Kādos ceturkšņos kotangenss ir pozitīvs? Trigonometrisko funkciju pamatīpašības: vienmērīgums, dīvainība, periodiskums. Trigonometrisko funkciju vērtību zīmes pa ceturtdaļām

11.10.2019

Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Tas ir gandrīz tāds pats kā iepriekšējā nodarbībā. Ir cirvji, aplis, leņķis, viss ir zods-ķīna. Pievienoti ceturtdaļu numuri (liela kvadrāta stūros) - no pirmā līdz ceturtajam. Un tad pēkšņi kurš nezina? Kā redzat, ceturkšņi (tos sauc arī skaists vārds"kvadranti") ir numurēti pret gājienu pulksteņrādītāja virzienā. Pievienotas leņķa vērtības uz asīm. Viss ir skaidrs, bez liekumiem.

Un pievienoja zaļu bultiņu. Ar plusu. ko viņa domā? Atgādināšu, ka stūra fiksētā puse vienmēr pienaglots uz pozitīvās ass OH. Tātad, ja mēs pagriežam stūra kustīgo pusi plus bultiņa, t.i. augošā ceturkšņa skaitļos, leņķis tiks uzskatīts par pozitīvu. Piemēram, attēlā ir redzams +60° pozitīvs leņķis.

Ja atliksim stūrus iekšā otrā puse, pulksteņrādītāja virzienā, leņķis tiks uzskatīts par negatīvu. Virziet kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā), jūs redzēsiet zilu bultiņu ar mīnusu. Tas ir leņķu negatīvā nolasījuma virziens. Negatīvs leņķis (-60°) ir parādīts kā piemērs. Un jūs arī redzēsiet, kā mainījušies skaitļi uz asīm... Es tos arī pārtulkoju negatīvos leņķos. Kvadrantu numerācija nemainās.

Šeit parasti sākas pirmie pārpratumi. Kā tā!? Un ja negatīvais leņķis uz apļa sakrīt ar pozitīvo!? Un vispār sanāk, ka vienu un to pašu kustīgās puses (vai punkta uz skaitliskā apļa) stāvokli var saukt gan par negatīvu, gan pozitīvu!?

Jā. Tieši tā. Pieņemsim, ka pozitīvs 90 grādu leņķis ieņem apli tieši tas pats pozīcija kā mīnus 270 grādu negatīvs leņķis. Tiek ņemts pozitīvs leņķis, piemēram, +110° grādi tieši tas pats pozīcija, jo negatīvais leņķis ir -250°.

Nekādu problēmu. Viss ir pareizi.) Pozitīva vai negatīva leņķa aprēķina izvēle ir atkarīga no uzdevuma stāvokļa. Ja nosacījums neko neliecina vienkāršs teksts par leņķa zīmi (piemēram, "nosakiet mazāko pozitīvs leņķis" utt.), tad strādājam ar vērtībām, kas mums ir ērtas.

Izņēmums (un kā bez tām?!) ir trigonometriskās nevienādības, taču tur mēs šo triku apgūsim.

Un tagad jautājums jums. Kā es varu zināt, ka 110° leņķa pozīcija ir tāda pati kā -250° leņķa pozīcija?
Došu mājienu, ka tas ir pilna apgrozījuma dēļ. 360°... Nav skaidrs? Tad mēs zīmējam apli. Mēs zīmējam uz papīra. Stūra marķēšana par 110°. Un ticu cik atlicis līdz pilnam apgriezienam. Vēl tikai 250°...

Sapratu? Un tagad - uzmanību! Ja leņķi 110° un -250° aizņem apli tas pats pozīcija, ko tad? Jā, tas, ka leņķi ir 110 ° un -250 ° tieši tas pats sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss!
Tie. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) un tā tālāk. Tagad tas ir patiešām svarīgi! Un pats par sevi - ir daudz uzdevumu, kur ir nepieciešams vienkāršot izteiksmes, kā arī par pamatu turpmākai redukcijas formulu un citu trigonometrijas sarežģījumu izstrādei.

Protams, es nejauši paņēmu 110 ° un -250 °, piemēram, tīri. Visas šīs vienādības darbojas visiem leņķiem, kas ieņem tādu pašu pozīciju uz apļa. 60° un -300°, -75° un 285° un tā tālāk. Uzreiz atzīmēju, ka stūri šajos pāros - dažādi. Bet tiem ir trigonometriskas funkcijas - tas pats.

