Iedomātas līnijas. Kāda ir vienādojuma kanoniskā forma? Elipse un tās kanoniskais vienādojums

Tagad parādīsim, ka otrās kārtas līkņu afīnā klasifikācija tiek dota ar pašu līkņu nosaukumiem, t.i., ka otrās kārtas līkņu afīnās klases ir klases:

īstas elipses;

iedomātas elipses;

hiperbola;

reālu krustojošu līniju pāri;

iedomātu (konjugētu) pāri, kas krustojas;

paralēlu reālu līniju pāri;

paralēlu iedomātu konjugētu līniju pāri;

sakrītošu reālu līniju pāri.

Mums jāpierāda divi apgalvojumi:

A. Visas viena un tā paša nosaukuma līknes (tas ir, visas elipses, visas hiperbolas utt.) ir viena otrai līdzvērtīgas.

B. Divas dažādu nosaukumu līknes nekad nav afīna ekvivalentas.

Mēs pierādam apgalvojumu A. XV nodaļas 3. punktā jau tika pierādīts, ka visas elipses ir afīni ekvivalentas vienai no tām, proti, apļi un visas hiperbolas ir hiperbolas. viens otru. Visas iedomātās elipses, kas ir afīni ekvivalentas aplim - - 1, kuras rādiuss ir 1, ir arī afīni ekvivalentas viena otrai.

Pierādīsim visu parabolu afīnu ekvivalenci. Mēs pierādīsim vēl vairāk, proti, ka visas parabolas ir līdzīgas viena otrai. Pietiek, lai pierādītu, ka parabola, kas dota kādā koordinātu sistēmā ar tās kanonisko vienādojumu

kā parabola

Lai to izdarītu, plakni pakļaujam līdzības transformācijai ar koeficientu - :

Tad tā, ka saskaņā ar mūsu transformāciju līkne

ieiet līkumā

i., parabolā

Q.E.D.

Pāriesim uz dilstošām līknēm. § (9) un (11) formulās, 401. un 402. lpp., tika pierādīts, ka līknei, kas kādā (pat taisnstūra) koordinātu sistēmā sadalās krustojošo līniju pārī, ir vienādojums

Veicot papildu koordinātu transformāciju

mēs redzam, ka jebkurai līknei, kas sadalās krustojošu reālu, attiecīgi, iedomātu konjugātu taisnu līniju pārī, kādā afīnā koordinātu sistēmā ir vienādojums

Kas attiecas uz līknēm, kas sadalās paralēlu līniju pāros, tad katru no tām (pat kādā taisnstūra koordinātu sistēmā) var dot ar vienādojumu

reāli, attiecīgi

par iedomātu, tiešo. Koordinātu transformācija ļauj ievietot šos vienādojumus (vai sakrītošas ​​līnijas), kas nozīmē visu dilstošo otrās kārtas līkņu, kurām ir vienāds nosaukums, afīnu ekvivalenci.

Mēs pievēršamies apgalvojuma B pierādījumam.

Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka plaknes afīnās transformācijas gadījumā algebriskās līknes secība paliek nemainīga. Turklāt jebkura otrās kārtas dilstošā līkne ir taisnu līniju pāris, un afīnās transformācijas rezultātā taisne kļūst par taisni, krustojošo līniju pāris kļūst par krustojošu līniju pāri, un paralēlu līniju pāris kļūst par taisni. pāris paralēli; turklāt reālās līnijas kļūst reālas, un iedomātās līnijas kļūst iedomātas. Tas izriet no fakta, ka visi koeficienti formulās (3) (XI nodaļa, 3. punkts), kas definē afīnu transformāciju, ir reāli skaitļi.

No teiktā izriet, ka līnija, kas ir afīni ekvivalenta noteiktai dilstošai otrās kārtas līknei, ir tāda paša nosaukuma dilšanas līkne.

Mēs pārejam uz nesadalāmām līknēm. Atkal, ar afīnu transformāciju, reāla līkne nevar pārvērsties par iedomātu un otrādi. Tāpēc iedomāto elipsi klase ir afīna invarianta.

