuralların nereden geldiğini bulmaya çalışmadılar bile. Ama boşuna. Çoğu zaman, modern çocuklar o kadar saf değildir, konunun dibine inmeleri ve "eksi" üzerindeki "artı" nın neden "eksi" verdiğini anlamaları gerekir. Ve bazen erkek fatma yetişkinlerin anlaşılır bir cevap veremediği anın tadını çıkarmak için kasten zor sorular sorarlar. Ve genç bir öğretmenin başı belaya girerse bu gerçekten bir felaket olur ...

Bu arada, yukarıda belirtilen kuralın hem çarpma hem de bölme için geçerli olduğunu belirtmek gerekir. Negatif ve pozitif bir sayının çarpımı sadece eksi verir. “-” işaretli iki basamaktan bahsediyorsak, sonuç pozitif bir sayı olacaktır. Aynı şey bölme için de geçerli. Sayılardan biri negatifse, bölüm de "-" işaretli olacaktır.

Bu matematik yasasının doğruluğunu açıklamak için halkanın aksiyomlarını formüle etmek gerekir. Ama önce ne olduğunu anlamalısın. Matematikte, bir halkayı iki elemanlı iki işlemin yer aldığı bir küme olarak adlandırmak gelenekseldir. Ancak bunu bir örnekle anlamak daha iyidir.

halka aksiyomu

Birkaç matematik kanunu vardır.

• Bunlardan birincisi yer değiştirebilir, ona göre C+V=V+C.
• İkincisi çağrışımsal (V + C) + D = V + (C + D) olarak adlandırılır.

Çarpma (V x C) x D \u003d V x (C x D) de bunlara uyar.

Parantezlerin açıldığı (V + C) x D = V x D + C x D kurallarını kimse iptal etmedi, C x (V + D) = C x V + C x D olduğu da doğrudur.

Ek olarak, halkaya, aşağıdakilerin doğru olacağı özel, ilaveden bağımsız bir elemanın eklenebileceği tespit edilmiştir: C + 0 = C. Ek olarak, her C için bir zıt eleman vardır, bu eleman kullanılabilir. (-C) olarak gösterilmelidir. Bu durumda, C + (-C) \u003d 0.

Negatif sayılar için aksiyomların türetilmesi

Yukarıdaki ifadeleri kabul ederek şu soruya cevap verebiliriz: "Eksi" üzerindeki "artı" hangi işareti verir? Negatif sayıların çarpımı hakkındaki aksiyomu bilerek, gerçekten (-C) x V = -(C x V) olduğunu doğrulamak gerekir. Ayrıca şu eşitlik doğrudur: (-(-C)) = C.

Bunu yapmak için önce her bir öğenin yalnızca bir zıt "kardeşi" olduğunu kanıtlamamız gerekir. Aşağıdaki kanıt örneğini düşünün. C - V ve D için iki sayının zıt olduğunu hayal etmeye çalışalım. Bundan C + V = 0 ve C + D = 0, yani C + V = 0 = C + D çıkar. Yer değiştirme yasalarını hatırlamak ve 0 sayısının özellikleri hakkında, üç sayının toplamını düşünebiliriz: C, V ve D. V'nin değerini bulmaya çalışalım. V = V + 0 = V + (C +) olması mantıklıdır. D) = V + C + D, çünkü yukarıda kabul edildiği gibi C + D'nin değeri 0'a eşittir. Dolayısıyla V = V + C + D.

D değeri aynı şekilde türetilir: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Buna dayanarak V = D olduğu anlaşılır.

Bununla birlikte, “eksi” üzerindeki “artı”nın neden “eksi” verdiğini anlamak için aşağıdakileri anlamanız gerekir. Yani, (-C) elemanı için zıt C ve (-(-C))'dir, yani birbirlerine eşittirler.

O zaman 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V olduğu açıktır. Bundan, C x V'nin (-) C x V'nin karşısında olduğu sonucu çıkar. , yani (- C) x V = -(C x V).

Tam bir matematiksel kesinlik için, herhangi bir eleman için 0 x V = 0 olduğunu doğrulamak da gereklidir. Mantığı izlerseniz, 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Bu, 0 x V ürününün eklenmesinin ayarlanan miktarı hiçbir şekilde değiştirmediği anlamına gelir. Sonuçta, bu ürün sıfıra eşittir.

Tüm bu aksiyomları bilerek, yalnızca "eksi" ile ne kadar "artı" verdiğini değil, aynı zamanda negatif sayılar çarpıldığında ne olduğunu da çıkarmak mümkündür.

"-" işareti ile iki sayının çarpımı ve bölümü

Matematiksel nüansları araştırmazsanız, eylem kurallarını negatif sayılarla daha basit bir şekilde açıklamaya çalışabilirsiniz.

Buna dayanarak C - (-V) = D olduğunu varsayalım, C = D + (-V), yani C = D - V. V'yi aktarıyoruz ve C + V = D'yi elde ediyoruz. Yani, C + V = C - (-V). Bu örnek, arka arkaya iki "eksi" olan bir ifadede, belirtilen işaretlerin neden "artı" olarak değiştirilmesi gerektiğini açıklar. Şimdi çarpma işlemiyle ilgilenelim.

(-C) x (-V) \u003d D, ifadeye iki özdeş ürün eklenebilir ve çıkarılabilir, bu değerini değiştirmez: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Parantezlerle çalışma kurallarını hatırlayarak şunları elde ederiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan C x V \u003d (-C) x (-V) çıkar.

Benzer şekilde, iki negatif sayıyı bölmenin sonucunun da pozitif olacağını ispatlayabiliriz.

Genel matematiksel kurallar

Elbette böyle bir açıklama, soyut negatif sayıları yeni öğrenmeye başlayan ilkokul öğrencileri için uygun değildir. Tanıdık terimi aynadan manipüle ederek görünür nesneler üzerinde açıklama yapmak onlar için daha iyidir. Örneğin icat edilmiş, ancak mevcut olmayan oyuncaklar orada bulunur. "-" işareti ile gösterilebilirler. İki aynalı nesnenin çarpımı onları şimdiki zamana eşit olan başka bir dünyaya aktarır, yani sonuç olarak pozitif sayılara sahibiz. Ancak soyut bir negatif sayının pozitif bir sayıyla çarpımı yalnızca herkesin bildiği sonucu verir. Sonuçta, "artı" ile "eksi" çarpıldığında "eksi" verir. Doğru, çocuklar tüm matematiksel nüansları araştırmak için çok fazla uğraşmazlar.

Gerçekle yüzleşirseniz, birçok insan için, hatta yüksek öğrenim görmüş olsanız bile, birçok kural bir sır olarak kalır. Herkes, öğretmenlerinin onlara öğrettiklerini doğal karşılar, matematiğin içerdiği tüm karmaşıklıkları araştırmak için bir kayıp değil. "Eksi" üzerindeki "Eksi", "artı" verir - herkes bunu istisnasız bilir. Bu hem tam sayılar hem de kesirli sayılar için geçerlidir.

Line UMK G.K. Muravina, O.V. Muravina. Matematik (5-6)

Matematik

Neden eksi çarpı eksi her zaman artı verir?

Doğal sayıların faydaları

İlk olarak, aritmetik tarihine dalalım. İnsanların başlangıçta sadece doğal sayıları kullanmaları oldukça doğaldır - bir, iki, üç vb. Gerçek öğe sayısını hesaplamak için kullanıldılar. Aynen böyle, her şeyden ayrı olarak, sayılar işe yaramazdı, bu yüzden sayılarla çalışmayı mümkün kılan eylemler ortaya çıkmaya başladı. Eklemenin bir kişi için en gerekli hale gelmesi kesinlikle mantıklı. Bu işlem basit ve doğaldır - öğelerin sayısını saymak daha kolay hale geldi, şimdi her seferinde tekrar saymaya gerek yoktu - “bir, iki, üç”. Skoru değiştirmek artık "bir artı iki eşittir üç" eylemi kullanılarak mümkün. Doğal sayılar eklendi, cevap da doğal sayıydı.

Çarpma aslında aynı toplamaydı. Uygulamada şimdi bile örneğin alışveriş yaparken atalarımızın uzun zaman önce yaptığı gibi toplama ve çarpma işlemlerini de kullanıyoruz. Ancak bazen çıkarma ve bölme işlemlerini yapmak gerekliydi. Ve sayılar her zaman eşit değildi - bazen çıkardıkları sayı, çıkarılan sayıdan daha azdı. Bölme ile aynı. Böylece kesirli sayılar ortaya çıktı.

