Atrodiet taisnu līniju slīpumu un slīpumu. Taisnes līnijas ar slīpumu vienādojums: teorija, piemēri, problēmu risināšana

Līnija y \u003d f (x) būs pieskares diagrammai, kas parādīta attēlā punktā x0, ja tā iet caur punktu ar koordinātām (x0; f (x0)) un tai ir slīpums f "(x0). Atrodiet šāds koeficients, zinot pieskares pazīmes, nav grūti.

Jums būs nepieciešams

• - matemātikas uzziņu grāmata;
• - vienkāršs zīmulis;
• - piezīmju grāmatiņa;
• - transportieri;
• - kompass;
• - pildspalva.

Instrukcija

Ja vērtība f’(x0) neeksistē, tad vai nu nav pieskares, vai arī tā iet vertikāli. Ņemot to vērā, funkcijas atvasinājuma klātbūtne punktā x0 ir saistīta ar nevertikālas pieskares esamību, kas ir saskarē ar funkcijas grafiku punktā (x0, f(x0)). Šajā gadījumā slīpums tangenss būs f "(x0). Tādējādi kļūst skaidrs ģeometriskā nozīme atvasinājums - pieskares slīpuma aprēķins.

Uzzīmējiet papildu pieskares, kas būtu saskarē ar funkcijas grafiku punktos x1, x2 un x3, kā arī atzīmējiet šo pieskares veidotos leņķus ar abscisu asi (šādu leņķi skaita pozitīvā virzienā no ass uz pieskares līnija). Piemēram, leņķis, tas ir, α1, būs akūts, otrais (α2) būs neass un trešais (α3) nulle, jo pieskares līnija ir paralēla x asij. Šajā gadījumā strupā leņķa tangensa ir negatīva, akūta leņķa pieskare ir pozitīva, un tg0 rezultāts ir nulle.

Piezīme

Pareizi nosakiet pieskares veidoto leņķi. Lai to izdarītu, izmantojiet transportieri.

Noderīgs padoms

Divas slīpas līnijas būs paralēlas, ja to slīpumi ir vienādi; perpendikulāri, ja šo pieskares slīpumu reizinājums ir -1.

Avoti:

• Funkcijas grafika pieskare

Kosinuss, tāpat kā sinuss, tiek saukts par "tiešajām" trigonometriskajām funkcijām. Pieskares (kopā ar kotangensu) pievieno citam pārim, ko sauc par "atvasinājumiem". Ir vairākas šo funkciju definīcijas, kas ļauj atrast pieskares doto zināma vērtība tādas pašas vērtības kosinuss.

Instrukcija

Atņemiet koeficientu no vienības ar dotā leņķa kosinusu, kas pacelts līdz vērtībai, un no rezultāta iegūstiet kvadrātsakni - tā būs leņķa pieskares vērtība, kas izteikta ar tās kosinusu: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Tajā pašā laikā pievērsiet uzmanību tam, ka formulā kosinuss atrodas daļskaitļa saucējā. Neiespējamība dalīt ar nulli izslēdz šīs izteiksmes izmantošanu leņķiem, kas vienādi ar 90°, kā arī atšķirību no šīs vērtības ar 180° reizinājumiem (270°, 450°, -90° utt.).

Ir arī alternatīvs veids pieskares aprēķināšana no zināmās kosinusa vērtības. To var izmantot, ja nav ierobežojumu citu lietošanai. Lai ieviestu šo metodi, vispirms nosaka leņķa vērtību no zināmas kosinusa vērtības – to var izdarīt, izmantojot arkosinusa funkciju. Pēc tam vienkārši aprēķiniet iegūtās vērtības leņķa tangensu. Kopumā šo algoritmu var uzrakstīt šādi: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ir arī eksotiska iespēja, izmantojot kosinusa un tangensa definīciju asi stūri taisnleņķa trīsstūris. Kosinuss šajā definīcijā atbilst aplūkojamajam leņķim blakus esošās kājas garuma attiecībai pret hipotenūzas garumu. Zinot kosinusa vērtību, var izvēlēties tai atbilstošos šo divu malu garumus. Piemēram, ja cos(α)=0,5, tad blakus esošo var pieņemt vienādu ar 10 cm, bet hipotenūzu - 20 cm. Konkrētiem skaitļiem šeit nav nozīmes - jūs saņemsiet to pašu un pareizību ar visām vērtībām, kurām ir vienādas. Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, nosakiet trūkstošās puses - pretējās kājas - garumu. Viņa būs vienlīdzīga kvadrātsakne no starpības starp kvadrātveida hipotenūzas un zināmās kājas garumiem: √(20²-10²)=√300. Pēc definīcijas tangenss atbilst pretējo un blakus esošo kāju garumu attiecībai (√300/10) - aprēķiniet to un iegūstiet atrasto pieskares vērtību, izmantojot klasisko kosinusa definīciju.