Apsveriet reālu nesadalāmo līkņu klases: elipses, hiperbolas, parabolas.

Starp visām otrās kārtas līknēm katra elipse un tikai elipse atrodas kādā taisnstūrī, bet parabolas un hiperbolas (kā arī visas dilstošās līknes) stiepjas līdz bezgalībai.

Veicot afīnu transformāciju, taisnstūris ABCD, kas satur doto elipsi, nonāks paralelogramā, kurā ir transformētā līkne, kas tāpēc nevar virzīties uz bezgalību un tāpēc ir elipse.

Tādējādi līkne, kas līdzvērtīga elipsei, noteikti ir elipse. No pierādītā izriet, ka līkne, kas ir afīni ekvivalenta hiperbolai vai parabolai, nevar būt elipse (un, kā zināms, tā nevar būt arī dilstoša līkne. Tāpēc atliek tikai pierādīt, ka zem afīnas pārveidojot plakni, hiperbola nevar pāriet parabolā, un gluži pretēji, tas, iespējams, izriet no tā, ka parabolai nav simetrijas centra, bet hiperbolai ir. Bet, tā kā simetrijas centra nav, parabola tiks pierādīta tikai nākamajā nodaļā, tagad dosim otru, arī ļoti vienkāršu pierādījumu.hiperbolas un parabolas afīna neekvivalence.

Lemma. Ja parabolai ir kopīgi punkti ar katru no divām pusplaknēm, kas definētas noteiktas taisnes d plaknē, tad tai ir vismaz viens kopīgs punkts ar taisni.

Patiešām, mēs esam redzējuši, ka pastāv koordinātu sistēma, kurā dotajai parabolai ir vienādojums

Pieņemsim, ka attiecībā pret šo koordinātu sistēmu taisnei d ir vienādojums

Pieņemot, ka parabolā ir divi punkti, no kuriem viens, mēs pieņemam, atrodas pozitīvajā, bet otrs atrodas negatīvajā pusplaknē attiecībā pret vienādojumu (1). Tāpēc, atceroties, ka mēs varam rakstīt

Otrās kārtas rindas

plaknes līnijas, kuru Dekarta taisnstūra koordinātas atbilst 2. pakāpes algebriskajam vienādojumam

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 g 2 + 2a 13 x + 2a 23 g + a 11 = 0. (*)

Vienādojums (*) var nenoteikt faktisko ģeometrisko attēlu, taču vispārīguma labad šādos gadījumos tiek teikts, ka tas nosaka iedomātu lineāro attēlojumu. n. Atkarībā no vispārējā vienādojuma (*) koeficientu vērtībām to var pārveidot, paralēli pārvēršot koordinātu sistēmas sākumpunktu un pagriežot par kādu leņķi uz kādu no 9 tālāk norādītajām kanoniskajām formām, no kurām katra atbilst noteiktai līniju klasei. tieši tā,

nelaužamas līnijas:

y 2 = 2 pikseļi — parabolas,

lūzuma līnijas:

x 2 - a 2 \u003d 0 - paralēlu līniju pāri,

x 2 + a 2 \u003d 0 - iedomātu paralēlu līniju pāri,

x 2 = 0 - sakrītošu paralēlu līniju pāri.

Pētījums par izskatu L. iekšā. var veikt, nereducējot vispārējo vienādojumu līdz kanoniskajai formai. Tas tiek panākts, kopīgi izvērtējot tā sauktās vērtības. pamata invarianti L.v. n. - izteiksmes, kas sastāv no vienādojuma (*) koeficientiem, kuru vērtības nemainās, paralēli tulkojot un pagriežot koordinātu sistēmu:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Tā, piemēram, elipses kā nesadalošas līnijas raksturo fakts, ka tām Δ ≠ 0; invarianta δ pozitīvā vērtība atšķir elipses no cita veida nesadalāmām līnijām (hiperbolām δ

Trīs galvenie invarianti Δ, δ un S nosaka LV. (izņemot paralēlo līniju gadījumu) līdz Eiklīda plaknes kustībai (sk. Kustība): ja divu taisnju attiecīgie invarianti Δ, δ un S ir vienādi, tad šādas līnijas var apvienot ar kustību. Citiem vārdiem sakot, šīs līnijas ir ekvivalentas attiecībā uz plaknes kustību grupu (metriski ekvivalentas).