Es domāju, ka jūs saprotat, kas ir negatīvie leņķi. Tas ir pavisam vienkārši. Pretēji pulksteņrādītāja virzienam ir pozitīvs skaitlis. Pa ceļam tas ir negatīvs. Apsveriet leņķi pozitīvu vai negatīvu atkarīgs no mums. No mūsu vēlmes. Nu, un vēl no uzdevuma, protams... Es ceru, ka jūs saprotat, kā trigonometriskajās funkcijās pārvietoties no negatīva uz pozitīvu leņķi un otrādi. Uzzīmējiet apli, aptuveno leņķi un redziet, cik daudz trūkst pirms pilna pagrieziena, t.i. līdz 360°.

Leņķi, kas lielāki par 360°.

Tiksim galā ar leņķiem, kas ir lielāki par 360 °. Un tādas lietas notiek? Ir, protams. Kā tos uzzīmēt uz apļa? Nav problēma! Pieņemsim, ka mums ir jāsaprot, kurā ceturksnī kritīsies 1000 ° leņķis? Viegli! Mēs veicam vienu pilnu apgriezienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam (leņķis mums tika dots pozitīvs!). Attīt par 360°. Nu ko, ejam tālāk! Vēl viens pagrieziens - tas jau ir izrādījies 720 °. Cik atlicis? 280°. Pilnam pagriezienam nepietiek ... Bet leņķis ir vairāk nekā 270 ° - un tā ir robeža starp trešo un ceturto ceturksni. Tātad mūsu 1000° leņķis iekrīt ceturtajā ceturksnī. Viss.

Kā redzat, tas ir pavisam vienkārši. Atgādinu vēlreiz, ka 1000° leņķis un 280° leņķis, ko ieguvām, atmetot "papildus" pilnos pagriezienus, stingri ņemot, ir dažādi stūriem. Bet šo leņķu trigonometriskās funkcijas tieši tas pats! Tie. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° utt. Ja es būtu sinuss, es nepamanītu atšķirību starp šiem diviem leņķiem...

Kāpēc tas viss ir vajadzīgs? Kāpēc mums ir jātulko leņķi no viena uz otru? Jā, visi par to pašu.) Lai vienkāršotu izteicienus. Izteicienu vienkāršošana patiesībā ir skolas matemātikas galvenais uzdevums. Nu, pa ceļam galva trenējas.)

Nu, vai trenēsimies?)

Mēs atbildam uz jautājumiem. Sākumā vienkārši.

1. Kurā ceturksnī krīt -325° leņķis?

2. Kurā ceturksnī krīt 3000° leņķis?

3. Kurā ceturksnī krīt leņķis -3000°?

Ir problēma? Vai nedrošība? Mēs ejam uz 555. sadaļu Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli. Tur, šīs pašas pirmajā nodarbībā praktiskais darbs..." viss ir detalizēts ... In tāds neskaidrības jautājumi nevajadzētu!

4. Kāda ir sin555° zīme?

5. Kāda ir tg555° zīme?

Apņēmīgs? labi! Šaubas? Ir nepieciešams 555. pants ... Starp citu, tur jūs uzzināsit, kā trigonometriskā aplī uzzīmēt tangensu un kotangensu. Ļoti noderīga lieta.

Un tagad gudrāki jautājumi.

6. Saved izteiksmi sin777° līdz mazākā pozitīvā leņķa sinusam.

7. Saved izteiksmi cos777° līdz lielākā negatīvā leņķa kosinusam.

8. Pārvērtiet izteiksmi cos(-777°) mazākā pozitīvā leņķa kosinusā.

9. Noved izteiksmi sin777° līdz lielākā negatīvā leņķa sinusam.

Kas, 6.-9. jautājums ir neizpratnē? Pierod, eksāmenā nav tādi formulējumi... Lai nu tā, es iztulkos. Tikai tev!

Vārdi "samazināt izteiksmi līdz ..." nozīmē pārveidot izteiksmi tā, lai tā būtu vērtība nav mainījies a izskats mainīts atbilstoši uzdevumam. Tātad 6. un 9. uzdevumā mums vajadzētu iegūt sinusu, kura iekšpusē ir mazākais pozitīvais leņķis. Visam pārējam nav nozīmes.