Negatif sayıların görünümü

Negatif sayıların kayıtları, MS 7. yüzyılda Hint belgelerinde ortaya çıktı. Çin belgelerinde bu matematiksel "gerçeğin" daha eski kayıtları var.

Hayatta, çoğu zaman daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayı çıkarırız. Örneğin: 100 rublem var, ekmek ve sütün maliyeti 65 ruble; 100 - 65 = 35 ruble değişimi. Maliyeti kalan 35 rubleyi aşan başka bir ürün almak istersem, örneğin bir süt daha, o zaman ne kadar almak istesem de, daha fazla param yok, bu yüzden yok' Negatif sayılara gerek yok.

Ancak modern yaşamdan bahsetmeye devam ederken, kredi kartlarından ya da bir mobil operatörün arama yaparken “eksi duruma geçme” yeteneğinden bahsedelim. Sahip olduğunuzdan daha fazla para harcamak mümkün hale gelir, ancak borçlu olduğunuz para kaybolmaz, borca ​​​​yazılır. Ve burada negatif sayılar zaten kurtarmaya geliyor: kartta 100 ruble var, ekmek ve iki süt bana 110 rubleye mal olacak; satın alma işleminden sonra karttaki bakiyem -10 ruble.

Pratik olarak aynı amaçlar için ilk kez negatif sayılar kullanmaya başladılar. Çinliler bunları borçları yazmak veya denklemlerin ara çözümlerinde ilk kullananlardı. Ancak kullanım yine de yalnızca pozitif bir sayıya gelmek içindi (ancak kredi kartı geri ödememiz gibi). Negatif sayıların uzun süre reddedilmesi, belirli nesneleri ifade etmemeleri gerçeğiyle kolaylaştırıldı. On jeton on jeton, işte buradalar, onlara dokunabilirsiniz, onlarla mal satın alabilirsiniz. "Eksi on jeton" ne anlama geliyor? Borç da olsa beklenir. Bu borcun iade edilip edilmeyeceği, “kaydedilen” coinlerin gerçek olup olmayacağı bilinmiyor. Bir problem çözülürken negatif bir sayı elde edilmişse, yanlış cevap geldiği veya hiç cevap olmadığı düşünülmüştür. Bu güvensizlik insanlar arasında uzun süre devam etti, matematikte çığır açan Descartes (17. yüzyıl) bile negatif sayıları “yanlış” olarak değerlendirdi.

Kılavuzun görevleri, matematik öğretiminin dördüncü yılının ana konularına hakim olmada olası zorlukları önlemenize, mekansal temsillerin geliştirilmesine, öğrencilerin geometrik gözlemlenmesine ve kendi kendini kontrol etme becerilerinin oluşturulmasına yardımcı olur.

Negatif sayılarla eylemler için kuralların oluşturulması

9x-12=4x-2 denklemini düşünün. Denklemi çözmek için bilinmeyenli terimleri bir tarafa, bilinen sayıları diğer tarafa taşımanız gerekir. Bu iki şekilde yapılabilir.

İlk yol.

Denklemin bilinmeyen kısmını sola, diğer sayıları sağa kaydırıyoruz. Çıkıyor:

Cevap bulundu. Yapmamız gereken tüm işlemler için asla negatif sayılar kullanmaya başvurmadık.

İkinci yol.

Şimdi denklemin bilinmeyen kısmını sağa, kalan terimleri sola aktarıyoruz. Alırız:

Çözümü bulmak için bir negatif sayıyı diğerine bölmemiz gerekir. Ancak, önceki çözümde zaten doğru cevabı aldık - bu x eşittir ikiye. Bu nedenle, (-10)/(-5)=2 olduğu sonucunu çıkarmak kalır.

Aynı denklemi çözmenin bu iki yolu bize neyi kanıtlıyor? Açıklığa kavuşan ilk şey, negatif sayılarla işlem yapmanın yeterliliğinin nasıl çıkarıldığıdır - elde edilen cevap, yalnızca doğal sayıları kullanarak çözme ile aynı olmalıdır. İkinci nokta, negatif olmayan bir sayıyı hatasız elde etmek için artık değerler hakkında düşünmenize gerek olmadığı gerçeğidir. Özellikle karmaşık denklemler için çözmenin en uygun yolunu seçebilirsiniz. Bazı işlemler (yalnızca doğal sayılar olması için yapılması gerekenler, ondan çıkarmak için hangi sayının daha büyük olduğu vb.) hakkında düşünmemeyi mümkün kılan eylemler, matematiğin "soyutlanması" yolundaki ilk adımlar oldu. .

Doğal olarak, negatif sayılarla tüm eylem kuralları aynı anda oluşturulmadı. Çözümler biriktirildi, örnekler genelleştirildi, temel olarak ana aksiyomları yavaş yavaş “çıkarmaya” başladılar. Matematiğin gelişmesiyle, yeni kuralların yayınlanmasıyla birlikte yeni soyutlama seviyeleri ortaya çıktı. Örneğin, on dokuzuncu yüzyılda tam sayıların ve polinomların farklı görünseler de pek çok ortak noktası olduğu kanıtlandı. Hepsi toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Uydukları kurallar onları bir şekilde etkiler. Bazı tam sayıların diğerlerine bölünmesine gelince, burada ilginç bir gerçek “bekler” - cevap her zaman bir tam sayı olmayacaktır. Aynı yasa polinomlar için de geçerlidir.

Daha sonra, bu tür işlemleri gerçekleştirmenin mümkün olduğu diğer birçok matematiksel nesne koleksiyonu ortaya çıktı: resmi kuvvet serileri, sürekli fonksiyonlar ... Zamanla, matematikçiler işlemlerin özelliklerini inceledikten sonra, uygulamanın mümkün olacağını buldular. tüm bu nesne koleksiyonlarının sonuçları. Aynı şey modern matematik için de geçerlidir.

Daha ilginç şeyler:

• 2018/2019 eğitim öğretim yılında bir matematik öğretmeninin çalışmalarının özellikleri
• Öğretmenlerin ilkokulda matematik öğretirken yaptıkları tipik hatalar
• İlkokulda matematikte ders dışı etkinlikler

Tamamen matematiksel yaklaşım

Zamanla, matematikçiler yeni bir terim belirlediler - halka. Bir halka, üzerlerinde gerçekleştirilebilecek bir dizi eleman ve işlemdir. Kümenin öğelerinin doğası değil, eylemlerin tabi olduğu kurallar (aksiyomların kendisi) temel hale gelir. Aksiyomların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan yapının önceliğini vurgulamak için genellikle "halka" terimi kullanılır: tamsayılar halkası, polinomlar halkası, vb. Aksiyomları kullanarak ve onlardan yola çıkarak ortaya çıkabilir. halkaların yeni özellikleri.

Tam sayılarla işlem aksiyomlarına benzer şekilde halkanın kurallarını formüle ediyoruz ve herhangi bir halkada eksi ile eksiyi çarpmanın bir artı ile sonuçlandığını kanıtlıyoruz.

Bir halka, geleneksel olarak toplama ve çarpma olarak adlandırılan ve aşağıdaki aksiyomları içeren iki ikili işlem (her işlem halkanın iki öğesini içerir) içeren bir kümedir:

Halka elemanlarının eklenmesi, değişmeli (A ve B elemanları için A + B = B + A) ve birleşimsel (A + (B + C) = (A + B) + C) yasalarına uyar; halka, A + 0 = A olacak şekilde özel bir 0 elemanına (toplama yoluyla nötr bir eleman) sahiptir ve A'nın herhangi bir elemanı için, A + (-A) = 0 olacak şekilde bir zıt eleman ((-A) ile gösterilir) vardır. ;

Çarpma, kombinasyon yasasına uyar: A (B C) = (A B) C;

Toplama ve çarpma, aşağıdaki parantez genişletme kurallarıyla ilişkilidir:

(A + B) C = A C + B C

A (B + C) = A B + A C.

Halkaların, en genel yapıda, permutable olması için çarpmanın, tersine çevrilebilirliğinin (bölme işlemi her zaman mümkün değildir) veya bir birimin - çarpmaya göre nötr bir öğenin - varlığının gerekmediğini açıklığa kavuşturalım. Bu aksiyomları tanıtırsak, diğer cebirsel yapılar elde ederiz, ancak tüm geçerli teoremler halkalar için kanıtlanmıştır.

Matematik. 6. sınıf. 1 numaralı çalışma kitabı.

Çalışma kitabı, yeni materyallerde uzmanlaşmak ve birleştirmek için çeşitli görev türleri, gelişen nitelikteki görevler, farklılaştırılmış öğrenmeye izin veren ek görevler içerir. Defter "Matematik" ders kitabı ile birlikte kullanılır. Eğitim ve metodolojik kitler sistemine dahil olan 6. Sınıf "(ed. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir)," Başarı Algoritması ".

