Slīpuma leņķa tangensu sauc. Kā atrast slīpumu

Funkcijas atvasinājums ir viens no sarežģītas tēmas skolas mācību programmā. Ne katrs absolvents atbildēs uz jautājumu, kas ir atvasinājums.

Šajā rakstā vienkārši un skaidri paskaidrots, kas ir atvasinājums un kāpēc tas ir vajadzīgs.. Mēs tagad necentīsimies pēc prezentācijas matemātiskas stingrības. Vissvarīgākais ir saprast nozīmi.

Atcerēsimies definīciju:

Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums.

Attēlā parādīti trīs funkciju grafiki. Kurš, tavuprāt, aug visstraujāk?

Atbilde ir acīmredzama - trešā. Viņai ir visvairāk liels ātrums izmaiņas, tas ir, lielākais atvasinājums.

Šeit ir vēl viens piemērs.

Kostja, Griša un Matvejs ieguva darbu vienlaikus. Apskatīsim, kā gada laikā mainījās viņu ienākumi:

Jūs varat redzēt visu diagrammā uzreiz, vai ne? Kostjas ienākumi sešu mēnešu laikā ir vairāk nekā dubultojušies. Un Grišas ienākumi arī pieauga, bet tikai nedaudz. Un Metjū ienākumi samazinājās līdz nullei. Sākuma nosacījumi ir vienādi, bet funkcijas maiņas ātrums, t.i. atvasinājums, - savādāk. Kas attiecas uz Matveju, viņa ienākumu atvasinājums kopumā ir negatīvs.

Intuitīvi mēs varam viegli novērtēt funkcijas izmaiņu ātrumu. Bet kā mēs to darām?

Tas, ko mēs patiešām skatāmies, ir tas, cik strauji funkcijas grafiks iet uz augšu (vai uz leju). Citiem vārdiem sakot, cik ātri y mainās ar x. Acīmredzot vienai un tai pašai funkcijai var būt dažādos punktos atšķirīga nozīme atvasinājums - tas ir, tas var mainīties ātrāk vai lēnāk.

Funkcijas atvasinājumu apzīmē ar .

Parādīsim, kā atrast, izmantojot grafiku.

Tiek uzzīmēts kādas funkcijas grafiks. Paņemiet punktu uz tā ar abscisu. Šajā punktā uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam. Mēs vēlamies novērtēt, cik strauji iet uz augšu funkcijas grafiks. Ērta vērtība tam ir pieskares slīpuma tangenss.

Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.

Lūdzu, ņemiet vērā - kā pieskares slīpuma leņķi mēs ņemam leņķi starp pieskari un ass pozitīvo virzienu.

Dažreiz skolēni jautā, kāda ir funkcijas grafika pieskare. Šī ir taisna līnija, kurai ir vienīgais kopīgais punkts ar grafiku šajā sadaļā, turklāt, kā parādīts mūsu attēlā. Tas izskatās kā pieskares aplim.

Atradīsim. Mēs atceramies, ka taisnleņķa trijstūrī akūtā leņķa pieskare ir vienāda ar pretējās kājas attiecību pret blakus esošo. No trīsstūra:

Mēs atradām atvasinājumu, izmantojot grafiku, pat nezinot funkcijas formulu. Šādi uzdevumi bieži atrodami matemātikas eksāmenā zem numura.

Ir vēl viena svarīga korelācija. Atgādiniet, ka taisnu līniju nosaka vienādojums

Daudzumu šajā vienādojumā sauc taisnas līnijas slīpums. Tas ir vienāds ar taisnās līnijas slīpuma leņķa pieskares asi.

.

Mēs to sapratām

Atcerēsimies šo formulu. Viņa pauž ģeometriskā nozīme atvasinājums.

Funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkta funkcijas grafikam šajā punktā.

Citiem vārdiem sakot, atvasinājums ir vienāds ar pieskares slīpuma tangensu.

Mēs jau teicām, ka vienai un tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt dažādi atvasinājumi. Apskatīsim, kā atvasinājums ir saistīts ar funkcijas uzvedību.

Uzzīmēsim kādas funkcijas grafiku. Ļaujiet šai funkcijai dažos apgabalos palielināties, citos samazināties un ar atšķirīgs ātrums. Un lai šai funkcijai ir maksimālais un minimālais punkts.

Kādā brīdī funkcija palielinās. Punktā uzzīmētā grafika pieskare veido akūtu leņķi; ar pozitīvu ass virzienu. Tātad atvasinājums punktā ir pozitīvs.