Ir L. klasifikācijas. no citu transformāciju grupu viedokļa. Tādējādi relatīvi vispārīgāk nekā kustību grupa - afīnu transformāciju grupa (sk. Afīnās transformācijas) - jebkuras divas līnijas, kas noteiktas ar vienādojumiem ar vienu un to pašu kanonisko formu, ir līdzvērtīgas. Piemēram, divas līdzīgas L. in. n. (skatīt līdzību) tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem. Savienojumi starp dažādām lineārās c.v afīnām klasēm. ļauj izveidot klasifikāciju no projektīvās ģeometrijas viedokļa (skat. Projektīvā ģeometrija), kurā bezgalības elementiem nav īpašas nozīmes. Īsta nesadaloša L. in. utt.: elipses, hiperbolas un parabolas veido vienu projektīvo klasi - reālo ovālu līniju (ovālu) klasi. Reālā ovāla līnija ir elipse, hiperbola vai parabola atkarībā no tā, kā tā atrodas attiecībā pret līniju bezgalībā: elipse krusto nepareizo līniju divos iedomātos punktos, hiperbolu divos dažādos reālos punktos, parabola pieskaras nepareizajai līnijai. ; ir projektīvas transformācijas, kas pārņem šīs līnijas vienu citā. Ir tikai 5 projektīvās ekvivalences klases L.v. n. Tieši tā,

nedeģenerētas līnijas

(x 1 , x 2 , x 3- viendabīgas koordinātas):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - īsts ovāls,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - iedomāts ovāls,

deģenerētas līnijas:

x 1 2 - x 2 2= 0 - reālu līniju pāris,

x 1 2 + x 2 2= 0 - iedomātu līniju pāris,

x 1 2= 0 - sakrītošu reālu līniju pāris.

A. B. Ivanovs.

Lielā padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir "otrās kārtas rindas" citās vārdnīcās:

Plaknes līnijas, kuru taisnstūra punktu koordinātas atbilst 2. pakāpes algebriskajam vienādojumam. Starp otrās kārtas līnijām ir elipses (jo īpaši apļi), hiperbolas, parabolas ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Plaknes līnijas, kuru taisnstūra punktu koordinātas atbilst 2. pakāpes algebriskajam vienādojumam. Starp otrās kārtas līnijām ir elipses (jo īpaši apļi), hiperbolas, parabolas. * * * OTRĀS RĪCĪBAS RINDAS OTRĀS RĪCĪBAS RINDAS,… … enciklopēdiskā vārdnīca

Plakanas līnijas, taisnstūrveida punktu koordinātas k px apmierina algebras. 2. pakāpes urnijs. Starp L. in. n. elipses (īpaši apļi), hiperbolas, parabolas… Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

Plakana līnija, Dekarta taisnstūra koordinātas, lai bars atbilstu algebriskām prasībām. 2. pakāpes vienādojums Vienādojums (*) var nenoteikt faktisko ģeometrisko. attēlu, bet, lai šādos gadījumos saglabātu vispārīgumu, viņi saka, ka tas nosaka ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Trīsdimensiju reālās (vai kompleksās) telpas punktu kopa, kuras koordinātas Dekarta sistēmā apmierina algebrisko. 2. pakāpes vienādojums (*) Vienādojums (*) var nenoteikt faktisko ģeometrisko. attēli, tādās ...... Matemātiskā enciklopēdija

Šim vārdam, ko ļoti bieži izmanto izliektu līniju ģeometrijā, ir ne visai noteikta nozīme. Ja šo vārdu lieto neaizvērtām un nesazarotām izliektām līnijām, tad līknes atzars nozīmē katru nepārtrauktu indivīdu ... ... Enciklopēdiskā vārdnīca F.A. Brokhauss un I.A. Efrons

Otrās kārtas līnijas, divi diametri, no kurām katra sadala šīs līknes hordas, paralēli otrai. SD ir svarīga loma vispārējā otrās kārtas līniju teorijā. Ar elipses paralēlu projekciju tās S. d. ......

