Lineārie vienādojumi. Risinājums, piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Lineārie vienādojumi.

Lineārie vienādojumi nav vissarežģītākā tēma skolas matemātikā. Bet ir daži triki, kas var samulsināt pat apmācītu studentu. Vai mēs to izdomāsim?)

Lineāro vienādojumu parasti definē kā vienādojumu šādā formā:

cirvis + b = 0 kur a un b- jebkuri cipari.

2x + 7 = 0. Šeit a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 šeit a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Šeit a=12, b=1/2

Nekas sarežģīts, vai ne? It īpaši, ja nepamanāt vārdus: "kur a un b ir jebkuri skaitļi"... Un, ja pamanāt, bet bezrūpīgi domājat par to?) Galu galā, ja a=0, b=0(vai ir iespējami kādi skaitļi?), tad iegūstam smieklīgu izteiksmi:

Bet tas vēl nav viss! Ja, teiksim, a=0, a b=5, izrādās kaut kas diezgan absurds:

Kas sasprindzina un mazina pārliecību par matemātiku, jā...) Īpaši eksāmenos. Bet no šiem dīvainajiem izteicieniem jāatrod arī X! Kas nemaz neeksistē. Un, pārsteidzoši, šo X ir ļoti viegli atrast. Mēs uzzināsim, kā to izdarīt. Šajā nodarbībā.

Kā pēc izskata atpazīt lineāro vienādojumu? Tas ir atkarīgs no tā, ko izskats.) Viltība ir tāda, ka lineāros vienādojumus sauc ne tikai par formas vienādojumiem cirvis + b = 0 , bet arī jebkurus vienādojumus, kas ir reducēti līdz šai formai ar pārveidojumiem un vienkāršojumiem. Un kas zina, vai tas ir samazināts vai nē?)

Dažos gadījumos var skaidri atpazīt lineāro vienādojumu. Sakiet, ja mums ir vienādojums, kurā ir tikai nezināmie pirmajā pakāpē, jā, skaitļi. Un vienādojums nē frakcijas dalītas ar nezināms , tas ir svarīgi! Un dalījums ar numurs, vai daļskaitlis - tas arī viss! Piemēram:

Šis ir lineārs vienādojums. Šeit ir daļskaitļi, bet nav x kvadrātā, kubā utt., un saucējos nav x, t.i. Nē dalījums ar x. Un šeit ir vienādojums

nevar saukt par lineāru. Šeit x visi ir pirmajā pakāpē, bet ir dalīšana ar izteiksmi ar x. Pēc vienkāršošanas un pārveidojumiem varat iegūt lineāro vienādojumu, kvadrātvienādojumu un visu, kas jums patīk.

Izrādās, ka nav iespējams noskaidrot lineāro vienādojumu kādā sarežģītā piemērā, kamēr jūs to gandrīz neatrisināt. Tas ir satraucoši. Bet uzdevumos, kā likums, viņi nejautā par vienādojuma formu, vai ne? Uzdevumos vienādojumi ir sakārtoti izlemt. Tas mani iepriecina.)

Lineāro vienādojumu risinājums. Piemēri.

Viss lineāro vienādojumu risinājums sastāv no identiskiem vienādojumu pārveidojumiem. Starp citu, šīs pārvērtības (pat divas!) ir risinājumu pamatā visi matemātikas vienādojumi. Citiem vārdiem sakot, lēmums jebkura Vienādojums sākas ar šīm pašām transformācijām. Lineāro vienādojumu gadījumā tas (risinājums) uz šīm transformācijām beidzas ar pilnvērtīgu atbildi. Ir jēga sekot saitei, vai ne?) Turklāt ir arī lineāro vienādojumu risināšanas piemēri.

Sāksim ar vienkāršāko piemēru. Bez jebkādām kļūdām. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds vienādojums.

x - 3 = 2 - 4x

Šis ir lineārs vienādojums. X visi ir pirmajā pakāpē, nav dalījuma ar X. Bet patiesībā mums ir vienalga, kāds ir vienādojums. Mums tas ir jāatrisina. Shēma šeit ir vienkārša. Savāc visu ar x vienādojuma kreisajā pusē, visu bez x (skaitļiem) labajā pusē.

Lai to izdarītu, jums ir jāpārsūta - 4x uz kreiso pusi, ar zīmes maiņu, protams, bet - 3 - pa labi. Starp citu, tas ir pirmā identiska vienādojumu transformācija. Pārsteigts? Tātad, viņi neievēroja saiti, bet velti ...) Mēs saņemam:

x + 4x = 2 + 3

Mēs dodam līdzīgu, mēs uzskatām:

Kas mums ir nepieciešams, lai mēs būtu pilnīgi laimīgi? Jā, lai pa kreisi būtu tīrs X! Pieci traucē. Atbrīvojieties no pieciem ar otrā identiska vienādojumu transformācija. Proti, abas vienādojuma daļas sadalām ar 5. Iegūstam gatavu atbildi:

Protams, elementārs piemērs. Šis ir paredzēts iesildīšanai.) Nav īsti skaidrs, kāpēc es šeit atcerējos identiskas pārvērtības? LABI. Vērsim pie ragiem.) Izlemsim ko iespaidīgāku.

Piemēram, šeit ir šāds vienādojums:

Kur mēs sākam? Ar X - pa kreisi, bez X - pa labi? Varētu būt tā. Mazi soļi garajā ceļā. Un jūs varat nekavējoties, universālā un spēcīgā veidā. Ja vien, protams, jūsu arsenālā nav identisku vienādojumu transformāciju.

Es jums uzdodu galveno jautājumu: Kas jums visvairāk nepatīk šajā vienādojumā?