Avoti:

• kosinuss caur tangentes formulu

Viens no trigonometriskās funkcijas, visbiežāk apzīmē ar burtiem tg, lai gan sastopami arī apzīmējumi tan. Vienkāršākais veids ir attēlot tangensu kā sinusa attiecību stūrī līdz tā kosinusam. Šī ir nepāra periodiska un nevis nepārtraukta funkcija, kuras katrs cikls ir vienāds ar skaitli Pi, un pārtraukuma punkts atbilst pusei no šī skaitļa.

Tēmai "Pieskares leņķiskais koeficients kā slīpuma leņķa pieskare" sertifikācijas eksāmenā tiek doti uzreiz vairāki uzdevumi. Atkarībā no stāvokļa absolventam var būt jāsniedz gan pilnīga atbilde, gan īsa atbilde. Gatavojoties uz nokārtojot eksāmenu matemātikā skolēnam noteikti jāatkārto uzdevumi, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares slīpumu.

To darot, tas jums palīdzēs izglītības portāls"Školkova". Mūsu eksperti ir sagatavojuši un prezentējuši teorētisko un praktisko materiālu pēc iespējas pieejamāku. Iepazīstoties ar to, jebkura apmācības līmeņa absolventi varēs veiksmīgi atrisināt ar atvasinājumiem saistītas problēmas, kurās nepieciešams atrast pieskares slīpuma tangensu.

Pamata momenti

Lai eksāmenā atrastu pareizo un racionālo risinājumu šādiem uzdevumiem, jums jāatceras pamata definīcija: atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums; tas ir vienāds ar funkcijas grafikam noteiktā punktā novilktās pieskares slīpuma tangensu. Tikpat svarīgi ir pabeigt zīmējumu. Tas ļaus jums atrast pareizais lēmums IZMANTOT atvasinājuma uzdevumus, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares slīpuma tangensu. Skaidrības labad vislabāk ir uzzīmēt grafiku OXY plaknē.

Ja esat jau iepazinies ar pamatmateriālu par atvasinājuma tēmu un esat gatavs sākt risināt problēmas, lai aprēķinātu pieskares slīpuma leņķa tangensu, līdzīgi kā LIETOŠANAS uzdevumi jūs varat to izdarīt tiešsaistē. Katram uzdevumam, piemēram, uzdevumiem par tēmu "Atvasinājuma saistība ar ķermeņa ātrumu un paātrinājumu", pierakstījām pareizo atbildi un risinājuma algoritmu. Šajā gadījumā skolēni var vingrināties uzdevumu izpildē. dažādi līmeņi grūtības. Ja nepieciešams, vingrinājumu var saglabāt sadaļā "Izlase", lai vēlāk varētu pārrunāt lēmumu ar skolotāju.

Iemācieties ņemt funkciju atvasinājumus. Atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā, kas atrodas šīs funkcijas grafikā. Šajā gadījumā grafiks var būt taisna vai izliekta līnija. Tas ir, atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā laika brīdī. Atcerieties vispārīgie noteikumi kuriem tiek ņemti atvasinājumi, un tikai pēc tam pārejiet pie nākamās darbības.

• Izlasi rakstu.
• Kā ņemt vienkāršākos atvasinājumus, piemēram, atvasinājumu eksponenciālais vienādojums, aprakstīts. Turpmākajās darbībās sniegtie aprēķini tiks balstīti uz tur aprakstītajām metodēm.