Šobrīd mūsu funkcija samazinās. Pieskare šajā punktā veido neasu leņķi; ar pozitīvu ass virzienu. Tā kā strupā leņķa pieskare ir negatīva, atvasinājums punktā ir negatīvs.

Lūk, kas notiek:

Ja funkcija palielinās, tās atvasinājums ir pozitīvs.

Ja tas samazinās, tā atvasinājums ir negatīvs.

Un kas notiks pie maksimālajiem un minimālajiem punktiem? Mēs redzam, ka (maksimālajā punktā) un (minimālajā punktā) pieskare ir horizontāla. Tāpēc pieskares slīpuma tangensa šajos punktos nulle, un atvasinājums arī ir nulle.

Punkts ir maksimālais punkts. Šajā brīdī funkcijas palielināšana tiek aizstāta ar samazinājumu. Līdz ar to atvasinājuma zīme punktā mainās no "plus" uz "mīnus".

Punktā - minimālajā punktā - atvasinājums arī ir vienāds ar nulli, bet tā zīme mainās no "mīnus" uz "plus".

Secinājums: ar atvasinājuma palīdzību var uzzināt visu, kas mūs interesē par funkcijas uzvedību.

Ja atvasinājums ir pozitīvs, tad funkcija pieaug.

Ja atvasinājums ir negatīvs, tad funkcija samazinās.

Maksimālajā punktā atvasinājums ir nulle un maina zīmi no plusa uz mīnusu.

Minimālajā punktā atvasinājums arī ir nulle un maina zīmi no mīnusa uz plusu.

Mēs ierakstām šos secinājumus tabulas veidā:

Veiksim divus nelielus precizējumus. Atrisinot problēmu, jums būs nepieciešams viens no tiem. Cits - pirmajā kursā ar nopietnāku funkciju un atvasinājumu izpēti.

Ir iespējams gadījums, kad funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir vienāds ar nulli, bet funkcijai šajā punktā nav ne maksimuma, ne minimuma. Šis tā sauktais :

Punktā grafika pieskare ir horizontāla, un atvasinājums ir nulle. Tomēr pirms punkta funkcija palielinājās - un pēc punkta tā turpina palielināties. Atvasinājuma zīme nemainās – tā ir palikusi pozitīva tāda, kāda bija.

Gadās arī tā, ka maksimuma vai minimuma punktā atvasinājums neeksistē. Grafikā tas atbilst straujam pārtraukumam, kad noteiktā punktā nav iespējams uzzīmēt pieskari.

Bet kā atrast atvasinājumu, ja funkcija ir dota nevis pēc grafika, bet ar formulu? Šajā gadījumā tas attiecas

Tēmas turpinājums par taisnes vienādojumu plaknē ir balstīts uz taisnes izpēti no algebras stundām. Šajā rakstā ir sniegta vispārīga informācija par taisnas līnijas un slīpuma vienādojuma tēmu. Apsveriet definīcijas, iegūstiet pašu vienādojumu, atklājiet attiecības ar cita veida vienādojumiem. Viss tiks apspriests problēmu risināšanas piemēros.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirms šāda vienādojuma rakstīšanas ir jādefinē taisnas līnijas slīpuma leņķis pret O x asi ar to slīpumu. Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma O x.

1. definīcija

Taisnas līnijas slīpuma leņķis pret asi O x, kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā O x y uz plaknes, tas ir leņķis, ko mēra no pozitīvā virziena O x līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Ja līnija ir paralēla Vērsim vai tajā notiek sakritība, slīpuma leņķis ir 0. Tad uz intervāla [0, π) tiek noteikts dotās taisnes slīpuma leņķis α.

2. definīcija

Taisnas līnijas slīpums ir dotās taisnes slīpuma tangenss.

Standarta apzīmējums ir k. No definīcijas iegūstam, ka k = t g α . Kad līnija ir paralēla Ak, viņi tā saka slīpums neeksistē, jo tas iet līdz bezgalībai.

Slīpums ir pozitīvs, kad funkcijas grafiks palielinās un otrādi. Attēlā parādītas dažādas atrašanās vietas variācijas pareizā leņķī attiecībā pret koordinātu sistēmu ar koeficienta vērtību.

Lai atrastu šo leņķi, ir jāpiemēro slīpuma koeficienta definīcija un jāaprēķina slīpuma leņķa tangenss plaknē.

