Kā izveidot taisnā leņķa konjugāciju. Detaļas rasējuma veidošana ar biedriem. Apļu (loku) konjugācija ar taisnu līniju

02.11.2019

Savienošana pārī.

Savienošana pārī ir vienmērīga pāreja no vienas līnijas uz otru.

Krustojošu līniju konjugācija ar noteikta rādiusa riņķa līniju.

Problēma tiek samazināta līdz apļa pieskares uzzīmēšanai abām dotajām taisnēm.

1. iespēja.

Palīglīnijas novelkam paralēli dotajām attālumā R no dotajiem.

Šo līniju krustošanās punkts būs centrs O konjugācijas loki. Perpendikulu nometa no centra O uz

dotās taisnes noteiks pieskares punktus K un K 1 .

2. iespēja.

Konstrukcija tāda pati.

Savienojumi pārī. Līniju konjugācijas konstruēšana.

3. iespēja.

Ja vēlaties uzzīmēt apli tā, lai tas pieskaras trīs krustojas taisnas līnijas, tad šajā gadījumā

Problēmas apstākļi nevar norādīt rādiusu. Centrs O aplis atrodas krustojumā bisektors stūriem

AT un Ar. Apļa rādiuss ir perpendikuls, kas nomests no centra O uz jebkuru no 3 dotajām līnijām

Līnijas.

Savienojumi pārī. Līniju konjugāciju konstruēšana.

Noteikta riņķa līnijas ārējās konjugācijas konstruēšana ar dotu taisna loka rādiusu R 1 .

No centra O no šī apļa uzzīmējam palīgloka loku ar rādiusu R+R 1 .

Attālumā novelkam taisnu līniju, kas ir paralēla dotajai R1.

Taisnes līnijas un konstrukcijas loka krustpunkts dos filejas loka centra punktu Apmēram 1.

Loku saskares punkts Uz atrodas uz līnijas OO 1 .

Loka un līnijas saskares punkts K 1 atrodas perpendikula krustpunktā no punkta O 1 līdz taisnei ar loku.

Savienojumi pārī. Apļa ar taisnu līniju ārējās konjugācijas konstruēšana.

Noteikta riņķa līnijas iekšējās konjugācijas konstruēšana ar noteiktu taisnu loku ar noteiktu rādiusu R 1 .

No centra O no šī apļa mēs uzzīmējam papildu apli ar rādiusu R-R1.

Savienojumi pārī. Apļa ar taisnu līniju iekšējās konjugācijas konstruēšana.

Divu doto apļu konjugācijas konstruēšana pēc noteikta rādiusa R 3 loka.

Ārējais pieskāriens.

No apļa centra Apmēram 1 R1+R3.

No apļa centra Apmēram 2 aprakstiet papildu apļa loku ar rādiusu R2+R3.

krustojums papildu apļu loki dos punktu Apmēram 3, kas ir konjugācijas loka centrs

pieskāriena punkti K 1 un K 2 ir uz līnijām O 1 O 3 un O 2 O 3.

Iekšējais pieskāriens

No apļa centra Apmēram 1 aprakstiet papildu apļa loku ar rādiusu R3-R1.

No apļa centra Apmēram 2 aprakstiet papildu apļa loku ar rādiusu R3 - R2.

krustojums

(apļi ar rādiusu R 3) .

Savienojumi pārī. Divu apļu konjugācija ar loku.

Ārējais un iekšējais pieskāriens.

Doti divi apļi ar centriem O 1 un O 2 ar rādiusiem r 1 un r 2 . Ir nepieciešams uzzīmēt dotā apli

Rādiuss R tā, lai nodrošinātu iekšējo kontaktu ar vienu apli un ārējo kontaktu ar otru.

No apļa centra Apmēram 1 aprakstiet papildu apļa loku ar rādiusu R-r 1.

No apļa centra Apmēram 2 aprakstiet papildu apļa loku ar rādiusu R+r 2 .

krustojumspapildu apļu loki dos punktu, kas ir konjugācijas loka centrs

(apļi ar rādiusu R) .

Savienojumi pārī. Divu apļu konjugācija ar loku.

Riņķa konstrukcija, kas iet caur doto punktu A un pieskaras dotam riņķim

noteiktā punktā B.

Taisnes viduspunkta atrašana AB. Caur līnijas AB vidu novelciet perpendikulu. Turpinājuma krustojums

OB un perpendikulāras līnijas dod punktu Apmēram 1. Apmēram 1 - vēlamā apļa centrs ar rādiusu R = O 1 B = O 1 A.

Savienojumi pārī. Apļa un loka iekšējā tanence.

Apļa konjugācijas konstruēšana ar taisni noteiktā punktā A uz taisnes.

No dotā taisnes LM punkta A atjaunojam perpendikulu taisnei LM. Par turpinājumu

Perpendikulāri atmatā segmentu AB. AB = R. Mēs savienojam punktu B ar apļa O 1 taisnes centru.

No punkta A novelkam taisnu līniju, kas ir paralēla BO 1, līdz tā krustojas ar apli. Pieņemsim punktu Uz- punkts

Pieskarieties. Savienojiet punktu K ar apļa O 1 centru. Pagarināsim taisnes O 1 K un AB līdz krustpunktam. Pieņemsim punktu

Apmēram 2, kas ir konjugācijas loka centrs ar rādiusu O 2 A \u003d O 2 K.

Savienojumi pārī. Apļa konjugācija ar taisni noteiktā punktā.

Apļa konjugācijas konstruēšana ar taisni punktā A, kas dots uz riņķa līnijas.

Ārējais pieskāriens.

Mēs tērējam pieskare uz apli caur punktu BET. Pieskares krustpunkts ar taisni LM dos punktu AT.