95 cilvēki no 100 atbildēs: frakcijas ! Atbilde ir pareiza. Tāpēc tiksim no tiem vaļā. Tāpēc mēs sākam uzreiz ar otrā identiska transformācija. Kas jums nepieciešams, lai reizinātu daļu kreisajā pusē, lai saucējs būtu pilnībā samazināts? Tieši tā, 3. Un labajā pusē? Ar 4. Bet matemātika ļauj mums reizināt abas puses ar tas pats numurs. Kā mēs tiekam ārā? Sareizināsim abas puses ar 12! Tie. uz kopsaucēju. Tad trīs tiks samazināti, un četri. Neaizmirstiet, ka jums ir jāreizina katra daļa pilnībā. Lūk, kā izskatās pirmais solis:

Iekavu paplašināšana:

Piezīme! Skaitītājs (x+2) Es ņēmu iekavās! Tas ir tāpēc, ka, reizinot daļskaitļus, skaitītājs tiek reizināts ar veselo, pilnībā! Un tagad jūs varat samazināt frakcijas un samazināt:

Atverot atlikušās iekavas:

Nav piemērs, bet tīrs prieks!) Tagad mēs atceramies burvestību no zemākajām klasēm: ar x - pa kreisi, bez x - pa labi! Un izmantojiet šo transformāciju:

Šeit ir daži, piemēram:

Un abas daļas sadalām ar 25, t.i. vēlreiz pielietojiet otro transformāciju:

Tas ir viss. Atbilde: X=0,16

Ņemiet vērā: lai sākotnējo mulsinošo vienādojumu iegūtu patīkamā formā, mēs izmantojām divus (tikai divus!) identiskas pārvērtības- tulkošana pa kreisi-pa labi ar zīmes maiņu un vienādojuma reizināšanu-dalīšanu ar to pašu skaitli. Tas ir universāls veids! Mēs strādāsim šādā veidā jebkura vienādojumi! Pilnīgi jebkura. Tāpēc es visu laiku atkārtoju šīs identiskās pārvērtības.)

Kā redzat, lineāro vienādojumu risināšanas princips ir vienkāršs. Mēs ņemam vienādojumu un vienkāršojam to ar identisku transformāciju palīdzību, līdz iegūstam atbildi. Galvenās problēmas šeit ir aprēķinos, nevis risinājuma principā.

Bet ... Elementārāko lineāro vienādojumu risināšanas procesā ir tādi pārsteigumi, ka tie var iedzīt spēcīgā stuporā...) Par laimi, šādi pārsteigumi var būt tikai divi. Sauksim tos par īpašiem gadījumiem.

Īpaši gadījumi lineāro vienādojumu risināšanā.

Vispirms pārsteigums.

Pieņemsim, ka jūs saskaraties ar elementāru vienādojumu, piemēram:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Nedaudz garlaicīgi pārnesam ar X pa kreisi, bez X - pa labi... Ar zīmes maiņu viss zods-chinar... Saņemam:

2x-5x+3x=5-2-3

Mēs ticam, un ... ak! Mēs iegūstam:

Pati par sevi šī vienlīdzība nav nosodāma. Nulle tiešām nulle. Bet X ir prom! Un mums atbildē jāieraksta, ar ko x ir vienāds. Citādi risinājums neskaitās, jā...) Strupceļš?

Mierīgi! Šādos apšaubāmos gadījumos izglābj vispārīgākie noteikumi. Kā atrisināt vienādojumus? Ko nozīmē atrisināt vienādojumu? Tas nozīmē, atrodiet visas x vērtības, kuras, aizstājot sākotnējā vienādojumā, dos mums pareizo vienādību.

Bet mums ir pareiza vienlīdzība jau noticis! 0=0, kur īsti?! Atliek noskaidrot, pie kādiem x tas tiek iegūts. Ar kādām x vērtībām var aizstāt oriģināls vienādojums, ja šie x joprojām sarūk līdz nullei? Aiziet?)

Jā!!! Xs var aizstāt jebkura! Ko tu gribi. Vismaz 5, vismaz 0,05, vismaz -220. Viņi joprojām saruks. Ja neticat man, varat to pārbaudīt.) Aizstājiet jebkuru x vērtību oriģināls vienādojumu un aprēķini. Visu laiku būs tīra patiesība: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 un tā tālāk.

Šeit ir jūsu atbilde: x ir jebkurš skaitlis.

Atbildi var rakstīt ar dažādiem matemātiskajiem simboliem, būtība nemainās. Šī ir pilnīgi pareiza un pilnīga atbilde.

Pārsteigums otrais.

Ņemsim to pašu elementāro lineāro vienādojumu un mainīsim tajā tikai vienu skaitli. Lūk, ko mēs izlemsim:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Pēc tām pašām identiskām pārvērtībām mēs iegūstam kaut ko intriģējošu:

Kā šis. Atrisināja lineāru vienādojumu, ieguva dīvainu vienādību. Matemātiski runājot, mums ir nepareiza vienlīdzība. Un runājot vienkārša valoda, Tā nav taisnība. Rave. Bet tomēr šī muļķība ir diezgan labs iemesls pareizs lēmums vienādojumi.)

Atkal mēs domājam no vispārīgie noteikumi. Ko x, aizstājot sākotnējā vienādojumā, mums dos pareizi vienlīdzība? Jā, neviena! Tādu x nav. Lai ko jūs aizstātu, viss tiks samazināts, muļķības paliks.)

Šeit ir jūsu atbilde: risinājumu nav.

Šī ir arī pilnīgi pamatota atbilde. Matemātikā šādas atbildes bieži rodas.

Kā šis. Tagad es ceru, ka X zaudēšana jebkura (ne tikai lineāra) vienādojuma risināšanas procesā jūs nemaz netraucēs. Lieta ir pazīstama.)