Lēmums

No nosacījuma mēs iegūstam, ka α = 120 °. Pēc definīcijas jums jāaprēķina slīpums. Atradīsim to pēc formulas k = t g α = 120 = - 3 .

Atbilde: k = - 3 .

Ja ir zināms leņķa koeficients, bet ir jāatrod slīpuma leņķis pret x asi, tad jāņem vērā leņķa koeficienta vērtība. Ja k > 0, tad taisnais leņķis ir akūts un atrodams pēc formulas α = a r c t g k . Ja k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2. piemērs

Nosakiet dotās taisnes slīpuma leņķi pret O x ar slīpumu, kas vienāds ar 3.

Lēmums

No nosacījuma, ka slīpums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka slīpuma leņķis pret O x ir mazāks par 90 grādiem. Aprēķinus veic pēc formulas α = a r c t g k = a r c t g 3 .

Atbilde: α = a r c t g 3 .

3. piemērs

Atrodiet taisnes slīpuma leņķi pret O x asi, ja slīpums = - 1 3 .

Lēmums

Ja par slīpuma apzīmējumu ņemam burtu k, tad α ir slīpuma leņķis pret doto taisni pozitīvā virzienā O x. Tādējādi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .

Atbilde: 5 pi 6.

Formas y \u003d k x + b vienādojumu, kur k ir slīpums un b ir kāds reāls skaitlis, sauc par taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu. Vienādojums ir tipisks jebkurai taisnei, kas nav paralēla O y asij.

Ja detalizēti apsveram taisnu līniju plaknē fiksētā koordinātu sistēmā, ko dod vienādojums ar slīpumu, kas izskatās kā y \u003d k x + b. Šajā gadījumā tas nozīmē, ka jebkura līnijas punkta koordinātas atbilst vienādojumam. Ja punkta M koordinātas M 1 (x 1, y 1) aizstājam vienādojumā y \u003d k x + b, tad šajā gadījumā līnija iet caur šo punktu, pretējā gadījumā punkts nepieder pie līnija.

4. piemērs

Dota taisne ar slīpumu y = 1 3 x - 1 . Aprēķināt, vai punkti M 1 (3 , 0) un M 2 (2 , - 2) pieder dotajai taisnei.

Lēmums

Nepieciešams dotajā vienādojumā aizvietot punkta M 1 (3, 0) koordinātas, tad iegūstam 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Vienādība ir patiesa, tāpēc punkts pieder līnijai.

Ja aizvietojam punkta M 2 koordinātas (2, - 2), tad iegūstam nepareizu formas vienādību - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Varam secināt, ka punkts M 2 nepieder pie taisnes.

Atbilde: M 1 pieder līnijai, bet M 2 nepieder.

Ir zināms, ka taisne tiek definēta ar vienādojumu y = k · x + b, kas iet caur M 1 (0 , b) , aizstāšana radīja vienādību formā b = k · 0 + b ⇔ b = b . No tā varam secināt, ka taisnes vienādojums ar slīpumu y = k · x + b uz plaknes definē taisni, kas iet caur punktu 0, b. Tas veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, kur k = t g α .

Apsveriet, piemēram, taisnu līniju, kas definēta, izmantojot slīpumu, kas dots formā y = 3 · x - 1 . Iegūstam, ka taisne iet caur punktu ar koordinātu 0, - 1 ar slīpumu α = a r c t g 3 = π 3 radiāni pa O x ass pozitīvo virzienu. No tā var redzēt, ka koeficients ir 3.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

Nepieciešams atrisināt uzdevumu, kur nepieciešams iegūt taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1) .

Vienādību y 1 = k · x + b var uzskatīt par derīgu, jo taisne iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1) . Lai noņemtu skaitli b, no kreisās un labās puses ir jāatņem vienādojums ar slīpuma koeficientu. No tā izriet, ka y - y 1 = k · (x - x 1) . Šo vienādību sauc par vienādojumu taisnei ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur punkta M 1 (x 1, y 1) koordinātām.

5. piemērs

Sastādiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (4, - 1), ar slīpumu, kas vienāds ar - 2.

Lēmums

Pēc nosacījuma mums ir x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. No šejienes taisnes vienādojums tiks uzrakstīts šādi: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x +7.

Atbilde: y = - 2 x + 7 .

6. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar slīpumu, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (3, 5) paralēli taisnei y \u003d 2 x - 2.