Stūra sadalīšana Uz pusēm

Apmēram 1. Apmēram 1 O 1 A \u003d O 1 K.

Iekšējais pieskāriens.

Mēs tērējam pieskare uz apli caur punktu BET. Pieskares līnijas krustojums ar LM līniju dos punktu AT.

Stūra sadalīšana, ko veido pieskares un taisnes līnijas LM , Uz pusēm. Leņķa bisektora krustpunkts un

Rādiusa OA pagarināšana dos punktu Apmēram 1. Apmēram 1 - O 1 A \u003d O 1 K.

Savienojumi pārī. Apļa konjugācija ar taisni noteiktā apļa punktā.

Divu nekoncentrisku apļa loku konjugācijas konstruēšana ar noteikta rādiusa loku.

Zīmējiet no loka centra Apmēram 1 palīgloka ar rādiusu R1-R3. Zīmējiet no loka centra O 2 palīgierīce

Loka rādiuss R2+R3. Loku krustpunkts dos punktu Ak, ak- konjugācijas loka centrs ar rādiusu R3. pieskāriena punkti

K 1 un K 2 gulēt uz līnijām OO 1 un OO 2.

Savienojumi pārī. 2 nekoncentrisku apļu loku savienošana pārī ar loku.

Izliektas līknes veidošana, izvēloties lokus.

Atlasot loku centrus, kas sakrīt ar līknes daļām, ar kompasu var uzzīmēt jebkuru izliektu līkni.

Lai loki vienmērīgi pārietu no viena uz otru, ir nepieciešams, lai to konjugācijas punkti (pieskares)

Tie atradās uz taisnām līnijām, kas savienoja šo loku centrus.

Konstrukciju secība.

Mēs izvēlamies centru 1 patvaļīgas sekcijas loki ab.

Par turpinājumu vispirms rādiuss izvēlieties centru 2 zemes gabala loka rādiuss b.c.

Par turpinājumu otrais rādiuss izvēlieties centru 3 zemes gabala loka rādiuss cd utt.

Tātad mēs veidojam visu līkni.

Savienojumi pārī. Loku izvēle.

Divu paralēlu līniju konjugācijas konstruēšana ar diviem lokiem.

Punkti, kas noteikti uz taisnām paralēlām līnijām BET un AT savienot ar līniju AB.

Izvēlieties uz taisnas līnijas AB patvaļīgs punkts M.

Mēs sadalām segmentus AM un VM Uz pusēm.

Atjaunojam perpendikulus segmentu vidū.

Punktos A un B, dotām taisnēm, atjaunojam perpendikulu taisnēm.

krustojums atbilstošs perpendikulāri dos punktus Apmēram 1 un Apmēram 2.

Apmēram 1 konjugācijas loka centrs ar rādiusu O 1 A \u003d O 1 M.

Apmēram 2 konjugācijas loka centrs ar rādiusu O 2 V \u003d O 2 M.

Ja punkts M izvēlēties tālāk vidū līnijas AB, tad rādiusi konjugācijas loki būs ir vienādi.

Pieskaroties lokiem punktā M atrodas uz līnijas Apmēram 1 Apmēram 2.

Savienojumi pārī. Paralēlu līniju konjugācija ar diviem lokiem.

Savienošanas centrs- punkts vienādā attālumā no savienojuma līnijām. Un šo līniju kopējais punkts tiek saukts konjugācijas punkts .

Konjugāciju konstruēšana tiek veikta, izmantojot kompasu.

Ir iespējami šādi savienošanas pārī veidi:

1) krustojošo līniju konjugācija, izmantojot noteikta rādiusa R loku (noapaļojot stūrus);

2) riņķa loka un taisnes konjugācija, izmantojot loku ar doto rādiusu R;

3) apļu ar rādiusu R 1 un R 2 loku konjugācija ar taisni;

4) divu apļu ar rādiusu R 1 un R 2 loku konjugācija ar noteikta rādiusa R loku (ārējā, iekšējā un jauktā konjugācija).

Ārējai savienošanai rādiusa R 1 un R 2 savienojuma loku centri atrodas ārpus savienojuma loka ar rādiusu R. Iekšējā savienojuma gadījumā savienojuma loku centri atrodas savienojuma loka ar rādiusu R iekšpusē. Jaukta pārošanās gadījumā viena pārošanās loka centrs atrodas pārošanās loka ar rādiusu R iekšpusē, bet otra pārošanās loka centrs atrodas ārpus tā.

Tabulā. 1 parāda uzbūvi un sniedz īsus skaidrojumus vienkāršu konjugāciju konstruēšanai.

Savienojumi pārī1. tabula

Vienkāršu biedru piemērs	Draugu grafiskā konstrukcija	Īss būvniecības skaidrojums

1. Krustojošu līniju konjugācija, izmantojot noteikta rādiusa loku R.		No attāluma zīmējiet taisnas līnijas, kas ir paralēlas leņķa malām R. No punkta Ošo taisnu savstarpējo krustojumu, nolaižot perpendikulu uz leņķa malām, iegūstam konjugācijas punktus 1 un 2 . Rādiuss R uzzīmējiet loku.
2. Apļa loka un taisnes konjugācija, izmantojot noteikta rādiusa loku R.		Uz attāluma R novelciet taisni paralēli noteiktai taisnei un no centra O 1 ar rādiusu R+R 1- apļa loks. Punkts O- konjugācijas loka centrs. punktu 2 mēs nokļūstam uz perpendikula, kas novilkts no punkta O uz doto taisni, un punkts 1 - uz taisnes OO 1 .
3. Divu rādiusu loku konjugācija R1 un R2 taisne.		No punkta O 1 uzzīmējiet apli ar rādiusu R 1 - R2. Nogriezni O 1 O 2 sadala uz pusēm un no punkta O 3 novelk loku ar rādiusu 0,5 O 1 O 2 . Savienojiet punktus O 1 un O 2 ar punktu BET. No punkta O 2 nometiet perpendikulāru līnijai AO 2, punktus 1.2 - savienošanas punkti.