Iemācieties atšķirt problēmas, kurās slīpums jāaprēķina kā funkcijas atvasinājums. Uzdevumos ne vienmēr tiek ieteikts atrast funkcijas slīpumu vai atvasinājumu. Piemēram, jums var lūgt atrast funkcijas izmaiņu ātrumu punktā A(x, y). Jums var arī lūgt atrast pieskares slīpumu punktā A(x, y). Abos gadījumos ir jāņem funkcijas atvasinājums.

Tēmas turpinājums par taisnes vienādojumu plaknē ir balstīts uz taisnes izpēti no algebras stundām. Šajā rakstā ir sniegta vispārīga informācija par taisnas līnijas un slīpuma vienādojuma tēmu. Apsveriet definīcijas, iegūstiet pašu vienādojumu, atklājiet attiecības ar cita veida vienādojumiem. Viss tiks apspriests problēmu risināšanas piemēros.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirms šāda vienādojuma rakstīšanas ir jādefinē taisnas līnijas slīpuma leņķis pret O x asi ar to slīpumu. Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma O x.

1. definīcija

Taisnas līnijas slīpuma leņķis pret asi O x, kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā O x y uz plaknes, tas ir leņķis, ko mēra no pozitīvā virziena O x līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Ja līnija ir paralēla Vērsim vai tajā notiek sakritība, slīpuma leņķis ir 0. Tad uz intervāla [0, π) tiek noteikts dotās taisnes slīpuma leņķis α.

2. definīcija

Taisnas līnijas slīpums ir dotās taisnes slīpuma tangenss.

Standarta apzīmējums ir k. No definīcijas iegūstam, ka k = t g α . Ja līnija ir paralēla Vērsim, tiek teikts, ka slīpums neeksistē, jo tas iet līdz bezgalībai.

Slīpums ir pozitīvs, kad funkcijas grafiks palielinās un otrādi. Attēlā parādītas dažādas atrašanās vietas variācijas pareizā leņķī attiecībā pret koordinātu sistēmu ar koeficienta vērtību.

Lai atrastu šo leņķi, jāpiemēro slīpuma koeficienta definīcija un jāaprēķina slīpuma leņķa tangenss plaknē.

Risinājums

No nosacījuma mēs iegūstam, ka α = 120 °. Pēc definīcijas jums jāaprēķina slīpums. Atradīsim to pēc formulas k = t g α = 120 = - 3 .

Atbilde: k = - 3 .

Ja ir zināms leņķa koeficients, bet ir jāatrod slīpuma leņķis pret x asi, tad jāņem vērā leņķa koeficienta vērtība. Ja k > 0, tad taisnais leņķis ir akūts un atrodams pēc formulas α = a r c t g k . Ja k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2. piemērs

Nosakiet dotās taisnes slīpuma leņķi pret O x ar slīpumu, kas vienāds ar 3.

Risinājums

No nosacījuma, ka slīpums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka slīpuma leņķis pret O x ir mazāks par 90 grādiem. Aprēķinus veic pēc formulas α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Atbilde: α = a r c t g 3 .

3. piemērs

Atrodiet taisnes slīpuma leņķi pret O x asi, ja slīpums = - 1 3 .

Risinājums

Ja par slīpuma apzīmējumu ņemam burtu k, tad α ir slīpuma leņķis pret doto taisni pozitīvā virzienā O x. Tādējādi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Atbilde: 5 pi 6.

Formas y \u003d k x + b vienādojumu, kur k ir slīpums un b ir kāds reāls skaitlis, sauc par taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu. Vienādojums ir tipisks jebkurai taisnei, kas nav paralēla O y asij.

Ja mēs detalizēti apsveram taisnu līniju plaknē fiksētā koordinātu sistēmā, ko dod vienādojums ar slīpumu, kas izskatās kā y \u003d k x + b. Šajā gadījumā tas nozīmē, ka jebkura līnijas punkta koordinātas atbilst vienādojumam. Ja punkta M koordinātas M 1 (x 1, y 1) aizstājam vienādojumā y \u003d k x + b, tad šajā gadījumā līnija iet caur šo punktu, pretējā gadījumā punkts nepieder pie līniju.

4. piemērs

Dota taisne ar slīpumu y = 1 3 x - 1 . Aprēķināt, vai punkti M 1 (3, 0) un M 2 (2, - 2) pieder dotajai taisnei.