Lēmums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka paralēlām līnijām ir sakrītoši slīpuma leņķi, tāpēc slīpuma koeficienti ir vienādi. Lai atrastu slīpumu no dots vienādojums, ir jāatgādina tās pamatformula y = 2 x - 2, no tā izriet, ka k = 2 . Mēs sastādām vienādojumu ar slīpuma koeficientu un iegūstam:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atbilde: y = 2 x - 1 .

Pāreja no taisnas līnijas vienādojuma ar slīpumu uz cita veida taisnes vienādojumiem un otrādi

Šāds vienādojums ne vienmēr ir piemērojams problēmu risināšanai, jo tam ir ne pārāk ērts apzīmējums. Lai to izdarītu, tas ir jāiesniedz citā formā. Piemēram, vienādojums formā y = k · x + b neļauj pierakstīt taisnes virziena vektora koordinātas vai normālvektora koordinātas. Lai to izdarītu, jums jāiemācās attēlot cita veida vienādojumus.

Mēs varam dabūt kanoniskais vienādojums taisne plaknē, izmantojot vienādojumu taisne ar slīpumu. Mēs iegūstam x - x 1 a x = y - y 1 a y . Nepieciešams pārvietot terminu b uz kreiso pusi un dalīt ar iegūtās nevienādības izteiksmi. Tad iegūstam vienādojumu formā y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .

Taisnes līnijas ar slīpumu vienādojums ir kļuvis par dotās taisnes kanonisko vienādojumu.

7. piemērs

Novietojiet taisnas līnijas vienādojumu ar slīpumu y = - 3 x + 12 kanoniskā formā.

Lēmums

Mēs aprēķinām un attēlojam taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma veidā. Mēs iegūstam formas vienādojumu:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atbilde: x 1 = y - 12 - 3.

Taisnes vispārīgo vienādojumu visvieglāk iegūt no y = k x + b, bet tam ir nepieciešamas transformācijas: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Pāreja tiek veikta no vispārējais vienādojums tieši uz cita veida vienādojumiem.

8. piemērs

Dots taisnes formas y = 1 7 x - 2 vienādojums. Uzziniet, vai vektors ar koordinātām a → = (- 1 , 7) ir normāls taisnes vektors?

Lēmums

Lai to atrisinātu, ir jāpārslēdzas uz citu šī vienādojuma formu, šim nolūkam mēs rakstām:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficienti mainīgo lielumu priekšā ir taisnes normālā vektora koordinātas. Rakstīsim šādi n → = 1 7 , - 1 , tātad 1 7 x - y - 2 = 0 . Ir skaidrs, ka vektors a → = (- 1 , 7) ir kolineārs vektoram n → = 1 7 , - 1 , jo mums ir godīga sakarība a → = - 7 · n → . No tā izriet, ka sākotnējais vektors a → = - 1 , 7 ir taisnes 1 7 x - y - 2 = 0 normāls vektors , kas nozīmē , ka tas tiek uzskatīts par taisnes y = 1 7 x - 2 normālu vektoru .

Atbilde: Ir

Atrisināsim problēmu apgriezti šai problēmai.

No vienādojuma A x + B y + C = 0 vispārīgās formas, kur B ≠ 0, ir jāpāriet uz vienādojumu ar slīpumu. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu y. Iegūstam A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultātā tiek iegūts vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar - A B .

9. piemērs

Dots taisnes vienādojums formā 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Iegūstiet vienādojumu noteiktai līnijai ar slīpumu.

Lēmums

Pamatojoties uz nosacījumu, ir jāatrisina y, tad iegūstam formas vienādojumu:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atbilde: y = 1 6 x + 1 4 .

Līdzīgā veidā tiek atrisināts formas x a + y b \u003d 1 vienādojums, ko sauc par taisnes vienādojumu segmentos vai kanonisko formu x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Tas ir jāatrisina attiecībā pret y, tikai tad iegūstam vienādojumu ar slīpumu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .

Kanonisko vienādojumu var reducēt līdz formai ar slīpumu. Priekš šī:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 +

10. piemērs

Ir taisne, kas dota ar vienādojumu x 2 + y - 3 = 1 . Izveidojiet vienādojuma formu ar slīpumu.

Lēmums.

Pamatojoties uz nosacījumu, ir nepieciešams pārveidot, tad iegūstam vienādojumu formā _formula_. Lai iegūtu nepieciešamo slīpuma vienādojumu, abas vienādojuma puses jāreizina ar -3. Pārveidojot, mēs iegūstam:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atbilde: y = 3 2 x - 3 .