Es sniegšu atbildes secībā (pārkāpjot mūsu noteikumus). Bet ko darīt, ir tikai divas zīmes, un tikai četras ceturtdaļas... Jūs neizklīdīsiet opcijās.

6. sin57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Es domāju, ka atbildes uz 6.-9. jautājumu dažus cilvēkus mulsināja. It īpaši -sin (-57°), vai ne?) Patiešām, leņķu skaitīšanas elementārajos noteikumos ir vieta kļūdām ... Tāpēc man bija jāveic nodarbība: "Kā noteikt funkciju zīmes un dot leņķus uz trigonometriskā apļa?" 555. sadaļā. Tur ir sakārtoti 4. - 9. uzdevumi. Labi sakārtots, ar visām nepilnībām. Un viņi ir šeit.)

Nākamajā nodarbībā tiksim galā ar noslēpumainajiem radiāniem un skaitli "Pi". Uzziniet, kā viegli un pareizi pārvērst grādus radiānos un otrādi. Un mēs būsim pārsteigti, atklājot šo elementāro informāciju vietnē jau pietiek atrisināt dažas nestandarta trigonometrijas mīklas!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Nodarbības veids: zināšanu sistematizēšana un starpkontrole.

Aprīkojums: trigonometriskais aplis, testi, kartītes ar uzdevumiem.

Nodarbības mērķi: sistematizēt pētīto teorētiskais materiāls pēc sinusa, kosinusa, leņķa pieskares definīcijām; pārbaudīt zināšanu asimilācijas pakāpi par šo tēmu un pielietojumu praksē.

Uzdevumi:

Vispārināt un nostiprināt leņķa sinusa, kosinusa un pieskares jēdzienus.
Veidot kompleksu priekšstatu par trigonometriskajām funkcijām.
Veicināt studentu vēlmes un nepieciešamības attīstību studēt trigonometrisko materiālu; izkopt saskarsmes kultūru, spēju strādāt grupās un pašizglītības nepieciešamību.

“Kas dara un domā no jaunības, tas
tad kļūst uzticamāks, stiprāks, gudrāks.

(V. Šuksins)

NODARBĪBU LAIKĀ

I. Organizatoriskais moments

Klasi pārstāv trīs grupas. Katrai grupai ir konsultants.
Skolotājs ziņo par stundas tēmu, mērķiem un uzdevumiem.

II. Zināšanu aktualizēšana (frontālais darbs ar klasi)

1) Strādājiet grupās pie uzdevumiem:

1. Formulējiet grēka leņķa definīciju.

– Kādas zīmes ir grēkam α katrā koordinātu ceturksnī?
– Pie kādām vērtībām ir jēga izteicienam sin α, un kādas vērtības tam var būt?

2. Otrā grupa ir tie paši jautājumi cos α.

3. Trešā grupa sagatavo atbildes uz tiem pašiem jautājumiem tg α un ctg α.

Šobrīd trīs studenti patstāvīgi strādā pie valdes uz kartēm (dažādu grupu pārstāvji).

Kartes numurs 1.

Praktiskais darbs.
Izmantojot vienības apli, aprēķiniet sin α, cos α un tg α vērtības leņķim 50, 210 un -210.

Kartes numurs 2.

Nosakiet izteiksmes zīmi: tg 275; cos 370; grēks 790; tg 4.1 un grēks 2.

Kartes numurs 3.

1) Aprēķiniet:
2) Salīdziniet: cos 60 un cos 2 30 - sin 2 30

2) mutiski:

a) Tiek piedāvāti vairāki skaitļi: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Dažas no tām ir liekas. Kāda īpašība sin α vai cos α var izteikt šos skaitļus (Vai sin α vai cos α var ņemt šīs vērtības).
b) Vai izteiksmei ir jēga: cos (-); grēks2; tg3:ctg(-5); ; ctg0;
ctg(-π). Kāpēc?
c) Vai ir vismazāk un augstākā vērtība sin vai cos, tg, ctg.
d) Vai tā ir taisnība?
1) α = 1000 ir II ceturkšņa leņķis;
2) α \u003d - 330 ir IV ceturkšņa leņķis.
e) Cipari atbilst vienam un tam pašam punktam uz vienības apļa.

