Çizgi kesişim formülü. Uçakta düz bir çizgi ile ilgili en basit problemler. Çizgilerin karşılıklı düzenlenmesi. çizgiler arasındaki açı

"Geometrik Algoritmalar" serisinden ders

Merhaba sevgili okuyucu!

Geometrik algoritmaları tanımaya devam ediyoruz. Son derste, iki noktanın koordinatlarında bir doğrunun denklemini bulduk. Formun bir denklemi var:

Bugün, iki düz çizginin denklemlerini kullanarak kesişme noktalarının (varsa) koordinatlarını bulan bir fonksiyon yazacağız. Gerçek sayıların eşitliğini kontrol etmek için RealEq() özel fonksiyonunu kullanacağız.

Düzlemdeki noktalar bir çift reel sayı ile tanımlanır. Gerçek türü kullanırken, karşılaştırma işlemlerini özel işlevlerle düzenlemek daha iyidir.

Nedeni biliniyor: Pascal programlama sisteminde Real türünde bir sıra ilişkisi yoktur, bu nedenle a ve b'nin reel sayılar olduğu a = b biçimindeki kayıtları kullanmamak daha iyidir.
Bugün “=” (kesinlikle eşit) işlemini uygulamak için RealEq() işlevini tanıtacağız:

Fonksiyon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (kesinlikle eşittir) RealEq:=Abs(a-b) ile başlar<=_Eps End; {RealEq}

Görev. İki düz çizginin denklemleri verilmiştir: ve . Onların kesişme noktalarını bulun.

Karar. Açık çözüm, doğrular denklem sistemini çözmektir: Bu sistemi biraz farklı bir şekilde yeniden yazalım:
(1)

Notasyonu tanıtıyoruz: , , . Burada D sistemin determinantıdır ve karşılık gelen bilinmeyen için katsayılar sütununun bir serbest terimler sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilen determinantlardır. ise, sistem (1) kesindir, yani tek bir çözümü vardır. Bu çözüm aşağıdaki formüllerle bulunabilir: , , adı verilen Cramer formülleri. İkinci dereceden determinantın nasıl hesaplandığını hatırlatayım. Belirleyici iki köşegen arasında ayrım yapar: ana ve ikincil. Ana köşegen, determinantın sol üst köşesinden sağ alt köşesine doğru alınan elemanlardan oluşur. Yan çapraz - sağ üstten sol alta. İkinci dereceden determinant, ana köşegenin elemanlarının çarpımından ikincil köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir.

Kod, eşitliği kontrol etmek için RealEq() işlevini kullanır. Gerçek sayılar üzerinden hesaplamalar _Eps=1e-7'ye kadar doğrulukla yapılır.

Geom2 programı; Const _Eps: Real=1e-7;(hesaplama doğruluğu) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Fonksiyon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (kesinlikle eşittir) RealEq:=Abs(a-b) ile başlar<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Çizgilerin denklemlerini bilerek kesişme noktalarının koordinatlarını bulabileceğiniz bir program derledik.

İki doğru verilsin ve kesişme noktalarının bulunması isteniyor. Bu nokta verilen iki doğrunun her birine ait olduğundan, koordinatları hem birinci satırın denklemini hem de ikinci satırın denklemini sağlamalıdır.

Bu nedenle, iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözmek gerekir.

Örnek 1. Doğruların kesişme noktasını bulun ve

Karar. Denklem sistemini çözerek istenen kesişme noktasının koordinatlarını bulacağız.

M kesişim noktasının koordinatları var

Denklemden nasıl düz bir doğru oluşturulacağını gösterelim. Bir çizgi çizmek için iki noktasını bilmek yeterlidir. Bu noktaların her birini çizmek için koordinatlarından birine keyfi bir değer veririz ve sonra denklemden diğer koordinatın karşılık gelen değerini buluruz.

Düz bir çizginin genel denkleminde, mevcut koordinatlardaki her iki katsayı sıfıra eşit değilse, o zaman bu düz çizgiyi oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaları bulmak en iyisidir.

Örnek 2. Düz bir çizgi oluşturun.