Līnijas, kas iegūtas, sadalot taisnu riņķveida konusu ar plaknēm, kas nešķērso tā virsotni. K. s. var būt trīs veidu: 1) griešanas plakne krusto visus konusa ģeneratorus viena tās dobuma punktos; līnija…… Lielā padomju enciklopēdija

Līnijas, kas iegūtas, sadalot taisnu riņķveida konusu ar plaknēm, kas neiet cauri tā virsotnei. K. s. var būt trīs veidu: 1) griešanas plakne šķērso visus konusa ģeneratorus vienā no tās dobuma punktos (att., a): krustojuma līnija ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Ģeometrijas sadaļa. Algebriskās ģeometrijas pamatjēdzieni ir vienkāršākie ģeometriskie attēli (punkti, līnijas, plaknes, līknes un otrās kārtas virsmas). Galvenie pētniecības līdzekļi A. g. ir koordinātu metode (skatīt zemāk) un metodes ... ... Lielā padomju enciklopēdija

Grāmatas

• Īss analītiskās ģeometrijas kurss, Efimovs Nikolajs Vladimirovičs. Analītiskās ģeometrijas studiju priekšmets ir figūras, kuras Dekarta koordinātēs ir dotas ar pirmās vai otrās pakāpes vienādojumiem. Plaknē tās ir taisnas līnijas un otrās kārtas līnijas. ...

Šī ir vispārpieņemtā vienādojuma standarta forma, kad dažu sekunžu laikā kļūst skaidrs, kādu ģeometrisku objektu tas definē. Turklāt kanoniskā forma ir ļoti ērta daudzu praktisku uzdevumu risināšanai. Tā, piemēram, saskaņā ar kanonisko vienādojumu "plakans" taisns, pirmkārt, uzreiz ir skaidrs, ka šī ir taisne, otrkārt, ir vienkārši redzams tai piederošais punkts un virziena vektors.

Acīmredzot jebkura 1. kārtas rinda apzīmē taisnu līniju. Otrajā stāvā mūs negaida vairs sētnieks, bet daudz daudzveidīgāka deviņu statuju kompānija:

Otrās kārtas līniju klasifikācija

Ar īpašas darbību kopas palīdzību jebkurš otrās kārtas līnijas vienādojums tiek reducēts uz vienu no šiem veidiem:

(un ir pozitīvi reālie skaitļi)

1) ir elipses kanoniskais vienādojums;

2) ir hiperbolas kanoniskais vienādojums;

3) ir parabolas kanoniskais vienādojums;

4) – iedomāts elipse;

5) - krustojošu līniju pāris;

6) - pāris iedomāts krustojošās līnijas (ar vienīgo reālo krustošanās punktu sākuma punktā);

7) - paralēlu līniju pāris;

8) - pāris iedomāts paralēlas līnijas;

9) ir sakrītošu līniju pāris.

Dažiem lasītājiem var rasties iespaids, ka saraksts ir nepilnīgs. Piemēram, 7. punktā vienādojums nosaka pāri tiešā veidā, paralēli asij, un rodas jautājums: kur ir vienādojums, kas nosaka taisnes, kas ir paralēlas y asij? Atbildi to nav uzskatāms par kanonu. Taisnās līnijas attēlo to pašu standarta korpusu, kas ir pagriezts par 90 grādiem, un papildu ieraksts klasifikācijā ir lieks, jo tajā nav nekas principiāli jauns.

Tādējādi ir deviņi un tikai deviņi dažādi 2. kārtas līniju veidi, taču praksē visizplatītākās ir elipse, hiperbola un parabola.

Vispirms apskatīsim elipsi. Kā parasti, es koncentrējos uz tiem punktiem, kuriem ir liela nozīme problēmu risināšanā, un, ja jums ir nepieciešams detalizēts formulu atvasinājums, teorēmu pierādījumi, lūdzu, skatiet, piemēram, Baziļeva / Atanasjana vai Aleksandrova mācību grāmatu.