3) Darbs ar tāfeli

#567 (2; 4) — atrodiet izteiksmes vērtību
#583 (1-3) Nosakiet izteiksmes zīmi

Mājasdarbs: galds piezīmju grāmatiņā. Nr.567(1,3) Nr.578

III. Papildu zināšanu apguve. Trigonometrija plaukstā

Skolotājs: Izrādās, ka leņķu sinusu un kosinusu vērtības "ir" jūsu plaukstā. Izstiepiet roku (jebkuru) un izpletiet pirkstus, cik vien iespējams (kā uz plakāta). Uzaicināts viens students. Mēs izmērām leņķus starp pirkstiem.
Tiek ņemts trīsstūris, kurā ir leņķis 30, 45 un 60 90 un leņķa virsotni pieliekam plaukstā Mēness pauguriņam. Mēness kalns atrodas mazā pirkstiņa pagarinājumu krustpunktā un īkšķis. Mēs apvienojam vienu pusi ar mazo pirkstu, bet otru pusi ar vienu no citiem pirkstiem.
Izrādās, ka leņķis starp mazo pirkstiņu un īkšķi ir 90, starp mazo pirkstiņu un zeltnesi - 30, starp mazo un vidējo pirkstu - 45, starp mazo un rādītājpirkstu - 60. Un tas attiecas uz visiem cilvēkiem bez izņēmuma

mazā pirksta skaitlis 0 - atbilst 0,
bezvārda skaitlis 1 - atbilst 30,
vidējais skaitlis 2 - atbilst 45,
indeksa numurs 3 - atbilst 60,
liels skaitlis 4 - atbilst 90.

Tādējādi mums uz rokas ir 4 pirksti un atceramies formulu:

pirksta numurs	Injekcija	Nozīme

Tas ir tikai mnemonisks noteikums. Kopumā sin α vai cos α vērtība ir jāzina no galvas, taču dažreiz šis noteikums palīdzēs grūtos laikos.
Izstrādājiet noteikumu par cos (leņķi bez izmaiņām, bet skaitot no īkšķa). Fiziska pauze, kas saistīta ar zīmēm sin α vai cos α.

IV. ZUN asimilācijas pārbaude

Patstāvīgs darbs ar atgriezenisko saiti

Katrs skolēns saņem kontroldarbu (4 varianti), un atbilžu lapa visiem ir vienāda.

Pārbaude

1. iespēja

1) Kādā griešanās leņķī rādiuss ieņems tādu pašu pozīciju kā tad, ja to pagriež 50 leņķī.
2) Atrodiet izteiksmes vērtību: 4cos 60 - 3sin 90.
3) Kurš no skaitļiem ir mazāks par nulli: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

2. iespēja

1) Kādā griešanās leņķī rādiuss ieņems tādu pašu pozīciju kā tad, kad tas tiek pagriezts 10 leņķī.
2) Atrodiet izteiksmes vērtību: 4cos 90 - 6sin 30.
3) Kurš no skaitļiem ir lielāks par nulli: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

3. iespēja

1) Atrodiet izteiksmes vērtību: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) Kurš no skaitļiem ir mazāks par nulli: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140.
3) Kuras ceturtdaļas leņķis ir leņķis α, ja sin α > 0, cos α< 0.

4. iespēja

1) Atrodiet izteiksmes vērtību: tg 60 - 6ctg 90.
2) Kurš no skaitļiem ir mazāks par nulli: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Kuras ceturtdaļas leņķis ir leņķis α, ja ctg α< 0, cos α> 0.

BET 0	B Grēks50	AT 1	G – 350	D – 1	E Cos(– 140)
F 3	Z 310	Un Maksa 140		L 350	M 2
H Maksa 340	O – 3	P Maksa 250	R	Ar Grēks 140	T – 310
Plkst – 2	F 2	X Tg50	W 250 Tg	YU Grēks 340	es 4

(vārds ir trigonometrija ir galvenais)

V. Informācija no trigonometrijas vēstures

Skolotājs: Trigonometrija ir diezgan svarīga matemātikas nozare cilvēka dzīvē. Mūsdienīgs izskats trigonometriju sniedza 18. gadsimta lielākais matemātiķis Leonhards Eilers, pēc dzimšanas šveicietis ilgi gadi kurš strādāja Krievijā un bija Sanktpēterburgas Zinātņu akadēmijas biedrs. Viņš iepazīstināja slavenās definīcijas trigonometriskās funkcijas formulētas un pierādītas labi zināmas formulas, mēs tās apgūsim vēlāk. Eilera dzīve ir ļoti interesanta un iesaku ar to iepazīties no Jakovļeva grāmatas "Leonards Eilers".