Karar. Bu doğrunun x ekseni ile kesiştiği noktayı bulun. Bunu yapmak için denklemlerini birlikte çözeriz:

ve alıyoruz. Böylece bu doğrunun apsis ekseni ile kesiştiği M (3; 0) noktası bulunmuştur (Şekil 40).

Daha sonra verilen doğrunun denklemini ve y ekseninin denklemini birlikte çözme

doğrunun y ekseniyle kesiştiği noktayı buluruz. Son olarak, iki M noktasından bir doğru oluşturuyoruz ve

1. Fonksiyon grafiklerinin kesişim noktasının koordinatlarını bulmak için, her iki fonksiyonu da birbirine eşitlemeniz, $ x $ içeren tüm terimleri sola, geri kalanını sağ tarafa taşımanız ve sonucun köklerini bulmanız gerekir. denklem.
2. İkinci yol, bir denklem sistemi oluşturmak ve onu bir fonksiyonu diğerinin yerine koyarak çözmektir.
3. Üçüncü yöntem, fonksiyonların grafik yapısını ve kesişme noktasının görsel tanımını içerir.

İki doğrusal fonksiyon durumu

$ f(x) = k_1 x+m_1 $ ve $ g(x) = k_2 x + m_2 $ olmak üzere iki doğrusal fonksiyon düşünün. Bu işlevlere doğrudan denir. Bunları oluşturmak yeterince kolaydır, sadece $x_1$ ve $x_2$ değerlerini almanız ve $f(x_1)$ ve $(x_2)$ bulmanız yeterlidir. Ardından aynı işlemi $g(x) $ işleviyle tekrarlayın. Ardından, fonksiyon grafiklerinin kesişme noktasının koordinatını görsel olarak bulun.

Lineer fonksiyonların sadece bir kesişme noktası olduğunu ve sadece $ k_1 \neq k_2 $ olduğunda bilmelisiniz. Aksi takdirde, $ k_1=k_2 $ durumunda, $ k $ eğim faktörü olduğundan fonksiyonlar birbirine paraleldir. $ k_1 \neq k_2 $, ancak $ m_1=m_2 $ ise, kesişim noktası $ M(0;m) $ olacaktır. Hızlandırılmış problem çözme için bu kuralı hatırlamak arzu edilir.

Doğrusal olmayan iki fonksiyon durumu

İki boyutlu uzayda, iki doğru (x, y) koordinatlarıyla verilen yalnızca bir noktada kesişir. Her iki doğru da kesişme noktalarından geçtiği için (x, y) koordinatları bu doğruları tanımlayan her iki denklemi de sağlamalıdır. Bazı ileri düzey becerilerle parabollerin ve diğer ikinci dereceden eğrilerin kesişme noktalarını bulabilirsiniz.

adımlar

İki doğrunun kesiştiği nokta

Denklemin sol tarafında "y" değişkenini izole ederek her satırın denklemini yazın. Denklemin diğer terimleri denklemin sağ tarafına yerleştirilmelidir. Belki de size "y" yerine verilen denklem f (x) veya g (x) değişkenini içerecektir; bu durumda böyle bir değişkeni izole edin. Bir değişkeni izole etmek için denklemin her iki tarafında uygun matematiksel işlemleri gerçekleştirin.

• Doğruların denklemleri size verilmemişse, bildiğiniz bilgilere dayanarak.
• Misal. Denklemlerle tanımlanan düz çizgiler ve y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). İkinci denklemdeki "y"yi izole etmek için denklemin her iki tarafına 12 sayısını ekleyin:

1. Her iki doğrunun kesişim noktasını, yani (x, y) koordinatları her iki denklemi de sağlayan noktayı arıyorsunuz. "y" değişkeni her denklemin solunda olduğundan, her denklemin sağındaki ifadeler eşitlenebilir. Yeni bir denklem yazın.

   • Misal. Gibi y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) ve y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), sonra aşağıdaki eşitliği yazabiliriz: .

2. "x" değişkeninin değerini bulun. Yeni denklem yalnızca bir "x" değişkeni içeriyor. "X"i bulmak için, denklemin her iki tarafında da uygun matematiği yaparak bu değişkeni denklemin sol tarafında ayırın. Sonunda x = __ gibi bir denklem elde etmelisiniz (bunu yapamıyorsanız, bu bölüme bakın).