Elipse un tās kanoniskais vienādojums

Pareizrakstība ... lūdzu, neatkārtojiet dažu Yandex lietotāju kļūdas, kuras interesē "kā izveidot elipsi", "atšķirība starp elipsi un ovālu" un "elebs ekscentriskums".

Elipses kanoniskajam vienādojumam ir forma , kur ir pozitīvi reālie skaitļi un . Elipses definīciju formulēšu vēlāk, bet pagaidām ir pienācis laiks atpūsties no runāšanas un atrisināt kopīgu problēmu:

Kā izveidot elipsi?

Jā, ņemiet to un vienkārši uzzīmējiet to. Uzdevums ir izplatīts, un ievērojama daļa studentu ne visai kompetenti tiek galā ar zīmējumu:

1. piemērs

Konstruējiet elipsi, kas norādīta vienādojumā

Lēmums: vispirms vienādojumu ievietojam kanoniskajā formā:

Kāpēc atnest? Viena no kanoniskā vienādojuma priekšrocībām ir tā, ka tas ļauj uzreiz noteikt elipses virsotnes, kas atrodas punktos . Ir viegli redzēt, ka katra no šiem punktiem koordinātas atbilst vienādojumam .

Šajā gadījumā :


Līnijas segments sauca galvenā ass elipse;
līnijas segments – mazā ass;
numuru sauca daļēji galvenā ass elipse;
numuru – daļēji mazā ass.
mūsu piemērā: .

Lai ātri iedomāties, kā izskatās šī vai cita elipse, vienkārši apskatiet tās kanoniskā vienādojuma "a" un "be" vērtības.

Viss ir labi, glīti un skaisti, taču ir viens brīdinājums: zīmējumu veidoju, izmantojot programmu. Un jūs varat zīmēt ar jebkuru pieteikumu. Taču skarbajā realitātē uz galda guļ rūtains papīrs, un ap mūsu rokām dejo peles. Cilvēki ar māksliniecisku talantu, protams, var strīdēties, bet jums ir arī peles (kaut arī mazākas). Ne velti cilvēce izgudroja lineālu, kompasu, transportieri un citas vienkāršas ierīces zīmēšanai.

Šī iemesla dēļ maz ticams, ka mēs spēsim precīzi uzzīmēt elipsi, zinot tikai virsotnes. Joprojām viss kārtībā, ja elipse ir maza, piemēram, ar pusasīm. Varat arī samazināt zīmējuma mērogu un attiecīgi izmērus. Bet vispārīgā gadījumā ir ļoti vēlams atrast papildu punktus.

Elipses konstruēšanai ir divas pieejas – ģeometriskā un algebriskā. Man nepatīk būvēt ar kompasu un lineālu īsā algoritma un ievērojamā zīmējuma nekārtības dēļ. Ārkārtas gadījumā, lūdzu, skatiet mācību grāmatu, taču patiesībā daudz racionālāk ir izmantot algebras rīkus. No melnraksta elipses vienādojuma mēs ātri izsakām:

Pēc tam vienādojums tiek sadalīts divās funkcijās:
– nosaka elipses augšējo loku;
– nosaka elipses apakšējo loku.

Jebkura elipse ir simetriska attiecībā pret koordinātu asīm, kā arī pret izcelsmi. Un tas ir lieliski – simetrija gandrīz vienmēr ir bezmaksas priekšvēstnesis. Acīmredzot pietiek ar 1. koordinātu ceturksni, tāpēc mums ir vajadzīga funkcija . Tas iesaka atrast papildu punktus ar abscisēm . Kalkulatorā trāpījām trīs SMS:

Protams, patīkami arī tas, ka, ja aprēķinos tiek pieļauta nopietna kļūda, tad tas uzreiz noskaidrosies būvniecības gaitā.