(Ziņas puišiem par šo tēmu)

VI. Apkopojot stundu

Tic-tac-toe spēle

Piedalās divi aktīvākie skolēni. Viņus atbalsta grupas. Uzdevumu risinājums tiek ierakstīts piezīmju grāmatiņā.

Uzdevumi

1) Atrodiet kļūdu

a) grēks 225 = - 1,1 c) grēks 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Izsakiet leņķi grādos
3) Izsakiet radiānos leņķi 300
4) Kāds ir lielākais un mazākā vērtība var būt izteiksme: 1+ sin α;
5) Nosakiet izteiksmes zīmi: sin 260, cos 300.
6) Kurā skaitļa apļa ceturtdaļā atrodas punkts
7) Nosakiet izteiksmes pazīmes: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Aprēķiniet:
9) Salīdziniet: grēks 2 un grēks 350

VII. Nodarbības refleksija

Skolotājs: Kur mēs varam satikt trigonometriju?
Kādās stundās 9. klasē un pat tagad jūs lietojat sin α, cos α jēdzienus; tgα; ctg α un kādam nolūkam?

Trigonometriskās funkcijas zīme ir atkarīga tikai no koordinātu ceturkšņa, kurā atrodas skaitliskais arguments. Iepriekšējā reizē mēs uzzinājām, kā argumentus no radiāna mēra pārvērst grādu mērā (skatiet nodarbību “Leņķa radiāns un pakāpes mērs”) un pēc tam noteikt šo pašu koordinātu ceturksni. Tagad faktiski nodarbosimies ar sinusa, kosinusa un pieskares zīmes definīciju.

Leņķa α sinuss ir trigonometriskā apļa punkta ordināta (koordināta y), kas rodas, rādiusu pagriežot pa leņķi α.

Leņķa α kosinuss ir trigonometriskā apļa punkta abscisa (x koordināte), kas rodas, kad rādiuss griežas caur leņķi α.

Leņķa α pieskare ir sinusa attiecība pret kosinusu. Vai, līdzvērtīgi, y-koordinātas attiecība pret x-koordinātu.

Apzīmējums: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Visas šīs definīcijas jums ir pazīstamas no vidusskolas algebras kursa. Taču mūs neinteresē pašas definīcijas, bet gan sekas, kas rodas uz trigonometriskā apļa. Paskaties:

Zils norāda uz OY ass pozitīvo virzienu (y ass), sarkans norāda uz OX ass (abscisu) pozitīvo virzienu. Uz šī "radara" kļūst acīmredzamas trigonometrisko funkciju pazīmes. It īpaši:

sin α > 0, ja leņķis α atrodas I vai II koordinātu ceturtdaļā. Tas ir tāpēc, ka pēc definīcijas sinuss ir ordināta (y koordināte). Un y koordināta būs pozitīva tieši I un II koordinātu ceturtdaļās;
cos α > 0, ja leņķis α atrodas I vai IV koordinātu ceturtdaļā. Jo tikai tur x koordināte (tā ir arī abscisa) būs lielāka par nulli;
tg α > 0, ja leņķis α atrodas I vai III koordinātu kvadrantā. Tas izriet no definīcijas: galu galā tg α = y : x , tāpēc tas ir pozitīvs tikai tad, ja x un y zīmes sakrīt. Tas notiek 1. koordinātu ceturksnī (šeit x > 0, y > 0) un 3. koordinātu ceturksnī (x< 0, y < 0).

Skaidrības labad mēs atzīmējam katras trigonometriskās funkcijas zīmes - sinusu, kosinusu un tangensu - uz atsevišķa "radara". Mēs iegūstam šādu attēlu:

Piezīme: savā argumentācijā es nekad nerunāju par ceturto trigonometrisko funkciju - kotangensu. Fakts ir tāds, ka kotangences zīmes sakrīt ar pieskares zīmēm - tur nav īpašu noteikumu.