   • Misal. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Ekle 2x (\görüntüleme stili 2x) denklemin her iki tarafına:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Denklemin her iki tarafını 3'e bölün:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. "y" değişkeninin değerini hesaplamak için "x" değişkeninin bulunan değerini kullanın. Bunu yapmak için, denklemde (herhangi bir) düz çizgide bulunan "x" değerini değiştirin.

   • Misal. x = 3 (\displaystyle x=3) ve y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\görüntüleme stili y=6)

4. Cevabı kontrol edin. Bunu yapmak için, "x" değerini bir düz çizginin başka bir denkleminde yerine koyun ve "y" değerini bulun. Farklı "y" değerleri alırsanız, hesaplamalarınızın doğru olup olmadığını kontrol edin.

   • Misal: x = 3 (\displaystyle x=3) ve y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\görüntüleme stili y=6)
   • Aynı "y" değerini aldınız, bu nedenle hesaplamalarınızda hata yok.

5. (x, y) koordinatlarını yazın."x" ve "y" değerlerini hesaplayarak, iki çizginin kesişme noktasının koordinatlarını buldunuz. Kesişme noktasının koordinatlarını (x, y) biçiminde yazın.

   • Misal. x = 3 (\displaystyle x=3) ve y=6 (\görüntüleme stili y=6)
   • Böylece, iki doğru (3,6) koordinatlı bir noktada kesişir.

6. Özel durumlarda hesaplamalar. Bazı durumlarda "x" değişkeninin değeri bulunamaz. Ancak bu, bir hata yaptığınız anlamına gelmez. Aşağıdaki koşullardan biri karşılandığında özel bir durum oluşur:

   • İki doğru paralel ise kesişmezler. Bu durumda "x" değişkeni basitçe indirgenecek ve denkleminiz anlamsız bir eşitliğe dönüşecektir (örneğin, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Bu durumda doğruların kesişmediğini veya çözüm olmadığını cevabınıza yazın.
   • Her iki denklem de bir düz çizgiyi tanımlıyorsa, sonsuz sayıda kesişme noktası olacaktır. Bu durumda, "x" değişkeni basitçe azaltılacak ve denkleminiz katı bir eşitliğe dönüşecektir (örneğin, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Bu durumda, cevabınıza iki satırın çakıştığını yazın.

   İkinci dereceden fonksiyonlarla ilgili sorunlar

   1. İkinci dereceden bir fonksiyonun tanımı.İkinci dereceden bir fonksiyonda, bir veya daha fazla değişken ikinci dereceye sahiptir (ancak daha yüksek değil), örneğin, x 2 (\görüntüleme stili x^(2)) veya y 2 (\displaystyle y^(2)). İkinci dereceden fonksiyonların grafikleri, bir veya iki noktada kesişmeyen veya kesişmeyen eğrilerdir. Bu bölümde, ikinci dereceden eğrilerin kesişme noktalarını veya noktalarını nasıl bulacağınızı anlatacağız.

   2. Denklemin sol tarafındaki "y" değişkenini izole ederek her bir denklemi yeniden yazın. Denklemin diğer terimleri denklemin sağ tarafına yerleştirilmelidir.

      • Misal. Grafiklerin kesiştiği noktayı/noktaları bulun x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) ve
      • Denklemin sol tarafındaki "y" değişkenini ayırın:
      • ve y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Bu örnekte, size bir ikinci dereceden fonksiyon ve bir doğrusal fonksiyon verilmiştir. İkinci dereceden iki fonksiyon verilirse, hesaplamaların aşağıdaki adımlarla aynı olduğunu unutmayın.

   3. Her denklemin sağ tarafındaki ifadeleri eşitleyin."y" değişkeni her denklemin sol tarafında olduğundan, her denklemin sağ tarafında yer alan ifadeler eşitlenebilir.

      • Misal. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) ve y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Ortaya çıkan denklemin tüm terimlerini sol tarafına aktarın ve sağ tarafa 0 yazın. Bunu yapmak için temel matematiksel işlemleri gerçekleştirin. Bu, ortaya çıkan denklemi çözmenize izin verecektir.