1. tabula turpinājās


4. Divu rādiusu loku konjugācija R1 un R2 dotā rādiusa loka R(ārēja savienošana pārī).		No centriem O 1 un O 2 novelk rādiusu lokus R+R 1 un R+R2. O 1 un O 2 ar punktu O. Punkti 1 un 2 ir krustojuma punkti.
5. Divu rādiusu loku konjugācija R1 un R2 dotā rādiusa loka R(iekšējā savienošana pārī).		No centriem O 1 un O 2 novelk rādiusu lokus R-R1 un R-R2. Mēs iegūstam punktu O- konjugācijas loka centrs. savienojiet punktus O 1 un O 2 ar punktu O līdz krustojumam ar dotajiem apļiem. punktus 1 un 2- krustojuma punkti.
6. Divu rādiusu loku konjugācija R1 un R2 dotā rādiusa loka R(jaukta konjugācija).		No centriem O 1 un O 2 novelciet rādiusu lokus R- R 1 un R+R2. Mēs iegūstam punktu O - konjugācijas loka centru. savienojiet punktus O 1 un O 2 ar punktu O līdz krustojumam ar dotajiem apļiem. punktus 1. un 2- krustojuma punkti.

izliektas līknes

Tās ir izliektas līnijas, kurās izliekums nepārtraukti mainās uz katra elementa. Izliektas līknes nevar uzzīmēt ar kompasu, tās tiek veidotas no punktu sērijas. Zīmējot līkni, iegūtā punktu sērija tiek savienota pa rakstu, tāpēc to sauc par izliektu līniju. Izliektas līknes veidošanas precizitāte palielinās, palielinoties starppunktu skaitam līknes posmā.

Izliektās līknes ietver tā sauktās plakanas konusa daļas - elipse, parabola, hiperbola, kas iegūti riņķveida konusa griezuma rezultātā ar plakni. Šādas līknes tika ņemtas vērā, studējot kursu "Aprakstošā ģeometrija". Līknes ietver arī ietīta, sinusoīds, Arhimēda spirāle, cikloīdas līknes.

Elipse- punktu lokuss, kura attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem (foci) ir nemainīga vērtība.

Visplašāk izmantotā metode elipses konstruēšanai pa dotajām pusasīm AB un CD. Konstruējot tiek novilkti divi koncentriski apļi, kuru diametri ir vienādi ar dotajām elipses asīm. Lai izveidotu 12 elipses punktus, apļus sadala 12 vienādās daļās un iegūtos punktus savieno ar centru.

Uz att. 15 parāda elipses augšējās puses sešu punktu uzbūvi; apakšējā puse tiek uzzīmēta tādā pašā veidā.

Involute- ir apļa punkta trajektorija, ko veido tā izvietošana un iztaisnošana (apļa attīstība).

Evolutes konstrukcija atbilstoši noteiktam riņķa diametram ir parādīta att. 16. Aplis sadalīts astoņās vienādās daļās. No punktiem 1,2,3 velciet riņķa pieskares, kas vērstas vienā virzienā. Pēdējā pieskarei evolūcijas solis ir iestatīts vienāds ar apkārtmēru

(2 pR), un iegūtais segments arī tiek sadalīts 8 vienādās daļās. Uzliekot vienu daļu uz pirmās pieskares, divas daļas uz otro, trīs daļas uz trešo utt., Mēs iegūstam evolūcijas punktus.

Cikloīdu līknes- plakanas izliektas līnijas, ko apraksta punkts, kas pieder riņķim, kas ripo, neslīdot pa taisnu līniju vai apli. Ja tajā pašā laikā aplis ripo pa taisnu līniju, tad punkts apraksta līkni, ko sauc par cikloīdu.

Cikloīda uzbūve pēc dotā riņķa diametra d parādīta 17.att.

Rīsi. 17

Aplis un segments ar garumu 2pR ir sadalīti 12 vienādās daļās. Novelciet taisnu līniju cauri apļa centram paralēli līnijas segmentam. No posma dalīšanas punktiem līdz taisnei tiek novilkti perpendikuli. To krustpunktos ar taisni iegūstam O 1, O 2, O 3 utt. ir ripojošā apļa centri.

No šiem centriem mēs aprakstam lokus ar rādiusu R. Caur riņķa dalīšanas punktiem novelkam taisnas līnijas, kas ir paralēlas taisnei, kas savieno apļu centrus. Taisnes, kas iet caur punktu 1, krustpunktā ar loku, kas aprakstīts no centra O1, atrodas viens no cikloīda punktiem; caur punktu 2 ar citu no centra O2 - citu punktu utt.

Ja aplis ripo pa citu apli, atrodoties tā iekšpusē (gar ieliekto daļu), tad punkts apraksta līkni ar nosaukumu hipocikloīds. Ja aplis ripo pa citu apli, atrodoties ārpus tā (gar izliekto daļu), tad punkts apraksta līkni ar nosaukumu epicikloīds.

Hipocikloīda un epicikloīda uzbūve ir līdzīga, taču 2pR garuma segmenta vietā tiek ņemts virzošā apļa loks.

Epicikloīda uzbūve atbilstoši noteiktam kustīgo un fiksēto apļu rādiusam parādīta 18.att. Leņķis α, ko aprēķina pēc formulas

α = 180°(2r/R), un aplis ar rādiusu R ir sadalīts astoņās vienādās daļās. Novilkts loks ar rādiusu R + r un no punktiem О 1 , О 2 , О 3 .. - aplis ar rādiusu r.