Tagad, kad esam tikuši galā ar visām kļūdām lineārie vienādojumi, ir jēga tos atrisināt.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Pakalpojums vienādojumu risināšanai tiešsaistē palīdzēs atrisināt jebkuru vienādojumu. Izmantojot mūsu vietni, jūs ne tikai iegūsit atbildi uz vienādojumu, bet arī redzēsit detalizēts risinājums, tas ir, rezultāta iegūšanas procesa soli pa solim attēlojums. Mūsu pakalpojums noderēs vidusskolēniem un viņu vecākiem. Skolēni varēs sagatavoties ieskaitēm, eksāmeniem, pārbaudīt savas zināšanas, bet vecāki varēs kontrolēt savu bērnu matemātisko vienādojumu risināšanu. Prasme atrisināt vienādojumus ir obligāta prasība skolēniem. Pakalpojums palīdzēs pašam mācīties un pilnveidot zināšanas matemātisko vienādojumu jomā. Ar to jūs varat atrisināt jebkuru vienādojumu: kvadrātisko, kubisko, iracionālo, trigonometrisko utt. tiešsaistes pakalpojums bet nenovērtējams, jo papildus pareizajai atbildei jūs saņemat detalizētu katra vienādojuma risinājumu. Ieguvumi no vienādojumu risināšanas tiešsaistē. Jūs varat atrisināt jebkuru vienādojumu tiešsaistē mūsu vietnē pilnīgi bez maksas. Serviss ir pilnībā automātisks, datorā nekas nav jāinstalē, tikai jāievada dati un programma izdos risinājumu. Jebkādas aprēķinu kļūdas vai drukas kļūdas ir izslēgtas. Ar mums tiešsaistē ir ļoti viegli atrisināt jebkuru vienādojumu, tāpēc noteikti izmantojiet mūsu vietni, lai atrisinātu jebkāda veida vienādojumus. Jums tikai jāievada dati, un aprēķins tiks pabeigts dažu sekunžu laikā. Programma darbojas neatkarīgi, bez cilvēka iejaukšanās, un jūs saņemat precīzu un detalizētu atbildi. Vienādojuma atrisinājums vispārīgā formā. Šādā vienādojumā mainīgo koeficienti un vēlamās saknes ir savstarpēji saistīti. Mainīgā lielākā jauda nosaka šāda vienādojuma secību. Pamatojoties uz to, izmanto vienādojumus dažādas metodes un teorēmas risinājumu meklēšanai. Šāda veida vienādojumu risināšana nozīmē vajadzīgo sakņu atrašanu vispārīgā formā. Mūsu pakalpojums ļauj tiešsaistē atrisināt pat vissarežģītākos algebriskos vienādojumus. Jūs varat iegūt gan vispārīgo vienādojuma risinājumu, gan privāto risinājumu jūsu norādītajiem. skaitliskās vērtības koeficienti. Lai vietnē atrisinātu algebrisko vienādojumu, pietiek pareizi aizpildīt tikai divus laukus: dotā vienādojuma kreiso un labo daļu. Algebriskajiem vienādojumiem ar mainīgiem koeficientiem ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, un, uzstādot noteiktus nosacījumus, no risinājumu kopas tiek atlasīti konkrēti. Kvadrātvienādojums. Kvadrātvienādojuma forma ir ax^2+bx+c=0, ja a>0. Kvadrātveida vienādojumu risinājums nozīmē atrast x vērtības, pie kurām ir izpildīta vienādība ax ^ 2 + bx + c \u003d 0. Lai to izdarītu, diskriminanta vērtību nosaka pēc formulas D=b^2-4ac. Ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad vienādojumam nav reālu sakņu (saknes ir no komplekso skaitļu lauka), ja tas ir nulle, tad vienādojumam ir viena reāla sakne, un, ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad vienādojumam ir divas reālas saknes, kuras atrod pēc formulas: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Lai tiešsaistē atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums vienkārši jāievada šāda vienādojuma koeficienti (veseli skaitļi, daļskaitļi vai decimāldaļas). Ja vienādojumā ir atņemšanas zīmes, atbilstošo vienādojuma nosacījumu priekšā jāievieto mīnuss. Kvadrātvienādojumu var atrisināt arī tiešsaistē atkarībā no parametra, tas ir, vienādojuma koeficientu mainīgajiem. Mūsu tiešsaistes pakalpojums kopīgu risinājumu atrašanai lieliski tiek galā ar šo uzdevumu. Lineārie vienādojumi. Lineāro vienādojumu (vai vienādojumu sistēmu) risināšanai praksē tiek izmantotas četras galvenās metodes. Sīkāk aprakstīsim katru metodi. Aizvietošanas metode. Lai atrisinātu vienādojumus, izmantojot aizstāšanas metodi, ir jāizsaka viens mainīgais ar citiem. Pēc tam izteiksme tiek aizstāta ar citiem sistēmas vienādojumiem. Līdz ar to risinājuma metodes nosaukums, tas ir, mainīgā vietā tiek aizstāta tā izteiksme, izmantojot pārējos mainīgos. Praksē metode prasa sarežģītus aprēķinus, lai gan to ir viegli saprast, tāpēc šāda vienādojuma atrisināšana tiešsaistē ietaupīs laiku un atvieglos aprēķinus. Vienādojumā tikai jānorāda nezināmo skaits un jāaizpilda dati no lineārajiem vienādojumiem, tad pakalpojums veiks aprēķinu. Gausa metode. Metodes pamatā ir visvienkāršākās sistēmas transformācijas, lai iegūtu līdzvērtīgu trīsstūrveida sistēmu. No tā pa vienam tiek noteikti nezināmie. Praksē šāds vienādojums ir jāatrisina tiešsaistē ar Detalizēts apraksts, pateicoties kuriem jūs labi apgūsit Gausa metodi lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai. Pierakstiet lineāro vienādojumu sistēmu pareizā formātā un ņemiet vērā nezināmo skaitu, lai pareizi atrisinātu sistēmu. Krāmera metode. Šī metode atrisina vienādojumu sistēmas gadījumos, kad sistēmai ir vienīgais lēmums. Galvenā matemātiskā darbība šeit ir matricas determinantu aprēķins. Vienādojumu risinājums ar Cramer metodi tiek veikts tiešsaistē, jūs uzreiz iegūstat rezultātu ar pilnīgu un detalizētu aprakstu. Pietiek tikai aizpildīt sistēmu ar koeficientiem un izvēlēties nezināmo mainīgo skaitu. matricas metode. Šī metode sastāv no nezināmo koeficientu savākšanas matricā A, nezināmo koeficientu ailē X un brīvo vārdu ailē B. Tādējādi lineāro vienādojumu sistēma tiek reducēta līdz matricas vienādojums formā AxX=B. Šim vienādojumam ir unikāls risinājums tikai tad, ja matricas A determinants nav nulle, pretējā gadījumā sistēmai nav atrisinājumu vai bezgalīgs skaits risinājumu. Vienādojumu risinājums ar matricas metodi ir apgrieztās matricas A atrašana.

7. klases matemātikas kursā viņi vispirms tiekas ar vienādojumi ar diviem mainīgajiem, bet tie tiek pētīti tikai vienādojumu sistēmu kontekstā ar diviem nezināmajiem. Tāpēc tas ir ārpus redzesloka visa rinda problēmas, kurās tiek ieviesti noteikti nosacījumi vienādojuma koeficientiem, kas tos ierobežo. Turklāt tiek ignorētas arī tādas problēmu risināšanas metodes kā “Atrisiniet vienādojumu naturālos vai veselos skaitļos”, lai gan LIETOT materiālus un iestājpārbaudījumos ar šāda veida problēmām nākas saskarties arvien biežāk.