Atzīmējiet punktus zīmējumā (sarkanā krāsā), simetriskus punktus uz pārējām lokām (zilā krāsā) un uzmanīgi savienojiet visu uzņēmumu ar līniju:


Sākotnējo skici labāk uzzīmēt plāni un plāni, un tikai tad izdarīt spiedienu uz zīmuli. Rezultātam vajadzētu būt diezgan pieklājīgai elipsei. Starp citu, vai vēlaties uzzināt, kas ir šī līkne?

Lai to ilustrētu ar konkrētu piemēru, es jums parādīšu, kas šajā interpretācijā atbilst šādam apgalvojumam: (reālais vai iedomātais) punkts P atrodas uz (reālās vai iedomātās) taisnes g. Šajā gadījumā, protams, ir jānošķir šādi gadījumi:

1) reāls punkts un reālā līnija,

2) reālais punkts un iedomātā līnija,

1. gadījums no mums neprasa nekādus īpašus paskaidrojumus; šeit mums ir viena no parastās ģeometrijas pamatrelācijām.

2. gadījumā) kopā ar doto iedomāto taisni līniju kompleksam, kas konjugēts ar to, obligāti jāiziet caur doto reālo punktu; līdz ar to šim punktam jāsakrīt ar staru kūļa virsotni, ko izmantojam iedomātās līnijas attēlošanai.

Līdzīgi 3) gadījumā reālajai taisnei jābūt identiskai ar tās taisnās punktu involūcijas balstu, kas kalpo par dotā iedomātā punkta reprezentatīvu.

Interesantākais gadījums ir 4) (96. att.): šeit acīmredzot kompleksajam konjugātajam punktam jāatrodas arī uz kompleksās konjugācijas līnijas, un no tā izriet, ka katram punktu pārim, kas pārstāv punktu P, ir jāatrodas. uz dažiem līniju pāriem, kas veido taisnu līniju g, t.i., ka abām šīm involucijām ir jāatrodas perspektīvā vienai pret otru; turklāt izrādās, ka arī abu involūciju bultiņas ir novietotas perspektīvā.

Kopumā plaknes analītiskajā ģeometrijā, kas pievērš uzmanību arī sarežģītajam domēnam, mēs iegūstam pilnīgu šīs plaknes reālu priekšstatu, ja visu tās reālo punktu un līniju kopai pievienojam involucionālās kopas kā jaunus elementus. iepriekš aplūkotie skaitļi kopā ar to virzienu bultiņām. Šeit pietiks, ja es vispārīgi ieskicētu, kādā formā būtu veidots tik reāls sarežģītas ģeometrijas attēls. To darot, es ievērošu secību, kādā tagad parasti tiek pasniegti pirmie elementārās ģeometrijas priekšlikumi.

1) Tās sākas ar eksistences aksiomām, kuru mērķis ir sniegt precīzu formulējumu tikko minēto elementu klātbūtnei apgabalā, kas paplašināts salīdzinājumā ar parasto ģeometriju.

2) Tad savienojuma aksiomas, kas nosaka, ka arī 1) punktā definētajā paplašinātajā zonā! viena un tikai viena taisne iet caur (katriem) diviem punktiem, un ka (jebkurām) divām taisnēm ir viens un tikai viens kopīgs punkts.

Tajā pašā laikā, tāpat kā iepriekš, katru reizi ir jāizšķir četri gadījumi atkarībā no tā, vai dotie elementi ir reāli, un šķiet ļoti interesanti padomāt, kuras tieši reālas konstrukcijas ar punktu un līniju involucijām kalpo kā attēls. no šīm sarežģītajām attiecībām.

3) Kas attiecas uz sakārtojuma (kārtības) aksiomām, tad šeit, salīdzinot ar faktiskajām attiecībām, spēlē pilnīgi jauni apstākļi; jo īpaši visi reālie un kompleksie punkti, kas atrodas uz vienas fiksētas līnijas, kā arī visi stari, kas iet caur vienu fiksētu punktu, veido divdimensiju kontinuumu. Galu galā, katrs no mums, pētot funkciju teoriju, apguva ieradumu attēlot kompleksa mainīgā vērtību kopumu visos plaknes punktos.