Tagad es ierosinu apsvērt piemērus, kas ir līdzīgi problēmām B11 no izmēģinājuma eksāmens matemātikā, kas notika 27.09.2011. Galu galā Labākais veids teorijas izpratne ir prakse. Vēlams daudz prakses. Protams, uzdevumu nosacījumi tika nedaudz mainīti.

Uzdevums. Nosakiet trigonometrisko funkciju un izteiksmju zīmes (pašu funkciju vērtības nav jāņem vērā):

grēks(3π/4);

cos(7π/6);

iedegums (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

iedegums (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Rīcības plāns ir šāds: vispirms mēs pārvēršam visus leņķus no radiāna mēra uz grādu mēru (π → 180°), un pēc tam skatāmies, kurā koordinātu ceturksnī atrodas iegūtais skaitlis. Zinot kvartālus, mēs varam viegli atrast zīmes – saskaņā ar tikko aprakstītajiem noteikumiem. Mums ir:

grēks (3π/4) = grēks (3 180°/4) = grēks 135°. Tā kā 135° ∈ , tas ir leņķis no II koordinātu kvadranta. Bet sinuss otrajā ceturksnī ir pozitīvs, tātad grēks (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Jo 210° ∈ , tas ir leņķis no III koordinātu kvadranta, kurā visi kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Kopš 300° ∈ mēs atrodamies ceturtajā kvadrantā, kur ņem tangensu negatīvas vērtības. Tāpēc tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Tiksim galā ar sinusu: jo 135° ∈ , šis ir otrais ceturksnis, kurā sinusi ir pozitīvi, t.i. sin (3π/4) > 0. Tagad strādājam ar kosinusu: 150° ∈ - atkal otrais ceturksnis, tur kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Mēs skatāmies uz kosinusu: 120° ∈ ir II koordinātu ceturtdaļa, tātad cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Atkal mēs saņēmām produktu, kurā faktori ir dažādas pazīmes. Tā kā “mīnus reiz pluss dod mīnusu”, mums ir: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Mēs strādājam ar sinusu: kopš 150° ∈ , mēs runājam par II koordinātu kvartālu, kur sinusi ir pozitīvi. Tāpēc sin (5π/6) > 0. Tāpat 315° ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, tur esošie kosinusi ir pozitīvi. Tāpēc cos (7π/4) > 0. Ieguvām divu pozitīvu skaitļu reizinājumu - šāda izteiksme vienmēr ir pozitīva. Secinām: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Bet leņķis 135° ∈ ir otrais ceturksnis, t.i. iedegums (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Tā kā “mīnus pluss dod mīnusa zīmi”, mums ir: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Apskatām kotangentes argumentu: 240° ∈ ir III koordinātu ceturtdaļa, tātad ctg (4π/3) > 0. Tāpat arī pieskarei mums ir: 30° ∈ ir I koordinātu ceturtdaļa, t.i. vieglākais stūris. Tāpēc tg (π/6) > 0. Atkal saņēmām divas pozitīvas izteiksmes - arī viņu produkts būs pozitīvs. Tāpēc ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Visbeidzot, apskatīsim vēl dažus izaicinošus uzdevumus. Papildus trigonometriskās funkcijas zīmes noskaidrošanai šeit ir jāveic neliels aprēķins - tāpat kā tas tiek darīts reālos uzdevumos B11. Principā tie ir gandrīz reāli uzdevumi, kas patiešām ir atrodami matemātikas eksāmenā.

Uzdevums. Atrast sin α, ja sin 2 α = 0,64 un α ∈ [π/2; π].

Tā kā sin 2 α = 0,64, mums ir: sin α = ±0,8. Atliek izlemt: plus vai mīnus? Pieņemot, ka leņķis α ∈ [π/2; π] ir II koordinātu ceturtdaļa, kur visi sinusi ir pozitīvi. Tāpēc grēks α = 0,8 - nenoteiktība ar zīmēm tiek novērsta.

Uzdevums. Atrast cos α, ja cos 2 α = 0,04 un α ∈ [π; 3π/2].

Mēs rīkojamies līdzīgi, t.i. ekstrakts Kvadrātsakne: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Pieņemot, ka leņķis α ∈ [π; 3π/2], t.i. runa ir par III koordinātu kvartālu. Tur visi kosinusi ir negatīvi, tāpēc cos α = −0,2.