Hipocikloīda uzbūve pēc dotajiem kustīgo un fiksēto apļu rādiusiem parādīta 19. att. Aprēķinātais leņķis α un aplis ar rādiusu R tiek sadalīti astoņās vienādās daļās. Novilkts riņķa loks ar rādiusu R - r un no punktiem O 1, O 2, O 3 ... - aplis ar rādiusu r.

Parabola- tas ir punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no fiksēta punkta - fokuss F un fiksēta līnija - virziens, kas ir perpendikulārs parabolas simetrijas asij. Parabolas uzbūve atbilstoši noteiktajam segmentam OO \u003d AB un akordam CD parādīta 20. att.

Tiešā OE un OS ir sadalītas vienādās daļās. Tālākā konstrukcija ir skaidra no zīmējuma.

Hiperbola- punktu lokuss, kura attālumu starpība no diviem fiksētiem punktiem (foci) ir nemainīga vērtība. Pārstāv divus atvērtus, simetriski izvietotus zarus.

Hiperbolas F 1 un F 2 nemainīgie punkti ir perēkļi, un attālumu starp tiem sauc par fokusiem. Līnijas segmentus, kas savieno līknes punktus ar fokusiem, sauc par rādiusa vektoriem. Hiperbolai ir divas savstarpēji perpendikulāras asis – reālā un iedomātā. Taisnes, kas iet caur asu krustošanās centru, sauc par asimptotēm.

Hiperbolas uzbūve atbilstoši noteiktam fokusa attālumam F 1 F 2 un leņķim α starp asimptotiem parādīta 21. att. Tiek uzzīmēta ass, uz kuras ir uzzīmēts fokusa attālums, kuru uz pusi samazina punkts O. Caur punktu O tiek novilkts aplis ar rādiusu 0,5F 1 F 2, līdz tas krustojas punktos C, D, E, K. Savienojot punktus C ar D un E ar K, iegūst punktus A un B ir hiperbolas virsotnes. No punkta F 1 pa kreisi ir atzīmēti patvaļīgi punkti 1, 2, 3 ... attālumiem, starp kuriem vajadzētu palielināties, attālinoties no fokusa. No fokusa punktiem F 1 un F 2 ar rādiusiem R=B4 un r=A4 tiek novilkti loki uz savstarpēju krustpunktu. Krustošanās punkti 4 ir hiperbolas punkti. Pārējie punkti ir veidoti līdzīgi.

sinusoidāls- plakana līkne, kas izsaka likumu par leņķa sinusa izmaiņu atkarībā no leņķa lieluma izmaiņām.

Parādīta sinusoīda konstrukcija noteiktam apļa diametram d

att. 22.

Lai to izveidotu, sadaliet doto apli 12 vienādās daļās; segmentu, kas vienāds ar dotā apļa garumu (2pR), sadala vienādās daļās. Zīmējot horizontālas un vertikālas taisnas līnijas caur dalījuma punktiem, tie atrod sinusoidālos punktus to krustpunktā.

Arhimēda spirāle - e tad plaknes līkne, ko raksturo punkts, kas vienmērīgi griežas ap doto centru un tajā pašā laikā vienmērīgi attālinās no tā.

Arhimēda spirāles uzbūve noteiktam apļa diametram D parādīta 23. att.

Apļa apkārtmērs un rādiuss ir sadalīti 12 vienādās daļās. Tālākā konstrukcija redzama no zīmējuma.

Veidojot konjugācijas un izliektas līknes, nākas ķerties pie visvienkāršākajām ģeometriskām konstrukcijām - piemēram, apļa vai taisnes sadalīšana vairākās vienādās daļās, leņķa un nogriežņa sadalīšana uz pusēm, perpendikulu veidošana, bisektrise utt. Visas šīs konstrukcijas tika pētītas skolas kursa disciplīnā "Zīmējums", tāpēc šajā rokasgrāmatā tās nav sīkāk aplūkotas.

1.5. Ieviešanas vadlīnijas

Vispārīgā gadījumā apļa m ar rādiusu R 1 un taisnes l konjugācijas konstruēšanu ar apli ar rādiusu R (30. att., a, b) veic šādi:

- attālumā R, kas ir paralēls l, novelkam l '(GM līdz taisnei);

- ar centru punktā O 1, mēs uzzīmējam m '(GM uz apli), ar rādiusu, kas vienāds ar R un R 1 summu, vai rādiusu, kas vienāds ar R un R 1 starpību;

– l’ un m’ krustojuma punkts О ir konjugācijas centrs;

- nolaižam perpendikulu no O līdz taisnei l. Mēs iegūstam krustojuma punktu A;

- novelciet taisnu līniju caur O un O 1 un atzīmējiet konjugācijas punktu B tās krustpunktā ar apli m;

- ar centru punktā O ar rādiusu R starp punktiem A un B, mēs uzzīmējam konjugācijas loku.

Rīsi. 30. Taisnes konjugācija ar riņķi

Divu apļu konjugācija

Būvējot ārējā savienošana pārī divus apļus m 1 un m 2 ar loka ar dotu rādiusu R (31. att.) savienojuma loka centru - punktu O - nosaka divu ģeometrisko vietu m 1 ' un m 2 ' krustpunkts - palīgloki rādiusi R + R 1 un R + R 2, kas novilkti attiecīgi no konjugēto apļu centriem, t.i. no punktiem O 1 un O 2. Konjugācijas punkti A un B ir definēti kā doto apļu krustošanās punkti ar taisnēm OO 1 un OO 2.

Iekšējā savienošana pārī rādiusa R 1 un R 2 loki ar rādiusa R loku ir parādīti att. 32.