Kuru vienādojumu sauks par vienādojumu ar diviem mainīgajiem?

Tātad, piemēram, vienādojumi 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 vai xy = 12 ir divu mainīgo vienādojumi.

Apsveriet vienādojumu 2x - y = 1. Tas pārvēršas par patiesu vienādību pie x = 2 un y = 3, tāpēc šis mainīgo vērtību pāris ir izskatāmā vienādojuma risinājums.

Tādējādi jebkura vienādojuma risinājums ar diviem mainīgajiem ir sakārtotu pāru kopa (x; y), mainīgo vērtības, kuras šis vienādojums pārvērš patiesā skaitliskā vienādībā.

Vienādojums ar diviem nezināmiem var:

a) ir viens risinājums. Piemēram, vienādojumam x 2 + 5y 2 = 0 ir unikāls risinājums (0; 0);

b) ir vairāki risinājumi. Piemēram, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ir 4 risinājumi: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

iekšā) nav risinājumu. Piemēram, vienādojumam x 2 + y 2 + 1 = 0 nav atrisinājumu;

G) ir bezgala daudz risinājumu. Piemēram, x + y = 3. Šī vienādojuma risinājumi būs skaitļi, kuru summa ir 3. Šī vienādojuma atrisinājumu kopu var uzrakstīt kā (k; 3 - k), kur k ir jebkurš reāls skaitlis.

Galvenās metodes vienādojumu risināšanai ar diviem mainīgajiem ir metodes, kuru pamatā ir faktoringa izteiksmes, izceļot pilnu kvadrātu, izmantojot kvadrātvienādojuma īpašības, ierobežotās izteiksmes un novērtēšanas metodes. Vienādojums, kā likums, tiek pārveidots par formu, no kuras var iegūt sistēmu nezināmo atrašanai.

Faktorizācija

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu: xy - 2 = 2x - y.

Risinājums.

Faktoringa nolūkos mēs sagrupējam noteikumus:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. No katras iekavas izņemiet kopējo koeficientu:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Mums ir:

y = 2, x ir jebkurš reāls skaitlis vai x = -1, y ir jebkurš reāls skaitlis.

Pa šo ceļu, atbilde ir visi formas pāri (x; 2), x € R un (-1; y), y € R.

Nulle nav negatīvi skaitļi

2. piemērs

Atrisiniet vienādojumu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Risinājums.

Grupēšana:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Tagad katru iekava var sakļaut, izmantojot kvadrātveida starpības formulu.

(3x - 2) 2 + (2g - 3) 2 = 0.

Divu nenegatīvu izteiksmju summa ir nulle tikai tad, ja 3x - 2 = 0 un 2y - 3 = 0.

Tātad x = 2/3 un y = 3/2.

Atbilde: (2/3; 3/2).

Novērtēšanas metode

3. piemērs

Atrisiniet vienādojumu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Risinājums.

Katrā iekavā atlasiet pilnu kvadrātu:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Aprēķins iekavās esošo izteicienu nozīme.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 un (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tad vienādojuma kreisā puse vienmēr ir vismaz 2. Vienādība ir iespējama, ja:

(x + 1) 2 + 1 = 1 un (y - 2) 2 + 2 = 2, tātad x = -1, y = 2.

Atbilde: (-1; 2).

Iepazīsimies ar citu metodi vienādojumu risināšanai ar diviem otrās pakāpes mainīgajiem. Šī metode ir tāda, ka vienādojums tiek uzskatīts par kvadrātā attiecībā pret kādu mainīgo.

4. piemērs

Atrisiniet vienādojumu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Risinājums.

Atrisināsim vienādojumu kā kvadrātisko attiecībā pret x. Atradīsim diskriminantu:

D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16, y - 16 = -4 (√y - 2) 2 . Vienādojumam būs risinājums tikai tad, ja D = 0, t.i., ja y = 4. Mēs aizstājam y vērtību sākotnējā vienādojumā un konstatējam, ka x = 3.

Atbilde: (3; 4).

Bieži vien vienādojumos ar diviem nezināmiem norāda mainīgo lielumu ierobežojumi.

5. piemērs

Atrisiniet vienādojumu ar veseliem skaitļiem: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Risinājums.

Pārrakstīsim vienādojumu formā x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Iegūtā vienādojuma labā puse, dalot ar 5, iegūst atlikumu 2. Tāpēc x 2 nedalās ar 5. Bet kvadrāts skaitļa, kas nedalās ar 5, atlikums ir 1 vai 4. Tādējādi vienlīdzība nav iespējama un atrisinājumu nav.

Atbilde: nav sakņu.

6. piemērs

Atrisiniet vienādojumu: (x 2 - 4 | x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Risinājums.

Atlasīsim pilnos kvadrātus katrā iekavā:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vienādojuma kreisā puse vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 3. Vienādība ir iespējama, ja |x| – 2 = 0 un y + 3 = 0. Tādējādi x = ± 2, y = -3.

Atbilde: (2; -3) un (-2; -3).

7. piemērs

Katram negatīvo veselo skaitļu (x; y) pārim, kas apmierina vienādojumu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, aprēķiniet summu (x + y). Atbildiet uz mazāko summu.

Risinājums.

Atlasiet pilnus kvadrātus:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Tā kā x un y ir veseli skaitļi, arī to kvadrāti ir veseli skaitļi. Divu veselu skaitļu kvadrātu summu, kas vienāda ar 37, iegūstam, ja saskaitām 1 + 36. Tāpēc:

(x - y) 2 = 36 un (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 un (y + 2) 2 = 36.

Atrisinot šīs sistēmas un ņemot vērā, ka x un y ir negatīvi, atrodam risinājumus: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Atbilde: -17.