      • Misal. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Denklemin her iki tarafından "x"i çıkarın:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Denklemin her iki tarafından 7 çıkarın:

   5. İkinci dereceden denklemi çözün. Denklemin tüm terimlerini sol tarafına aktararak ikinci dereceden bir denklem elde edersiniz. Üç şekilde çözülebilir: özel bir formül kullanarak ve.

      • Misal. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Denklemi çarpanlarına ayırırken, çarpıldığında orijinal denklemi veren iki binom elde edersiniz. Örneğimizde, ilk üye x 2 (\görüntüleme stili x^(2)) x*x'e ayrıştırılabilir. Aşağıdaki girişi yapın: (x)(x) = 0
      • Örneğimizde, -6 kesişimi aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılabilir: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Örneğimizde ikinci terim x'tir (veya 1x). 1 elde edene kadar her bir kesişme faktörü çiftini (örneğimizde -6) ekleyin. Örneğimizde, doğru kesişme faktörü çifti -2 ve 3'tür ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), gibi − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Bulunan sayı çiftiyle boşlukları doldurun: .

   6. İki grafiğin kesiştiği ikinci noktayı unutmayın. Sorunu hızlı ve çok dikkatli bir şekilde çözmezseniz, ikinci kesişme noktasını unutabilirsiniz. İki kesişme noktasının "x" koordinatlarını şu şekilde bulabilirsiniz:

      • Örnek (faktoring). denklemde ise (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) parantez içindeki ifadelerden biri 0'a eşit olacak, o zaman tüm denklem 0'a eşit olacaktır. Bu nedenle, şöyle yazabiliriz: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) ve x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (yani, denklemin iki kökünü buldunuz).
      • Örnek (formül veya tam kare kullanın). Bu yöntemlerden birini kullanırken, çözüm sürecinde bir karekök görünecektir. Örneğin, örneğimizdeki denklem şu şekilde olacaktır: x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Karekök alırken iki çözüm elde edeceğinizi unutmayın. Bizim durumumuzda: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), ve 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). O halde iki denklem yaz ve iki x değeri bul.

   7. Grafikler bir noktada kesişir veya hiç kesişmez. Bu tür durumlar, aşağıdaki koşullar karşılandığında ortaya çıkar:

      • Grafikler bir noktada kesişiyorsa, ikinci dereceden denklem eşit faktörlere ayrıştırılır, örneğin (x-1) (x-1) = 0 ve formülde 0'ın karekökü görünür ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Bu durumda denklemin tek çözümü vardır.
      • Grafikler hiç kesişmiyorsa, denklem çarpanlara ayırmaz ve formülde negatif bir sayının karekökü görünür (örneğin, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Bu durumda, çözümün olmadığını cevabı yazın.

Dikey çizgi

Bu görev muhtemelen okul ders kitaplarında en popüler ve talep edilenlerden biridir. Bu temaya dayalı görevler çok çeşitlidir. Bu, iki doğrunun kesişme noktasının tanımıdır, bu, orijinal doğru üzerindeki bir noktadan herhangi bir açıyla geçen düz bir doğrunun denkleminin tanımıdır.

Bu konuyu hesaplamalarımızda kullanarak elde edilen verileri kullanarak ele alacağız.

Düz bir çizginin genel denkleminin eğimli bir denkleme dönüştürülmesi ve bunun tersi ve düz bir çizginin kalan parametrelerinin verilen koşullara göre belirlenmesi düşünüldü.

Bu sayfanın adandığı sorunları çözmek için nelerden yoksunuz?

1. Kesişen iki doğru arasındaki açılardan birini hesaplamak için formüller.

Denklemlerle verilen iki düz çizgimiz varsa:

sonra açılardan biri şu şekilde hesaplanır:

2. Verilen bir noktadan geçen eğimli bir doğrunun denklemi

Formül 1'den iki sınır durumu görebiliriz

a) o zaman ve dolayısıyla verilen bu iki doğru paralel olduğunda (veya çakıştığında)

b) , o zaman ve bu nedenle bu çizgiler dik olduğunda, yani dik açıyla kesişirler.