Sonraki adım, keyfi bir halkanın herhangi bir A ve B elemanı için aşağıdakilerin doğru olduğunu kanıtlamaktır: (-A) B = -(A B) ve (-(-A)) = A.

Bundan birimler hakkında ifadeler alıyoruz:

(-1) 1 = -(1 1) = -1

(-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Ardından, bazı noktaları kanıtlamamız gerekiyor. İlk olarak, her element için sadece bir zıtlığın varlığını tespit etmek gerekir. A öğesinin iki zıt öğeye sahip olduğunu varsayalım: B ve C. Yani, A + B \u003d 0 \u003d A + C. A + B + C toplamını analiz edelim. Değişmeli ve ilişkisel yasaların yanı sıra özelliklerini kullanarak sıfır, toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:

B:B=B+0=B+(A+C)=A+B+C

C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.

Bu nedenle, B = C.

Hem A hem de (-(-A)) öğesinin (-A) öğesinin karşısında olduğuna dikkat edin. Dolayısıyla A ve (-(-A)) öğelerinin eşit olması gerektiği sonucuna varıyoruz.

onlar. (-A) B, A B'nin tersidir, yani -(A B)'ye eşittir.

B'nin herhangi bir elemanı için 0 · B = 0 olduğuna dikkat edin.

0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B,

dolayısıyla 0 B eklemek toplamı değiştirmez. Bu ürünün sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı.

Gerçekten, neden? En kolay cevap şudur: "Çünkü bunlar negatif sayılarla çalışmanın kurallarıdır." Okulda öğrendiğimiz ve hayatımız boyunca uyguladığımız kurallar. Ancak, ders kitapları kuralların neden böyle olduğunu açıklamaz. Hatırladık - bu kadar ve artık soruyu sormuyoruz.

Ve soralım...

Uzun zaman önce, insanlar tarafından yalnızca doğal sayılar biliniyordu: 1, 2, 3, ... Mutfak eşyaları, av, düşman vb. Saymak için kullanılıyorlardı. Ancak sayıların kendileri oldukça işe yaramaz - başa çıkabilmeniz gerekir. onlara. Toplama açık ve anlaşılırdır ve ayrıca iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır (bir matematikçi doğal sayılar kümesinin toplama işlemi altında kapalı olduğunu söyler). Çarpma, aslında, doğal sayılardan bahsediyorsak, aynı toplamadır. Hayatta, genellikle bu iki işlemle ilgili eylemleri gerçekleştiririz (örneğin, alışveriş yaparken, toplar ve çarparız) ve atalarımızın bunlarla daha az karşılaştığını düşünmek gariptir - toplama ve çarpma, insanlık tarafından çok uzun bir süre ustalaşmıştır. evvel. Genellikle bir miktarı diğerine bölmek gerekir, ancak burada sonuç her zaman doğal bir sayı ile ifade edilmez - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı.

Çıkarma, elbette, vazgeçilmezdir. Ancak pratikte, küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarma eğilimindeyiz ve negatif sayıları kullanmaya gerek yok. (5 şekerim varsa ve 3'ünü kardeşime verirsem 5 - 3 = 2 şekerim olur ama ona 7 şekeri tüm isteğimle veremem.) Bu, insanların neden negatif sayıları kullanmadığını açıklayabilir. uzun zamandır.


Negatif sayılar MS 7. yüzyıla ait Hint belgelerinde görülmektedir; Çinliler, görünüşe göre, onları biraz daha erken kullanmaya başladılar. Borçları hesaba katmak için veya denklemlerin çözümünü basitleştirmek için ara hesaplamalarda kullanıldılar - bu sadece olumlu bir cevap almak için bir araçtı. Negatif sayıların pozitiflerden farklı olarak herhangi bir varlığı ifade etmemesi ciddi bir güvensizlik yarattı. Kelimenin tam anlamıyla insanlar negatif sayılardan kaçındılar: sorun olumsuz bir yanıt aldıysa, hiçbir yanıt olmadığına inanıyorlardı. Bu güvensizlik çok uzun bir süre devam etti ve modern matematiğin "kurucularından" biri olan Descartes bile onları "yanlış" olarak nitelendirdi (17. yüzyılda!).

Örneğin, 7x - 17 \u003d 2x - 2 denklemini düşünün. Aşağıdaki gibi çözülebilir: bilinmeyen terimleri sola ve gerisini sağa hareket ettirin, 7x - 2x \u003d 17 - 2 elde edersiniz, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Bununla Çözümde negatif sayılarla bile karşılaşmadık.

Ama farklı bir şekilde de yapılabilirdi: bilinmeyenli terimleri sağa kaydır ve 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x olsun. Bilinmeyeni bulmak için bir negatif sayıyı diğerine bölmeniz gerekir: x = (-15)/(-5). Ancak doğru cevap biliniyor ve (-15)/(-5) = 3 olduğu sonucuna varmak gerekiyor.

Bu basit örnek neyi gösteriyor? İlk olarak, negatif sayılarla ilgili eylemlerin kurallarını belirleyen mantık netleşir: bu eylemlerin sonuçları, negatif sayılar olmadan farklı bir şekilde elde edilen cevaplarla eşleşmelidir. İkinci olarak, negatif sayıların kullanımına izin vererek, tüm işlemlerin yalnızca doğal sayılar üzerinde gerçekleştirildiği çözüm yolunu aramaktan (denklem daha karmaşık olduğu ortaya çıkarsa, çok sayıda terimden) kurtuluruz. Ayrıca, artık dönüştürülen niceliklerin anlamlılığı hakkında her zaman düşünemeyiz - ve bu, matematiği soyut bir bilime dönüştürme yolunda atılmış bir adımdır.

Negatif sayılarla ilgili eylemler için kurallar hemen oluşturulmadı, ancak uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkan sayısız örneğin bir genellemesi haline geldi. Genel olarak, matematiğin gelişimi şartlı olarak aşamalara ayrılabilir: sonraki her aşama, nesnelerin incelenmesinde yeni bir soyutlama düzeyi ile bir öncekinden farklıdır. Böylece, 19. yüzyılda matematikçiler, tam sayıların ve polinomların, tüm dış farklılıklarına rağmen, çok ortak noktaları olduğunu fark ettiler: her ikisi de toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Bu işlemler, hem sayılar hem de polinomlar durumunda aynı yasalara uyar. Ancak tam sayıların, sonucun yine tamsayı olması için birbirine bölünmesi her zaman mümkün değildir. Aynısı polinomlar için de geçerlidir.

Daha sonra, üzerinde bu tür işlemlerin gerçekleştirilebileceği diğer matematiksel nesne koleksiyonları keşfedildi: resmi kuvvet serileri, sürekli fonksiyonlar ... Son olarak, işlemlerin özelliklerini incelerseniz sonuçların tüm bunlara uygulanabileceği anlaşıldı. nesne koleksiyonları (bu yaklaşım tüm modern matematik için tipiktir).

Sonuç olarak yeni bir konsept ortaya çıktı: yüzük. Bu sadece bir grup öğe ve bunlar üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemlerdir. Buradaki temel kurallar, kümenin öğelerinin doğası değil (işte burada, yeni bir soyutlama düzeyi!) eylemlere tabi olan kurallardır (bunlara aksiyom denir). Önemli olanın, aksiyomların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan yapı olduğunu vurgulamak isteyen matematikçiler, tamsayılar halkası, polinomlar halkası vb. derler. Aksiyomlardan başlayarak halkaların başka özellikleri türetilebilir.

Halkanın aksiyomlarını formüle edeceğiz (tabii ki tamsayılarla işlem kurallarına benzerler) ve sonra herhangi bir halkada eksi ile eksiyi çarpmanın bir artı ile sonuçlandığını kanıtlayacağız.

Bir halka, geleneksel olarak toplama ve çarpma olarak adlandırılan iki ikili işlem (yani, halkanın iki öğesi her işlemde yer alır) ve aşağıdaki aksiyomlardan oluşan bir kümedir:

Halka elemanlarının eklenmesi, değişmeli (A ve B elemanları için A + B = B + A) ve birleşimsel (A + (B + C) = (A + B) + C) yasalarına uyar; halka, A + 0 = A olacak şekilde özel bir 0 elemanına (toplama yoluyla nötr bir eleman) sahiptir ve A'nın herhangi bir elemanı için, A + (-A) = 0 olacak şekilde bir zıt eleman ((-A) ile gösterilir) vardır. ;
- çarpma, kombinasyon yasasına uyar: A (B C) = (A B) C;
Toplama ve çarpma, aşağıdaki parantez genişletme kurallarıyla ilişkilidir: (A + B) C = A C + B C ve A (B + C) = A B + A C.