11. piemērs

Formas x - 2 2 \u003d y + 1 5 taisnās līnijas vienādojums tiek nogādāts formā ar slīpumu.

Lēmums

Nepieciešams aprēķināt izteiksmi x - 2 2 = y + 1 5 kā proporciju. Mēs iegūstam, ka 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tagad jums tas ir pilnībā jāiespējo šim nolūkam:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atbilde: y = 5 2 x - 6 .

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, taisnes formas x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametriskie vienādojumi ir jāsamazina līdz taisnes kanoniskajam vienādojumam, tikai pēc tam varat pāriet uz vienādojums ar slīpumu.

12. piemērs

Atrodiet taisnes slīpumu, ja to nosaka parametru vienādojumi x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Lēmums

Jums ir jāpāriet no parametriskā skata uz slīpumu. Lai to izdarītu, no dotā parametriskā vienādojuma atrodam kanonisko vienādojumu:

x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Tagad ir jāatrisina šī vienādība attiecībā pret y, lai iegūtu taisnes ar slīpumu vienādojumu. Lai to izdarītu, mēs rakstām šādi:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

No tā izriet, ka taisnes slīpums ir vienāds ar 2. Tas ir uzrakstīts kā k = 2 .

Atbilde: k = 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Tēmai "Pieskares leņķiskais koeficients kā slīpuma leņķa pieskare" sertifikācijas eksāmenā tiek doti uzreiz vairāki uzdevumi. Atkarībā no stāvokļa absolventam var būt jāsniedz gan pilnīga, gan īsa atbilde. Gatavojoties uz nokārtojot eksāmenu matemātikā skolēnam noteikti jāatkārto uzdevumi, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares slīpumu.

To darot, tas jums palīdzēs izglītības portāls"Školkova". Mūsu eksperti ir sagatavojuši un prezentējuši teorētisko un praktisko materiālu pēc iespējas pieejamāku. Iepazīstoties ar to, jebkura apmācības līmeņa absolventi varēs veiksmīgi atrisināt ar atvasinājumiem saistītas problēmas, kurās nepieciešams atrast pieskares slīpuma tangensu.

Pamata momenti

Lai eksāmenā atrastu pareizo un racionālo risinājumu šādiem uzdevumiem, jums jāatceras pamata definīcija: atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums; tas ir vienāds ar funkcijas grafikam noteiktā punktā novilktās pieskares slīpuma tangensu. Tikpat svarīgi ir pabeigt zīmējumu. Tas ļaus jums atrast pareizais risinājums IZMANTOT atvasinājuma uzdevumus, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares slīpuma tangensu. Skaidrības labad vislabāk ir uzzīmēt grafiku OXY plaknē.

Ja esat jau iepazinies ar pamatmateriālu par atvasinājuma tēmu un esat gatavs sākt risināt pieskares slīpuma leņķa pieskares aprēķināšanas uzdevumus, līdzīgi kā LIETOŠANAS uzdevumi jūs varat to izdarīt tiešsaistē. Katram uzdevumam, piemēram, uzdevumiem par tēmu "Atvasinājuma saistība ar ķermeņa ātrumu un paātrinājumu", pierakstījām pareizo atbildi un risinājuma algoritmu. Šajā gadījumā skolēni var vingrināties uzdevumu izpildē. dažādi līmeņi grūtības. Ja nepieciešams, vingrinājumu var saglabāt sadaļā "Izlase", lai vēlāk varētu pārrunāt lēmumu ar skolotāju.

Līnija y \u003d f (x) būs pieskares diagrammai, kas parādīta attēlā punktā x0, ja tā iet caur punktu ar koordinātām (x0; f (x0)) un tai ir slīpums f "(x0). Atrodiet šāds koeficients, zinot pieskares pazīmes, nav grūti.

Jums būs nepieciešams

• - matemātikas uzziņu grāmata;
• - vienkāršs zīmulis;
• - piezīmju grāmatiņa;
• - transportieri;
• - kompass;
• - pildspalva.

Instrukcija

Ja vērtība f’(x0) neeksistē, tad vai nu tangenses nav, vai arī tā iet vertikāli. Ņemot to vērā, funkcijas atvasinājuma klātbūtne punktā x0 ir saistīta ar nevertikālas pieskares esamību, kas ir saskarē ar funkcijas grafiku punktā (x0, f(x0)). Šajā gadījumā pieskares slīpums būs vienāds ar f "(x0). Tādējādi kļūst skaidra atvasinājuma ģeometriskā nozīme - pieskares slīpuma aprēķins.