Uzdevums. Atrodiet sin α, ja sin 2 α = 0,25 un α ∈ .

Mums ir: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Atkal skatāmies uz leņķi: α ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, kurā, kā zināms, sinuss būs negatīvs. Tādējādi secinām: sin α = −0,5.

Uzdevums. Atrodiet tg α, ja tg 2 α = 9 un α ∈ .

Viss ir vienāds, tikai pieskarei. Ņemam kvadrātsakni: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Bet saskaņā ar nosacījumu leņķis α ∈ ir I koordinātu kvadrants. Visas trigonometriskās funkcijas, t.sk. pieskares, ir pozitīvi, tāpēc tg α = 3. Tas arī viss!

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir aporija "Ahillejs un bruņurupucis". Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk par bruņurupuci un atpaliek no tā tūkstoš soļu. Laikā, kurā Ahillejs veic šo distanci, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Gilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, lai nonāktu pie vienota viedokļa par paradoksu būtību zinātnieku kopiena līdz šim tas nav bijis iespējams ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporas "]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no vērtības uz. Šī pāreja nozīmē konstantu piemērošanu. Cik saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību pielietošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav pielietots Zenona aporijām. Mūsu ierastās loģikas pielietošana ieved mūs slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, piemērojam konstantas laika vienības abpusējai vērtībai. No fiziskā viedokļa izskatās, ka laiks palēninās līdz pilnīgai apstājai brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.

Ja pagriežam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais tā ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri apsteigs bruņurupuci".

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vērtībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, bet bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļus priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tā nav pilnīgs risinājums Problēmas. Einšteina izteikums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo katrā laika brīdī tā atrodas miera stāvoklī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss to pārvar ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika momentā lidojošā bulta atpūšas dažādos telpas punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču tās nevar izmantot attāluma noteikšanai. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs) . Uz ko es vēlos koncentrēties Īpaša uzmanība, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Ļoti labi atšķirības starp komplektu un multikopu ir aprakstītas Vikipēdijā. Mēs skatāmies.

Kā redzat, "komplektā nevar būt divi vienādi elementi", bet, ja komplektā ir identiski elementi, tad šādu kopu sauc par "multisetu". Līdzīga absurda loģika jūtas būtnes nekad nesaprast. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kurā vārda "pilnībā" nav prāta. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Savulaik inženieri, kas būvēja tiltu, tilta testu laikā atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts izturēja slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "mind me, I'm in the house", vai drīzāk "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, maksājam algas. Šeit pie mums nāk matemātiķis pēc savas naudas. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās saliekam viena un tā paša nomināla banknotes. Tad no katras kaudzes paņemam vienu rēķinu un iedodam matemātiķim viņa "matemātisko algu komplektu". Mēs izskaidrojam matemātiku, ka pārējos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: "uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!" Tālāk tiks nodrošināts, ka uz viena un tā paša nomināla banknotēm ir dažādi banknošu numuri, kas nozīmē, ka tās nevar uzskatīt par identiskiem elementiem. Nu algu skaitām monētās - uz monētām nav ciparu. Šeit matemātiķis sāks konvulsīvi atcerēties fiziku: dažādas monētas pieejams dažāda summa netīrumi, kristāla struktūra un katras monētas atomu izvietojums ir unikāls...

Un tagad man ir visvairāk interese Jautāt: kur ir robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te ne tuvu nav.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platība ir vienāda, kas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja ņemam vērā vienu un to pašu stadionu nosaukumus, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa vienlaikus ir gan kopa, gan multikopa. Cik pareizi? Un te matemātiķis-šamanis-šulers izņem no piedurknes trumpa dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par komplektu, vai par multikopu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, sasaistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez jebkādiem "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Svētdiena, 2018. gada 18. marts

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, bet viņi tam ir šamaņi, lai iemāca saviem pēcnācējiem prasmes un gudrības, citādi šamaņi vienkārši izmirs.

Vai jums ir nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapu "Ciparu summa". Viņa neeksistē. Matemātikā nav formulas, pēc kuras var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuriem mēs rakstām skaitļus, un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi to var izdarīt elementāri.

Izdomāsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Un tā, pieņemsim, ka mums ir skaitlis 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Apsvērsim visas darbības secībā.