Halkaların, en genel yapıda, permüte olması için çarpma gerektirmediğini, tersine çevrilemediğini (yani, bölmenin her zaman mümkün olmadığını) ve bir birimin, nötr bir öğenin varlığını gerektirmediğini not ediyoruz. çarpma saygısı. Bu aksiyomlar tanıtılırsa, diğer cebirsel yapılar elde edilir, ancak halkalar için kanıtlanmış tüm teoremler bunlarda doğru olacaktır.

Şimdi rastgele bir halkanın herhangi bir A ve B elemanı için, ilk olarak, (-A) B = -(A B) ve ikinci olarak (-(-A)) = A olduğunu ispatlayalım. Bu, birimlerle ilgili ifadeleri kolayca ima eder: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 ve (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Bunu yapmak için bazı gerçekleri belirlememiz gerekiyor. İlk önce her elementin sadece bir zıttı olabileceğini kanıtlıyoruz. Gerçekten de, A öğesinin iki zıt öğeye sahip olmasına izin verin: B ve C. Yani, A + B = 0 = A + C. A + B + C toplamını düşünün. Birleştirici ve değişmeli yasaları ve sıfır özelliğini kullanarak, şunu anla, bir yandan toplam B'ye eşittir: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C ve diğer yandan C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Dolayısıyla, B = C.

Şimdi hem A hem de (-(-A)) aynı öğenin (-A) karşıtları olduğuna dikkat edin, bu nedenle eşit olmaları gerekir.

İlk olgu şu şekilde elde edilir: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yani (-A) B, A B'nin tersidir, yani eşittir - (A B).

Matematiksel olarak kesin olmak için, B'nin herhangi bir elemanı için neden 0·B = 0 olduğunu da açıklayalım. Gerçekten de, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Yani 0 B eklemek toplamı değiştirmez. Yani bu ürün sıfıra eşittir.

Ve halkada tam olarak bir sıfır olduğu gerçeğini (sonuçta aksiyomlar böyle bir öğenin var olduğunu söylüyor, ancak benzersizliği hakkında hiçbir şey söylenmiyor!), basit bir alıştırma olarak okuyucuya bırakacağız.

Evgeny Epifanov

Eksi ve artı, matematikte negatif ve pozitif sayıların işaretleridir. Kendileriyle farklı şekillerde etkileşime girerler, bu nedenle, örneğin bölme, çarpma, çıkarma, toplama vb. gibi sayılarla herhangi bir işlem yaparken, dikkate alınması gerekir. imza kuralları. Bu kurallar olmadan, en basit cebirsel veya geometrik problemi bile çözemezsiniz. Bu kuralları bilmeden sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji ve hatta coğrafya da çalışamazsınız.

İşaretlerin temel kurallarını daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Bölünme.

"Artı"yı "eksi"ye bölersek her zaman "eksi" elde ederiz. "Eksi"yi "artı"ya bölersek, daima "eksi" de alırız. "Artı"yı "artı"ya bölersek "artı" elde ederiz. “Eksi”yi “eksi”ye bölersek, garip bir şekilde “artı” da elde ederiz.

Çarpma işlemi.

"Eksi"yi "artı" ile çarparsak, daima "eksi" elde ederiz. "Artı"yı "eksi" ile çarparsak, her zaman "eksi" de alırız. "Artı"yı "artı" ile çarparsak, pozitif bir sayı, yani "artı" elde ederiz. Aynı şey iki negatif sayı için de geçerlidir. "Eksi"yi "eksi" ile çarparsak "artı" elde ederiz.

Çıkarma ve toplama.

Başka ilkelere dayanırlar. Negatif bir sayı mutlak değerde pozitif olandan daha büyükse, sonuç elbette negatif olacaktır. Elbette, bir modülün ne olduğunu ve neden burada olduğunu merak ediyorsunuz. Her şey çok basit. Modül, bir sayının değeridir, ancak işareti yoktur. Örneğin -7 ve 3. Modulo -7 sadece 7 olacak ve 3 3 kalacak. Sonuç olarak, 7'nin daha büyük olduğunu görüyoruz, yani negatif sayımızın daha büyük olduğu ortaya çıkıyor. Böylece -7 + 3 \u003d -4 çıkacak. Daha da kolay hale getirilebilir. Sadece ilk etapta pozitif bir sayı koyun ve 3-7 = -4 çıkacaktır, belki birileri için daha anlaşılır olur. Çıkarma tam olarak aynı şekilde çalışır.

Doğal sayıları, adi ve ondalık kesirleri çarpma yeteneğini pekiştirmek;

Pozitif ve negatif sayıları çarpmayı öğrenin;

Gruplar halinde çalışma yeteneğini geliştirmek

Merak, matematiğe ilgi geliştirmek; bir konu üzerinde düşünme ve konuşma yeteneği.

Teçhizat: termometre ve ev modelleri, zihinsel sayım ve test çalışmaları için kartlar, çarpma işaretleri kurallarını içeren bir poster.

Motivasyon

Öğretmen . Bugün yeni bir konu keşfetmeye başlıyoruz. Yeni bir ev inşa edeceğiz. Söyle bana, evin gücünü ne belirler?

Şimdi temelimizin ne olduğuna, yani bilgimizin gücüne bakalım. Sana dersin konusunu söylemedim. Kodlanmıştır, yani sözlü sayma görevinde gizlenmiştir. Dikkatli ve gözlemci olun. İşte örnekli kartlar. Bunları çözerek ve harfi cevapla eşleştirerek dersin konusunun adını öğreneceksiniz.

Öğretmen. Yani bu kelime çarpmadır. Ama çarpma işlemine zaten aşinayız. Neden onu incelememiz gerekiyor? En son hangi numaralarla tanıştınız?

[Olumlu ve olumsuz ile.]

Onları çoğaltabilir miyiz? Bu nedenle dersin konusu "Pozitif ve negatif sayıların çarpımı" olacaktır.

Örnekleri hızlı ve doğru bir şekilde çözdünüz. İyi bir temel atıldı. ( Model evde öğretmen « bırakır» Yapı temeli.) Evin dayanıklı olacağını düşünüyorum.

Yeni bir konu keşfetmek

Öğretmen . Şimdi duvarlar inşa edelim. Zemini ve çatıyı, yani eski temayı yenisiyle birleştirirler. Artık gruplar halinde çalışacaksınız. Her gruba birlikte çözmeleri için bir problem verilecek ve ardından çözümü sınıfa açıklayacaktır.

1. grup

Hava sıcaklığı her saat 2° düşer. Şimdi termometre sıfır derece gösteriyor. 3 saat sonra hangi sıcaklık gösterecek?

Grup kararı. Sıcaklık şimdi 0 olduğundan ve her saat için sıcaklık 2° düştüğünden, 3 saat sonra sıcaklığın -6° olacağı açıktır. Sıcaklık düşüşünü –2°, süreyi +3 saat olarak gösterelim. O zaman (–2) 3 = –6 olduğunu varsayabiliriz.

Öğretmen . Ve faktörleri, yani 3 (–2)'yi yeniden düzenlersem ne olur?

Öğrenciler Cevap aynı: -6, çünkü çarpmanın değişmeli özelliği kullanılıyor.

Hava sıcaklığı her saat 2° düşer. Şimdi termometre sıfır derece gösteriyor. Termometre 3 saat önce hangi hava sıcaklığını gösterdi?

Grup kararı. Sıcaklık her saat 2° düştüğüne ve şimdi 0 olduğuna göre, 3 saat önce +6° olduğu açıktır. Sıcaklıktaki düşüşü -2°, geçen süreyi -3 saat gösterelim. O zaman (–2) (–3) = 6 olduğunu varsayabiliriz.

Öğretmen . Henüz pozitif ve negatif sayıları nasıl çarpacağınızı bilmiyorsunuz. Ancak bu sayıları çarpmanın gerekli olduğu sorunları çözdüler. Pozitif ve negatif sayıları, iki negatif sayıyı çarpmanın kurallarını kendiniz bulmaya çalışın. ( Öğrenciler kuralı anlamaya çalışıyorlar.) İyi. Şimdi ders kitaplarını açalım ve pozitif ve negatif sayıları çarpma kurallarını okuyalım. Kuralınızı ders kitabında yazılanlarla karşılaştırın.