4) Visbeidzot, attiecībā uz nepārtrauktības aksiomām es šeit norādīšu tikai to, kā attēlot sarežģītus punktus, kas atrodas tik tuvu kādam reālam punktam, cik vēlaties. Lai to izdarītu, caur uzņemto reālo punktu P (vai caur kādu citu reālu punktu, kas atrodas tuvu tam), jums ir jānovelk kāda taisna līnija un jāņem vērā šādi divi punktu pāri, kas viens otru atdala (t.i., kas atrodas "šķērsotā veidā"). ") punktu pāri (. 97. att.), lai divi punkti, kas ņemti no dažādiem pāriem, atrodas tuvu viens otram un punktam P; ja tagad punktus saved kopā bezgalīgi, tad nosaukto punktu pāru definētā involūcija deģenerējas, t.i., abi tās līdz šim sarežģītie dubultpunkti sakrīt ar punktu Katrs no diviem iedomātajiem punktiem, ko attēlo šī involūcija (kopā ar vienu vai otra bultiņa) iet, tātad nepārtraukta līdz kādam punktam tuvu P vai pat tieši P. Protams, lai šos nepārtrauktības jēdzienus varētu izmantot lietderīgi, ar tiem ir jāstrādā detalizēti.

Lai arī visa šī konstrukcija salīdzinājumā ar parasto reālo ģeometriju ir diezgan smagnēja un apnicīga, tā var dot nesalīdzināmi vairāk. Jo īpaši tas spēj paaugstināt algebriskos attēlus, kas tiek saprasti kā to reālo un sarežģīto elementu kopas, līdz pilnīgas ģeometriskās skaidrības līmenim, un ar tā palīdzību uz pašām figūrām var skaidri saprast tādas teorēmas kā pamatteorēma. algebra vai Bezout teorēma, ka divām līkņu kārtām, vispārīgi runājot, ir tieši kopīgi punkti. Šim nolūkam, protams, būtu nepieciešams izprast pamatnoteikumus daudz precīzākā un ilustratīvākā formā, nekā tas ir darīts līdz šim; tomēr literatūrā jau ir visi materiāli, kas ir nepieciešami šādiem pētījumiem.

Taču vairumā gadījumu šīs ģeometriskās interpretācijas pielietošana, neskatoties uz visām tās teorētiskajām priekšrocībām, radītu tādus sarežģījumus, ka ir jāapmierinās ar tās fundamentālo iespēju un faktiski jāatgriežas pie naivāka viedokļa, kas ir šāds: a. kompleksais punkts ir trīs sarežģītu koordinātu kopums, un ar to var darboties tieši tāpat kā ar reāliem punktiem. Patiešām, šāda iedomātu elementu ievadīšana, atturoties no jebkādas fundamentālas spriešanas, vienmēr ir izrādījusies auglīga tajos gadījumos, kad jātiek galā ar iedomātiem cikliskiem punktiem vai ar sfēru loku. Kā jau minēts, Poncelet pirmo reizi sāka izmantot iedomātus elementus šādā nozīmē; viņa sekotāji šajā ziņā bija citi franču ģeometri, galvenokārt Chall un Darboux; Vācijā šo iedomātu elementu izpratni ar lieliem panākumiem pielietoja arī vairāki ģeometri, īpaši Lie.

Ar šo novirzi iedomu valstībā es pabeidzu visu sava kursa otro daļu un pāriet uz jaunu nodaļu,

8.3.15. Punkts A atrodas uz taisnes. Attālums no punkta A līdz plaknei

8.3.16. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas ir simetriska taisnei

attiecībā pret lidmašīnu .

8.3.17. Sastādiet projekciju vienādojumus plaknē šādas rindas:

a) ;

b)

iekšā) .

8.3.18. Atrodiet leņķi starp plakni un līniju:

a) ;

b) .

8.3.19. Atrodiet punktu, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret plakni, kas iet caur līnijām:

un

8.3.20. Punkts A atrodas uz taisnes

Attālums no punkta A līdz taisnei vienāds ar . Atrodiet punkta A koordinātas.