1. Uzrakstiet numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli par skaitļa grafisko simbolu. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs sagriezām vienu saņemto attēlu vairākos attēlos, kuros ir atsevišķi cipari. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Pārvērtiet atsevišķas grafiskās rakstzīmes skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.

4. Saskaitiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

Skaitļa 12345 ciparu summa ir 15. Tie ir "griešanas un šūšanas kursi" no šamaņiem, kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.

No matemātikas viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā mēs rakstām skaitli. Tātad dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma ir norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. Ar liels skaits 12345 Es nevēlos mānīt galvu, apsveriet skaitli 26 no raksta par. Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neapskatīsim katru soli zem mikroskopa, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat kā tad, ja jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus, nosakot taisnstūra laukumu metros un centimetros.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Šis ir vēl viens arguments par labu tam, ka . Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā apzīmē to, kas nav skaitlis? Kas, matemātiķiem, neeksistē nekas cits kā skaitļi? Šamaņiem es to varu pieļaut, bet zinātniekiem nē. Realitāte nav tikai skaitļi.

Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša daudzuma mērvienībām noved pie dažādi rezultāti pēc to salīdzināšanas, tad tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad matemātiskas darbības rezultāts nav atkarīgs no skaitļa vērtības, izmantotās mērvienības un no tā, kurš šo darbību veic.

Pieraksts uz durvīm Atver durvis un saka:

Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu nenoteiktā svētuma izpētei, kad tās tiek paceltas debesīs! Nimbs virsū un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?

Sieviete... Oreols augšpusē un bulta uz leju ir vīrietis.

Ja jūsu acu priekšā vairākas reizes dienā mirgo šāds dizaina mākslas darbs,

Tad nav pārsteidzoši, ka pēkšņi savā automašīnā atrodat dīvainu ikonu:

Es personīgi pielieku pūles, lai kakājošā cilvēkā redzētu mīnus četrus grādus (viena bilde) (vairāku bilžu sastāvs: mīnusa zīme, cipars četri, grādu apzīmējums). Un es neuzskatu šo meiteni par muļķi, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir loka stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to visu laiku māca. Šeit ir piemērs.

1A nav "mīnus četri grādi" vai "viens a". Tas ir "kakājošs vīrietis" vai skaitlis "divdesmit seši". heksadecimālā sistēma rēķināšana. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.

Atsauces dati pieskarei (tg x) un kotangensei (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.

Ģeometriskā definīcija

|BD| - apļa loka garums, kura centrs ir punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis.

Pieskares ( tgα) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar pretējās kājas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .

Kotangenss ( ctgα) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas ir vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| .

Pieskares

Kur n- vesels.

AT Rietumu literatūra tangenss ir definēts šādi:
.
;
;
.

Pieskares funkcijas grafiks, y = tg x

Kotangenss

Kur n- vesels.

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Ir pieņemts arī šāds apzīmējums:
;
;
.

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x

Pieskares un kotangensa īpašības

Periodiskums

Funkcijas y= tg x un y= ctg x ir periodiski ar periodu π.

Paritāte

Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepāra.

Definīcijas un vērtību jomas, augošā, dilstošā

Funkcijas tangenss un kotangenss ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( n- vesels skaitlis).

	y= tg x	y= ctg x
Darbības joma un nepārtrauktība
Vērtību diapazons	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Augošā		-
Dilstoša	-
Ekstrēmi	-	-
Nulles, y= 0
Krustošanās punkti ar y asi, x = 0	y= 0	-

Formulas

Izteiksmes sinusa un kosinusa izteiksmē

; ;
; ;
;

Formulas summas un starpības tangensam un kotangensam

Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt

Pieskares reizinājums

Pieskares summas un starpības formula

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības dažām argumenta vērtībām.

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Izteiksmes hiperbolisko funkciju izteiksmē

;
;

Atvasinājumi

; .

.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Formulu atvasināšana tangensam > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi

Sēriju paplašināšana

Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, ir jāņem vairāki izvērsuma nosacījumi jaudas sērijas funkcijām grēks x un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā , . Rezultātā tiek iegūtas šādas formulas.

plkst.

plkst.
kur B n- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
;
;
kur .
Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas

Pieskares un kotangensas apgrieztās funkcijas ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Arktangents, arktg

, kur n- vesels.

Loka tangenss, arcctg