Kural 1İki sayıyı farklı işaretlerle çarpmak için bu sayıların modüllerini çarpmanız ve ortaya çıkan ürünün önüne “-” işareti koymanız gerekir.

Kural 2. Aynı işaretli iki sayıyı çarpmak için bu sayıların modüllerini çarpmanız ve çıkan ürünün önüne “+” işareti koymanız gerekir.

Öğretmen. Temeli kurarken gördüğünüz gibi, doğal ve kesirli sayıları çarpmada sorun yaşamıyorsunuz. Pozitif ve negatif sayıları çarparken sorunlar ortaya çıkabilir. Niye ya?

Unutma! Pozitif ve negatif sayıları çarparken:

1) işareti belirleyin;
2) modüllerin ürününü bulun.

Öğretmen . Çarpma işaretleri için hatırlanması çok kolay olan anımsatıcı kurallar vardır. Kısaca aşağıdaki gibi formüle edilirler:

"+" "+" \u003d "+" - artı üzerindeki artı artı verir;
"-" "+" = "-" - eksi artı eksi verir;
"+" "-" \u003d "-" - artı eksi eksi verir;
“–” · “–” = “+” - eksi çarpı eksi artı verir.

(Defterlere öğrenciler işaretlerin kuralını yazarlar.)

Öğretmen . Kendimizi ve dostlarımızı olumlu, düşmanlarımızı olumsuz olarak değerlendirirsek şunu söyleyebiliriz:

Arkadaşımın arkadaşı benim arkadaşımdır.
Arkadaşımın düşmanı benim düşmanımdır.
Düşmanımın dostu düşmanımdır.
Düşmanımın düşmanı dostumdur.

Çalışılan konunun birincil kavranması ve uygulanması

Tahtada oral çözüm örnekleri. Öğrenciler kuralı söyler:

Öğretmen . Temiz? Soru yok? Böylece duvarlar inşa edilir. ( Öğretmen duvar örer.) Şimdi ne inşa ediyoruz?

(Dört öğrenci tahtaya çağrılır.)

Öğretmen. Çatı hazır mı?

(Öğretmen bir maket evin çatısını koyar.)

Öğrenciler çalışmayı bir versiyonda tamamlarlar.

Çalışmayı tamamladıktan sonra komşularıyla defter alışverişinde bulunurlar. Öğretmen doğru cevapları rapor eder ve öğrenciler birbirlerine not verir.

Dersin özeti. Refleks

Öğretmen. Dersin başında amacımız neydi? Pozitif ve negatif sayıları çarpmayı öğrendiniz mi? ( Kuralları tekrarlıyorlar.) Bu derste gördüğünüz gibi, her yeni konu, yıllarca sermaye ile yapılması gereken bir evdir. Aksi takdirde kısa bir süre sonra tüm binalarınız çökecektir. Bu nedenle, her şey size bağlıdır. Dilerim çocuklar, şans her zaman size gülümser, bilgide ustalaşmada başarılar.

İmza kuralları

imza kuralları

İşaretlerin temel kurallarını daha ayrıntılı olarak ele alalım.

"Artı"yı "eksi"ye bölersek her zaman "eksi" elde ederiz. "Eksi"yi "artı"ya bölersek, daima "eksi" de alırız. "Artı"yı "artı"ya bölersek "artı" elde ederiz. “Eksi”yi “eksi”ye bölersek, garip bir şekilde “artı” da elde ederiz.

"Eksi"yi "artı" ile çarparsak, daima "eksi" elde ederiz. "Artı"yı "eksi" ile çarparsak, her zaman "eksi" de alırız. "Artı"yı "artı" ile çarparsak, pozitif bir sayı, yani "artı" elde ederiz. Aynı şey iki negatif sayı için de geçerlidir. "Eksi"yi "eksi" ile çarparsak "artı" elde ederiz.

Başka ilkelere dayanırlar. Negatif bir sayı mutlak değerde pozitif olandan daha büyükse, sonuç elbette negatif olacaktır. Elbette, bir modülün ne olduğunu ve neden burada olduğunu merak ediyorsunuz. Her şey çok basit. Modül, bir sayının değeridir, ancak işareti yoktur. Örneğin -7 ve 3. Modulo -7 sadece 7 olacak ve 3 3 kalacak. Sonuç olarak, 7'nin daha büyük olduğunu görüyoruz, yani negatif sayımızın daha büyük olduğu ortaya çıkıyor. Böylece -7 + 3 \u003d -4 çıkacak. Daha da kolay hale getirilebilir. Sadece ilk etapta pozitif bir sayı koyun ve 3-7 = -4 çıkacaktır, belki birileri için daha anlaşılır olur. Çıkarma tam olarak aynı şekilde çalışır.

Neden eksi çarpı eksi artıya eşittir?

"Düşmanımın düşmanı dostumdur."

Uzun zaman önce, insanlar tarafından yalnızca doğal sayılar biliniyordu: 1, 2, 3, . Eşyaları, ganimetleri, düşmanları vb. saymak için kullanılıyorlardı. Ancak sayıların kendileri oldukça işe yaramaz - onlarla başa çıkabilmeniz gerekiyor. Toplama açık ve anlaşılır, ayrıca iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır (bir matematikçi doğal sayılar kümesinin toplama işlemi altında kapalı olduğunu söyler). Çarpma, aslında, doğal sayılardan bahsediyorsak, aynı toplamadır. Hayatta, genellikle bu iki işlemle ilgili eylemleri gerçekleştiririz (örneğin, alışveriş yaparken, toplar ve çarparız) ve atalarımızın bunlarla daha az karşılaştığını düşünmek gariptir - toplama ve çarpma, insanlık tarafından çok uzun bir süre ustalaşmıştır. evvel. Genellikle bir miktarı diğerine bölmek gerekir, ancak burada sonuç her zaman doğal bir sayı olarak ifade edilmez - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı.

Negatif sayılar MS 7. yüzyıla ait Hint belgelerinde görülmektedir; Çinliler, görünüşe göre, onları biraz daha erken kullanmaya başladılar. Borçları hesaba katmak için veya denklemlerin çözümünü basitleştirmek için ara hesaplamalarda kullanıldılar - bu sadece olumlu bir cevap almak için bir araçtı. Negatif sayıların pozitiflerden farklı olarak herhangi bir varlığı ifade etmemesi ciddi bir güvensizlik yarattı. Kelimenin tam anlamıyla insanlar negatif sayılardan kaçındılar: sorun olumsuz bir yanıt aldıysa, hiçbir yanıt olmadığına inanıyorlardı. Bu güvensizlik çok uzun bir süre devam etti ve modern matematiğin "kurucularından" biri olan Descartes bile onları "yanlış" olarak nitelendirdi (17. yüzyılda!).

7x - 17 = 2x - 2. Şu şekilde çözülebilir: bilinmeyenli terimleri sola, gerisini sağa hareket ettirin, ortaya çıkacaktır. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3

Ancak yanlışlıkla farklı şekilde yapılabilir: bilinmeyenli terimleri sağ tarafa taşıyın ve 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​​​= (–5)x. Bilinmeyeni bulmak için bir negatif sayıyı diğerine bölmeniz gerekir: x = (–15)/(–5). Ancak doğru cevap biliniyor ve şu sonuca varmak gerekiyor. (–15)/(–5) = 3 .

. İkinci olarak, negatif sayıların kullanımına izin vererek, tüm işlemlerin yalnızca doğal sayılar üzerinde gerçekleştirildiği çözüm yolunu aramaktan (denklem daha karmaşık olduğu ortaya çıkarsa, çok sayıda terimden) kurtuluruz. Ayrıca, artık dönüştürülen niceliklerin anlamlılığı hakkında her zaman düşünemeyiz - ve bu, matematiği soyut bir bilime dönüştürme yolunda atılmış bir adımdır.

Negatif sayılarla ilgili eylemler için kurallar hemen oluşturulmadı, ancak uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkan sayısız örneğin bir genellemesi haline geldi. Genel olarak, matematiğin gelişimi şartlı olarak aşamalara ayrılabilir: sonraki her aşama, nesnelerin incelenmesinde yeni bir soyutlama düzeyi ile bir öncekinden farklıdır. Böylece, 19. yüzyılda matematikçiler, tam sayıların ve polinomların, tüm dış farklılıklarına rağmen, çok ortak noktaları olduğunu fark ettiler: her ikisi de toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Bu işlemler, hem sayılar hem de polinomlar durumunda aynı yasalara uyar. Ancak tam sayıların, sonucun yine tamsayı olması için birbirine bölünmesi her zaman mümkün değildir. Aynısı polinomlar için de geçerlidir.

yüzük aksiyomlar

yüzük

• A + B = B + A herhangi bir eleman için A ve B) ve ilişkisel ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, ve herhangi bir eleman için A (-A)), ne A + (–A) = 0 ;
• çarpma, kombinasyon yasasına uyar: A (B C) = (A B) C ;

Halkaların, en genel yapıda, permüte olması için çarpma gerektirmediğine, tersine çevrilemediğine (yani, bölmenin her zaman mümkün olmadığına) veya bir birimin - göre nötr bir öğenin - varlığına gerek olmadığına dikkat edin. çarpmak için. Bu aksiyomlar tanıtılırsa, diğer cebirsel yapılar elde edilir, ancak halkalar için kanıtlanmış tüm teoremler bunlarda doğru olacaktır.