Rīsi. 31. Divu apļu ārējā savienošana pārī

Rīsi. 32.Divu apļu iekšējā konjugācija

Lai noteiktu konjugācijas loka centru O, no punktiem O 1 un O 2 - divām ģeometriskām vietām - ar rādiusiem R–R 1 un R–R 2 izvelkam palīglokus m 1 ’un m 2 ’. Šo loku krustpunkts ir konjugācijas centrs. No punkta O caur punktiem O 1 un O 2 novelkam taisnes līdz krustojumam ar apļiem m 1 un m 2 un iegūstam konjugācijas punktus A un B. Starp šiem punktiem ir konjugācijas apļa ar rādiusu R loks. zīmēts ar centru punktā O.

Plkst jaukta konjugācija(33. att.) konjugācijas centru O nosaka divu ģeometrisku vietu krustpunktā - R + R 1 un R–R 2 rādiusu palīgapļi, kas novilkti attiecīgi no centriem O 1 un O 2. Konjugācijas punkti A un B atrodas centru OO 1 un OO 2 līniju krustpunktā ar doto apļu lokiem.

Rīsi. 33. Divu apļu jauktas konjugācijas konstruēšana

Pieskares līniju izbūve

Apļu pieskares konstrukcija balstās uz to, ka pieskares līnija ir perpendikulāra apļa rādiusam, kas novilkts uz saskares punktu.

Riņķa pieskares konstruēšana no punkta A, kas atrodas ārpus apļa (34. att.). Nogriezni OA, kas savieno doto punktu A ar riņķa centru O sadala uz pusēm un no iegūtā punkta O 1, kā no centra, aprakstam palīgloku ar rādiusu O 1 A. Papildriņķis krusto doto. punktā B, kas ir saskares punkts. Taisne AB būs pieskares riņķim, jo leņķis ABO ir pareizs, kā ierakstīts palīglokā un pamatojoties uz tā diametru.

Pieskares uzbūve diviem apļiem. Divu apļu pieskare var būt ārēja, ja abi apļi atrodas tajā pašā pusē, un iekšēja, ja apļi atrodas dažādās pieskares pusēs.

Rīsi. 34. Apļa pieskares konstruēšana

Lai izveidotu ārējo tangensu apļiem ar rādiusiem R 1 un R 2 (35. att.), rīkojamies šādi:

viens). no lielākā apļa centra O 2 novelkam palīgloku ar rādiusu R 2 -R 1;

2). segments O 1 O 2 ir sadalīts uz pusēm;

3). ar centru O 3 uzzīmējam palīgloku ar rādiusu O 3 O 2;

4). atzīmē divu palīgloku krustpunktus - M un N;

5). caur punktu O 2 un iegūtajiem punktiem novelk taisnas līnijas, līdz tās krustojas ar apli ar rādiusu R 2 . Iegūstam punktus B un D;

6). no centra O 1 novelkam attiecīgi taisnes O 1 A un O 1 C paralēli O 2 B un O 2 D, līdz tās punktos A un C krustojas ar apli ar rādiusu R 1.

Taisnes līnijas AB un CD ir vēlamās divu apļu ārējās pieskares.

Rīsi. 35. Divu apļu ārējās pieskares konstruēšana

Divu rādiusu R 1 un R 2 apļu iekšējās pieskares uzbūve (36. att.).

Rīsi. 36. Divu apļu iekšējās pieskares konstruēšana

No viena apļa centra, piemēram, no O 1, mēs uzzīmējam papildu apli ar rādiusu R 1 + R 2. Nogriezni O 1 O 2 sadalām uz pusēm un no iegūtā punkta O 3 novelkam otru palīgapli ar rādiusu O 1 O 3. Savienojam palīgloku krustpunkta punktus M un N ar taisnēm ar centru O 1 un to krustpunktā ar apli ar rādiusu R 1 iegūstam saskares punktus A un C. No punkta O 2 zīmējam taisne, kas ir paralēla O 1 A, un mēs iegūstam saskares punktu B uz apļa R 2. Līdzīgi tiek konstruēts punkts D. Taisnes AB un CD ir vajadzīgās abu apļu iekšējās pieskares.

Nodarbības numurs 23.

Savienojumi pārī

Rādīt vairākas daļas, kurām ir filejas.

Izpētot detaļas, redzam, ka to dizainā bieži viena virsma pāriet citā. Parasti šīs pārejas tiek padarītas gludas, kas palielina detaļu izturību un padara ar tām ērtāku darbu.

Zīmējumā virsmas ir attēlotas ar līnijām, kas arī vienmērīgi pāriet no vienas uz otru.

Tādu vienmērīgu pāreju no vienas līnijas (virsmas) uz citu līniju (virsmu) sauc konjugācija.

Konjugējot konjugāciju, ir jānosaka robeža, kur beidzas viena līnija un sākas cita, t.i. rasē atrast pārejas punktu, ko sauc konjugācijas punkts vai pieskāriena punkts .

Konjugācijas problēmas nosacīti var iedalīt 3 grupās.

Pirmā uzdevumu grupa ietver uzdevumus biedru konstruēšanai, kur ir iesaistītas taisnes. Tas var būt tiešs pieskāriens līnijai un aplim, divu līniju konjugācija ar noteikta rādiusa loku, kā arī pieskares līnijas vilkšana diviem apļiem.

Izveidojiet riņķa līniju, kas pieskaras taisnei.

Riņķa līnijas pieskares konstrukcija , ir saistīts ar saskares punkta un apļa centra atrašanu.

Dota horizontāla līnija AB , ir nepieciešams izveidot apli ar rādiusu R pieskares dotajai taisnei (1. att.).

Pieskāriena punkts tiek izvēlēts patvaļīgi.

Tā kā pieskares punkts nav norādīts, rādiusa aplis R var pieskarties šai līnijai jebkurā vietā. Tādu loku ir daudz. Šo apļu centri ( O 1 , O 2 utt.) atradīsies vienādā attālumā no dotās taisnes, t.i. uz taisnes, kas ir paralēla noteiktai taisnei AB attālumā, kas vienāds ar dotā riņķa rādiusu (1. att.). Sauksim šo līniju centra līnija .