Risinājums

Nepieciešams dotajā vienādojumā aizvietot punkta M 1 (3, 0) koordinātas, tad iegūstam 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Vienādība ir patiesa, tāpēc punkts pieder līnijai.

Ja aizvietojam punkta M 2 (2, - 2) koordinātas, tad iegūstam nepareizu formas vienādību - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Varam secināt, ka punkts M 2 nepieder pie taisnes.

Atbilde: M 1 pieder līnijai, bet M 2 nepieder.

Ir zināms, ka taisne tiek definēta ar vienādojumu y = k · x + b, kas iet caur M 1 (0 , b) , aizstāšana radīja vienādību formā b = k · 0 + b ⇔ b = b . No tā varam secināt, ka taisnes vienādojums ar slīpumu y = k · x + b uz plaknes definē taisni, kas iet caur punktu 0, b. Tas veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, kur k = t g α .

Apsveriet, piemēram, taisnu līniju, kas definēta, izmantojot slīpumu, kas dots formā y = 3 · x - 1 . Iegūstam, ka taisne iet caur punktu ar koordinātu 0, - 1 ar slīpumu α = a r c t g 3 = π 3 radiāni pa O x ass pozitīvo virzienu. No tā var redzēt, ka koeficients ir 3.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

Nepieciešams atrisināt uzdevumu, kur nepieciešams iegūt taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) .

Vienādību y 1 = k · x + b var uzskatīt par derīgu, jo taisne iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1) . Lai noņemtu skaitli b, no kreisās un labās puses ir jāatņem vienādojums ar slīpuma koeficientu. No tā izriet, ka y - y 1 = k · (x - x 1) . Šo vienādību sauc par vienādojumu taisnei ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur punkta M 1 (x 1, y 1) koordinātām.

5. piemērs

Sastādiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (4, - 1), ar slīpumu, kas vienāds ar - 2.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. No šejienes taisnes vienādojums tiks uzrakstīts šādi: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x +7.

Atbilde: y = - 2 x + 7 .

6. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (3, 5) paralēli taisnei y \u003d 2 x - 2.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka paralēlām līnijām ir sakrītoši slīpuma leņķi, tāpēc slīpuma koeficienti ir vienādi. Lai atrastu slīpumu no dots vienādojums, ir jāatgādina tās pamatformula y = 2 x - 2, no tā izriet, ka k = 2 . Mēs sastādām vienādojumu ar slīpuma koeficientu un iegūstam:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atbilde: y = 2 x - 1 .

Pāreja no taisnas līnijas vienādojuma ar slīpumu uz cita veida taisnes vienādojumiem un otrādi

Šāds vienādojums ne vienmēr ir piemērojams problēmu risināšanai, jo tam ir ne pārāk ērts apzīmējums. Lai to izdarītu, tas ir jāuzrāda citā formā. Piemēram, vienādojums formā y = k · x + b neļauj pierakstīt taisnes virziena vektora koordinātas vai normālvektora koordinātas. Lai to izdarītu, jums jāiemācās attēlot cita veida vienādojumus.

Mēs varam dabūt kanoniskais vienādojums taisne plaknē, izmantojot vienādojumu taisne ar slīpumu. Mēs iegūstam x - x 1 a x = y - y 1 a y . Nepieciešams pārvietot terminu b uz kreiso pusi un dalīt ar iegūtās nevienādības izteiksmi. Tad iegūstam vienādojumu formā y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Taisnes līnijas vienādojums ar slīpumu ir kļuvis par dotās taisnes kanonisko vienādojumu.

7. piemērs

Izveidojiet taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu y = - 3 x + 12 kanoniskā formā.

Risinājums

Mēs aprēķinām un attēlojam taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma formā. Mēs iegūstam formas vienādojumu:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atbilde: x 1 = y - 12 - 3.

Taisnes vispārīgo vienādojumu visvieglāk iegūt no y = k x + b, bet tam ir nepieciešamas transformācijas: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Pāreja tiek veikta no vispārējais vienādojums tieši uz cita veida vienādojumiem.

8. piemērs

Dots taisnes formas y = 1 7 x - 2 vienādojums. Uzziniet, vai vektors ar koordinātām a → = (- 1 , 7) ir normāls taisnes vektors?