A iki zıt vardır: B ve İle. yani A + B = 0 = A + C. toplamı düşünün A+B+C B: C: . Anlamına geliyor, B=C .

şimdi not edelim ki A, ve (-(-A)) (-A)

İlk gerçek şu şekilde elde edilir: yani, (–A) B zıt bir B, bu yüzden eşittir –(A B) .

0 B = 0 herhangi bir eleman için B. Aslında, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Yani, ek 0 B

Eksi eksi ile çarpma kuralları





Bir miktar esneme ile, tek bir "toplamın" olduğunu varsayarsak, aynı açıklama 1-5 ürünü için uygundur.

terimi bu terime eşittir. Ancak 0 5 veya (-3) 5 çarpımı şu şekilde açıklanamaz: sıfır veya eksi üç terimin toplamı ne anlama gelir?

Bununla birlikte, faktörleri yeniden düzenlemek mümkündür.

Çarpımlar yeniden düzenlendiğinde ürünün değişmemesini istiyorsak - pozitif sayılarda olduğu gibi - o zaman şunu varsaymalıyız:

Şimdi (-3) (-5) ürününe geçelim. Neye eşittir: -15 veya +15? Her iki seçenek de mantıklı. Bir yandan, bir faktördeki eksi, ürünü zaten negatif yapar - her iki faktör de negatifse, daha da fazla negatif olmalıdır. Öte yandan, Tablo'da. 7'nin zaten iki eksisi var, ancak yalnızca bir artı ve "oldukça" (-3)-(-5) +15'e eşit olmalıdır. Peki ne tercih edersin?



Tabii ki, bu tür konuşmalarla kafanız karışmaz: bir okul matematik dersinden, eksi eksi artı artı verdiğini kesin olarak öğrendiniz. Ama küçük erkek veya kız kardeşinizin size sorduğunu hayal edin: neden? Nedir - bir öğretmenin kaprisi, daha yüksek otoritelerin bir göstergesi veya kanıtlanabilecek bir teorem mi?

Genellikle, negatif sayıları çarpma kuralı, Tablo'da sunulana benzer örnekler kullanılarak açıklanır. sekiz.



Başka bir şekilde açıklanabilir. Sırayla sayıları yazalım

Şimdi aynı sayıları 3 ile çarparak yazalım:

Her sayının bir öncekinden 3 fazla olduğunu görmek kolaydır.Şimdi aynı sayıları tersten yazalım (örneğin 5 ve 15 ile başlayarak):



Aynı zamanda, -15 sayısının -5 sayısının altında olduğu ortaya çıktı, bu nedenle 3 (-5) \u003d -15: artı eksi eksi verir.

Şimdi aynı işlemi 1,2,3,4,5 sayılarını çarparak tekrarlayalım. -3 ile (artı çarpı eksi eşittir eksi olduğunu zaten biliyoruz):

Alt satırın her bir sonraki sayısı bir öncekinden 3'er küçüktür. Sayıları ters sırada yazalım.



-5 sayısı 15 çıktı, yani (-3) (-5) = 15.

Belki bu açıklamalar küçük erkek veya kız kardeşinizi tatmin eder. Ama işlerin gerçekte nasıl olduğunu sorma hakkınız var ve (-3) (-5) = 15 olduğunu kanıtlamak mümkün mü?

Buradaki cevap, (-3) (-5)'in 15'e eşit olması gerektiğinin kanıtlanabileceğidir, eğer sadece toplama, çıkarma ve çarpma gibi olağan özelliklerin negatif olanlar da dahil tüm sayılar için doğru kalmasını istiyorsak. Bu ispatın ana hatları aşağıdaki gibidir.

Önce 3 (-5) = -15 olduğunu ispatlayalım. -15 nedir? Bu, 15'in tersidir, yani 15'e 0'a kadar olan sayı. Yani bunu kanıtlamamız gerekiyor.

(3'ü parantez içine alarak, ab + ac = a(b + c) dağılım yasasını - için kullandık, sonuçta bunun negatif olanlar da dahil tüm sayılar için doğru olduğunu varsayıyoruz.) Yani, (Titiz okuyucu bize soracaktır. Dürüstçe itiraf ediyoruz: Bu gerçeğin kanıtı - genel olarak sıfırın ne olduğu tartışması gibi - atlıyoruz.)

Şimdi (-3) (-5) = 15 olduğunu ispatlayalım. Bunu yapmak için şunu yazıyoruz:



ve denklemin her iki tarafını da -5 ile çarpın:

Sol taraftaki parantezleri açalım:

yani (-3) (-5) + (-15) = 0. Böylece sayı -15 sayısının tersi yani 15'e eşittir. (Bu akıl yürütmede de boşluklar var: ve -15'in karşısında sadece bir sayı vardır.)

Negatif kural. Neden eksi çarpı eksi eşittir artı

Bir matematik öğretmenini dinlerken çoğu öğrenci materyali bir aksiyom olarak algılar. Aynı zamanda, çok az insan dibe inmeye ve “eksi” nin “artı” nın neden “eksi” işareti verdiğini anlamaya çalışır ve iki negatif sayıyı çarparken pozitif bir sayı çıkar.

Matematik Kanunları

Çoğu yetişkin kendilerine veya çocuklarına bunun neden olduğunu açıklayamaz. Bu materyali okulda iyice öğrenmişlerdi, ancak bu tür kuralların nereden geldiğini bulmaya çalışmadılar bile. Ama boşuna. Çoğu zaman, modern çocuklar o kadar saf değildir, konunun dibine inmeleri ve "eksi" üzerindeki "artı" nın neden "eksi" verdiğini anlamaları gerekir. Ve bazen erkek fatma yetişkinlerin anlaşılır bir cevap veremediği anın tadını çıkarmak için kasten zor sorular sorarlar. Ve eğer genç bir öğretmen bir karmaşaya girerse bu gerçekten bir felakettir.

Bu arada, yukarıda belirtilen kuralın hem çarpma hem de bölme için geçerli olduğunu belirtmek gerekir. Negatif ve pozitif bir sayının çarpımı sadece eksi verir. “-” işaretli iki basamaktan bahsediyorsak, sonuç pozitif bir sayı olacaktır. Aynı şey bölme için de geçerli. Sayılardan biri negatifse, bölüm de "-" işaretli olacaktır.

Bu matematik yasasının doğruluğunu açıklamak için halkanın aksiyomlarını formüle etmek gerekir. Ama önce ne olduğunu anlamalısın. Matematikte, bir halkayı iki elemanlı iki işlemin yer aldığı bir küme olarak adlandırmak gelenekseldir. Ancak bunu bir örnekle anlamak daha iyidir.

halka aksiyomu

Birkaç matematik kanunu vardır.

• Bunlardan birincisi yer değiştirebilir, ona göre C+V=V+C.
• İkincisi çağrışımsal (V + C) + D = V + (C + D) olarak adlandırılır.

Çarpma (V x C) x D \u003d V x (C x D) de bunlara uyar.

Parantezlerin açıldığı (V + C) x D = V x D + C x D kurallarını kimse iptal etmedi, C x (V + D) = C x V + C x D olduğu da doğrudur.

Ek olarak, halkaya, aşağıdakilerin doğru olacağı özel, ilaveden bağımsız bir elemanın eklenebileceği tespit edilmiştir: C + 0 = C. Ek olarak, her C için bir zıt eleman vardır, bu eleman kullanılabilir. (-C) olarak gösterilmelidir. Bu durumda, C + (-C) \u003d 0.

Negatif sayılar için aksiyomların türetilmesi

Yukarıdaki ifadeleri kabul ederek "Artı" eksi "hangi işareti verir?" sorusuna cevap verebiliriz. Negatif sayıların çarpımı hakkındaki aksiyomu bilerek, gerçekten (-C) x V = -(C x V) olduğunu doğrulamak gerekir. Ayrıca şu eşitlik doğrudur: (-(-C)) = C.