Uzzīmējiet papildu pieskares, kas saskartos ar funkcijas grafiku punktos x1, x2 un x3, kā arī atzīmējiet šo pieskares veidotos leņķus ar abscisu asi (šāds leņķis tiek skaitīts pozitīvā virzienā no ass līdz pieskarei līnija). Piemēram, leņķis, tas ir, α1, būs akūts, otrais (α2) ir neass, bet trešais (α3) ir nulle, jo pieskares līnija ir paralēla OX asij. Šajā gadījumā strupā leņķa tangensa ir negatīva, akūta leņķa pieskare ir pozitīva, un tg0 rezultāts ir nulle.

Piezīme

Pareizi nosakiet pieskares veidoto leņķi. Lai to izdarītu, izmantojiet transportieri.

Noderīgs padoms

Divas slīpas līnijas būs paralēlas, ja to slīpumi ir vienādi; perpendikulāri, ja šo pieskares slīpumu reizinājums ir -1.

Avoti:

• Funkcijas grafika pieskare

Kosinuss, tāpat kā sinuss, tiek saukts par "tiešajām" trigonometriskajām funkcijām. Pieskares (kopā ar kotangensu) pievieno citam pārim, ko sauc par "atvasinājumiem". Ir vairākas šo funkciju definīcijas, kas ļauj atrast pieskares doto zināma vērtība tādas pašas vērtības kosinuss.

Instrukcija

Atņemiet koeficientu no vienības ar dotā leņķa kosinusu, kas pacelts līdz vērtībai, un no rezultāta iegūstiet kvadrātsakni - tā būs leņķa pieskares vērtība, kas izteikta ar tā kosinusu: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . Tajā pašā laikā pievērsiet uzmanību tam, ka formulā kosinuss atrodas daļskaitļa saucējā. Neiespējamība dalīt ar nulli izslēdz šīs izteiksmes izmantošanu leņķiem, kas vienādi ar 90°, kā arī atšķirību no šīs vērtības ar 180° reizinājumiem (270°, 450°, -90° utt.).

Ir arī alternatīvs veids pieskares aprēķināšana no zināmās kosinusa vērtības. To var izmantot, ja nav ierobežojumu citu lietošanai. Lai īstenotu šo metodi, vispirms nosaka leņķa vērtību no zināmās kosinusa vērtības – to var izdarīt, izmantojot arkosīna funkciju. Pēc tam vienkārši aprēķiniet iegūtās vērtības leņķa tangensu. AT vispārējs skatsšo algoritmu var uzrakstīt šādi: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ir arī eksotiska iespēja, izmantojot kosinusa un tangensa definīciju asi stūri taisnleņķa trīsstūris. Kosinuss šajā definīcijā atbilst aplūkojamajam leņķim blakus esošās kājas garuma attiecībai pret hipotenūzas garumu. Zinot kosinusa vērtību, var izvēlēties tai atbilstošos šo divu malu garumus. Piemēram, ja cos(α)=0,5, tad blakus esošo var pieņemt vienādu ar 10 cm, bet hipotenūzu - 20 cm. Konkrētiem skaitļiem šeit nav nozīmes - jūs saņemsiet to pašu un pareizību ar visām vērtībām, kurām ir vienādas. Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, nosakiet trūkstošās puses - pretējās kājas - garumu. Viņa būs vienlīdzīga kvadrātsakne no starpības starp kvadrātveida hipotenūzas un zināmās kājas garumiem: √(20²-10²)=√300. Pēc definīcijas tangenss atbilst pretējo un blakus esošo kāju garumu attiecībai (√300/10) - aprēķiniet to un iegūstiet atrasto pieskares vērtību, izmantojot klasisko kosinusa definīciju.

Avoti:

• kosinuss caur tangentes formulu

Viens no trigonometriskās funkcijas, visbiežāk apzīmē ar burtiem tg, lai gan sastopami arī apzīmējumi tan. Vienkāršākais veids ir attēlot tangensu kā sinusa attiecību leņķis līdz tā kosinusam. Šī ir nepāra periodiska un nevis nepārtraukta funkcija, kuras katrs cikls ir vienāds ar skaitli Pi, un pārtraukuma punkts atbilst pusei no šī skaitļa.