Risinājums

Lai to atrisinātu, ir jāpārslēdzas uz citu šī vienādojuma formu, šim nolūkam mēs rakstām:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficienti mainīgo lielumu priekšā ir taisnes normālā vektora koordinātas. Rakstīsim šādi n → = 1 7 , - 1 , tātad 1 7 x - y - 2 = 0 . Ir skaidrs, ka vektors a → = (- 1 , 7) ir kolineārs vektoram n → = 1 7 , - 1 , jo mums ir godīga sakarība a → = - 7 · n → . No tā izriet, ka sākotnējais vektors a → = - 1 , 7 ir taisnes 1 7 x - y - 2 = 0 normāls vektors , kas nozīmē , ka tas tiek uzskatīts par taisnes y = 1 7 x - 2 normālu vektoru .

Atbilde: Ir

Atrisināsim problēmu apgriezti šai problēmai.

Nepieciešams pārcelties no vispārējs skats vienādojums A x + B y + C = 0, kur B ≠ 0, slīpuma vienādojumam. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu y. Iegūstam A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultātā tiek iegūts vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar - A B .

9. piemērs

Dots taisnes formas 2 3 x - 4 y + 1 = 0 vienādojums. Iegūstiet vienādojumu noteiktai līnijai ar slīpumu.

Risinājums

Pamatojoties uz nosacījumu, ir jāatrisina y, tad iegūstam formas vienādojumu:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atbilde: y = 1 6 x + 1 4 .

Līdzīgā veidā tiek atrisināts formas x a + y b \u003d 1 vienādojums, ko sauc par taisnas līnijas vienādojumu segmentos vai kanonisko formu x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Tas ir jāatrisina attiecībā pret y, tikai tad mēs iegūstam vienādojumu ar slīpumu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanonisko vienādojumu var reducēt līdz formai ar slīpumu. Priekš šī:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

10. piemērs

Ir taisne, kas dota ar vienādojumu x 2 + y - 3 = 1 . Izveidojiet vienādojuma formu ar slīpumu.

Risinājums.

Pamatojoties uz nosacījumu, ir nepieciešams pārveidot, tad iegūstam vienādojumu formā _formula_. Lai iegūtu nepieciešamo slīpuma vienādojumu, abas vienādojuma puses jāreizina ar -3. Pārveidojot, mēs iegūstam:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atbilde: y = 3 2 x - 3 .

11. piemērs

Formas x - 2 2 \u003d y + 1 5 taisnās līnijas vienādojums tiek nogādāts formā ar slīpumu.

Risinājums

Nepieciešams aprēķināt izteiksmi x - 2 2 = y + 1 5 kā proporciju. Mēs iegūstam, ka 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tagad jums tas ir pilnībā jāiespējo šim nolūkam:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atbilde: y = 5 2 x - 6 .

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, taisnes formas x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametriskie vienādojumi ir jāsamazina līdz taisnes kanoniskajam vienādojumam, tikai pēc tam varat pāriet uz vienādojums ar slīpumu.

12. piemērs

Atrodiet taisnes slīpumu, ja to nosaka parametru vienādojumi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Risinājums

Jums ir jāpāriet no parametriskā skata uz slīpumu. Lai to izdarītu, no dotā parametriskā vienādojuma atrodam kanonisko vienādojumu:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Tagad ir jāatrisina šī vienādība attiecībā pret y, lai iegūtu taisnes ar slīpumu vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs rakstām šādi:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

No tā izriet, ka taisnes slīpums ir vienāds ar 2. Tas ir uzrakstīts kā k = 2 .

Atbilde: k = 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Slīpuma koeficients ir taisns. Šajā rakstā mēs apskatīsim uzdevumus, kas saistīti ar matemātikas eksāmenā iekļauto koordinātu plakni. Šie ir uzdevumi:

- taisnas līnijas slīpuma noteikšana, kad ir zināmi divi punkti, caur kuriem tā iet;
- divu plaknes līniju krustošanās punkta abscisu vai ordinātu noteikšana.

Šajā sadaļā tika aprakstīts, kas ir punkta abscisa un ordinātas. Tajā mēs jau esam apsvēruši vairākas problēmas, kas saistītas ar koordinātu plakni. Kas ir jāsaprot aplūkojamo uzdevumu veidam? Mazliet teorijas.