Uzzīmējiet centru līniju, kas ir paralēla taisnai līnijai AB uz attālumu R . Tā kā pieskares apļa centrs nav iestatīts, mēs ņemam jebkuru centra līnijas punktu, piemēram, punktu O.

Pirms pieskares apļa zīmēšanas ir jānosaka pieskares punkts. Saskares punkts atradīsies uz perpendikula, kas nokrita no punkta O tieši AB . Perpendikula krustpunktā ar taisni AB dabūt punktu UZ, kas būs saskarsmes punkts. No centra O rādiuss R no punkta Uz zīmēsim apli. Problēma atrisināta.

Pierakstiet piezīmju grāmatiņās šādus noteikumus:

Ja konjugācijā ir iesaistīta taisna līnija, tad:

riņķa līnijas centrs, kas pieskaras taisnei, atrodas uz taisnes (centru līnijas), kas novilkta paralēli noteiktai taisnei, attālumā, kas vienāds ar dotā riņķa rādiusu;

2) saskares punkts atrodas uz perpendikula, kas novilkts no apļa centra uz doto taisni.

Divu līniju konjugācija.

Plaknē divas taisnas līnijas var būt paralēlas vai leņķī viena pret otru.

Lai izveidotu divu līniju konjugāciju, ir jānozīmē aplis, kas pieskaras šīm divām līnijām.

Atveriet darbgrāmatas 31. lpp.

Apsveriet divu neparalēlu līniju konjugāciju.

Divas neparalēlas līnijas atrodas leņķī viena pret otru, kas var būt taisnas, strupas vai asas. Veicot detaļu rasējumus, šādus stūrus bieži nepieciešams noapaļot ar noteikta rādiusa loku (1. att.). Stūru noapaļošana zīmējumā ir nekas cits kā divu neparalēlu taisnu līniju konjugācija ar noteikta rādiusa apļa loku. Lai veiktu savienošanu pārī, jums jāatrod savienošanas pārī loka centrs un savienošanas punkti.

Ir zināms, ka, ja konjugācijā ir iesaistīta taisne, tad konjugācijas loka centrs atrodas uz viduslīnijas, kas ir novilkta paralēli dotajai taisnei attālumā, kas vienāds ar rādiusu. R konjugācijas loki.

Tā kā leņķi veido divas taisnes, katrai taisnei paralēli tiek novilktas divas centru līnijas attālumā, kas vienāds ar rādiusu R konjugācijas loki. To krustošanās punkts būs konjugācijas loka centrs.

Lai atrastu konjugācijas punktus no punkta O nometiet perpendikulus dotajām taisnēm un iegūstiet konjugācijas punktus Uz un Uz 1 . Zinot punktus un konjugācijas centru, no punkta O rādiuss R vadīt konjugācijas loku. Izsekojot zīmējumu, vispirms iezīmējiet loku un pēc tam pieskares līnijas.

Veidojot taisnā leņķa konjugāciju, ir vienkāršoti novilkt centru līniju, jo leņķa malas ir savstarpēji perpendikulāras. No stūra augšdaļas novietojiet segmentus, kas vienādi ar rādiusu R konjugācijas loki, un caur iegūtajiem punktiem Uz un Uz 1 , kas būs saskares punkti, novelciet divas centru līnijas paralēli stūra malām. Tās būs gan centra līnijas, gan perpendikulāri, kas nosaka savienojuma punktus. Uz un Uz 1 (31. lpp., 1. att.).

Lappuse 31, 4. uzdevums. Divu paralēlu līniju konjugācija.

Lai izveidotu konjugāciju no divām paralēlām taisnēm, nepieciešams uzzīmēt apļa loku, kas pieskaras šīm taisnēm (3. att.).

3. att

Šī apļa rādiuss būs vienāds ar pusi no attāluma starp dotajām līnijām. Tā kā pieskares punkts nav norādīts, ir daudz šādu apļu, ko var uzzīmēt. To centri atradīsies uz taisnes, kas novilkta paralēli dotajām taisnēm tādā attālumā, kas vienāds ar pusi no attāluma starp tiem. Šī taisna līnija būs centru līnija.

pieskāriena punkti ( Uz 1 un Uz 2 ) guļ uz perpendikula, kas nomests no pieskares riņķa centra uz dotajām taisnēm (3.a att.). Tā kā pieskares apļa centrs nav norādīts, perpendikuls tiek novilkts patvaļīgi. Līnijas segments QC 1 tiek sadalīti uz pusēm (3.b att.), caur dotajām taisnēm paralēliem serifu krustpunktiem tiek novilkta taisne, uz kuras atradīsies dotajām paralēlajām taisnēm pieskares riņķu centri, t.i. šī līnija būs centru līnija. Kompasa kājas novietošana uz punkta O , uzzīmējiet konjugācijas loku (3.c att.) no punkta Uz līdz punktam Uz 1 .

Līniju konstruēšana, kas pieskaras apļiem

(R.T. 33.lpp.).

1. vingrinājums. Caur punktu novelciet riņķa līnijas pieskares līniju BET guļ uz apļa.

No punkta O zīmējiet taisnu līniju OB caur punktu BET . No punkta BET Uzzīmējiet apli ar jebkuru rādiusu. Krustojumā ar taisni saņēma punktus 1 un 2. No šiem punktiem ar jebkuru rādiusu mēs velkam lokus, līdz tie punktos krustojas viens ar otru C un D . No punkta C vai D velciet līniju caur punktu BET .

Tā būs pieskares aplim, jo pieskare vienmēr ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz pieskares punktam.

2. uzdevums.