§ 8.4. OTRĀS KĀRTAS LĪKNES

Izveidosim taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē un aplūkosim otrās pakāpes vispārējo vienādojumu

kurā .

Tiek izsaukta visu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas atbilst (8.4.1.) vienādojumam greizs (līnija) otrais pasūtījums.

Jebkurai otrās kārtas līknei ir taisnstūra koordinātu sistēma, ko sauc par kanonisko, kurā šīs līknes vienādojumam ir viena no šādām formām:

1) (elipse);

2) (iedomātā elipse);

3) (pāris iedomātu krustojošu līniju);

4) (hiperbola);

5) (pāris krustojošu līniju);

6) (parabola);

7) (paralēlu līniju pāris);

8) (pāris iedomātu paralēlu līniju);

9) (pāris sakrītošas ​​līnijas).

Tiek izsaukti vienādojumi 1) - 9). otrās kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi.

Otrās kārtas līknes vienādojuma reducēšanas uz kanonisko formu problēmas risinājums ietver līknes kanoniskā vienādojuma un kanoniskās koordinātu sistēmas atrašanu. Samazināšana līdz kanoniskajai formai ļauj aprēķināt līknes parametrus un noteikt tās atrašanās vietu attiecībā pret sākotnējo koordinātu sistēmu. Pāreja no sākotnējās taisnstūra koordinātu sistēmas uz kanonisku tiek veikta, pagriežot sākotnējās koordinātu sistēmas asis ap punktu O par kādu leņķi j un pēc tam paralēli pārnesot koordinātu sistēmu.

Otrās kārtas līknes invarianti(8.4.1) sauc par tādām tā vienādojuma koeficientu funkcijām, kuru vērtības nemainās, pārejot no vienas taisnstūra koordinātu sistēmas uz otru tās pašas sistēmas.

Otrās kārtas līknei (8.4.1.) koeficientu summa kvadrātā.

,

determinants, kas sastāv no vadošo terminu koeficientiem

un trešās kārtas determinants

ir invarianti.

Invariantu s, d, D vērtību var izmantot, lai noteiktu tipu un sastādītu otrās kārtas līknes kanonisko vienādojumu.

8.1. tabula.

Otrās kārtas līkņu klasifikācija, pamatojoties uz invariantiem

Apskatīsim tuvāk elipsi, hiperbolu un parabolu.

Elipse(8.1. att.) ir plaknes punktu lokuss, kuram attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem šī lidmašīna, saukta elipses triki, ir nemainīga vērtība (lielāka par attālumu starp fokusiem). Tas neizslēdz elipses perēkļu sakritību. Ja perēkļi ir vienādi, tad elipse ir aplis.

Pussumma attālumiem no elipses punkta līdz tās perēkļiem tiek apzīmēta ar a, puse attālumu starp fokusiem - c. Ja taisnstūra koordinātu sistēma plaknē ir izvēlēta tā, lai elipses perēkļi atrodas uz Vērša asi simetriski attiecībā pret sākumpunktu, tad šajā koordinātu sistēmā elipse tiek dota ar vienādojumu

, (8.4.2)

sauca elipses kanoniskais vienādojums, kur .

Rīsi. 8.1

Ar norādīto taisnstūra koordinātu sistēmas izvēli elipse ir simetriska attiecībā pret koordinātu asīm un sākuma punktu. Elipses simetrijas asis to sauc cirvji, un simetrijas centrs ir elipses centrs. Tajā pašā laikā skaitļus 2a un 2b bieži sauc par elipses asīm, bet skaitļus a un b sauc par liels un daļēji mazā ass attiecīgi.

Tiek saukti elipses krustošanās punkti ar tās asīm elipses virsotnes. Elipses virsotnēm ir koordinātes (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Elipses ekscentriskums sauca numuru

Kopš 0£c

.

Tas parāda, ka ekscentriskums raksturo elipses formu: jo tuvāk e ir nullei, jo vairāk elipse izskatās kā aplis; palielinoties e, elipse kļūst iegarena.