Taisnas līnijas vienādojumam koordinātu plaknē ir šāda forma:

kur k – tas ir taisnes slīpums.

Nākamais brīdis! Taisnas līnijas slīpums vienāds ar tangensu taisnas līnijas slīpuma leņķis. Tas ir leņķis starp doto līniju un asiak.

Tas ir no 0 līdz 180 grādiem.

Tas ir, ja mēs reducējam taisnas līnijas vienādojumu līdz formai y = kx + b, tad tālāk vienmēr varam noteikt koeficientu k (slīpuma koeficients).

Turklāt, ja mēs varam noteikt taisnes slīpuma tangensu, pamatojoties uz nosacījumu, tad mēs atradīsim tās slīpumu.

Nākamais teorētiskais brīdis!Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur diviem dotiem punktiem.Formula izskatās šādi:

Apsveriet problēmas (līdzīgas tām, kas radušās atvērta banka uzdevumi):

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (–6; 0) un (0; 6).

Šajā uzdevumā racionālākais veids, kā to atrisināt, ir atrast pieskares leņķim starp x asi un doto taisni. Ir zināms, ka tas ir vienāds ar leņķa koeficientu. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri, ko veido taisna līnija un x un y asis:

Leņķa tangensa collā taisnleņķa trīsstūris ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

* Abas kājas ir vienādas ar sešām (tādi ir to garumi).

Protams, šo uzdevumu var atrisināt, izmantojot formulu taisnes vienādojuma atrašanai, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Bet tas būs garāks risinājuma ceļš.

Atbilde: 1

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (5;0) un (0;5).

Mūsu punktiem ir koordinātas (5;0) un (0;5). nozīmē,

Pievedīsim formulu formā y = kx + b

Mēs saņēmām šo leņķa koeficientu k = – 1.

Atbilde: -1

Taisni a iet caur punktiem ar koordinātām (0;6) un (8;0). Taisni b iet caur punktu ar koordinātām (0;10) un ir paralēla taisnei a b ar asi vērsis.

Šajā uzdevumā jūs varat atrast taisnas līnijas vienādojumu a, nosakiet tam slīpumu. Taisne b slīpums būs vienāds, jo tie ir paralēli. Tālāk jūs varat atrast taisnas līnijas vienādojumu b. Un tad, aizstājot tajā vērtību y = 0, atrodiet abscisu. BET!

Šajā gadījumā ir vieglāk izmantot trīsstūra līdzības īpašību.

Dotās (paralēlās) koordinātu taisnes veidotie taisnleņķa trijstūri ir līdzīgi, kas nozīmē, ka to attiecīgo malu attiecības ir vienādas.

Vēlamā abscisa ir 40/3.

Atbilde: 40/3

Taisni a iet caur punktiem ar koordinātām (0;8) un (–12;0). Taisni b iet caur punktu ar koordinātām (0; -12) un ir paralēla taisnei a. Atrodiet līnijas krustošanās punkta abscisu b ar asi vērsis.

Šai problēmai racionālākais veids, kā to atrisināt, ir izmantot trīsstūru līdzības īpašību. Bet mēs to atrisināsim savādāk.

Mēs zinām punktus, caur kuriem līnija iet a. Mēs varam uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu. Formula taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem:

Pēc nosacījuma punktiem ir koordinātas (0;8) un (–12;0). nozīmē,

Ņemsim pie prāta y = kx + b:

Dabūju to stūrīti k = 2/3.

*Leņķa koeficientu var atrast caur leņķa tangensu taisnleņķa trijstūrī ar kājiņām 8 un 12.

Mēs zinām, ka paralēlām līnijām ir vienādi slīpumi. Tātad taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu (0;-12), ir šāda forma:

Atrodiet vērtību b mēs varam aizstāt abscisu un ordinēt vienādojumā:

Tātad līnija izskatās šādi:

Tagad, lai atrastu vēlamo līnijas krustošanās punkta abscisu ar x asi, jums jāaizstāj y \u003d 0:

Atbilde: 18

Atrodiet ass krustošanās punkta ordinātas oi un taisne, kas iet caur punktu B(10;12), un paralēla līnija, kas iet caur sākuma punktu un punktu A(10;24).

Atradīsim vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0;0) un (10;24).