Neesiet izmisumā, ja jums ir grūtības, risinot vienādojumus ar diviem nezināmiem. Ar nelielu praksi jūs varēsit apgūt jebkuru vienādojumu.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt vienādojumus ar diviem mainīgajiem?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Instrukcija

Aizvietošanas metode Izsakiet vienu mainīgo un aizvietojiet to ar citu vienādojumu. Varat izteikt jebkuru mainīgo, kas jums patīk. Piemēram, izsakiet "y" no otrā vienādojuma:
x-y=2 => y=x-2 Pēc tam pievienojiet visu pirmajam vienādojumam:
2x+(x-2)=10 Pārvietojiet visu bez x uz labo pusi un saskaitiet:
2x+x=10+2
3x=12 Pēc tam "x" sadaliet abas vienādojuma puses ar 3:
x=4. Tātad, jūs atradāt "x. Atrodiet "pie. Lai to izdarītu, vienādojumā, no kura izteicāt "y", aizstājiet ar "x":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Veikt pārbaudi. Lai to izdarītu, aizstājiet iegūtās vērtības vienādojumos:
2*4+2=10
4-2=2
Nezināmais atrasts pareizi!

Kā pievienot vai atņemt vienādojumus Atbrīvojieties no jebkura mainīgā uzreiz. Mūsu gadījumā to ir vieglāk izdarīt ar "y.
Tā kā “y” ir “+” un otrajā “-”, tad var veikt pievienošanas darbību, t.i. Mēs pievienojam kreiso pusi pa kreisi un labo pusi pa labi:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertēt:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Aizstājiet "x" jebkurā vienādojumā un atrodiet "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Saskaņā ar 1. metodi jūs varat atrast to, ko atradāt pareizi.

Ja nav skaidri definētu mainīgo, tad vienādojumus ir nepieciešams nedaudz pārveidot.
Pirmajā vienādojumā mums ir "2x", bet otrajā tikai "x". Lai saskaitījums vai “x” samazinātos, reiziniet otro vienādojumu ar 2:
x-y=2
2x-2y=4 Pēc tam no pirmā vienādojuma atņemiet otro vienādojumu:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3g=6
atrodiet y \u003d 2 "x, izsakot no jebkura vienādojuma, t.i.
x=4

Saistītie video

2. padoms: kā atrisināt lineāro vienādojumu ar diviem mainīgajiem

Vienādojums, kas rakstīts vispārīgā formā ax + ar + c \u003d 0, sauc par lineāru vienādojumu ar diviem mainīgie. Šāds vienādojums pats par sevi satur bezgalīgi daudz atrisinājumu, tāpēc uzdevumos tas vienmēr tiek papildināts ar kaut ko - citu vienādojumu vai ierobežojošiem nosacījumiem. Atkarībā no uzdevuma nosacījumiem, atrisiniet lineāro vienādojumu ar diviem mainīgie vajadzētu Dažādi ceļi.

Jums būs nepieciešams

• - lineārs vienādojums ar diviem mainīgajiem;
• - otrais vienādojums vai papildu noteikumi.

Instrukcija

Dota divu lineāru vienādojumu sistēma, atrisiniet to šādi. Izvēlieties vienu no vienādojumiem, kurā koeficienti ir iepriekš mainīgie mazāku un izsaka vienu no mainīgajiem, piemēram, x. Pēc tam pievienojiet šo vērtību, kas satur y, otrajā vienādojumā. Iegūtajā vienādojumā būs tikai viens mainīgais y, pārvietojiet visas daļas ar y uz kreiso pusi, bet brīvās - pa labi. Atrodiet y un aizstājiet jebkurā no sākotnējiem vienādojumiem, atrodiet x.

Ir vēl viens veids, kā atrisināt divu vienādojumu sistēmu. Reiziniet vienu no vienādojumiem ar skaitli, lai koeficients viena mainīgā priekšā, piemēram, x priekšā, būtu vienāds abos vienādojumos. Pēc tam atņemiet vienu no vienādojumiem no otra (ja labā puse nav 0, atcerieties atņemt labo pusi tādā pašā veidā). Jūs redzēsiet, ka mainīgais x ir pazudis un ir palicis tikai viens y. Atrisiniet iegūto vienādojumu un aizstājiet atrasto y vērtību ar jebkuru no sākotnējām vienādībām. Atrodi x.

Trešais veids, kā atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu, ir grafisks. Uzzīmējiet koordinātu sistēmu un uzzīmējiet grafikus no divām taisnēm, kuru vienādojumi ir norādīti jūsu sistēmā. Lai to izdarītu, vienādojumā aizstājiet jebkuras divas x vērtības un atrodiet atbilstošo y - tās būs līnijai piederošo punktu koordinātas. Visērtāk ir atrast krustpunktu ar koordinātu asīm - vienkārši aizstājiet vērtības x=0 un y=0. Šo divu līniju krustošanās punkta koordinātas būs uzdevumi.

Ja uzdevuma nosacījumos ir tikai viens lineārs vienādojums, tad jums tiek doti papildu nosacījumi, kuru dēļ jūs varat atrast risinājumu. Uzmanīgi izlasiet problēmu, lai atrastu šos nosacījumus. Ja mainīgie x un y ir attālums, ātrums, svars — droši iestatiet ierobežojumu x≥0 un y≥0. Pilnīgi iespējams, ka x vai y slēpj skaitli , ābolus utt. – tad vērtības var būt tikai . Ja x ir dēla vecums, ir skaidrs, ka viņš nevar būt vecāks par tēvu, tāpēc norādiet to uzdevuma nosacījumos.

Avoti:

• kā atrisināt vienādojumu ar vienu mainīgo

Viens pats vienādojums ar trim nezināms ir daudz risinājumu, tāpēc visbiežāk to papildina vēl divi vienādojumi vai nosacījumi. Atkarībā no tā, kādi ir sākotnējie dati, lēmuma pieņemšanas gaita lielā mērā būs atkarīga.

Jums būs nepieciešams

• - trīs vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem.

Instrukcija

Ja divās no trim sistēmām ir tikai divi no trim nezināmajiem, mēģiniet izteikt dažus mainīgos ar citiem un pievienot tos vienādojums ar trim nezināms. Tavs mērķis ar to ir pārvērst to par normālu vienādojums ar nezināmo. Ja tas ir , tālākais risinājums ir pavisam vienkāršs - aizvietojiet atrasto vērtību ar citiem vienādojumiem un atrodiet visus pārējos nezināmos.

Dažas vienādojumu sistēmas var atņemt no viena vienādojuma ar citu. Skatiet, vai ir iespējams reizināt vienu no vai mainīgo tā, lai divi nezināmie tiktu samazināti uzreiz. Ja ir tāda iespēja, izmantojiet to, visticamāk, turpmākais lēmums nebūs grūts. Neaizmirstiet, ka, reizinot ar skaitli, jāreizina gan kreisā, gan labā puse. Tāpat, atņemot vienādojumus, atcerieties, ka ir jāatņem arī labā puse.