Šī konstrukcija ir līdzīga perpendikulāra konstruēšanai taisnei caur noteiktu punktu, ko var veikt, izmantojot divus kvadrātus.

Vispirms kvadrāts 1 ir novietots tā, lai tā hipotenūza sakristu ar punktiem O un A . Pēc tam uz kvadrāts 1 tiek piemērots kvadrāts 2 , kas būs ceļvedis, t.i. pa kuru pārvietosies laukums 1 . Tad kvadrāts 1 pievienojiet vēl vienu kāju kvadrātam 2. Tad mēs velmējam kvadrātu 1 pa kvadrātu 2 līdz hipotenūza sakrīt ar punktu A . Un caur punktu novelkam apļa pieskares līniju A .

3. uzdevums. Novelciet apļa pieskares līniju caur punktu, kas nav uz apļa.

Dots aplis ar rādiusuR un punkts BET , neguļot uz apļa, ir jāzīmē no punktaBET taisnes līnijas pieskares dotajam riņķim tā augšējā daļā. Lai to izdarītu, jums jāatrod kontaktpunkts. Mēs zinām, ka pieskares punkts atrodas uz perpendikula, kas novilkts no riņķa centra uz pieskares līniju. Tāpēc tangenss un perpendikuls veido taisnu leņķi.

Zinot, ka katrs riņķī ierakstīts leņķis, pamatojoties uz tā diametru, ir taisns leņķis, kas savieno punktusBET un O , paņemiet segmentuAS ierobežotā apļa diametram. Noteiktā apļa un rādiusa apļa krustpunktāR būs taisnā leņķa virsotne (punktsUz ). Līnijas segments AS sadali uz pusēm ar kompasu, iegūsti punktuO 1 (4. att., b).

No centra O 1 rādiuss ir vienāds ar segmentuAS 1 , uzzīmējiet apli, iegūstiet punktusUz un Uz 1 krustojumā ar rādiusa apliR (4. att., c).

Tā kā riņķa augšdaļai ir jānozīmē tikai viena pieskare, tiek izvēlēts vēlamais pieskares punkts. Šis punkts būs punktsUz . punktu Uz savienot ar punktiemBET un O , mēs iegūstam taisnu leņķi, kas balstās uz diametruAS ierobežots aplis ar rādiusuR 1 . Punkts Uz - šī leņķa virsotne (4. att., d), segmentilabi un AK - taisna leņķa malas, tātad punktsUz būs vēlamais saskares punkts un taisnā līnijaAK - vēlamā tangensa.

4. att

Līnijas pieskares zīmēšana diviem apļiem.

Doti divi apļi ar rādiusiem R un R 1 , tiem ir jākonstruē tangenss. Ir divi saskarsmes gadījumi: ārējais un iekšējais.

Ar ārējo pieskārienu pieskares līnija atrodas tajā pašā apļu pusē un nešķērso segmentu, kas savieno šo apļu centrus.

Izmantojot iekšējo pieskārienu, pieskares līnija atrodas dažādās apļu pusēs un šķērso segmentu, kas savieno apļu centrus.

Lappuse 33. 5.uzdevums. Uzzīmējiet līniju pieskares diviem apļiem. Pieskāriens ir ārējs.

Pirmkārt, jums ir jāatrod saskarsmes punkti. Ir zināms, ka tiem jāatrodas uz perpendikuliem, kas novilkti no apļu centriem ( O un O 1 ) pieskarei.

No punkta O uzzīmējiet apli ar rādiusu R - R 1 , jo pieskāriens ir ārējs.

Sadaliet attālumu OO 1 uz pusēm un uzzīmējiet apli ar rādiusu R =OO 2 =O 1 O 2

Šis aplis šķērso apli ar rādiusu R - R 1 punktā UZ. Mēs savienojam šo punktu ar O 1 .

No punkta O caur punktu Uz velciet taisnu līniju, līdz tā krustojas ar rādiusa apli R . ieguva punktu Uz 1 - pirmais kontaktpunkts.

No punkta O 1 novelciet paralēlu līniju QC 1 , līdz tas krustojas ar rādiusa apli R 1 . Ir otrs pieskāriena punkts Uz 2 . Punktu savienošana Uz 1 un Uz 2 . Šī ir abu apļu pieskare.

6. uzdevums. Uzzīmējiet līniju pieskares diviem apļiem. Pieskāriens ir iekšējs.

Konstrukcija līdzīga, tikai ar iekšējo kontaktu no punkta novilkts palīgloka rādiuss O ir vienāds ar apļu rādiusu summu R + R 1 .

Otrā pāru problēmu grupa ietver uzdevumus, kas ietver tikai apļus un lokus. Vienmērīga pāreja no viena apļa uz otru var notikt vai nu tieši pieskaroties, vai caur trešo elementu - apļa loku.

Divu apļu pieskares var būt ārēja (PT: 32. lpp., 3. att.) vai iekšēja (PT: 32. lpp., 4. att.).

3. uzdevums (32. lpp.)

Kad divi apļi saskaras ārēji, attālums starp šo apļu centriem būs vienāds ar to rādiusu summu.

No punkta O rādiuss R + R C taisīsim loku. No punkta O 1 rādiuss R 1 + R C O Ar - konjugācijas centrs.

Punktu savienošana O un O 1 ar konjugācijas centru O Ar . Uz apļiem tika iegūti saskares punkti (konjugācija).

No punkta O Ar mate rādiuss R C 30 savienojošie saskares punkti.

4. uzdevums (32. lpp.)

Kad divi apļi saskaras iekšēji, viens no pieskares apļiem atrodas otra apļa iekšpusē, un attālums starp šo apļu centriem būs vienāds ar to rādiusu starpību.