Formula taisnes vienādojumam, kas iet caur diviem dotiem punktiem:

Mūsu punktiem ir koordinātas (0;0) un (10;24). nozīmē,

Ņemsim pie prāta y = kx + b

Paralēlo līniju slīpumi ir vienādi. Tādējādi taisnes vienādojumam, kas iet caur punktu B (10; 12), ir šāda forma:

Nozīme b aizvietojot punkta B koordinātas (10; 12) šajā vienādojumā, mēs atrodam:

Mēs saņēmām taisnas līnijas vienādojumu:

Lai atrastu šīs taisnes krustošanās punkta ordinātu ar asi OU ir jāaizvieto atrastajā vienādojumā X= 0:

* Vieglākais risinājums. Ar paralēlās tulkošanas palīdzību mēs nobīdām šo līniju uz leju pa asi OU uz punktu (10;12). Nobīde notiek par 12 vienībām, tas ir, punkts A(10;24) "nokārtots" uz punktu B(10;12), bet punkts O(0;0) "nodots" uz punktu (0;–12). Tātad iegūtā līnija krustos ar asi OU punktā (0;–12).

Vēlamā ordināta ir -12.

Atbilde: -12

Atrodiet vienādojuma dotās taisnes krustošanās punkta ordinātas

3x + 2 g = 6, ar asi Oy.

Dotās taisnes krustošanās punkta koordināte ar asi OU ir forma (0; plkst). Aizvietojiet abscisu vienādojumā X= 0 un atrodiet ordinātu:

Taisnes ar asi krustošanās punkta ordināta OU vienāds ar 3.

*Sistēma tiek atrisināta:

Atbilde: 3

Atrodiet vienādojumu doto taisnes krustošanās punkta ordinātas

3x + 2y = 6 un y = - x.

Kad ir dotas divas taisnes un jautājums ir par šo līniju krustošanās punkta koordināšu atrašanu, tiek atrisināta šo vienādojumu sistēma:

Pirmajā vienādojumā mēs aizstājam - X tā vietā plkst:

Ordinātas ir mīnus sešas.

Atbilde: – 6

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (–2; 0) un (0; 2).

Atrodiet taisnes slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām (2;0) un (0;2).

Taisne a iet caur punktiem ar koordinātām (0;4) un (6;0). Taisne b iet caur punktu ar koordinātām (0;8) un ir paralēla taisnei a. Atrodiet taisnes b un x-ass krustošanās punkta abscisu.

Atrodiet y ass un taisnes, kas iet caur punktu B (6;4), un paralēlās taisnes, kas iet caur sākuma punktu un punktu A (6;8), krustošanās punkta ordinātas.

1. Ir skaidri jāsaprot, ka taisnes slīpums ir vienāds ar taisnes slīpuma pieskari. Tas palīdzēs jums atrisināt daudzas šāda veida problēmas.

2. Ir jāsaprot formula taisnes atrašanai, kas iet caur diviem dotiem punktiem. Ar tās palīdzību jūs vienmēr varat atrast taisnas līnijas vienādojumu, ja ir norādītas divu tās punktu koordinātas.

3. Atcerieties, ka paralēlo līniju slīpumi ir vienādi.

4. Kā jūs saprotat, dažos uzdevumos ir ērti izmantot trīsstūru līdzības zīmi. Problēmas tiek risinātas praktiski mutiski.

5. Uzdevumus, kuros dotas divas taisnes un jāatrod to krustpunkta abscises vai ordinātas, var atrisināt grafiski. Tas ir, izveidojiet tos koordinātu plaknē (uz lapas šūnā) un vizuāli nosakiet krustošanās punktu. *Bet šī metode ne vienmēr ir piemērojama.

6. Un pēdējais. Ja ir dota taisne un tās krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm, tad šādos uzdevumos ir ērti atrast slīpumu, atrodot leņķa tangensu izveidotajā taisnleņķa trijstūrī. Tālāk shematiski parādīts, kā "redzēt" šo trīsstūri dažādiem līniju izvietojumiem plaknē:

>> Līnijas slīpuma leņķis no 0 līdz 90 grādiem<<

>> Taisnas līnijas leņķis no 90 līdz 180 grādiem<<

Tas ir viss. Veiksmi tev!

Ar cieņu Aleksandrs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.