Ja iepriekšējās metodes nepalīdzēja, izmantojiet vispārīgā veidā jebkuru vienādojumu ar trīs atrisinājumi nezināms. Lai to izdarītu, pārrakstiet vienādojumus formā a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Tagad izveidojiet koeficientu matricu pie x (A), nezināmo matricu (X) un brīvo matricu (B). Pievērsiet uzmanību, reizinot koeficientu matricu ar nezināmo matricu, jūs iegūsit matricu, brīvo dalībnieku matricu, tas ir, A * X \u003d B.

Atrodiet matricu A līdz jaudai (-1) pēc atrašanas, ievērojiet, ka tai nevajadzētu būt vienādai ar nulli. Pēc tam iegūto matricu reiziniet ar matricu B, kā rezultātā jūs iegūsit vēlamo matricu X, norādot visas vērtības.

Varat arī atrast risinājumu trīs vienādojumu sistēmai, izmantojot Cramer metodi. Lai to izdarītu, atrodiet sistēmas matricai atbilstošo trešās kārtas determinantu ∆. Pēc tam secīgi atrodiet vēl trīs determinantus ∆1, ∆2 un ∆3, aizstājot brīvo terminu vērtības, nevis atbilstošās kolonnas vērtības. Tagad atrodiet x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Avoti:

• vienādojumu atrisinājumi ar trīs nezināmajiem

Vienādojumu sistēmas risināšana ir sarežģīta un aizraujoša. Jo sarežģītāka sistēma, jo interesantāk to atrisināt. Visbiežāk matemātikā vidusskola ir vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmajiem, bet augstākajā matemātikā mainīgo var būt vairāk. Sistēmas var atrisināt vairākos veidos.

Instrukcija

Visizplatītākā vienādojumu sistēmas risināšanas metode ir aizstāšana. Lai to izdarītu, viens mainīgais ir jāizsaka ar citu un jāaizstāj ar otru vienādojums sistēmas, tādējādi ienesot vienādojums vienam mainīgajam. Piemēram, ņemot vērā vienādojumus: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Vienu no mainīgajiem ir ērti izteikt no otrās izteiksmes, visu pārējo pārnesot uz izteiksmes labo pusi, neaizmirstot nomainīt koeficienta zīmi: x = 3-y.

Mēs atveram iekavas: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Iegūtā y vērtība tiek aizstāta ar izteiksmi: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

Pirmajā izteiksmē visi dalībnieki ir 2, jūs varat izņemt 2 no iekavas reizināšanas sadales īpašībai: 2 * (2x-y-3) = 0. Tagad abas izteiksmes daļas var samazināt par šo skaitli un pēc tam izteikt y, jo tā moduļa koeficients ir vienāds ar vienu: -y \u003d 3-2x vai y \u003d 2x-3.

Tāpat kā pirmajā gadījumā, mēs aizstājam šo izteiksmi ar otro vienādojums un iegūstam: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Iegūto vērtību aizstājiet izteiksmē: y=2x-3;y=4-3=1.

Mēs redzam, ka koeficients pie y ir vienāds pēc vērtības, bet atšķiras pēc zīmes, tāpēc, ja mēs pievienosim šos vienādojumus, mēs pilnībā atbrīvosimies no y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x=2. Mēs aizstājam x vērtību jebkurā no diviem sistēmas vienādojumiem un iegūstam y=1.

Saistītie video

Bisquare vienādojums pārstāv vienādojums ceturtā pakāpe vispārējā forma kuru attēlo izteiksme ax^4 + bx^2 + c = 0. Tā risinājuma pamatā ir nezināmo aizstāšanas metodes izmantošana. Šajā gadījumā x^2 tiek aizstāts ar citu mainīgo. Tādējādi rezultāts ir parasts kvadrāts vienādojums, kas ir jāatrisina.

Instrukcija

Atrisiniet kvadrātu vienādojums aizstāšanas rezultātā. Lai to izdarītu, vispirms aprēķiniet vērtību saskaņā ar formulu: D = b^2 ? 4ac. Šajā gadījumā mainīgie a, b, c ir mūsu vienādojuma koeficienti.

Atrodiet bikvadrātiskā vienādojuma saknes. Lai to izdarītu, ņem kvadrātsakni no iegūtajiem risinājumiem. Ja bija viens lēmums, tad būs divi - pozitīvs un negatīva nozīme kvadrātsakne. Ja būtu divi risinājumi, bikvadrātiskajam vienādojumam būtu četras saknes.

Saistītie video

Viens no klasiskos veidos Lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšana ir Gausa metode. Tas sastāv no secīgas mainīgo izslēgšanas, kad vienādojumu sistēma ar vienkāršu transformāciju palīdzību tiek pārveidota par soļu sistēmu, no kuras secīgi tiek atrasti visi mainīgie, sākot ar pēdējiem.

Instrukcija

Pirmkārt, izveidojiet vienādojumu sistēmu tādā formā, kad visi nezināmie būs stingri noteiktā secībā. Piemēram, visi nezināmie X būs pirmie katrā rindā, visi Y nāks aiz X, visi Z nāks aiz Y utt. Katra vienādojuma labajā pusē nedrīkst būt nezināmo. Garīgi nosakiet koeficientus katra nezināmā priekšā, kā arī koeficientus katra vienādojuma labajā pusē.

Šajā video mēs analizēsim veselu lineāro vienādojumu kopu, kas tiek atrisinātas, izmantojot vienu un to pašu algoritmu - tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.

Sākumā definēsim: kas ir lineārais vienādojums un kuru no tiem vajadzētu saukt par vienkāršāko?

Lineārais vienādojums ir tāds, kurā ir tikai viens mainīgais un tikai pirmajā pakāpē.

Vienkāršākais vienādojums nozīmē konstrukciju:

Visi pārējie lineārie vienādojumi tiek reducēti uz vienkāršākajiem, izmantojot algoritmu:

1. Atvērtas iekavas, ja tādas ir;
2. Pārvietot terminus, kas satur mainīgo uz vienu vienādības zīmes pusi, un terminus bez mainīgā uz otru;
3. Novietojiet līdzīgus terminus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes;
4. Sadaliet iegūto vienādojumu ar mainīgā $x$ koeficientu.

Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažreiz pēc visām šīm mahinācijām mainīgā $x$ koeficients izrādās vienāds ar nulli. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:

1. Vienādojumam vispār nav atrisinājumu. Piemēram, kad iegūstat kaut ko līdzīgu $0\cdot x=8$, t.i. kreisajā pusē ir nulle, bet labajā pusē ir skaitlis, kas nav nulle. Tālāk esošajā videoklipā apskatīsim vairākus iemeslus, kāpēc šāda situācija ir iespējama.
2. Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams, ir tad, kad vienādojums ir reducēts līdz konstrukcijai $0\cdot x=0$. Diezgan loģiski, ka neatkarīgi no tā, kādu $x$ mēs aizstātu, tomēr izrādīsies “nulle ir vienāda ar nulli”, t.i. pareiza skaitliskā vienādība.

Un tagad redzēsim, kā tas viss darbojas uz reālu problēmu piemēra.

Vienādojumu risināšanas piemēri

Šodien mēs nodarbojamies ar lineārajiem vienādojumiem un tikai visvienkāršākajiem. Kopumā lineārs vienādojums nozīmē jebkuru vienādību, kas satur tieši vienu mainīgo, un tas attiecas tikai uz pirmo pakāpi.

Šādas konstrukcijas tiek atrisinātas aptuveni tādā pašā veidā:

1. Pirmkārt, jums ir jāatver iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā);
2. Tad atnes līdzīgu
3. Visbeidzot, izolējiet mainīgo, t.i. viss, kas ir saistīts ar mainīgo - termini, kuros tas ir ietverts - tiek pārnests uz vienu pusi, un viss, kas paliek bez tā, tiek pārnests uz otru pusi.

Pēc tam, kā likums, katrā iegūtās vienādības pusē ir jāienes līdzīgs, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu pie "x", un mēs saņemsim galīgo atbildi.

Teorētiski tas izskatās jauki un vienkārši, taču praksē pat pieredzējuši vidusskolēni var pieļaut aizvainojošas kļūdas diezgan vienkāršos lineārajos vienādojumos. Parasti kļūdas tiek pieļautas vai nu atverot iekavas, vai arī saskaitot "plusus" un "mīnusus".

Turklāt gadās, ka lineāram vienādojumam nav atrisinājumu vispār vai tā, ka atrisinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šīs smalkumus mēs analizēsim šodienas nodarbībā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar lielāko daļu vienkāršus uzdevumus.

Vienkāršu lineāru vienādojumu risināšanas shēma

Vispirms ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:

1. Izvērsiet iekavas, ja tādas ir.
2. Nošķirt mainīgos, t.i. viss, kas satur "x", tiek pārnests uz vienu pusi, bet bez "x" - uz otru.
3. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.
4. Mēs visu sadalām ar koeficientu pie "x".

Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tai ir zināmi smalkumi un viltības, un tagad mēs tos iepazīsim.

Vienkāršu lineāro vienādojumu reālu piemēru risināšana

Uzdevums #1

Pirmajā solī mums ir jāatver kronšteini. Bet tie nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo soli. Otrajā solī mums ir jāizolē mainīgie. Piezīme: mēs runājam tikai par atsevišķām sastāvdaļām. Rakstīsim:

Mēs sniedzam līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, bet tas jau ir izdarīts šeit. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dala ar koeficientu:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Šeit mēs saņēmām atbildi.

Uzdevums #2

Šajā uzdevumā mēs varam novērot iekavas, tāpēc paplašināsim tās:

Gan pa kreisi, gan pa labi redzam aptuveni vienādu konstrukciju, bet rīkosimies pēc algoritma, t.i. sekvesteru mainīgie:

Šeit ir daži, piemēram:

Pie kādām saknēm tas darbojas? Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $x$ ir jebkurš skaitlis.

Uzdevums #3

Trešais lineārais vienādojums jau ir interesantāks:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Šeit ir dažas iekavas, bet tās ne ar ko nereizinās, tās vienkārši stāv priekšā dažādas zīmes. Sadalīsim tos:

Mēs veicam otro mums jau zināmo soli:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Aprēķināsim:

Mēs veicam pēdējo darbību - mēs visu sadalām ar koeficientu pie "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lietas, kas jāatceras, risinot lineāros vienādojumus

Ja mēs ignorējam pārāk vienkāršus uzdevumus, es gribētu teikt sekojošo:

• Kā jau teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums - dažreiz vienkārši nav sakņu;
• Pat ja ir saknes, starp tām var iekļūt nulle - tur nav nekā slikta.

Nulle ir tāds pats skaitlis kā pārējais, jums nevajadzētu to kaut kā diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jums ir nulle, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi.

Vēl viena iezīme ir saistīta ar iekavu paplašināšanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja priekšā ir “mīnuss”, mēs to noņemam, bet iekavās mainām zīmes uz pretī. Un tad mēs varam to atvērt saskaņā ar standarta algoritmiem: mēs iegūsim to, ko redzējām iepriekš minētajos aprēķinos.

Izprotot šo vienkāršs fakts neļaus jums pieļaut stulbas un sāpinošas kļūdas vidusskolā, kad šādas lietas tiek uzskatītas par pašsaprotamām.

Sarežģītu lineāro vienādojumu risināšana

Pāriesim pie sarežģītākiem vienādojumiem. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas un, veicot dažādas transformācijas, parādīsies kvadrātfunkcija. Tomēr no tā nevajadzētu baidīties, jo, ja saskaņā ar autora nodomu mēs atrisināsim lineāru vienādojumu, tad transformācijas procesā noteikti tiks samazināti visi monomi, kas satur kvadrātfunkciju.

1. piemērs

Acīmredzot pirmais solis ir kronšteinu atvēršana. Darīsim to ļoti uzmanīgi:

Tagad ņemsim vērā privātumu:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Šeit ir daži, piemēram:

Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, tāpēc atbildē mēs rakstām šādi:

\[\variety \]

vai bez saknēm.

2. piemērs

Mēs veicam tās pašas darbības. Pirmais solis:

Pārvietosim visu ar mainīgo pa kreisi un bez tā - pa labi:

Šeit ir daži, piemēram:

Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs to rakstām šādi:

\[\varnothing\],

vai bez saknēm.