Bunu yapmak için önce her bir öğenin yalnızca bir zıt "kardeşi" olduğunu kanıtlamamız gerekir. Aşağıdaki kanıt örneğini düşünün. C - V ve D için iki sayının zıt olduğunu hayal etmeye çalışalım. Bundan C + V = 0 ve C + D = 0, yani C + V = 0 = C + D çıkar. Yer değiştirme yasalarını hatırlamak ve 0 sayısının özellikleri hakkında, üç sayının toplamını düşünebiliriz: C, V ve D. V'nin değerini bulmaya çalışalım. V = V + 0 = V + (C +) olması mantıklıdır. D) = V + C + D, çünkü yukarıda kabul edildiği gibi C + D'nin değeri 0'a eşittir. Dolayısıyla V = V + C + D.

D değeri aynı şekilde türetilir: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Buna dayanarak V = D olduğu anlaşılır.

Bununla birlikte, “eksi” üzerindeki “artı”nın neden “eksi” verdiğini anlamak için aşağıdakileri anlamanız gerekir. Yani, (-C) elemanı için zıt C ve (-(-C))'dir, yani birbirlerine eşittirler.

O zaman 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V olduğu açıktır. Bundan, C x V'nin (-) C x V'nin karşısında olduğu sonucu çıkar. , yani (- C) x V = -(C x V).

Tam bir matematiksel kesinlik için, herhangi bir eleman için 0 x V = 0 olduğunu doğrulamak da gereklidir. Mantığı izlerseniz, 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Bu, 0 x V ürününün eklenmesinin ayarlanan miktarı hiçbir şekilde değiştirmediği anlamına gelir. Sonuçta, bu ürün sıfıra eşittir.

Tüm bu aksiyomları bilerek, yalnızca "eksi" ile ne kadar "artı" verdiğini değil, aynı zamanda negatif sayılar çarpıldığında ne olduğunu da çıkarmak mümkündür.

"-" işareti ile iki sayının çarpımı ve bölümü

Matematiksel nüansları araştırmazsanız, eylem kurallarını negatif sayılarla daha basit bir şekilde açıklamaya çalışabilirsiniz.

Buna dayanarak C - (-V) = D olduğunu varsayalım, C = D + (-V), yani C = D - V. V'yi aktarıyoruz ve C + V = D'yi elde ediyoruz. Yani, C + V = C - (-V). Bu örnek, arka arkaya iki "eksi" olan bir ifadede, belirtilen işaretlerin neden "artı" olarak değiştirilmesi gerektiğini açıklar. Şimdi çarpma işlemiyle ilgilenelim.

(-C) x (-V) \u003d D, ifadeye iki özdeş ürün eklenebilir ve çıkarılabilir, bu değerini değiştirmez: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Parantezlerle çalışma kurallarını hatırlayarak şunları elde ederiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan C x V \u003d (-C) x (-V) çıkar.

Benzer şekilde, iki negatif sayıyı bölmenin sonucunun da pozitif olacağını ispatlayabiliriz.

Genel matematiksel kurallar

Elbette böyle bir açıklama, soyut negatif sayıları yeni öğrenmeye başlayan ilkokul öğrencileri için uygun değildir. Tanıdık terimi aynadan manipüle ederek görünür nesneler üzerinde açıklama yapmak onlar için daha iyidir. Örneğin icat edilmiş, ancak mevcut olmayan oyuncaklar orada bulunur. "-" işareti ile gösterilebilirler. İki aynalı nesnenin çarpımı onları şimdiki zamana eşit olan başka bir dünyaya aktarır, yani sonuç olarak pozitif sayılara sahibiz. Ancak soyut bir negatif sayının pozitif bir sayıyla çarpımı yalnızca herkesin bildiği sonucu verir. Sonuçta, "artı" ile "eksi" çarpıldığında "eksi" verir. Doğru, çocuklar tüm matematiksel nüansları araştırmak için çok fazla uğraşmazlar.

Gerçekle yüzleşirseniz, birçok insan için, hatta yüksek öğrenim görmüş olsanız bile, birçok kural bir sır olarak kalır. Herkes, öğretmenlerinin onlara öğrettiklerini doğal karşılar, matematiğin içerdiği tüm karmaşıklıkları araştırmak için bir kayıp değil. "Eksi" üzerindeki "Eksi" bir "artı" verir - bunu istisnasız herkes bilir. Bu hem tam sayılar hem de kesirli sayılar için geçerlidir.

Eksi ve artı, matematikte negatif ve pozitif sayıların işaretleridir. Kendileriyle farklı şekillerde etkileşime girerler, bu nedenle, örneğin bölme, çarpma, çıkarma, toplama vb. gibi sayılarla herhangi bir işlem yaparken, dikkate alınması gerekir. imza kuralları. Bu kurallar olmadan, en basit cebirsel veya geometrik problemi bile çözemezsiniz. Bu kuralları bilmeden sadece matematik değil, fizik, kimya, biyoloji ve hatta coğrafya da çalışamazsınız.

Çıkarma ve toplama.

İki olumsuz bir olumlu yapar- Bu okulda öğrendiğimiz ve tüm hayatımız boyunca uyguladığımız bir kuraldır. Aramızda kim neden merak etti? Tabii ki, bu ifadeyi daha fazla soru sormadan ezberlemek ve konunun özüne derinlemesine girmemek daha kolaydır. Şimdi zaten “sindirilmesi” gereken yeterli bilgi var. Ancak bu soruyla hala ilgilenenler için bu matematiksel fenomeni açıklamaya çalışacağız.

Antik çağlardan beri insanlar pozitif doğal sayıları kullanıyorlardı: 1, 2, 3, 4, 5, ... Sığır, mahsul, düşman vb. sayılar yardımıyla sayıldı. İki pozitif sayıyı toplarken ve çarparken, her zaman pozitif bir sayı aldılar, bazı miktarları diğerlerine bölerken her zaman doğal sayılar alamadılar - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı. Peki ya çıkarma? Çocukluğumuzdan beri, küçüğü büyüğe toplamanın ve küçüğü büyükten çıkarmanın daha iyi olduğunu biliyoruz, yine negatif sayılar kullanmıyoruz. 10 elmam olsa birine 10 veya 10'dan az verebilirim 13 elma vermem mümkün değil çünkü bende yok. Negatif sayılara uzun süre gerek yoktu.

Sadece MS 7. yüzyıldan. Bazı sayma sistemlerinde negatif sayılar yardımcı değerler olarak kullanılmış, bu da cevapta pozitif bir sayı elde etmeyi mümkün kılmıştır.

Bir örnek düşünün, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Cevabı bulmak için, bilinmeyenleri sol tarafta ve gerisini sağda bırakmak gerekir: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Bu denklemi çözerken negatif sayılar bile yok. Bilinmeyen terimleri sağ tarafa ve bilinmeyenler olmadan - sola aktarabiliriz: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Negatif bir sayıyı negatif bir sayıya bölerken olumlu bir cevap alırız: x \u003d 7.

Negatif sayılara sahip eylemler bizi yalnızca pozitif sayılara sahip eylemlerle aynı cevaba götürmelidir. Artık eylemlerin pratik uygunsuzluğu ve anlamlılığı hakkında düşünemiyoruz - denklemi yalnızca pozitif sayılarla forma indirmeden sorunu çok daha hızlı çözmemize yardımcı oluyorlar. Örneğimizde karmaşık hesaplamalar kullanmadık, ancak çok sayıda terimle negatif sayılarla hesaplamalar işimizi kolaylaştırabilir.

Zamanla, uzun deneyler ve hesaplamalardan sonra, üzerlerindeki tüm sayıların ve eylemlerin uyduğu kuralları belirlemek mümkün oldu (matematikte bunlara aksiyom denir). oradan geldi iki negatif sayıyı çarptığınızda pozitif bir sayı elde edeceğinizi belirten bir aksiyom.

www.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

1) Neden eksi bir çarpı eksi bir eşittir artı bir?
2) Neden eksi bir çarpı artı bir eşittir eksi bir?

"Düşmanımın düşmanı dostumdur."

En kolay cevap şudur: "Çünkü bunlar negatif sayılarla çalışmanın kurallarıdır." Okulda öğrendiğimiz ve hayatımız boyunca uyguladığımız kurallar. Ancak, ders kitapları kuralların neden böyle olduğunu açıklamaz. Bunu önce aritmetiğin gelişim tarihinden anlamaya çalışacağız ve sonra bu soruyu modern matematik açısından cevaplayacağız.