No punkta O rādiuss ( R C – R ) taisīsim loku. No punkta O 1 rādiuss ( R C – R 1 ) zīmējiet loku, līdz tas krustojas ar pirmo loku. ieguva punktu O Ar - konjugācijas centrs.

Savienošanas centrs O Ar savienot ar punktiem O un O 1 ar un pagariniet taisno līniju tālāk.

Uz apļiem tika iegūti saskares punkti (konjugācija).

No punkta O Ar mate rādiuss R C 60 savienojošie saskares punkti.

Trešā pāru savienošanas problēmu grupa ietver uzdevumus taisnes un riņķa līnijas ar noteikta rādiusa loka konjugācijai.

Veicot šādu uzdevumu, viņi it kā atrisina divas problēmas: novilkt pieskares loku taisnei un pieskares loku aplim. Pieskāriens šajā gadījumā var būt gan ārējs, gan iekšējs.

RT: 32.lpp.1.uzdevums. Apļa un taisnes konjugācija. Pieskāriens ir ārējs. R C 20 .

Dota taisne un aplis ar rādiusu R , ir jākonstruē konjugācija pēc rādiusa loka R C 20 .

Tā kā palīgā ir iesaistīta taisna līnija, tad palīga loka centrs atrodas uz taisnes, kas novilkta paralēli dotajai līnijai attālumā, kas vienāds ar palīga rādiusu R C 20 . Tāpēc paralēli dotajai taisnei 20 mm attālumā novelkam vēl vienu taisni.

Un konjugācijas loka centrs, kad divi apļi saskaras ārēji, atrodas uz apļa, kura rādiuss ir vienāds ar rādiusu summu R un R C . Tāpēc no punkta O rādiuss ( R + R C O Ar

Tad mēs atrodam saskares punktus. Pirmais saskares punkts ir perpendikuls, kas nomests no palīga centra uz doto līniju. Mēs atrodam otro krustojuma punktu, savienojot krustojuma centru O Ar un apļa centrs R . Pieskares punkts atradīsies pirmajā krustojumā ar apli, jo pieskares ir ārēja.

Tad no punkta O Ar rādiuss R C 20 savienojiet krustošanās punktus.

RT: 32.lpp.2.uzdevums. Apļa un taisnes konjugācija. Pieskāriens ir iekšējs. R C 60 .

Novelciet centru līniju, kas ir paralēla dotajai taisnei 60 mm attālumā. No punkta O rādiuss ( R ar - R ) novelkam loku līdz krustojumam ar jaunu taisni (centru līniju). Pieņemsim punktu O Ar , kas ir konjugācijas centrs.

No O Ar velciet līniju cauri apļa centram O un perpendikulārs noteiktai taisnei. Mēs iegūstam divus kontaktpunktus. Un tad no savienojuma centra ar rādiusu 60 mm mēs savienojam saskares punktus.

Savienošana pārī ir vienmērīga pāreja no vienas līnijas uz otru. Vienmērīgu pāreju var veikt gan ar apļveida līniju palīdzību
(apļu loki), un ar izliektu līkņu palīdzību (elipses, parabolas vai hiperbolas loki). Mēs izskatīsim tikai konjugācijas gadījumus ar apļu loku palīdzību. No visas dažādu līniju konjugāciju daudzveidības var izšķirt šādus galvenos konjugāciju veidus: divu atšķirīgi izvietotu taisnu konjugācija, izmantojot apļa loku, taisnes konjugācija ar apļa loku, kopīgas konstrukcijas. pieskares diviem apļiem, divu trešdaļas apļu konjugācija. Jebkura veida savienošana pārī jāveic šādā secībā:

- atrast konjugācijas loka centru,

- atrast savienojuma punktus,

- tiek uzzīmēts konjugācijas loks ar noteiktu rādiusu.

2. tabulā ir parādīti dažādi partneru veidi:

2. tabula

Draugu grafiskā konstrukcija	Īss būvniecības skaidrojums

Krustojošu līniju konjugācija ar noteikta rādiusa loku
	Novelciet taisnas līnijas, kas ir paralēlas stūra malām attālumā R. No punkta O, šo līniju savstarpējais krustojums, nometot perpendikulus uz stūra malām, iegūstam konjugācijas punktus 1 un 2. Ar rādiusu R, novelciet konjugācijas loku starp punktiem 1 un 2.
Apļa un taisnes konjugācija, izmantojot noteikta rādiusa loku
	Attālumā R novelciet taisnu līniju, kas ir paralēla noteiktai taisnei, un no centra O 1 ar rādiusu R + R 1 - apļa loku. Punkts O ir konjugācijas loka centrs. Punktu 2 iegūstam uz perpendikula, kas nomests no punkta O uz doto taisni, bet punktu 1 - taisnes OO 1 un apļa ar rādiusu R krustpunktā.

2. tabulas turpinājums

Divu apļu loku konjugācija ar taisnu līniju
	No punkta O uzzīmējiet papildu apli ar rādiusu R-R 1. Sadaliet nogriezni OO 1 uz pusēm un no punkta O 2 novelciet apli ar rādiusu 0,5 OO 1. Šis aplis krusto palīgierīci punktā K 0. Savienojot punktu K 0 ar punktu O 1, iegūstam kopējās pieskares virzienu. Pieskares punkti K un K 1 ir atrodami perpendikulu krustpunktā no punktiem O un O 1 ar dotajiem apļiem.
Divu apļu loku konjugācija ar noteikta rādiusa loku (ārējā konjugācija)
	No centriem O 1 un O 2 novelkam lokus ar rādiusiem R + R 1 un R + R 2. Kad šie loki krustojas, iegūstam punktu O - konjugācijas loka centru. Savienojiet punktus O 1 un O 2 ar punktu O. Punkti K un K 1 ir konjugācijas punkti. Starp punktiem K un K 1 novelciet konjugācijas loku ar rādiusu R.