Risinājuma nianses

Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Šo divu izteiksmju piemērā mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss var nebūt tik vienkārši: var būt vai nu viens, vai neviena, vai bezgalīgi daudz. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abos vienkārši nav sakņu.

Bet es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vēl vienu faktu: kā strādāt ar iekavām un kā tās paplašināt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteiksmi:

Pirms atvēršanas viss jāreizina ar "x". Lūdzu, ņemiet vērā: reiziniet katru atsevišķu terminu. Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un ir reizināts.

Un tikai pēc tam, kad ir pabeigtas šīs it kā elementārās, bet ļoti svarīgās un bīstamās pārvērtības, var atvērt kronšteinu no tā viedokļa, ka aiz tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad ir veiktas pārvērtības, atceramies, ka iekavās priekšā ir mīnusa zīme, kas nozīmē, ka viss zemāk tikai maina zīmes. Tajā pašā laikā pazūd paši kronšteini un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais "mīnuss".

Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:

Nav nejaušība, ka es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Jo vienādojumu risināšana vienmēr ir elementāru pārveidojumu secība, kur nespēja skaidri un prasmīgi veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka pie manis nāk vidusskolēni un atkal mācās risināt tik vienkāršus vienādojumus.

Protams, pienāks diena, kad šīs prasmes noslīpēsiet līdz automātismam. Jums vairs nav katru reizi jāveic tik daudz pārvērtību, jūs visu rakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.

Vēl sarežģītāku lineāro vienādojumu risināšana

To, ko mēs tagad risināsim, diez vai var saukt par vienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek nemainīga.

Uzdevums #1

\[\kreisais(7x+1\labais)\kreisais(3x-1\labais)-21((x)^(2))=3\]

Sareizināsim visus elementus pirmajā daļā:

Taisīsim atkāpšanos:

Šeit ir daži, piemēram:

Veiksim pēdējo darbību:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka risināšanas procesā mums bija koeficienti ar kvadrātfunkciju, tomēr tie savstarpēji tika atcelti, kas padara vienādojumu tieši lineāru, nevis kvadrātu.

Uzdevums #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Pirmo darbību veiksim uzmanīgi: reiziniet katru elementu pirmajā iekavā ar katru elementu otrajā. Kopumā pēc transformācijām jāiegūst četri jauni termini:

Un tagad rūpīgi veiciet reizināšanu katrā terminā:

Pārvietosim terminus ar "x" pa kreisi un bez - pa labi:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Šeit ir līdzīgi termini:

Esam saņēmuši galīgu atbildi.

Risinājuma nianses

Vissvarīgākā piezīme par šiem diviem vienādojumiem ir šāda: tiklīdz mēs sākam reizināt iekavas, kurās ir par to lielāks termins, tas tiek darīts saskaņā ar nākamais noteikums: ņemam pirmo vārdu no pirmā un reizinām ar katru elementu no otrā; tad ņemam otro elementu no pirmā un līdzīgi reizinām ar katru elementu no otrā. Rezultātā mēs iegūstam četrus terminus.

Par algebrisko summu

Ar pēdējo piemēru es vēlētos studentiem atgādināt, kas ir algebriskā summa. Klasiskajā matemātikā ar $1-7$ mēs domājam vienkāršu konstrukciju: no viena atņemam septiņus. Algebrā mēs ar to domājam sekojošo: skaitlim "viens" pievienojam citu skaitli, proti, "mīnus septiņi". Šī algebriskā summa atšķiras no parastās aritmētiskās summas.

Tiklīdz, veicot visas transformācijas, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas ir līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.

Noslēgumā apskatīsim vēl pāris piemērus, kas būs vēl sarežģītāki par tiem, kurus tikko apskatījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.

Vienādojumu risināšana ar daļskaitli

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, mūsu algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms es atgādināšu mūsu algoritmu:

1. Atveriet iekavas.
2. Atsevišķi mainīgie.
3. Atnesiet līdzīgus.
4. Sadaliet ar koeficientu.

Diemžēl šis brīnišķīgais algoritms, neskatoties uz visu tā efektivitāti, nav pilnībā piemērots, ja mums priekšā ir daļskaitļi. Un tajā, ko mēs redzēsim tālāk, mums abos vienādojumos ir daļa pa kreisi un pa labi.

Kā šajā gadījumā strādāt? Jā, tas ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms pirmās darbības, gan pēc tās, proti, atbrīvoties no daļskaitļiem. Tādējādi algoritms būs šāds:

1. Atbrīvojieties no frakcijām.
2. Atveriet iekavas.
3. Atsevišķi mainīgie.
4. Atnesiet līdzīgus.
5. Sadaliet ar koeficientu.

Ko nozīmē "atbrīvoties no frakcijām"? Un kāpēc to ir iespējams izdarīt gan pēc, gan pirms pirmā standarta soļa? Faktiski mūsu gadījumā visas daļdaļas saucēja izteiksmē ir skaitliskas, t.i. visur saucējs ir tikai skaitlis. Tāpēc, ja mēs reizinām abas vienādojuma daļas ar šo skaitli, mēs atbrīvosimies no daļām.

1. piemērs

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atbrīvosimies no daļām šajā vienādojumā:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot četri\]

Lūdzu, ņemiet vērā: viss tiek reizināts ar “četri”, t.i. tas, ka jums ir divas iekavas, nenozīmē, ka jums katra no tām ir jāreizina ar "četri". Rakstīsim:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Tagad atveram to:

Mēs veicam mainīgā lieluma izolāciju:

Mēs veicam līdzīgu terminu samazināšanu:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Esam saņēmuši gala risinājumu, pārejam pie otrā vienādojuma.

2. piemērs

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problēma atrisināta.

Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju pateikt.

Galvenie punkti

Galvenie atklājumi ir šādi:

• Zināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
• Spēja atvērt iekavas.
• Neuztraucieties, ja jums kaut kur ir kvadrātiskās funkcijas, visticamāk, turpmāko transformāciju procesā tās tiks samazinātas.
• Lineārajos vienādojumos, pat visvienkāršākajos, saknes ir trīs veidu: viena sakne, visa skaitļu līnija ir sakne, sakņu nav vispār.

Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu visas matemātikas tālākai izpratnei. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni, atrisiniet tur sniegtos piemērus. Sekojiet līdzi jaunumiem, jūs gaida vēl daudz interesantu lietu!