Belirli bir düz çizgi dışında, bu tür sorunları çözmek için ilk veriler ne olabilir?

Bir doğru üzerindeki bir nokta ve ikinci doğrunun onu kestiği açı

Çizginin ikinci denklemi

Bir bot hangi görevleri çözebilir?

1. İki düz çizgi verilmiştir (açıkça veya dolaylı olarak, örneğin iki nokta ile). Kesişme noktasını ve kesiştikleri açıları hesaplayın.

2. Bir düz çizgi, düz bir çizgi üzerinde bir nokta ve bir açı verildi. Belirli bir açıda verilen bir doğruyla kesişen bir düz çizginin denklemini belirleyin

Örnekler

Denklemlerle iki düz doğru verilir. Bu doğruların kesişme noktalarını ve kesiştikleri açıları bulunuz.

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Aşağıdaki sonucu alıyoruz

İlk satırın denklemi

y = 2,2 x + (1.2)

İkinci satırın denklemi

y = 0.4285714285714 x + (-5)

İki doğrunun kesişme açısı (derece olarak)

-42.357454705937

İki doğrunun kesiştiği nokta

x=-3.5

y=-6.5

İki satırın parametrelerinin virgülle ve her satırın parametrelerinin noktalı virgülle ayrıldığını unutmayın.

Doğru (1:-4) ve (5:2) iki noktadan geçer. (-2:-8) noktasından geçen ve orijinal doğruyu 30 derecelik açıyla kesen doğrunun denklemini bulun.

Bir doğru, içinden geçtiği iki nokta bilindiği için bizim tarafımızdan bilinmektedir.

İkinci düz çizginin denklemini belirlemek için kalır. Bir nokta bizim tarafımızdan biliniyor ve ikincisi yerine, ilk çizginin ikinci ile kesiştiği açı belirtilir.

Her şey biliniyor gibi görünüyor, ancak buradaki asıl şey yanılmamak. x ekseni ile doğru arasındaki değil, birinci ve ikinci doğrular arasındaki açıdan (30 derece) bahsediyoruz.

Bunun için böyle yayınlıyoruz. İlk satırın parametrelerini belirleyelim ve x eksenini hangi açıyla kestiğini bulalım.

satır xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Genel denklem Ax+By+C = 0

Katsayı A = -6

Faktör B = 4

Katsayı C = 22

Katsayı a= 3.6666666666667

Katsayı b = -5.5

Katsayı k = 1.5

Eksene eğim açısı (derece olarak) f = 56.309932474019

Katsayı p = 3.0508510792386

Katsayı q = 2.5535900500422

Noktalar arası mesafe=7.211102550928

İlk çizginin ekseni bir açıyla geçtiğini görüyoruz. 56.309932474019 derece.

Kaynak veriler, ikinci satırın birinciyle nasıl kesiştiğini tam olarak söylemiyor. Sonuçta, koşulları sağlayan iki çizgi çizmek mümkündür, ilki saat yönünde 30 derece döndürülmüş ve ikincisi saat yönünün tersine 30 derece döndürülmüştür.

onları sayalım

İkinci çizgi SAAT YÖNÜNÜN TERSİNE 30 derece döndürülürse, ikinci çizgi x ekseni ile bir dereceye kadar kesişir. 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 derece

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Verilen parametrelere göre düz çizgi parametreleri

Genel denklem Ax+By+C = 0

Katsayı A = 23.011106998916

Faktör B = -1.4840558255286

Katsayı C = 34.149767393603

x/a+y/b = 1 segmentlerinde bir doğrunun denklemi

Katsayı a= -1.4840558255286

Katsayı b = 23.011106998916

Açısal katsayısı y = kx + b olan bir doğrunun denklemi

Katsayı k = 15.505553499458

Eksene eğim açısı (derece olarak) f = 86.309932474019

Doğrunun normal denklemi x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Katsayı p = -1.4809790664999

Katsayı q = 3.0771888256405

Noktalar arası mesafe=23.058912962428

Noktadan doğruya uzaklık li =

yani, ikinci satır denklemimiz y= 15.505553499458x+ 23.011106998916