Uzun zaman önce, insanlar tarafından yalnızca doğal sayılar biliniyordu: 1, 2, 3, . Eşyaları, ganimetleri, düşmanları vb. saymak için kullanılıyorlardı. Ancak sayıların kendileri oldukça işe yaramaz - onlarla nasıl başa çıkacağınızı bilmeniz gerekir. Toplama açık ve anlaşılırdır ve ayrıca iki doğal sayının toplamı da bir doğal sayıdır (bir matematikçi doğal sayılar kümesinin toplama işlemi altında kapalı olduğunu söyler). Çarpma, aslında, doğal sayılardan bahsediyorsak, aynı toplamadır. Hayatta, genellikle bu iki işlemle ilgili eylemleri gerçekleştiririz (örneğin, alışveriş yaparken, toplar ve çarparız) ve atalarımızın bunlarla daha az karşılaştığını düşünmek gariptir - toplama ve çarpma, insanlık tarafından çok uzun bir süre ustalaşmıştır. evvel. Genellikle bir miktarı diğerine bölmek gerekir, ancak burada sonuç her zaman doğal bir sayı ile ifade edilmez - kesirli sayılar bu şekilde ortaya çıktı.

Çıkarma, elbette, vazgeçilmezdir. Ancak pratikte, küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarma eğilimindeyiz ve negatif sayıları kullanmaya gerek yok. (5 şekerim varsa ve 3'ünü kardeşime verirsem 5 - 3 = 2 şekerim olur ama ona 7 şekeri tüm isteğimle veremem.) Bu, insanların neden negatif sayıları kullanmadığını açıklayabilir. uzun zamandır.

Negatif sayılar MS 7. yüzyıla ait Hint belgelerinde görülmektedir; Çinliler, görünüşe göre, onları biraz daha erken kullanmaya başladılar. Borçları hesaba katmak için veya denklemlerin çözümünü basitleştirmek için ara hesaplamalarda kullanıldılar - bu sadece olumlu bir cevap almak için bir araçtı. Negatif sayıların pozitiflerden farklı olarak herhangi bir varlığı ifade etmemesi ciddi bir güvensizlik yarattı. Kelimenin tam anlamıyla insanlar negatif sayılardan kaçındılar: sorun olumsuz bir yanıt aldıysa, hiçbir yanıt olmadığına inanıyorlardı. Bu güvensizlik çok uzun bir süre devam etti ve modern matematiğin "kurucularından" biri olan Descartes bile onları "yanlış" olarak nitelendirdi (17. yüzyılda!).

Örneğin, denklemi düşünün 7x - 17 = 2x - 2. Şu şekilde çözülebilir: bilinmeyenli terimleri sola, gerisini sağa hareket ettirin, ortaya çıkacaktır. 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Bu çözümle negatif sayılarla bile karşılaşmadık.

Bu basit örnek neyi gösteriyor? İlk olarak, negatif sayılarla ilgili eylemlerin kurallarını belirleyen mantık netleşir: bu eylemlerin sonuçları, negatif sayılar olmadan farklı bir şekilde elde edilen cevaplarla eşleşmelidir.. İkinci olarak, negatif sayıların kullanımına izin vererek, tüm işlemlerin yalnızca doğal sayılar üzerinde gerçekleştirildiği çözüm yolunu aramaktan (denklem daha karmaşık olduğu ortaya çıkarsa, çok sayıda terimden) kurtuluruz. Ayrıca, artık dönüştürülen niceliklerin anlamlılığı hakkında her zaman düşünemeyiz - ve bu, matematiği soyut bir bilime dönüştürme yolunda atılmış bir adımdır.

Negatif sayılarla ilgili eylemler için kurallar hemen oluşturulmadı, ancak uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkan sayısız örneğin bir genellemesi haline geldi. Genel olarak, matematiğin gelişimi şartlı olarak aşamalara ayrılabilir: sonraki her aşama, nesnelerin incelenmesinde yeni bir soyutlama düzeyi ile bir öncekinden farklıdır. Böylece, 19. yüzyılda matematikçiler, tam sayıların ve polinomların, tüm dış farklılıklarına rağmen, çok ortak noktaları olduğunu fark ettiler: her ikisi de toplanabilir, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Bu işlemler, hem sayılar hem de polinomlar durumunda aynı yasalara uyar. Ancak tam sayıların, sonucun yine tamsayı olması için birbirine bölünmesi her zaman mümkün değildir. Aynısı polinomlar için de geçerlidir.

Daha sonra, üzerinde bu tür işlemlerin gerçekleştirilebileceği diğer matematiksel nesne koleksiyonları keşfedildi: formal güç serileri, sürekli fonksiyonlar. Son olarak, işlemlerin özelliklerini incelerseniz, sonuçların tüm bu nesne kümelerine uygulanabileceği anlaşıldı (bu yaklaşım tüm modern matematik için tipiktir).

Sonuç olarak, yeni bir konsept ortaya çıktı: yüzük. Bu sadece bir grup öğe ve bunlar üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemlerdir. Buradaki temel kurallar sadece kurallardır (bunlara aksiyomlar) hangi eylemlerin tabi olduğu, kümenin öğelerinin doğası değil (işte burada, yeni bir soyutlama seviyesi!). Önemli olanın, aksiyomların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan yapı olduğunu vurgulamak isteyen matematikçiler, tamsayılar halkası, polinomlar halkası vb. derler. Aksiyomlardan başlayarak halkaların başka özellikleri türetilebilir.

Halkanın aksiyomlarını formüle edeceğiz (tabii ki tamsayılarla işlem kurallarına benzerler) ve sonra herhangi bir halkada eksi ile eksiyi çarpmanın bir artı ile sonuçlandığını kanıtlayacağız.

yüzük geleneksel olarak toplama ve çarpma olarak adlandırılan iki ikili işlemden (yani, halkanın iki öğesi her işlemde yer alır) ve aşağıdaki aksiyomlardan oluşan bir kümedir:

• halka elemanlarının eklenmesi değişmeli ( A + B = B + A herhangi bir eleman için A ve B) ve ilişkisel ( A + (B + C) = (A + B) + C) yasalar; halka özel bir eleman 0 içerir (ekleme ile nötr bir eleman) öyle ki A + 0 = A, ve herhangi bir eleman için A zıt bir eleman var (belirtilen (-A)), ne A + (–A) = 0 ;
• toplama ve çarpma, aşağıdaki parantez genişletme kurallarıyla ilişkilidir: (A + B) C = A C + B C ve A (B + C) = A B + A C .

Halkaların, en genel yapıda, permüte olması için çarpma gerektirmediğini, tersine çevrilemediğini (yani, bölmenin her zaman mümkün olmadığını) ve bir birimin, nötr bir öğenin varlığını gerektirmediğini not ediyoruz. çarpma saygısı. Bu aksiyomlar tanıtılırsa, diğer cebirsel yapılar elde edilir, ancak halkalar için kanıtlanmış tüm teoremler bunlarda doğru olacaktır.

Şimdi bunu herhangi bir element için kanıtlıyoruz. A ve B keyfi halka doğrudur, ilk olarak, (–A) B = –(A B), ve ikinci olarak (–(–A)) = A. Bundan, birimlerle ilgili ifadeler kolayca takip edilir: (–1) 1 = –(1 1) = –1 ve (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Bunu yapmak için bazı gerçekleri belirlememiz gerekiyor. İlk önce her elementin sadece bir zıttı olabileceğini kanıtlıyoruz. Gerçekten de, öğeye izin verin A iki zıt vardır: B ve İle. yani A + B = 0 = A + C. toplamı düşünün A+B+C. Birleştirici ve değişmeli yasaları ve sıfırın özelliğini kullanarak, bir yandan toplamın eşit olduğunu elde ederiz. B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ve diğer yandan, eşittir C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Anlamına geliyor, B=C .

şimdi not edelim ki A, ve (-(-A)) aynı elementin zıttıdır (-A), bu yüzden eşit olmalıdırlar.

Birinci gerçek şu şekildedir: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, yani (–A) B zıt bir B, bu yüzden eşittir –(A B) .

Matematiksel olarak titiz olmak için nedenini açıklayalım 0 B = 0 herhangi bir eleman için B. Aslında, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Yani, ek 0 B miktarı değiştirmez. Yani bu ürün sıfıra eşittir.

Ve halkada tam olarak bir sıfır olduğu gerçeğini (sonuçta aksiyomlar böyle bir öğenin var olduğunu söylüyor, ancak benzersizliği hakkında hiçbir şey söylenmiyor!), basit bir alıştırma olarak okuyucuya bırakacağız.